Circuit électrique en surtension

INSA de Rouen - STPI1 - E.C. P3
Circuit électrique en surtension
On considère le circuit ci-contre alimenté par une tension sinusoı̈dale e(t) d’amplitude Emax = 3 V et de pulsation ω. On
considère une bobine d’inductance L connue : L=7 mH
1) Déterminer analytiquement le modèle équivalent de Thévenin
(eT h , ZT h ) du dipôle AB vu de la résistance R. Faire l’analyse
dimensionnelle des résultats.
2) Déterminer l’expression de la tension u complexe aux bornes de la résistance R en fonction
de eT h , ZT h , et R puis en fonction de e, L, C, ω et R.
3) On donne sans démonstration les résultats suivants :
1
•Pulsation propre du réseau : ω0 = √
LC
r
C
•Soit Q = R
le facteur de surtension du réseau
L
ω0
•L’amplitude de la tension u(t) est maximum pour la pulsation : ωr = q
1
1 − 2Q
2
Les démonstrations ne sont pas demandées.
Nommer le phénomène physique mis en évidence.
4) L’expérience a permis de tracer l’amplitude Umax de la tension aux bornes de la résistance en
fonction de la pulsation de la f.e.m sinusoı̈dale e(t), l’amplitude Emax de e(t) étant maintenue
constante. La courbe est représentée ci-dessous.
On supposera dans toute la suite de l’exercice fr ≈ f0 .
Déterminer graphiquement la fréquence de résonance fr .
En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.
r
5) a) Déterminer graphiquement la valeur de l’amplitude Umax
de la tension u(t) à la fréquence
fr .
5) b) Donner la définition de la bande passante à -3 dB. Comment nomme-t-on fréquences
délimitant celle-ci ? Déterminer la largeur de la bande passante ∆f de cette résonance. On
exposera la méthode sur une reproduction de la courbe donnée ci-dessus.
r
6) a) Déterminer l’expression analytique de Umax
en fonction de Emax , R, L et C, puis de Q
et Emax .
6) b) Déterminer la valeur numérique de Q. Commenter alors l’appellation facteur de surtension
donnée à Q. L’hypothèse fr ≈ f0 est-elle bien justifiée ?
6) c) En déduire la valeur de la résistance R.
r
7) Déterminer l’expression analytique de l’amplitude Imax
du courant i(t) dans la résistance
R en fonction de Emax , Q et R puis de Emax , L et C. Cette valeur dépend-elle de R ? Réaliser
l’application numérique.
1
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Correction
1) Les équivalences entre les générateurs de Thévenin et de Norton donnent les circuits cidessous :
avec η = e/Z C = jCωe
Une association de dipôles en parallèle donne :
ZT h =
jLω
ou encore Z T h =
1 − LCω 2
Enfin, eT h = Z T h × η =
1
1
= jCω +
ce qui donne
ZT h
jLω
1
(1)
1
j Cω −
Lω
jLω
−LCω 2
jCω
·
e
et
donc
e
=
e ou encore
Th
1 − LCω 2
1 − LCω 2
Cω
e (2)
eT h = 1
Cω −
Lω
1
1
Analyse dimensionnelle : [jLω] = [R] et
= [R] ce qui donne donc [Cω −
] = [R]−1
jCω
Lω




1

Ainsi 
= [R] = [Z] L’expression (1) est bien homogène.
 1 
j Cω −
Lω




Cω
Z


 =
De même  [e] = [e] L’expression (2) est bien homogène.
1
Z
Cω −
Lω
R
2) Un pont diviseur de tension donne : u =
e ce qui s’écrit :
ZT h + R
u=
R
1
+R
1
j Cω −
Lω
eT h et finalement u =
jRCω
e
R
1 + j RCω −
Lω
3) L’amplitude Umax de la tension u(t) passe par un maximum pour une valeur donnée de la
pulsation : il s’agit d’un phénomène de résonance.
4) La pulsation de résonance correspond à l’abscisse du maximum de la courbe représentant
l’amplitude de la tension en fonction de la pulsation. Graphiquement, ωr = 4200 rad.s−1 . Puisque
2
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ωr
, on trouve donc fr = 668 Hz
2π
1
Puisque ωr ≈ ω0 , C = 2 ce qui donne C = 8, 1 µF .
ωr L
r
5 a) Umax
correspond à l’ordonnée du maximum de la courbe représentant l’amplitude de la
r
tension en fonction de la pulsation. On trouve donc Umax
= 41 V
fr =
r
Umax
.
5 b) La bande passante correspond à l’ensemble des pulsations ω telles que Umax (ω) ≥ √
2
Les fréquences délimitant celle-ci sont les fréquences de coupure.
r
Umax
Ici √
≈ 29 V, ce qui donne graphiquement ∆ω = 320 rad.s−1 et donc ∆f = 51 Hz
2
RCωEmax
6 a) L’amplitude Umax de la tension u(t) s’écrit : Umax = s
1 2
2
1 + R Cω −
Lω
r
1
L
r
r
A la résonance, puisque ωr ≈ ω0 = √
, on a donc Umax = RCωr Emax et donc Umax = R
C
LC
r
ce qui donne finalement Umax
= QEmax
Ur
41
6 b) Q = max =
et donc Q ≈ 14
Emax
3
r
A la résonance, on a Umax
= QEmax , c’est à dire que la tension aux bornes de la résistance est
très supérieure à la tension d’alimentation du circuit, la résistance est donc en surtension.
Plus le facteursQ est élevé, plus la surtension est importante.
r
1
1
1−
= 1−
≈ 1 puisque Q >> 1. On vérifie donc bien que fr ≈ f0 .
2
2Q
2 · (14)2
q
L
6 c) On a R = Q C
ce qui donne R = 412 Ω
Ur
QEmax
r
r
7) On a u = Ri et donc
= max et donc finalement Imax
=
ou encore Imax
= Emax
R
R
r
valeur indépendante de R. AN : Imax
= 102mA
r
Imax
3
r
C
,
L