Les ondes mécaniques - Gymnase français de Bienne

Gymnase français de Bienne, OSPAM Optique géométrique et ondes
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Les ondes mécaniques
Une onde est formée par des vibrations qui se propagent dans les milieux transparents. Nous
discuterons de la nature de ces vibrations par la suite.
Un mouvement vibratoire est un mouvement périodique, le plus simple est le mouvement
sinusoïdal. Il est plus facile, dans un premier temps, de discuter d’une onde se propageant à la
surface de l’eau.
On jette un caillou dans l’eau, la surface s’agite et on observe des vaguelettes, il s’agit d’une onde
progressive :
La fonction mathématique simple qui est susceptible de reproduire ces oscillations est la fonction
SINUS (ou cosinus!).
Voici la représentation d’une onde dite progressive:
+A
-A
Le trait continu est la photographie de la surface de l’eau à un instant donné. Un seconde image
(pointillée) est prise, à un instant tplus tard, la perturbation s’est donc déplacée d’une distance Vt.
Un bouchon posé à la surface de l’eau se déplace verticalement entre +A et -A. La hauteur d’une
crête ou la profondeur d’un creux par rapport au niveau normal s’appelle l’amplitude A. La
distance entre deux maxima (ou minima) consécutifs de l’onde est la longueur d’onde (mesurée
en mètres). La fréquence (en Hertz ou s-1) est le nombre de crêtes qui passent par un
point donné par unité de temps. La grandeur Vest la vitesse de l’onde. On définit
aussi la période T, mesurée en secondes.
Imaginons une onde sinusoïdale de fréquence et de longueur d’onde . On suppose
aussi qu’à t=0 la forme de l’onde soit donnée par l’équation:
y A x  sin( )
2
V
T 1

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Supposons maintenant que l’onde se déplace à une vitesse vvers la droite. Après un temps t,
chaque partie de l’onde (toute la «forme » de l’onde) aura parcouru une distance Vt. Une crête
qui se trouve à un point xdonné, se retrouvera à une nouvelle position Vt plus grande que sa
position initiale. Pour décrire le même point, il faut donc remplacer xpar (x-Vt):
 )(
2
sin VtxAy 
Que l’on peut écrire:
y A kx t  sin 
Avec kle nombre d’onde et la fréquence circulaire de l’onde.
La notion d’onde ne se limite pas aux phénomènes mécaniques. Selon la fréquence ou la
longueur de l’onde, on parle d’ondes sonores (10 Hz jusqu’à 20'000 Hz) perçues par l’oreille ou
encore pour des fréquences plus élevées, les ondes électromagnétiques :
2
k
T
2

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Interférence, principe de superposition.
Quand deux ondes ou plus passent en même temps par une même région de l’espace, on observe
que le déplacement réel est la somme vectorielle (algébrique) des déplacements réels.
Ce principe de superposition s’applique à beaucoup de types d’ondes, en particulier aux ondes
sonores.
Interférence constructive Interférence destructive Cas intermédiaire
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Somme des deux ondes
y
Somme des deux ondes
y
Somme des deux ondes
y
La superposition d’ondes donne lieu à toute une gamme de phénomènes appelés interférences.

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S
S
1
2
Interférences constructives
Interférences destructives
Le jet simultané de deux cailloux provoque la formation de deux ensembles d’ondes circulaires
qui interfèrent l’une avec l’autre. Cette expérience peut-être reproduite en continu à l’aide d’une
cuve à ondes remplie d’eau.
Ondes stationnaires
Une onde stationnaire est crée par la superposition de deux ondes sinusoïdales de même
fréquence et de même amplitude se propageant dans un milieu,
dans des direction opposées.
Dans un milieu continu illimité, il n'existe pas de limite de
fréquence ou de longueur d'onde des ondes stationnaires.
Cependant, si les ondes sont confinées dans l'espace, par exemple
si la corde est fixée aux deux extrémités, des ondes stationnaires
ne peuvent être créées que pour certaines valeurs discrètes de la
fréquence ou de la longueur d'onde.
Ces conditions aux limites imposent des contraintes sur les fréquences ou les longueurs d'onde.
Les ondes de ce type sont appelées ondes stationnaires résonantes.
Si la corde est parfaitement flexible et si l'impulsion est de forme sinusoïdale, le premier
phénomène de résonance se produit lorsque la distance entre les extrémités fixes est égale à une
demi-longueur d'onde (figure). En utilisant 2
Let
V, on en déduit la fréquence
fondamentale ou fréquence du premier harmonique, L
V2
1. C'est la plus basse fréquence à
laquelle la corde peut vibrer.
Une onde stationnaire résonante ne peut exister que si la longueur est un multiple entier de la
demi-longueur d'onde. La longueur d'onde et la fréquence du nième harmonique sont données par :
n
L
n2
L
nV
n
2

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Ondes sonores
Les sons audibles pour l'oreille humaine ont des fréquences comprises entre 20 Hz et 20'000 Hz.
Les ondes sonores de fréquence inférieure à 20 Hz, que l'on appelle infra soniques, sont produites
notamment par les tremblements de terre, par le tonnerre et par les vibrations de machines
lourdes ou des pneus d'une automobile. Les fréquences
ultrasoniques, supérieures à 20’000 Hz, sont perçues par
les chiens, les chats et les marsouins. Les chauves-souris
et les marsouins, de même que les sonars, dépendent des
ondes ultrasoniques pour situer les objets. En médecine,
on utilise les ultrasons pour surveiller le développement
du fœtus avant la naissance et l'on se sert des ondes de
choc acoustiques pour briser les calculs rénaux.
À l'état d'équilibre, la pression et la densité d'un fluide
sont uniformes. Pourtant, les molécules du fluide ne sont
pas au repos; elles sont animées de mouvements aléatoires et subissent de fréquentes collisions.
En présence d'une onde sonore, chaque petit élément de volume d'un gaz est soumis à des
vibrations longitudinales périodiques. Ce mouvement ordonné des éléments se superpose au
mouvement aléatoire des molécules. Les déplacements des éléments donnent naissance à des
fluctuations périodiques de la densité de l'air et donc de la pression. Les fluctuations de pression
sont de l'ordre de 1Pa, alors que la pression atmosphérique est voisine de 105Pa.
Applications des ondes stationnaires, les tuyaux
On peut produire des ondes stationnaires résonnantes dans une colonne d’air, comme un tuyau
d’orgue ou dans une flûte. Les ondes sonores se réfléchissent à l’extrémité fermée et à l’extrémité
ouverte de ces tuyaux.
Sur la figure, le mouvement des molécules est représenté par les flèches continues à
0
t et par
les flèches en pointillés à
2
T
t , T étant la période.
À l'extrémité fermée, le déplacement est toujours nul; il s'agit donc d'un noeud de déplacement
qui correspond à un ventre de pression. (À l'instant représenté, la pression est maximale à
l'extrémité fermée. Une demi-période plus tard, la densité et la pression seront minimales.)
L'extrémité ouverte étant à la pression atmosphérique, c'est donc un noeud de pression et un
ventre de déplacement.
Le mode fondamental est obtenu pour
4
L , ce qui correspond à 1
4
V
L
  .
On peut facilement construire les harmoniques supérieurs en se rappelant que l'extrémité fermée
est un noeud de déplacement, alors que l'extrémité ouverte est un ventre de déplacement. (On se
réfère en général au déplacement plutôt qu'à la pression.)