Newton et la gravité

MAT-4171-2
Modélisation algébrique et graphique en contexte fondamental 1
SITUATION D’APPRENTISSAGE
Newton et la gravité
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Cahier de l’adulte
Jocelyne Lavoie
Yves Létourneau
MAT-4171-2 Cahier de l’adulte
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Procédés intégrateurs



Représenter une situation par un modèle algébrique ou graphique
Interpoler ou extrapoler à partir d’un modèle algébrique ou graphique
Généraliser à un ensemble de situations par un modèle algébrique ou graphique
Famille de situation d’apprentissage prescrite

Relations entre quantités
Compétences disciplinaires



Utiliser des stratégies de résolution de situations-problèmes
Déployer un raisonnement mathématique
Communiquer à l’aide du langage mathématique
Savoirs essentiels/prescrits



Manipulation d’expressions algébriques;
Relation et fonction
o Observation, interprétation et représentation de fonctions réelles
 Polynomiales du 2e degré
 forme générale
 forme canonique
Passage d’une forme d’écriture à une autre pour la fonction du 2 e degré
Démarche et stratégies



Représentation d’une expérimentation en lien avec la physique
Détermination de la valeur expérimentale et comparaison avec la valeur théorique
Analyse de situations à partir de modèles algébriques
Intentions pédagogiques


Exploiter les technologies de l’information et de la communication (TIC)
Manipuler des expressions mathématiques en lien avec le domaine des sciences
o Utiliser la notation scientifique et la calculatrice scientifique
o Convertir les unités de mesures

Observer, interpréter et représenter une fonction du 2e degré
Domaine général de formation ciblé

Environnement et consommation
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SITUATION-PROBLÈME
Newton est-il tombé sur la tête?
Vous avez sans doute déjà entendu parler de la théorie de Newton
sur la gravité. Sachant que Newton a vécu au XVIIe siècle (16421726), peut-on considérer que sa théorie est encore valide
aujourd’hui? (Vous pouvez vous référer à l’annexe pour vous
familiariser avec sa théorie.)
Votre défi consiste à :

déterminer la valeur de g, l’accélération gravitationnelle due à l’attraction terrestre, en
utilisant :
1. les données d’une expérience de laboratoire
2. le modèle algébrique de Newton

comparer et analyser les résultats obtenus.
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Production attendue
 Déterminer, à partir de données d’une expérience, l’accélération (g) occasionnée par
l’attraction terrestre en complétant un tableau.
 Déterminer g sur la Terre et g sur la lune à partir du modèle algébrique de Newton et
répondre aux questions.
 Comparer le résultat expérimental à la valeur théorique de g sur la Terre
 Interpréter une fonction du 2e degré et décrire ses propriétés.
Activation des connaissances antérieures
Avant d’aborder la tâche 1
 S’interroger sur le fait qu’on ait choisi une boule de billard et non une feuille de
papier…
 Se demander si un objet lourd tombe plus vite qu’un objet plus léger.
 Réaliser que le déplacement (d) de la boule de billard a été obtenu en faisant la
différence entre deux mesures de sa position selon la verticale.
Avant d’aborder la tâche 2
 Se demander si on :



maîtrise la notation scientifique;
sait utiliser une calculatrice;
est à l’aise avec les unités de mesure
pour
 les simplifier
 les convertir
Avant d’aborder la partie réinvestissement
 réviser les notions concernant la parabole
 s’imaginer la trajectoire que décrit un projectile lorsque la résistance de l’air est nulle.
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Tâche 1 : Calculez g à partir des données d’une expérience.
Un appareil muni d'un stroboscope a permis de photographier une
boule de billard en chute libre à des intervalles de 1/30 seconde à
côté d'une règle. Par la suite, nous avons noté la distance qu’a
parcourue la boule durant les intervalles.
La figure à droite nous permet de constater que la distance
parcourue durant le même intervalle de temps augmente durant la
chute.
v : vitesse
d: déplacement
v = d/△t
t : temps
g = △v/△t
Notez que dans le milieu scientifique, le symbole △ est utilisé pour
décrire une variation ou une différence entre deux grandeurs.
Tableau des résultats
△t (s)
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
d (cm) v (cm/s)
7,6
228,0
8,7
261,0
9,8
10,9
12,0
13,1
14,2
15,2
16,3
17,5
18,5
△v (cm/s)
33,0
△v/△t (m/s2)
9,9
Moyenne de g :

Complétez le tableau ci-haut en tenant compte des unités.
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Tâche 2 : Calculez g à la surface terrestre à l’aide du modèle algébrique de Newton.
g : l’accélération due à l’attraction terrestre
M : la masse de la Terre
G : la constante de la gravitation universelle
R : le rayon de la Terre
G = 6,67 x 10−11N•m2 •kg-2
M = 5,97 x 1024 kg
R = 6,37 x 106 m
•

Remplacez les invariants G, M et R par leur valeur en tenant compte des unités.

Calculez g.
__________________________________________________
On peut définir un Newton de la façon suivante : 1 N = 1 Kg•m•s-2 .
La valeur de g s'exprime en
m•s-2
ou
en N•Kg-1
_________________

Comparez la valeur de g obtenue suite au traitement des données de l’expérience à la
valeur théorique calculée à partir du modèle algébrique de Newton.
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OBJECTIVATION

Que pouvez-vous conclure au sujet de la validité de la théorie de Newton?

Vous avez déterminé la valeur de g à la surface de la
Terre. Sa valeur est sans doute différente sur la lune ou
sur une autre planète. Calculez la valeur de g sur la lune.
22
Masse de la lune = 7,35×10
Kg
6
Rayon de la lune = 1,74×10 m

Selon votre résultat, l’accélération gravitationnelle sur la lune est-elle plus grande ou
plus petite que celle sur la Terre? Expliquez pourquoi en vous référant au modèle
algébrique de Newton.
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RÉINVESTISSEMENT
En se dirigeant vers la lune, les astronautes expérimentent
l’apesanteur lorsque l’attraction de la lune égale celle de
la Terre. Il est aussi possible d’expérimenter l’apesanteur
à bord d’un avion décrivant une parabole.
Pourquoi un vol parabolique ?
Lorsqu'on lance un objet en l'air, hormis le cas où il a été
lancé rigoureusement à la verticale vers le haut, sa
trajectoire est une parabole. Il s'agit d'une chute libre
ayant une vitesse initiale.
Un objet placé à l'intérieur d’un avion en chute libre est en apesanteur. L’Airbus « Zéro G »,
qui est initialement en vol horizontal à 6 300 mètres d’altitude, monte en se cabrant à 47°. Il
est alors en hyper-pesanteur. Le pilote diminue ensuite la poussée des réacteurs de façon à
juste compenser le frottement de l’air et l'avion entre en phase de chute libre dès 8 000
mètres. Son contenu devient en apesanteur. Son élan lui permet d’atteindre 8 700 mètres
puis il retombe (phase descendante de la parabole). Après avoir remis les gaz à 8 000 mètres
et retrouvé une phase d’hyper pesanteur, l’avion reprend son vol horizontal à 6 300 mètres.
L’opération dure un peu plus d’une minute pour obtenir environ 24 secondes d’apesanteur ou
de micropesanteur intercalées entre deux périodes d’hyper pesanteur.
http://eduscol.education.fr/orbito/pedago/zerog/zerog2.htm
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Durant les deux phases d’hyper pesanteur, estimez (en nombre de g) la valeur maximum de
l’accélération que doivent subir les passagers de l’avion ?
Avez-vous déjà vécu une expérience semblable? Si oui, expliquez.
En effet, il n’y a qu’une partie de la courbe durant les 24 secondes de micropesanteur qui a la
forme d’une parabole. Sachant que cette section de la courbe est délimitée par les points
(30, 8000) et (54, 8000), déterminez :

l’équation de canonique de cette parabole

l’équation générale de cette parabole

le domaine de la fonction

l’image de la fonction
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OBJECTIVATION
- Vous avez sans doute déjà observé le mouvement d’une balle de baseball qui vient d’être
frappée solidement par un joueur professionnel.
 La trajectoire de la balle représente quel type de courbe ? ______________________
 Donnez d’autres exemples de projectiles dont la trajectoire décrit une courbe semblable:
- Prenons le cas d’une flèche tirée à 1,7 m du sol selon un angle d’élévation de 60°.
 Sachant qu’elle atteint une hauteur de 95 mètres à une distance horizontale de 110
mètres, à quelle distance de l’archer la flèche va-t-elle toucher le sol ?
 Tacez la courbe.
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Annexe
Bref aperçu de la théorie de Newton sur l'Attraction Universelle
Vous pouvez aussi visionner le vidéo « La gravité selon Newton » de ScienceClic sur
YouTube (www.youtube.com/watch?v=mZWA2UetWAg)
En observant une pomme tomber d'un arbre sous l'effet de la pesanteur, Newton conclut que
la force d'attraction entre la Terre et la pomme était de même type que celle qui existe entre la
Terre et la lune. Ainsi, la lune est retenue sur son orbite par l’attraction de la Terre.
Voici le modèle mathématique qui lui permit de généraliser sa théorie :
où
F : la force d'attraction entre les corps de masse m1 et m2 en Newtons (N)
G : la constante de la gravitation universelle (6,67×10−11N⋅m2⋅kg-2)
m1 : la masse du premier objet en kilogrammes (kg)
m2 : la masse du deuxième objet en kilogrammes (kg)
r : la distance séparant le centre de gravité de chaque objet en mètres (m)
À l'aide de cette équation, vous pouvez calculer la force d'attraction entre deux objets dont on
connaît la masse et la distance qui les sépare. La force d'attraction qui existe entre deux
personnes distantes d'un mètre, par exemple, est si minime qu'elle est négligeable. Par
contre, la masse énorme de la Terre crée une force d'attraction considérable sur les objets qui
l’entourent ou qui se trouvent à sa surface. Cette force représente le poids.
Nous allons surtout porter notre attention sur g qui regroupe les invariants :
g = (Constante de gravitation universelle)•(Masse de la Terre) / (Rayon de la Terre)2
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