Contribution quantique au freinage des étoiles à neutrons

Groupe GAHEC
Clément Berthiere
Université Paris Diderot
Magistère de Physique fondamentale - M1
Contribution quantique au freinage des
étoiles à neutrons
Maître de stage :
Brahim Lamine
Maître de conférences - Université Paul Sabatier
IRAP - OMP
14 avenue Edouard Belin 31400 Toulouse
Tel : [phone]
Mail : [email protected]
Année universitaire 2012–2013

Table des matières
Introduction 3
1 Cadre théorique 4
1.1 Formulation covariante de l’électromagnétisme classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Danslevide........................................ 4
1.1.2 Danslamatière...................................... 5
1.2 Lagrangien de Euler-Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Cas général de la correction à une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Situation K → 0..................................... 6
1.3 Le vide comme un milieu matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Freinage quantique d’une étoile à neutrons 9
2.1 Contributionclassique ...................................... 9
2.1.1 Champ électromagnétique créé par un dipôle magnétique tournant . . . . . . . . . 9
2.1.2 Approximation purement magnétique et quasi statique . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Perted’énergieclassique................................. 10
2.2 Contributionquantique ..................................... 10
2.2.1 Calculsanalytiques.................................... 11
2.2.2 Calculnumérique..................................... 12
3 Dynamique d’un pulsar 14
3.1 Ralentissementdelarotation .................................. 14
3.1.1 Indicedefreinage..................................... 14
3.1.2 Perte d’énergie par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.3 Death line ......................................... 15
3.2 Casclassique ........................................... 15
3.2.1 Indicedefreinage..................................... 16
3.2.2 Ageetpériodeinitiale.................................. 16
3.2.3 Champ magnétique et inclinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Généralisation ...................................... 17
3.3 Casquantique........................................... 17
3.3.1 Indicedefreinage..................................... 18
3.3.2 Ageetpériodeinitiale.................................. 19
3.3.3 Champ magnétique et inclinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Effetdelamagnétosphère .................................... 21
4 Synthèse de populations de pulsars 26
4.1 Modélisation ........................................... 26
4.1.1 LaGalaxie ........................................ 26
4.1.2 Propriétés des pulsars à leur naissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.3 Evolutiondespulsars .................................. 28
4.1.4 Pulsars synthétiques observés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Résultats ............................................. 29
Conclusion 31
Références 32
Annexe A : Diagrammes M/R 33
2

Introduction
Ce stage de trois mois à l’IRAP a été effectué au sein d’une équipe récemment constituée « Cosmologie
et Physique Fondamentale ». Il s’agit du premier stage sur la thématique « contribution quantique au
freinage des étoiles à neutrons ».
Partant d’une description quantique du vide, nous montrerons que celui-ci se comporte comme un milieu
matériel et qu’il est à l’origine d’un ralentissement de la précession des étoiles à neutrons. Habituellement
les effets quantiques sont observés à de très petites échelles (jusqu’au micromètre pour l’effet Casimir entre
deux plaques réfléchissantes) et sont négligeables lorsqu’on considère un système macroscopique. Notre
étude montre que le vide quantique peut avoir des répercussions non négligeables à l’échelle macroscopique
(de l’ordre du kilomètre) sur l’évolution des pulsars. De plus, la violation de la linéarité des équations de
Maxwell prédite par l’électrodynamique quantique (QED) n’ayant pas encore été démontrée, une preuve
observationnelle d’un effet quantique sur l’évolution des étoiles à neutrons serait la première confirmation
d’une prédiction fondamentale de la QED.
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1 Cadre théorique
Nous travaillerons en unités SI et utiliserons la convention de sommation d’Einstein, la métrique de
Minkowski est ηµν =diag(+ − −−).
1.1 Formulation covariante de l’électromagnétisme classique
Le champ électromagnétique peut être représenté par un champ Aµ= (φ/c,A), où φest le potentiel
scalaire et Ale potentiel vecteur. On définit alors le tenseur électromagnétique Fcomme :
Fµν =∂µAν−∂νAµ(1)
Fµν =
0Ex/cEy/cEz/c
−Ex/c0−BzBy
−Ey/cBz0−Bx
−Ez/c−ByBx0
et Fµν ≡ηµαηνβ Fαβ (2)
Le tenseur Fµν , contrairement au champ Aµ, est invariant de jauge. On peut par ailleurs en extraire deux
invariants de Lorentz, qui sont
I ≡ Fµν Fµν =2
c2(c2B2−E2)et K ≡ −1 2µνρσ Fµν Fρσ = 4E·B c(3)
1.1.1 Dans le vide
La densité lagrangienne de l’électrodynamique classique dans le vide est la suivante :
L(Aµ, ∂νAµ) = Lchamps +Lint =−1
4µ0
Fµν Fµν −Aµjµ(4)
où jµ= (ρc, j)est le 4-courant. Nous pouvons dériver à partir de ce lagrangien les équations de Maxwell
dans le vide avec source. Partons de l’équation d’Euler-Lagrange pour L(Aµ, ∂νAµ),
∂µπµν −∂L
∂Aν
= 0 avec πµν ≡∂L
∂(∂µAν)(5)
Le premier terme est :
πµν =−1
4µ0
∂(FαβFαβ )
∂(∂µAν)=−1 4µ0
2Fαβ ∂Fαβ
∂(∂µAν)=−1 2µ0
Fρσ(δµ
ρδν σ−δµ σδν ρ) = −Fµν
µ0
Le second terme s’écrit ∂L
∂Aν
=−jν(6)
Les équations de Lagrange sont donc :
∂µFµν =µ0jν(7)
La partie temporelle (ν= 0) de cette équation s’écrit :
∇·E=ρ
0
(8)
en posant 0µ0c2= 1. Les trois composantes spatiales (ν=i) donnent :
∇×B−1
c2
∂E
∂t =µ0j(9)
Enfin, les deux équations de Maxwell homogènes sont la conséquence du fait que le champ électromagné-
tique dérive d’un potentiel, qui se traduit par l’équation suivante :
∂[αFµν]= 0 (10)
dont on tire :
∇·B= 0 (11)
∇×E+∂B
∂t = 0 (12)
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1.1.2 Dans la matière
Lorsque nous avons à faire à un matériau pouvant être l’objet d’une polarisation électrique et magné-
tique il est utile de redéfinir le 4-courant jν=jν
libre +jν induit, où
jν
induit = (cρinduit,jinduit) = (−c∇ · P,∂P
∂t +∇ × M)(13)
avec Pla polarisation électrique et Mla magnétisation. Les équations de Maxwell se récrivent alors :
∇·D=ρlibre (14)
∇×H−∂D
∂t =jlibre (15)
en introduisant le déplacement électrique Det l’intensité magnétique H:
D=0E+Pet H=1
µ0
B−M(16)
Les équations de Maxwell homogènes restent quant à elles inchangées. Il est commode de définir les
tenseurs déplacement électrique Dµν et polarisation-magnétisation Pµν :
Dµν =
0Dxc Dyc Dzc
−Dxc0−HzHy
−Dyc Hz0−Hx
−Dzc−HyHx0
et Pµν =
0−Pxc−Pyc−Pzc
Pxc0−MzMy
Pyc Mz0−Mx
Pzc−MyMx0
(17)
reliés par :
Dµν =1
µ0
Fµν −Pµν (18)
On peut alors écrire le lagrangien de l’électromagnétisme dans la matière :
L=−1
4µ0
Fµν Fµν −Aµjµ
libre +1
2Fµν Pµν (19)
Les équations de Maxwell deviennent alors :
∂µDµν =jν
libre (20)
On considèrera par la suite jν
libre = 0. Ceci est une approximation car il y a des courants dans la
magnétosphère d’une étoile à neutrons.
1.2 Lagrangien de Euler-Heisenberg
L’électrodynamique quantique apporte des corrections quantiques à la description de Maxwell du
champ électromagnétique et de son interaction avec des charges et des courants. Ces corrections sont cal-
culées comme des développements en puissance de ~(on dit aussi en boucle). Les corrections quantiques
à une boucle sont observées dans les atomes (par exemple via le Lamb shift) à travers les effets dits de
polarisations du vide ( diagramme , un peu comme si le photon se transformait momentané-
ment pendant sa propagation en paire virtuelle électron/positron.). En absence de matière (dans le vide),
le diagramme précédent ne contribue pas et la correction à une boucle d’ordre le plus bas est .
Il correspond à l’interaction photon/photon, donc à des non-linéarités dans les équations de Maxwell.
Nous allons montrer que ces corrections non-linéaires provenant d’effets quantiques à une boucle 1sont
équivalentes à un milieu effectif de polarisation Pµν .
1. Les corrections quantiques à deux boucles sont négligeables (Dittrich et Reuter 1985).
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