Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes 1 4 1. Soit A = ; donner les valeurs propres de l’endomorphisme uA défini sur M2 (R) par 1 1 uA (M ) = AM . Est-il diagonalisable ? CCP 2 a0-023 2 χA (X) = (−1 − X)(3 − X) = X − 2X − 3 et A − 2A − 3I2 = 0. ∀M ∈ M2 (R), A2 M − 2AM − 3M = (u2A − 2uA − 3Id)(M ) = 0. X 2 −2X−3 est un polynôme annulateur scindé à racines simples de uA donc uA est diagonalisable et sp(uA ) ⊂ {−1, 3}. 1 3 1 1 1 0 2. Soit A = 0 3 −2. Montrer que A est semblable à B = 0 1 1 . Calculer An pour 0 2 −1 0 0 1 n ∈ N. CCP 3 a0-019 χA (X) = (1 − X) ; A admet une seule valeur propre 1 et A 6 I3 donc A n’est pas diagonalisable. On cherche une réduite de Jordan. 1 V1 = 0 ∈ E1 et dim E1 = 1 ou 2. 0 x 1 3y + z = 0 2y − 2z = 0 ⇐⇒ V ∈ V ect(0) donc dim E1 = 1. V = y ∈ E1 ⇐⇒ 2y − 2z = 0 0 z 3 Soit u ∈ L (K ) canoniquement associé à A. 0 3y + z = 1 2y − 2z = 0 . On choisit V2 = 1/4. u(V ) = V1 + V ⇐⇒ 1/4 2y − 2z = 0 0 3y + z = 0 2y − 2z = 1/4 . On choisit V3 = 1/32 . u(V ) = V2 + V ⇐⇒ −3/32 2y − 2z = 1/4 det(V1 , V2 , V3 ) = −1/32 6= 0 donc on a obtenu une base dans laquelle la matrice de u est B. Calcul de An - Méthode 1: 1 0 0 A = P BP −1 où P = 0 1/4 1/32 donc An = P B n P −1 . 0 1/4 −3/32 0 0 1 0 1 0 B = I3 + C où C = 0 0 1 , C 2 = 0 0 0 et C k = 0 si k ≥ 3 et I3 , C commutent 0 0 0 0 0 0 donc : 1 n(n − 1) n(2 − n) n(n + 1) −2n . C 2 d’où ∀n ≥ 2, An = 0 1 + 2n ∀n ≥ 2, B n = I3 + nC + 2 0 2n 1 − 2n Calcul de An - Méthode 2 : (I3 − A)3 = 0 et ∀n ≥ 2, X n = (1 − X)3 Q(X) + R(X) où R(X) est le reste de la division euclidienne de X n par (1 − X)3 donc ∀n ≥ 2, An = R(A). 1 − R(1) = 1 − a − b − c = 0 n − R0 (1) = n − 2a − b = 0 Soit aX 2 +bX+c = R(X). 1 est racine triple de X n −R(X) donc n(n − 1) − R”(1) = n(n − 1) − 2a = 0 d’où a, b, c et le résultat. 3. Soit u, v deux endomorphismes de E, C−espace vectoriel de dimension finie tels que u et v commutent. Prouver qu’il existe un vecteur propre commun à u et v. u admet au moins une valeur propre λ (E est un C−espace et la dimension est finie, supposée non nulle) ; soit F l’espace propre associé. u et v commutent donc F est stable par v : soit w ∈ L (F ) induit par v. F est un C−espace de dimension finie non nulle donc w admet au moins une valeur propre µ. Soit x ∈ F un vecteur propre de w associé à µ. x 6= 0, u(x) = λx et v(x) = µx. 4. Soit n ∈ N∗ et A ∈ Mn (R) telle que tr(A) 6= 0. On définit f : Mn (R) M → Mn (R) 7→ (trA)M − (trM )A Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011 Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes Montrer que f est un endomorphisme diagonalisable de Mn (R). Déterminer les éléments propres de f . a0-097 Soit M ∈ Mn (R). f 2 (M ) = (trA)((trA)M −(trM )A)−tr((trA)M −(trM )A)A = (trA)2 M −(trAtrM )A. f 2 (M ) − trAf (M ) = 0 donc P (X) = X 2 − trAX est annulateur de f . Cas 1 : trA 6= 0. P est scindé à racines simples (0, trA) donc f est diagonalisable. f (A) = 0 donc V ect(A) ⊂ E0 et 0 est au moins d’ordre 1. Soit H l’hyperplan de Mn (R) ensemble des matrices de trace nulle. H ⊂ EtrA et trA est au moins d’ordre n2 − 1. La somme des ordres de 0 et trA est n donc V ect(A) = E0 , H = EtrA et les ordres sont 1 et n2 − 1. 5. Soit A ∈ GL6 (R) tel que A3 − 3A2 + 2A = O6 et tr(A) = 8. Déterminer χA . P (X) = X 3 − 3X 2 + 2X = X(X − 1)(X − 2) est annulateur de A donc sp(A) ⊂ {0, 1, 2} mais A ∈ GL6 (R) donc 0 ∈ / sp(A). Soit k1 , k2 les ordres, éventuellement nuls de 1, 2. k1 .1+k2 .2 = 8 et k1 +k2 = 6 donc k1 = 4 et k2 = 2. 6. Soit A une matrice de rang 1. Déterminer son polynôme caractéristique et ses éléments propres. A ∈ Mn,n (K) est de rang 1 donc 0 est valeur propre d’ordre n − 1 au moins. χA (X) est divisible par X n−1 donc χA (X) = (−1)n X n + (−1)n−1 trAX n−1 . Il existe (B, C) ∈ Mn,1 (K) \ {0} × M1,n (K) \ {0} tel que A = BC et trA = CB. Cas 1 : trA 6= 0 trA est valeur propre d’ordre 1 et AB = B(CB) = (tr)AB donc V ect(B) = EtrA . 0 est valeur propre d’ordre n − 1 et l’hyperplan CX = 0 est inclus dans E0 donc lui est égal (dim E0 ≤ordre (0)) et A est diagonalisable. Cas 2 : trA = 0 0 est valeur propre d’ordre n et A 6= 0 (A est de rang 1) dans A n’est pas diagonalisable donc dim E0 ≤ n − 1 donc E0 est toujours l’hyperplan CX = 0. 7. Prouver que toute matrice de Mn (C) est limite d’une suite de matrices diagonalisables. (L’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn (C)) 8. Soit M ∈ GLn (C) telle que M 2 soit diagonalisable. Démontrer que M est diagonalisable. a0-106 2 9. Soit u, v, f trois endomorphismes de E, K-espace vectoriel de dimension finie tels qu’il existe (λ, µ) ∈ K tel que : f = λu + µv, f 2 = λ2 u + µ2 v, f 3 = λ3 u + µ3 v. Montrer que f est diagonalisable et que n n n ∀n ∈ N, f = λ u + µ v. xIn A −In 0n 10. (a) Soit A, B deux matrices carrées d’ordre n. Calculer × . B In B In Démontrer que, pour toutes matrices carrées A et B, AB et BA ont même polynôme caractéristique. (b) Dans cette question, on suppose seulement que A ∈ Mn,p (K) et B ∈ Mp,n (K). Comparer les polynômes caractéristiques de AB et BA. On pourra utiliser une factorisation de A de la forme A = U Jr V où U et V sont inversibles et Ir 0 Jr = . 0 0 a0-107 a0-102 11. Soit A ∈ Mn,n (C). (a) Démontrer que A est nilpotente si et seulement si χA (X) = (−X)n . (b) Exprimer le développement limité d’ordre n + 1 en +∞ de F (t) = χ0A (t) au moyen des nombres χA (t) tr(Ak ). (c) Démontrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[ 1, n ]] , tr(Ak ) = 0. Centrale A0-144 Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011 Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes 2b − ac c . Diagonaliser M . CCP −1 a0-017 13. Soit A ∈ Mn (R) telle que : A3 = A + In . Démontrer que det A > 0. A0-105 3 12. Soit (a, b, c) ∈ C , et M = 14. (a) Soit A = 9 0 −1 0 4 0 a 0 0 1 0 0 0 0 −1 ! ! . Résoudre l’équation X 2 = A, puis X 2 + X = A. −2 0 1 0 et soit X ∈ Mn (R) vérifiant X 2 − 3X = A. Montrer que AX = XA. (b) Soit A = −5 3 −4 4 −2 Résoudre l’équation X 2 − 3X = A.CCP ! (c) Résoudre dans M2 (C) l’équation X + X 2 = 1 1 1 .Centrale 1 A0-122 15. Soit u un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension finie et Φ l’endomorphisme de L (E) défini par Φ(v) = u ◦ v. Montrer que Φ est diagonalisable si et seulement si u l’est. Si u est diagonalisable, que dire de ψ : v 7→ u ◦ v − v ◦ u ? Centrale 16. A = −In In −In In est-elle diagonalisable ? Soit A ∈ Mn (K). Déterminer le polynôme caractéristique de B = Onn In A , en fonction de celui de A. CCP Onn 17. Soit u un endomorphisme d’un R−espace vectoriel de dimension finie, vérifiant u3 + u = 0. Montrer que u est de rang pair. CCP 18. a0-033 a0-032 a0-029 (a) Soit u ∈ L (K ) canoniquement associé à A ∈ Mn (K) et H un hyperplan de K d’équation n n X n αi xi = 0 dans la base canonique. 1 α1 .. Montrer que H est stable par u si et seulement si . est un vecteur propre de t A. αn 3 (b) Trouver les sous-espaces de R stables par u canoniquement associé à la matrice A = 19. Existe-t-il X ∈ M3 (C) telle que X = A avec A = 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 21. Soit A = (0) n .. . 1 2 0 0 1 1 ! A0-104 ! A10-132 ? Généraliser. 20. Soit A ∈ GLn (K) et X ∈ Mn,1 (K). Démontrer : tr(t XA−1 X) = 1 −1 1 det(A + X t X) − 1. det A A10-135 .. .. . . n (0) 1 0 ∈ Mn+1 (R) . Déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.Centrale a0-145 22. Pour (a1 , ..., an ) ∈ Cn donné, on considère la matrice M telle que : ∀i ∈ [[ 1, n ]] mni = min = ai ; (i 6= n et j 6= n) ⇒ mij = 0. Soit ∆n (a1 , ..., an ) = χM (X). (a) Calculer ∆n (a1 , ..., an ). Etudier les valeurs propres de M et leur ordre. (b) Démontrer que M = 1 (0) 2 3 1 2 est diagonalisable et la diagonaliser. 3 4 0 0 1 soit semblable à T = 1 (c) Démontrer qu’il existe (λ1 , λ2 ) tel que M = 0 0 √ 1 1 2i 2 déterminer une matrice de passage P telle que ∀j p1j = 1 . Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011 λ1 0 0 0 λ2 0 0 1 λ2 ! et A0-059