Redressement d`une tension rectangulaire ou sinusoïdale

TD: Redressement d’une tension rectangulaire ou sinusoı̈dale
1 Position du problème
L’électricité nous est fournie par l’EDF sous forme d’une tension sinusoı̈dale. Or, un grand nombre des
usages du courant électrique nécessite une tension continue. Le but de cet exercice est de déterminer et de
simuler les opérations de transformation nécessaires.
r
R
C
V
U
1. Étude en signaux carrés.
On considère le montage ci-dessus. Il est alimenté par un générateur V de période 50 Hz dont la tension
est V0 si t ∈ [0, T /2], puis −V0 si t ∈ [T /2, T ],. . . avec V0 = 1 V.
La diode (D) ne laisse passer le courant que si V ≥ U . R = 1000 Ω représente le circuit d’utilisation; r est
une petite résistance représentant les caractéristiques de la diode (r = 20 Ω).
a. Que vaut U pendant une période ? On distinguera les deux demi-périodes.
b. Calculer la tension maximale Umax et minimale Umin .
c. On définit le taux d’ondulation par: τ =
Umax −Umin
Umax +Umin .
Calculer τ pour C = 10 µF, puis C = 100 µF.
2. Étude en signaux sinusoı̈daux.
Le générateur est maintenant sinusoı̈dal, de f.e.m. V = V0 . cos(ω.t), avec V0 = 1 V, la fréquence étant
toujours 50 Hz.
a. Écrire l’équation différentielle vérifiée par U lorsque la diode conduit (V > U ) et lorqu’elle est bloquée.
b. Écrire le programme traçant la courbe U (t).
c. Mesurer le taux d’ondulation τ , les valeurs de Umax et Umin . Pourquoi Umin est-il plus petit que dans
le cas des signaux carrés ? On tracera les courbes pour C = 10 µF et C = 100 µF.
3. Amélioration: redressement double alternance.
Dans le montage précédent, la source est très mal utilisée, car une seule fournit du courant au système.
Le schéma ci-dessous permet de profiter de chacune d’elles: si V > 0, D1 et D4 conduisent et la borne A
est positive.
r
A
D1
D2
V
D3
R
C
U
D4
Si V < 0, ce sont D2 et D3 qui conduisent et A est encore positive. tout se passe donc comme si l’on
alimentait le montage avec la tension |V0 . cos(ω.t)|.
Tracer les courbes dans ce cas. Quel est le taux d’ondulation ? Comparer avec le cas précédent.
1
ISEN-Brest. Kany.
TD: Redressement d’une tension rectangulaire ou sinusoı̈dale
Solution
1.
a. Pendant la première demi-période où V − U > 0, la diode conduit: le courant dans la résistance R est
dU
V −U
dU
U
=U
R , celui dans le condensateur C. dt . La loi des nœuds donne:
r
R + C. dt .
r+R
dU
D’où: V = U. R + r.C. dt .
r+R
R
En posant k = r.R.C
, la solution s’exprime sous la forme: U = V. r+R
+ U1 .e−k.t . Cette tension est
T
R
R
+ U1 .e−k.T /2 .
minimale à t = 0: Umin 1 = V. r+R + U1 ; elle est maximale pour t = 2 : Umax 1 = V. r+R
Pendant la deuxième demi-période où V − U < 0, la diode bloque: le condensateur se décharge dans la
t− T
2
résistance R. On a: U = U2 .e− (R.C) . Cette tension est maximale à t =
T
2
− (R.C)
2.
T
2
: Umax 2 = U2 et minimale
à t = T : Umin 2 = U2 .e
.
b. D’après la continuité de la tension aux bornes du condensateur à t = T2 : Umax 1 = Umax 2 et à t = T :
Umin 2 = Umin 1 .
c. Pour C = 10 µF, Umin = 0, 37 V, Umax = 1 V et τ = 0, 46.
Pour C = 100 µF, Umin = 0, 90 V, Umax = 1 V et τ = 0, 05 (tension presque continue).
a. Les équations différentielles sont inchangées.
dU
T
Lorsque V − U > 0, la diode conduit: V = U. r+R
R + r.C. dt pour t ∈ [t0 , 2 ].
t−t0
Lorsque V − U < 0, la diode bloque: U = U2 .e− (R.C) pour t ∈ [ T2 , T + t0 ].
c. Pour C = 10 µF, τ = 0, 61; pour C = 100 µF, τ = 0, 10. Les taux d’ondulation sont supérieurs car le
temps de charge du condensateur est inférieur à T2 .
3. Pour C = 10 µF, τ = 0, 29; pour C = 100 µF, τ = 0, 04. Les taux d’ondulation sont inférieurs car le
condensateur se charge deux par période.
2 Code avec Mathematica
Redressement
Monoalternance
In[1]:= f=50;omega=N[2 Pi f];R=1000;r=20;Capa=.; T=1/f;V0=1;
• Crénaux
In[3]:= V[t ]:=If[Mod[t,T]<T/2,V0,-V0];
In[4]:= Equ[U ,t ,Capa ]:=( If[V[t]>U, (V[t]-U (r+R)/R)/(r Capa), -U/ (R Capa)])
In[5]:= Redressement[Capa ]:=( t=0; U=0;tmax=0.1;pas=0.00005;
Sol=Table[i,{i,0,tmax/pas}];i=0;
While[t<=tmax, U1=U+pas*Equ[U,t,Capa]; t1=t+pas;
U=U+pas*(Equ[U,t,Capa]+Equ[U1,t1,Capa])/2; i++;Sol[[i]]=U; t=t1;];
ListPlot[Sol,AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{0,V0}]);
In[6]:= Redressement[10 10^-6]; Redressement[100 10^-6];
2
ISEN-Brest. Kany.
TD: Redressement d’une tension rectangulaire ou sinusoı̈dale
Out[7]=-Graphics-
• Sinusoı̈de
In[8]:= V[t ]:=V0 Cos[omega t]; Redressement[10 10^-6]; Redressement[100 10^-6];
Out[9]=
Double alterance
• Sinusoı̈de
In[11]:= V[t ]:=Abs[V0 Cos[omega t]]; Redressement[10 10^-6]; Redressement[100 10^-6];
Out[12]=
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from pylab import mod
# Monoalternance
3
ISEN-Brest. Kany.
TD: Redressement d’une tension rectangulaire ou sinusoı̈dale
f=50;omega=2*np.pi*f;R=1000;r=20;T=1/f;V0=1;
#Crénaux
0.8
0.8
0.6
0.6
U
1.0
U
1.0
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.00
0.02
0.04
t
0.06
0.08
0.0
0.00
0.10
0.02
0.04
0.02
0.04
0.02
0.04
t
0.06
0.08
0.10
0.06
0.08
0.10
0.06
0.08
0.10
# Sinusoı̈de
0.8
0.8
0.6
0.6
U
1.0
U
1.0
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.00
0.02
0.04
t
0.06
0.08
0.0
0.00
0.10
t
#Double alterance
# Sinusoı̈de
0.8
0.8
0.6
0.6
U
1.0
U
1.0
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.00
0.02
0.04
t
0.06
0.08
0.10
0.0
0.00
t
4