COMMUNICATIONS DANS LES R SEAUX OPTIQUES PAR

THSE
prsente L'UNIVERSIT DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS
U.F.R. SCIENCES
pour obtenir le titre de
DOCTEUR
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Spcialit : INFORMATIQUE
COMMUNICATIONS DANS
LES RSEAUX OPTIQUES
PAR MULTIPLEXAGE
EN LONGUEUR D'ONDE
par
Bruno BEAUQUIER
Soutenue le 17 janvier 2000 devant le jury compos de :
M.
Ioan
M.
Jean-Claude BERMOND
Mme. Dominique
M.
Franois
M.
Ugo
M.
M.
BOND
SOTTEAU
TILLEROT
VACCARO
Prsident
Directeur
Rapporteur
Rapporteur
Rapporteur
Pierre
FRAIGNIAUD Examinateur
Jean-Claude KNIG
Examinateur
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tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
mes parents.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Remerciements
Je tiens particulirement remercier toutes les personnes qui m'ont aid, tant sur
le plan professionnel que sur le plan personnel, mener terme cette preuve :
- Johny Bond, responsable de l'quipe PaCom, pour l'honneur qu'il me fait de
prsider mon jury, et pour l'extrme gentillesse avec laquelle il m'a accueilli
lors de mon arrive Sophia Antipolis tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
- Jean-Claude Bermond, pour m'avoir accueilli dans son quipe et avoir accept de diriger cette thse. Je lui suis profondment reconnaissant de
l'aide et du temps prcieux qu'il m'a consacrs, de la conance qu'il m'a
toujours accorde, et surtout de l'ambiance particulirement amicale qu'il
sait instaurer et qui m'a permis d'eectuer mon doctorat dans les meilleures
conditions possibles - Dominique Sotteau, pour l'honneur qu'elle me fait de participer mon
jury, malgr ses contraintes professionnelles, pour la gentillesse et le courage
d'avoir rapport cette thse, et pour ses nombreux contacts cordiaux et
utiles tout au long de mes travaux - Franois Tillerot, pour l'honneur qu'il me fait de participer mon jury,
pour la gentillesse et le courage d'avoir rapport cette thse dans des dlais
aussi courts, et pour ses nombreuses remarques trs protables sur la partie
technologique de ce manuscript - Ugo Vaccaro, pour l'honneur qu'il me fait de participer mon jury, pour
la gentillesse et le courage d'avoir rapport cette thse, et pour l'hospitalit
chaleureuse dont il a fait preuve lors de mon sjour Salerno - Pierre Fraigniaud et Jean-Claude Knig, pour l'honneur qu'ils me font de
faire partie de mon jury - Stphane Prennes, pour sa prcieuse collaboration et son contact trs enrichissant, et pour nos nombreuses discussions amicales - Michel Syska, pour avoir accept d'tre mon tuteur de monitorat, pour tous
les prcieux conseils qu'il m'a fournis, pour son amiti sincre, voire (mme)
pour son hospitalit gnreuse lors de nombreuses soires footballistiques - Olivier Delmas, pour le plaisir d'avoir partag son bureau et d'avoir travaill
avec lui, et pour toutes nos discussions enjoues - Eric Darrot, pour le plaisir d'avoir collabor avec lui et pour avoir apprci
son obstination acharne et son sens de la rpartie i
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- Nausica Marlin, pour le plaisir de l'avoir ctoye dans la bonne humeur,
pour tous les moments passs ensemble et la complicit que nous avons
partage.
- Afonso Ferreira, pour ses conseils aviss, son contact amical et pour nos
nombreuses discussions extra-professionnelles - les autres membres du projet SLOOP, David Coudert, Tania Jimnez,
Philippe Mussi, Jean-Nol Petit, ses ex-membres, Franoise Baude, Denis
Caromel, Nathalie Furmento, Bruno Gaujal, Peter Mammay, Yves Roudier,
David Sagnol, Gnther Siegel, Laurent Villefranche, et les nouveaux, Sbastien Choplin et Xavier Hardy, pour l'ambiance sympathique qu'ils font ou
ont fait rgner dans les bureaux et les couloirs du projet - Ephie Deriche, Zohra Khala et Patricia Lachaume, tant pour leur diligence
et leur ecacit rsoudre mes embarras administratifs, que pour leur
gentillesse et leur disponibilit - Franois Brmond, Olivier Dalle et Cyril Godart, dits les Marmules, pour
leur accueil sympathique, leurs boues soit dittiques, soit pantagruliques,
et pour l'amiti forge autour de leur table ou encore la sueur des bourres
tires dans les ctes sophiapolitaines - mes autres compagnons de course pied, Jrme Galtier, Igor Litovski et
Philippe Nain, pour leur bonne humeur permanente et leur saine mulation
lors de nos sorties l'heure du djeuner - Sandrine Julia et Bruno Martin, pour leur accueil chaleureux et leur amiti,
entretenue malgr l'loignement, coups de boues et de sorties au ski - Joseph Yu, pour le plaisir d'avoir fait sa connaissance ds mon arrive, pour
ses conseils aviss et sa gentillesse perptuelle - Luisa Gargano, Pavol Hell et David Peleg, pour leur contact la fois enrichissant sur le plan professionnel et trs amical sur le plan personnel - toutes les personnes rencontres sur Sophia et qui m'ont permis de passer
de trs bons moments : Soraya Arias, Thomas Bonald, Sandrine Chevris,
Jrme Durand-Lose, Patrick Itey, Nathanael Rota, et j'en oublie - mes amis de plus longue date, Alexandre, Anne-Emmanuelle, Frdric, Julia
et Yves, pour le plaisir que j'ai eu les connatre, pour toutes les aventures
vcues ensemble et pour leur amiti sincre - et bien sr mes parents, pour l'aide et l'aection qu'ils n'ont jamais cess
de m'apporter.
ii
Table des matires
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Introduction
1 La technologie optique pour les tlcommunications
1.1 Aperu historique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Systmes de transmission optiques . . . . . . . . .
1.2.1 Fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 metteurs optiques . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Rcepteurs optiques . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Amplicateurs optiques . . . . . . . . . . .
1.3 Multiplexage optique . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Multiplexage temporel (TDM) . . . . . . .
1.3.2 Multiplexage en longueur d'onde (WDM) .
1.3.3 Comparaison entre TDM et WDM . . . .
1.4 Commutation optique . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Gnrations de rseaux . . . . . . . . . . .
1.4.2 Commutateurs optiques . . . . . . . . . .
1.4.3 Convertisseurs optiques . . . . . . . . . . .
2 Problmatique et modlisation
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2.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Graphes et rseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Notions lmentaires de thorie des graphes
2.2.2 Rseaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Optimisation et approximation . . . . . . . . . . .
2.4 Formulation des problmes tudis . . . . . . . . .
2.4.1 Problme du routage tout-optique . . . . . .
2.4.2 Problme de la charge . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Relations entre les problmes . . . . . . . .
2.5 Communications structures . . . . . . . . . . . . .
3 Routage WDM tout-optique
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3.1 Rseaux gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1 Instances quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
iii
3.1.2 Permutations et k-relations
3.1.3 Diusion et multicast . . . .
3.1.4 change total . . . . . . . .
3.2 Rseaux particuliers . . . . . . . .
3.2.1 Arbres . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Cycles . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Grilles . . . . . . . . . . . .
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Conclusion et perspectives
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A Optimal wavelengthrouted multicasting
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B. Beauquier, P. Hell et S. Prennes
Discrete Applied Mathematics, volume 84, pages 15$20, Elsevier Science,
1998. Editors' Choice 1998.
Rapports de recherche I3S 97-32 et INRIA 3276.
95
B All-to-all communication in some wavelengthrouted alloptical
networks
B. Beauquier
Networks: An International Journal, volume 33, numro 3, pages 179$187,
Wiley-Interscience, 1999.
Rapports de recherche I3S 98-06 et INRIA 3452.
103
C All-to-all routing and coloring in weighted trees of rings
B. Beauquier, S. Prennes et D. T%th
In Proceedings of the 11th ACM Symposium on Parallel Algorithms and
Architectures (SPAA'99), pages 185$190, Saint-Malo, France, 27-30 juin
1999.
Rapports de recherche I3S 99-12 et INRIA 3700.
121
D Tight bounds for broadcasting in the linear cost model
B. Beauquier, O. Delmas et S. Prennes
Rapports de recherche I3S 99-20 et INRIA 3827.
E Broadcasting in WDM optical rings and tori
137
B. Beauquier
In P-J. Wan, D-Z. Du et P. M. Pardalos, editors, DIMACS Workshop
on Multichannel Optical Networks: Theory and Practice, Rutgers University, NJ, 16-19 mars 1998, volume 46 of DIMACS Series in Discrete
Mathematics and Theoretical Computer Science, pages 63$73. American
Mathematical Society, 1998.
Rapports de recherche I3S 98-05 et INRIA 3410.
159
iv
F On arbitrary Waksman networks and their vulnerability
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
B. Beauquier et E. Darrot
Soumis Parallel Processing Letters (World Scientic). Version tendue
de l'article paru dans Actes des 1res Rencontres Francophones sur les
Aspects Algorithmiques des Tlcommunications (AlgoTel'99), pages 95$
100, Rosco, France, 5-7 mai 1999.
Rapports de recherche I3S 99-17 et INRIA 3788.
175
v
vi
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Introduction
Les rsultats obtenus dans cette thse, qui s'est droule au sein du projet
Sloop 1 , portent principalement sur l'tude des communications dans les
rseaux optiques par multiplexage en longueur d'onde. Ils s'inscrivent
dans une thmatique d'allocation des ressources en vue de raliser des communications dans un rseau. La problmatique gnrale que nous avons considre
peut se rsumer de la manire suivante. Il s'agit de satisfaire dans un rseau
optique une famille de requtes de connexion, appele instance de communication et forme de couples de n&uds (source, destination). La satisfaction d'une
requte passe par l'attribution d'un chemin dans le rseau et d'une longueur
d'onde sur les liens utiliss, avec la contrainte que deux requtes ne peuvent pas
utiliser le mme lien avec la mme longueur d'onde. L'objectif dans ce cadre est
de minimiser l'utilisation des ressources optiques, c'est--dire le nombre total de
longueurs d'onde permettant de satisfaire l'instance donne.
La ncessit pressante de disposer de rseaux de communication trs haut
dbit, dont les performances dpassent largement celles que peuvent fournir les
rseaux ATM actuels, se fait jour face au nombre croissant d'utilisateurs et l'mergence d'applications en rseau intensives, telles que la rcupration de
donnes sur Internet, les applications Java, les confrences distance, l'imagerie
en temps rel ou encore le calcul intensif distribu. La technologie de la bre
optique peut apporter une solution pour subvenir ce besoin, gr'ce ses caractristiques de transmission exceptionnelles, sans comparaison avec les capacits
des rseaux classiques. Son intrt majeur rside dans sa bande passante norme
qui dpasse celle des transmissions lectroniques de plusieurs ordres de grandeur.
Alors que la bre optique tait une curiosit technologique pendant les dernires
dcennies, le d est prsent de rendre ses promesses eectives an de pourvoir
la demande des rseaux de communication du futur.
En tenant compte de la contrainte pour un site connect $ qui peut tre
une station de travail ou une porte d'accs vers des sous-rseaux locaux $ de ne
pouvoir transmettre et recevoir des donnes qu'au dbit lectronique, la cl du
problme dans la conception de rseaux de communication exploitant la bande
1 Sloop
est un projet commun Cnrs / Inria / Universit de Nice - Sophia Antipolis.
1
passante optique est de parvenir introduire dans les architectures et les protocoles des moyens de transmission des donnes concurrents. Dans un rseau de
communication optique, cette concurrence peut tre tablie par la technique du
multiplexage en longueur d'onde (Wavelength-Division Multiplexing, WDM).
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La technologie WDM est une approche qui permet de grer l'importante discordance opto-lectronique en termes de bande passante, en permettant aux
quipements des sites connects d'accder au rseau au dbit de l'lectronique
seulement, ceci en multiplexant sur la mme bre optique plusieurs canaux WDM
connectant dirents sites. Le spectre optique d'une bre est dcoup en un
certain nombre d'intervalles de longueurs d'onde (ou frquences) distincts, de
telle sorte que chaque intervalle supporte un canal de communication transmettant au dbit dsir, en particulier celui de l'lectronique.
Il est communment admis que la technologie WDM constitue actuellement
le procd de multiplexage favori pour les rseaux de communication optiques.
Le problme devient alors de concevoir et de dvelopper des architectures de
rseau, des protocoles et des algorithmes appropris, destins assurer une utilisation ecace des nouvelles potentialits oertes, notamment en ce qui concerne
l'allocation des ressources optiques. Plus spciquement, le problme du routage
optique des communications, qui consiste attribuer une route et une longueur
d'onde aux direntes requtes entre les sites connects, requiert la rsolution de
nombreux problmes algorithmiques de nature combinatoire.
Pour rsoudre ce type de problmes, nous nous sommes placs dans un contexte d'optimisation algorithmique dterministe et statique (o-line). En d'autres
termes, nous supposons les donnes du rseau et de l'instance xes une fois pour
toutes, et nous cherchons un routage optique satisfaisant des contraintes et minimisant une fonction de cot. Cette situation se rencontre aussi bien dans le
cadre des rseaux de transport, des rseaux locaux ou des interconnexions de
processeurs, lorsque les communications sont connues l'avance. En revanche,
nous n'avons pas considr de mthodes probabilistes de rsolution, ni l'approche
dynamique (on-line) du problme, pour laquelle les requtes de connexion se
prsentent au cours du temps.
Dans les rseaux optiques WDM, le nombre de longueurs d'onde disponibles
est fortement limit, gnralement de l'ordre de la trentaine (on trouve cependant
aujourd'hui une ore commerciale de Lucent 80 canaux), et les perspectives futures ne laissent pas envisager de dpasser l'ordre de la centaine. De plus, le cot
et la complexit des n&uds de commutation augmentent signicativement avec
le nombre de longueurs d'onde traiter. C'est pourquoi il est crucial de chercher
minimiser l'utilisation de ces ressources optiques. Ce type d'optimisation revt
une importance particulire dans le cadre de la conception et du dimensionnement
2
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
d'un rseau optique : d'une part, en vue de satisfaire une certaine demande de
trac prvue l'avance, et an de minimiser le cot global des quipements ncessaires d'autre part, pour grer l'utilisation des ressources optiques en assurant
la possibilit d'tablir de nouvelles connexions. Cette problmatique est celle du
projet Porto 2 qui a rcemment dmarr.
Les points d'accs au rseau optique communiquent entre eux via des canaux
WDM, dits tout-optiques lorsqu'ils ne subissent pas de conversion lectronique
intermdiaire, et qui sont galement appels chemins optiques. Une telle liaison
peut recouvrir une srie de liens en bre optique et fournir ainsi une connexion de type commutation de circuits (circuit-switching, en anglais) entre deux
sites distants dans la topologie physique. Chaque n&ud de routage intermdiaire doit pour cela possder une fonction de commutation optique adapte.
Les commutateurs optiques les plus simples actuellement commercialiss (par
exemple par Alcatel ou Lucent Technologies) sont capables de diriger une bre
d'entre sur n'importe quelle bre de sortie (rpartiteur ou ber optical crossconnect (f-oxc)). D'autres, plus volus, peuvent extraire d'une bre certaines
longueurs d'onde et en rinsrer (multiplexeur insertion/extraction (mie) ou
optical add/drop multiplexer (oadm)). D'autres enn, plus sophistiqus encore,
appels brasseurs, permettent d'envoyer un canal WDM indpendamment des
autres sur n'importe quelle bre de sortie, sans modier sa longueur d'onde
(wavelength routing optical cross-connect (wr-oxc)), ou en la convertissant en
une autre (wavelength translating optical cross-connect (wt-oxc)).
En fonction de ces types de n&uds de commutation, direntes architectures
pour les rseaux tout-optiques ont t proposes dans la dernire dcennie. Toutes
prsupposent cependant l'utilisation de liens entre les n&uds de routage qui sont
constitus de paires de bres optiques unidirectionnelles. Ainsi, nous modlisons
un rseau tout-optique par un graphe ou multi-graphe orient symtrique, dont les
sommets reprsentent indiremment les points d'accs et les n&uds de routage.
Dans ce cadre, chaque arc correspond une bre optique unidirectionnelle qui
supporte un nombre x de longueurs d'onde, que nous supposons uniforme dans
tout le rseau. Notons toutefois qu'un arc ne reprsente pas ncessairement une
liaison physique point--point, mais peut correspondre une liaison virtuelle prtablie. Ainsi la topologie fournie au dpart peut tre celle librement choisie par
le concepteur du rseau. De plus, nous considrons l'une des architectures les plus
communes et les plus souvent tudies, qui est constitue de n&uds de commutation forms de brasseurs et de multiplexeurs insertion/extraction, sans toutefois
autoriser la conversion des longueurs d'onde. La possibilit de conversion totale
(Planication et Optimisation des Rseaux de Transport Optiques) est un projet
prcomptitif du Rnrt (Rseau National de Recherche en Tlcommunications) entre le projet
Sloop, Alcatel (Corporate Research Center) et France Telecom (CNET).
2 Porto
3
dans tout le rseau a t cependant aborde, mais nous avons laiss de ct
l'hypothse de conversion partielle et limite certains n&uds.
Dans le chapitre 1, nous prsentons la technologie optique pour les tlcommunications, an de prciser le cadre technique de notre recherche et d'aider le
lecteur informaticien la comprhension des contraintes physiques sous-jacentes
la modlisation thorique. Cette prsentation vise caractriser les problmes
essentiels rencontrs en pratique, en gardant toutefois l'esprit que les progrs
technologiques dans le domaine sont rapides.
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Nous commenons dans la section 1.1 par donner un aperu historique de
l'volution des tlcommunications et de l'avnement de la bre optique comme
support de transmission privilgi. Nous poursuivons dans la section 1.2 en
dcrivant les dirents lments d'un systme de transmission optique $ que sont
la bre, les metteurs, les rcepteurs et les amplicateurs $ et en donnant quelques
caractristiques techniques.
Dans la section 1.3, nous prsentons deux techniques de multiplexage qui
permettent d'exploiter la bande passante spectrale de la bre optique : le multiplexage temporel (Time-Division Multiplexing, TDM) et le multiplexage en
longueur d'onde (WDM). Nous expliquons pourquoi cette dernire approche semble prfrable. Enn, nous donnons dans la section 1.4 une classication des diffrents types de n&uds de commutation envisags dans la conception de rseaux
dits tout-optiques, dans lesquels les signaux sont achemins trs haut dbit sans
conversion opto-lectronique intermdiaire entre la source et la destination.
Dans le chapitre 2, nous posons la problmatique tudie au cours de la
thse et nous donnons la modlisation qui a servi de base nos recherches. Nous
commenons dans la section 2.1 par rappeler le contexte qui est celui des rseaux
de tlcommunications tout-optiques, dans lesquels il est possible de raliser des
communications sous le mode de la )commutation de circuit* (circuit switching),
dj abondamment tudi pour les rseaux d'interconnexion entre processeurs.
Ainsi une requte de connexion entre deux sites distants peut tre tablie par
l'allocation d'un chemin optique, qui consiste en l'attribution d'une route dans
le rseau et d'une longueur d'onde sur les liens utiliss. Un tel routage optique
prsuppose une certaine fonctionalit des n&uds de commutation. Nous prcisons
le type de commutateurs optiques retenu dans notre tude, en insistant sur sa
slectivit en longueur d'onde. Cette hypothse permet de commuter les chemins
optiques indpendamment les uns des autres, avec la contrainte que deux chemins
ne peuvent utiliser la mme longueur d'onde sur le mme lien. De plus, sans
conversion dans les n&uds de routage, la mme longueur d'onde doit tre utilise
tout le long d'un chemin optique.
4
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Dans la section 2.2, nous donnons les notions lmentaires de la thorie
des graphes ncessaires la modlisation des communications dans les rseaux
optiques, ainsi que la dnition de topologies particulires tudies par la suite.
Nous rappelons dans la section 2.3 quelques notions sur les problmes d'optimisation et les algorithmes d'approximation.
Nous formulons dans la section 2.4 les problmes d'optimisation tudis dans
le chapitre suivant et les annexes. Nous commenons par modliser un rseau
tout-optique par un graphe orient, la plupart du temps symtrique, puis nous
dnissons formellement d'une part le problme du routage optique, et d'autre
part celui de la charge. Ce dernier problme correspond au cas o+ la conversion
en longueur d'onde est possible. Dans les deux cas, l'objectif est de trouver un
ensemble R de chemins optiques pour un ensemble I de requtes de connexion
donn dans un graphe G donn, et de minimiser le nombre total de longueurs
d'onde utilises (l'optimal est not ~w(G I ) dans le premier cas, not ~(G I ) et
appel charge dans le second). Ces problmes de minimisation sont relis des
problmes de maximisation associs, pour lesquels il s'agit de trouver un ensemble de requtes ralisables de cardinalit maximale, tant donn un nombre de
longueurs d'onde x. Plus gnralement, tous ces problmes sont intrinsquement connects des problmes de routage disjoint et de multi,ot entier.
Nous terminons ce chapitre par la section 2.5 qui expose certains schmas
de communication tudis par la suite. Ce type de communications, dites structures, possde une rgularit qui permet une formalisation et une rsolution plus
aises, et peut se rvler intressant tudier dans la mesure o+ il se rapproche
des situations relles plus irrgulires.
Le chapitre 3 est une synthse des rsultats obtenus dans la littrature concernant principalement le problme du routage optique. Une version prliminaire
de cet tat de l'art avait t fournie dans -1]. Nous avons tent de prsenter les
apports les plus signicatifs selon notre point de vue, en esprant n'avoir oubli
aucune contribution importante. L'accent a t mis sur les rapports entre les
paramtres ~w et ~, c'est--dire sur les relations entre le problme du routage optique et celui de la charge, pour lequel il existait dj nombre de mthodes de
rsolution algorithmiques, de par son antriorit dans les domaines de la thorie
des graphes et de l'optimisation combinatoire.
Nous commenons dans la section 3.1 par donner des rsultats de complexit
montrant la dicult du problme tudi dans sa gnralit, cause de ses liens
troits avec les problmes de multi,ot entier et de coloration, connus comme
tant diciles. Nous mentionnons ensuite des bornes infrieures et suprieures
gnrales relatives certains paramtres des graphes. Nous poursuivons cette
approche en restreignant les instances de communication considres celles des
5
permutations, des k-relations, de la diusion, du multicast, puis de l'change
total. Dans la section 3.2, nous en venons considrer des topologies de rseaux
particulires, que sont les arbres, les cycles et les grilles, dont il est gnralement
plus facile d'exploiter les proprits structurelles.
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La conclusion prsente des perspectives de nouveaux axes de recherche sur les
communications optiques, qu'il semble d'ores et dj intressant d'approfondir
au vu de l'volution de la technologie et de son application eective. Le reste de
la thse est constitue des annexes qui rassemblent les articles publis, dans le
format des rapports de recherche.
L'annexe A correspond l'article -2] et prsente un algorithme polynmial
pour rsoudre de faon optimale le problme du routage optique pour les instances
de multicast dans les graphes orients, avec un nombre de longueurs d'onde gal
la charge (~w = ~). Une consquence de ce rsultat, comme d'autres qui suivent,
est que la conversion des longueurs d'onde n'est pas utile pour router optiquement
ce type de communications. La particularit du multicast, qui possde une source
unique pour toutes les requtes de connexion, a permis de ramener la rsolution
du problme celle d'un ,ot entier simple dans un rseau associ, pour lequel
une mthode optimale est connue. Un argument de coupe permet de relier cette
optimalit celle de la charge.
L'annexe B correspond l'article -3] et donne des mthodes constructives
optimales (ou quasi-optimales) pour router optiquement l'instance de l'change
total dans diverses topologies rgulires : les grilles toriques carres multi-dimensionnelles, les grilles simples associes, et les sommes cartsiennes de graphes
complets. La structure rgulire de ces rseaux a permis une rsolution de type
algbrique. Ici encore nous avons montr l'galit entre les paramtres ~w et ~.
L'annexe C correspond l'article -4] et montre, encore une fois, que le problme du routage optique se rsout aussi bien que le problme de la charge pour
l'change total, cette fois-ci pour une classe de rseaux trs utilise dans les tlcommunications, celle des arbres de cycles. Ce rsultat possde en plus l'avantage
de voir la dnition de l'change total gnralise un rseau dont les n&uds sont
pondrs, ce qui permet de considrer un trac non uniforme dpendant du produit des poids des couples de n&uds communiquant.
L'annexe D correspond l'article -5] qui tudie une modlisation des communications dirente de celle aborde jusqu' prsent. Cette tude concernant
la diusion est valable aussi pour tous les modles de rseaux d'interconnexion
utilisant le mode de la commutation de circuit. L'hypothse de travail est la
ralisation d'une instance de requtes en plusieurs tapes successives. Dans le
cadre des rseaux optiques, une telle contrainte survient lorsqu'il n'est pas pos6
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sible de raliser l'instance donne en une seule tape, par exemple cause d'un
nombre de longueurs d'onde insusant. On parle alors de rseaux multihop. Le
cot d'un protocole ralisant un ensemble de requtes peut alors tre exprim
comme la somme des cots des direntes tapes eectues pour les satisfaire.
Le cot d'une tape de communication est suppos dpendre de manire ane
de la quantit d'information transmise, c'est--dire compos d'un cot xe et
d'un cot de transmission. Dans ce contexte, nous fournissons des protocoles
de diusion pour le graphe complet et nous obtenons des bornes infrieures correspondantes trs nes, qui restent valables dans toute topologie. Il est ainsi
observ une dcroissance exponentielle du cot global de transmission lorsqu'un
petit nombre d'tapes est ajout par rapport au minimum, et une dcroissance
linaire pour un trs grand nombre d'tapes supplmentaires.
L'annexe E correspond l'article -6] et met en application pour les rseaux
optiques WDM les rsultats obtenus dans l'annexe prcdente. Sa lecture se suft cependant elle-mme. Nous obtenons, sous un modle de cot ane, des
familles de protocoles quasi-optimaux pour la diusion dans des rseaux optiques
multihop, qui sont des cycles et des grilles toriques bidimensionnelles. Ces algorithmes exploitent le gain de connectivit fourni par le routage optique, de
manire transposer l'tude prcdente relative au graphe complet, et apportent
des performances signicatives par rapport la diusion classique sur un arbre
couvrant.
Pour terminer, nous prsentons dans l'annexe F, qui correspond l'article -7],
des rsultats issus d'une collaboration avec la socit Alcatel Space Industries et
qui sortent du cadre de l'tude des rseaux optiques. Ces travaux ont t motivs
par la conception de rseaux de permutation tolrants aux pannes et destins tre embarqus dans des satellites de tlcommunications. Le problme gnral
consiste minimiser le nombre de commutateurs utiliss, cause de leur cot
prohibitif, pour raliser un rseau de permutation rarrangeable. Nous avons
ainsi gnralis la famille des rseaux de Waksman qui tait dnie et dmontre
valide seulement pour les puissances de deux. Nous avons galement considr le
cas d'un blocage quelconque de commutateur et fourni une construction pour le
tolrer.
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Bibliographie
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-1] B. Beauquier, J-C. Bermond, L. Gargano, P. Hell, S. Prennes et
U. Vaccaro. Graph problems arising from wavelength-routing in all-optical
networks. In Proc. of IPPS'97, 2nd Workshop on Optics and Computer Science (WOCS'97), Geneva, Switzerland, avril 1997. IEEE Press.
-2] B. Beauquier, P. Hell et S. Prennes. Optimal wavelength-routed multicasting.
Discrete Applied Mathematics (Elsevier Science), 84:15$20, 1998. Editors'
Choice 1998.
-3] B. Beauquier. All-to-all communication in some wavelength-routed all-optical
networks. Networks (Wiley-Interscience), 33(3):179$187, mai 1999.
-4] B. Beauquier, S. Prennes et D. T%th. All-to-all routing and coloring in
weighted trees of rings. In Proc. of the 11th ACM Symposium on Parallel
Algorithms and Architectures (SPAA), pages 185$190, Saint-Malo, France,
juin 1999. ACM Press.
-5] B. Beauquier, O. Delmas et S. Prennes. Tight bounds for broadcasting in
the linear cost model. Rapport de recherche Sloop, novembre 1999. En cours
de dpt.
-6] B. Beauquier. Broadcasting in WDM optical rings and tori. In D-Z. Du
P-J. Wan and P.M. Pardalos, editors, Proc. the DIMACS Workshop : "Multichannel Optical Networks : Theory and Practice", volume 46 of DIMACS
Series on Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, pages 63$
73, Rutgers University, NJ, mars 1998. American Mathematical Society.
-7] B. Beauquier and E. Darrot. Arbitrary size Waksman networks and their
vulnerability. Soumis Parallel Processing Letters (World Scientic). Version
tendue de l'article paru dans Actes des 1res Rencontres Francophones sur les
Aspects Algorithmiques des Tlcommunications (AlgoTel'99), pages 95$100,
Rosco, France, mai 1999.
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CHAPITRE 1
La technologie optique pour les
tlcommunications
1.1 Aperu historique
Les premires liaisons servant communiquer entre les continents furent les c'bles
tlgraphiques, installs sous la mer depuis l'poque de la guerre de Scession.
Les c'bles coaxiaux leur ont succd pour acheminer les conversations tlphoniques. Le premier c'ble coaxial traversant l'Atlantique fut pos en 1955 et correspondait 48 lignes tlphoniques. Depuis, quel chemin parcouru gr'ce aux bres
optiques ! Une seule paire de ces minces et longs ls de verre, qui propagent
l'information sous forme d'impulsions de lumire, transmet simultanment prs
d'un demi-million de communications tlphoniques d'un continent l'autre.
L'ide de fabriquer des bres en verre de silice susamment pur pour transporter la lumire sur de grandes distances a fait son chemin ds la n des
annes 1960. Le principe simpli est le suivant : la lumire envoye dans le
c&ur de la bre se r,chit sur ses parois, ce qui permet de guider le faisceau
lumineux le long de la bre, malgr sa courbure.
La concrtisation de cette ide a pris du temps. Il a fallu des innovations
technologiques successives touchant la fois le support matriel et la manire
d'y faire circuler l'information. Il a fallu en particulier dvelopper des sources
laser miniatures (diodes laser) et des dispositifs de rception (photodiodes), ainsi
que l'lectronique numrique des circuits intgrs. Aussi, pour les communications longue distance, les liaisons radio par satellite sont longtemps restes les
plus utilises et elles n'ont cd le pas devant les c'bles optiques qu' la n des
annes 1980. Mais aujourd'hui, l'essentiel des communications intercontinentales
passe par des c'bles optiques sous-marins dposs sur le fond des ocans, qui
tissent une vritable toile sur la plante. Les bres optiques ont ainsi complte11
ment remplac les c'bles coaxiaux. Pour l'utilisateur, un signe tangible de cette
mutation a t la disparition, en 1988, du temps mort de 0,4 seconde, d la
liaison vers le satellite relais.
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En quoi rside l'intrt des liaisons optiques et quelle est la technologie ncessaire leur utilisation ? Rappelons d'abord les principaux lments d'une liaison
optique. Elle comprend une source de lumire laser, qui est une diode laser semblable celle des lecteurs de disques compacts, fonctionnant prs de l'infrarouge
( des longueurs d'onde allant de 1,2 1,6 m). La lumire mise est module par un transmetteur, systme command par le signal lectrique qui apporte
l'information. Ces impulsions lumineuses sont envoyes dans la bre et rcupres
l'autre extrmit par un rcepteur (une photodiode) qui reconvertit le signal
optique en signal lectrique, lequel est enn transform en son, image ou texte,
dans le tlphone, la tlvision ou l'cran d'ordinateur.
Comme dans tout systme de communication numrique, l'information est
code sous la forme d'une succession de bits (de binary digit, pour dsigner 0
ou 1). Dans une bre optique, les bits sont achemins physiquement par une
onde lumineuse dont on module l'intensit : le temps est divis en crneaux de
mme dure, pendant lesquels le bit 1 est cod par une impulsion lumineuse et
le bit 0 par une absence de lumire, comme pour la lecture des disques laser
compacts.
Le tlphone standard fonctionne 64 kilobits (64 mille bits) par seconde,
la future tlvision numrique quelque 100 mgabits (cent millions de bits)
par seconde. Dans les communications numriques haut dbit, on compte
maintenant en gigabits par seconde (Gbit/s), soit un milliard de bits transmis
par seconde sous forme d'impulsions lumineuses. Pour donner une ide, 1 Gbit/s
reprsente environ quinze mille conversations tlphoniques simultanes.
Pourquoi le dbit est-il limit ? N'oublions pas que les impulsions constituant
les signaux sont dcoupes dans une onde lumineuse. Ce dcoupage n'a de sens
que si chaque crneau contient au moins une priode de l'onde. Plus formellement,
la thorie des communications nous dit que le nombre d'informations transmises
par seconde ne peut excder la frquence de l'onde porteuse (soit au plus un bit
par priode de l'onde). Cette proprit montre l'intrt d'utiliser des signaux
optiques, dont les frquences vont de 1014 1015 Hertz (Hz), plutt que les ondes
radio de frquences plus faibles (de l'ordre de 105 1011 Hz).
Un dbit suprieur n'est pas le seul avantage de la lumire. Les bres optiques
prsentent des pertes bien moindres que les c'bles en cuivre utiliss pour les
transmissions lectriques, jusqu' certaines distances. Prenons un exemple : pour
des dbits de 1 Gbit/s, la frquence de l'onde porteuse doit tre au moins de
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l'ordre du gigahertz (109 Hz). Or dans cette gamme, un c'ble coaxial perd
99 9% de l'nergie sur 1 kilomtre, et plus encore aux frquences plus leves.
Ce support ne sied que pour des signaux de plus basse frquence (1-100 MHz),
donc de faibles dbits. l'inverse, les bres de verre prsentent la frquence
de 2 1014 Hz une transmission de 95% par kilomtre, ce qui autorise une trs
longue porte. L'ampleur et la rapidit des progrs apparaissent clairement quand
on sait que la premire bre dveloppe par la socit Corning en 1970 perdait
galement 99% de la lumire au bout d'un kilomtre seulement, comparer avec
la mme perte pour 100 kilomtres actuellement.
En dpit de ces performances remarquables, le signal nit par s'aaiblir aprs
une certaine distance et se rapproche trop du bruit de fond des dtecteurs. Audessous d'un certain seuil d'nergie, le rcepteur devient incapable de distinguer
les bits sans ambigu1t. Les standards habituels des tlcommunications imposent un maximum d'une erreur par milliard de bits reus, et cela correspond
grossirement 500 photons par bit. Dans les communications fort dbit, on
atteint vite cette limite. La puissance optique d'une diode laser est de quelques
milliwatts, ce qui reprsente quelque 1016 photons par seconde. un taux de
transmission de 1 Gbit/s, il y a donc 107 photons par bit. On calcule facilement
qu'avec une transparence de 95% par kilomtre, le seuil de 500 photons par bit
est franchi au bout d'environ 200 kilomtres.
Pour tendre la porte des liaisons sur plusieurs centaines de kilomtres sans
dgrader le taux d'erreur, il sut de maintenir le nombre de photons par bit
au-dessus de la valeur fatidique au moyen de dispositifs qui regnrent le signal
aaibli. Des )rpteurs* optolectroniques sont arrivs sur le march ds les annes 1980. Ils comportent une photodiode (puce en matriau semi-conducteur
mise sous tension) qui convertit le signal optique en signal lectrique, un amplicateur, une bascule lectronique qui identie les bits, et nalement une diode
laser commande par le signal lectrique rsultant pour la conversion inverse.
C'est en 1988 que le tout premier systme de ce type a t install entre
la France, l'Angleterre et les tats-Unis. Il est constitu d'un c'ble sous-marin
d'une longueur de 7 500 km, dot d'environ 110 rpteurs placs tous les 70 km,
et il opre 0 28 Gbits/s, soit l'quivalent de quarante mille lignes tlphoniques.
Mais pour les distances transocaniques, le dbit maximal de ce type de liaisons
avec rpteurs optolectroniques tait limit non par la bre elle-mme, mais
par la rapidit de l'lectronique. En eet, des frquences de fonctionnement
suprieures au gigahertz, les circuits lectroniques deviennent coteux et leur
abilit diminue.
Cet obstacle a t contourn la n des annes 1980 gr'ce l'apparition rvolutionnaire des amplicateurs optiques bre de verre dope l'erbium -Gla93,
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Des94]. Un dveloppement qui fut rapidement suivi en 1995 par leur mise en service dans le domaine des c'bles sous-marins. Un amplicateur optique fonctionne
sur le principe de l'mission stimule comme un laser. Les atomes d'erbium contenus dans la bre sont excits par une diode laser auxiliaire qui les porte vers
un tat d'nergie suprieur, nergie qu'ils peuvent cder en retour pour amplier
le signal aaibli passant dans la bre. Le signal optique voit ainsi sa puissance
multiplie par un facteur allant de 100 10 000.
Dans les tlcommunications optiques, l'intrt d'utiliser de tels amplicateurs optiques plutt qu'lectroniques est norme. Tout d'abord, ils se raccordent par simple soudure aux bres de transmission. Mais surtout, ils vitent les
conversions optolectroniques eectues par les rpteurs et donc la limitation du
dbit associe ces derniers. La gamme de frquences qu'accepte l'amplicateur
optique s'tend sur plusieurs traHertz (1 THz = mille milliards de Hertz), ce qui
englobe trs largement le signal amplier. Autre proprit, dont nous verrons
l'intrt par la suite : plusieurs canaux optiques de longueurs d'onde direntes
peuvent tre amplis simultanment.
En sus du pompage ecace par diode laser, la bre dope l'erbium possde deux qualits supplmentaires. D'abord, le gain - c'est--dire le rapport
d'amplication - est trs peu sensible la polarisation du signal incident (la polarisation caractrise la direction dans laquelle vibre le champ lectrique associ l'onde lumineuse). C'est un atout essentiel, car l'tat de polarisation des signaux
se modie de faon alatoire au fur et mesure qu'ils se propagent dans la bre.
Ensuite, l'amplicateur ne dforme pas les signaux, il les amplie l'identique
(y compris le bruit engendr par l'mission spontane qui peut tre limit par
le placement d'un ltre optique en sortie). Cette proprit subsiste dans des
conditions de fonctionnement extrmes. Par exemple, avec une puissance d'entre
trop leve, le gain diminue mais le signal ne subit pas de distorsion, contrairement
au cas des amplicateurs lectroniques.
Aux trois gros atouts de l'amplicateur bre dope l'erbium (pompage
ecace, insensibilit la polarisation, absence de distorsion) s'ajoutent la compatibilit avec les bres standards, la faiblesse des pertes d'nergie dans les connexions, le bruit minimal, l'insensibilit la temprature. Selon les applications,
la plage de gain exploitable autour de la longueur d'onde 1 5 m s'tale sur 100
3 000 GHz.
La course vers les hauts dbits a galement bnci du dveloppement des
techniques optiques de multiplexage et de commutation. Le multiplexage
consiste transporter sur un mme support physique plusieurs signaux. La commutation est une opration de routage au niveau du rseau global qui permet
d'acheminer les signaux de chaque metteur vers chaque destinataire.
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Le multiplexage dit temporel demeure trs utilis. Il consiste imbriquer
temporellement les dirents ,ots d'information en trames successives. On peut
raliser lectroniquement les fonctions de multiplexage/dmultiplexage temporels
avec des circuits intgrs ultra-rapides (40 Gbits/s en laboratoire). Toutefois, le
cot prohibitif de ces circuits pour les trs hauts dbits suggre d'eectuer le
multiplexage temporel par des moyens purement optiques, une voie actuellement
explore.
Dans les gnrations de c'bles optiques en dveloppement, l'accroissement
du dbit est assur par une technique qui se superpose la premire : le multiplexage en longueur d'onde, connu sous l'appellation anglaise WDM (WavelengthDivision Multiplexing). Celui-ci consiste envoyer plusieurs signaux de longueurs
d'onde direntes simultanment dans la mme bre optique. Multiplexage et
dmultiplexage en longueur d'onde sont eectus par des composants optiques
passifs, de faon similaire la dcomposition et recomposition des couleurs de
l'arc-en-ciel par un prisme. La technique WDM ouvre galement des perspectives
de routage optique dans les rseaux. Les communications peuvent tre ainsi
aiguilles dans telle ou telle direction suivant leur longueur d'onde.
Deux questions majeures se posent : quelle est la porte maximale des liaisons
amplies ? Jusqu' quel dbit d'information peut-on aller ? Car lorsqu'on
atteint des dbits de plus de 10 Gbits/s sur des milliers de kilomtres, d'autres
dicults majeures d'ordre physique se font jour, en particulier la dispersion chromatique et les eets non-linaires (variation de la vitesse de propagation lie la
longueur d'onde d'une part, lie l'intensit d'autre part). Le soliton (impulsion
trs brve, cf. -LT76]) permet d'chapper ce dilemme en conjuguant idalement
les deux types de dispersion de manire les neutraliser, ceci en calculant judicieusement son intensit et sa longueur d'onde. Le soliton excite l'imagination
des ingnieurs du monde des tlcommunications. Mais son utilisation suppose
certains dveloppements techniques pointus, relatifs aux dispositifs d'mission et
au ltrage en rception.
Les techniques progressant continuellement, il est hasardeux de faire un
pronostic sur les capacits ultimes des systmes de communication optiques.
chaque record de transmission, de nouveaux eets limitants sont dcouverts, et
de nouvelles parades mises en &uvre pour chacun. Il n'en reste pas moins que les
dbits faramineux de l'ordre du Tbits/s dj dmontrs en laboratoire, quivalent
plusieurs dizaines millions de connexions tlphoniques simultanes dans une
seule bre. De tels dbits ouvrent des perspectives pratiquement illimites aux
)autoroutes de l'information*.
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1.2 Systmes de transmission optiques
Un systme de transmission optique lmentaire est constitu de trois parties,
comme il est montr sur la gure 1.1 : un metteur, une bre optique et un
rcepteur. Comme plusieurs livres excellents traitent en dtails des systmes
de transmission optiques, par exemple -JJ96, Gre93, Agr92, vEvdP91], nous ne
dcrivons dans cette section que les concepts de base.
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émetteur
optique
fibre
optique
récepteur
optique
Figure 1.1: Systme de transmission optique lmentaire.
1.2.1 Fibre optique
La bre optique possde un grand nombre de proprits remarquables qui en
font un support physique excellent pour les tlcommunications. La qualit d'un
milieu physique pour la transmission de signaux se fonde sur deux principaux
facteurs qui sont l'attnuation et la dispersion.
Attnuation
L'attnuation reprsente la rduction de la puissance du signal au cours de sa
propagation. Ce facteur est dterminant pour connatre la distance maximale que
peut parcourir un signal, tant donnes la puissance d'mission et la sensibilit
en rception.
Notons P (D) la puissance de l'impulsion lumineuse dans une bre optique
la distance de D km de l'metteur, Pr la sensibilit du rcepteur (puissance
minimale requise pour dtecter le signal) et A le facteur d'attnuation de la bre.
D'aprs -Hen85], l'attnuation est caractrise par
P (D) = 10;AD=10 P (0)
Pour une longueur de bre de D km, la puissance P (D) doit tre au moins gale
la sensibilit Pr , d'o+ nous dduisons
P (0)
Dmax = 10
log10
A
Pr
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La distance maximale entre l'metteur et le rcepteur (ou entre les amplicateurs) dpend donc bien davantage du facteur d'attnuation que de la puissance
d'mission ou de la sensibilit en rception.
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La gure 1.2(a) montre une courbe typique de l'attnuation (exprime en
dcibels par kilomtre (dB/km)) de la puissance du signal lumineux en fonction
de sa longueur d'onde (exprime en m) dans une bre optique utilise en rgime
monomode. La bande passante spectrale est d'environ 25 terahertz (THz) autour
de la longueur d'onde 1.3 m pour une attnuation infrieure 0.5 dB/km, et
d'autant autour de la longueur d'onde 1.5 m pour une attnuation infrieure 0.2 dB/km. Ces valeurs sont deux ordres de grandeur plus faibles en attnuation
et quatre ordres de grandeur plus levs en bande passante que celles des c'bles
coaxiaux.
Figure 1.2: Courbes typiques de l'attnuation (a) et de la dispersion (b) en
fonction de la longueur d'onde pour une bre optique en mode simple.
Dispersion
La dispersion reprsente la dpendance de la constante de propagation par rapport la frquence. Elle permet de calculer l'largissement de la dure des impulsions au cours de leur propagation. Pour des signaux lumineux, on parle de
dispersion chromatique, ce phnomne tant responsable de la dcomposition
de la lumire blanche par un prisme de verre.
En eet, la vitesse de propagation de la lumire dans la matire transparente,
dnie par l'indice de rfraction optique, est fonction de la longueur d'onde. Or
une impulsion lumineuse dans une bre optique n'est pas parfaitement monochromatique, puisqu'un laser ne transmet pas sur une frquence unique, et puisqu'un
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signal transportant de l'information a une largeur spectrale non nulle. Par consquent, les direntes longueurs d'onde constituant le signal lumineux vont se
propager des vitesses direntes, ce qui entraine l'largissement temporel des
impulsions qui peuvent alors se chevaucher, provoquant des erreurs la dtection. En outre, plus une impulsion est brve, plus sa gamme de frquences est
tendue. Aussi la dispersion chromatique est un facteur d'autant plus limitatif
que les dbits sont levs, car les impulsions sont alors trs brves et proches les
unes des autres dans le temps.
La gure 1.2(b) montre une courbe typique de la dispersion chromatique (exprime en picosecondes par nanomtre par kilomtre (ps/(nm.km))) du signal
lumineux par rapport sa longueur d'onde (exprime en m) dans une bre
optique standard (G.652) utilise en mode simple. La dispersion est quasiment
nulle autour de la longueur d'onde 1.3 m et conserve des valeurs faibles autour
de la longueur d'onde 1.5 m. Par chance, la bre optique combine donc dans
les mmes zones de frquences ses trs bonnes performances en dispersion et en
attnuation.
1.2.2 metteurs optiques
Dans un systme de transmission optique, un metteur a deux fonctions primordiales : la gnration d'un signal optique et la modulation de ce signal par
l'information mettre (voir Figure 1.1). Une qualit supplmentaire trs utile
d'un metteur optique est sa capacit d'tre accordable en frquence.
Principe du laser
Le mot laser est l'acronyme de Light Amplication by Stimulated Emission of
Radiation, signiant littralement )amplication de lumire par mission stimule
de rayonnement*. Le but est de produire un faisceau trs intense de lumire
cohrente monochromatique.
Pour comprendre le principe du laser et de l'mission stimule, nous devons
rappeler quelques notions sur les niveaux d'nergie des particules lmentaires.
Un atome est dit stable lorsque ses lectrons sont dans les niveaux d'nergie les
plus faibles. Pour chaque type d'atome, les lectrons ont un nombre ni de
niveaux d'nergie possibles, appels tats. Lorsqu'un atome absorbe de l'nergie,
ces lectrons sont ports dans des tats d'nergie plus levs. L'atome devient
alors instable et gnralement il retourne dans un tat infrieur rapidement en
librant un photon. Cependant, certaines molcules sont dites mtastables car
elles peuvent demeurer dans un tat excit plus longtemps. Cette proprit
permet l'mission stimule comme nous allons le voir immdiatement.
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La gure 1.3 montre une reprsentation schmatique de la structure d'un
laser. Il est constitu de deux miroirs qui forment une cavit contenant une
substance quasi-stable. L'excitation des lectrons de cette substance par apport
d'nergie (par exemple par un courant lectrique) provoque dans un premier
temps l'mission de photons, qui vont ensuite se r,chir sur les miroirs aux
extrmits de la cavit.
Excitation
Miroir
Miroir
Faisceau
LASER
Milieu excité
réfléchissant
Cavité
semi-réfléchissant
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Figure 1.3: La structure gnrale d'un laser.
L'mission stimule se produit lorsqu'un photon rencontre un lectron excit.
Cette probabilit est d'autant plus forte dans un milieu quasi-stable, puisque
les lectrons excits peuvent y devenir majoritaires si susamment d'nergie est
apporte. L'lectron peut alors retourner dans un tat infrieur et librer son
nergie sous la forme d'un autre photon qui possde la mme direction et la
mme cohrence que le photon stimulant. Si la longueur de la cavit est multiple
entier de la demi-longueur d'onde des photons, ceux-ci vont pouvoir se combiner
de faon cohrente et se dupliquer, de manire produire un faisceau de plus en
plus intense une frquence prcise. Ce faisceau laser est rcupr en utilisant
un miroir semi-r,chissant l'une des extrmits de la cavit, et sa frquence
peut tre ajuste en modiant la taille de la cavit. On peut galement accorder
un laser plus rapidement en modiant l'indice optique du milieu excit.
Modulation
La modulation est le procd qui permet au laser de transmettre de l'information
dans une bre optique, en faisant varier certaines caractristiques du signal
lumineux mis, en particulier son amplitude, sa frquence ou sa phase. La
frquence de modulation dtermine le dbit de donnes qui peut tre transmis. On parle de modulation directe ou externe, selon que le laser lui-mme
ou un composant extrieur (modulateur) fait varier le signal.
Une tude dtaille de la modulation directe peut tre trouve dans -Pet88].
Les lasers semi-conducteurs permettent des frquences de modulation directe
jusqu' quelques dizaines de gigahertz, mais cette modulation est limite en pratique par des eets de dispersion. Pour des dbits suprieurs quelques gigabits
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par seconde, la modulation externe est prfrable, notamment l'aide de modulateurs par lectro-absorption (voir -Woo88] pour une prsentation exhaustive).
Accordabilit
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Il existe plusieurs techniques pour accorder dynamiquement la longueur d'onde
d'mission des signaux laser. Les deux paramtres importants sont le temps de
rglage sur une frquence donne et la largeur de la bande de frquences accessible.
Sans entrer dans les dtails techniques, nous donnons dans le tableau 1.1 les performances actuelles, susceptibles d'voluer, des dirents metteurs laser accordables communment utiliss -Bra90, Muk92]. Notons l'existence d'un compromis
entre les deux paramtres d'accordabilit.
Laser accordable Bande de frquences (nm) Temps de rglage
Mcanique
500
1$10 ms
Acousto-optique
83
10 s
Electro-optique
7
1$10 ns (estim)
Injection DBR1
10
1$10 ns
Tableau 1.1: Caractristiques des metteurs laser.
1.2.3 Rcepteurs optiques
La fonction d'un rcepteur dans un systme de transmission optique est de
dtecter et de dmoduler un signal lumineux transmis sur une bre.
La dtection consiste en la conversion du signal optique en signal lectrique. La dmodulation est gnralement accomplie ensuite par les techniques
habituelles des systmes de transmission lectriques.
Dtection
Deux techniques de dtection sont utilises. La dtection directe est ralise par
une diode photo-sensible qui convertit un ,ot de photons en un ,ot d'lectrons.
Le courant lectrique rsultant est ensuite ampli puis soumis un test de seuil
pour dterminer si l'information logique correspondante est un bit 0 ou 1.
Une alternative est la dtection cohrente qui utilise un laser auxiliaire
comme oscillateur local. Une photodiode reoit alors un signal issu de la combinaison des deux signaux laser, qui est plus facile dtecter et qui est compatible
avec les trois types de modulation (en amplitude, frquence et phase). Ce systme
1
recteur de Bragg distribu (Distributed Bragg Reector).
20
est nanmoins plus complexe et beaucoup plus coteux. L'avantage de la dtection cohrente est la rception de signaux faibles, rendue dicile par le bruit
de fond, l'inconvnient tant sa complexit de mise en place. Nous renvoyons
-Agr92, LG88] pour davantage d'information sur la dtection cohrente.
Accordabilit
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Comme les metteurs laser, les rcepteurs optiques sont susceptibles d'tre accordables en frquence de rception. Une documentation sur les direntes technologies peut tre trouve dans -Gre93] et -Bra90]. Le tableau 1.2 donne les
caractristiques des rcepteurs accordables communment utiliss, en termes de
bande de frquences et de temps de rglage. Ici encore, les deux paramtres de
rglage sont inversement proportionnels.
Rcepteur accordable Bande de frquences (nm) Temps de rglage
Fabry-Perot
500
1$10 ms
Acousto-optique
250
10 s
Electro-optique
16
1$10 ns
Tableau 1.2: Caractristiques des rcepteurs optiques.
1.2.4 Amplicateurs optiques
Bien que la gure 1.1 ne mentionne pas la prsence d'amplicateurs dans un
systme de transmission optique lmentaire, ceux-ci sont ncessaires lorsque les
signaux optiques parcourent de longues distances dans la bre optique, cause
du phnomne d'attnuation. Ils sont galement utiles dans les rseaux optiques
locaux pour restaurer la qualit des signaux aecte par la dispersion et le bruit.
Les deux principaux paramtres qui dterminent la qualit d'un amplicateur
optique sont : le gain, exprim en dcibels (dB), qui mesure le rapport entre la
puissance du signal entrant et celle du signal sortant, et la largeur de bande
des frquences ampliables. Notons que les amplicateurs peuvent tre galement
caractriss par leur gain ecace, exprim en dcibels par milliwatt (dB/mW),
qui mesure le rapport entre le gain et la puissance utilise pour l'amplication.
L'amplication optique repose sur le principe de l'mission stimule, comme
pour les metteurs laser. Les deux grands types de composants sont les amplicateurs semi-conducteur et les amplicateurs bre dope. Une
prsentation gnrale des amplicateurs optiques se trouve dans -O'M93].
21
Les amplicateurs semi-conducteur sont constitus d'un laser semi-conducteur, modi en supprimant la cavit rsonante. Le signal lumineux d'entre
traverse la rgion active du semi-conducteur qui, par mission stimule, l'amplie.
Les amplicateurs bre dope sont composs d'une pompe laser, d'un
coupleur, d'une portion de bre dope avec des ions de terre rare, et d'un
ltre, comme il est reprsent sur la gure 1.4. La pompe laser met un signal
puissant qui excite les ions dopants, an que le signal transmettant les donnes
puisse agir sur les ions excits par le principe de l'mission stimule. Le bruit
engendr par l'mission spontane peut tre limit par le placement d'un ltre
optique en sortie.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
signal
original
coupleur
fibre dopée
filtre
signal
amplifié
pompe
laser
Figure 1.4: Amplicateur bre dope.
L'lment dopant de terre rare le plus utilis est l'erbium, qui permet d'amplier les longueurs d'onde entre 1525 nm et 1560 nm. Les amplicateurs bre
dope l'erbium (AFDE) ont des gains de l'ordre de 25 dB, et mme 51 dB
exprimentalement. Les gains ecaces varient entre 5 et 10 dB/mW. La puissance
requise de ces pompes laser reste donc trs faible, quoique suprieure celle des
autres lasers d'mission (250 mW contre 1 2 mW).
Pour amplier les signaux autour de la longueur d'onde 1300 nm, les amplicateurs bre ,uore dope au praseodymium (AFFDP) ont rcemment
retenu l'attention des chercheurs. Les derniers dveloppements sont prsents
dans -Whi95].
Amplicateur
Frquences Largeur de bande Gain
Semi-conducteur
Toutes
40 nm
25 dB
AFDE
1525$1560 nm
35 nm
25$51 dB
AFFDP
1280$1330 nm
50 nm
20$40 dB
Tableau 1.3: Caractristiques des amplicateurs optiques.
22
1.3 Multiplexage optique
Cette partie rpond la question de savoir comment exploiter les dizaines de
trahertz de bande passante spectrale disponibles dans la bre optique. La technique gnrale utilise est le multiplexage dans le domaine optique, ce qui signie
que la capacit de la bre est divise par des moyens optiques en plusieurs canaux
accessibles individuellement et indpendamment.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
La division de la bande passante en canaux peut tre ralise, comme en
lectronique, dans la dimension temporelle ou dans la dimension des frquences
(ou longueurs d'onde). Dans le premier cas, on parle de multiplexage temporel (Time-Division Multiplexing, TDM) et dans le second de multiplexage en
longueur d'onde (Wavelength-Division Multiplexing, WDM).
1.3.1 Multiplexage temporel (TDM)
Le multiplexage TDM consiste imbriquer temporellement dirents canaux de
communication en trames successives. Si l'on se reprsente un ,ot d'information
par les dents d'un peigne, le multiplexage temporel revient superposer les
peignes des dirents canaux en les dcalant les uns par rapport aux autres (voir
gure 1.5). Cela ncessite une synchronisation prcise. la rception, chaque
canal temporel est dmultiplex puis achemin vers sa destination. On peut
raliser lectroniquement les fonctions de multiplexage/dmultiplexage temporels
avec des circuits intgrs ultra-rapides (40 Gbits/s en laboratoire). Toutefois, le
cot prohibitif de ces circuits pour les trs hauts dbits suggre d'eectuer le
multiplexage temporel par des moyens purement optiques, une voie actuellement
explore.
t
t
fréquence
temps
t
t
t
t
multiplexeur
électronique
laser
filtre démultiplexeur
électronique
émetteurs
electroniques
récepteurs
électroniques
Figure 1.5: Multiplexage temporel (TDM).
23
1.3.2 Multiplexage en longueur d'onde (WDM)
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Le multiplexage en longueur d'onde (Wavelength-Division Multiplexing, WDM)
est une technique de multiplexage qui peut se superposer la prcdente. Le
principe est le mme que celui du multiplexage en frquences (Frequency-Division
Multiplexing, FDM) dans les transmissions lectriques. Plusieurs signaux sont
gnrs simultanment sur des frquences optiques (ou longueurs d'onde)
direntes et peuvent tre moduls individuellement.
Le multiplexage WDM est une approche qui permet de grer l'importante
discordance opto-lectronique en termes de bande passante. Le spectre optique
d'une bre est dcoup en un certain nombre d'intervalles de longueurs d'onde
(ou frquences) distincts, dans les rgions de faible attnuation (voir gure 1.2),
de telle sorte que chaque intervalle supporte un canal de communication transmettant au dbit dsir, par exemple celui de l'lectronique. Ainsi, en autorisant
la coexistence de plusieurs canaux WDM sur une mme bre, l'norme bande
passante optique peut tre exploite, en permettant aux quipements d'accder
au rseau au dbit de l'lectronique seulement.
Les canaux WDM sont accessibles par des metteurs laser rgls sur des
longueurs d'onde spciques. Le multiplexage et le dmultiplexage en longueur
d'onde sont eectus par des composants optiques passifs, de faon similaire la
dcomposition et recomposition des couleurs de l'arc-en-ciel par un prisme.
t
t
fréquence
temps
t
t
t
t
multiplexeur
optique
démultiplexeur
optique
transmetteurs
laser
filtres
optiques
Figure 1.6: Multiplexage en longueur d'onde (WDM).
Canaux WDM
Un facteur important dans la conception des rseaux optiques WDM est le nombre
de longueurs d'onde utilisables, qui est limit par la technologie des composants.
La bande passante de la bre optique, comme il est mentionn dans la
section 1.2.1, est limite par les rgions de faible attnuation autour des longueurs
24
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
d'onde 1.3 m et 1.5 m. Ces rgions ont une bande passante d'environ 25 THz
chacune. Cependant, les rseaux optiques ne vont pas pouvoir bncier de toute
cette largeur de bande en raison de la limitation des composants optiques et de
l'espacement des canaux WDM.
Les amplicateurs oprent sur des bandes de frquences de 35 nm 40 nm,
les metteurs laser rglables sur 10 nm, et les ltres rglables ne couvrent pas
toujours toute la gamme des frquences disponibles (16 nm pour les ltres lectrooptiques).
Par ailleurs, le nombre de canaux utilisables dpend fortement de leur
espacement. D'aprs -Bra90], l'espacement des canaux doit valoir au moins 6 fois
leur bande passante pour viter les interfrences. En supposant une ecacit en
modulation de 0.5 bps/Hz (ce qui signie qu'un bit est cod sur deux intervalles
de temps), il en rsulte un facteur 8 entre la bande des frquences utilises et le
dbit d'information qui va pouvoir circuler sur les canaux.
Un nombre lev de canaux fournit au rseau davantage de capacit, ainsi
qu'un cot plus lev des composants et une plus grande complexit des mcanismes de gestion.
1.3.3 Comparaison entre TDM et WDM
Au premier abord, on pourrait penser que les deux approches de multiplexage
optique TDM et WDM sont semblables. Elles le sont au niveau formel puisqu'elles
permettent la superposition sur le mme support physique de transmission de
plusieurs canaux de communication, identiables selon leur dcalage temporel
pour TDM et selon leur longueur d'onde pour WDM. Cependant, au niveau technologique l'approche TDM prsente des inconvnients signicatifs par rapport l'approche WDM.
En premier lieu, les canaux TDM ne sont pas transparents pour le dbit
de modulation ni pour le type de modulation. Ils sont uniquement modulables numriquement en amplitude et leur dbit est impos par le multiplexeur
temporel. l'inverse, chaque canal WDM peut tre modul individuellement,
numriquement ou analogiquement, en amplitude ou en phase. Le dbit de chaque
canal WDM peut en outre tre choisi arbitrairement, du moment que les signaux
ne se recouvrent pas spectralement. Il en rsulte une plus grande ,exibilit.
Une autre caractristique dsavantageuse du multiplexage optique TDM
provient du trs haut dbit du signal multiplex, qui rsulte de l'agrgation des
canaux entrelacs temporellement. Cette consquence inhrente au multiplexage
temporel constitue un inconvnient majeur pour les systmes de transmission
optiques, lorsque le signal multiplex se met couvrir des dizaines de gigahertz.
Le traitement lectronique constitue alors un frein aux oprations de multiplexage
25
et dmultiplexage temporels, alors que l'approche WDM eectue celles-ci optiquement et passivement. De plus, le phnomne de dispersion limite d'autant plus la
propagation du signal TDM multiplex que son dbit est important. Les dbits
moindres de chaque canal WDM permettent d'viter ce problme.
Enn, l'approche TDM soure d'un manque d'extensibilit. L'addition d'un
nouveau canal TDM ncessite une modication des dcalages temporels et une
resynchronisation de tous les canaux dj existants. Inversement, l'indpendance
des canaux WDM autorise la cration d'un nouveau canal simplement par l'ajout
d'un metteur laser et d'un ltre optique appropris, sans aecter les autres
canaux.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
En conclusion, l'approche WDM s'avre la technique de multiplexage prfrentielle pour les systmes de transmission optiques, en raison de la transparence,
de la ,exibilit et de l'extensibilit des canaux WDM.
1.4 Commutation optique
La plupart des rseaux actuels procdent lectroniquement au traitement des
donnes et utilisent la bre optique seulement comme un support de transmission.
Les oprations de commutation et de routage sont ralises en convertissant les
signaux optiques sous leur forme lectronique originelle. Il en rsulte une grande
,exibilit, cependant le dbit de l'lectronique n'est pas compatible avec l'norme
bande passante de la bre optique.
De plus, la conversion opto-lectronique introduit un dlai supplmentaire
dans le routage des ,ots d'information. Pour s'aranchir de ces limitations des
composants de commutation optiques ont t dvelopps, capables de traiter des
signaux optiques trs haut dbit sans conversion opto-lectronique.
Pour cette raison, les rseaux utilisant cette technologie de commutation sont
appels rseaux tout-optiques. Dans l'tat actuel, le contrle des fonctions de
commutation demeure cependant ralis de faon lectronique.
1.4.1 Gnrations de rseaux
Au vu de leur volution, on peut classier les rseaux de communication c'bls
en trois gnrations, selon le rle des bres optiques dans leur topologie. Cette
classication a t tablie dans -Gre91].
La premire gnration de rseaux ne fait aucune utilisation de la bre optique.
Les rseaux locaux traditionnels LAN (Local Area Network), comme Ethernet,
tombent dans cette catgorie, de mme que certains grands rseaux WAN (Wide
Area Network) comme ARPAnet. Ils ont t conus sur la base d'un milieu de
26
transmission en cuivre plus ou moins able. Une caractristique principale de ces
rseaux est le contrle en chaque n&ud des ,ots d'information an de raliser
leur commutation.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Dans la deuxime gnration de rseaux, les transmissions lectriques des
donnes sont remplaces par des systmes de transmission optiques. L'architecture traditionnelle des rseaux est cependant conserve. Les avantages immdiats
sont un dbit beaucoup plus lev, des distances de transmission plus grandes et
une abilit accrue. Il en a rsult l'mergence de rseaux mtropolitains MAN
(Metropolitan Area Network), ainsi que les premiers rseaux SONET (Synchronous Optical NETwork) et SDH (Synchronous Digital Hierarchy).
La troisime et dernire gnration de rseaux permet de proter pleinement
des proprits uniques de la transmission optique par bre. L'exceptionnelle
bande passante spectrale peut en eet tre exploite par la technique du multiplexage en longueur d'onde WDM que nous avons voque dans la section 1.3.2.
De plus, non seulement les fonctions d'mission et de rception sont ralises
par des composants optiques (diodes laser et photo-diodes), mais galement les
fonctions de commutation en chaque n&ud du rseau.
Pour cette raison, les rseaux de la troisime gnration sont appels rseaux
tout-optiques. Nous allons dcrire prsent les dirents composants optiques
de commutation qui sont l'origine de leur avnement.
1.4.2 Commutateurs optiques
Rpartiteur
Un rpartiteur (Fiber Optical Cross-Connect, F-OXC) permet d'eectuer une
fonction de commutation entre les bres d'entre et de sortie du routeur (voir
gure 1.7). C'est le plus lmentaire des commutateurs optiques et le moins
coteux en fabrication. Ce type d'quipements ne permet pas d'eectuer les
oprations de dmultiplexage sur les signaux entrants ni de multiplexage sur les
signaux sortants. C'est pourquoi le rpartiteur est dit insensible aux longueurs
d'onde. Les fonctions d'extraction et d'insertion de signaux avec le terminal
reli au routeur sont possibles, mais c'est alors l'ensemble des canaux WDM
multiplexs qui est extrait d'une bre d'entre ou insr dans une bre de sortie.
Multiplexeur insertion/extraction (MIE)
Un multiplexeur insertion/extraction (Optical Add/Drop Multiplexer, OADM)
permet d'extraire certains canaux WDM en transit sur une bre optique et d'en
insrer d'autres. Il est gnralement constitu d'un dmultiplexeur optique passif, de commutateurs 2 2 ddis aux direntes longueurs d'onde et d'un mul27
Fibres
d’entrée
Fibres
de sortie
Extraction
Insertion
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Figure 1.7: Rpartiteur (F-OXC).
tiplexeur optique passif, comme il est montr schmatiquement sur la gure 1.8.
Les tats des commutateurs intermdiaires contrls lectroniquement dterminent quels canaux WDM poursuivent leur chemin, lesquels sont extraits en vue
de leur rception locale et lesquels peuvent tre insrs aprs mission locale.
Figure 1.8: Multiplexeur insertion/extraction (MIE).
Le composant MIE peut tre gre directement sur une bre optique, ou
faire partie d'un n&ud de routage plus complexe. En particulier, associs avec
un rpartiteur, plusieurs MIE peuvent former un routeur MIE, comme il est
reprsent sur la gure 1.9.
28
Extraction
Insertion
Fibres
d’entrée
Fibres
de sortie
Extraction
Insertion
Figure 1.9: Rpartiteur avec MIE.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Brasseur
Un brasseur (Wavelength Routing Optical Cross-Connect, WR-OXC) est un composant de commutation slectif en longueur d'onde. Cela signie que chaque
canal WDM peut tre dirig vers une bre de sortie indpendamment des autres
canaux multiplexs sur la mme bre d'entre.
Démultiplexeurs
Commutateurs
Fibres
d’entrée
Multiplexeurs
Fibres
de sortie
Figure 1.10: Brasseur recongurable (WR-OXC).
La composition d'un brasseur est reprsente sur la gure 1.10. Une srie
de dmultiplexeurs situs aux extrmits des bres d'entre permet dans un
premier temps de dmultiplexer les signaux entrants et de diriger spatialement
chaque groupe de canaux WDM la mme longueur d'onde vers un commuta29
teur photonique particulier. Ces commutateurs sont contrls lectroniquement
et appliquent sur les groupes de canaux des fonctions de commutation indpendantes les unes des autres. Les canaux WDM sont enn remultiplexs sur chaque
bre de sortie.
Associ des multiplexeurs insertion/extraction, un brasseur possde une
capacit de routage plus tendue, puisqu'ainsi les canaux WDM peuvent tre
commuts, extraits ou insrs, comme il est reprsent sur la gure 1.11.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Fibres
d’entrée
Fibres
de sortie
Extraction
Insertion
Figure 1.11: Brasseur avec MIE.
1.4.3 Convertisseurs optiques
Les dirents composants optiques de commutation que nous venons de dcrire
imposent aux canaux WDM de respecter la contrainte de continuit en
longueur d'onde. En d'autres termes, les canaux commuts conservent en
sortie la longueur d'onde qu'ils possdent en entre. On peut s'aranchir de cette
contrainte et augmenter ainsi les capacits de routage optique par l'utilisation de
convertisseurs de longueur d'onde.
Les direntes techniques permettant la conversion de longueur d'onde ont t
classies et compares dans direntes tudes -DMJ+ 96, SI96, Wie96, Yoo96].
On peut distinguer deux grands types de technologies : la conversion optolectronique, pour laquelle le signal optique doit tre pralablement converti
en un signal lectrique, et la conversion tout-optique, pour laquelle le signal
demeure dans le domaine optique. Les techniques de conversion tout-optique
peuvent leur tour tre divises en celles bases sur les eets cohrents et celles
qui utilisent la modulation croise.
30
Conversion opto-lectronique
Dans la conversion de longueur d'onde opto-lectronique, le signal optique convertir doit d'abord tre traduit dans le domaine lectrique l'aide d'une photodiode (voir gure 1.12). Le ,ot lectronique rsultant est ensuite rinject, aprs
stockage ventuel dans une mmoire tampon, sur la commande de modulation
d'un metteur laser rgl sur la longueur d'onde dsire.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Cette mthode a t exprimente pour des dbits allant jusqu' 10 Gbps
-Yoo96]. Cependant, elle est plus complexe et consomme davantage de puissance
que les autres mthodes dcrites ci-dessous -DMJ+ 96]. De plus, le procd de
conversion opto-lectronique aecte la transparence du signal, en lui imposant
un format de modulation et un dbit spciques. Toute information module
en phase, en frquence ou analogiquement, est perdue durant ce processus de
conversion.
signal
signal
d’entrée
converti
photodiode
tampon
laser
Figure 1.12: Convertisseur de longueur d'onde opto-lectronique.
Conversion tout-optique
Sans entrer dans les dtails technologiques, nous donnons ici brivement les proprits des deux principales techniques de conversion tout-optique.
Les mthodes de conversion bases sur les eets cohrents tolrent tous les
formats de modulation, orant ainsi une transparence totale du signal. C'est de
plus le seul type d'approche qui permet la conversion simultane d'un ensemble
de longueurs d'onde vers un autre et qui peut tolrer des dbits dpassant les
100 Gbps -Yoo96].
Les techniques de conversion bases sur la modulation croise utilisent des
composants optiques actifs semi-conducteurs, tels que des amplicateurs ou
des metteurs laser. Les dbits autoriss sont de l'ordre de 10 Gbps. L'avantage
de cette approche rside dans sa facilit d'utilisation.
31
Brasseur convertisseur
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Un brasseur convertisseur (Wavelength Translating Optical Cross-Connect, WTOXC) est un composant de commutation slectif en longueur d'onde et qui permet
de plus leur conversion. Le brassage des canaux WDM ne s'eectue donc pas
ncessairement longueur d'onde constante, comme dans un brasseur simple.
Ces n&uds de commutation prsentent ainsi davantage de ,exibilit, mais une
structure beaucoup plus complexe.
Les architectures des brasseurs convertisseurs tant aussi varies que sophistiques, nous ne donnons pas ici de reprsentation dtaille. Il faut mentionner
de plus que le domaine technologique de la conversion de longueur d'onde est en
pleine volution, et les techniques actuelles peuvent changer rapidement.
Cependant, nous reprsentons sur la gure 1.13 la capacit de routage optique
d'un brasseur convertisseur total, c'est--dire capable d'eectuer n'importe quelle
conversion d'un canal WDM, associ des multiplexeurs insertion/extraction.
Cette fonctionalit puissante sera considre dans les chapitres suivants et nous
tudierons son intrt par rapport celle des brasseurs simples.
Fibres
d’entrée
Fibres
de sortie
Extraction
Insertion
Figure 1.13: Brasseur convertisseur total avec MIE.
Les systmes de transmission WDM point--point aujourd'hui
disponibles utilisent l'entre des liaisons des convertisseurs opto-lectroniques
appels transpondeurs. Utiliss l'origine comme interface avec les autres rseaux
(SDH en l'occurence), ils prennent de l'importance dans le brassage optique
puisqu'ils peuvent tre utiliss autour de brasseurs recongurables, parant ainsi l'incompatibilit entre les longueurs d'onde propritaires des dirents constructeurs.
Remarque.
32
Bibliographie
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tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
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33
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applications. IEEE/OSA Journal of Lightwave Technology, 14:955$
966, June 1996.
34
CHAPITRE 2
Problmatique et modlisation
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
2.1 Problmatique
Un rseau de communication en bre optique est dploy sur une rgion trs
tendue par un oprateur en tlcommunications en tant qu'pine dorsale de son
rseau global. Un point d'accs est rattach au rseau br par l'intermdiaire
d'un n&ud de routage optique. Dans ce contexte, un point d'accs ne fournit pas
ncessairement une porte d'entre un terminal particulier, mais plutt une
collection de terminaux issus de sous-rseaux locaux, dont l'activit se trouve
agrge, de manire ce que chaque metteur ou rcepteur du point d'accs
fonctionne un dbit de transmission lectronique.
Les points d'accs au rseau optique communiquent entre eux via des canaux
WDM (cf. section 1.3.2), dits tout-optiques car ils ne subissent pas de conversion
lectronique intermdiaire, et qui sont galement appels chemins optiques. Une
telle liaison peut recouvrir une srie de liens en bre optique et fournir ainsi une
connexion de type commutation de circuits (circuit-switching, en anglais) entre
deux sites distants dans la topologie physique. Chaque n&ud de routage intermdiaire doit pour cela possder une fonction de commutation optique adapte.
Les dirents types de commutateurs optiques existants ont t prsents dans
la section 1.4. Nous ne nous intressons pas ici aux mcanismes de commutation
permettant l'tablissement des connexions, mais nous supposons que le contrle
du rseau est eectu de manire centralise en vue d'assurer des liaisons durables.
Plusieurs architectures pour les rseaux tout-optiques ont t proposes dans
la dernire dcennie. Toutes prsupposent cependant l'utilisation de liens entre
les n&uds de routage qui sont constitus de paires de bres optiques unidirectionnelles, puisque la pose de ces bres en pratique s'eectue facilement de manire
symtrique. La distinction entre les direntes architectures intervient au niveau
35
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du type des n&uds de commutation utiliss. Pour notre part, nous considrons
l'une des architectures les plus communes et les plus souvent tudies, par exemple dans -CNW90, Pan92, VD93, RS95], qui est constitue de n&uds de commutation forms partir de brasseurs avec multiplexeurs insertion/extraction
(n&uds WR-OXC avec MIE), tels qu'ils sont prsents dans la section 1.4.2 (voir
gure 1.11, page 30). Cette hypothse permet ainsi une grande libert de commutation optique, sans toutefois autoriser la conversion des longueurs d'onde, qui
est en revanche possible avec les brasseurs convertisseurs (n&uds WT-OXC, voir
gure 1.13, page 32).
L'ensemble de nos travaux est bas sur ce type d'architecture. l'poque
de leur rdaction, les possibilits de conversion tout-optique taient alors encore
considres comme relativement immatures et trs coteuses -BDO+98]. Il faut
cependant noter que la recherche technologique actuelle se focalise sur ce nouvel
enjeu an de rendre les composants de conversion utilisables grande chelle et
dans un futur proche. Cette nouvelle perspective amne de nouveaux problmes
algorithmiques $ notamment si les possibilits de conversion sont limites $ que
nous n'avons pas abords dans notre tude, si ce n'est le cas de la conversion totale. Nous invitons le lecteur intress par les problmes rsultant de la conversion
limite se reporter sur les travaux -Gar98, ACKP98a, ACKP98b, RS98, KK99].
Dans ce qui suit, nous allons prsenter la modlisation thorique qui a servi
de support notre recherche. Dans une certaine mesure, elle vise simplier la
structure relle des rseaux optiques qui peuvent se rvler htrognes, tout en
conservant cependant les caractristiques essentielles des problmes divers rencontrs en pratique.
Ainsi, nous modliserons un rseau tout-optique par un graphe ou multigraphe orient, symtrique la plupart du temps, dont les sommets reprsenteront
indiremment les points d'accs et les n&uds de routage. Dans ce cadre, chaque
arc correspond une bre optique unidirectionnelle qui supporte un nombre x
de longueurs d'onde, que nous supposerons uniforme dans tout le rseau.
Le type de commutateurs retenu dans nos tudes (brasseurs WR-OXC) possde la proprit d'tre slectif en longueur d'onde. Cela signie que les dirents
signaux optiques arrivant sur une mme bre d'entre peuvent tre distingus
selon leurs longueurs d'onde et commuts chacun sur une bre de sortie particulire. Sans conversion optique ou opto-lectronique, un signal doit conserver la
mme longueur d'onde tout le long d'un chemin reliant la source et la destination. De plus, cause de l'interfrence lectro-magntique, deux signaux ayant la
mme longueur d'onde ne peuvent pas tre transmis sur la mme bre optique.
Une longueur d'onde unique doit donc tre rserve sur tous les liens d'un chemin
36
pour satisfaire une requte de connexion. Cette dernire contrainte disparat en
cas de conversion possible en des n&uds intermdiaires.
Dans les rseaux optiques WDM, le nombre de longueurs d'onde disponibles
est fortement limit, gnralement de l'ordre de la trentaine, et les perspectives
futures ne laissent pas envisager de dpasser l'ordre de la centaine. De plus, le
cot et la complexit des commutateurs et des multiplexeurs augmentent signicativement avec le nombre de longueurs d'onde traiter. C'est pourquoi il est
crucial de chercher minimiser l'utilisation de ces ressources optiques.
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En gnral, le problme se posant dans un rseau WDM tout-optique consiste
satisfaire simultanment un ensemble de requtes de connexion, appel instance
de communication, qui est form de couples source-destination. Pour chacune
des requtes, il s'agit d'attribuer un chemin dans le rseau ainsi qu'une longueur
d'onde, de manire respecter les contraintes du routage optique formules cidessus.
L'objectif de cette allocation de ressources est de minimiser le nombre de
longueurs d'onde utilises. Cette optimisation est importante de deux points
de vue : d'une part, dans le cadre de la conception et du dimensionnement
d'un rseau optique, en vue de satisfaire une certaine demande de trac prvue l'avance et an de minimiser le cot global des quipements ncessaires
(bres, brasseurs, multiplexeurs) d'autre part, dans un rseau existant, pour
grer l'utilisation des ressources optiques en assurant la possibilit d'tablir de
nouvelles connexions ultrieurement.
2.2 Graphes et rseaux
Un rseau optique de tlcommunications peut se modliser l'aide d'un graphe
ou d'un multigraphe orient, tels que nous allons les dnir formellement. Les
sommets reprsentent les n&uds du rseau, qui peuvent tre des points d'accs ou
des commutateurs. Les arcs reprsentent les liens physiques unidirectionnels en
bre optique. Un certain nombre de paramtres usuels en thorie des graphes sont
associs des proprits physiques ou des performances des rseaux modliss.
En rgle gnrale, le graphe physique du rseau optique ne comporte pas de
structure particulire, hormis une certaine connexit ncessaire l'acheminement
du trac et la scurisation du rseau. Notons cependant que l'tude de topologies rgulires peut s'avrer intressante partir du moment o+ on les retrouve
comme sous-structures du rseau global. De mme, l'tude de schmas de communication rguliers, plus aisment formalisables et solubles en gnral, prsente
un intrt dans la mesure o+ ils se rapprochent de situations relles.
37
2.2.1 Notions lmentaires de thorie des graphes
Nous donnons seulement les dnitions ncessaires par la suite. Le lecteur pourra
trouver les notions non rappeles ici dans le livre de l'action RUMEUR -dR94],
dans les livres de thorie des graphes de Berge -Ber83], de Bondy et Murty -BM76]
ou dans l'ouvrage de Leighton consacr au paralllisme -Lei92].
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Dnitions
- Un graphe orient (digraph en anglais) G = (V (G) A(G)) est constitu
d'un ensemble ni V (G) = fx1 x2 : : : xN g d'lments, appels sommets,
et d'une famille nie A(G) = fa1 a2 : : : amg de reprsentants de couples
de sommets, appels arcs.
- Notons qu'un couple de sommets (x y) 2 V (G) V (G) peut tre reprsent
plusieurs fois dans la famille A(G) on parle alors d'arc multiple (x y) et
de multigraphe G .
- Un graphe non orient G = (V (G) E (G)) est constitu d'un ensemble
ni V (G) de sommets et d'une famille nie E (G) = fe1 e2 : : : emg de
reprsentants de paires de sommets, appeles artes.
- Le nombre de sommets d'un (multi)graphe (orient ou non) est appel
l'ordre du graphe, et est not N .
- Si a = (x y) est un arc, alors x est son extrmit initiale et y son
extrmit finale.
- Si a = (x y) est un arc, le sommet y est un successeur du sommet x
et x est un prdcesseur de y. On s'autorise dire galement que y est
adjacent x.
- Si e = fx yg est une arte, les sommets x et y sont dits adjacents l'un l'autre et l'arte e est dite incidente x et y.
- Nous appellerons par la suite liens les arcs ou les artes d'un graphe, qu'il
soit orient ou non.
- Un graphe orient est dit symtrique si l'existence d'un arc a = (x y)
implique l'existence de l'arc a0 = (y x).
- On note G le graphe orient symtrique obtenu partir d'un graphe non
orient G en prenant dans A(G ) les arcs a = (x y) et a0 = (y x) pour
chaque arte e = fx yg de E (G).
- Un arc de la forme (x x) ou une arte de la forme fx xg est appel(e)
boucle.
38
- Un (multi)graphe ne comportant ni boucle, ni arc ou arte multiple, est
appel graphe simple.
- Nous appellerons par la suite
simples non orients.
graphes
(sans autre adjectif) les graphes
- On appelle degr sortant (resp. entrant) d'un sommet x dans un graphe
orient, not d+(x) (resp. d;(x)) le nombre d'arcs d'extrmit initiale (resp.
nale) x.
- On appelle degr d'un sommet x dans un graphe, not d(x), le nombre
d'artes incidentes x.
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- On appelle degr maximum (resp. minimum) d'un graphe, not (resp. ),
le maximum (resp. minimum) des degrs des sommets.
- On appelle chemin (dipath en anglais) dans un graphe orient une suite
P = (a1 a2 : : : aq ) d'arcs, telle que l'extrmit nale de ai est l'extrmit
initiale de ai+1 , pour 1 i < q. La longueur du chemin P est alors le
nombre d'arcs qui le composent.
- On peut galement dnir un chemin P = (a1 a2 : : : aq ) dans un graphe
orient simple par la suite des sommets (x0 x1 : : : xq ), telle que ai =
(xi;1 xi). On dit alors que P est un chemin de x0 vers xq .
- On appelle chane (path en anglais) dans un graphe une suite P = (e1 e2
: : : eq ) d'artes, telle que deux artes conscutives sont incidentes un
mme sommet. La longueur de la chane P est alors le nombre d'artes
qui la composent.
- On s'autorise par la suite appeler une chane un chemin, la distinction
dpendant de la nature du graphe considr.
- Un chemin qui ne comporte pas deux fois le mme lien est dit simple. Un
chemin qui ne comporte pas deux fois le mme sommet est dit lmentaire.
- On appelle distance entre deux sommets x et y dans un graphe (orient
ou non), note d(x y), la longueur minimale d'un chemin de x vers y.
- On appelle diamtre d'un graphe (orient ou non), not D, le maximum
des distances entre les sommets.
- On appelle circuit dans un graphe orient un chemin d'un sommet vers
lui-mme.
- On appelle cycle dans un graphe une chane d'un sommet vers lui-mme.
39
- Un graphe orient est dit fortement connexe s'il existe un chemin de tout
sommet vers tout autre sommet.
- Un graphe est dit connexe s'il existe une chane entre toute paire de sommets.
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Constructions classiques
- La somme cartsienne (cartesian product en anglais) de deux graphes simples orients G = (V A) et G0 = (V 0 A0), note G2G0 , est le graphe ayant
pour ensemble de sommets le produit cartsien V V 0 et pour ensemble
d'arcs les couples ((x x0 ) (y y0)) tels que x = y et (x0 y0) 2 A0 ou tels que
x0 = y0 et (x y) 2 A. La somme cartsienne de deux graphes non-orients
se dnit de manire analogue.
- Soient ; un groupe dont la loi de composition est note multiplicativement et S un ensemble (ou systme) de gnrateurs de ; ne contenant pas
l'lment neutre e de ;. Alors le graphe de Cayley orient sur ; muni
du systme de gnrateurs S , not G(; S ), est dni par :
- l'ensemble des sommets est ;,
- l'ensemble des arcs est constitu des couples (x sx), pour x 2 ; et
s 2 S.
2.2.2 Rseaux usuels
Nous dnissons ici certains graphes classiques qui sont le plus souvent tudis.
Dans le cadre des rseaux optiques, il s'agira de considrer les graphes orients
symtriques associs.
- On note CN le cycle (ou anneau) (lmentaire) d'ordre N , de longueur N
(voir gure 2.1).
- On note PN la chane (lmentaire) d'ordre N , de longueur N ; 1.
- On note KN le graphe complet d'ordre N , ayant N sommets deux deux
adjacents (voir gure 2.1).
- On note Hn l'hypercube de dimension n, d'ordre N = 2n, qui est la somme
cartsienne de n copies du graphe K2 . Il se dnit rcursivement partir
de K2 :
Hn = K2 2Hn;1 = K
2K2 2{z 2K}2
| 2
n fois
Il peut galement se dnir comme le graphe dont les sommets sont les mots
de longueur n sur l'alphabet f0 1g, tel que deux sommets sont adjacents si
et seulement si leurs mots dirent en une seule lettre (voir gure 2.2).
40
Figure 2.1: Cycle C6 et graphe complet K6 .
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0000
0001
0010
0100
0011
0101
0110
1000
1001
1010
1100
1011
1101
1110
0111
1111
Figure 2.2: Hypercube H4.
- On note M (pQ
1 p2 : : : pn ) la grille (mesh en anglais) de dimension n,
d'ordre N = ni=1 pi, qui est la somme cartsienne des n chanes Pp (i =
1 2 : : : n), soit Pp1 2Pp2 2 2Pp (voir gure 2.3).
i
n
- On note TM (l1 l2 : : : ln) la grille Q
torique (toroidal mesh en anglais)
ou tore de dimension n, d'ordre N = ni=1 li, qui est la somme cartsienne
des n cycles Cl (i = 1 2 : : : n), soit Cl1 2Cl2 2 2Cl (voir gure 2.3).
n
i
- Un arbre de cycles est un graphe form par une union de cycles qui
s'intersectent deux--deux en au plus un sommet, et tel que deux sommets
quelconques peuvent tre relis par exactement deux chemins arte-disjoints
(voir gure 2.4).
41
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Figure 2.3: Grille M (5 4) et tore TM (5 4).
Figure 2.4: Arbre de cycles.
2.3 Optimisation et approximation
Un problme d'optimisation P est donn par par un ensemble I d'instances (entres), un ensemble S de solutions (sorties), une fonction s : I ! P (S ) des
instances vers les parties des solutions acceptables, une fonction val : I S ! N
mesurant la qualit val(I S ) de la solution S 2 s(I ) pour l'instance I , et un
objectif min ou max. Si l'objectif est min (resp. max), on souhaite trouver
une solution S 2 s(I ) qui minimise (resp. maximise) val(I S ). Nous ne considrons que des problmes d'optimisation pour lesquels il est facile de vrier
l'appartenance I , l'appartenance une partie de solutions acceptables, et de
calculer la fonction val. Davantage de dtails sur les dnitions formelles de
ces problmes peuvent tre trouvs dans -MPS98]. Lorsque nous aborderons par
la suite des problmes particuliers d'optimisation, nous les prsenterons parfois
42
d'une manire plus informelle, en gardant toutefois l'esprit ces dnitions.
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Nous rappelons qu'un problme de dcision P est NP -complet s'il est dans la
classe de complexit NP et s'il existe une rduction polynmiale de tout autre
problme de NP vers P . La version dcisionnelle d'un problme d'optimisation P
est le problme de dcision obtenu en ajoutant un entier K l'instance I et en se
demandant )Existe-t-il une solution S 2 s(I ) telle que val(I S ) K ?* dans le
cas d'un problme de maximisation, ou bien )Existe-t-il une solution S 2 s(I ) telle
que val(I S ) K ?* dans le cas d'un problme de minimisation. Un problme
d'optimisation est dit NP -dur ou NP -dicile si sa version dcisionnelle est NP complte. Nous invitons le lecteur intress se rfrer au livre de Garey et
Johnson -GJ79] pour une introduction la thorie de la NP -compltude.
Pour un problme d'optimisation donn, un algorithme qui s'excute en temps
polynmial et qui produit toujours une solution optimale est dit exact, ou simplement optimal. L'existence d'un algorithme exact pour un problme NP -dur
impliquerait l'galit P =NP . Par consquent, les algorithmes polynmiaux
d'approximation sont intressants pour les problmes d'optimisation NP -durs.
Un algorithme d'approximation A pour un problme d'optimisation P est un
algorithme dterministe dont le temps d'excution est polynmial en la taille de
l'entre et qui rend toujours une solution acceptable. Notons OPT (I ) la valeur
d'une solution optimale, i.e., OPT (I ) = maxS2s(I ) val(I S ) pour les problmes
de maximisation et OPT (I ) = minS2s(I ) val(I S ) pour les problmes de minimisation. Dans le premier cas, on dit que l'algorithme A possde un facteur
d'approximation (absolu) si OPT (I )=val(I A(I )) pour toute instance I ,
A(I ) reprsentant la sortie de A sur l'entre I . Dans le second cas, la condition
est val(I A(I ))=OPT (I ) .
Parfois il peut tre intressant de considrer le comportement asymptotique
d'un algorithme d'approximation. Pour un problme de maximisation, un algorithme A possde un facteur d'approximation asymptotique si lim supOPT (I )!1
A(I )=OPT (I ) . Pour un problme de minimisation, la condition requise
est lim supOPT (I )!1OPT (I )=A(I ) . Une prsentation gnrale des algorithmes d'approximation pour les problmes NP -durs peut tre trouve dans
le livre -Hoc97] publi par Hochbaum.
Les algorithmes d'approximation requirent habituellement que l'entre soit
donne entirement l'avance, et dans ce cas ils sont appels statiques (o-line, en
anglais). Pour les problmes d'optimisation considrs dans cette thse, l'entre
consiste gnralement en un ensemble ou une collection de requtes de communication. En revanche, pour certaines applications il est raliste de supposer que
les requtes se prsentent au fur et mesure et l'algorithme doit les traiter sans
43
connatre les requtes venir. De tels algorithmes sont appels dynamiques (online, en anglais). Pour d'autres applications encore, l'ensemble des requtes est
connu l'avance, mais la dure d'une communication est inconnue jusqu' sa n.
Une introduction aux algorithmes dynamiques et un tat-de-l'art peuvent tre
trouvs dans le livre de Borodin et El-Yaniv -BEY98] et dans celui publi par
Fiat et Woeginger -FW98].
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2.4 Formulation des problmes tudis
Nous sommes prsent en mesure de dnir les problmes d'optimisation tudis
dans le chapitre suivant et les annexes. Ces problmes sont relis l'allocation
des ressources pour des requtes de connexion dans un rseau de communication
optique. Un rseau donn est modlis par un graphe ou multigraphe orient
G = (V A). Les sommets correspondent aux n&uds du rseau et les arcs aux
liens physiques en bre optique. La plupart du temps, les graphes tudis seront
orients symtriques. Leur graphe non-orient associ pourra alors tre considr
galement, par souci de simplicit.
Dans leur gnralit, les problmes se posant dans les rseaux WDM toutoptiques consistent satisfaire simultanment un ensemble de requtes de connexion, appel instance, form de couples de n&uds. Pour chaque requte, il s'agit
d'attribuer un chemin dans le rseau et d'allouer une longueur d'onde, soit tout le
long du chemin, soit sur chaque lien formant le chemin en cas de conversion possible, de manire ce que deux requtes distinctes n'utilisent pas la mme longueur
d'onde sur le mme lien. L'objectif dans ce cadre est de minimiser l'utilisation des
ressources optiques, c'est--dire le nombre total de longueurs d'onde permettant
de satisfaire l'instance donne.
Les premires tudes dans la littrature ont reprsent les rseaux optiques
par des graphes non-orients. Cette modlisation ne correspond pas prcisment
la ralit physique, puisque les communications optiques sont unidirectionnelles, mais elle peut tre prise en considration sous les hypothses restrictives
suivantes :
Le modle non-orient des rseaux de communication toutoptiques correspond au cas o+ les requtes de connexion sont symtriques et
sous la contrainte d'tre routes deux--deux par des chemins symtriques et sur
la mme longueur d'onde.
Remarque.
Les problmes d'optimisation dnis dans toute cette section peuvent tre
tudis pour les direntes variantes de graphes (orients, orients symtriques,
44
orients non-symtriques, non-orients).
2.4.1 Problme du routage tout-optique
Dans un rseau tout-optique, une requte de connexion entre un n&ud u et un
n&ud v est reprsente par le couple (u v). Elle est tablie en rservant une
longueur d'onde sur tous les liens d'un chemin de u vers v. Les chemins correspondant aux direntes connexions ne doivent pas utiliser la mme longueur
d'onde sur le mme lien. Si les commutateurs ne permettent pas de conversion
(donc de type WR-OXC), une connexion doit utiliser la mme longueur d'onde
tout le long du chemin de la source vers la destination.
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Nous appelons problme du routage (tout-)optique le problme de l'allocation
des chemins et des longueurs d'onde (ou couleurs) pour une collection de requtes
(instance) dans les rseaux tout-optiques sans conversion.
PROBLME du Routage Optique
Entre : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G
Sortie : une allocation de chemins et de couleurs aux requtes, telle que
deux chemins utilisant le mme lien ont deux couleurs direntes
Objectif : minimiser le nombre de couleurs utilises
On note ~w(G I) le nombre de couleurs d'une solution optimale si le graphe G
est orient, et w(G I) si le graphe G est non-orient.
L'allocation de chemins aux requtes de l'instance donne est appele routage.
Par abus de langage, le terme routage dsigne galement l'ensemble des chemins
ainsi forms. Notons que le routage doit tre calcul et fourni en sortie. Si
le routage est donn comme une partie de l'entre (au lieu de permettre l'algorithme de le choisir), on obtient un problme de coloration de chemins.
Ceci revient rsoudre le problme de la coloration des sommets du graphe de
conit associ, de telle manire que deux sommets adjacents sont colors diremment. Le nombre minimum de couleurs ncessaires pour colorer les sommets d'un
graphe est appel nombre chromatique.
de conflit associ un routage R dans un graphe G
(orient ou non) est le graphe non-orient dont les sommets reprsentent les
chemins de R et tel que deux sommets sont adjacents si et seulement si les
chemins correspondants partagent un lien de G.
Dfinition. Le graphe
On note ~w(G I R) (resp. w(G I R)) le nombre chromatique du graphe de
con,it d'un routage R ralisant une instance I dans un graphe orient G (resp.
45
non-orient). Ainsi ~w(G I ) = minR ~w(G I R), et de mme pour w(G I ).
Pour les graphes qui sont des arbres, le routage optique et la coloration de
chemins sont deux problmes quivalents, puisque un chemin lmentaire associ
une requte quelconque est unique. La gure 2.5 montre un exemple simple
d'instance de requtes dans un arbre orient symtrique six sommets, chaque
lien reprsentant une paire d'arcs symtriques. Cinq chemins sont dessins correspondant aux requtes (0 2), (1 3), (4 3), (4 5) et (0 5). Une coloration correcte
possible attribue ces chemins les couleurs vert, rouge, vert, rouge et bleu, respectivement. En outre, trois couleurs sont eectivement ncessaires puisque le
graphe de con,it est un cycle de longueur impaire.
0
3
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(0,2)
(0,5)
1
2
(4,5)
5
(1,3)
(4,3)
4
Figure 2.5: Un routage dans un arbre et son graphe de con,it associ.
Le problme du routage optique vaut la peine d'tre tudi dans le cadre
de la conception et du dimensionnement d'un rseau optique, en vue de satisfaire une certaine demande de trac prvue l'avance. De mme, il est digne
d'intrt dans un rseau possdant une bande passante optique susante pour
satisfaire un ensemble de requtes de connexion, en vue de minimiser l'utilisation
des ressources optiques, qui se rvlent limites par la technologie, et d'assurer
ainsi la possibilit d'tablir de nouvelles connexions ultrieurement.
Cependant, la situation est dirente dans un rseau optique qui n'a pas la capacit susante pour satisfaire tout un ensemble de requtes simultanment. Plus
exactement, ceci se produit lorsque le nombre de longueurs d'onde disponibles est
plus petit que le nombre ncessaire. Il peut alors tre souhaitable de satisfaire
un sous-ensemble de l'instance initiale, le but tant de maximiser son cardinal.
PROBLME du Routage Optique Maximum
46
Entre :
un (multi)graphe G, une instance I de requtes dans G et un
entier W > 0
Sortie : une partie I 0 I et une allocation aux requtes de I 0 de chemins
et de couleurs parmi W possibles, telle que deux chemins utilisant
le mme lien ont deux couleurs direntes
Objectif : maximiser le cardinal de I 0
Remarque. Une autre possibilit de routage, si le nombre de longueurs d'onde
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est insusant, consiste raliser l'instance de communication en plusieurs tapes
successives. Si l'on conserve un routage tout-optique entre les sources et les
destinations, alors le nombre d'tapes ncessaires devient d~w=W e si W longueurs
d'onde sont disponibles. Si l'on s'autorise des reconversions opto-lectroniques
en des n&uds intermdiaires, on se place alors dans le cadre des rseaux dits
multi-hop qui est abord dans les annexes D et E.
2.4.2 Problme de la charge
Dans les rseaux optiques permettant toute conversion d'une longueur d'onde en
une autre, dans un n&ud intermdiaire d'un chemin optique, la contrainte de la
coloration des chemins allous aux requtes disparat. Il en rsulte en fait une
multicoloration de chaque chemin, qui consiste attribuer une couleur spcique
sur chaque lien utilis, de telle sorte que deux chemins qui partagent un lien n'ont
pas la mme couleur sur ce lien. Ceci ne pose aucun problme algorithmique,
puisque toute stratgie d'allocation gloutonne fonctionne. Le nombre total de
longueurs d'onde ncessaires pour tablir les requtes de connexion est alors gal
au nombre maximum de chemins utilisant le mme lien.
La charge d'un lien pour un routage R ralisant une
instance I dans un graphe G (orient ou non) dsigne le nombre de chemins
de R qui utilisent le lien . Ce nombre est not ~(G I R ) si G est orient et
(G I R ) si G est non-orient.
La charge du routage R est alors dnie comme la charge maximale des
liens pour R. C'est le nombre maximum de chemins de R qui utilisent le mme
lien de G. Il est not ~(G I R) en orient et (G I R) en non-orient.
Dfinitions.
Nous appelons problme de la charge le problme d'optimisation rsultant du
problme du routage optique avec l'hypothse de conversion totale des longueurs
d'onde. Il s'agit de trouver un routage R ralisant l'instance I donne et minimisant la charge ~(G I R) (ou (G I R)).
47
PROBLME de la Charge
Entre : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G
Sortie : une allocation de chemins aux requtes (un routage)
Objectif : minimiser la charge du routage
On note ~(G I) la charge d'une solution optimale si le graphe G est orient, et
(G I) si le graphe G est non-orient. Ainsi ~(G I ) = minR max ~(G I R ),
et de mme pour (G I ).
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Pour l'exemple de la gure 2.5, nous avons ~(G I ) = 2.
De manire vidente, la charge optimale d'un routage ralisant une instance
donne minore le nombre optimal de longueurs d'onde pour le problme du
routage optique appliqu la mme instance. Ceci rsulte immdiatement du
fait que le problme de la charge est un problme d'allocation de chemins et de
longueurs d'onde, avec la libert supplmentaire de la conversion.
Proprit. Pour tout problme (G I ), ~w(G I ) ~ (G I ).
La proprit analogue est aussi valable en non-orient. Une autre dmonstration consiste dire que le nombre de longueurs d'onde ncessaires pour le
problme du routage optique est au moins gal au nombre maximum de chemins
devant ncessairement utiliser le mme lien, ce qui correspond la dnition de
la charge minimale d'un routage.
Notons que rpondre la question ) ~(G I ) p?*, tant donn
un entier p, revient dterminer si le multi,ot entier correspondant aux requtes
de I est ralisable dans le rseau de ,ot Fp obtenu en aectant chaque arc de G
une capacit gale p. Il s'agit donc d'un problme trs classique en optimisation
(cf. le livre -AMO93] ou le chapitre -GTT90]).
Remarque.
Comme le problme du routage optique, le problme de la charge possde son
problme de maximisation associ :
PROBLME du Routage Maximum
Entre : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G et un
entier W > 0
Sortie : une partie I 0 I et une allocation de chemins aux requtes de I 0,
de charge au plus W
Objectif : maximiser le cardinal de I 0
48
Dans le cas extrme o+ le nombre W de longueurs d'onde disponibles est rduit
1, les deux problmes de maximisation prcdants deviennent quivalents et
peuvent tre noncs par une formulation qui a t trs tudie dans la littrature
(cf. par exemple le chapitre de Frank -Fra95b] dans -GGL95]) :
PROBLME du Routage Disjoint Maximum
Entre : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G
Sortie : une partie I 0 I et une allocation de chemins aux requtes de I 0,
telle que deux chemins n'utilisent pas le mme lien
Objectif : maximiser le cardinal de I 0
La version dcisionnelle du problme devient :
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PROBLME du Routage Disjoint
Donnes : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G
Question : existe-t-il une allocation de chemins aux requtes de I 0 , telle que
deux chemins n'utilisent pas le mme lien ?
2.4.3 Relations entre les problmes
Nous commenons par montrer brivement en quoi le problme du routage optique peut tre vu comme un problme de multi,ot entier dans un graphe associ,
et donc galement comme un problme de routage disjoint.
Par souci de simplicit, nous avons reprsent sur la gure 2.6 la rduction
dans le cas d'une instance de multicast, pour laquelle toutes les requtes possdent
le mme n&ud source. Une construction semblable est utilise en annexe A. Il
s'agit en l'occurence de rsoudre dans un graphe orient symtrique G le problme
du routage optique pour l'instance I = fxg fv w y zg.
Nous avons dj remarqu que le problme de la charge pour (G I ) revient dterminer le plus petit entier p rendant ralisable un certain problme associ Fp
de multi,ot entier. Nous dirons qu'un sommet x 2 V (G) est une source (resp.
une destination) s'il existe y 2 V (G) tel que (x y) 2 I (resp. (y x) 2 I ). Le
rseau de multi,ot Fp0 associ au problme du routage optique (G I ) est construit
partir de G de la manire suivante.
- on commence par prendre p copies indpendantes du graphe G dont les arcs
sont munis d'une capacit unitaire. Les p copies d'un sommet u 2 V (G)
sont notes u1 u2 : : : up.
- pour chaque source x 2 V (G), on ajoute un sommet xout qui est reli xi ,
pour 1 i p, par un arc (xout xi) de capacit innie.
49
y
(a)
v
z
y
(b)
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z1
w1
xout
y2
v2
1)
(
(p)
(p)
1)
(p)
v
(p)
x1
(
w
(p)
v1
(c)
x
x
y1
(p)
z
x2
z2
yin
vin
zin
win
w2
(p)
w
Figure 2.6: (a) Un graphe orient G avec une source x et des destinations fv w y zg. (b) Le rseau de ,ot Fp. (c) Le rseau de ,ot F20 . Toutes les
capacits non marques valent 1 et toutes les orientations des arcs sont omises.
- pour chaque destination y 2 V (G), on ajoute un sommet yin, et le sommet
yi, pour 1 i p, est reli yin par un arc (yi yin) de capacit unitaire.
- l'instance de requtes I dans G, nous associons l'instance I 0 = f(xout yin) j
(x y) 2 I g dans Fp0 .
Il est alors facile de voir que ~w(G I ) = min fp j le multi,ot Fp0 est ralisable g.
Nous avons donc tabli que problme du routage optique (resp. maximum)
se rduit au problme du routage disjoint (resp. maximum).
Dans le cas particulier d'une instance multicast, le problme
de routage optique se rduit un problme de simple ,ot. Nous renvoyons l'annexe A pour une prsentation plus dtaille.
Remarque.
S'il existe, pour une classe de graphes, un algorithme pour le
problme du routage disjoint maximum ayant un facteur d'approximation (non
ncessairement constant), alors il existe, pour cette mme classe de graphes, un
algorithme pour le problme du routage optique ayant un facteur d'approximation
en O(log jI j:).
Proprit.
La technique utilise est semblable celle colorant les sommets
d'un graphe l'aide d'un algorithme sachant approximer le problme de trouver
Remarque.
50
un ensemble de sommets indpendants de cardinalit maximale (maximum independent set, MIS). Elle a t utilise par Aumann et Rabani dans -AR95] an de
traiter le problme du routage optique dans les grilles bidimensionnelles.
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Ide de preuve. Soit I une instance dans un graphe G et posons ~w = ~w(G I ).
Pour tout partie I 0 I , ~w(G I 0) ~w. Donc dans toute solution optimale du
problme du routage optique (G I ), il existe au moins jI 0j=~w requtes utilisant la
mme couleur, et donc routes par des chemins arc-disjoints. Par consquent, une
solution optimale du problme du routage disjoint maximum (G I 0) est de taille
au moins jI 0j=~w. Comme nous supposons l'existence d'un algorithme polynmial
d'approximation pour ce problme, nous en dduisons que pour toute partie I 0,
on peut trouver en temps polynmial une partie I 00 I 0 de taille (jI 0 j=(~w)) qui
peut tre route par des chemins arc-disjoints.
On peut alors dnir un algorithme d'approximation glouton pour le routage
optique de la manire suivante. Initialement, I 0 = I et on sait router avec la
mme couleur une partie I0 de taille (jI j=~w). En posant ensuite I 0 = I n I0 ,
on sait router avec une autre couleur une partie I1 I 0 de taille (jI 0j=(~w)),
en sachant que jI 0j = O(jI j(1 ; ~1w )). L'ensemble courant I 0 dcrot donc d'un
facteur (~w=(~w ; 1)) chaque tape. Le calcul montre que le nombre d'tapes
de l'algorithme, jusqu' puisement de toutes les requtes de I , est O(~w log jI j),
ce qui correspond au nombre de couleurs utilises.
2
2.5 Communications structures
Lorsqu'un ensemble de connexions doit s'tablir dans un rseau de tlcommunications, il peut tre plus ou moins alatoire ou possder une structure prdtermine. Dans le cas de communications prvisibles l'avance, il est souhaitable
de connatre quel routage utiliser avant mme que le problme ne se pose, et
d'optimiser la solution fournie an d'exploiter au mieux les ressources de transmission du rseau.
C'est pourquoi les problmes de routage dans les rseaux, trs tudis dans le
cadre des rseaux d'interconnexion entre processeurs -FL94, HHL86, HKMP95],
peuvent tre regroups en deux grandes classes -Fra95a, Lei92] : les routages prcalculs ou statiques (en anglais, o-line) et les routages temps-rel ou dynamiques
(en anglais, on-line).
Le terme temps-rel est utilis lorsque les requtes de communication ne sont
pas connues l'avance et qu'il faut rsoudre le problme de routage au moment o+
elles se prsentent. Dans ce cas de gure, les communications peuvent intervenir
tout moment, a priori sans aucune synchronisation ni cohrence entre elles,
51
et on pourra parler de communications anarchiques. L'tude de cette classe de
problmes, qui n'est pas notre objet, passe par l'tude (dicile) de fonctions de
routage qui essayent de garantir au mieux l'tablissement des communications en
vitant les blocages.
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l'oppos, la classe des routages prcalculs concerne des problmes rguliers
qui apparaissent souvent, notamment dans les rseaux de transport, et dont il
est bnque de dterminer et d'optimiser la solution au pralable. Ces instances
de communication particulires sont appeles communications structures. On
parle galement de communications globales ou collectives, lorsque celles-ci font
intervenir la totalit des n&uds du rseau.
Nous dnissons prsent les communications structures les plus frquemment mises en &uvre :
- Diusion (One-to-All ou broadcasting) : opration qui consiste envoyer
d'un n&ud du rseau une mme information vers tous les autres n&uds.
- Distribution (diusion personnalise, personalized One-to-All, distributing
ou scattering) : opration qui consiste envoyer d'un n&ud du rseau une
information dirente vers chacun des autres n&uds.
- Rassemblement (gathering) : opration qui consiste envoyer de chaque
n&ud du rseau une information vers un n&ud particulier. C'est l'opration
inverse de la distribution.
- change total (All-to-All, total exchange ou gossiping) : opration qui
consiste envoyer de chaque n&ud du rseau une mme information vers
tous les autres n&uds. Cela revient eectuer une diusion partir de
tous les n&uds du rseau simultanment.
- Multidistribution (change total personnalis, personalized All-to-All, complete exchange ou multiscattering) : opration qui consiste envoyer de
chaque n&ud du rseau une information dirente vers chacun des autres
n&uds. Cela revient eectuer une distribution partir de tous les n&uds
du rseau simultanment.
- Multicast (diusion partielle, One-to-Many ou multicasting) : opration
qui consiste envoyer d'un n&ud du rseau une mme information vers
d'autres n&uds.
- Permutation : opration pour laquelle chaque n&ud du rseau envoie et
reoit une information exactement.
- k-Relation : opration pour laquelle chaque n&ud du rseau envoie et
reoit au plus k informations.
52
Dans le cadre de notre tude sur le routage tout-optique, nous
attirons l'attention sur le fait que les schmas de communication structure que
sont, d'une part la diusion et l'change-total, d'autre part la distribution et la
multidistribution, correspondent respectivement aux mmes instances de communication, puisque la donne des requtes ne tient pas compte de la nature de
l'information vhicule. Ainsi, un ensemble de chemins optiques ralisant une
diusion (un change total) peut tout aussi bien raliser une distribution (une
multidistribution). Cependant, nous continuerons d'utiliser les termes les plus
restrictifs par (mauvaise) habitude. Notons toutefois que la distinction devient
importante dans le cadre des rseaux optiques multi-hop, qui sont tudis pour
la diusion en annexe E.
Remarque.
Dfinitions. tant donn l'ensemble V des sommets d'un graphe G,
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- Une instance de diusion ou de distribution est note IO et correspond un
ensemble f(x0 y) j y 2 V g pour un sommet x0 x.
- L'instance de l'change total ou de la multidistribution est note IA et correspond l'ensemble f(x y) j x 2 V y 2 V g.
- Une instance de multicast ou de multicast personnalis est note IM et correspond un ensemble f(x0 y) j y 2 V 0 g pour un sommet x0 x et une
partie V 0 V .
- Une instance de permutation est note I1 et correspond un ensemble
f(x (x)) j x 2 V g pour une bijection de V .
- Une 1-relation est une instance note galement I1 et qui correspond une
partie d'une instance de permutation.
- Une k-relation est une instance note Ik et qui correspond une union de
k instances qui sont des 1-relations.
53
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57
58
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CHAPITRE 3
Routage WDM tout-optique
3.1 Rseaux gnraux
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3.1.1 Instances quelconques
Trouver un routage optique utilisant un minimum de longueurs d'onde (ou couleurs) n'est pas un problme facile. Dans le cas gnral, c'est--dire pour un
graphe orient G et une instance I quelconques, le problme du routage optique
et de la dtermination de ~w(G I ) a t montr NP -complet par Erlebach et
Jansen dans -EJ96]. En fait, ils ont montr cette proprit pour les arbres et les
cycles orients symtriques. Ils l'ont tendue aux grilles dans -EJ97] et au cas des
arbres binaires avec un nombre de couleurs limit 3, par rduction du problme
de la coloration des artes d'un multigraphe, NP -complet d'aprs Holyer -Hol81].
Thorme 3.1.1 (Erlebach et Jansen -EJ97]) 4 Le problme suivant est NP complet :
Donnes : Un arbre binaire orient symtrique T et une instance I .
Question : Existe-t-il un routage optique pour (T I ) utilisant au plus 3 couleurs ?
Corollaire 3.1.2 4 Le problme suivant est NP -complet :
Donnes : Un graphe orient G, une instance I et un entier k.
Question : Existe-t-il un routage optique pour (G I ) utilisant au plus k couleurs ?
D'un certain point de vue, la dicult du problme de routage optique provient
de la dicult intrinsque de deux problmes sous-jacents : le problme du
routage et le problme de la coloration des chemins.
tant donns un graphe orient G et une instance I , la recherche d'un routage
R, ralisant I et minimisant la charge maximale ~(G I R) des arcs de G, est
intressante pour le problme de routage optique puisque la charge d'un routage
minore le nombre de couleurs ncessaires pour le colorer : ~(G I R) ~w(G I R).
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La dtermination de ~ est troitement relie au problme du multi,ot capacits
entires. tant donns un graphe G muni de capacits entires sur ses liens et
un ensemble de requtes munies de demandes entires, il s'agit de trouver un ,ot
de valeur correspondante de chaque source vers sa destination, de manire ne
pas dpasser les capacits des liens. D'aprs Even, Itai et Shamir -EIS76], mme
le bi-,ot capacits unitaires est un problme NP -complet, dans les graphes
orients ou non. En transformant chaque requte munie de sa demande d en d
copies de la mme requte unitaire, le problme du multi,ot consiste alors router
une instance I dans le graphe G sans dpasser les charges des liens autorises.
Il s'en suit immdiatement la NP -compltude du problme de routage et de la
dtermination de ~(G I ) ou de (G I ), puisqu'il s'agit de faire passer un multi,ot
unitaire dans un graphe capacits constantes.
Thorme 3.1.3 (d'aprs Even, Itai et Shamir -EIS76]) 4 Le problme suivant
est NP -complet :
Donnes : Un graphe G (orient ou non), une instance I et un entier k.
Question : Existe-t-il un routage pour (G I ) de charge maximale k sur les liens
de G ?
Notons que dans le cas orient, ce dernier rsultat peut aussi s'obtenir partir
d'un thorme plus puissant de Fortune, Hopcroft et Willie -FHW80], tablissant
la NP -dicult de trouver deux chemins arc-disjoints pour deux requtes dans
un graphe orient. En eet, router une instance dans un graphe sans dpasser
une certaine charge c est quivalent router les requtes par des chemins disjoints
dans le multi-graphe associ de multiplicit uniforme c.
l'aide de cette proprit, nous pouvons donner un rsultat encore plus
fort dmontrant la non-approximabilit du problme du routage optique dans
le modle orient, comme cela a t remarqu par Jarry dans -Jar99].
Thorme 3.1.4 4 Le problme suivant est NP -complet :
Donnes : Un graphe orient G et une instance I .
Question : Se trouve-t-on dans l'une des deux situations suivantes ?
Il existe deux chemins arc-disjoints dans G pour deux requtes de I .
Il n'existe pas de routage pour (G I ) par des chemins arc-disjoints.
L'ide de la preuve de ce thorme consiste construire une semi-grille G
oriente (non-symtrique) en plaant aux intersections des lignes et des colonnes
des copies d'un sous-graphe G pour lequel il est NP -dicile d'aprs -FHW80]
de dcider si deux requtes peuvent le traverser par deux chemins arc-disjoints.
Une reprsentation schmatique se trouve sur la gure 3.1. On dnit alors un
ensemble I de requtes f(xi yi) j 1 i lg telles que leur ralisation par des
chemins arc-disjoints est possible si et seulement si deux chemins arc-disjoints
60
existent pour traverser le sous-graphe G . Dans le cas contraire, il n'existe pas
deux chemins arc-disjoints dans G pour router deux requtes de I .
x
x5
x4
x3
x2
x1
y1
y2
y3
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y4
y5
y
Figure 3.1: Semi-grille et routage disjoint non-approximable.
Ainsi, il est NP -dicile de dcider si une seule ou toutes les requtes peuvent
tre routes avec une charge maximale unitaire sur les arcs du graphe, donc de
dcider si ~w(G I ) = 1 ou si ~w(G I ) = jI j, et nous en dduisons le corollaire
suivant :
Corollaire 3.1.5 4 Il n'existe pas d'algorithme d'approximation pour le problme du routage optique dans un graphe orient, moins que P = NP .
La question analogue dans le cas orient symtrique reste ouverte.
Cependant, lorsque le nombre de requtes est born, le problme de routage
devient polynmial, dans le cas non-orient d'aprs un rsultat de Robertson et
Seymour -RS95], et dans le cas orient symtrique d'aprs des travaux rcents
de Jarry -Jar99], avec toutefois des constantes caches normes qui rendent les
algorithmes impraticables.
Nous invitons le lecteur intress par la complexit des problmes de routage
(et la solvabilit en temps polynmial de certains cas particuliers) se rfrer
au livre dit par Korte, Lov3sz, Prmel et Schrijver -KLPS90], et en particulier
61
au chapitre crit par Frank -Fra90]. Une technique gnrale pour obtenir des
algorithmes d'approximation (randomiss) pour le problme de routage (sous
certaines conditions) est la technique randomise d'arrondi due Raghavan et
Thompson. Les dtails de leur mthode et les applications au routage VLSI et
aux rseaux de multi,ot peuvent tre trouvs dans -RT87].
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Une fois un routage connu pour raliser une instance de communication,
savoir colorer ecacement ses chemins est ncessaire dans le cadre du problme
de routage optique. Malheureusement, ce problme de coloration restreint des chemins est aussi dicile que le problme bien connu de la coloration des
sommets d'un graphe, comme il a t remarqu par Chlamtac, Ganz et Karmi
dans -CGK92]. tant donn un graphe non-orient H quelconque, il sut de
dnir un ensemble R de chemins ad-hoc dans un graphe G galement construit
dessein, de telle sorte que H soit le graphe de con,it de R. Par ailleurs, le
rsultat dcoule immdiatement du premier thorme de ce chapitre, puisque le
routage est x dans un arbre.
Proposition 3.1.6 4 Le problme suivant est NP -complet :
Donnes : Un graphe G (orient ou non) et un routage R.
Question : Existe-t-il une coloration des chemins de R utilisant 3 couleurs ?
Dans le modle non-orient, la NP -compltude du problme de routage optique provient de rsultats bien antrieurs l'avnement de la technologie WDM.
Concernant le problme de la coloration de chemins dans un arbre, Golumbic
et Jamison -GJ85b] ont tabli que la dtermination de w(G I ) est un problme
NP -complet mme pour les toiles (arbres dont tous les sommets sauf un ont
degr 1), en rduisant ce problme celui de la coloration des artes d'un multigraphe qui est NP -complet d'aprs Holyer -Hol81] (voir section 3.2.1, page 78).
Ce rsultat a t tendu dans -EJ96] au cas des cycles non-orients, alors que le
problme devient polynmial pour les arbres de degr born d'aprs -EJ97].
Au vu de ce dernier rsultat et de la NP -dicult dterminer ~w(G I ) pour
les arbres binaires orients, on pourrait croire que le problme de routage optique
est plus dicile dans le modle orient. Ce n'est pas vrai en gnral. Par exemple,
pour les toiles, le problme non-orient est NP -complet -GJ85b] alors que le
problme orient est polynmial, par rduction au problme de couplage dans
les graphes bipartis (voir section 3.2.1, page 76), soluble d'aprs le thorme de
Knig-Hall.
Prenons un graphe orient G et un routage R ralisant une instance I . Soient
L la longueur maximale des chemins dans R et le degr maximum du graphe de
con,it associ R. Puisque tout chemin est en con,it avec au plus ~(G I R) ; 1
autres chemins sur chacun de ses arcs, il est clair que L(~ (G I R) ; 1). Une
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coloration gloutonne du graphe de con,it permet d'utiliser au plus +1 couleurs.
Nous en dduisons une borne asymptotique pour le problme de routage optique
(G I ) : ~w = O(L~), o+ L reprsente ici la plus petite longueur maximale des
chemins d'un routage R tel que ~(G I R) = ~(G I ). Le mme raisonnement
dans le modle non-orient conduit galement w = O(L).
Une stratgie gloutonne plus labore pour colorer les chemins d'un routage
est propose dans -ABNC+94, ABNC+ 96]. Elle s'avre plus ecace que la prcdente si le paramtre L est susamment grand. Reprenons les mmes notations
et notons m le nombre d'arcs du graphe G. La somme des charges des arcs de G
vaut au plus m~(G I R), or elle est gale d'autre part la somme des longueurs
des
de R. Par consquent,
pmchemins
p le nombre de chemins de longueur au moins
ne peut excder ~(G I R) m. Une couleur spcique est attribue chacun
de ces chemins. En considrant le graphe de con,it des chemins restants et en
appliquant la mme coloration gloutonne quep prcdemment, on peut complter
la coloration en utilisant au plus ~(G I R) m couleurs supplmentaires. Il en
dcoule le rsultat suivant, formul initialement dans le modle non-orient :
Thorme 3.1.7 (Aggarwal et al. -ABNC+ 94]) 4 Pour tout problme (G I ),
o G a m arcs,
p
~w(G I ) 2~(G I ) m :
Dans le mme temps, il est montr dans -ABNC+ 94, ABNC+ 96] que les deux
bornes suprieures issues des colorations gloutonnes mentionnes ci-dessus sont
optimales un facteur constant prs. Plus prcisment, il est fourni une famille
de problmes non-orients, dont
p une reprsentation est donne par la gure 3.2,
telle que w = ( min fL mg), o+ L reprsente la distance maximale entre
deux sommets formant une requte et m le nombre d'artes du graphe.
Cette famille de cas pathologiques repose sur une topologie en "pseudo-grille",
telle qu'elle est reprsente sur la gure 3.2. Pour un entier n 2 donn, la
pseudo-grille Gn est constitue de n n&uds sources fs1 s2 : : : sng, de 2n ; 2
colonnes de 2n ; 1 n&uds chacune et de n n&uds destinations ft1 t2 : : : tng,
relis entre eux comme il est montr sur la gure 3.2 pour n = 4. Le nombre
d'artes de Gn est ainsi m = O(n2). Notons In l'instance f(si ti)g1in et Ink
l'instance forme par k copies de l'instance In. Dans tous les cas, la distance
maximale pour une requte vaut L = 4n ; 3 = O(n). Remarquons d'abord que
deux requtes quelconques dans In entrent ncessairement en con,it, puisqu'il
n'existe pas deux chemins arte-disjoints reliantpdeux paires source-destination.
On en dduit que w(Gn In) = n = (min fL mg). Par ailleurs, notons que
l'instance In peut tre route avec une charge maximale de (Gn In) = 2 = O(1)
(voir gure 3.2). En considrant prsent l'instance Ink , on obtient pour la
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mme raison que w(Gn Ink ) = kn
, or (Gn Ink ) = O(k). Nous avons donc bien
p
k
w(Gn In ) = kn = ( min fL mg).
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Figure 3.2: Instance pathologique dans une pseudo-grille non-oriente.
La question se pose alors de savoir si ce dernier rsultat est transposable dans
le modle orient. Nous pouvons rpondre par l'armative, mais le problme
reste ouvert dans le cas orient symtrique.
Proposition 3.1.8 4 Pour tout et tout L, il existe un graphe orient G et
une instance I tels que
~(G I ) (max
d(x y) L et ~w(G I ) = (L) :
xy)2I
La preuve de cette proposition est en tous points semblable la prcdente
dmonstration. Elle repose sur la construction de la gure 3.3, identique celle
de la gure 3.2 si ce n'est l'orientation des arcs. Cette orientation permet de
conserver la proprit que deux requtes entrent ncessairement en con,it, du
fait qu'il n'existe pas deux chemins arc-disjoints reliant deux couples sourcedestination. Notons que la mme topologie oriente symtriquement ne possde
plus cette proprit, puisqu'alors deux chemins ont la possibilit de se croiser
verticalement en sens inverse sans gnrer de con,it.
Nous avons vu prcdemment que la rsolution du problme de routage
optique peut tre dcompose en deux tapes (trouver un routage de charge
minimale et colorer ses chemins), chacune d'elles demeurant cependant intrinsquement dicile optimiser. Il est noter que cette approche souvent utilise ne conduit pas ncessairement une solution optimale, mme si chacun
des deux sous-problmes est rsolu de faon optimale. En eet, nous pouvons
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Figure 3.3: Instance pathologique dans une pseudo-grille oriente non-symtrique.
construire un problme (G I ) tel que tout routage R ralisant I , de charge minimale ~(G I R) = ~(G I ), n'est pas colorable avec ~w(G I ) couleurs. Autrement
dit, un routage optique optimal pour ce problme particulier n'est pas un routage
optimal en termes de charge (ce qui rpond une question pose dans -BBG+97]).
Proposition 3.1.9 4 Il n'existe pas toujours de routage R ralisant une
instance I dans un graphe orient G, tel que ~(G I R) = ~ (G I ) et ~w(G I R) =
~w(G I ).
Nous donnons une construction dans un graphe orient nonsymtrique, qui reprend la structure en pseudo-grille venant d'tre prsente.
Pour tout entier n 2, le graphe Hn est construit partir du graphe Gn
reprsent sur la gure 3.3, auquel on ajoute deux sommets s et t ainsi que
l'arc (s t) et tous les arcs (si s), (t ti), pour 1 i n, comme le montre la
gure 3.4 pour n = 4.
Preuve.
Nous reprenons la notation In pour l'instance f(si ti )g1in. Comme prcdemment, nous avons ~(Hn In) = 2. Par consquent, dans tout routage Rn
ralisant In, de charge maximale ~(Hn In Rn) = ~(Hn In), au moins n ; 2
chemins n'utilisent pas l'arc (s t), d'o+ ~w(Hn In Rn) n ; 2. Or il n'est pas
dicile de voir que ~w(Hn In) = dn=2e, puisqu'en routant x requtes par l'arc
(s t) et n ; x requtes par le sous-graphe Gn, on obtient un routage colorable
avec max fx n ; xg couleurs.
Notons enn qu'en dnissant le multigraphe Hn0 partir du graphe Hn en
multipliant l'arc (s t) par un facteur c = n=4 ; 1 (ou en reliant s t par c
chemins arc-disjoints, an que Hn0 soit un graphe simple), on obtient alors que
~(Hn0 In) = 2 et ~w(Hn0 In) = 4, alors que tout routage Rn de charge 2 ncessite
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Figure 3.4: Pseudo-grille H4 avec raccourci.
n=2 ; 2 couleurs. Le rapport ~w(Hn0 In Rn)=~w(Hn0 In) est ainsi de l'ordre de n=8.
2
Question 3.1.10 4 Qu'en est-il des propositions 3.1.8 et 3.1.9 dans le cas orient symtrique ?
La premire partie de cette question revient se trouver des constructions
orientes symtriques telles que les paramtres ~w et ~ dirent signicativement. De telles constructions pourraient alors ventuellement tre exploites
pour rpondre la seconde partie de la question, comme il a t fait prcdemment pour la proposition 3.1.9.
Dans cette perspective, nous pouvons fournir un lment de rponse en considrant le cycle CN . Nous allons dnir une instance IN telle que ~w(CN IN ) =
N=2 = 2~(CN IN ) ; 1. Ainsi, dans le cas orient symtrique, ~w et ~ peuvent
direr d'un facteur 2.
Posons N = 2(2k + 1) et reprsentons les sommets de CN par les entiers
modulo N . Soient JN = f(2i mod N 2i + N=2 mod N )g1iN=2 et IN l'instance
forme par deux copies de JN . Nous avons donc dans IN un total de N requtes
et clairement toutes les requtes qui sont routes dans le mme sens entrent
en con,it. Nous en dduisons que ~w(CN IN ) = N=2. Par ailleurs, nous pouvons
montrer qu'un routage optimal pour la charge consiste router dans les deux sens
opposs chaque paire de requtes identiques, comme il est montr sur la gure 3.5
pour N = 6, ce qui donne une charge maximale de k + 1 = dN=4e. Comme tout
routage pour IN comporte N chemins de longueur N=2 et le cycle CN contient 2N
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arcs, N 2 =4N = N=4 est la charge moyenne des arcs et donc ~(CN IN ) = dN=4e.
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Figure 3.5: Routage optique pour (C6 I6).
Nous allons prsent nous intresser aux liens entre le problme de routage
optique et l'arc-connexit.
Dfinitions. Soit G = (V A) un graphe orient fortement connexe.
- Pour tout S V (G), on note m(S ) le nombre d'arcs de A(G) ayant seulement leur extrmit initiale dans S .
- L' arc-connexit (G) de G est le nombre minimum d'arcs dont la suppression rend le graphe non fortement connexe : (G) = minSV (G) m(S ).
- On dit que G est k-arc-connexe si (G) k.
- L' arc-connexit cG(r) d'un sommet r 2 V (G) est le nombre minimum
d'arcs dont la suppression rend un sommet de V (G) non accessible partir
de r : cG (r) = minr2SV (G) m(S ).
Les versions orientes des thormes de Menger, que l'on peut trouver par
exemple dans le livre de Berge -Ber83], permettent de relier les notions globale et
locale de l'arc-connexit avec le problme du routage arc-disjoint. Nous donnons
ici la version locale.
Thorme 3.1.11 (Menger) 4 Pour tout couple (r t) de sommets dans un
graphe orient G, le nombre maximum de chemins arc-disjoints de r vers t est
cG(r).
Dans un graphe orient, un arbre de recouvrement enracin est un arbre
qui permet d'atteindre tout sommet partir de la racine. Le thorme suivant
montre que l'arc-connexit donne une proprit encore plus forte que celle dcrite
par le thorme de Menger.
67
Thorme 3.1.12 (Edmonds -Edm72]) 4 Pour tout sommet r dans un graphe
orient G, le nombre maximum d'arbres de recouvrement arc-disjoints enracins
en r est cG(r).
Une consquence trs intressante de ce thorme fondamental a t tablie
dans -Shi79].
Corollaire 3.1.13 (Shiloach (et Tarjan) -Shi79]) 4 Pour k couples quelconques
de sommets (s1 t1 ) : : : (sk tk ) dans un graphe orient k-arc-connexe, il existe
k chemins arc-disjoints P1 : : : Pk tels que Pi est un chemin de si vers ti , pour
1 i k.
Ajoutons au graphe G un sommet r ainsi que les arcs (r si),
pour 1 i k, pour former le graphe G0. Le graphe G tant k-arc-connexe,
cG0 (r) = k. En appliquant le thorme 3.1.12, on obtient k arbres de recouvrement
arc-disjoints enracins en r et un chemin dans chacun respectivement de r vers
chaque ti en passant par si, ce qui induit le rsultat.
2
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Preuve.
Tous les rsultat mentionns sur l'arc-connexit sont accompagns dans la
littrature d'algorithmes polynmiaux permettant d'exhiber des solutions eectives. Le dernier rsultat nous permet d'en dduire une mthode ecace pour
rsoudre un problme de routage optique (G I ) dans un graphe d'arc-connexit .
En partitionnant l'ensemble des requtes en djI j=e sous-ensembles de taille au
plus , on peut alors router chacun par des chemins arcs-disjoints et lui attribuer
ainsi une longueur d'onde spcique.
Corollaire 3.1.14 4 Pour tout graphe orient G d'arc-connexit et pour toute
instance I , le problme de routage optique (G I ) peut tre rsolu en temps polynmial en utilisant djI j=e longueurs d'onde.
3.1.2 Permutations et k-relations
Dans sa thse -Pan92] et dans -PG95], Pankaj a dtermin une borne infrieure sur
la charge ncessaire dans le pire des cas pour router une instance de permutation
dans un graphe quelconque de degr maximum donn. La technique utilise
repose sur la construction d'une instance de permutation dont les requtes sont
distantes, de manire maximiser la somme des distances de l'instance. En
divisant cette somme par le nombre de liens dans le graphe, on obtient une
minoration de la charge moyenne d'un routage, et donc de la charge maximale.
Plus prcisment, il est montr que dans tout graphe orient G de degr
entrant ou sortant maximum 2, il existe une instance de permutation I1
68
telle que ~(G I1) blog2N=2c . La preuve donne dans -PG95] peut tre modie
an d'amliorer le rsultat. Aussi nous donnons directement le thorme optimis
et sa preuve :
Proposition 3.1.15 4 Pour tout graphe orient G de degrs maximum sortant
et entrant + ; 2, avec = max f+ ;g et = min f+ ;g, il existe
une instance de permutation I1 telle que
; 1)c :
~w(G I1 ) ~(G I1) blog (N
Supposons que = + (et = ;). Le cas inverse est identique
par symtrie. Pour tout sommet x dans G, il y a au plus sommets distance 1
de x, et plus gnralement au plus d distance d. Donc le nombre de sommets
distance < d de x est au plus
d;1
d
X
i = ; 1 d
;1
i=0
Ainsi, en posant d0 = blog (N ; 1)c, on obtient que le nombre de sommets distance < d0 de x est au plus N ; 1. Par consquent, il existe un sommet distance au moins d0 de tout sommet x.
Construisons prsent un graphe biparti H = (V1 V2 E ) o+ V1 et V2 sont
deux copies de V (G) et tel que l'arte fx1 y2g est dans E si et seulement si
dG(x y) d0, o+ x et y sont les deux sommets correspondants dans G. D'aprs
ce qui prcde, tous les sommets de V1 ont un degr au moins 1, et les sommets de V2 aussi par le raisonnement symtrique, puisque d0 blog; (N ; 1)c.
Le thorme de Knig-Hall (dont un corollaire arme qu'il existe dans tout
(multi)graphe biparti un couplage saturant tous les sommets de degr maximum,
voir par exemple -Ber83]) implique alors l'existence d'un couplage parfait dans H ,
qui induit de faon naturelle une permutation I1 sur les sommets de G (toute arte
fx1 y2g du couplage induit la requte (x y)).
Nous avons donc montr l'existence d'une instance de permutation dans le
graphe G qui ncessite N chemins, chacun de longueur au moins d0. La charge
d'un routage pour cette instance est minore par le rapport entre la somme des
longueurs de ses chemins et le nombre d'arcs valant au plus N , ce qui donne
0N
= blog (N ;1)c .
2
~w(G I1) ~(G I1) dN
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Preuve.
La mme technique de dmonstration permet d'obtenir un rsultat encore plus
satisfaisant dans le cas des graphes orients symtriques et sommet-transitifs.
Un graphe orient G = (V A) est sommet-transitif si pour
tout couple de sommets (a b), il existe une bijection sur l'ensemble V (G), telle
que (a) = b et (x y) 2 A(G) si et seulement si ((x) (y)) 2 A(G).
Dfinition.
69
Proposition 3.1.16 (Pankaj -Pan92]) 4 Pour tout graphe orient symtrique et
sommet-transitif G de diamtre D et de degr maximum , il existe une instance
de permutation I1 telle que
~w(G I1) ~(G I1) D
:
Remarque. Notons que cette dernire borne ne peut tre amliore, puisqu'elle
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s'applique exactement au cas de l'hypercube, o+ D= = 1. En eet, comme nous
le verrons ultrieurement, l'instance forme des couples de sommets antipodaux
(de charge uniforme 1) peut tre route avec une seule longueur d'onde.
Intressons-nous prsent aux k-relations. Pour rappel, une k-relation est
une instance de communication o+ chaque sommet est origine et destination d'au
plus k requtes. Par le thorme de Knig-Hall, on peut partitionner une krelation en k instances de permutation. Rciproquement, l'union de k instances de
permutation donne une k-relation (qui peut tre une multi-instance, o+ certaines
requtes peuvent apparatre plusieurs fois). Ainsi, les deux thormes prcdents
peuvent tre facilement adapts au cas des k-relations, en multipliant les bornes
infrieures par k.
En s'inspirant de la construction de la gure 3.2 donne par Aggarwal et
al. -ABNC+ 94, ABNC+ 96], Raghavan et Upfal ont obtenu dans -RU94] une borne
infrieure pour le routage optique non-orient des k-relations, qui tient compte de
l'arte-expansion du graphe. En adaptant leur preuve l'aide de la construction
de la gure 3.3, on obtient un rsultat quivalent dans le modle orient, qui tient
compte de l'arc-expansion du graphe.
Soit G = (V A) un graphe orient. Pour tout S V (G), soit
m(S ) le nombre d'arcs ayant seulement leur extrmit initiale dans S .
L'arc-expansion de G est alors dnie par
m(S ) :
(G) = 1jmin
S jN=2 jS j
Dfinition.
Ce paramtre a t tudi dans le cas des graphes non-orients par Mohar -Moh89] sous le nom de nombre isoprimtrique. Une dnition lgrement
dirente a t considre par Sol dans -Sol95]. Son inverse peut se voir comme
un minorant de la charge ncessaire pour router une permutation dans le pire cas.
On peut de mme montrer facilement que pour tout graphe G orient d'ordre N ,
(G):~(G IA) N=2, o+ IA est l'instance de l'change total. Ce paramtre vaut
par exemple = N=2 pour le graphe complet d'ordre N et = 2=N pour le
70
chemin de longueur N , et pour ces deux graphes on a l'galit dans la relation
prcdente si N est pair. Dans le cas du chemin, il est facile de construire une
k-relation comprenant kN=2 requtes devant toutes utiliser le mme arc central.
Le nombre de couleurs pour cette instance sera alors gal ~w = kN=2 = k= . Le
rsultat suivant montre qu'on peut se trouver dans une situation encore pire, en
termes d'arc-expansion.
Proposition 3.1.17 ((d'aprs Raghavan et Upfal -RU94])) 4 Pour tout 1
et tout 1 k N , il existe un graphe orient G planaire, de degr born et
d'arc-expansion , et une k-relation Ik , tels que
~w(G Ik ) = (k= 2 ) :
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Preuve. Considrons la pseudo-grille oriente Gn , reprsente pour n = 4 sur
la gure 3.3, sur laquelle on gree un chemin orient (symtrique) de longueur n
sur chaque si et ti, pour 1 i n. Le graphe orient Hn ainsi obtenu possde
une arc-expansion approximativement gale 1=n, pour n grand. Constituons
prsent l'instance Ik l'aide de k requtes (sji tji ) pour 1 i j n, o+ sji et tji
sont les j -mes sommets des chemins relis respectivement si et ti . Il s'en suit
que Ik est une k-relation et que toutes ses requtes entrent en con,it, pour les
mmes raisons que prcdemment. Nous avons donc ~w(Hn Ik ) = kn2 = (k= 2).
2
La dernire proposition repose sur l'adaptation au cas orient qui a permis
d'obtenir la proposition 3.1.8 et qui ne connat pas d'quivalent dans le cas
orient symtrique. La question suivante se pose donc sur le mme plan que
la question 3.1.10.
Question 3.1.18 4 La proposition 3.1.17 est-elle vrie pour les graphes
orients symtriques ?
tant donn un problme de routage optique (G I ), nous avons tabli au
dbut de ce chapitre que ~w(G I ) L(R)~(G I R) pour tout routage R ralisant
l'instance I , o+ L(R) est la longueur maximale des chemins de R. Ainsi, il est
intressant de savoir router une instance en minimisant la fois la charge et la
longueur des chemins. Ce problme a t trait par Leighton et Rao -LR88] dans
le modle non-orient et dans le cadre des rseaux de multi,ot. Le rsultat qui
nous intresse concerne les instances de permutation et peut tre transpos au
cas orient symtrique, c'est pourquoi nous le formulons sous cette forme.
Thorme 3.1.19 (Leighton et Rao -LR88]) 4 Pour tout graphe orient symtrique G de degr born et d'arc-expansion , et pour toute instance de permutation I1 , on peut obtenir en temps polynmial un routage R ralisant I1 tel que
~(G I1 R) = O(log N= ) et L(R) = O(log N= ), o L(R) est la longueur maximale des chemins de R.
71
Malheureusement, aucun rsultat quivalent pour les graphes orients nonsymtriques n'est connu, les problmes de multi,ot tant en gnral plus difciles rsoudre dans ce cas. En utilisant le thorme prcdent, Aumann et
Rabani -AR95] ont obtenu une borne suprieure qui dcoule de la remarque cidessus et du fait qu'une k-relation peut tre dcompose en k permutations. Au
vu de la proposition 3.1.17, le rsultat suivant constitue une bonne approximation
asymptotique du problme de routage optique pour les k-relations dans les cas
les pires.
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Corollaire 3.1.20 (Aumann et Rabani -AR95]) 4 Pour tout graphe orient
symtrique G de degr born et d'arc-expansion , et pour toute k-relation Ik ,
le problme de routage optique (G Ik ) peut tre rsolu en temps polynmial en
utilisant O(k log2 N= 2 ) longueurs d'onde.
3.1.3 Diusion et multicast
Une instance de diusion dans un graphe G = (V A) est constitue de tous
les couples (u0 v) pour un sommet u0 x : IO (u0) = f(u0 v) j v 2 V (G) v 6=
u0g. Il s'agit donc de router et colorer N ; 1 requtes de communication. Si le
degr sortant de u0 est not d+(u0), au moins jIO(u0)j=d+(u0) chemins doivent
ncessairement partager un arc issu de u0, d'o+ ~w(G IO(u0)) ~(G IO (u0)) d dN+(;u10 ) e. Par ailleurs, si G est k-arc-connexe, en utilisant le corollaire 3.1.14
on a ~w(G IO(u0)) d Nk;1 e. Donc, comme il a t montr dans -BGP+96], cela
nous donne la valeur exacte de ~w(G IO(u0)) pour la diusion dans un graphe
k-arc-connexe partir d'un sommet de degr sortant k.
Proposition 3.1.21 (Bermond et al. -BGP+96]) 4 Pour tout graphe orient G
k-arc-connexe et pour une instance de diusion IO (u0) partir d'un sommet u0
de degr sortant k,
N
;
1
:
~w(G IO(u0)) = ~(G IO(u0)) = k
Ce dernier rsultat est intressant car il s'applique pour diuser partir d'un
sommet de degr sortant minimum dans les graphes dits d'arc-connexit maximale, pour lesquels l'arc-connexit est justement gale au degr minimum sortant.
D'aprs un thorme de Mader -Mad71], les graphes sommet-transitifs font partie
de cette famille, et donc galement tous les graphes de Cayley.
Une gnralisation de la proposition prcdente a t tablie dans -BHP98]
et fait l'objet de l'article en annexe A. Une instance de multicast est un multiensemble de requtes tel que la projection sur la premire coordonne est rduite
72
un sommet unique. Ainsi une instance de diusion est un cas particulier de
multicast.
Thorme 3.1.22 (Beauquier, Hell et Prennes -BHP98]) 4 Pour tout graphe
orient G et toute instance de multicast IM , le problme de routage optique (G IM )
peut tre rsolu de faon optimale en temps polynmial, et de plus,
~w(G IM) = ~(G IM) :
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3.1.4 change total
Nous rappelons que l'instance de l'change total dans un graphe G est dnie
par IA = V (G) V (G). Tous les rsultats de cette section sont accompagns
d'algorithmes optimaux rsolvant les problmes en temps polynmial. Notons
que la complexit de la dtermination des paramtres ~(G IA) et ~w(G IA) en
gnral demeure un problme ouvert.
Bermond et al. dans -BGP+96] et indpendamment Wilfong dans -Wil96] ont
trait le cas des cycles.
Thorme 3.1.23 4 Dans tout cycle orient symtrique CN ,
~w(CN IA ) = ~(CN IA) = dbN 2 =4c=2e :
Le cas de l'hypercube a t rsolu par Pankaj dans -Pan92] et indpendamment
par Bermond et al. dans -BGP+96].
Thorme 3.1.24 4 Dans tout hypercube orient symtrique Hd de dimension d et d'ordre N = 2d,
~w(Hd IA) = ~(Hd IA) = 2d;1 :
Les trois rsultats suivants font l'objet de l'article en annexe B. Le premier
gnralise le thorme prcdant et a t montr galement en partie dans -Tog98b,
Tog98a].
Thorme 3.1.25 (Beauquier -Bea99]) 4 Soient n1 n2 : : : nd des entiers tels
que 2 n1 n2 : : : nd. En notant par K (n1 n2 : : : nd) la somme cartsienne des d graphes complets Kn (1 i d) orients symtriques,
i
~w(K (n1 n2 : : : nd) IA) = ~(K (n1 n2 : : : nd ) IA) =
73
d
Y
i=1
ni :
Thorme 3.1.26 (Beauquier -Bea99]) 4 Dans toute grille torique carre Cnd
de dimension d, de ct n et d'ordre N = nd ,
~w(Cnd IA) = ~(Cnd IA ) = nd+1 =8, si n est pair, et sinon,
~(Cnd IA) = (n2 ; 1)nd;1 =8 ~w(Cnd IA) (n + 1)d+1 =8 = ~w(Cnd+1 IA )
Thorme 3.1.27 (Beauquier -Bea99]) 4 Dans toute grille carre Pnd de dimen-
sion d, de ct n et d'ordre N = nd ,
~w(Pnd IA) = ~(Pnd IA) = nd+1 =4, si n est pair, et sinon,
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~(Pnd IA) = (n2 ; 1)nd;1=4 ~w(Pnd IA) (n + 1)d+1=4 = ~w(Pnd+1 IA )
Enn, le cas des arbres de cycles a t considr dans -BPT99] et fait l'objet
de l'annexe C. Notons que cette tude traite de graphes munis d'une pondration
sur les sommets et d'un change total pondr en consquence.
Dfinition. Un arbre
de cycles est un graphe form par une union de cycles
qui s'intersectent deux--deux en au plus un sommet, et tel que deux sommets
quelconques peuvent tre relis par exactement deux chemins arte-disjoints.
Thorme 3.1.28 (Beauquier, Prennes et T%th -BPT99]) 4 Dans tout arbre
de cycles pondr T , ~w(T IA ) = ~(T IA ).
Au vu de ces rsultats varis, une perspective de recherche intressante serait
de montrer l'galit entre les paramtres ~w et ~ pour l'change total dans tout
graphe orient, moins de trouver un contre-exemple. La question reste ouverte.
Question 3.1.29 4 L'galit ~w(G IA) = ~(G IA) est-elle vrie pour l'instance
d'change total IA dans tout graphe orient G ?
Nous pensons que c'est au moins le cas pour les graphes orients symtriques.
Conjecture 3.1.30 4 L'galit ~w(G IA) = ~(G IA) est vrie pour l'instance
de l'change total IA dans tout graphe orient symtrique G.
L'tude du paramtre (G IA) en non-orient, qui a t introduit initialement
(pour la charge des sommets) par Chung et al. dans -CCRS87] sous le nom
d'indice de transmission (forwarding index) et qui est souvent reli au cas orient, a donn lieu des rsultats gnraux par Heydemann, Meyer et Sotteau
dans -HMS89] et par Heydemann et al. dans -HMOS94].
74
3.2 Rseaux particuliers
Lorsque la topologie du rseau est prdtermine, il est souvent plus facile d'exploiter ses proprits structurelles connues l'avance an de rsoudre ecacement
le problme du routage optique. Quand ce problme demeure NP -complet malgr la restriction une certaine classe de rseaux et/ou une certaine famille
d'instances de communication, on parvient cependant obtenir de meilleures
approximations que dans le cas gnral. Nous considrons en premier lieu le
cas des arbres, trs frquemment utiliss dans les rseaux de tlcommunications
longue distance, puis nous traiterons certaines familles de graphes plus adapts
aux rseaux locaux, de par leur forte connexit.
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3.2.1 Arbres
Dans notre contexte, un arbre est un graphe orient symtrique fortement connexe et sans circuit. Cela revient dire qu'il existe un seul chemin lmentaire
reliant un couple de sommets donns. Par consquent, le problme du routage ne
se pose pas dans les arbres : toutes les requtes sont routes par les plus courts
chemins.
L'exemple le plus simple d'arbre est le chemin. Dans ce cas, la coloration des
requtes peut se faire indpendamment pour celles qui vont dans un sens et dans
l'autre, et chacun de ces deux sous-problmes devient un problme polynmial
bien connu : la coloration des sommets du graphe d'intervalles correspondant. C'est le graphe de con,it constitu d'un sommet par requte et d'une
arte entre requtes qui se chevauchent. Une coloration gloutonne dans l'ordre
des sources des requtes donne une solution optimale. Ainsi ~w(PN I ) = ~(PN I )
pour toute instance I dans tout chemin orient symtrique PN de longueur N ; 1.
Une autre famille d'arbres relativement simple est celle des toiles. Une
toile est un arbre ayant un seul sommet de degr suprieur 1. L'toile
oriente symtrique d'ordre N 3 est note SN .
L'exemple de la gure 2.5 (page 46) montre que l'galit ~w(T I ) = ~(T I )
n'est pas vrie pour tout arbre T et toute instance I . Nous pouvons cependant
caractriser les arbres pour lesquels cette galit est satisfaite pour toute instance.
Une subdivision d'toile (spider en anglais) est un arbre
ayant au plus un sommet de degr suprieur 2.
Dfinition.
Thorme 3.2.1 4 Soit T un arbre orient symtrique. Les deux assertions
suivantes sont quivalentes :
75
(a) T est une subdivision d'toile.
(b) Pour toute instance I , ~w(T I ) = ~(T I ).
On peut dduire de sa dnition qu'une subdivision d'toile est
forme par l'union de chemins qui s'intersectent tous en un mme sommet. Les
chemins de longueurs 2 et les toiles sont des subdivisions d'toiles particulires.
On a vu que la condition (b) est satisfaite pour les chemins. Montrons qu'elle est
aussi vrie pour les toiles.
Notons V (SN ) = fu1 u2 : : : uN g l'ensemble des sommets de l'toile SN , de
telle manire que tous les sommets sauf u1 soient de degr 1. Soit I une instance
de communication dans SN . On peut supposer sans perte de gnralit que le
sommet u1 ne fait partie d'aucune requte de I . Dans le cas contraire, les requtes
concernant u1 se colorent en dernier facilement et en conservant la proprit
dsire. Soit G(I ) = (V1 V2 E ) le (multi)graphe biparti tel que V1 = faig1<iN ,
V2 = fbj g1<jN , et l'arte ai bj ] 2 E (G) pour toute requte (ui uj ) 2 I . De cette
dnition on en dduit que deux artes de G(I ) sont adjacentes si et seulement
si les deux requtes correspondantes dans I sont en con,it (voir gure 3.6, avec
une notation dirente). Par consquent, trouver une coloration des requtes
de I revient trouver une coloration des artes de G(I ), telle que deux artes
adjacentes sont colores diremment.
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Preuve.
A
a
a’
b
b’
B
c
c’
d
d’
e
e’
E
C
D
Figure 3.6: Couplage biparti et routage optique dans une toile oriente.
Pour ce problme, connu galement sous le nom de problme de couplage dans
un graphe biparti, il existe le thorme de Knig-Hall (voir -Ber83] par exemple)
qui nous dit que dans tout (multi)graphe biparti de degr maximum , on peut
76
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trouver une coloration des artes qui utilise couleurs. En remarquant que le
degr maximum de G(I ) correspond exactement la charge maximale des arcs
de l'toile SN pour l'instance I , on obtient que ~w(SN I ) = ~(SN I ).
Pour gnraliser cette proprit aux subdivisions d'toiles, la technique employe repose sur une combinaison des deux mthodes appliques aux toiles et
aux chemins respectivement. tant donne une instance dans une subdivision
d'toile, on peut colorer les requtes entre les direntes branches par la technique utilise pour les toiles, et les requtes restantes l'intrieur des branches
par la technique utilise pour les chemins, de manire conserver l'galit entre
le nombre de couleurs utilises et la charge maximale des arcs. L'implication
(a))(b) peut tre ainsi dmontre.
Pour montrer la contrapose, il sut de montrer que si la condition (a) n'est
pas satisfaite, alors la condition (b) non plus. Soit T un arbre possdant au moins
deux sommets de degrs 3, nots u et v. Soient u1 et u2 (resp. v1 et v2) deux
sommets voisins de u (resp. de v) non situs sur le plus court chemin reliant u
et v. Alors l'instance I = f(u1 v) (u v1) (v2 v1) (v2 u2) (u1 u2)g est telle que
~(T I ) = 2 et ~w(T I ) = 3, de la mme faon que sur la gure 2.5, page 46. D'o+
(b))(a).
2
Dans sa gnralit, le problme de routage optique dans les arbres orients
symtriques a t montr NP -dur par Erlebach et Jansen -EJ96] et par Kumar
et al. -KPRS97], mme si la charge de l'instance vaut 3. Il le demeure pour les
arbres binaires -EJ97, KPRS97] et pour les arbres de profondeur 2 -KPRS97],
sans restriction sur la charge. Il devient cependant polynmial pour les arbres de
taille borne -KPRS97].
Dirents travaux ont tent d'approximer ce problme dicile. Nous commenons par prsenter les rsultats obtenus dans le modle non-orient.
Dans ce cas, la coloration des chemins correspond la coloration des graphes
EPT (pour Edge intersection graphs of Paths in a Tree, en anglais) tudis par
Golumbic et Jamison dans -GJ85a, GJ85b], qui ont montr notamment que leur
reconnaissance et leur coloration sont NP -diciles. En fait, ils ont montr que
le problme de coloration est dj NP -dur dans les toiles, par rduction du
problme de la coloration des artes d'un multigraphe, de la manire suivante.
Notons V (SN ) = fu1 u2 : : : uN g l'ensemble des sommets de l'toile SN centre en u1. Soit I une instance dans SN et soit G(I ) = (V (SN ) E (I )) le multigraphe tel que l'arte ui uj ] 2 E (I ) pour toute requte (ui uj ) 2 I . De cette
dnition on en dduit que deux artes de G(I ) sont adjacentes si et seulement
si les deux requtes correspondantes dans I sont en con,it (voir gure 3.7, avec
une notation dirente). Par consquent, trouver une coloration des requtes
77
de I revient trouver une coloration des artes de G(I ), telle que deux artes
adjacentes sont colores diremment.
A
A
B
E
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C
B
D
E
C
D
Figure 3.7: Arte-coloration d'un multigraphe et routage optique dans une toile
non-oriente.
Comme Tarjan prcdemment dans -Tar85], Raghavan et Upfal -RU94] ont
montr que w(T I ) 3(T I )=2 pour toute instance dans tout arbre. Ce rsultat s'appuie sur le thorme de Shannon -Sha49] qui permet de colorer les
artes d'un multigraphe de degr maximum l'aide de 3=2 couleurs (voir
par exemple -FW77] pour une prsentation de l'algorithme).
Il a t observ dans -MKR95] que ce facteur d'approximation 3=2 peut tre
amlior asymptotiquement en 9=8 gr'ce l'algorithme de coloration des artes de
Goldberg -Gol84a, Gol84b]. De mme, en utilisant un thorme d'approximation
de Nishizeki et Kashiwagi -NK90], Erlebach et Jansen ont donn dans -EJ96]
un algorithme ayant pour facteur d'approximation 1:1 asymptotiquement et 4=3
dans l'absolu. D'aprs -Hol81], il est NP -dur de dcider si les artes d'un graphe
de degr 3 sont colorables avec 3 ou 4 couleurs. Le facteur 4=3 d'approximation
absolue est donc le meilleur possible.
Thorme 3.2.2 (Erlebach et Jansen -EJ96]) 4 Pour tout arbre non-orient T
et pour toute instance I , le problme de routage optique (T I ) peut tre rsolu en temps polynmial en utilisant w(T I ) couleurs si w(T I ) 2 et au plus
b1:1w(T I ) + 0:8c couleurs sinon.
Remarque. Dans le modle non-orient, il est dicile de colorer un ensemble
de chemins qui partagent un sommet, puisque cela revient colorer les artes d'un
78
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multigraphe. En revanche, il est ais de combiner de telles colorations locales pour
obtenir une coloration globale de tous les chemins considrs, sans augmenter le
nombre de couleurs utilises. Inversement, dans le modle orient, il est facile de
colorer des chemins qui partagent un sommet, puisque cela revient colorer les
artes d'un graphe biparti, mais il est dicile de combiner plusieurs colorations
locales optimales pour former une coloration globale optimale.
Mihail, Kaklamanis et Rao -MKR95] ont t les premiers considrer le cas
orient pour les rseaux optiques. Contrairement aux graphes EPT, les graphes
de con,it de chemins dans les arbres orients symtriques n'avaient pas retenu
l'attention auparavant. Leur rsultat sur les arbres est une borne de 15~(T I )=8
pour ~w(T I ), obtenue en rduisant le problme d'allocation des longueurs d'onde
un cas particulier de coloration des artes d'un graphe biparti, comme il a t
montr prcdemment pour les toiles. En utilisant la mme technique gnrale,
le facteur 15=8 a pu tre amlior en 7=4 par Kaklamanis et Persiano dans -KP96]
(et indpendamment par Kumar et Schwabe dans -KS97]), puis en 5=3 par Erlebach et al. dans -EJKP97, EJK+99].
Thorme 3.2.3 (Erlebach et al. -EJKP97, EJK+99]) 4 Pour tout arbre orient
symtrique T et pour toute instance I , le problme de routage optique (T I ) peut
tre rsolu en temps polynmial en utilisant d5~(T I )=3e longueurs d'onde.
L'algorithme permettant d'atteindre ce rsultat prsente en outre l'avantage
d'tre glouton. Il procde par phases en parcourant les sommets de l'arbre en
profondeur et en colorant pour chacun d'eux tous les chemins qui le contiennent
et qui n'ont pas t pralablement colors. Cette procdure est rduite un
problme contraint de coloration des artes d'un graphe biparti, d'o+ est issu le
rsultat. Un tel algorithme ne ncessite pas de contrle global, dans le sens o+
chaque sommet dcide localement, son tour, quelles couleurs il attribue aux
requtes qui le concernent et qui ne sont pas dj colores.
Notons que des algorithmes plus simples ont t fournis pour les arbres binaires dans -CKP97] et -Jan97], permettant de colorer toute instance I l'aide
d'au plus b5~(T I )=3c couleurs, ce qui prsente une trs lgre amlioration par
rapport au cas gnral. Il est donn de plus dans -Jan97] une construction non
triviale dans un arbre binaire, pour laquelle ~ = 3 et ~w = 5.
L'importance du thorme 3.2.3 est souligne par la proprite, montre galement dans -CKP97, Jan97, EJKP97, EJK+99], qu'aucun algorithme glouton de
ce type ne peut procurer de meilleure approximation par rapport la charge :
Proposition 3.2.4 (Erlebach et al. -EJKP97, EJK+99]) 4 Pour tout > 1,
tout > 0 et tout algorithme glouton A, il existe un arbre orient symtrique T
(binaire) et une instance I , tels que ~(T I ) = et A rsoud le problme (T I )
en utilisant au moins (5=3 ; ) longueurs d'onde.
79
Par ailleurs, comme dans le modle non-orient, en se basant sur la NP dicult de la coloration des artes d'un multigraphe de degr 3 -Hol81] et par
une rduction de ce problme, Erlebach a montr dans sa thse -Erl98] qu'on ne
peut esprer obtenir un algorithme polynmial d'approximation infrieure 4=3 :
Thorme 3.2.5 (Erlebach -Erl98]) 4 Dcider si ~w(T I ) = 3 pour une instance I dans un arbre T orient symtrique est NP -complet. Par consquent,
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il n'existe pas d'algorithme polynmial pour le problme de routage optique ayant
un facteur d'approximation infrieur 4=3, moins que P = NP .
Toujours pour apprcier le facteur d'approximation 5=3 du thorme 3.2.3,
on peut exhiber des problmes de routage optique dans des arbres ayant une
charge arbitrairement grande et tels que le rapport ~w=~ vaut 5=4. La construction
de tels exemples est base sur l'exemple (T I ) de la gure 2.5, page 46. En
notant I n l'instance forme par n copies de I , pour tout n 2, le problme (T I n)
revient multi-colorer les sommets d'un pentagone. D'aprs un rsultat montr
dans -HR82], nous en dduisons la proposition suivante, donne dans -BBG+97]
et galement par Kumar et Schwabe dans -KS97] :
Proposition 3.2.6 4 Pour tout entier il existe un problme (T I ) dans un
arbre orient symtrique T , tel que
~(T I ) et ~w(T I ) 5~(T I )=4 :
Conjecture 3.2.7 4 La constante 5=4 de la proposition 3.2.6 est ne.
Le problme de l'change total dans les arbres orients symtriques a t
rsolu par Gargano, Hell et Prennes -GHP97], par un algorithme polynmial
permettant de colorer toutes les requtes de l'instance IA l'aide de ~(T IA)
couleurs. En fait, le rsultat a t dmontr pour les arbres pondrs, pour
lesquels les sommets ont des poids entiers et l'instance IA comporte pour chaque
couple de sommets autant de copies de la requte correspondante que le produit
de leurs poids respectifs.
La dmonstration est inductive et repose sur le fait que tout arbre peut tre
obtenu partir d'une toile pondre, de mme poids total et de mme charge
maximale pour l'change total, l'aide de deux oprations sur les feuilles qui sont :
1) l'ajout d'une nouvelle feuille sur une ancienne, et 2) la division d'une feuille en
deux feuilles. Ces deux oprations sur les feuilles d'un arbre pondr maintiennent
constant le poids total des sommets en jeu ainsi que la charge maximale des
arcs pour l'change total. Pour chacune d'elles, une modication adquate de la
coloration des requtes est fournie, notamment l'aide du thorme de Knig-Hall
pour l'opration de division.
80
Thorme 3.2.8 (Gargano, Hell et Prennes -GHP97]) 4 Pour tout arbre orient symtrique T et pour l'instance d'change total IA , le problme de routage
optique (T IA) peut tre rsolu de faon optimale en temps polynmial et
~w(T IA) = ~(T IA) :
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Dans le modle non-orient, ce dernier rsultat n'est pas vri en ce qui
concerne l'galit entre ~w et ~. En eet, pour la subdivision d'toile S ayant trois
branches de longueur 2 chacune, et donc 7 sommets au total, nous avons une
charge (S IA) = 2:(2:5) = 20, atteinte sur les artes intrieures, or au moins
24 couleurs sont ncessaires pour colorer les 3 groupes de 8 requtes entre les
branches distinctes, qui entrent en con,it deux deux.
Cependant, il n'a pas t dmontr notre connaissance que ce problme ne
pouvait pas tre rsolu ecacement, aussi nous formulons la question.
Question 3.2.9 4 Pour tout arbre non-orient T et pour l'instance d'change
total IA, le problme de routage optique (T IA) peut-il tre rsolu de faon optimale en temps polynmial ?
3.2.2 Cycles
Dans notre contexte, sauf prcis explicitement, un cycle est un graphe orient
symtrique, qui peut se dnir comme tant fortement connexe et 2-rgulier.
Contrairement au cas des arbres o+ le problme de routage ne se pose pas, il
intervient dans les cycles sous la forme de choix binaires : pour router chaque
requte par un chemin, il faut dcider quelle orientation du cycle utiliser.
tant donn un routage pour raliser une instance de communication, le problme de la coloration de ses chemins est alors quivalent au problme bien connu
de la coloration des sommets des graphes arc-circulaires, montr NP -complet
dans -GJMP80]. Au vu de la libert supplmentaire accorde par le choix du
routage, il n'est pas immdiat que le problme de routage optique dans les cycles soit galement NP -dicile. Erlebach et Jansen l'ont cependant dmontr
dans -EJ96], aussi bien dans le modle orient que dans le modle non-orient,
par une rduction du problme de la coloration des graphes arc-circulaires. Une
preuve plus simple de NP -complexit pour le cas orient symtrique pourra
toutefois tre trouve dans la version journal de -WW98].
Un algorithme d'approximation de facteur 2 pour le routage optique peut
tre obtenu facilement dans les cycles, comme il a t remarqu prcdemment
dans -RU94] pour le cas non-orient et dans -MKR95] pour le cas orient. Il
sut de router toutes les requtes par des chemins qui n'utilisent pas un lien
81
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
particulier du cycle (une paire d'arcs symtriques ou une arte). De cette faon,
la charge obtenue sur les liens du cycle est au plus double de la charge optimale
pour l'instance considre. Le graphe de con,it des chemins rsultants est alors
un graphe d'intervalles, qui se colore en temps polynmial avec autant de couleurs
que la charge du routage. La charge optimale minorant le nombre de couleurs
optimal, le facteur d'approximation est bien de 2.
ce jour, il n'est malheureusement pas connu d'algorithme dterministe qui
possde un meilleur facteur d'approximation, ce qui peut paratre surprenant.
Cependant, Kumar a rcemment prsent dans -Kum98] un algorithme randomis d'approximation asymptotique 1 + 1=e ' 1:37, avec forte probabilit,
sous l'hypothse log jI j = o(~(G I )). Un rsultat complmentaire est fourni
dans -Che99].
En ce qui concerne le problme de routage, Wilfong et Winkler dans -WW98]
ont rcemment donn un algorithme polynmial pour router toute instance I dans
un cycle orient symtrique C avec une charge maximale ~(C I ). Leur mthode
consiste utiliser une relaxation du programme linaire entier correspondant et
une technique d'arrondi qui prserve l'optimalit entire de la solution.
Thorme 3.2.10 (Wilfong et Winkler -WW98]) 4 Pour tout cycle C orient
symtrique et toute instance I , on peut trouver en temps polynmial un routage R
ralisant I tel que ~ (C I R) = ~(C I ).
Le rsultat quivalent dans le modle non-orient avait dj t dmontr
par Frank et al. dans -Fra85, FNS+92], partir d'un rsultat de Okamura et
Seymour -OS81].
Thorme 3.2.11 (Frank et al. -FNS+92]) 4 Pour tout cycle non-orient C et
pour toute instance I , on peut trouver en temps linaire un routage R pour I tel
que (C I R) = (C I ).
Le facteur d'approximation dterministe de 2 mentionn ci-dessus rsulte
d'une coloration l'aide d'un nombre de couleurs au plus double de la charge
(on peut mme conomiser une couleur facilement, voir -Tuc75]). Il s'avre qu'on
ne peut mieux faire par rapport la charge, comme le montre l'exemple donn la
page 66, pour lequel ~w(C I ) = 2~(C I ) ; 1. Aussi les deux thormes prcdents
ne permettent pas d'envisager une meilleure approximation dans le cas gnral.
En revanche, tant donn un routage dans un cycle, on peut approximer la
coloration de ses chemins par un facteur 3=2. En eet, un rsultat trs peu
connu de Karapetyan -Kar80] permet de colorer les sommets d'un graphe arccirculaire avec b3'=2c couleurs, o+ ' reprsente la taille maximale d'une clique.
82
Le meilleur algorithme prcdemment connu (bien qu'antrieur!) tait celui de
Shih et Hsu -SH90] orant un facteur d'approximation gal 5=3.
Thorme 3.2.12 (Karapetyan -Kar80]) 4 On peut colorer en temps polynmial
toute famille F d'arcs sur un cercle en utilisant b 23 '(F )c couleurs.
Il serait donc souhaitable d'obtenir un algorithme de routage qui minimise la
taille de la clique maximale engendre dans le graphe de con,it des chemins, an
de tirer prot de ce rsultat.
Enn, notons que dans le cas o+ un routage donn est propre, c'est--dire si
aucun chemin n'est contenu dans un autre, Orlin, Bonuccelli et Bovet ont donn
un algorithme optimal pour sa coloration -OBB81].
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3.2.3 Grilles
Kramer et van Leeuwen ont donn dans -KvL84] une preuve de NP -compltude
pour un problme de routage intervenant dans le contexte de la thorie VLSI.
Elle permet d'en dduire l'aide de lgres modications que le mme rsultat
pour le problme du routage disjoint maximum dans les grilles bidimensionnelles
orientes symtriques ou non-orientes. Par consquent, sont galement NP diciles les problmes du routage optique et du routage dans ces topologies, et
il n'existe aucun algorithme d'approximation ayant un facteur infrieur 2, moins que P = NP .
Le modle non-orient a t tudi essentiellement. Pour toute grille G de
dimension borne et d'ordre N , et pour toute instance I , Aumann et Rabani ont
donn dans -AR95] un algorithme d'approximation pour rsoudre le problme
du routage optique (G I ) l'aide de O(log N log jI jw(G I )) couleurs. La technique utilise repose sur l'utilisation d'une routine pour le problme du routage
disjoint maximum, ayant un facteur d'approximation en O(log N ). Kleinberg et
Tardos ont amlior cette routine dans -KT95] pour une classe de graphes incluant les grilles bidimensionnelles, en obtenant une approximation constante, ce
qui mne une approximation en O(log N ) pour le routage optique. La dernire
amlioration, toujours pour une dimension de 2, a t apporte par Rabani :
Thorme 3.2.13 (Rabani -Rab96]) 4 Pour toute grille carre non-oriente Pnd
d'ordre N = nd et pour tout instance I , le problme de routage optique (Pnd I ) peut
tre rsolu en temps polynmial et en utilisant poly(log log N ):w(Pnd I ) longueurs
d'onde, o poly dsigne un polynme. De plus, w(Pnd I ) peut tre calcul un
facteur constant prs.
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90
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Conclusion et perspectives
Nous avons tudi dans cette thse des problmes d'optimisation modlisant
l'allocation des ressources pour la satisfaction de requtes de connexion dans
les rseaux de communication optiques. Dans le premier chapitre, nous avons
prsent la technologie optique pour les tlcommunications, an de prciser le
cadre technique de notre recherche et d'aider le lecteur informaticien la comprhension des contraintes physiques sous-jacentes la modlisation thorique.
Dans le deuxime chapitre, nous avons pos la problmatique tudie au cours de
la thse et dcrit formellement le modle et les problmes qui ont servi de base
nos recherches. Nous avons ensuite fourni dans le troisime chapitre une synthse des rsultats obtenus dans la littrature concernant le problme du routage
optique et ses relations avec le problme de la charge. Les rsultats que nous
avons obtenus sont dtaills dans les annexes qui suivent, sous la forme d'articles
en anglais et dans le format des rapports de recherche.
Un grand nombre de perspectives de recherches semblent prometteuses. Nous
avons montr au dbut du troisime chapitre pourquoi le problme de routage
optique n'est pas approximable dans sa gnralit dans le cas des graphes orients.
Cependant, aucun rsultat de ce type n'est connu dans le cas orient symtrique.
De plus, la question reste ouverte de savoir dans quelle mesure le rapport ~w=~
(entre le nombre de longueurs d'onde et la charge ncessaires) peut tre lev, ne
serait-ce que suprieur 2.
De manire gnrale, il serait intressant de chercher amliorer les facteurs
d'approximation des algorithmes fournis dans la littrature. En particulier, le facteur de 5=3, valable pour toute instance du problme de routage optique dans les
arbres orients symtriques, est issu d'un algorithme local et glouton. La question
de savoir si un algorithme centralis peut atteindre une meilleure approximation
mrite d'tre aborde.
Plusieurs de nos rsultats prsents dans les annexes confortent notre sentiment que l'galit ~w(G IA) = ~(G IA) est vrie dans tout graphe orient
symtrique G pour l'instance IA de l'change total. moins de trouver un contreexemple qui contredirait notre conjecture, il serait souhaitable de parvenir montrer cette proprit dans le cas gnral.
91
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Notre modlisation thorique tend simplier la structure relle des rseaux
de communication optiques et les objectifs d'optimisation, tout en conservant les
caractristiques essentielles des problmes rencontrs en pratique. Des gnralisations vers des modles plus larges seraient souhaitables. En particulier, nous
pourrions considrer des rseaux tout-optiques possdant des capacits limites
de conversion et des ensembles de longueurs d'onde disponibles dirents selon
les liens. De plus, nous pourrions chercher optimiser des fonctions de cot
sur les routages optiques qui prennent en compte la complexit des n&uds de
commutation ncessaires pour les raliser.
Ainsi, dans le cadre du projet Porto du RNRT, nouvellement contract avec
Alcatel (Corporate Research Center) et France Telecom (CNET), le domaine de
la conception et du dimensionnement des rseaux optiques de tlcommunications, qui vise minimiser le cot global des quipements mis en place pour
assurer une certaine matrice de trac, nous apparat comme le plus propice valider pratiquement les comptences que nous avons acquises par l'tude des
communications tout-optiques multiplexes en longueur d'onde. De plus, cette
tude comporte de nouveaux aspects pratiques intressants formaliser, comme
ceux issus des direntes politiques de scurisation (protections, restaurations)
des rseaux de transport, destines garantir l'acheminement du trac malgr
d'ventuelles pannes de n&uds ou de liens.
Nous avons considr dans cette thse des problmes relativement rguliers,
sous une approche statique et centralise. Il serait intressant de prolonger ces
travaux dans une perspective dynamique et/ou distribue. Nous souhaiterions
de mme faire voluer nos recherches vers l'analyse de topologies et d'instances
de communication irrgulires. Ceci implique de se familiariser avec de nouvelles
mthodes de rsolution, telles que la programmation linaire en nombres entiers
ou l'algorithmique randomise, an de les associer avec les techniques plus classiques que nous avons utilises jusqu'ici.
92
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Annexes
93
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ANNEXE A
Optimal wavelengthrouted
multicasting
95
96
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Optimal Wavelength–Routed Multicasting
Bruno Beauquier* , Pavol Hell** , Stéphane Pérennes*
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Thème 1 — Réseaux et systèmes
Projet SLOOP
Octobre 1997
Abstract: Motivated by wavelength division multiplexing in all-optical networks, we consider the
problem of finding a set of paths from a fixed source to a multiset of destinations, which can be
coloured by the fewest number of colours so that paths of the same colour do not share an arc. We
prove that this minimum number of colours is equal to the maximum number of paths that share one
arc, minimized over all sets of paths from the source to the destinations. We do this by modeling the
problems as network flows in two different networks and relating the structure of their minimum cuts.
The problem can be efficiently solved (paths found and coloured) using network flow techniques.
Key-words: All–optical networks, WDM routing, multicast, graphs, flows.
(Résumé : tsvp)
Submitted to Discrete Applied Mathematics.
* SLOOP is a joint project with the CNRS and the University of Nice-Sophia Antipolis (I3S laboratory). This work
has been partially supported by the French GDR/PRC Project PRS, by the Galileo Project. Emails : {beauquier,
speren}@sophia.inria.fr
** Simon Fraser University, School of Computing Science, Burnaby, B.C., V5A 1S6, Canada.
Email : [email protected]
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis
2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France)
Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65
Algorithme optimal de multicast tout-optique
Résumé : Ce rapport est motivé par l’étude du routage par multiplexage en longueur d’onde (en
anglais Wavelength Division Multiplexing : WDM) dans les réseaux tout–optiques. Nous considérons
le problème du multicast dans lequel un processeur fixé désire communiquer simultanément avec un
certain nombre d’autres processeurs. Il s’agit de trouver dans le graphe associé des chemins reliant
la source du multicast aux destinations et de colorer ces chemins, de manière à ce qu’aucun lien
du réseau ne soit traversé par deux chemins de la même couleur. Nous résolvons ce problème en
utilisant des techniques de flots. Il en découle un algorithme polynomial pour calculer une solution
optimale.
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Mots-clé : Réseaux tout–optiques, multicast, graphes, routage, flots.
Optimal Wavelength–Routed Multicasting
1
1 Motivation and Definitions
Optics is emerging as a key technology in communication networks, promising very high speed
local or wide area networks of the future. A single optical wavelength supports rates of gigabits per
second, which in turn support multiple channels of voice, data and video [4, 5]. Multiple laser beams
that are propagated over the same fiber on distinct optical wavelengths can increase this capacity even
further. This is achieved through Wavelength Division Multiplexing (or WDM) [2], by partitioning
the optical bandwidth into several channels and allowing the transmission of multiple data streams
concurrently along the same optical fiber.
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All–optical (or single–hop [6]) communication networks provide all source-destination pairs
with end-to-end transparent channels that are identified through a wavelength and a physical path.
Wavelengths being a limited resource, solutions to the problem of efficient routing and wavelengths
allocation are of importance for the future development of optical technology.
The problem we consider here is motivated by switched networks with reconfigurable wavelength
selective optical switches, without wavelength converters, where different signals may travel on
the same communication link (but on different wavelengths) into a node, and then exit from it on
different links, keeping their original wavelengths. See the recent survey [1] for an account of the
theoretical problems and results obtained for this all–optical model.
We use the standard terminology of digraphs and flow networks [3]. A dipath (’directed path’)
in digraph G = (V A) is a sequence of nodes P = (v 1 v2 : : : vk ), k 1, such that (vi vi+1 ) 2 A
for 1 i k ; 1. For any sets S and S 0 in a digraph, we denote by m(S S 0 ) the number of arcs
beginning in S and ending in S 0 . In a flow network [3], we denote by c(u v ) the capacity of the arc
(u v), and by c(S S) the capacity of the cut (S S).
We are now ready to formulate our problems. Let G be a digraph. A request in G is an ordered
pair of nodes (x y ) (corresponding to a message to be sent from x to y ). An instance I in G is a
collection (multiset) of requests (a request (x y ) may appear more than once). A routing R of an
instance I is a collection of dipaths R = fP (x y ) j (x y ) 2 I g, where P (x y ) is a dipath from x
to y .
Let G be a digraph and I an instance in G. For each routing R of I , we denote by ~w(G I R)
the minimum number of wavelengths (’colours’) that can be assigned to the dipaths in R, so that no
two dipaths of the same wavelength share an arc. The WDM problem (G I ) asks for a routing R of
I which minimizes ~w(G I R). We denote by ~w(G I ) this minimum of ~w(G I R) over all routings
R for I .
Let again G be a digraph and I an instance. For each routing R of I , the load of an arc 2 A
in the routing R, denoted by ~ (G I R ), is the number of dipaths of R containing . The load
of a routing R, denoted by ~ (G I R), is the maximum of ~ (G I R ) over all arcs 2 A. The
congestion problem (G I ) asks for a routing R of I which minimizes its load. We denote by ~ (G I )
this minimum of ~ (G I R) over all routings R for I .
99
2
B. Beauquier, P. Hell, S. Pérennes
The relevance of the parameter ~ to our problem is shown by the following lemma:
Lemma 1 ~w(G I )
~(G I ) for any instance I in any digraph G.
Proof. Indeed, to solve a given WDM problem (G I ) one has to use a number of wavelengths
at least equal to the maximum number of dipaths having to share an arc.
2
In this paper, we are interested in a special case of instances where the collection of requests has
the form f(x y ) j y 2 Y g for a fixed node x 2 V , called the originator, and a multiset Y of nodes
in V . Such an instance is called a multicast (or a one–to–many) instance. The particular instance
where Y is the set V , is called a broadcast.
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2 Multicasting and Network Flows
In the case of multicasting, we can model both of the above problems (the WDM problem as well as
the congestion problem) by network flows. Consider a digraph G = (V A) with a multicast instance
I = f(x y) j y 2 Y g, with originator x. In what follows we assume that Y is a set, i.e., that each
node y appears at most once in Y . Indeed, if Y is a general multiset, we can transform the problem
by adding to each destination y which appears in Y (y ) times, a set of (y ) ; 1 vertices of degree
one, adjacent to y , each (as well as y ) having multiplicity one.
We begin by modeling the congestion problem (G I ) (cf. Figure 1 (b)). Let s t be two new
vertices that will play the roles of source and sink. For every positive integer
p, we define the
S
network Fp to have the vertex set V fs tg, the arc set f(s x)g A ( y2Y f(y t)g), and the
capacities c(s x) = 1, c(u v ) = p for all (u v ) 2 A, and c(y t) = 1 for all y 2 Y .
Proposition 2
~(G I ) p if and only if F p has a flow of value jY j.
2
Proof. From the definitions.
For future reference we also consider the capacities of cuts in the network F p . Suppose S is a
subset of V and S = V n S . This gives rise to the cut (S fsg S ftg) in Fp . The capacity of this
cut is infinite when x 2 S; otherwise it is jS \ Y j + p m(S S).
According to the above proposition, ~ (G I ) is the smallest integer p such that F p admits a flow
of value jY j. Combining this with the max-flow min-cut theorem of [3] we obtain
jS \ Y j + ~(G I ):m(S S) jY j, for any S V:
(1)
Next we discuss the network flow model for the WDM problem (G I ) (cf. Figure 1 (c)). Let be a positive integer. For 1 i , let G i = (Vi Ai ) be a copy of G = (V A), and let Y 0 be a
copy of Y . For each v 2 V , let v i be the copy of v in V i , and for each y 2 Y , let y 0 the copy of
y in Y0 . Let s t be two new verticesSwhich will be the source and sink.
We define the network F 0
S
S
to have the vertex set V = fs tg ( i=1 Vi ) Y0 , the arc set A = i=1 f(s xi )g ( i=1 Ai ) S
S
S
( y2Y i=1 f(yi y0 )g) ( y2Y f(y0 t)g), and except for the arcs (s x i ) (1 i ) of infinite
capacity, all other arcs having capacity one.
100
Optimal Wavelength–Routed Multicasting
3
Proposition 3 ~w(G I ) if and only if F 0 has a flow of value jY j.
Proof. Suppose first that G admits dipaths from x to each y 2 Y , which can be coloured by
integers from f1 : : : g in such a way that no two dipaths sharing the same arc have the same
color. Define the values f 0 (ui vi ) = 1, for each arc (u v ) 2 A which belongs to a dipath of color i
(1 i ). These values can be extended in a natural way to a flow f 0 of value jY j in F0 .
Conversely, assume that there exists a flow f 0 of value jY j in F0 . By construction of F 0 , this
implies that there is for each node y 2 Y 0 an incoming arc with flow one. Hence for each y 2 Y 0
there is exactly one i such that the node y i has an incoming arc with flow one in G i . In that Gi
there must be a dipath from x i to yi consisting of arcs all having flow one, and we can assign the
corresponding dipath in G the color i. Thereby are defined dipaths in G from x to each y 2 Y ,
which are coloured by colours as required.
2
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Theorem 4 Let G be a digraph and I a multicast instance in G. Then ~w(G I )
optimal solution to the WDM problem (G I ) can be found in polynomial time.
= ~ (G I ), and an
Proof. In view of lemma 1 and the above proposition, it will suffice to show that the network F 0 ,
with = ~ (G I ), has a flow of value jY j. We shall do this by showing that every cut has capacity
at least jY j, cf. [3].
Consider a cut (S fsg S ftg) in F0 , and let Si = S \ Vi and Si = S \ Vi , for 1 i , and
let S0 = S \ Y0 and S0 = S \ Y0 . Clearly, we may assume that each x i 2 Si 1 i , otherwise
the capacity of the cut will be infinite. Then the capacity is
c(S fsg S ftg) =
X
i1
m(Si Si ) +
X
i1
m(Si S0 ) + jS0 j
y 2 Y , let
S = fyi j i 1 yi 2PS g. If Yi denotesPthe copy of Y in V i , then
P y
i1 jSi \ Yi j = y2Y0 jSy j. Note also that i1 m(Si S0 ) = y2Y0 m(Sy S0 ), and that
m
(S S ) is 0 if y 2 S0 , and is jSP
y j if y 2 S0 . For every y 2 Y , we have jS y j , and hence
P y 0
1
y2S0 jSy j jS0 j, i.e., jS0 j y2S0 jSy j. Summarizing, we obtain:
For
each
P
c(S fsg S ftg)
X
i1
X
i1
X
i1
m(Si Si ) +
X
y2S0
m(Si Si ) + 1
jSy j + 1
X
y2Y0
X
y2S0
jSy j
jSy j
m(Si Si ) + 1 jSi \ Yi j
Recall that we set = ~ (G I ). By the inequality (1), we have jS i \ Yi j + :m(Si Si ) jY j
for each i 1, and thus c(S fsg S ftg) jY j.
Our proof implies, in an obvious way, a flow-based algorithm to compute ~w(G I ) (and solve
the WDM problem (G I )) in polynomial time, for any multicast instance I in any digraph G. (Of
2
course, the same applies to ~ (G I ) and the congestion problem.)
101
4
B. Beauquier, P. Hell, S. Pérennes
y
(a)
y1
v
v1
x
(c)
z
s
x
v
(p)
z
t
v0
y2
z0
v2
1)
(
(p)
y0
z1
w1
s
(p)
(p)
(p)
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
y
(p)
1)
(
1)
(
w
(b)
x1
x2
z2
t
w0
(p)
w
w2
Figure 1: (a) A digraph G with originator x and where Y = fv w y z g. (b) The network F p .
(c) The network F 20 . All capacities not marked are equal to one. All arc orientations are omitted.
References
[1] B. Beauquier, J-C. Bermond, L. Gargano, P. Hell, S. Pérennes, and U. Vaccaro. Graph problems
arising from wavelength–routing in all–optical networks. In Proc. of 2 nd Workshop on Optics
and Computer Science, Geneva, April 1997.
[2] N. K. Cheung, K. Nosu, and G. Winzer. Special issue on dense WDM networks. Journal on
Selected Areas in Communications, 8, 1990.
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[4] P. E. Green. Fiber–Optic Communication Networks. Prentice–Hall, 1993.
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102
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
ANNEXE B
All-to-all communication
in some wavelengthrouted
alloptical networks
103
104
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AlltoAll Communication for some
WavelengthRouted AllOptical Networks
Bruno Beauquier*
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Th
me 1 Rseaux et syst
mes
Projet Sloop
Juillet 1998
Abstract: This paper studies the problem of AlltoAll Communication for optical
networks. In such networks the vast bandwidth available is utilized through wavelength
division multiplexing (WDM) : a single physical optical link can carry several logical
signals, provided that they are transmitted on dierent wavelengths. In this paper we
consider alloptical (or singlehop) networks, where the information, once transmitted as
light, reaches its destination without being converted to electronic form in between, thus
reaching high data transmission rates. In this model, we give optimal alltoall protocols,
using minimum numbers of wavelengths, for particular networks of practical interest, namely
the d-dimensional square tori with even side, the corresponding meshes and the Cartesian
sums of complete graphs.
Key-words: Optical networks, WDM, routing, all-to-all.
(Rsum : tsvp)
To appear in NETWORKS: An International Journal (Wiley-Interscience).
* SLOOP, joint project I3S-CNRS/UNSA/INRIA. Work partially supported by the French GDR/PRC
Project PRS and by Galileo Project. Email : [email protected]
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis
2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France)
Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Routage tout-optique pour l'change complet
dans des rseaux WDM
Rsum : Ce rapport tudie le probl
me raliser simultanment toutes les communications possibles dans certaines classes de rseaux optiques. Dans ces rseaux, la forte bande
passante disponible est utilise par la technique du multiplexage en longueur d'onde (en
anglais, Wavelength Division Multiplexing : WDM) : un seul lien physique en bre optique
peut transporter plusieurs signaux logiques, du moment qu'ils sont transmis des longueurs
d'onde direntes. Sont considrs ici des rseaux tout-optiques, o l'information, une fois
convertie en lumi
re, atteint sa destination sans reconversion lectronique intermdiaire.
Cela permet des taux de transmission de donnes plus levs. Pour ce mod
le de rseaux
optiques, nous donnons des protocoles de communication pour raliser toutes les connexions
possibles en mme temps. Les topologies tudies sont celles des tores et des grilles multidimensionnelles carres, et des produits cartsiens de graphes complets. La plupart des
rsultats fournis sont optimaux quant au nombre de longueurs d'onde utilises.
Mots-cl : Rseaux optiques, multiplexage en longueur d'onde, WDM, routage.
AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
1 Introduction
1
Motivation. Optics is emerging as a key technology in communication networks, promising
very high speed local or wide area networks in the future. A single optical wavelength
supports rates of gigabits-per-second (which in turn support multiple channels of voice, data
and video 11, 14]). Multiple laser beams that are propagated over the same ber on distinct
optical wavelengths can increase this capacity much further. This is achieved through WDM
(Wavelength Division Multiplexing) 6], by partitioning the optical bandwidth into a large
numbers of channels whose rates match those of the electronic transmission. This allows
multiple data streams to be transferred concurrently along the same optical ber.
Alloptical (or singlehop 15]) communication networks provide all source-destination
pairs with end-to-end transparent channels that are identied through a wavelength and a
physical path. Maintaining the signal in optical form allows the elimination of the electronic
bottleneck of networks with electronic switching.
It is worth pointing out the severe limitations that current optical technologies impose
on the amount of available wavelengths per ber. Therefore, solutions to the problem of
ecient routing and wavelengths allocation have importance for the future development of
the optical technology.
The Optical Model. In general, a WDM optical network consists of routing nodes interconnected by pointtopoint ber-optic links, which can support a certain number of
wavelengths. Two optical signals on the same wavelength incoming on two input ports must
be routed to dierent output ports, otherwise it is not possible to distinguish them later.
In this paper we consider switched networks with recongurable wavelength selective optical
switches, without wavelength converters, which can be based on acoustooptic lters, as
done in 1, 2, 18]. In this kind of networks, signals for dierent requests may travel on the
same communication link into a node (on dierent wavelengths) and then exit along dierent
links, keeping their original wavelength. The only constraint on the solution is that no two
paths in the network sharing the same optical link have the same wavelength assignment.
See the recent survey 3] for an account of the theoretical results obtained for this alloptical
model.
Some authors considered topologies with single undirected ber links carrying undirected
paths 1, 2, 16, 18]. However, it has since become apparent that optical ampliers placed
on the ber will be directed devices. In this paper, each link is bidirectional and actually
consists of a pair of unidirectional links. Hence we model the underlying ber network as
a symmetric directed graph G = (V (G) A(G)), where each arc represents a pointtopoint
unidirectional ber-optic link.
A solution consists of settings for the switches in the network, and an assignment of
wavelengths to the requests, so that there is a directed path (dipath) between the nodes of
each request, and that no arc will carry two dierent signals on the same wavelength. If it
is not possible to establish all requested connections at the same time because of resource
limitations, some connections are to be deferred and established later. It is thus important
to minimize the number of wavelengths used to service a requested communication pattern.
107
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
2
Bruno Beauquier
Contributions of this work. In this paper we study the problem of designing ecient
routing and wavelength allocation for alltoall communication in some alloptical networks.
In particular we consider the multi-dimensional square tori and meshes, and the Cartesian
sums of complete graphs. This work has to be considered as a step in understanding the
complexity of the alltoall problem in optical topologies relevant to local, metropolitan and
wide area networks.
We consider the design of ecient algorithms for two widely used global (or structured)
communication operations : the total exchange (also called alltoall or gossiping) and the
complete exchange (also called personalized alltoall or multi-scattering). Formally these
processes can be described as follows :
Total exchange : Each node in the network has a message and every node has to get all
the messages.
Complete exchange : Each node u in the network has some messages B (u v), to be sent
respectively to all the other nodes v.
In fact, these two communication schemes are equivalent in the alloptical model, if every
node is able to send simultaneously dierent messages on dierent links and wavelengths.
We briey call AlltoAll protocol any solution suitable to both problems.
In this paper, we obtain optimal AlltoAll protocols for the d;dimensional hyper-square
tori with even side, for the corresponding meshes, and for the Cartesian sums of complete
graphs. Note that the same problem was solved for the binary hypercubes in 5, 16]. We
refer to the recent survey 3] for other topologies and other communication patterns.
2 Preliminaries
We model an alloptical network by a symmetric digraph, that is a directed graph, with
vertex set V (G) and arc set A(G), such that if = (u v) 2 A(G) then 0 = (v u) 2 A(G).
The number of vertices in G is always denoted by N = jV (G)j. The following notation is
also used (for more details, see 7] or any textbook in graph theory like 4]) :
P (x y) denotes a dipath in G from node x to node y, that is, a directed path which
consists of a sequence of consecutive arcs beginning in x and ending in y.
(x y) denotes the distance from x to y in G, that is, the minimum length of a dipath
P (x y).
The Cartesian sum (also called Cartesian product) of two digraphs G and G0 is the
digraph whose vertices are the ordered pairs (x x0 ) where x is a vertex of G and x0 is
a vertex of G0 . Thus its vertex set is the usual Cartesian sum of the vertex sets V (G)
and V (G0 ). Furthermore there is an arc from (x x0 ) to (y y0) if and only if x = y and
(x0 y0 ) is an arc of G0 , or x0 = y0 and (x y) is an arc of G.
Zn = f0 1 : : : n ; 1g denotes the set of integers modulo n.
Znd denotes the Cartesian sum of d copies of Zn.
108
AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks
3
CN and MN denote respectively the cycle and the chain with N vertices.
Gd denotes the Cartesian sum of d copies of a digraph G. Hence Cnd is the ddimen-
sional hyper-square torus with side n, and Mnd is the ddimensional hyper-square mesh
with side n.
KN denotes the complete graph with N vertices.
Wavelength-routing problem
A request is an ordered pair of nodes (x y) in G (corresponding to a message to be
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sent by node x to node y).
An instance I is a collection of requests.
A routing R for an instance I in G is a set of dipaths R = fP (x y) j (x y) 2 I g,
realizing the requests of I .
The conict graph associated to a routing R is the undirected graph (R E ) with vertex
set R and such that two dipaths of R are adjacent if and only if they share an arc of
G.
Let G be a digraph and I an instance. The problem (G I ) consists of nding a routing
R for the instance I and assigning each request (x y) 2 I a wavelength, so that no
two dipaths of R sharing an arc have the same wavelength. If we think of wavelengths
as colours, the problem (G I ) seeks a routing R and a vertex colouring of the conict
graph (R E ), such that two adjacent vertices are coloured dierently. We denote by
~w(G I R) the chromatic number of (R E ), and by ~w(G I ) the smallest ~w(G I R) over
all routings R. Thus ~w(G I R) is the minimum number of wavelengths for a routing
R and ~w(G I ) the minimum number of wavelengths over all routings for (G I ).
For a general network G and an arbitrary instance I , the problem of determining ~w(G I )
has been proved to be NPhard in 8]. In particular, it has been proved that determining
~w(G I ) is NPhard for trees and cycles. In 9] these results have been extended to binary
trees and meshes.
A related parameter
Given a digraph G and a routing R for an instance I , the load of an arc 2 A(G) for
the routing R, denoted by ~ (G I R ), is the number of dipaths of R containing .
The load of G for the routing R (also called congestion), denoted by ~ (G I R), is the
maximum load of an arc of G for the routing R, that is,
~ (G I R) = max2A(G) ~(G I R ).
The load of G for an instance I , denoted by ~(G I ), is the minimum load of G for a
routing R for I , that is, ~ (G I ) = minR ~(G I R).
109
4
Bruno Beauquier
The relevance of this parameter to our problem is shown by the following lemma :
Lemma 1 ~w(G I ) ~(G I ) for any instance I in any digraph G.
Proof. To solve the problem (G I ), rst a routing R for the instance I is needed. Then
the number ~w(G I R) of wavelengths necessary to be properly assigned to the dipaths of
R is at least the maximum number of dipaths sharing an arc of G, that is ~(G I R). As
~w(G I ) is some ~w(G I R) for some routing R and by denition of ~ (G I ), the lemma holds.
2
The inequality in Lemma 1 can be strict, as shown by Figure 1.
0
3
(0,2)
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
(0,5)
1
(4,5)
5
(1,3)
2
(4,3)
4
Figure 1: A routing for ve requests in a tree G and its associated conict graph.
Indeed, for this instance I in this tree G, the load is ~(G I ) = 2 but ~w(G I ) = 3, since
the conict graph is a cycle of length 5 which has chromatic number 3.
In general, minimizing the number of wavelengths is not the same problem as that
of realizing a routing that minimizes the number of dipaths sharing an arc. Indeed, our
problem is made much harder due to the further requirement of wavelengths assignment on
the dipaths. This is the case for trees. In order to get equality in Lemma 1, a routing R
such that ~(G I R) = ~ (G I ) should be found, for which the associated conict graph is
~(G I )vertex colourable.
In this paper, we consider a specic instance IA in G, called the AlltoAll instance,
which consists of all the dierent ordered pairs of vertices in V (G). Hence IA = f(x y) j x 2
V (G) y 2 V (G) x 6= yg. In this case, ~ (G IA ) is called the arcforwarding index 13] of G.
The same parameter dened similarly for undirected graphs is called the edgeforwarding
index and has been studied in 12, 20].
110
AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks
5
3 Hypersquare torus Cnd
In this section we consider the problem (Cnd IA ) for the AlltoAll instance IA in the
d;dimensional hypersquare torus with side n. We rst solve optimally the case where
n is even. Then we will give a nearly optimal solution for the case where n is odd. Note
that for n odd and d = 2 the problem has been optimally solved in 19].
Theorem 2 In the d;dimensional hypersquare torus Cnd, if n is even then we have :
~w(Cnd IA ) = ~(Cnd IA ) = nd+1 =8, and if n is odd then :
~(Cnd IA ) = nd;1 bn2 =4c=2 = (n2 ; 1)nd;1 =8 ~w(Cnd IA ) (n + 1)d+1=8 = ~w(Cnd+1 IA ).
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Before presenting the proof, we introduce two more lemmas. The rst one is adapted
from an analogous property given in 12] in the undirected case.
Lemma 3 LetPG be a digraph and R a routing in G for the AlltoAll instance IA. Then
~(G IA R) = ( x6=y (x y))=jA(G)j if and only if R is a routing of shortest dipaths loading
equally each arc of G.
Proof. The sum of the loads of all the arcs for R = fP (x y) j x 6= yg is equal to the sum
of the lengths of all the dipaths in R.PIf R is a routing of shortest dipaths loading equally
each arc, then the load is ~ (G R) = ( x6=y (x y))=jA(G)j.
P
Conversely, if the maximum load of an arc for
R is ~(G R) =P
( x6=y (x y))=jA(G)j then
P
by summing the loads over all the arcs we get x6=y jP (x y)j x6=y (x y). Therefore the
equality holds and each arc is maximally loaded. Thus R is a routing of shortest dipaths
loading equally each arc.
2
A set S of dipaths in a digraph G is said to be covering if each arc in A(G) is contained
in a dipath of S .
Lemma 4 Let G be a digraph such that ~(G IA ) = (Px6=y (x y))=jA(G)j.
We have ~w(G IA ) = ~ (G IA ) if and only if there exist a routing R of shortest dipaths for IA
and a partition of R in some covering sets of arc-disjoint dipaths.
Proof. A partition of a routing of shortest dipaths R = fP (x y) j x 6= yg in some
covering sets of arc-disjoint dipaths provides a solution to the problem (G IA ) by assigning
a dierent colour to each set of the partition. Thereby the number of colours used is the
load of any arc for R, equal to ~(G IA ) according to Lemma 3. From Lemma 1 it follows
that ~w(G IA ) = ~(G IA ).
Conversely if ~w(G IA ) = ~(G IA ), then there exist a routing R for IA and a colouring
of its dipaths with ~ (G IA ) colours, so that no two dipaths with the same colour share an
arc. This colouring gives a partition of R in ~ (G IA ) sets of arc-disjoint dipaths. Each
of
them is a covering set because the sum of the lengths of the coloured dipaths is at least
P
x6=y (x y ) = ~ (G IA ):jA(G)j. As the load of G for R is ~ (G IA ), R is a routing of shortest
dipaths, according to Lemma 3.
2
111
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
6
Bruno Beauquier
A straight way to prove the rst part of Theorem 2 would be to assign properly a coloured
dipath to each request in the instance IA , using a total number of colours (or wavelengths)
equal to ~(Cnd IA ). In view of Lemma 4, we have found more convenient to provide an
optimal solution by assigning to each colour a covering set of arc-disjoint shortest dipaths,
so that each request in IA gets exactly one coloured dipath. Thereby the condition on a
suitable partition stated in Lemma 4 is satised and we ensure optimality without counting
the total number of colours used. Before going further, some more denitions and notation
are necessary.
De
nitions 5 The vertex set V (Cnd ) is represented by Znd . The elements in Znd may be
expressed
in the canonicalP
base fei g1id , that is, we may denote x = (x1 x2 : : : xd ) 2 Znd
Pd
by ( i=1 xi :ei ). Let J = di=1 ei . Given two subsets X and Y of Znd , we dene X + Y as
the subset fx + y j x 2 X y 2 Y g.
Remark 6 Cnd can be dened as a Cayley digraph on the Abelian group Znd. It is an arctransitive digraph where each vertex x = (x1 : : : xd ) is joined by 2d arcs to the vertices
x ei = (x1 : : : xi 1 xd ) for 1 i d.
We distinguish two kinds of dipaths to be assigned to the requests in the instance IA :
De
nitions 7 Given an arc from x to y, we say that is in the dimension i and in the
progressive (regressive) direction if y = x + ei (if y = x ; ei ). These denitions are extended
to the dipaths containing only arcs of thePsame kind.
Given a request (x y) such that y = x + di=1 ai :ei , we dene the ascending dipath Pa (x y)
as the concatenation (P1 P2 Pd ) of d dipaths, such that :
- P1 is the shortest dipath from x to (x + a1 :e1 ), inPthe progressive direction
if a1 = n=2.
P
- Pi (2 i d) is the shortest dipath from (x + ij;=11 aj :ej ) to (x + ij=1 aj :ej ), in the
progressive direction if ai = n=2.
Given a request (x y), we dene the descending dipath Pd (x y) as the reverse dipath of the
ascending dipath Pa (y x), that is the dipath made of all the symmetric arcs of those of
Pa (y x).
For example in C42 , the ascending dipath from node (0 0) to (2 1) goes through nodes
(1 0) and (2 0), while the descending dipath connecting the same nodes goes through (0 1)
and (3 1).
In order to dene the dierent subsets of requests to be assigned covering sets of arcdisjoint dipaths, we need the following denitions, when n is even :
De
nitions 8 LetPn = 2k. For every node x = (x1 x2 : : : xd ) 2 Znd , the level of x is
dened as L(x) = di=1 xi 2 Zn . For every request (x y), the move of (x y) is dened as
m(x y) = y ; x 2 Znd . Given m 2 Znd , let m = (k : : : k) ; m. An equivalence relation E is
dened in Znd as follows :
m m0 if and only if (m0 = m or m0 = ;m or m0 = m or m0 = ;m)
Let us denote by E (m) the E ;class of m. In each E ;class a special move m0 is chosen.
112
AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks
7
Now we distinguish three dierent kinds of moves. First let M = fm 2 Znd j
m 6= ;m and m 6= mg. If m 2 M then E (m) has 4 elements all in M . For example in Z82 ,
m = (2 1) 2 M and E (m) = f(2 1) (;2 ;1) (2 3) (;2 ;3)g. Now let K = fm 2 Znd j m =
;mg. If m 2 K then E (m) has 2 elements all in K . For example in Z82 , m = (4 0) 2 K
and E (m) = f(4 0) (0 4)g. At last let H = fm 2 Znd j m = mg (H is empty if k is odd).
If m 2 H then E (m) has 2 elements all in H . For example in Z82 , m = (2 ;2) 2 H and
E (m) = f(2 ;2) (;2 2)g. Note that every move belongs to exactly one of these sets M , K
or H .
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Requests with move in M
For l 2 Zn , HP l denotes the hyperplane orthogonal to J containing all the nodes of level l,
that is HP l = fx 2 Znd j L(x) = lg.
A node y is said to be translated from a node x by a vector v if y = x + v. In what
follows, we use a generalization of this denition for dipaths : the dipath translated by a
vector v from a dipath P is induced by all the nodes translated from those of P .
Given a node x0 and a special move m0 2 M , we rst consider the two symmetric
dipaths P1 = Pa (x0 x0 + m0 ) and P10 = Pd (x0 + m0 x0 ) and the two symmetric dipaths
P2 = Pd (x0 + m0 x0 + k:J ) and P20 = Pa (x0 + k:J x0 + m0 ). In what follows we show that all
the dipaths translated from P1 , P10 , P2 , P20 by all the vectors in (HP 0 HP k ) form a covering
set of arc-disjoint dipaths. We give an example by drawing, as shown in Figure 2-b, for d = 2,
n = 8 and m0 = (2 1). So ;m0 = (;2 ;1), m0 = (2 3) and ;m0 = (;2 ;3). Figure 2-a
shows only the dipaths translated by the vectors in HP 0 . Wrap-around connections of the
torus are omitted for clarity and the dipaths P1 , P10 , P2 and P20 are drawn in bold.
(a)
(b)
Figure 2: Construction of a covering set of arc-disjoints dipaths in C82 .
113
8
Bruno Beauquier
Such a set of dipaths is assigned the same colour and contains one dipath for each request
(x y) such that :
- L(x) = L(x0 ) mod k and m(x y) = m0 , or
- L(x) = L(x0 + m0 ) mod k and m(x y) = ;m0 , or
- L(x) = L(x0 + m0 ) mod k and m(x y) = m0 , or
- L(x) = L(x0 ) mod k and m(x y) = ;m0 .
Such a set depends thus only on the value of (L(x0 ) mod k) and on m0 . The corresponding
colour is represented by an element of CM = (Zk E (M )), where E (M ) is the set of the
classes of M . Notice that in this way every request with move in M is assigned exactly one
coloured dipath. Given a colour c 2 CM , every dipath coloured by c is called a c-dipath.
Claim 9 For every colour c in CM , the set of c-dipaths is a covering set of arc-disjoint
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
dipaths.
Proof. For 1 i d, A+i denotes the set of the
arcs in the dimension i and in the
+
progressive direction. Let us show that each arc in Ai is contained in exactly one c-dipath.
As the c-dipaths are dened as symmetric pairs, the property will also hold for the arcs in
the opposite direction.
There are as many arcs in A+i as nodes in Cnd , that is, nd = N . On one hand, we show
that the sum over all the c-dipaths of the number of arcs in A+i is equal to N . On the other
hand, we show that each arc in A+i is contained in a cP
-dipath.
Let c = ( E (m)) 2 CM , with 2 Zk , and m0 = dj=1 aj :ej 2 E (m) the special move
chosen in E (m). We assume that ai 2 f0 1 : : : kg, otherwise the proof is similar. Then the
only c-dipaths using arcs in A+i have their move equal to m0 or m0 .
There are exactly (2nd;1 ) c-dipaths having move m0 , since there are 2nd;1 vectors
in (HP 0 HP k ). As many c-dipaths have move m0 . Each of those having move m0
(respectively m0 ) uses a~i (resp. k ; a~i ) arcs in A+i , where a~i is the integer representative of
ai in f0 : : : kg Z . Therefore the c-dipaths use 2knd;1 = N times an arc in A+i .
As x + (HP 0 HP k ) = HP L(x) HP L(x)+Sk , if X is a set of k nodes whose levels form
;1 HP = Z d. Thus, if there exist k arcs
the entire set Zk , then X + (HP 0 HP k ) = nl=0
l
n
+
in Ai contained in c-dipaths and whose origins have all the dierent levels modulo k, then
each arc in A+i is contained in a c-dipath.
P
Let x 2 Znd such that L(x) = mod k, y = x + m0 and z = y + m0 . Let m1 = ij;=11 aj :ej
Pd
(m1 = 0 if i = 1) and m2 = j=i+1 aj :ej (m2 = 0 if i = d), so that m0 = m1 + ai :ei + m2 .
First, P1 = Pa (x y) is an ascending c-dipath containing the a~i consecutive arcs in A+i
between x + m1 and x + m1 + ai :ei . Secondly, P2 = Pd (y z ) is a descending c-dipath
containing the (k ; a~i ) consecutive arcs in A+i between y + m2 and y + m2 + (k ; ai ):ei .
On the whole, these k arcs have origins with all the dierent levels modulo k, because
L(x + m1 + ai :ei ) = L(y ; m2 ) = L(y + m2 ) mod k.
2
114
AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks
P2
x
P1
9
z
y
c = ( 0 , E( (0,1) ) )
c = ( 1 , E( (0,1) ) )
c = ( 0 , E( (1,0) ) )
c = ( 1 , E( (1,0) ) )
Figure 3: Sets of c-dipaths in C42 for requests with move in M .
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Requests with move in K
Let us now consider the case of requests with move m = dj=1 aj :ej 2 Znd such that
2m = 0. In this case we have aj 2 f0 kg for each j 2 f1 : : : dg and the cardinality of
K = fm 2 Znd j 2m = 0g is 2d . As noticed before E (m) has 2 elements for every m 2 K and
the set of classes E (K ) has 2d;1 elements. The construction of sets of arc-disjoint dipaths
covering all the arcs is similar to the previous one, except that requests with moves in two
E ;classes are involved in the same set.
Given 2 Zk , m and m0 two moves taken in two dierent E ;classes, we consider
all the dipaths Pa (x y) for L(x) = mod k and m(x y) 2 E (m), and all the dipaths
Pd (x z ) for L(x) = mod k and m(x z ) 2 E (m0 ). Recall that these ascending (descending)
dipaths contain only arcs in the progressive (regressive) direction, in accordance with the
denitions 7. Obviously, in any dimension and in any direction there exist k consecutive
arcs used by one of these dipaths. From the same arguments as in the previous proof, it
follows that these dipaths form a covering set of arc-disjoint dipaths.
Note that this dipaths assignment does not lead to a symmetric routing (where the
dipaths for any two requests (x y) and (y x) are symmetric).
P
Requests with move in H
At last we consider the case of requests with move m = dj=1 aj :ej 2 Znd such that
m = m = k:J ; m. As noticed before, such requests exist only if k is even, say k = 2h, and
we have aj 2 fh ;hg for 1 j d.
Given 2 Zh and a special move m0 2 H , we dene the set of all the symmetric dipaths
Pa (x x + m0 ) and Pd (x + m0 x) such that L(x) = mod h. By the same arguments again,
it can be shown that these dipaths form a covering set of arc-disjoint dipaths.
P
115
10
Bruno Beauquier
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 4: Sets of c-dipaths in C42 for requests with move in K (a)(b) and in H (c)(d).
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Proof of Theorem 2. Following
a result given in 12] for the undirected torus, we have
P
~(Cnd IA ) = nd;1bn2 =4c=2 = ( x6=y (x y))=jA(G)j. The assumption of Lemma 4 is thus
satised. In the case where n is even, we have shown how to obtain some sets of arc-disjoint
shortest dipaths, each set covering all the arcs of the torus Cnd , so that every request in the
AlltoAll instance IA is assigned exactly one dipath. As a consequence of Lemma 4, we
have ~w(Cnd IA ) = ~(Cnd IA ).
2
Now we consider the case where n is odd and prove the second part of Theorem 2.
Proposition 10 In the d;dimensional hypersquare torus Cnd, if n is odd we have :
~(Cnd IA ) = nd;1 bn2 =4c=2 = (n2 ; 1)nd;1 =8 ~w(Cnd IA ) (n + 1)d+1=8 = ~w(Cnd+1 IA ).
Proof. From Lemma 1, we have ~ (Cnd IA ) ~w(Cnd IA ). To prove the upper bound we
make use of the routing and the colouring given by the solution for n + 1. We consider Cnd
as obtained from Cnd+1 by removing a symmetric cycle in each dimension and joining up
each pair of disconnected links. Formally, we remove from V (Cnd+1 ) all the nodes having a
component equal to 0, which form the set denoted by V0 (Cnd+1 ). In the induced subgraph
wePconnect togetherPwith two symmetric new arcs all the pairs of remaining nodes of type
f( j6=i xj :ej ) ; ei ( j6=i xj :ej )+ eig. Note that if a dipath in Cnd+1 uses two consecutive arcs
in dierent dimensions around a node in V0 (Cnd+1 ), then either its source or its destination is
in V0 (Cnd+1 ), according to the denitions 7. Thus, all the dipaths with source and destination
out of V0 (Cnd+1 ) can be modied from Cnd+1 to Cnd by following the arc transformation.
Therefore there is for every odd value of n a solution in Cnd using ~w(Cnd+1 IA ) colours.
2
4 Hypersquare mesh Mnd
In this section we consider the problem (Mnd IA ) for the AlltoAll instance IA in the
d;dimensional hypersquare mesh with side n. The construction of coloured dipaths is
based on the solution for the torus given in the previous section. Note that the proof given
in 19] for the mesh is not sound.
116
AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks
11
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Theorem 11 In the d;dimensional hypersquare mesh Mnd , if n is even then we have :
~w(Mnd IA ) = ~ (Mnd IA ) = nd+1=4, and if n is odd then :
~(Mnd IA ) = nd;1 bn2 =4c = (n2 ; 1)nd;1=4 ~w(Mnd IA ) (n + 1)d+1 =4 = ~w(Mnd+1 IA ).
Proof. Consider the mesh Mnd as obtained from the torus Cnd by removing all the pairs
of wrap-around symmetric arcs. For every wrap-around arc contained in a dipath P in Cnd ,
let p be the longest sub-dipath of P using this arc and using arcs in the same dimension only.
Let p0 be the dipath connecting the same nodes as p but using arcs in the other direction.
By replacing p by p0 for every wrap-around arc contained in P , we obtain a new dipath P 0
not using any wrap-around arc. Any such dipath in the torus Cnd induces a dipath in the
mesh Mnd. This gives a routing R0 for the instance IA in Mnd from the routing R in Cnd given
in the previous section.
Let us now dene the new colour assignment. The following property holds in the
solution given previously to the problem (Cnd IA ) : every set of c-dipaths can be partitioned
into two subsets, so that no two arcs with opposite directions in the same dimension are
used respectively by two c-dipaths in the same subset. Thus, by construction the dipaths
in each of the two corresponding subsets obtained in the mesh Mnd are pairwise arc-disjoint
and can be assigned two new colours c1 and c2 , respectively. So twice as many colours as in
the torus Cnd are used in the mesh Mnd . As from 12] ~(Mnd IA ) = 2~(Cnd IA ), the theorem
holds, according to Theorem 2.
2
5 Cartesian sum of complete graphs
The following theorem generalizes the result obtained in 16, 5] for hypercubes.
Theorem 12 Let n1 n2 : : : nd be integers such that 2 n1 n2 nd. Let us
denote by K (n1 n2 : : : nd) the Cartesian sum of the d complete
graphs Kni (1 i d).
Q
We have : ~w(K (n1 n2 : : : nd) IA ) = ~(K (n1 n2 : : : nd ) IA ) = di=2 ni .
Proof. In the sequel K (n1 n2 : : : nd) is denoted simply by G. The vertex set is
represented by (Zn1 Zn2 Znd ). There is a pair of symmetric arcs between two
nodes if they dier in exactly one component. The elements in V (G) may be expressed in
the canonical base fei g1id.
The graph
G can be seen as n1 copies of K (n2 nQ3 : : : nd) connected together with
Q
n1 (n1 ; 1) di=2 ni arcs. Because there are n1 (n1 ; 1)( di=2 ni )2 requests between Q
the pairwise distinct copies, it follows that oneQof these arcs must be contained in at least ( di=2 ni )
d n . According to Lemma 1, it remains to show
dipaths. Therefore
we have ~(G)
i=2 i
Qd
that ~w(G IA ) i=2 ni .
A dipath (u0 u1 : : : uk ) from u0 to uk is called ascending if for 1 i k the node ui is
obtained from ui;1 by changing the component in position pi , so that p1 < p2 < : : : < pk .
We assign to each request (x y) the ascending dipath P (x y).
117
12
Bruno Beauquier
Given a1 in Zn1 , let 1 be the integer representative of a1 in f0 1 : : : n1 ; 1g Z . For
2 i d, (a1 )ni denotes the element of Zni having 1 as integer representative.
The set of colours is represented by (Zn2 Zn3 Znd ). To each dipath P (x y),
with x = (x1 x2 : : : xd ) and y = (y1 y2 : : : yd), we assign the colour c(x y) = ((yj ; xj ) +
(x1 )nj )2jd .
We prove now that each arc = (z z + i :ei ), with i 2 Zni , is not contained in
two dipaths with the same colour. As ascending dipaths are considered, the arc is
contained only in dipaths P (x y) with x = (x1 : : : xi;1 zi : : : zd) and y = (z1 : : : zi;1 (zi + i ) yi+1 : : : yd). So we have :
c(x y) = ((z2 ; x2 ) + (x1 )n2 : : : (zi;1 ; xi;1 ) + (x1 )ni;1 tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
i + (x1 )ni (yi+1 ; zi+1 ) + (x1 )ni+1 : : : (yd ; zd) + (x1 )nd ):
Consider now any other dipath P (x0 y0 ) containing the arc . Again, we have :
c(x0 y0) = ((z2 ; x02 ) + (x01 )n2 : : : (zi;1 ; x0i;1 ) + (x01 )ni;1 i + (x01 )ni (yi0+1 ; zi+1 ) + (x01 )ni+1 : : : (yd0 ; zd) + (x01 )nd ):
Assume that c(x y) = c(x0 y0 ). Thus, i + (x1 )ni = i + (x01 )ni mod ni and so
x1 = x01 mod n1 because n1 ni . From the identities of the other components, it follows
that x = x0 and y = y0 .
2
6 Final remarks
In this paper we have obtained optimal and nearly optimal All-to-All protocols in some
switched all-optical networks. It remains to prove that the equality ~w = ~ also holds for
square tori and meshes with odd side (some bidimensional cases of tori have been solved
in 19]), and more generally for any torus and any mesh.
We considered topologies that are all Cartesian sums of simple graphs, namely cycles,
chains and complete graphs. An interesting issue deserves to be inveswould be interestingtigated : to obtain results for general Cartesian sums and to nd a way to design an ecient
solution for the Cartesian sum of two graphs, for which ecient solutions are known.
A recent work is worth to be pointed out. In 10] it is proved that the equality
~w(T IA ) = ~(T IA ) holds for any tree T . In view of all the results obtained by now, it is
likely that the equality can be achieved for any symmetric digraph, indeed for any digraph.
Finally we give two other future lines of research. The computation complexity of the
quantity ~w(G IA ) remains to be determined. It is likely that this problem is NPhard.
Therefore, it will be of interest to design approximation algorithms. Fault tolerant issues
have to be considered too. See the survey 17] for an account of the vast literature on
faulttolerance in traditional networks.
118
AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks
13
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
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120
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ANNEXE C
All-to-all routing and coloring
in weighted trees of rings
121
122
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
All-to-All Routing and Coloring
in Weighted Trees of Rings
Bruno Beauquier * , Stphane Prennes * , David T%th **
Th
me 1 Rseaux et syst
mes
Projet Sloop
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Juin 1999
Abstract: A tree of rings is an undirected graph obtained from the union of rings, which
intersect two by two in at most one node, such that any two nodes are connected by exactly
two edge-disjoint paths. In this paper, we consider symmetric directed trees of rings with
weighted nodes. A routing for a weighted digraph is a collection of directed paths (dipaths),
such that for each ordered pair of nodes (x1 x2 ) with respective weights w1 and w2 , there are
w1 w2 dipaths (possibly not distinct) from x1 to x2 . Motivated by the Wavelength Division
Multiplexing (WDM) technology in all-optical networks, we study the problem of nding a
routing which can be colored by the fewest number of colors so that dipaths of the same
color are arc-disjoint. We prove that this minimum number of colors (wavelengths) is equal
to the maximum number of dipaths that share one arc (load), minimized over all routings.
The problem can be eciently solved (dipaths found and colored) using cut properties.
Key-words: optical networks, WDM, routing, coloring, cut.
(Rsum : tsvp)
Accepted in the 11th ACM Symposium on Parallel Algorithms and Architectures (SPAA'99).
This work has been partially supported by the AFIRST in the framework of the French-Israeli project
Communication Algorithms in Optical Networks and by the French RNRT project PORTO.
* SLOOP is a joint project with the CNRS and the University of Nice-Sophia Antipolis (I3S laboratory).
E-mail: {Bruno.Beauquier,Stephane.Perennes}@inria.fr.
** Technical University of Budapest, research done while visiting INRIA at Sophia Antipolis. E-mail:
[email protected].
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis
2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France)
Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Routage Optique WDM
dans les arbres d'anneaux pondrs
Rsum : Un arbre d'anneaux est un graphe non-orient obtenu par l'union d'anneaux,
qui s'intersectent deux--deux en au plus un sommet, de telle sorte que deux sommets sont
relis par exactement deux chemins arte-disjoints. Dans ce rapport, nous considrons des
arbres d'anneaux orients symtriques avec des sommets pondrs. Un routage pour un
graphe orient pondr est une collection de chemins orients, telle que pour tout couple de
sommets (x1 x2 ) de poids respectifs w1 et w2 , elle contient w1 w2 chemins (ventuellement
distincts) allant de x1 vers x2 . Motivs par la technologie de multiplexage en longueurs
d'onde WDM (Wavelength-Division Multiplexing) dans les rseaux tout-optiques, nous tudions le probl
me de trouver un routage et une coloration minimale des chemins, avec la
contrainte que deux chemins de la mme couleur sont arc-disjoints. Nous montrons que
le nombre minimum de couleurs (longueurs d'onde) pour une solution est gal au nombre
maximum de chemins qui partagent un arc (charge), parmi tous les routages possibles. Le
probl
me est rsolu par une mthode constructive et ecace, en utilisant des crit
res de
coupe.
Mots-cl : rseaux optiques, WDM, routage, coloration, coupe.
All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings
1
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
1 Introduction and Motivation
Optics is emerging as a key technology in communication networks, promising very high
speed local or wide area networks of the future. A single optical wavelength supports
rates of gigabits per second, which in turn support multiple channels of voice, data and video 10, 13]. Multiple laser beams that are propagated over the same ber on distinct optical
wavelengths can increase this capacity even further. This is achieved through Wavelength
Division Multiplexing (or WDM) 6], by partitioning the optical bandwidth into a number
of channels and allowing the transmission of multiple data streams concurrently along the
same optical ber on dierent channels, i.e., dierent wavelengths. (Two streams of the
same wavelength cannot be routed on the same ber due to electromagnetic interference.)
Alloptical (or singlehop 14]) communication networks provide all source-destination
pairs with end-to-end transparent channels that are identied through a wavelength and a
physical path. They exploit photonic technology for the implementation of both the switching and the transmission functions 9], and maintain the signal in optical form through
the transmission, thus allowing much higher data transmission rates (since there is no prohibitive overhead due to conversions to and from the electronic form). Wavelengths being
a limited resource, solutions to the problem of ecient routing and wavelengths allocation
are of importance for the future development of optical technology.
The problem we consider here is motivated by switched networks with recongurable
wavelength selective optical switches, without wavelength converters, where dierent signals
may travel on the same communication link (but on dierent wavelengths) into a node, and
then exit from it on dierent links, keeping their original wavelengths. Since optical links
are inherently bidirectional, the problem has initially been modeled by undirected graphs,
as in 1, 2, 15]. However, it has since become clear that the use of ampliers will actually
make each bidirectional optical link into a pair of unidirectional links 16], and hence the new
models of the situation tend to represent optical networks by symmetric directed graphs, as
in 5, 12, 11].
In an all-optical network one needs to set up a number of communications (dipaths)
between given pairs of nodes, with each communication being transmitted on one particular wavelength, and so that all communications that share a link have dierent wavelengths. Specically, the general problem is the following : Given a collection of requests
(x1 y1 ) (x2 y2 ) : : : (xk yk ), connect each xi to the corresponding yi by a dipath Pi , and
assign a wavelength to each Pi , so that dipaths with the same wavelength do not share a
link. The objective is to use the minimum possible number of wavelengths. This parameter
is considered of importance in evaluating the competitiveness of the wavelength division
multiplexing technology 12]. A survey of graph theoretic problems associated with routing
in optical networks can be found in 4].
The problem of minimizing the number of wavelengths has been proved to be NPcomplete for a general collection of requests, even in rings 7]. Here we consider the All-To-All
communication process in the weighted case : for each ordered pair of nodes (x y) with respective weights w(x) and w(y), w(x)w(y) dipaths (possibly not distinct) from x to y have
to be found and assigned wavelengths. Optimal results for this problem have been proved in
125
2
Beauquier, Prennes & Tth
the unweighted case for rings 5, 18], for some cartesian products 3] including hypercubes
and some toroidal meshes, for some compound graphs 17] and for trees 8].
In this paper we solve the case of the weighted symmetric directed trees of rings. These
networks are interesting since tree-like structures are often used in the telecommunications
industry 12] and emerging SDH (Synchronous Digital Hierarchy) local area networks generally consist of SONET (Synchronous Optical NETwork) rings connected together.
2 Preliminaries
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
In this paper, we model an alloptical network as a weighted symmetric digraph (G w), that
is a directed graph G, with node set V (G) and arc set A(G) (such that if (u v) 2 A(G)
then (v u) 2 A(G)), together with a non negative
integral weight function w on the set of
P
w(v) of (G w), and for any subset
nodes. We always denote by N the total weight v2V (G)P
of nodes S V (G) we dene the weight of S as w(S ) = s2S w(s).
De
nition 1 A tree of rings is an undirected graph obtained from the union of rings, which
intersect two by two in at most one node, such that any two nodes are connected by exactly
two edge-disjoint paths.
Figure 1: A tree of rings.
A symmetric digraph is naturally induced by an undirected graph by replacing each edge
by two opposite arcs. In this paper, we consider weighted symmetric directed trees of rings.
126
All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings
3
De
nition 2 A routing for a weighted digraph (G w) is a collection of directed paths (dipaths) in G, such that for each ordered pair of nodes (x y) there are w(x)w(y) dipaths
(possibly not distinct) from x to y.
The wavelength-routing problem for a weighted digraph (G w) consists of nding a routing and assigning each dipath a wavelength (or color), so that no two dipaths sharing an
arc have the same wavelength. We denote by ~w(G w) the minimum number of wavelengths
used to solve the wavelength-routing problem in (G w).
Given a weighted digraph (G w) and a routing R, the load of an arc 2 A(G) is
the number of dipaths in R containing . The load of (G w), denoted by ~ (G w), is the
minimum over all routings R of the maximum load of the arcs of G. Clearly, ~ (G w) is a
lower bound on ~w(G w).
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Property 3 ~w(G w) ~(G w) for any weighted digraph (G w).
Given a weighted digraph (G w) and any partition (S S) of the set of nodes V (G), called
a cut, we denote by c(S S) the number of arcs beginning in S and ending in S.
At least w(S )w(S) dipaths in any routing for (G w) must use these arcs. So we have
~(G w) w(cS(S)wS()S) for any cut (S S).
As far as a weighted tree of rings (T w) is concerned, we consider only cuts (S S) such
that c(S S) = 2. Therefore S and S are two connected components of T . Setting M = w(S )
and m = w(S), we have M + m = N and we assume that M m in the sequel. The product
Mm is called the load of the cut and the dierence = M ; m is called the gap of the cut.
A tight cut is a cut with maximum load (or equivalently with minimum gap).
Given two nodes a and b of (T w) with positive weights, we denote by wab the weight
function obtained from w by decreasing the weights of nodes a and b by one unit (hence
(T wab ) has total weight N ; 2). The minimum gap of (T wab ) is denoted by ab . The
following property will be usefull :
Property 4 Let (T w) be a weighted tree of rings with minimum gap 2. Let a and b
be two nodes in V (T ) with positive weights. If there exists a tight cut (S S) of (T w) such
that a b 2 S then ab = ; 2, otherwise ab .
Proof. Consider any cut (S S) of T . If (S S) is a tight cut of (T w), then (S S) has
gap ; 2 0 in (T wab ) if a b 2 S , and gap at least in (T wab ) if not. If (S S) is not a
tight cut of (T w), then it has gap at least + 2 in (T w) and gap at least in (T wab ).
2
Half the load of a tight cut is clearly a lower bound on both ~(T w) and ~w(T w). In
this paper, we show that this bound is indeed exact :
Main Theorem For any weighted tree of rings (T w) we have ~w(T w) = ~(T w) = d Mm
2 e,
where Mm is the load of a tight cut.
The proof is done by induction on the total weight. We rst prove the result in the case
of weighted rings and then proceed with the general case.
127
4
Beauquier, Prennes & Tth
3 Weighted rings
In this section we prove the theorem in the case of weighted rings. The proof for arbitrary
weighted trees of rings will follow the same lines.
Due to the upper integral part appearing in Main Theorem, we need to introduce the
notion of half-colors. Any color assigned to a set of arc-disjoint dipaths can be seen as the
union of two opposite half-colors : a positive one for clockwise dipaths and a negative one for
anti-clockwise dipaths. Conversely, any two opposite half-colors can give rise to one color.
Therefore, half-coloring a routing with h+ positive half-colors and h; negative half-colors
leads to a coloring with max fh+ h; g colors. Half-colors for a routing are said to be balanced
Mm
;
if jh+ ; h; j 1. We will manage to have h+ = d Mm
2 e and h = b 2 c, so that we can get
a solution to the wavelength-routing problem using a total of max fh+ h; g = d Mm
2 e colors.
The following proposition implies Main Theorem for weighted rings.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Proposition 5 Let (C w) be a weighted ring and Mm be the load of a tight cut. There
Mm
;
exists a routing that can be colored with h+ = d Mm
2 e and h = b 2 c half-colors.
Our proof is by induction on the total weight N : a coloring for (C w) is obtained from
a coloring of the weighted ring (C wab ) for some two nodes a and b.
De
nition 6 Let (C w) be a weighted ring with total weight N . Given two nodes a and b
with positive weights, let A and B be the two connected sets of nodes of C ; fa bg. Then
nodes a and b are said to be antipodal if w(A) bN=2c and w(B ) bN=2c.
Intuitively, antipodal nodes can be seen in the following way. Assume that the nodes
of the weighted ring are labelled with disjoint intervals of integers modulo N , so that each
node a has an interval I (a) of length equal to w(a) and adjacent nodes have adjacent
intervals. Then, any two nodes a and b are antipodal if there are x 2 I (a) and y 2 I (b),
such that y = x + b N2 c mod N or y = x + d N2 e mod N .
Case A
Keeping the same notation as in Property 4, we assume that :
Condition A There exist two antipodal nodes a and b such that ab .
Note that Condition A is fullled if 1, or if there exist two antipodal nodes a and b,
such that for any tight cut (S S), a 2 S if and only if b 2 S.
Lemma 7 If Proposition 5 holds for all weighted rings with weight less than N , then it
holds for any weighted ring with weight N satisfying Condition A.
Proof. Let (C w) be a weighted ring with weight N satisfying Condition A. (The result
is obviously true if N 1.) According to Condition A, there are two nodes a and b such
that the load of a tight cut of (C wab ) is at most (M ; 1)(m ; 1) = Mm ; (m + M ) + 1.
Using the inductive hypothesis, we color a routing of (C wab ) with Mm ; (N ; 1) balanced
128
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings
5
half-colors. Let A and B be the two connected sets of nodes of C ; fa bg. To obtain a
colored routing for (C w) satisfying the lemma, it remains to assign in a balanced way N ; 1
half-colors to a set D1 of 4(w(A) + w(B )) dipaths connecting a and b with the nodes in A
and B and to a set D2 of 2(w(a) + w(b) ; 1) dipaths connecting a with b.
Given a0 2 A fa bg and b0 2 B fa bg, two half-colors (one in each direction) are
sucient to color eight dipaths (possibly less if a0 2 fa bg or b0 2 fa bg) connecting a and b
with a0 and b0 (see Figure 2).
If N is even, as a and b are antipodal, we can choose N2;2 times a0 2 A fa bg and
0
b 2 B fa bg and use N ; 2 half-colors, so that sets D1 and D2 , but two dipaths connecting a
with b, are found and colored. At last, one half-color (whose direction can be chosen to ensure
the balance condition) is used in this case for the two last dipaths connecting a with b.
In the other case, N is odd and we can assume w.l.o.g. that w(A) bN=2c and w(B ) N ;3 . By choosing N ;3 times a0 2 A fa bg and b0 2 B fa bg and using N ; 3 half-colors,
2
2
we can dene and color set D1 , but four dipaths connecting a and b with one node in A,
and set D2 , but two dipaths connecting a with b. These last six dipaths can be dened and
colored with two more half-colors. From the inductive hypothesis, we can also ensure that
the same number of half-colors is used in the two directions of the ring (N is odd and Mm
even).
In both cases, we get a colored routing of (C w) with h+ + h; = Mm half-colors, so
Mm
;
that h+ = d Mm
2
2 e and h = b 2 c.
a
a’
b’
b
Figure 2: Coloring eight dipaths between fa bg and fa0 b0 g with two half-colors.
As proved in 5, 18], we deduce the following result :
Corollary 8 Proposition 5 holds for any weighted ring (C w1 ) with uniform weight equal
to 1.
Proof. The minimum gap of (C w1 ) is at most one, so we are in Case A and the result
follows inductively from the proof of Lemma 7.
2
129
6
Beauquier, Prennes & Tth
Corollary 9 Proposition 5 holds for any weighted ring (C wk ) with uniform weight equal
to k.
Proof. Let p be the number of nodes of C . The load of a tight cut of (C wk ) is k2
times the load of a tight cut of (C w1 ) equal to dp=2ebp=2c. If p is odd or if p and p=2
are even, we can get a solution for (C wk ) by taking k2 times the half-colored routing for
(C w1 ), where h+ = h; . If p is even and p=2 odd, we have h+ = h; + 1 in the2 half-colored
routing for (C w1 ). To ensure the balance condition for (C wk ), we take d k2 e times the
half-colored routing for (C w1 ) and b k22 c times the routing for (C w1 ) where clockwise and
anti-clockwise half-colors are swapped.
2
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Case B
Let (C w) be a weighted ring with minimum gap . We assume that we are not in Case A,
so > 1 and the following condition is satised :
Condition B For any two antipodal nodes a and b, there exists a tight cut (S S) such that
a 2 S and b 2 S .
Lemma 10 Any weighted ring satisfying Condition B has uniform weight and an odd number of nodes.
Proof.
First notice that for any connected set X of nodes, w(X ) < M implies
M . Note also that any node is antipodal
to a least one node.
Let a, b and d be three nodes, such that b and d are adjacent. Let B and D be the two
connected sets of nodes of C ;fa b dg, between a and b, and between a and d, respectively.
If a and b are antipodal and if (S S) is a tight cut such that a 2 S and b 2 S , then
S = fag B fbg. Indeed, otherwise we have w(a) + w(B ) + w(b) < M , so w(a) + w(B ) +
w(b) m = N ; M and w(a) + w(B ) + w(b) < N=2, but as a and b are antipodal, we have
also w(d) + w(D) bN=2c (contradiction).
Condition B implies that every node has weight at least . Indeed, assuming a and b
antipodal, we have w(a)+ w(B )+ w(b) = M = m + and w(B )+ w(b) < M , so w(B )+ w(b) m and w(a) . Note also that if node a is antipodal to itself, then w(a) > N=2, there is
only one tight cut and we are clearly in Case A.
Assume that both nodes b and d are antipodal with node a. Then w(a)+w(B )+w(b) = M
and w(a) + w(D) + w(d) = M . So N + w(a) = 2M = M + m + = N + , hence w(a) = .
Assume that b is the only antipodal node with a. Then w(a) + w(B ) + w(b) = M and
w(B ) + w(b) m N=2. As a and d are not antipodal and since w(D) < m N=2, we
have w(B ) + w(b) > bN=2c (contradiction).
Therefore, Condition B implies that every node has at least two antipodal nodes and
weight . The number of nodes cannot be even, otherwise = 0 (Case A). So, in Case B
the weight is uniform and the number of nodes is odd.
2
w(X ) m and w(X ) > m implies w(X )
130
All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings
7
Proof of Proposition 5
The proof is made by induction. Let (C w) be a weighted ring with weight N . If N 1
then the result is trivial. Assume that Proposition 5 holds for all weighted rings with weight
less than N . If (C w) satises Condition A, then we use Lemma 7, else (C w) has uniform
weight and a number of nodes odd, according to Lemma 10, we use then Corollary 9 to
conclude.
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4 General case
Now we extend Proposition 5 (and thus Main Theorem) to the case of weighted trees of
rings.
Proposition 11 Let (T w) be a weighted tree of rings and Mm be the load of a tight cut.
Then there exists a routing which can be colored with h+ + h; = Mm half-colors, with
Mm
;
h+ = d Mm
2 e and h = b 2 c.
De
nition 12 Let (T w) be a weighted tree of rings and P a closed Eulerian dipath in T
visiting each node. The interval labelling I for P (see Figure 2) is the assignment of an
interval I (a) of integers in f1 : : : N g to each node a of T , such that :
distinct nodes are assigned disjoint intervals and each node a is assigned an interval
of length w(a)
for any two integers i and j in f1 : : : N g, i < j , if i 2 I (a) and j 2 I (b) for some
nodes a and b, then a = b or a is visited for the rst time before b along P .
De
nition 13 Let (T w) be a weighted tree of rings with total weight N , let P be a closed
Eulerian dipath in T and let I be the interval labelling for P . Two nodes a and b are
said to be antipodal if there exist i 2 I (a) and j 2 I (b) such that j = i + b N2 c mod N or
j = i + d N2 e mod N .
This denition of antipodal nodes of weighted trees of rings is equivalent to that given
previously for weighted rings. Also, half-colors can be dened for trees of rings. Note that
a closed Eulerian (and Hamilton) dipath P for a weighted tree of rings (T w) induces an
orientation of each ring of T . Indeed, every arc used by P can be dened clockwise and every
other arc can be dened anti-clockwise. We can then call half-color a color used for routing
a set of arc-disjoint dipaths using exclusively clockwise or anti-clockwise arcs. Nevertheless,
we will need a slightly dierent denition of half-colors in Case B. Indeed, to achieve Main
Theorem it is only required that half-colors can be combined two by two to obtain colors.
This will be the case in the proof of Lemmas 17 and 18 where each half-color will be used for
routing a set of arc-disjoint dipaths using in each ring exclusively clockwise or anti-clockwise
arcs.
As for weighted rings, we rst assume that Condition A is satised (Case A).
131
8
Beauquier, Prennes & Tth
[45,49]
[44]
(4) (1)
(4)
[40,43]
(3)
(2)
[50,52]
[38,39]
[4]
[5,6]
(1)
(2)
[33,36]
[37]
(1)
[1,3]
[20,22]
(3)
(3)
[30,31] (2)
(4)
(1)
(5)
[7,11]
[23]
[12,14]
(3)
(1)
[15]
[16,19]
(1)
(2) (4)
(4)
[24,25]
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
[32]
[26,29]
Figure 3: Interval labelling of a weighted tree of rings (weights are in brackets) induced by
a closed Eulerian dipath.
Lemma 14 If Proposition 11 holds for all weighted trees of rings with weight less than N ,
then it holds for any weighted tree of rings with weight N satisfying Condition A.
Proof. The same arguments as in the proof of Lemma 7 are used and we give here a
short proof. Given a weighted tree of rings (T w), let P be a closed Eulerian dipath in T .
We consider two antipodal nodes a and b and we can assume w.l.o.g. that a is visited for
the rst time before b along P . Let A be the set of nodes visited after a and before b and
let B be the set of nodes visited before a or after b. By dening A and B in this manner
and by routing all requests clockwise or anti-clockwise along P , the proof of Lemma 7 can
be adapted and leads to the same result.2
Let (T w) be a weighted tree of rings with minimum gap . If Condition A is not
satised, then > 1 and Condition B holds (Case B).
De
nition 15 A main ring of (T w) is any ring where some tight cut occurs. A block of
a main ring C is any set of nodes remaining connected after removing all the arcs of C .
Whereas for weighted rings Condition B implies an odd number of nodes of the same
weight, for weighted trees of rings we need to add the condition that every block of a main
ring has weight at most N=2 (Case B1).
132
All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings
9
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Lemma 16 Consider a weighted tree of rings satisfying Condition B and having a main
ring with blocks all of weight at most N=2. Then there is an odd number of blocks all of the
same weight.
Sketch of proof. See the proof of Lemma 10. (Blocks of a tree of rings correspond to
nodes of a ring and antipodal blocks are dened as containing antipodal nodes.)
2
Figure 4: A weighted tree of rings in Case B1. All weights are equal to 1.
The remaining case to study is that of a weighted tree of rings satisfying Condition B
and having a main ring with one block of weight greater than N=2 (Case B2). So there is
exactly one tight cut in the main ring separating this block from the other blocks. Moreover
Condition B implies the existence of another tight cut out of the main ring, as two antipodal
nodes can be chosen respectively in and out of the main ring. So we can see the weighted
tree of rings as the union of weighted trees of rings (at least two of them having the same
maximum weight) which intersect two by two in the same weighted node.
Figure 5: A weighted tree of rings in Case B2. All weights are equal to 1.
In order to complete the proof of Main Theorem we need to solve Case B1 and Case B2.
Lemma 17 Proposition 11 holds for any weighted tree of rings (T w) with 2p + 1 blocks
(p > 0) of weight k.
133
10
Beauquier, Prennes & Tth
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Proof. The load of a tight cut is p(p + 1)k2 . The half-coloring of (T w) follows from
the solution obtained for the ring (C2p+1 w1 ) with 2p + 1 nodes and uniform unit weight,
that uses p(p + 1) half-colors.
We number blocks of T with integers from 1 to 2p +1 like the nodes of C2p+1 and for each
integer i we take a closed Eulerian dipath Pi of block number i and its interval labelling Ii .
Moreover, for 1 i 2p + 1 and 1 x k, we denote by li (x) the node of block number i
such that x 2 Ii (li (x)). We establish a correspondence between each half-color used in a
solution for (C2p+1 w1 ) and a set of k2 half-colors for (T w). Every dipath in T will be
routed in every block along its Eulerian dipath.
Assume that c is a half-color used in (C2p+1 w1 ) for clockwise dipaths. For each pair of
integers x and y such that 1 x y k, we use in (T w) a half-color to color dipaths 1) from
node li (x) to node li (y) for each i, and 2) from node li (y) to node lj (x) if there is in
(C2p+1 w1 ) a dipath from node i to node j colored by c. Note that these dipaths are dened
clockwise in the main ring, clockwise in the blocks if x y and anti-clockwise in the blocks
if y < x.
Similarly, if c is used in (C2p+1 w1 ) for anti-clockwise dipaths then for 1 x y k
we use in (T w) a half-color to color dipaths 1) from node li (y) to node li (x) for each i,
and 2) from node li (x) to node lj (y) if there is in (C2p+1 w1 ) a dipath from node i to
node j colored by c. Note that these dipaths are dened anti-clockwise in the main ring,
anti-clockwise in the blocks if x y and clockwise in the blocks if y < x.
This symmetric assignment ensures that half-colors can be combined two by two to obtain
colors, so Proposition 11 holds in Case B1.
2
Lemma 18 Proposition 11 holds for any weighted tree of rings (T w) that is the union
of weighted trees of rings (at least two of them having the same maximum weight) which
intersect two by two in the same weighted node.
Sketch of proof. Let v be the common weighted node of the weighted subtrees of
rings whose union forms (T w). Note that v is at the border of every tight cut. In each
subtree of rings we take a closed Eulerian dipath and every dipath in T will be routed in
every subtree of rings along its Eulerian dipath. A good routing strategy is to combine
the dierent routings for each subtree of rings obtained by adding to the weight of node v
the weights of the other subtrees of rings (Condition A is then satised in each so modied
subtree of rings). The main problem consists in coloring the set of all dipaths going to or
from or through v. This is obviously equivalent to color a set of dipaths in a subdivided
star, i.e. in a graph that is the union of paths (twice more than subtrees of rings) which
intersect two by two in the same node. Theorem 21 of 4] states the existence of a coloring
in this case with the right number of colors. The remaining dipaths go neither to neither
from nor through v and can be colored more easily.
2
134
All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings
11
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
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136
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ANNEXE D
Tight bounds for broadcasting
in the linear cost model
137
138
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Tight Bounds for Broadcasting
in the Linear Cost Model
Bruno Beauquier , Olivier Delmas , Stphane Prennes
Th
me 1 Rseaux et syst
mes
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Projet Sloop
Novembre 1999
Abstract: This work considers broadcast protocols made of successive communication
rounds in the linear cost model: the time needed to send a message of length L is dened
as + L . In this model, the communication time of any algorithm A is expressed as the
sum RA + TA , where RA is the number of rounds and TA the transmission cost of the
algorithm. In order to design an ecient algorithm realizing a given communication pattern,
it appears that minimizing RA and TA are antinomic goals. We study this trade-o issue for
broadcast protocols. Surprisingly, such a general theoretical study has almost never been
done. In the literature, only the two opposite issues are actually considered: minimizing
the number of rounds in the case of short messages, or minimizing the transmission cost in
the case of large messages. Our results concern the fully-connected N -nodes network KN ,
with N = (k + 1)T , in the bidirectional k;ports mode. We derive tight bounds on the
communication time for broadcasting in T + r rounds, our lower bounds holding for any
network.
Key-words: communication networks, broadcasting, linear cost.
(Rsum : tsvp)
An extended abstract of this paper written by the second author has been accepted in the 5th International Colloquium on Structural Information and Communication Complexity (SIROCCO'98).
This work has been partially supported by the AFIRST in the framework of the French-Israeli project
Communication Algorithms in Optical Networks and by the French RNRT project PORTO.
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis
2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France)
Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65
Bornes Fines pour la Diusion
avec Cot Linaire
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Rsum : Ce travail consid
re des protocoles de diusion se droulant en tapes successives
sous le mod
le linaire du co&t de communication : le temps ncessaire pour envoyer un
message de longueur L est dni par + L . Dans ce mod
le, le temps de communication
d'un algorithme s'exprime par la somme RA + TA , o RA est le nombre d'tapes
et TA le cot de transmission de l'algorithme. En vue de concevoir un algorithme ecace
ralisant un schma de communication donn, il appara't que minimiser RA et TA sont des
objectifs antinomiques. Nous tudions le compromis ncessaire entre ces deux co&ts dans
le cadre de la diusion. Il s'av
re qu'une telle tude thorique gnrale n'a pratiquement
jamais t entreprise. Dans la littrature, seulement les deux cas extrmes sont considrs :
minimisation du nombre d'tapes dans le cas de messages courts, ou minimisation du co&t
de transmission dans le cas de messages longs. Nos rsultats concernent le rseau complet
KN , avec N = (k + 1)T , sous le mode k-ports bidirectionnel. Nous drivons des bornes nes
sur le temps de communication pour la diusion en T + r tapes, les bornes infrieures tant
valables dans tout rseau.
Mots-cl : rseaux de communication, diusion, co&t linaire.
1
Tight Bounds for Broadcasting
1 Introduction
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
When studying information dissemination in communication networks, often considered are
protocols made of successive communication rounds with a linear model for the communication cost : the time needed to send a message of size L from a node to another is dened
as + L , where stands for a start-up time while L represents the cost of sending L bits
of data in a channel with bandwidth 1= . The cost of a round is dened as the maximum
of the cost of all the communications done during this round. In such a modelization, the
communication time of any algorithm A can be expressed as the sum RA + TA ,
where RA is the number of rounds and TA the transmission cost of the algorithm. This
linear model of the communication cost is often used in the literature and references to algorithmic work can be found in 6, 7]. When trying to design an optimal algorithm performing
a given communication pattern, it appears that minimizing RA and TA are often antinomic
goals. In fact, in the literature many authors optimize only one of these two parameters by
considering one of the two extremal cases:
Short messages (i.e. L ) ; In this case, RA is the leading term of the
communication time. Hence, only the number of rounds is to be minimized. Many
authors have proposed broadcast algorithms optimal with that respect (see the surveys
10, 11], the book 14], the chapter 13] or the theses 6, 7]).
Large messages (i.e. L ) ; In this case, only the transmission cost is to be minimized. Techniques, like pipelined algorithms using disjoint spanning trees, ensure
a nearly optimal cost for message transmission (see 8, 12, 15] for hypercube network
or 4, 9] for grids, and 10, 14] for a general survey). Note that this kind of optimality
always implies a large number of communication rounds.
Some authors considered also families of algorithms A(p) depending on some parameter p
(for example, for pipelined algorithms p usually represents the size of packets, assuming that
all packets have the same size ; see the survey 10] and the associated references). In this
case, the family A(p) uses RA (p) rounds with a transmission cost TA (p). Within a family, as
the functions RA (p) and TA (p) have usually an opposite behavior, the optimal p minimizing
the communication time can be chosen for given , L and .
Here, in order to design optimal algorithms and to study this trade-o, we proceed in
a dierent way. Given the number of rounds, we try to determine (at least to nd a tight
estimation of) the minimum transmission cost of any algorithm realizing the communication
pattern within this given number of rounds. A general theoretical study about such a tradeo has almost never been done (except in 5]) and therefore no optimal protocol was known
but in the case of short or large messages, by optimizing only the leading term.
141
2
Beauquier, Delmas & Prennes
The determination of the minimum transmission cost of an algorithm using a given
number of rounds appears to be a dicult problem. So, we restrict ourselves to the communication scheme called broadcasting, where a single source has to send the same message of
length L to all the other nodes in the network. We also assume that links are full-duplex (i.e.
there is a bidirectional link between each pair of node) and that a node can simultaneously
send and receive data on at most k;ports. We consider the case where the network is the
complete graph KN and we assume that N = (k + 1)T , as this is the maximum number of
nodes which can be informed in T rounds. With these hypotheses, any broadcast algorithm
needs at least T rounds.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
In this paper, we study the antinomy between the number of rounds and the transmission
cost. When the number of rounds is small, more exactly of the form T + r with r logk+1 (T )+1, we show that an estimation of the transmission cost is given by an exponential
T r + ( 1 ). Conversely, for a large number of extra rounds r T ; 1, we
decrease (k+1)
k
observe a linear decrease krT ++1r ; O( r12 ), whereas for intermediate values no trade-o occurs,
the transmission cost remaining close to 2=k.
The article is organized as follows. In section 2 we give the denitions and hypotheses
and show why our study is valid for both the store-and-forward and the circuit-switched
routing modes. We also introduce a function allowing to study the trade-o issue formally.
In section 3 we give an upper bound for broadcasting with a few extra rounds, while we
derive tight lower bounds in section 4. Other tight bounds for many extra rounds are derived
in section 5. In conclusion we summarize our results and discuss their applications.
2 Framework
Recall that we consider synchronous protocols made of successive communication rounds.
De
nition 1 The communication time of a broadcast algorithm A in a network G can
be expressed as b(A) = RA + TA , where RA is the number of rounds and TA the
transmission cost. The minimum broadcast time over all algorithms is denoted by b(G).
For any k-ports network with N nodes, the usual lower bound on the time for broadcasting a message of length L is expressed as the sum of the lower bounds valid for the number
of rounds and for the transmission cost 6]:
b(G)
dlogk+1 N e + Lk (1)
As already noticed, existing upper bounds have quite a dierent form where a trade-o
appears.
142
3
Tight Bounds for Broadcasting
The function dened below will be useful to derive a relation between the number of
rounds and the transmission cost.
De
nition 2 Let G be a xed network and T the minimum number of rounds for broadcasting in G. Then, f (G L r) is dened as the minimum transmission cost of any
algorithm broadcasting in G a message of length L and completing in r extra rounds, i.e.
using T + r rounds.
With the previous denition, we have b(G) (T + r) + f (G L r) , for any r 0.
Hypothesis 3 Packet sizes are assumed to be continuous.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
This does not hold formally in practice, as messages are made of integer numbers of bits.
However, as these numbers are generally large, the continuity assumption makes sense.
Property 4 Assuming continuous packet sizes, the function f is linear in L, i.e. f (G L r) =
f (G 1 r) L. Moreover, f (G 1 r) is a non-increasing function of r.
Proof. Let M be a message of length L and let AL0 be an algorithm broadcasting a
message M 0 of length L0 with transmission cost f (G L0 r).
Let us denote by h the function x !
7 x L=L0 from 0 L0 ] to 0 L]. Note that h induces
a function H from the set of submessages of M 0 to the set of submessages of M . With
function H we are able to dene submessages of M from submessages of M 0 . By following
the same communication protocol as AL0 with the images by H , we obtain an algorithm
AL broadcasting M with cost f (G L0 r) L=L0. Hence, f (G L r) f (G L0 r) L=L0. By
inverting roles of M 0 and M , we get the reverse inequality.
Note at last that any algorithm using r + 1 rounds can emulate an algorithm using r
rounds by sending empty messages during its last round, so f (G 1 r + 1) f (G 1 r). 2
Remark 5 As f (G L r) is linear in L, we will consider w.l.o.g. that L = 1.
Hypothesis 6 We consider the case of the complete graph KN with N nodes.
Note that the behaviour of f (G 1 r) strongly depends on the topology of network G.
Any link conict is avoided in the complete graph. Therefore we will derive lower bounds
valid for every network with N nodes. Moreover, as each pair of vertices can communicate
143
4
Beauquier, Delmas & Prennes
in the complete graph, the study is also valid for both the store-and-forward and the circuitswitched routing modes.
Finally, in order to simplify computations we will assume that:
Hypothesis 7 Under the k-ports communication mode, N = (k + 1)T .
This is not avery restrictive hypothesis, as N is thereby the maximum number of nodes
which can be informed by a broadcast protocol completing in T communication rounds.
With all these hypotheses, we give in the next sections results on f (KN 1 r), with
N = (k + 1)T , that will be denoted simply by fT (r).
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
With this notation, we have immediately:
Proposition 8 fT (0) = T .
Proof. As N = (k + 1)T , every node other than the source can be informed only once
during the T rounds and must receive the whole message whose length is 1. Hence, the
size of any message sent during any round must be equal to 1, and so fT (0) 0. A greedy
algorithm matching this bound can be dened as follows. During T rounds every informed
node sends the whole message to k not yet informed nodes. The broadcast is thus completed
and the resulting transmission cost is T .
2
3 Upper bound for broadcasting with a few extra rounds
Here, we construct inductively algorithms for broadcasting with r extra rounds. We initiate
the induction by using the greedy broadcast algorithm given in Proposition 8.
2 + fT;1 (r;1) .
Lemma 9 For T > 0 and r > 0, fT (r) k+1
k+1
Proof. For t 0, let Nt = (k + 1)t, hence N = NT . The idea consists in dening an
algorithm in KN using T + r rounds from an algorithm in KNT;1 using T ; 1+ r ; 1 rounds.
The vertex set V (KN ) of the complete graph KN can be seen as the cartesian product
f1 2 : : : k +1gf1 2 : : : NT ;1 g and can be represented by the following matrix with k +1
144
5
Tight Bounds for Broadcasting
rows and NT ;1 columns:
0
B
V (KN ) = B
B
@
(1 1)
(1 2)
(2 1)
(2 2)
..
..
.
.
(k + 1 1) (k + 1 2)
(1 NT ;1 )
(2 NT ;1 )
..
...
.
(k + 1 NT ;1 )
1
C
C
C
A
The source (1 1) rst partitions equally the message into k + 1 packets each of size
1=(k + 1), denoted by mi for 1 i k + 1.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
During the rst round, the source (1 1) sends packet mi to node (i 1), for 2 i k +1.
The transmission cost of this round is 1=(k + 1).
During the next (T ; 1 + r ; 1) rounds and for 1 i k + 1, each packet mi is
broadcast from node (i 1) to all the vertices in line i. This is realized by performing
k + 1 independent and parallel identical protocols broadcasting in (T ; 1) + (r ; 1)
rounds a message of length 1=(k + 1) in k + 1 disjoint complete graphs of cardinality
NT ;1 . By denition of fT ;1 , the transmission cost of this phase is fT ;1 (r ; 1)=(k +1).
Finally, as the original message is distributed on every column, each node (i j ) sends
in the last round packet mi to the k others nodes in column j (parallel total exchanges
of the packets mi are realized in the dierent columns). The transmission cost of this
last round is 1=(k + 1).
2 + fT;1 (r;1) .
Summarizing, we obtain the inductive inequality fT (r) k+1
k+1
2
Now the following proposition can be stated.
;r r + 2 1 ; 1 r .
Proposition 10 For r T , fT (r) (kT+1)
k
(k+1)
Proof. For r P
= 0 we use Proposition 8. For 1 r T , applying inductively Lemma 9
2 i + fT;r (0)
leads to fT (r) ri=1 (k+1)
(k+1)r . Note that the condition r T follows from the fact
that Lemma 9 can be applied only for T > 0.
2
145
6
Beauquier, Delmas & Prennes
4 Lower bounds for broadcasting with a few extra rounds
4.1 Notation
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
For every t 0, let Nt = (k + 1)t . Then Nt is an upper bound on the maximum number of
nodes having received some information after the t rst rounds. For 1 t T + r, we need
the following denitions:
lt
: maximum size of the messages sent during round t,
Lt = Pti=1 lt : transmission cost after the rst t rounds,
it P
: total information received during the round t,
It = ti=1 it : total information received after the rst t rounds,
and by convention, L0 = I0 = 0.
4.2 Preliminaries
To study the transmission cost once some vertices have already been informed, we need
a to consider particular protocols where a given number s of sources can simultaneously
broadcast information, and which we call broadcast protocols with s sources.
Lemma 11 For
any broadcast protocol with s sources, for any t 1 and for a xed Lt , we
have It s Ltt (Nt ; 1). Moreover, equality holds only if all the costs li , with 1 i t,
are equal.
Proof. The following holds for each round t + 1 such that t 0.
At most sNt nodes can send messages, hence it+1 k(sNt )lt+1 .
Let i(x t) be the total information received by node x after t rounds. The information
sent by the sources is at most s(klt+1 ) and each of the other
nodes can send no more
P
than what it has already received, hence it+1 s(klt+1 )+k x2G i(x t) = sklt+1 +kIt .
So for every t such that 0 t T , we have:
It+1 It + ksNtlt+1
It+1 (k + 1)It + kslt+1
(2)
(3)
Note that the lemma is true for t = 1, as we have N0 = 1, I0 = 0, leading to I1 ksl1 =
sl1 (N1 ; 1). We assume that it holds for a given t and we prove it for t + 1.
146
7
Tight Bounds for Broadcasting
We recall that Lt+1 is xed. For a protocol with some transmission cost lt+1 at round
t + 1, we have Lt = Lt+1 ; lt+1 and by induction hypothesis
It s Lt+1 ;t lt+1 (Nt ; 1)
From (2) and (3), we get:
It+1 It+ ksNt lt+1
s Lt+1 ;t lt+1 (Nt ; 1) + kNtlt+1
= '1 (lt+1 )
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
It+1 (k+ 1)It + kslt+1
s Lt+1 ;t lt+1 (Nt ; 1)(k + 1) + klt+1 = '2 (lt+1 )
Functions '1 and '2 are two ane functions in lt+1 , '1 being increasing while '2 is nonincreasing. Therefore, min('1 (lt+1 ) '2 (lt+1 )) is smaller than the common value obtained
t+1 and we obtain:
by solving '1 (lt+1 ) = '2 (lt+1 ). The solution of this equation is lt+1 = Lt+1
It+1 '1 (lt+1 ) = '2 (lt+1 ) = tL+t+11 (Nt+1 ; 1)
i+1 for each i t, which indeed
To reach this bound, we must have by induction li+1 = Li+1
implies that all the intermediate costs are equal. In this view, the transmission optimization
may be called greedy.
2
Corollary 12 For 0 p < q T + 1, the information transmission Iq after q rounds of
every protocol having xed values of Ip , Lp and Lq satises:
Iq Ip + Lqq ;; pLp (Nq ; Np )
(4)
Proof. First, note that after p rounds at most Np nodes can be informed. So, after
round p, an information transmission occurs from Np sources during q ; p rounds and with
a xed cost (Lq ; Lp ). According
with t = q ; p, Lt = Lq ; Lp and
to Lemma 11 applied
L
;L
q
p
2
s = Np we have (Iq ; Ip ) Np q;p (Nq;p ; 1) and the result holds.
Remark 13 For values of t greater than T + 1, Lemma 11 does not give an accurate
estimation of It . This is due to the fact that for t T + 1, the maximum number of
147
8
Beauquier, Delmas & Prennes
informed nodes is NT , which is much smaller than Nt . Nevertheless, lower bounds on fT (r)
can still be derived from inequalities (2) and (3), but they are not tight enough and the
rened analyses given in the next sections allow to obtain better results.
Consider a dissemination protocol with one source using T + r rounds. After round T + r,
each node must have received a complete message of length 1, hence, if i(x t) (as in the
proof of Lemma 11) denotes the total information received by node x after t rounds, we
have for any node x , i(x T + r) 1. By summing over all the nodes (except the source)
we get the next inequality:
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
IT +r NT ; 1
(5)
Remark 14 Using the fact that any broadcast algorithm using T rounds satises IT
N ; 1, we nd again Proposition 8 from Lemma 11, i.e. the transmission cost LT is at
least T .
4.3 One extra round
+1
Proposition 15 fT (1) = Tk+1
Proof. We prove that fT (1)
of an algorithm using T
T +1 by reduction to the absurd, assuming the existence
k+1
+1 .
+ 1 rounds with a transmission cost LT +1 < Tk+1
First we prove that lT +1 < k1 . With inequalities (5) and (3) and from Lemma 11, we
have:
NT ; 1 IT +1
(k + 1)IT + klT +1
IT LTT (NT ; 1)
by hypothesis, LT = LT +1 ; lT +1
+1 ; lT +1
< Tk+1
1
kT 1 k .
Combining the three relations leads to lT +1 < k+1;1 N;
As klT +1 < 1, a node without information cannot receive enough information during the
last round. So, during the rst T rounds each node must receive some information, exactly
one message as N = (k + 1)T .
148
9
Tight Bounds for Broadcasting
Let l = min flt j 1 t T + 1g be the minimum cost of all rounds. We have (T + 1)l +1 , so l < 1 . Now, we distinguish two cases.
LT +1 < Tk+1
k+1
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
The minimum value l is attained for lT +1 . As a vertex can receive at most kl information in round T + 1, then it should be know at least 1 ; kl information after round
T and so, according to Proposition 8 we have lt 1 ; kl for 1 t T .
The minimum value l is attained for some t0 with 1 t0 T . As the algorithm follows
a spanning tree pattern during the rst T rounds, exactly (Nt0 ; Nt0 ;1 ) nodes receive
at most l information during round t0 . Let S be the set of all the descendants of these
nodes after round T ( and note that jS j = (k + 1)T ;t0 (Nt0 ; Nt0 ;1 ) = NT ; NT ;1 . So,
all the nodes in S have at most l information after round T . As l < 1=(k + 1), no node
in S can receive, in the last round, k messages from nodes in S . As k(N ; jS j) = jS j,
we deduce that during round T + 1 each node in S receives (k ; 1) messages of length
at most l from nodes in S and one message of length at least (1 ; kl) from a node not
in S . Consequently, any node not in S must have at least (1 ; kl) information after
round T . So, lT +1 1 ; kl and lt 1 ; kl for 1 t T , with t 6= t0 .
In both cases we have LT +1 l + T (1 ; kl) = '(l). Finally, just note that '(l) is a
1 , we have LT +1 > '( 1 ) = T +1 , contradicting
strictly decreasing function in l. As l < k+1
k+1
k+1
our main hypothesis. As the conditions used in this proof are necessary to perform any
+1 and the result follows from
broadcast protocol, then, it is proved that fT (1) LT +1 Tk+1
Proposition 10.
2
4.4 Two extra rounds
Before to state a lower bound for two extra rounds, we need to introduce a new notion about
the transmission cost.
De
nition 16 Given a network G with one source vertex. A transmission algorithm
using t rounds is a communication protocol such that:
Initially the source has a message of innite size, and all the other vertices in G have
no information.
During the t rounds of the protocol, each vertex with some information can send k
dierent submessages such that each size is not greater than the known information.
At the end of the protocol, i.e. after t rounds, all the vertices in G have received an
amount of information at least equal to 1.
149
10
Beauquier, Delmas & Prennes
Remark 17 Clearly, these transmission constraints are weaker than those for broadcasting.
Indeed, at the end of a transmission protocol, we make no assumption about what message
reaches each vertex. We only restrict the nal amount of information in each vertex.
De
nition 18 Let gT (r) be the minimal transmission cost of any transmission algorithm for the complete graph KN using T + r rounds.
Property 19 As any broadcast algorithm satises the transmission constraints, we have
fT (r) gT (r).
Our lower bound can now be stated.
;
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
T 2 + 2 ;
Proposition 20 fT (2) = (k+1)
k+1
1
kT .
Proof. From Proposition 10 we have fT (2) broadcast algorithm using T + 2 rounds.
T
(k+1)2
2 . We consider an optimal
+ k+1
After the rst round, at least (1 ; kl1 ) information remains to be broadcast from the
source in T + 1 rounds, so l1 + (1 ; kl1 )fT (1) LT +2 NT2 + N21 and from Proposition 15
we deduce:
1
1
kT
;
1
;
k
l1 (kT ; 1)N = N ; kT
(6)
1
1
Before the last round, every node must have at least (1 ; klT +2) information. Therefore,
by denition of the function gT , we get that LT +1 is at least (1 ; klT +2 )gT (1). So lT +2
satises the same inequality as l1 :
1
1
kT
;
1
;
k
(7)
lT +2 (kT ; 1)N = N ; kT
1
1
Let be such that LT +2 = l1 + T + lT +2 . By applying Corollary 12 with p = 1 and
q = T + 1, we obtain IT +1 k + (NT +1 ; N1 ). Then from NT ; 1 IT +2 N1 IT +1 + k
we deduce:
N1 ; N1
2
As T=N is small compared to 1=(kT ), combining (6), (7) and (8) gives:
1
fT (2) = LT +2 = l1 + T + lT +2 NT + N2 ; kT
2
1
150
(8)
2
11
Tight Bounds for Broadcasting
4.5 Some extra rounds
We have given in section 3 algorithms for broadcasting with r extra rounds, inducing upper
bounds on fT (r). For large enough values of T , their transmission cost can be approximated
T r and 2 . The former is dominating for small values of r
by the sum of the two terms (k+1)
k
and decreases exponentially with r. We prove in the following that in this case the upper
bounds of Proposition 10 are tight. Therefore we show the eciency of our algorithms,
which allow to decrease signicantly the transmission cost with a few additive rounds.
T r +
Theorem 21 For 0 r T , fT (r) = (k+1)
;1
k .
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Proof. We derive here a lower bound on fT (r) matching the upper bound given by
Proposition 10. Let consider a broadcast algorithm using T + r rounds. After round r ; 1
it can be seen as a broadcast protocol with (at most) Nr;1 sources. So from inequality (3)
with t = T + r ; 1 we get:
IT +r (k + 1) IT +r;1 + k Nr;1 lT +r
By iteration for T t < T + r ; 1 and as lt+1
IT +r Nr IT +
r ;1
X
i=0
1, we obtain:
(k Ni lT +r;i ) Nr IT + (Nr ; 1)
Then, we apply Lemma 11 with t = T ,
L
T
NT IT +r + 1 Nr (IT + 1) Nr T (N ; 1) + 1
and it follows that LT
;T ;1 T
T 1;Nr
T
T NT;r
N ;1 = Nr + N ;1 Nr = Nr + N .
Now, we must compare this relation with the upper bound given by Proposition 9, that
is we compare NT with k1 . As NT is small compared to k1 the proposition holds.
2
The above proposition is meaningless when r > logk+1 (T ) as it reduces to fT (r) = ( k1 ).
In the following we investigate this case and we give a better bound.
Proposition 22 For r < T ; 1, fT (r)
2
k.
Proof. We consider a broadcast algorithm using T + r rounds and having a transmission
cost strictly less than 2=k, and we show that r T ; 1. Let t0 be the last round after which
151
12
Beauquier, Delmas & Prennes
it remains some information not yet broadcast from the source, hence Lt0 +1 1=k. After
round t0 , T rounds are necessary to broadcast this last piece of information in the entire
network, so t0 + T T + r and t0 r. Given the assumption on the total transmission
cost, every node must have received some information after the round t0 + 1, otherwise
LT +r Lt0 +1 + 1=k 2=k. Therefore, we have t0 + 1 T , leading to r T ; 1.
2
Corollary 23 For logk+1(T ) + 1 < r < T ; 1, fT (r) = k2 + O
;
1
k2 .
r);2 . As for r log (T ) + 2, we
Proof. By Proposition 10 we have fT (r) k2;+ k
k(T(k;+1)
r
k+1
1
2
have (k + 1)r T (k + 1)2 , then, fT (r) k + O k2 and the result holds with Proposition
2
22.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Remark 24 It has been proved that the minimum transmission cost fT (r) decreases ex-
ponentially when a small number of extra rounds is used. However, this behaviour stops
as soon as r is greater than logk+1 (T ). Indeed, the main cost becomes 2=k. This can be
explained as follows: to have an unit length message broadcast in a whole network under
the k-ports mode, a transmission cost of 1=k is required to make the message go out from
the source and also to make it enter into any other node. We could think that the pipeline
techniques could decrease this cost as they should allow to have these two costs covered by
each other, in order to go below a total cost of 2=k. Unfortunately, Proposition 22 proves
that no pipelined algorithm can be usefull if r < T ; 1.
5 Broadcasting with many extra rounds
In this section, we investigate the case where many extra rounds are used, i.e. with r T ;1.
In this range pipelined protocols are possible and we study how such techniques allow to
decrease the transmission cost.
5.1 Upper bounds: pipelined algorithms
Proposition 25 For r T ; 1, fT (r) krT ++1r .
Proof. This upper bound follows from an algorithm. In the following Zq will denote
the set of integers modulo q. The elements of Zq will be taken in the set f0 1 : : : q ; 1g.
The vertex set of the complete graph KN is represented by ZTk+1. The elements in ZTk+1
may be expressed in the canonical
base fei g1iT , that is, we may denote a vertex x =
P
(x1 x2 : : : xT ) 2 ZTk+1 by Ti=1 xi ei . The source is the element with all components
152
13
Tight Bounds for Broadcasting
equal to 0. In the following, we need to dene a labelling of the arcs to be used in our
algorithm. For each node x, for 1 j k and 1 i T , the arc (x x + j ei ) will be
labelled by i. In our algorithm, only arcs labelled by i are used during a round t = i mod T .
Now, let U be the set of vertices such that U = fu 2 V (KN ) j u = j ei with 1 j k
and 1 i T g. For each node u 2 U , let T0 (u) be simply the vertex u. Now, for
1 h T , let Th (u) be the tree induced from Th;1 (u) by adding all the possible arcs
labelled by (i + h mod T ). Thus, TT (u) is a directed spanning tree rooted in u.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
In this way, we have dened k T arc;disjoint spanning trees and the algorithm mainly
consists in pipelining concurrently in each of them. Moreover, to maintain the full use of the
bandwidth until the end of the process, the last piece of information is broadcast during the
last T rounds using a spanning tree rooted in the source. Now, we describe the algorithm.
The source rst cuts equally its unit length message into kr + 1 distinct submessages,
denoted by ml with 1 l kr + 1.
For 1 t r, at round t the source sends submessage m(t;1)k+j , for 1 j k, to
node u = j e(t mod T ) .
When a submessage ml , with 1 l kr, has been sent from the source to a node
u 2 U , it is broadcast in TT (u) during the next T rounds (using thereby all the arcs
labelled by i at each round t = i mod T ).
The last submessage mkr+1 is broadcast from the source in the T last rounds, using
all the possible arcs labelled by t mod T at round t.
The dierent rounds use the same transmission cost equal to 1=(kr + 1), that is the
length of each submessage. This leads to the expected total cost (T + r)=(kr + 1).
2
5.2 Lower bounds
Lemma 26 For any r 0, if fT (r)
T +r
kr+1 then fT (r + T )
T +(r+T )
k(r+T )+1 .
Proof. Consider an optimal algorithm broadcasting an unit length message in T +(T + r)
rounds. After round T , at least (1 ; kLT ) information remains to be broadcast from the
source in T + r extra rounds, hence:
T + r (1 ; kL ) = ' (L )
fT (r + T ) LT + fT (r) (1 ; kLT ) LT + kr
T
1 T
+1
153
14
Beauquier, Delmas & Prennes
Note also that after time T , an amount of (N ; 1 ; IT ) information has to be transmitted
on at most k(N ; 1) links at each round (as those incoming the source are useless). From
Lemma 11, we know that IT LTT (N ; 1), hence:
fT (T + r) LT + k1 1 ; LTT = '2 (LT )
As in the proof of Lemma 11, '1 is a decreasing function while '2 is an increasing function.
So min('1 (LT ) '2 (LT )) '1 ( ), where satises '1 ( ) = '2 ( ). Solving the equation we
get:
+ krT ++1r (1 ; k ) = + k1 (1 ; T )
= k(r+TT )+1
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
r+T )
'1 ( ) = '2 ( ) = kT(+(
r+T )+1
So we have fT (T + r)
T +(r+T )
k(r+T )+1 .
2
T +2)
Lemma 27 fT (T + 2) = kT(+(
T +2)+1
Proof. From Proposition 25 we have fT (T + 2) arguments we get:
T +(T +2)
k(T +2)+1
fT (T + 2)
T +(T +2)
k(T +2)+1
LT +1
T +(T +2)
k(T +2)+1 and by using the same
LT +1 + fT (1) (1 ; kLT +1 )
+1 (1 ; k LT +1 )
LT +1 + Tk+1
T +1
k(T +2)+1
Let us denote by L0T +1 the sum of the transmission costs of the last T + 1 rounds, hence
fT (T + 2) = LT +1 + L0T +1 .
T +(T +2)
k(T +2)+1
fT (T + 2)
T +(T +2)
k(T +2)+1
L0T +1
fT (1) (1 ; kL0T +1 ) + L0T +1
T +1 (1 ; k L0 ) + L0
T +1
T +1
k+1
T +1
k(T +2)+1
2
So the lemma holds.
154
15
Tight Bounds for Broadcasting
Theorem 28 For r T , and r = 0 1 2 mod T , fT (r) = krT ++1r .
Proof. We use Lemma 26 inductively. To initiate the induction for r = 0 mod T , we use
Proposition 8, that is fT (0) = T verifying the condition of Lemma 26. For r = 1 mod T , we
+1 . Finally, for r = 2 mod T , we use Lemma 27 giving
use Proposition 15, that is fT (1) = Tk+1
the exact value of fT (T + 2), that veries the needed condition too. For these three cases,
we obtain fT (r) krT ++1r . The result follows from Proposition 25.
2
Corollary 29 For T 2 f1 2 3g and for any r T , fT (r) = krT ++1r .
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Corollary 30 For r T , fT (r) = krT ++1r ; O
;
1
r2 .
Proof. Assume that r1 = aT , r = aT + b and r2 = (a + 1)T with a 1 and 0 b < T .
a+1)T , and f (r ) = (a+2)T . As by Property 4,
We know by Theorem 28 that fT (r1 ) = (kaT
T 2
+1
k(a+1)T +1
fT is a non-increasing function, we have:
fT (r1 )
fT (r)
fT (r2 )
(a+1)T
kaT +1
f T (r )
So we obtain for r T ,
(a+2)T
k(a+1)T +1
1 ; 1 ;O 1
fT (r) = k1 + ka
k2 Ta
a2
1
T
1
1
T
+
r
fT (r) = k + kr ; k2 r ; O r2 = kr + 1 ; O r12
2
The above proposition and corollary make the following conjecture very likely to hold:
Conjecture 31 For any T and any r T , fT (r) = krT ++1r .
6 Conclusion
In this paper, we have shown the existence of a trade-o between the number of rounds
and the transmission cost of broadcast protocols. We have derived tight bounds on the
minimum communication time (T + r) + fT (r) L of any algorithm using T + r rounds
for broadcasting a message of length L in the bidirectional k-ports complete network KN ,
with N = (k + 1)T . The following table summarizes the dierent results obtained:
155
16
Beauquier, Delmas & Prennes
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Number of extra rounds
Minimum transmission cost
r=0
fT (0) = T
+1
r=1
fT (1) = Tk+1
; T
2
r=2
fT (2) = (k+1)2 + k+1 ;; kT1
T r + 1
2 r logk+1 (T ) + 1
fT (r) = (k+1)
; k
2
logk+1 (T ) + 1 < r < T ; 1
fT (r) = k + O k12
r T , r = 0 1 2 mod T
fT (r) = krT ++1r ; r T ;1
fT (r) = krT ++1r ; O r12
Comment
greedy
exponential trade-o
no trade-o
linear trade-o
Our lower bounds have been obtained for complete networks, therefore they are valid
for any topology. Conversely, our matching upper bounds derived from our algorithms
require strong connectivity to be reached. For example, we can show that the exponential
decrease of the transmission cost does not occur in a ring network. However, all routing
mechanisms based on the circuit-switched mode can take advantage of our algorithms, due
to the additional connectivity provided. In particular, the Wavelength Division Multiplexed
(WDM) optical routing can oer full connectivity in various network topologies (see 3, 2]).
Our study has thus been fruitfully taken into account in 1] for multi-hop optical ring and
mesh networks. Further work should concentrate on other less connected topologies, for
which greater lower bounds will arise.
Acknowledgements
We are grateful to J-C. Bermond for his helpful remarks and comments.
156
17
Tight Bounds for Broadcasting
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158
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ANNEXE E
Broadcasting
in WDM optical rings and tori
159
160
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori
Bruno Beauquier*
Th
me 1 Rseaux et syst
mes
Projet Sloop
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Avril 1998
Abstract: The well-known spanning binomial tree broadcast algorithm is generalized to
obtain two families of broadcast algorithms for optical rings and two-dimensional toroidal
meshes (tori) using Wavelength Division Multiplexing (WDM). These generalizations take
advantage of the concurrent transmission through optical links oered by WDM. Their
performances are measured under the linear cost model : the cost of sending a message of L
bits is dened as + L , where is the latency and is the per-byte transmission cost. It
is assumed that each node can concurrently transmit one message and receive one message.
Our algorithms are based on the familiar spanning binomial tree and on the dimensional
exchanges commonly used on hypercubes. We restrict the number of nodes in a ring and
in each dimension of a torus to be a power of two. The algorithms described in this paper
oer signicant performance improvements over the basic spanning tree broadcast.
Key-words: Optical networks, WDM, broadcasting.
(Rsum : tsvp)
To appear in the DIMACS Series on Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science published
by the American Mathematical Society. Presented in the workshop on Multichannel Optical Networks:
Theory and Practice, (DIMACS, March 16-19, 1998).
* SLOOP, joint project I3S-CNRS/UNSA/INRIA. Work partially supported by the AFIRST
in the framework of the French-Israeli project Communication Algorithms in Optical Networks.
Email : [email protected]
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis
2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France)
Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65
Diusion par multiplexage en longueur d'onde
dans les anneaux et les tores optiques
Rsum : L'algorithme bien connu de diusion sur un arbre couvrant bin)mial est gn-
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
ralis pour obtenir deux familles d'algorithmes de diusion dans des anneaux et des tores
optiques utilisant la technique du multiplexage en longueur d'onde (en anglais, Wavelength
Division Multiplexing : WDM). Ces gnralisations exploitent les avantages de la technologie WDM qui permet des transmissions de donnes concurrentes au sein d'une mme bre
optique. Les performances des algorithmes sont mesures par un mod
le de co&t ane :
le temps pour envoyer un message de L bits est dni par + L , o est la latence et
l'inverse de la bande passante. Il est suppos que chaque n*ud peut en mme temps
envoyer et recevoir un seul message. Nos algorithmes sont bass sur des plongements des
arbres couvrants bin)miaux et des changes dimensionnels, classiquement utiliss dans les
hypercubes.
Mots-cl : Rseaux optiques, multiplexage en longueur d'onde, diusion.
Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori
1
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
1 Introduction
Optics is emerging as a key technology in communication networks, promising very high
speed local or wide area networks of the future. A single optical wavelength supports
rates of gigabits per second, which in turn support multiple channels of voice, data and
video 4, 6]. Multiple laser beams that are propagated over the same ber on distinct optical
wavelengths can increase this capacity even further. This is achieved through Wavelength
Division Multiplexing (or WDM) 3], by partitioning the optical bandwidth into several
channels and allowing the transmission of multiple data streams concurrently along the
same optical ber.
The problem we consider here is motivated by multi-hop communication networks 7]
with recongurable wavelength selective optical switches, without wavelength converters.
Dierent signals may travel on the same ber-optic link (but on dierent wavelengths) into
a node, and then exit from it on dierent links, keeping their original wavelengths.
In such communication networks, each source-destination pair can be connected by an
end-to-end transparent channel that is identied through a wavelength and a physical path.
This necessitates to tune the sender and the receiver to the same wavelength and to set
the intermediate optical switches in the right conguration. Wavelengths being a limited
resource, solutions to the problem of ecient routing and wavelengths allocation are of
importance for the future development of optical technology.
A broadcast is an operation where one node of a distributed multicomputer network has a
message that must be copied to each other node. The work presented here oers solutions to
the broadcast problem for optical rings and toroidal meshes based on the familiar spanning
binomial tree and on dimensional exchanges commonly used on hypercubes 5].
The paper is organized as follows. The next section describes the communication model
on which the analysis of communication algorithms will be based. The broadcast algorithms
and their costs are given in Section 3. In Section 4 all the results are summarized and
comments are made.
2 Communication Model
This work considers solutions to the broadcast problem on rings of n = 2d processors and
on two-dimensional toroidal meshes of n = n1 n2 = 2d1 2d2 processors. The nodes
of a ring are numbered by integers i modulo n. The nodes of a toroidal mesh (torus) are
numbered by couples (i j ) of an integer i modulo n1 and an integer j modulo n2 . Each node
is connected by a pair of unidirectional ber-optic links (one in each direction) to each of its
immediate neighbours in the horizontal and vertical directions. Each node can concurrently
transmit one message and receive one message. In this paper, a message in a torus is routed
or only horizontally either only vertically to the receiver. Messages can be routed through
a node without aecting its performance as a sender or receiver. It is assumed that all
links have the same xed bandwidth. Wavelength conict occurs when the paths taken by
two or more messages sent on the same wavelength have one or more links in common.
163
2
Bruno Beauquier
Finally, it is assumed that each receiving node allocates a buer for each incoming message
before it arrives. Under this assumption the sender can transmit a message without prior
handshaking with the receiver.
A simple communication model describes the cost of sending a message of L bits as
+ L , where is the latency (including the start-up, the switching and the wavelength
tuning delays) and is the per-byte transmission cost (1= corresponds to the bandwidth). A
close examination of real message passing networks reveals a much larger collection of factors
that can aect the cost of communication algorithms. Some of these factors are the length of
the circuit over which the message travels, the eects of message packetization performed by
the node operating system, the packet permutation costs within a node, the synchronization
costs. The permutation costs generally aect the cost of global communication and remarks
will be given in Section 4. The remaining factors, which have relatively small eects on cost,
will not be considered here.
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
3 Broadcast Algorithms
Two families of broadcast algorithms for optical rings and toroidal meshes are considered.
Each algorithm is based on communication patterns commonly used on hypercubes, such
as spanning binomial trees and dimensional exchanges. It is assumed w.l.o.g. that node
0 of the ring (respectively node (0 0) of the torus) contains a message of length L to be
broadcast to all the other nodes. The cost of a broadcast operation is measured from the
time the originator begins the broadcast to the time the last node receives the message.
The familiar spanning tree broadcast algorithm is considered rst. Improvements of that
basic algorithm will take advantage of 1) the concurrent transmission through optical links
oered by WDM, 2) the additional bandwidth oered by bidirectional links, and 3) the
increased connectivity of toroidal meshes over rings.
3.1 Basic subroutines
3.1.1 Spanning tree broadcast
The rst algorithm is based on the familiar spanning binomial tree that is used in the
recursive broadcast algorithm for hypercubes 5]. This algorithm will be called the spanning
tree (ST) broadcast and was described earlier in 1] for linear arrays and meshes. A ST
broadcast on a ring or a torus of 2d nodes takes d rounds. On the ith round (1 i d), each
node j that already has a copy of the message sends it to node j 2d;i, where denotes bitwise exclusive OR. This is illustrated for a ring in Figure 1(a). The corresponding spanning
tree is shown in Figure 1(b). Each arc of the tree is labeled with the round at which it
carries the message.
164
3
Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori
0
1
2
3
4
5
6
7
000
(1)
(1)
100
(2)
(2)
110
(2)
010
(3)
101
(3)
001
(3)
011
(3)
(3)
111
(a)
(b)
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Figure 1: Spanning tree broadcast on a ring of 23 nodes.
The spanning binomial tree on which the ST broadcast algorithm is based is also used in
all of the other broadcast algorithms considered here. The nodes of such trees are numbered
in binary. (From a purely graph-theoretic point of view, these trees are not spanning trees,
but they are useful for describing the scheduling and routing of messages and they will
continue to be referred to as spanning trees here.) For purposes here, a spanning tree with
root 0 is a directed graph of n = 2d nodes in which each node j has children whose node
numbers are obtained by complementing exactly one of the trailing zeros (if any) of j . To
determine the node numbering of a spanning tree with root other than 0, exclusive OR the
node number of each node in the tree with the node number of the root. For more details
about the properties of these trees see 5].
In the spanning tree of a ring of 2d nodes, some tree arcs represent directed paths of
several links in the ring and some links are used in several tree arcs. Since some of the
tree arcs carry messages simultaneously during this broadcast algorithm, there might be
wavelength conict. (This possibility does not arise in hypercube because there is a oneto-one correspondence between tree arcs and hypercube links.) Even though some arcs in
the tree share the same links, at each round only disjoint sets of links are used, and so one
wavelength is sucient.
A ST broadcast on a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes, based on the algorithm for rings, is
shown in Figure 2. In this algorithm the message is rst broadcast to the nodes in the row
containing the originator, then each node in that row broadcasts the message to the nodes
in its column. As in the case of the ring, wavelength conict can be avoided with the use of
one wavelength only.
165
4
Bruno Beauquier
Figure 2: A simple spanning tree broadcast on a torus of 22 22 nodes.
Thus, for both a ring of 2d nodes and a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes, the ST broadcast
algorithm uses one wavelength and has cost
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
d( + L )
(1)
There are two other communication problems whose solutions are used frequently in the
broadcast algorithms given here. Solutions to these two problems, based on spanning trees,
are now described.
3.1.2 Distribute algorithm
Some of the algorithms that follow make use of the distribute operation in which one node
sends a distinct message to each other node in the network. This operation is also called
scatter or one-to-all personalized communication 5]. In all of the broadcast algorithms of
Section 3.2, the messages to be distributed, called packets, will arise by partitioning the
original message that is to be broadcast. In a ring or a torus of n = 2d nodes, each of
the distributed packets, has length L=n, where L is the total length of the message to be
broadcast. The distribute algorithm used here is based on a spanning tree : a message of
length L is distributed to all the nodes in the tree by halving it at each round until each
node has received its packet. For both a ring of 2d nodes and a torus of 2d1 2d2 = 2d
nodes, the cost of this distribute algorithm (using one wavelength) is
d
X
i=1
1
+ L
2i = d + 1 ; 2d L
3.1.3 All-to-all broadcast
(2)
The other problem of interest is called the all-to-all broadcast. In this problem, each node has
a message (typically, a packet of length L=n) that must be broadcast to all other nodes. This
problem is easily solved by exchanging packets between nodes whose node numbers (written
in binary) dier by one bit. On hypercubes this algorithm is known as a dimensional
exchange and the same term will be used here. Note that the message length doubles at
each round of this algorithm and so its cost is the same as the cost (2) of the distribute
algorithm described above, provided that there is no wavelength conict. However, on the
166
5
Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
topologies considered in this paper a dimensional exchange can give rise to link contention,
whose issue is addressed now.
In a ring of 2d nodes, the all-to-all broadcast algorithm can be realized with 2d;2 wavelengths, that we number from 0 to (2d;2 ; 1), by making node numbered j communicate
with wavelength numbered j ] = j mod 2d;2 (see Figure 3). On the rst round, each node
has to send its packet to the corresponding opposite node in the ring. No wavelength conict
occurs if half of the nodes using the same wavelength communicate in the clockwise direction
of the ring, while the other half of nodes use the other direction.
0
1
2
3
4
5
6
7
04
15
26
37
04
15
26
37
0246 1357 0246 1357 0246 1357 0246 1357
0123 0123 0123 0123 0123 0123 0123 0123
4567 4567 4567 4567 4567 4567 4567 4567
Figure 3: All-to-All broadcast algorithm using two wavelengths in a ring of 23 nodes.
In a torus of 2d1 2d2 nodes (assuming that d1 d2 ), the rst (d1 ; d2 ) rounds of the
all-to-all broadcast algorithm consist in exchanges of packets along the longest axis. As in
the case of the ring, this can be done with 2d1;2 wavelengths. Then it remains to realize a
dimensional exchange in 2d1 ;d2 contiguous square blocks of 2d2 2d2 nodes. Making half of
the nodes communicate horizontally while the other half of nodes communicate vertically,
and vice versa, as shown in Figure 4, allows to use only 2d2;3 wavelengths in the last phase
of the algorithm. An appropriate wavelength assignment can be easily obtained in a greedy
fashion. So, in the special case of a square torus of 2d1 2d1 nodes, only 2d1;3 are thus
sucient for the dimensional exchange.
Thus, the all-to-all broadcast algorithm uses 2d;2 wavelengths for a ring of 2d nodes,
wavelengths for a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes (only 2d1 ;3 if d1 = d2 ), and
has cost
d X
1
L
(3)
+ 2d+1;i = d + 1 ; 2d L
2max (d1 d2 );2
i=1
167
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
6
Bruno Beauquier
Figure 4: All-to-All broadcast algorithm using one wavelength in a torus of 23 23 nodes.
With the basic tools introduced above, we can now continue with the construction and
analysis of broadcast algorithms.
3.2 Distribute-and-Exchange (DE) broadcast algorithms
The ST broadcast algorithm can be generalized to take better advantage of the available
network optical bandwidth. In particular, broadcast algorithms that have bidirectional
message ow are now described. They exploit the network property that messages moving
in opposite directions do not contend with each other for optical communication links.
In this section we describe a family fA(r)g1rd of broadcast algorithms, so that A(r)
completes in d + r communication rounds in a ring or a torus of 2d nodes. For rings, our
algorithms are very similar to those given in 8] for linear arrays under a circuit-switched
communication model that leads nearly to the same constraints as our WDM assumptions.
3.2.1 DE broadcast algorithms on a ring
For 1 r d, the ring can be viewed as 2r interleaved subrings each with 2d;r nodes. The
ith of these subrings, for 0 i < 2r , consists of nodes numbered j:2r + i, for 0 j < 2d;r .
To broadcast the message on these interleaved rings, the message is rst distributed
among nodes 0, 1, ..., (2r ; 1) with one wavelength. From (2), the cost of this distribution
168
7
Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori
is
r + 1 ; 21r L
(4)
Each of the informed nodes then acts as the source of a ST broadcast of a message of
length L=2r on a subring of 2d;r nodes (see Figure 5). By making the even numbered nodes
transmitting to the right and the odd numbered nodes to the left, only 2r;1 wavelengths
are sucient. From (1), the cost of this phase is
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
(d ; r) + L
2r
(5)
The nal phase of the algorithm consists of collecting the packets to reconstruct the
original message in each node. This is accomplished by a dimensional exchange on each
contiguous subring of 2r nodes using 2r;2 wavelengths. We use here the fact that at the end
of the ST broadcasts the distribution of the packets is the same in each contiguous subring.
Therefore, receiving the information of a node in the same subring is equivalent to receiving
the information of the corresponding node in an adjacent subring. From (3), this phase has
cost
1
r + 1 ; 2r L
(6)
0123
0123
23
23
1
0123
1
3
0
3
distribute (2 rounds)
0123
23
1
3
2
ST broadcasts
1
3
23
0
3
1
0
2
1
3
2
0
3
0123
1
13
023
02 13
13
02
02 13
13
02
02 13
13
02
exchange (2 rounds)
Figure 5: DE broadcast algorithm using two wavelengths in a ring of 23 nodes.
Thus, the DE broadcast algorithm A(r) in a ring of 2d nodes uses 2r;1 wavelengths and
its total cost is
d
;
r
;
2
(d + r) + 2 + 2r
L
3.2.2 DE broadcast algorithms on a torus
We describe here a family of broadcast algorithms similar to those of the previous section.
They complete with the same total cost but they necessitate a smaller number of wavelengths, by taking advantage of the connectivity of the torus. As before, for 1 r d the
algorithm A(r) uses d + r rounds in a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes and proceeds in three
phases.
169
8
Bruno Beauquier
distribute (3 rounds)
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
ST broadcasts (2 rounds)
exchange (3 rounds)
Figure 6: DE broadcast algorithm using one wavelength in a torus of 23 22 nodes.
Consider the 2d1 2d2 torus as made up of 2r interleaved subtori, each of size
d
;
2 1 r1 2d2;r2 , with r1 + r2 = r, so that each 2r1 2r2 contiguous block of nodes has
exactly one node from each subtorus. To have each subtorus as square as possible, we will
choose to set r1 = min (r d r;d21 +d2 e) and r2 = max (0 b r;d21+d2 c) (hence r1 r2 ), so that
the dierence (d1 ; r1 ) ; (d2 ; r2 ) is as small as possible.
In the rst phase of the algorithm, the originator distributes the message as 2r packets
among the nodes in the 2r1 2r2 block which it belongs to. See Figure 6 for an example.
This necessitates only one wavelength and the same cost (4) as in a ring.
Each of the nodes in that block then acts as the root of a ST broadcast of a message of
length L=2r in a subtorus of size 2d1;r1 2d2 ;r2 . If (d1 ; r1 ) > (d2 ; r2 ), this phase can
be realized with 2r1 ;1 wavelengths. If (d1 ; r1 ) = (d2 ; r2 ), alternating the orientation of
the spanning trees of the 2r subtori as in Section 3.1.3 (i.e. making one quarter of nodes
communicate to the right, another downwards, another to the left and the last upwards)
allows to use only 2r1 ;2 wavelengths (See Figure 6). From Equation (1), this second phase
has the same cost (5) as in a ring.
After the broadcast phase is completed, each node in each contiguous 2r1 2r2 block
contains one of the 2r packets. These packets are then recombined using a dimensional
exchange. As noticed before, each block can be seen as a torus of 2r1 2r2 = 2r nodes and
2r1 ;2 wavelengths (only 2r1 ;3 if r1 = r2 ) are sucient. The last phase has the same cost (6)
as in a ring.
170
9
Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori
Thus, the DE broadcast algorithm A(r) in a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes uses 2r1;1 wavelengths (only 2r1 ;2 if (r ;jd1 ; d2 j) is non negative and even), with r1 = min (r d r;d21 +d2 e),
and its total cost is
d
;
r
;
2
(d + r) + 2 + 2r
L
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
3.3 Pipelined broadcast algorithms
We present in this section a generalization to rings and tori of the pipelined broadcast
algorithms given in 5] for hypercubes. In addition, we provide a slight improvement on the
total cost which may be also applied on hypercubes.
As before, we dene a family fA(r)grd of pipelined broadcast (PB) broadcast algorithms, so that A(r) completes in d + r communication rounds in a ring or a torus of 2d
nodes. The communication pattern of all our PB algorithms are based on an embedding in
rings or tori of the arc-disjoint spanning trees described in 5] for hypercubes.
However, we prefer for simplicity to describe our PB algorithms as induced by the communication pattern of the dimensional exchanges of Section 3.1.3. In consequence, the same
number of wavelengths will be sucient to ensure no wavelength conict. It will be made
use of the following property : the all-to-all broadcast is accomplished, however is chosen
the order of the dimensional exchanges. This fact is easy to understand for hypercubes,
where all dimensions are somewhat equivalent, and the same holds for rings and tori.
For r d, the PB algorithm A(r) proceeds as follows (see Figure 7) for a ring and Figure 8
for a torus). The original message is rst partitioned into r + 1 packets, all of size L=(r + 1).
During the rst d rounds, the communication pattern of the ST broadcast is used, but the
originator sends a dierent packet (to a dierent node) at each round. Each such packet is
then broadcast from its rst destination to all the network using a spanning tree induced
by the all-to-all broadcast algorithm. During all the remaining rounds, the communication
pattern of the dimensional exchanges is used cyclically. The originator continues sending a
dierent packet at each round until round r and sends then the last packet during the last
d rounds.
01234
01234
0
0
01234 01
02
3 1
01234
1
01
01234 013
2
2
0
012
4
012
3
1
0
0
0
2
0123 0123 0124 0123
4 3
Figure 7: Pipelined broadcast algorithm in a ring of 22 nodes.
171
1
4
10
Bruno Beauquier
012
345
012
345
012
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0
0
1
1
0
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0
2
1
0
0
012 012 012
3
345 4
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3
0
2
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1
02
01
03
01
4
1
3
2
01
1
02
2
01
012
345
014
013
013
2
2
2
1
0
0
3
3
5
4
3
3
012 012 012 012
5
3
012 012
5
4
5
012
3
4
0
1
2
0
012 012 012
345 34 35
4
012
3
0
3
5
4
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35
4
5 4
012 012
34
35
1
1
0
012
34
5
5
012
34
Figure 8: Pipelined broadcast algorithm in a torus of 22 21 nodes.
Thus, as packets of the same size L=(r + 1) are sent at any round, the PB algorithm
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
A(r) has a total cost of
(d + r) + rL
+1
For comparison, the algorithm of 5] completing in (d + r) communication rounds has
cost (d + r)( + Lr ). The slight improvement arises from the fact that in our algorithm the
originator sends packets until the last round.
4 Result analysis
The following table summarizes the costs of the broadcast algorithms described in this paper
and the maximum number of wavelengths that they use during a round. The costs of the
algorithms designed for rings are given for n = 2d nodes while the torus algorithms are given
for n = 2d1 2d2 nodes. It is assumed that the DE broadcast algorithms are dened for
1 r d and the PB algorithms for d r.
Algorithm
ring/torus ST
ring DE
torus DE
Cost
d( + L )
Number of wavelengths
1
2r;1
2r1 ;1 if (r ; jd1 ; d2 j) is negative or odd
;
d
;
r
;
2
(d + r) + 2 + 2r L 2r1 ;2 else, with r1 = min (r d r;jd21;d2 j e)
square torus DE
2br=2c if r is odd
2r=2;2 if r is even
ring PB
2d;2
L
torus PB
(d + r) + r+1
2max (d1 d2);2
square torus PB
2d=2;2
172
Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori
11
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Note that for r (log2 d + (1)) the DE broadcast algorithms are not worthwhile.
Indeed, their transmission cost has a constant coecient close to two whenever 2r = (d),
and this cannot be improved unless r d ; 1.
For extremely short messages the ST broadcast algorithms have the lowest cost on both
rings and tori because of their low latency. In fact, the ST broadcast is a DE broadcast for
r = 0. However, the total cost function being convex, the best DE broadcast has lower cost
than the ST broadcast if it is already the case for r = 1, that is, whenever
L > (d ;21)
For example, even in a 100Mb/sec network of 22 = 4 nodes with latency = 50sec, the
ST broadcast has greater cost for broadcasting messages of length L > 10Kb.
In the case where suciently large messages are concerned, the PB algorithms presented
in the previous section allow to decrease the coecient of the transmission cost down to
one, which is optimal. These algorithms are particularly interesting for applications such as
broadcast TV or video conferencing.
In view of the results obtained in 2], all of our broadcast algorithms have nearly optimal
transmission costs, and thus the best of them has the same optimality for the broadcast
problem. More precisely, under the same communication model (actually not necessarily
optical) it is shown in 2] that any broadcast algorithm completing in d + r rounds has a
transmission cost at least (d=2r + (1))L if 1 r d and at least (1 + o(1))( d+r r )L if
r d.
In this paper we have not dealt with the issue of permutation costs that can aect our
algorithms. As it can be noticed, internal data movements are required in the PB algorithms
described in the previous section. Indeed, some of the nodes in the network receive, say, the
packet numbered i up to d rounds after having received the packet numbered (i + d ; 1).
A parameter representing the cost of moving data within a node should be subsequently
included in the cost analysis of these algorithms. For our DE broadcast algorithms, this
problem can be solved by modifying slightly the exchange phase. If the dimensional exchanges are realized in the reverse order of the one described in Section 3.1.3, then all the
received packets can be concatenated within a node without permutation.
Nevertheless, we have chosen to present all the dimensional exchanges of our DE broadcast algorithms with that particular order for the following reason. If not enough wavelengths
are available in the optical network, these algorithms can still be executed by dividing the
not possible communication rounds into several rounds. For example, if one given round in
the algorithm requires twice more wavelengths than it is available, then the same communication pattern can be realized in two rounds instead of one. Thus, it is important to have the
communication cost of such rounds as small as possible, which is provided by our ordering
of exchanges. Note that in our DE broadcast algorithms, only a few rounds require many
wavelengths, therefore their total cost will not be signicantly aected in case of wavelength
limitation.
173
12
Bruno Beauquier
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
5 Conclusions
This study of the problem of broadcasting in WDM optical rings and two-dimensional
toroidal meshes has yielded two families of algorithms. The well-known spanning tree
(ST) broadcast algorithm was generalized by taking advantage of the increased bandwidth
oered by the bidirectional WDM concurrent transmission. This gave rise rst to a
family of Distribute-and-Exchange (DE) algorithms having lower cost than the ST broadcast algorithm for all but the very short messages. Then was described a family of pipelined
broadcast (PB) algorithms which perform better for long messages.
The additional connectivity of tori over rings has been fully used. Indeed, provided that
the torus is quite square, the number of wavelengths used is approximatively the square root
of that used in the ring with as many nodes.
Our algorithms require knowledge of machine-dependent constants for network latency
and bandwidth to obtain good performance. However, implementations and performance
measurements to be compared with the analytic predicted costs are desirable to design a
more precise communication model. Further work should also generalize our algorithms to
allow the number of nodes in a ring or in a dimension of a torus to be any number, not just
a power of two.
References
1] M. Barnett, D. G. Payne, and R. van de Geijn. Optimal broadcasting in mesh-connected
architectures. Technical Report TR-91-38, Dept. of Computer Sciences, Univ. of Texas,
December 1991.
2] B. Beauquier, O. Delmas, and S. Prennes. Tight bounds for broadcasting in the linear
cost model. Technical report, Institut National de Recherche en Informatique et en
Automatique, 1997. To appear.
3] N. K. Cheung, Nosu K., and G. Winzer. Special issue on dense WDM networks. IEEE
Journal on Selected Areas in Communications (JSAC), 8, 1990.
4] Paul E. Green. Fiber Optic Networks. Prentice Hall, 1993.
5] C.T. Ho and S.L. Johnsson. Optimum broadcasting and personalized communication in
hypercubes. IEEE Transactions on Computers, 38(9):12491268, September 1989.
6] D. Minoli. Telecommunications Technology Handbook. Artech House, 1991.
7] B. Mukherjee. WDM-based local lightwave networks, Part II: Multihop systems. IEEE
Network Magazine, 6(4):2032, July 1992.
8] S. R. Seidel. Broadcasting on linear arrays and meshes. Technical Report ORNL/TM12356, Oak Ridge National Laboratory, March 1993.
174
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
ANNEXE F
On arbitrary Waksman networks
and their vulnerability
175
176
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
On Arbitrary Waksman Networks
and their Vulnerability
Bruno Beauquier * , Eric Darrot *
Th
me 1 Rseaux et syst
mes
Projet Sloop
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Octobre 1999
Abstract: Motivated by problems in telecommunication satellites, we investigate rearrangeable permutation networks made of binary switches. A simple counting argument
shows that the number of switches necessary to build a n n rearrangeable network (i.e.
capable of realizing all one-to-one mappings of its n inputs to its n outputs) is at least
dlog2 (n!)e = n log2 n ; n log2 e + o(n) as n ! 1. For n = 2r , the r-dimensional Bene+
network gives a solution using n log2 n ; n2 switches. Waksman, and independently Goldstein and Leibholz, improved these networks using n log
n ; n + 1 switches. We provide an
P2
extension of this result to arbitrary values of n, using ni=1 dlog2 (i)e switches. The routing
algorithm used in Bene+ networks is also generalized for arbitrary values of n. Finally the
fault-tolerance issue of these networks is discussed.
Key-words: switching networks, multistage networks, rearrangeable networks, permutation networks, fault tolerance, vulnerability.
(Rsum : tsvp)
Submitted to Parallel Processing Letters (World Scientic).
An extended abstract of this paper has been accepted in ALGOTEL'99, Rosco, France, 57 mai 1999.
This work has been supported by Alcatel Space Industries (Toulouse, France).
* SLOOP is a joint project with the CNRS and the University of Nice-Sophia Antipolis (I3S laboratory).
E-mail: {Bruno.Beauquier,Eric.Darrot}@inria.fr.
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis
2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France)
Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
Rseaux de Waksman Gnraliss
et Vulnrabilit
Rsum : Motive par des probl
mes de conception de rseaux embarqus dans des
satellites de tlcommunications, notre tude porte sur les rseaux de permutation rarrangeables composs de commutateurs binaires. Un simple argument de comptage montre
que le nombre de commutateurs ncessaires pour construire un rseau rarrangeable n n
(capable de raliser toutes les permutations de ses n entres vers ses n sorties) est au moins
dlog2 (n!)e = n log2 n ; n log2 e + o(n), quand n ! 1. Pour
n = 2r , le rseau de Bene+
n
r-dimensionnel fournit une solution utilisant n log2 n ; 2 commutateurs. Waksman, et
indpendamment Goldstein et Leibholz, ont amlior cette construction en utilisant n log2 n;
n +1 commutateurs.
Nous donnons une gnralisation de ce rsultat pour toute valeur de n,
P
en utilisant ni=1 dlog2 (i)e commutateurs. L'algorithme de routage utilis dans les rseaux
de Bene+ est galement gnralis pour notre construction. Enn, nous traitons la tolrance
aux pannes de ces rseaux.
Mots-cl : commutation, rseaux multi-tages, rseaux de permutation, rarrangeabilit,
tolrance aux pannes.
On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability
1
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
1 Motivation
The following problem arises in network design for telecommunication satellites. Incoming
audio or video signals are to be relayed to output ampliers through an on-board network
of waveguides and switching elements each having 4 ports. Each element can be seen as
a 2 2 switch which can be set in a direct-connection state or a crossed-connection state.
Furthermore, once on board, ampliers can fail and the switches can lock in one state and
remain blocked in it.
In 6, 12] it is assumed that amplier failures can occur and that any input signal can be
routed possibly to any output amplier. In contrast, we consider in this paper the case where
ampliers do not fail and where each incoming signal needs a specic amplier, according
to the geographical areas targetted, the trac variations and/or the compatibility between
signals and ampliers.
For many reasons (layout properties, reliability, energy saving, etc), but mainly to decrease launch costs, it is crucial to minimize the network physical weight, i.e. to minimize
the number of switches, the number of links (waveguides) and their length. As launch costs
are dramatically high, it is worth saving even one switch. In the case of switch blocking
the problem becomes minimizing the number of additional switches needed to guarantee the
satellite's purpose, despite a number of possible faulty switches determined by the expected
satellite lifetime. This dicult problem is tackled at the end of this paper, in case of only
one faulty switch and will be the subject of a forthcoming paper 1], in case of an arbitrary
number of faults.
A practical way to realize such networks is to use the classical multistage permutation
networks well studied for both telecommunication and parallel applications. In section 2 we
recall some denitions on rearrangeable permutation networks and the known results. In
section 3 we present a constructive way of building an arbitrary size permutation network
and we give the associated routing algorithm. This improves on previous results in terms of
the switch count, as shown by Table 1, and by computation in section 4. Finally in section 5
we extend our results in case of one faulty switch.
2 Rearrangeable Permutation Networks
A switching network is an arrangement of switches and transmission links allowing some
input terminals (or signals) to be connected to some output terminals (or ampliers) by
edge-disjoint paths. Such a network can potentially perform all or only some of the possible
connections of its inputs to its outputs, but is usually restricted to one-to-one connections.
A switching network with n inputs and n outputs is said to be a rearrangeable permutation
network if, for any one-to-one mapping of the inputs on the outputs, there is a set of
edge-disjoint paths connecting the input i to the output (i), for each 1 i n.
As specied in the introduction we restrict ourselves in this paper to binary permutation networks constructed solely from binary switches. However, our results can be easily
179
2
Beauquier & Darrot
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
extended to k-ary permutation networks where every switch can realize any mapping of its
k inputs to its k outputs.
Since one binary switch has two possible settings, s switches have 2s settings. Note that
this does not imply that s switches will realize 2s distinct network mappings, as dierent
settings can sometimes produce the same network mapping. But at least dlog2 (n!)e, or at
least n log2 n ; 1:443n from Stirling's formula, binary switches are needed to realize all n!
possible mappings of a network with n inputs and n outputs.
The rst rearrangeable binary permutation network was designed by Bene+ 2, 3, 4] and
was based on the Clos 3-stage network 8]. The r-dimensional Bene+ network can realize
any permutation of its n = 2r inputs to its n = 2r outputs on edge-disjoint paths, through
2r ; 1 levels of 2r;1 switches, for a total of n log2 n ; n2 switches. Bene+ networks are thus
asymptotically optimal in terms of the switch count. The 3-dimensional 8 8 Bene+ network
is shown in Figure 1(a).
Further works by dierent authors 9, 10, 11, 13] have shown that one switch could be
spared at each step of the recursive construction of Bene+ networks, without aecting its
rearrangeability. We call Waksman networks the corresponding optimized networks, having
n log2 n ; n + 1 switches, n being a power of two. The case n = 8 is shown in Figure 1(b).
(a)
(b)
Figure 1: A 8 8 Bene+ network (a) and a 8 8 Waksman network (b)
Recently Chang and Melhem 7] gave a generalization of Bene+ networks for any number n of inputs/outputs. Although they wish to reduce the number of switches used, their
construction does not take into account the possibility of sparing one switch in the even case
of the recursion, that we present here.
We call arbitrary size Waksman networks (AS-Waksman) our permutation networks and
S (n) denoting the number of switches used for any number n of terminals, we obtain :
S (n) = S
=
n + S j n k + n ; 1
2
2
l m
n
X
i=1
dlog2 (i)e
180
(1)
(2)
On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability
3
Note that this result is mentionned in a footnote in 11] (page 447) and is attributed to
M. W. Green, no publication being known though. Table 1 presents the values obtained by
the dierent constructions.
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n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
32
Lower bound Bene 2] AS-Bene 7] Waksman 13] AS-Waksman
1
1
1
1
1
3
3
3
5
6
6
5
5
7
8
8
10
12
11
13
15
14
16
20
20
17
17
19
22
21
22
26
25
26
30
29
29
36
33
33
39
37
37
44
41
41
49
45
45
56
56
49
49
118
144
144
129
129
Table 1: Comparative switch count.
3 Network Construction
Three binary switches can be used to construct a 3 3 permutation network as shown in
Figure 2(a). This network can be seen as being built from a 2 2 network (a switch) and
a 1 1 network (a link). Figure 2(b) shows the 4 4 Waksman network using ve binary
switches. It can be seen as being built from two 2 2 permutation networks.
The procedures used to construct these networks can be generalized to recursively construct
a network of any size. Specically, a n n AS-Waksman is constructed recursively from an
AS-Waksman of size d n2 e and an AS-Waksman of size b n2 c. When n is even, the construction
is similar to that of Waksman. The n inputs are connected to n2 switches and each switch
is connected to two AS-Waksman networks of size n2 . Any n ; 2 outputs are connected to
181
4
Beauquier & Darrot
(a)
(b)
Figure 2: A 3 3 AS-Waksman network (a) and a 4 4 Waksman network (b)
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
n
2 ; 1 switches and each of them is connected to the two AS-Waksman subnetworks. The
last two outputs are connected directly to the two subnetworks as shown in Figure 3(a).
To construct an AS-Waksman when n is odd, any n ; 1 inputs are connected to b n2 c
switches and each switch is connected to the AS-Waksman of size b n2 c and the AS-Waksman
of size d n2 e. Similarly, any n ; 1 outputs are connected to b n2 c switches and each switch
is connected to the two AS-Waksman subnetworks. The last input and the last output are
connected directly to the AS-Waksman of size d n2 e as shown in Figure 3(b).
1
2
3
4
n-3
n-2
n-1
n
n
2
n
2
n
2
n
2
1
2
1
2
3
3
4
4
n-3
n-4
n-2
n-3
n-1
n
n-2
n-1
b n2 c b n2 c
3
4
n-4
d n2 e d n2 e
n
(a) n even
1
2
n-3
n-2
n-1
n
(b) n odd
Figure 3: General construction of AS-Waksman networks
This recursive process is illustrated in Figure 4 where a 9 9 AS-Waksman is built from
a 4 4 AS-Waksman and a 5 5 AS-Waksman. In general, a n n AS-Waksman network
may be constructed in this way, for any n.
Remark : Notice that our connection rules allow many possible constructions, according
to which and how inputs/outputs are connected, and thus they dene actually a family of
AS-Waksman networks. Nevertheless, in the gures and for the main proof, we suppose for
convenience that inputs 2k ; 1 and 2k are connected to the same switch for 1 k n=2,
182
On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability
5
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
as well as outputs 2l ; 1 and 2l for 1 l (n ; 1)=2, while the remaining connections are
direct as shown in Figure 3.
Figure 4: A 9 9 AS-Waksman network
Theorem 1 Given any one-to-one mapping of n inputs to n outputs in a n n ASWaksman network, there is a set of edge-disjoint paths from the inputs to the outputs connecting input i to output (i) for 1 i n.
Proof. The proof is by induction on n. If n = 1 or n = 2, the AS-Waksman network
consists of a single link or a single binary switch respectively and the result is obvious.
Hence, we assume that the result is true for the AS-Waksman networks of sizes b n2 c and
d n2 e. The key of the induction is to observe that the middle part of an AS-Waksman network
comprises two AS-Waksman subnetworks. Hence, it will be sucient to decide whether each
path is to be routed through the upper or the lower subnetwork.
The only constraints that we have on whether paths use the upper or lower subnetworks
are that paths from inputs 2k ; 1 and 2k must use dierent subnetworks for 1 k n=2,
as well as paths to outputs 2l ; 1 and 2l for 1 l (n ; 1)=2. This is because each switch
on the rst and last levels of the AS-Waksman network has precisely one connection to each
of the upper and lower subnetworks. There is no choice when either the input or the output
is connected directly to a subnetwork.
The routing problem to realize any given permutation can be reduced to a bipartite edge
coloring problem as follows. If n is even then let n = 2p and if n is odd then let n = 2p ; 1.
Consider the bipartite multigraph G = (V E ) with vertex set V = fuk vk g1kp and with
edge uk vl ] 2 E if there are i 2 f2k ; 1 2kg and j 2 f2l ; 1 2lg such that (i) = j .
From this denition, it follows that G has maximum degree 2. It is a classical result from
183
tel-00504392, version 1 - 20 Jul 2010
6
Beauquier & Darrot
graph theory (see e.g. 5]), known as K$nig-Hall's theorem, that the edges of a bipartite
multigraph of maximum degree can be colored using exactly colors, so that adjacent
edges are assigned dierent colors.
Now we assume that the edge coloring problem is solved for G using two colors and we
show how this leads to a routing of the permutation in the n n AS-Waksman network.
Let color 1 be the color assigned to the edge ud;1 (n)=2e vp ]. Note that the path connecting
input ;1 (n) to output n must use the lower subnetwork. Thus, for each i we decide
to route the path from input i to output (i) through the lower subnetwork if the edge
udi=2e vd(i)=2e ] has color 1 and through the upper subnetwork if it has color 2. In case of
n odd, another constraint is that the path connecting input n to output (n) must use the
lower subnetwork. However, the edge up vd(n)=2 e] has necessarily color 1, due to a parity
argument.
In this manner, all paths are assigned the upper or lower subnetworks without conict,
i.e. we can set the switches at the rst and last levels of the AS-Waksman network so that
both ends of every path are connected to the same subnetwork. The remainder of the path
routing and switch setting is handled by induction in the subnetworks. Hence, we have
established the inductive hypothesis, thereby proving the theorem.
2
As an example, we illustrate the routing algorithm in Figure 5 for the mapping
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 7 6 9 1 4 3 2 5
!
in a 9 9 AS-Waksman network. The associated bipartite multigraph G is drawn on the
left and the edge coloring induces the subnetwork assignment for each connection between i
and (i). The routing inside each subnetwork can be obtained recursively by the same
procedure.
u1
v1
1
2
1
2
u2
v2
3
4
3
4
u3
v3
5
6
5
6
u4
v4
7
8
7
8
u5
v5
9
9
Figure 5: Routing a permutation in a 9 9 AS-Waksman by bipartite edge coloring.
184
7
On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability
4 Switch Count
In this section, we compute the number of binary switches used for a n n AS-Waksman
network, that we denote by S (n).
Theorem 2 For any n 1, the number of binary
switches used for the rearrangeable n n
P
AS-Waksman permutation network is S (n) = ni=1 dlog2 (i)e.
Proof. The proof is by induction on n. As S (1) = 0, the result is true for n = 1. From
the recursive construction given in the previous section, we have for any n 2,
S (n) = S
n + S j n k + n ; 1
2
2
l m
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Note that for any two positive integers i and r, if 2r;1 < i 2r then 2r < 2i ; 1 < 2i 2r+1 ,
hence dlog2 (2i ; 1)e = dlog2 (2i)e = dlog2 (i)e + 1. Thus, recalling that log2 (1) = 0, we
have :
S (n) =
=
=
dX
n=2e
i=1
dX
n=2e
i=2
dX
n=2e
i=2
dlog2 (i)e +
bX
n=2c
i=1
dlog2 (i)e + n ; 1
(dlog2 (i)e + 1) +
dlog2 (2i ; 1)e +
bX
n=2c
i=1
bX
n=2c
i=1
(dlog2 (i)e + 1)
dlog2 (2i)e =
The inductive hypothesis being satised, the proposition holds.
n
X
j =1
dlog2 (j )e
2
Corollary 3 For any n 1, S (n) n log2 n ; 0:91n + 1.
Indeed, a dierent computation approach can give a more expressive value : S (n) =
n log2 n ; n(2 ; ) + 1, where = dlog2 (n)e ; log2 n. This allows to estimate the worst
case obtained for = ; log2 (log2 e) 0:53. Note that when n is a power of two, it can be
computed by induction that S (n) = n log2 n ; n + 1.
5 Fault-Tolerance Issue
Now we consider the possibility for switches to lock and remain denitively in the same state.
A switching network with n inputs/outputs is said to be a k-tolerant permutation network
if, for any one-to-one mapping of the inputs on the outputs and for any k switches blocked
each in any state, there is a set of edge-disjoint paths connecting the input i to the output
(i), for each 1 i n. We denote by N (n k) the minimum number of switches for such a
network. In this paper we restrict ourselves to 1-tolerant permutation networks.
185
8
Beauquier & Darrot
Theorem 4 For any n 1, N (2n 1) 2N (n 1) + 2n.
Proof. The proof is based on the construction illustrated in Figure 6. Both the 2n
inputs and the 2n outputs are connected two by two to 2n switches and each switch is
connected to two 1-tolerant permutation networks of size n. We claim that this 2n 2n
network, made of two n n 1-tolerant networks using each N (n 1) switches, is a 1-tolerant
permutation network.
Actually we have a stronger result : any permutation can be realized despite one faulty
switch in each subnetwork, plus one faulty switch at the rst or last level. Indeed, in this
case each subnetwork can still handle by assumption any mapping of its n inputs to its
n outputs. Moreover, one switch locking at the rst or last level corresponds to have the
two associated inputs or outputs directly connected to the two subnetworks, similarly to
the construction of even AS-Waksman networks. Thus, the arguments used in the proof of
Theorem 1 can be easily adapted to decide through which subnetwork each path is to be
routed, thereby proving our claim.
2
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1
1
2
3
4
2n-3
2n-2
2
nXn
1-tolerant
nXn
1-tolerant
3
4
2n-3
2n-2
2n-1
2n-1
2n
2n
Figure 6: Construction of even 1-tolerant permutation networks.
Unfortunately, no similar good construction is known for the odd case. The last result
is thus interesting only to build a twice larger 1-tolerant permutation network when a good
one is already known. For this purpose we present now in Figure 7 some 1-tolerant networks
obtained by hand for n = 3 4 5 6. For space reasons proofs are omitted but can be done
by restricted case analysis. These constructions together with the proof of Theorem 4 give
rise to the summary of results presented in Table 2.
Size
Switches
2 3 4 5 6 8 10 12 16
2 5 7 11 14 22 32 40 50
Table 2: Number of switches for 1-tolerant permutation networks.
186
9
On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability
(a)
(c)
(b)
(d)
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Figure 7: 1-tolerant permutation networks for n = 3 (a), n = 4 (b), n = 5 (c) and n = 6 (d).
6 Conclusion
This paper has provided
a simple way for building rearrangeable permutation networks of
P
arbitrary size n using ni=1 dlog2 (i)e binary switches. An ecient algorithm for routing
any permutation in such networks has been given. The fault-tolerance issue has also been
tackled in the case of one locked switch. It is worth pointing out that all these results can
easily be adapted for rearrangeable networks using p-ary switching elements.
In a forthcoming paper 1], the fault-tolerance results will be extended by presenting
constructive ways for building k-tolerant permutation networks, for any number k of switch
faults.
References
1] B. Beauquier and E. Darrot, Rearrangeable switching networks tolerant to switch locks,
Manuscript (title may change).
2] V. Bene+, Permutation groups, complexes, and rearrangeable multistage connecting networks, Bell Sys. Tech. Journal 43 (1964) 16191640.
3] V. Bene+, Mathematical Theory of Connecting Networks and Telephone Tra c, Academic
Press, New York (1965).
4] V. Bene+, Applications of group theory to connecting networks, Bell Sys. Tech. Journal
54 (1975) 407420.
5] C. Berge, Graphs, North-Holland (1985).
6] J-C. Bermond, E. Darrot and O. Delmas, Design of fault-tolerant on-board networks in
satellites, Manuscript.
187
10
Beauquier & Darrot
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7] C. Chang and R. Melhem, Arbitrary size Bene+ networks, Parallel Processing Letters 7
(No. 3, Sep. 1997) 279284.
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9] L. Goldstein and S. Leibholz, On the synthesis of signal switching networks with transient
blocking, IEEE Transactions on Electronic Computers 16 (1967) 637641.
10] A. Joel, On permutation switching networks, Bell Sys. Tech. Journal 47 (1968) 813822.
11] W. Kautz, K. Levitt and A. Waksman, Cellular interconnection arrays, IEEE Transactions on Computers 17 (No.5, May 1968) 443451.
12] S. Prennes and D. T,th, Design of fault-tolerant ow networks, Manuscript.
13] A. Waksman, A permutation network, Journal of the ACM 15 (1969) 159163.
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Rsum
Les rsultats obtenus dans cette thse portent principalement sur l'tude des communications dans les rseaux optiques par multiplexage en longueur d'onde.
Ils s'inscrivent dans une thmatique d'allocation des ressources en vue de raliser des
communications dans un rseau.
La problmatique gnrale que nous avons considre peut se rsumer de la manire
suivante. Il s'agit de satisfaire dans un rseau optique une famille de requtes de connexion, appele instance de communication et forme de couples de n
uds (source,
destination). La satisfaction d'une requte passe par l'attribution d'un chemin dans le
rseau et d'une longueur d'onde sur les liens utiliss, avec la contrainte que deux requtes
ne peuvent pas utiliser le mme lien avec la mme longueur d'onde. L'objectif dans ce
cadre est de minimiser l'utilisation des ressources optiques, c'est--dire le nombre total
de longueurs d'onde permettant de satisfaire l'instance donne.
Dans le chapitre 1, nous prsentons la technologie optique pour les tlcommunications, an de prciser le cadre technique de notre recherche et d'aider le lecteur
informaticien la comprhension des contraintes physiques sous-jacentes la modlisation thorique. Dans le chapitre 2, nous posons la problmatique tudie au cours
de la thse et nous donnons la modlisation qui a servi de base nos recherches. Le
chapitre 3 est une synthse des rsultats obtenus dans la littrature concernant principalement le problme du routage optique. Le reste de la thse est constitue des
annexes qui rassemblent les articles publis, dans le format des rapports de recherche.
Mots cls :
Communications, Rseaux optiques, Multiplexage en longueur
d'onde (WDM), Routage, Coloration, Thorie des graphes, Mathmatiques discrtes, Algorithmique, Flots, Multicast, change total.
Abstract
This thesis is mainly devoted to the study of communication in wavelength multiplexed optical networks, from which arise algorithmic and graph theoretic problems.
The main issue in WDM (Wavelength Division Multiplexed) all-optical communication networks can be stated as follows. Connection requests between pairs of sourcedestination network nodes are to be established, by assigning each of them a colored
path, so that no two paths use the same link with the same color. The goal is then to
minimize the total number of colors (i.e. wavelength) used.
The rst part made of three chapters is written in french, while the second part
contains six articles given in annex. The rst chapter contains an exposition of the basic
physical and engineering principles on which modern optical networks are based. In the
second chapter are presented the formulations of the basic problems in the area, their
formalization as algorithmic and graph theoretic problems, and the relations between
them. The third chapter contains a survey of the most relevant work in the area.
Keywords:
Communication, Optical networks, Wavelength Division Multiplexing (WDM), Routing, Coloring, Graph theory, Discrete mathematics, Algorithmic, Flows, Multicast, Total exchange.