Évolution des systèmes électriques

Évolution des systèmes électriques
3 TP ; 10 H
Chapitre 1 : Condensateurs. Cas d'un dipôle RC
I. Les condensateurs
1. De quoi s'agit-il ?
Un condensateur est formé de deux armatures conductrices face à face et très proches l'une de l'autre mais séparées
par un isolant, le diélectrique.
Montrer quelques gros et anciens puis quelques petits.
Représentation symbolique d'un condensateur :
2. Expérience
Faire la manip au tableau
voir aussi le lien : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Elec/Transitoire/Condensateur_flash.htm
U
­
G
G est un générateur délivrant une tension continue ;
K est un interrupteur à deux positions ;
R est un conducteur ohmique, C le condensateur
L'ampèremètre A mesure le courant i
Le voltmètre V mesure la tension aux bornes de C
+
2
1
K
R
C
B
A
V
uAB
3. Interprétation
A
➢
➢
i
On laisse longtemps K en position 1 :
i = 0, uAB = U
On bascule K en position 2 :
i 0 puis diminue jusqu'à i = 0
uAB diminue jusqu'à uAB = 0
On bascule K en position 1 :
i 0 puis diminue jusqu'à i = 0
uAB augmente jusqu'à uAB = U
On observe donc deux phases :
phase pendant laquelle les grandeurs électriques évoluent rapidement : régime transitoire
phase pendant laquelle ces grandeurs électriques n'évoluent plus : régime permanent.
Quand on est en régime transitoire, i  0, donc des électrons circulent dans le circuit.
- Lorsque l'interrupteur K passe de 2 en 1 : des électrons circulent de B vers A, l'armature B se charge
positivement, la A négativement ; on dit que le condensateur se charge.
A chaque instant qA = - qB
uAB augmente jusqu'à atteindre la valeur de U
- si on ouvre alors K, le condensateur, qui est un circuit ouvert, reste chargé.
q est la charge du condensateur (l'armature A porte la charge +q, l'armature B porte la charge -q)
– si K passe de 1 en 2, les électrons font le chemin inverse, de B vers A, le condensateur se
décharge.
Relation entre charge et intensité
La charge du condensateur q évolue au cours du temps :
dq
i=
dt
dq
représente un débit de charge, donc un courant.
dt
q ­q
i
1 / 3 Document OpenOffice.org sous Debian 4.0 le 12 févr. 2008
4. Relation charge – tension
La charge q d'un condensateur est proportionnelle à la tension entre ses armatures u.
q
­q
q = C.u
C : capacité du condensateur, en farad F.
q en coulomb C, u en volt V
la capacité C varie de qq pF à qq mF.
C dépend de la géométrie des armatures, de leur surface, du diélectrique.
i
u
q=C.u
⇒ i=C.
i=
du
dt
dq
dt
II. Dipôle RC
1. Energie emmagasinée par un condensateur
Si on branche une petite lampe, ou une LED, aux bornes d'un condensateur chargé, la lampe s'allume brièvement ;
c'est donc que le condensateur a accumulé de l'énergie.
Un condensateur accumule de l'énergie quand il se charge, il la restitue quand il se décharge. L'énergie
emmagasinée a pour expression :
2
1
1 Q
2 1
E= . C.U = . Q.U= .
2
2
2 C
avec Q : charge finale ; U : tension finale
E en joule J, C en farad F, U en volt V, Q en coulomb C.
2. Réponse à un échelon de tension
Quand on associe un conducteur ohmique R à un condensateur C, le dipôle obtenu s'appelle dipôle RC.
a. Dispositif d'enregistrement
Voir document 9 p 137
Le générateur fait brutalement passer la tension de 0 à U : échelon de tension.
b. Résultats
uc
uc
U
U
0
t
interrupteur position 1
0
t
interrupteur position 2
Le condensateur semble s'opposer aux variations de la tension dans le circuit.
c. Etude analytique
dq
u=u RuC = R.iu C= R.
uC = R.
dt
dC.uC 
dt
uC
3. Résolution de l'équation différentielle (1)
⇒ u=R.C.
duC
dt
uC
C
R
UC
UR
(1)
i
u
Les deux démonstrations qui suivent sont exigibles au Baccalauréat.
On charge le condensateur avec la tension U. Donc l'équation (1) devient :
2 / 3 Document OpenOffice.org sous Debian 4.0 le 12 févr. 2008
U= R.C.
d uC
dt
d uC
u C ⇔
dt
=
−1
U
. u C
R.C
R.C
(2)
La solution de l'équation (2) est une fonction de la forme
. t
 .t
u C= A.e  B . En effet :
1
B
U
 .t
= −
. A.e −

RC
RC RC
d A.e B
1
U
 .t
 .t
= −
.  A.e  B
⇔ A. . e
dt
RC
RC
1
1
 .t
⇔ A 
.e =
.−BU 
RC
RC
1
1
1
=
.U −B = 0 ⇒  = −
et B = U
Cela implique que 
RC
RC
RC
La solution de l'équation (2) est donc :
u C = A.e
−1
.t
RC
U
Conditions initiales : à t = 0, uC = 0 (condensateur non chargé), donc A + U = 0 donc A = U.
−t
La tension de charge du condensateur est donc :
u C = U. 1−e RC 
Valeur du courant :
−t
−t
−t
−t
uC
[U.1−e RC ]
1
U
U
i = C. d
= C.d
= C.U.
e RC = .e RC ⇒ i = . e RC
dt
dt
RC.
R
R
4. Décharge du condensateur
A t= 0, la tension u passe brutalement de U à 0. L'équation (1) devient :
0 = R.C.
d uC
dt
d uC
u C ⇔
dt
=−
uC
(2 bis)
R.C
 .t
La solution de l'équation (2 bis) est une fonction de la forme u C= A.e  B . En effet :
. t
 .t
d A.e B
 A.e  B
1
1
B
. t
 .t
 .t
=−
⇔ A.  . e = −
. A.e  B ⇔ 
. A.e = −
dt
RC
RC
RC
RC
1
B
1
=−
=0 ⇒  = −
et B=0
Cela implique que 
RC
RC
RC
La solution de l'équation (2bis) est donc :
u C= A.e
−1
.t
RC
Conditions initiales : à t = 0, uC = U (condensateur chargé), donc A = U.
−t
La tension de décharge du condensateur est donc : uC=U.e RC
Valeur du courant :
−t
−t
−t
−t
uC
−1 RC
[U.e RC ]
U
U
i = C. d
= C.d
= C.U.
e = − . e RC ⇒ i = − e RC
dt
dt
RC.
R
R
5. Constante de temps
Le produit  = R.C s'appelle la constante de temps (ou temps caractéristique) du dipôle RC.
Plus  est grand, plus le temps de charge ou de décharge est grand.
Durée du régime transitoire : on admet qu'au bout de 5, la charge (ou la décharge) est terminée.
Détermination expérimentale de  : voir dernier paragraphe p 140 : méthode de la tangente.
Faire les exercices 7, 10, 12 et 13p 147-148.
FIN
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