Mouvements à force centrale I Définition – interaction newtonienne A) Force centrale On dit que M est soumis à une force centrale F lorsqu’il existe un point O fixe dans (R) galiléen tel que, à chaque instant, F // OM et F ne dépend que de r OM . F ur M O (point force) OM er (1 vecteur des coordonnées cylindriques) ur OM F F (r , t ) u r B) Interaction newtonienne 1) Interaction gravitationnelle M m ur O m1 mm Loi de Newton : FO M G 1 u r OM ² [OM ]2 G : constante de la gravitation [G] [ F ] kg 1m 3s 2 [m1m] G 6,67.10-11 kg 1m 3s 2 Si O est fixe dans un référentiel galiléen : m m Gm1m F ( M ) G 1 OM ² r² La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil – planète, planète – satellite) 2) Interaction coulombienne M q ur r OM O q1 Force de Coulomb : 1 q1q FOM u r (dans le vide) 40 r ² où 0 est la permittivité électrique du vide 1 9.10 9 N.m 2 .C -2 9.10 9 kg.m 3 A 2 s 4 40 Fcoulomb est une force centrale si O est fixe dans (R) galiléen (exemple : proton – électron) 3) Interaction newtonienne k C’est une force s’exprimant sous la forme FOM u r ( r OM ) r² La force est attractive si k 0 , répulsive si k 0 . L’interaction newtonienne est un exemple de force centrale C) Energie potentielle On considère une force centrale F F (r )u r M ur O Pour un déplacement infinitésimal : * d OM d (r u r ) dr u r r du r u r unitaire u r2 1 d (u r u r ) 0 2u r d (u r ) 0 u r d (u r ) * W ( F ) F d OM F (r )u r (dr u r r du r ) F (r )dr dU F (r ) (à une constante additive près) On définit U par dr W ( F ) F (r )dr dU . Donc U est l’énergie potentielle dont dérive F . La force F est donc conservative. Exemple : interaction newtonienne k F ur r² k k dU k k cte 2 2 donc U (r ) U est définie par r r dr r r Gm1m r q1q Dans le cas coulombien, U (r ) 40 r Dans le cas gravitationnel, U (r ) II Lois générales des mouvements à force centrale A) Conservation du moment cinétique 1) Intégrale première du moment cinétique M F ur O On suppose O fixe : O OM m v M /(R ) D’après le théorème du moment cinétique appliqué à M en O fixe dans (R) galiléen, on a : d O M O ( F ) OM F 0 dt ( R ) Donc O est indépendant du temps C O mC avec C OM v M /(R ) , ( est la vitesse aréolaire) 2 O et C sont donc indépendants du temps 2) Mouvement plan OM (t ) O ou C C M O Donc M décrit un mouvement plan : il appartient au plan contenant O de normale C (à tout instant) Dans le plan de la trajectoire de M : y u M r x j O k i ur ( k // O ) (u k , u , k ) forme une base cylindrique r m r 0 OM 0 m v m r 0 0 M /( R ) 0 m r ² Donc 0 m r ² k ou C r ² k Donc r ² C cte 0 3) Loi des aires y r M (t ) d j O k i x r dr M (t dt ) On note dS l’aire balayée par le rayon vecteur OM entre t et t dt M (t dt ) H dS O M (t ) r dS dS o( r.d ) dS d 1 r ² d 2 2 1 1 ou dS OM MH r arc 2 2 rd 1 1 d 1 dS r ² d r ² dt Cdt 2 2 dt 2 dS 1 dS C C (rappel : , soit Donc est la vitesse aréolaire) dt 2 dt 2 Le rayon vecteur balaye des aires égales pendant des temps égaux. dS r ² M (t t ) M (t ) O M ' (t ' ) M ' (t ' t ) S t t t S t 't ' t 1 S dS C T (T est la période) 2 B) Formules de Binet On considère un mouvement à force centrale. Dans le plan de la trajectoire : y u r ur x j O k i M OM r u r v M /( R ) r u r r u d C et dt r 2 1 d( ) du dt r dt 1 dr 1 On pose u . Donc r 2 2 r d dt d r d d r du C du C Donc r r 2 Et r Cu 2 C d r d r r dr dr d dt d dt 2 2 du 2 2 du 2 2 2 du v C C u C u2 u r Cu u Ou Donc v C dt d dt 1ère formule de Binet, ou formule de Binet relative au module de la vitesse. On peut ainsi accéder à v² directement en connaissant la trajectoire. a M /( R ) (r r 2 )u r (2r r)u F m Comme F est une force centrale, sa composante selon u est nulle Donc 2r r 0 Donc a (r r2 )u M /( R ) r 2 dr d dr d du d 2u C 2 d 2u 2 2 d u (C ) C 2 2 C u dt dt d d d d r d 2 d 2 r 4 2 r 2 3 C 2 u 3 r d 2u C 2u 3 ) u r Donc aM /( R ) (C 2u 2 2 d d 2u 2 2 ) ur Ou a M /( R ) C u (u d 2 2ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l’accélération) r C) Conservation de l’énergie mécanique dU F F (r )u r dérive d’une énergie potentielle U définie par F (r ) dr 1 Donc E méca mv 2 U (r ) est une constante du mouvement 2 1 ( E méca E méca 0 mv02 U (r0 ) ) 2 III Energie potentielle effective (ou efficace) A) Définition E méca 1 2 mv U (r ) 2 2 C2 C v M /( R ) r u r r u v 2 r 2 r 2 2 r 2 r 2 2 r 2 2 r r 2 1 C 1 1 Donc Eméca mr 2 m 2 U (r ) mr 2 U eff (r ) un seul paramètre r. 2 r 2 2 U eff ( r ) B) Mouvements liés et mouvements de diffusion Une fois connues les conditions initiales, on a : C r 2 r020 E méca 1 2 mr U eff (r ) E méca (0) 2 1 2 mr E méca U eff (r ) 0 2 Donc U eff (r ) E méca Il y a donc des contraintes sur le mouvement de M Donc Cas particulier : On suppose la force centrale newtonienne F (r ) k k . Donc U ( r ) 2 r r 1 C2 k Donc U eff (r ) m 2 r r si k 0 (attractif) lim U eff (r ) ; lim U eff (r ) 0 r 0 r U eff (r ) E2 0 E1 E0 r2 r1 r0 r'1 r 1er cas : Eméca E2 0 U eff (r ) E2 r r2 On a donc un mouvement de diffusion : M peut s’éloigner à l’infini du point force. O r2 M Exemple : certaines comètes ou sondes Voyager 2ème cas : Eméca E1 E0 ;0 U eff (r ) E1 r1 r r '1 On a donc un mouvement borné (ou lié) O r1 r' 1 Exemple : planètes autour du soleil, mouvement de l’électron autour du proton 3ème cas : E méca E0 U eff (r ) E0 r r0 On a donc un mouvement circulaire et C r 2 r020 cte 0 Le mouvement est donc circulaire uniforme. Si k 0 (répulsif) 1 C2 k U eff (r ) m 0 2 r r U eff (r ) r Donc E méca 0 et on a un mouvement de diffusion quelle que soit cette énergie mécanique. q q1 r