Électromagnétisme : Devoir Maison n˚1 — LP 205 — 1
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Électromagnétisme : Devoir Maison n˚1 — LP 205 — Électromagnétisme dans l’atmosphère Brahim Lamine & Nicolas Treps 23 mars 2006 Ce problème est constitué de deux parties indépendantes. Les questions difficiles, qui demandent une certaine autonomie, sont marquées d’une étoile. 1 Électromagnétisme dans l’atmosphère L’état électrique de l’atmosphère, par beau temps, peut être modélisé comme suit : le sol et l’ionosphère, qui est une couche parfaitement conductrice située à 15 km du sol, forment deux sphères conductrices imbriquées l’une dans l’autre. 1. On appelle R1 et R2 les rayons respectifs de la terre et de l’ionosphère. On suppose que la terre porte une charge Q1 . a) En utilisant le théorème de Gauss, exprimer le champ Ionosphère électrique E(r) qui règne entre les deux sphères en fonction de la distance r au centre de la terre. On détaillera les symétries et invariants utilisés pour déduire la direction et les variables dont dépend le champ électrique. R1 b) À l’aide de la relation E(r) = − dVdr(r) , déterminer le R2 potentiel V (r) entre les sphères. c) En utilisant le théorème de Gauss avec une surface de R3 Gauss qui est une sphère de rayon compris entre R2 Terre et R3 et en utilisant le fait que la ionosphère est un conducteur parfait, montrer que la charge portée par Air la surface intérieure de la ionosphère est opposée à la charge de la terre. Un peu de cours : Ce système de deux sphères imbriquées forme ce que l’on appelle un condensateur car l’ensemble des lignes de champ issues de la sphère terrestre aboutissent sur la ionosphère (et réciproquement). On montrera dans le cours que, de manière générale, quand deux conducteurs en regard ont leur lignes de champ qui vérifient cette propriété, ils portent sur leur surfaces en regard des charges opposées. Cette charge s’appelle la charge du condensateur. On définit alors la capacité d’un condensateur de façon équivalente à celle d’un conducteur : c’est le rapport entre la charge du condensateur et la différence de potentiel entre les deux armatures 1 C = V1Q−V . L’énergie d’un condensateur a alors la même expression que celle d’un 2 conducteur. d) En déduire l’expression de la capacité C du condensateur terrestre en fonction de R1 et R2 . Application numérique : R1 = 6400 km et ε0 = 8, 8 × 10−12 S.I. 1 Licence de physique LP205 Année 2005-2006 ~ au niveau du sol est de l’ordre e) Diverses mesures montrent que le champ électrique E de 150 V/m et que la Terre est chargée négativement. Quelle est la charge totale de la Terre et la différence de potentiel entre le sol et la haute atmosphère ? f) En déduire l’énergie stockée sous forme électrostatique par l’atmosphère. 2. En fait, l’atmosphère située entre la terre et l’ionosphère est légèrement conductrice en raison de la présence d’ions des deux signes capables de se déplacer sous l’action du champ électrique régnant dans l’atmosphère. On considère en particulier les « petits ions » de charge positive ou négative e = 1, 6 × 10−19 C. La mobilité des ions positifs est µ+ = 1, 4 × 10−1 m2 s−1 V−1 et celle des ions négatifs est µ− = 1, 9 × 10−4 m2 s−1 V−1 . On rappelle ~ acquiert une que par définition un ion de mobilité µ placé dans un champ électrique E ~ vitesse ~v = µE. a) On cherche tout d’abord à modéliser la mobilité des ions en supposant que la conductivité finie de l’atmosphère provient d’une force de frottement visqueux exercée par l’air sur les ions. Écrire le principe fondamental de la dynamique pour une particule ~ constant et à une force de charge q, de masse m, soumise à un champ électrique E ~ de frottement de type visqueux F = −α~v . b) Résoudre l’équation précédente pour trouver ~v (t). Quelle est l’expression de la vitesse pour t → +∞ ? c) En déduire l’expression de la mobilité de cette particule. d)* Montrer que le courant global I air-Terre pour l’ensemble du globe s’écrit : I= neQ (µ+ − µ− ) ε0 (1) où n est la concentration en ions de chaque signe. Application numérique : calculer I. On prendra n ' 500 cm−3 . e)* Quel est le temps au bout duquel la charge terrestre serait réduite au centième de sa valeur initiale en admettant que le courant dû au phénomène précédent soit le seul en cause ? 3. Le champ électrique terrestre existant depuis un temps très supérieur à celui déterminé dans la question précédente, il existe un mécanisme capable de recharger le condensateur terrestre. L’hypothèse généralement admise est qu’il s’agit des orages. Au cours d’un orage, des éclairs jaillissent entre le sol et les nuages. Un éclair peut être assimilé à un courant rectiligne de diamètre D = 25 cm transportant un courant d’intensité I = 105 A. On donne µ0 = 4π × 10−7 S.I. a) Calculer le champ magnétique créé par l’éclair en fonction de la distance d à l’axe de l’éclair. On admettra pour fixer les idées que l’éclair est vertical. b) Une aiguille de boussole est un aimant permanent. Elle peut se désaimanter lorsqu’elle est placée dans un champ supérieur à 2, 4 × 10−3 T. Jusqu’à quelle distance du point d’impact de l’éclair la boussole risque t-elle d’être désaimantée ? Devoir maison numéro 1 2 B Lamine, N Treps Licence de physique LP205 Année 2005-2006 2 Exercices d’entraînement 2.1 Champ électrique 1. Calculer le champ électrique aux points M qui figurent sur les schémas ci-contre. Le schéma de gauche représente deux plans infinis chargés respectivement σ1 et σ2 . Le schéma de droite représente un disque uniformément chargé en surface σ. z y M O a s1 s s2 x M z 2. Calculer le champ électrique créé par un fil infini dont la charge par unité de longueur est noté λ, en un point M situé à une distance r du fil. Indication : on utilisera le théorème de Gauss. M 3.* En déduire le champ créé au point M sur le schéma cicontre, par un plan infini chargé σ sur lequel il existe une rayure très fine de largeur a, droite, et de longueur infinie. z 4.* Montrer que la capacité du condensateur cylindrique ci-contre s’écrit : 2πε0 ` C= ln(b/a) a l Indication : s’inspirer de la démonstration de la partie I sur le condensateur sphérique terrestre. b 2.2 Champs magnétique 1. On dispose deux fils parallèles infinis, parcourus par des courants I1 et I2 dans le même sens et séparés d’une distance d. Calculer le champ magnétique entre les deux fils. 2.* On dispose d’une aiguille aimantée libre de tourner autour de l’axe (Oz). Sous l’influence du champ magnétique ter~ H , l’aiguille s’aligne avec B ~ H . Une fois l’équirestre, noté B libre atteint, on place une spire de telle sorte que le plan de celle-ci contienne l’aiguille aimantée, comme indiqué sur le schéma ci-contre. On fait ensuite circuler un courant I. Une fois l’équilibre atteint, on remarque que l’aiguille aimantée a tourné d’un angle θ autour de l’axe (Oz). Exprimer le ~ H en fonction de cet angle θ, champ magnétique terrestre B du courant I et du rayon R de la spire. Devoir maison numéro 1 3 y I1 O I2 x d z y x B Lamine, N Treps
