Étude de le température d`équilibre à la surface d`un corps du

Étude de le température d’équilibre à la surface d’un corps
du Système Solaire et rôle des atmosphères
Module GLST202, Planétologie
15/02/2012
La température d’équilibre d’un corps du système solaire est celle obtenue à l’équilibre
énergétique entre les rayonnements incidents et ré-émis par ce corps. Il convient donc de
réaliser un bilan énergétique.
1
Puissance émise par le Soleil
L’énergie reçue par un corps du Système Solaire est celle du rayonnement solaire, le reste
étant négligeable. Le rayonnement reçu du Soleil par un corps peut être calculé de façon
simple connaissant l’énergie totale rayonnée par le Soleil. C’est la première étape de
notre étude
1.1
Loi de Wien et température du soleil
Rappel: La notion de corps noir
En physique, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique ne
dépend que de sa température. Le maximum d’un spectre d’émission d’un corps noir
dépend directement de sa température.
Considérons que le Soleil soit un corps noir. La loi de Wien exprime le fait que
pour un corps noir, le produit de la température T (en kelvin) et de la longueur d’onde
du pic de la courbe du spectre d’émission λmax est toujours égal à une constante. Cette
loi permet donc de connaître la température d’un corps assimilé à un corps noir par la
seule forme de son spectre et de la position de son maximum. Cette loi s’exprime de la
manière suivante:
2, 898.10−3
,
(1)
T
a) En supposant que le soleil soit un corps noir, et en vous appuyant sur la figure 1,
déterminez la température de surface Ts du soleil.
λmax =
b) Comment peut-on expliquer la différence entre le spectre mesuré à l’entrée de
l’atmosphère et à la surface de la Terre?
1.2
Loi de Stefan-Boltzmann et énergie émise par le soleil
D’après la loi de Stefan-Boltzmann, le flux d’énergie par unité de surface ou densité
de puissance ou M (T ) (en W.m−2 ) émis par le corps noir varie en fonction de la absolue
T (exprimée en K) de ce corps selon la formule:
M (T ) = σT 4 ,
(2)
où σ est la constante de Stefan-Boltzmann qui vaut environ 5.67.10−8 W.m−2 .K−4 .
c) A partir de la température Ts calculée précédemment, évaluez la densité de puissance émise par le Soleil.
d) Sachant que le soleil a un rayon Rs de 695 500 km, déterminez l’énergie totale Es
émise par le soleil.
1
Figure 1: Spectre d’émission du Soleil mesuré à l’entrée de l’atmosphère (trait plein) et
à la surface de la Terre (courbe pleine).
2
Énergie solaire et température d’équilibre
2.1
Puissance reçue par un corps du Système Solaire
La constante solaire, souvent notée E0 , est par définition la puissance reçue du Soleil
par unité de surface normale aux rayons solaires sur la surface du corps. Le soleil émet
un rayonnement sphérique. Donc toute la puissance issue initialement de la surface du
soleil traverse ultérieurement une sphère de rayon d, d étant la distance entre le corps
étudié et le soleil.
e) Donnez l’expression de la constante solaire E0 .
f) On note que la puissance solaire moyenne reçue par unité de surface d’un corps
sphérique de rayon r est E0 /4. Exprimez l’énergie incidente totale Ein pour un corps
situé à une distance d du soleil en fonction de Ts , Rs , d, r et σ.
Cette énergie reçue peut être décomposée en deux parties:
• celle qui est immédiatement réfléchie
• celle qui est absorbée par les différentes partie de la surface terrestre : atmosphère,
mers, croûte terrestre.
Les matériaux constituant la surface de l’astre (planète, satellite, poussière...) ne
sont ni parfaitement réfléchissants, ni parfaitement absorbants. L’absorption de l’énergie
solaire dépend de la nature des matériaux de surface. On peut caractériser un corps vu
de loin par un albédo moyen a.
g) Donnez l’expression de l’énergie totale réellement absorbée Eabs par le corps en
fonction de l’albédo a.
2.2
Calcul de la température d’équilibre d’un corps du système solaire
L’énergie absorbée par le corps va entrainer une augmentation de température du corps,
et celui va émettre un rayonnement. Le corps, considéré comme un corps noir, va rayonner une énergie fonction de sa température propre Tc . L’énergie ainsi émise par le corps
s’exprime en fonction de la loi de Stefan-Bolztman (eq. 2).
2
h) Déterminez à partir de la loi de Stefan-Bolztman l’énergie totale ré-émise Eem par
le corps en fonction de Tc et de r.
i) A l’équilibre, l’énergie absorbée Eabs et l’énergie émise Eem par le corps sont égales.
Montez que l’expression de la température d’équilibre Teq d’un corps s’écrit sous la forme:
r
r
1 − a Rs
4
Teq =
Ts
(3)
4
D
3
Mise en évidence de l’effet de serre
Il s’agit à présent de comparer les températures prédites par le modèle physique et les
températures effectives mesurée à la surface de quelques corps du Système Solaire.
Table 1: Distance, albédo, et température moyenne observée en surface de Mercure,
Vénus, la Terre, la Lune, Mars, Io et Titan.
Mercure
Vénus
Terre
Lune
Mars
Io (satellite de Jupiter)
Titan (satellite de Saturne)
Distance moyenne
au Soleil (en UA)
0.39
0.72
1
1
1.52
5.2
9.54
Albédo
(a)
0.05
0.64
0.34
0.07
0.15
0.6
0.2
T moyenne observée
en surface (T °C)
150
450
15
-18
-50
-175
-180
T d’équilibre
théorique (°C)
j) A partir de l’équation 3, calculez la température théorique d’équilibre en surface
attendue pour les corps du système solaire répertoriés dans le tableau 1 (remplir la
dernière colonne du tableau).
k) Pour quels corps observe-t-on une différence entre la température moyenne de
surface et la température théorique? Comment peut-on l’expliquer?
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