Approximation de l`arborescence de Steiner

UNIVERSITÉ DE VERSAILLES SAINT-QUENTIN EN YVELINES
École Doctorale Sciences et Technologies de Versailles – STV
Laboratoire E3S
SUPELEC, Département Informatique
THÈSE DE DOCTORAT
DE L’UNIVERSITÉ DE VERSAILLES SAINT-QUENTIN-EN-YVELINES
Spécialité : Informatique
Présentée par :
Dimitri Watel
Pour obtenir le grade de Docteur de l’Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines
Approximation de l’arborescence de Steiner
soutenue le 26 novembre 2014
Directeur de thèse :
Dominique Barth : Professeur, Prism, UVSQ
Encadrants de thèse :
Cédric Bentz : Maître de conférence, CEDRIC, CNAM
Marc-Antoine Weisser : Enseignant-Chercheur, E3S, Supélec
Rapporteurs :
Cristina Bazgan : Professeur, LAMSADE, Université Paris Dauphine
Bruno Escoffier : Professeur, LIP6, Université Pierre et Marie Curie
Examinateurs :
Jean-Claude König : Professeur, LIRMM, Université de Montpellier
Yannis Manoussakis : Professeur, LRI, Université Paris Sud
Numéro national d’enregistrement :
Version du 3 décembre 2014

Table des matières
Introduction 1
I Contexte de l’étude 5
1 Algorithmes exacts pour le problème de l’arborescence de Steiner 7
1.1 Algorithmes exacts paramétrés par k...................... 7
1.2 Algorithmes exacts basés sur la programmation linéaire . . . . . . . . . . . . 11
2 Approximabilité du problème de l’arborescence de Steiner 15
2.1 Résultats préliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Résultats d’approximabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Résultats d’inapproximabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Récapitulatif.................................... 25
3 Problèmes connexes au problème de l’arborescence de Steiner 27
3.1 ProblèmesdeSteiner............................... 27
3.2 Problèmes de couverture par ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II Algorithmes d’approximation pour le problème de Steiner 33
4 Approximations gloutonnes pour le cas général 35
4.1 Représentation par une expérience de pensée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Algorithme naïf implémentant de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Amélioration du rapport d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Optimisation de l’algorithme FLAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Croissance des variables duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6 Évaluation des performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.7 Synthèsedesrésultats .............................. 69
5 Cas des graphes sans circuits structurés en paliers 71
5.1 Description des instances étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Résolution par le problème de couverture par ensembles . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Amélioration du rapport d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Extension : couvrir avec deux paliers ou plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5 Adaptation au cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
i

ii TABLE DES MATIÈRES
5.6 Synthèsedesrésultats .............................. 77
6 Approximation exponentielle pour le cas général 79
6.1 Séparation des terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Approximation exponentielle pour la couverture par ensembles . . . . . . . . 80
6.3 Généralisation au problème de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Synthèsedesrésultats .............................. 87
Conclusion 89
III Problèmes de Steiner à branchements contraints 91
7 Présentation des problèmes étudiés 93
7.1 Limitation du nombre de nœuds de branchement . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Limitation du nombre de nœuds diffusants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.3 Originedescontraintes.............................. 96
8 DST avec un nombre limité de nœuds de branchement 101
8.1 Casgénéral .................................... 102
8.2 Restriction aux graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3 Restriction aux graphes sans circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.4 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9 DST avec un nombre limité de nœuds diffusants 119
9.1 Propriétésduproblème.............................. 120
9.2 Construction d’un algorithme d’approximation pour DST . . . . . . . . . . . 121
9.3 Résultat d’inapproximabilité pour DSTLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.4 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10 Algorithmes paramétrés basés sur une énumération de patrons 131
10.1 Algorithme exact FPT en ket dpourDSTLD................. 132
10.2 Algorithme exact probabiliste FPT en ket nspour DSTLB et USTLB . . . 137
10.3 Algorithme exact XP en ket ppour DSTLB et USTLB . . . . . . . . . . . . 142
10.4Synthèsedesrésultats .............................. 145
Conclusion 147
Conclusion générale 149
Bibliographie 155
Annexes 161
A Démonstrations reportées 163
B Reproductibilité de l’expérience 177

TABLE DES MATIÈRES iii
B.1 Reproduction des expériences comparant les rapports d’approximation . . . 177
B.2 Reproduction des expériences comparant les temps de calculs . . . . . . . . . 178
C Détail des expériences 179
C.1 Présentation des différents groupes d’instances . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C.2 Résultatsdétaillés................................. 181
D Notions de théorie de la complexité paramétrée 197
D.1 LesclassesXPetFPT .............................. 197
D.2 Réduction FPT et W-hiérarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198