75.Montrer que tout graphe connexe posséde un graphe partiel qui

75.Montrer que tout graphe connexe posséde un graphe partiel qui est un arbre .
76. Un arbre d'ordre n 2 admet au moins deux sommets pendants
( un sommet qui n'est adjacent qu'à un seul sommet )
77. Montrer que tout arbre est un graphe biparti .
78. Un graphe G est dit " quasi-
fortement connexe " si pour tout couple ( x , y ) de sommets il
existe un sommet z d'où partent à la fois un chemin allant à x et un chemin allant à y .
a) Vérifier qu'un graphe f-connexe est quasi-f-connexe et que la réciproque est en général
fausse .
b) Et qu'un graphe quasi-f-connexe est connexe .
On appelle racine un sommet " a " tel que pour tout autre sommet " x " de X il y a un
chemin de " a " à " x " .
On appelle " arborescence " un arbre muni d'une racine
c) Montrer qu'un graphe G = ( X , U ) admet une racine si et seulement si il est
quasi-fortement connexe
79. Montrer qu'un graphe G admet un graphe partiel qui soit une arborescence si et
seulement si G est quasi-fortement connexe .
80. Appliquer l'algorithme de KRUSKAL pour déterminer un graphe partiel du graphe
suivant qui soit un arbre de poids minimum .
81. Soient G = ( X , U ) un graphe connexe , C : U R
et T( 0 )  U tel que ( X , T(0) ) soit un arbre .
Montrer qu'on peut trouver une séquence T(0) , T(1) ,..., T(k) telle que :
( X , T ( j ) ) soit un arbre j =0 , 1 ,..., k
| T ( j-1 )
T( j ) | = n - 2
C (T ( 0) ) C (T ( 1) ) ... C(T( k ) )
( X , T ( k ) ) est un arbre de poids minimum .

82. Appliquer l'exercice précédent pour trouver la séquence d'arbre qui donne un arbre de
poids minimum , en prenant T l'arbre en traits gras .
5  2
10
11  6
1 9
12  7
13 14
 4
4  
8
83..Soit G = ( X , U ) un graphe connexe , l : U R une fonction coût .
Soit x X et u x un arc de G tel que :
l(ux) =
{ u U / u est adjacent à x et u n'est pas une boucle }
Min
l(u)
Montrer qu'il existe T U tel que ( X,T ) soit un arbre de poids minimum et tel que u xT .
84. Soit u = (xy) un arc d'un graphe G = (X,U) . Le graphe Cu(G) résultant de la contraction
de l'arc u est obtenu à partir de G par identification des extrémités de x et y de u .
On remplace les sommets x et y de G par un sommet unique xy.
Les sommets de Cu(G) sont en bijection avec X - {x,y} {xy} . D'autres part les arcs de Cu
(G) sont en bijection avec U - { u } .L'extrémité initiale ( resp.terminale ) d'un arc de Cu(G)
est xy si et seulement si l'extrémité initiale ( resp.terminale ) de l'arc correspondant dans G
est x ou y . Soit u = (xy) U
Montrer que T est un arbre si et seulement si Cu(G) soit un arbre .
85.ALGORITHME DE PRIM POUR CONSTRUIRE UN ARBRE DE POIDS
MINIMUM
(0) Poser T = , G = ( X , U ) un graphe connexe
(1) * Si G ne comporte qu'un sommet . Terminer .
( X , T ) est un arbre de longueur minimum .
* Si G comporte plus d'un sommet soit x un sommet de G . Aller en ( 2 ) .
(2) Soit v un arc de G adjacent à x tel que :
l(v) =
{ u U / u est adjacent à x et u n'est pas une boucle }
Min
l(u)
Poser :
T : T { v }
G : Cv(G)
Aller en ( 1 ) .
Justifier cet algorithme et montrer qu'il est fini . Appliquer le au graphe suivant :
2
1 3

6  5 4
86. Nous donnons ci dessous un autre algorithme pour déterminer un arbre de poids
minimum
appelé algorithme de SOLLIN -CALESTAGNE .
I) Soit U0 = ( x0 y0) une arête de coût minimum .Posez S = { x0 , y0 } et T = { U0} aller à II)
II) Si S = X alors ( X , T ) est l'arbre cherché . sinon aller à III)
III) Parmis les arêtes ayant un sommet dans S et un sommet dans X-S , Choisir une ,
disons u = ( x y ) où x S et y X-S de coût minimum .
Remplacer S par S  { y } et T par T { u } et aller à II) .
Justifier cette algorithme et montrer qu'il est fini . Appliquer le pour le graphe suivant :
15
b c 6
6 8 12
a  8 d  14 e
18 9
11 f  11 4
5 7 g  5 19
9 i
h  13
10 17 12 2
15 j  l
3 k 7
87. Trouver un arbre de coût minimum dans chacun des graphes simples valués suivants :
 18 
1 2 3 2 1
13       
17 15 1 3 3 1
15 2 3 2
3 14 1  1
  12
10 9
 11
88. Dire quelles modifications doivent être apportées aux algorithmes de KRUSKAL
,de PRIM et de SOLLIN- CALESTAGNE si on cherche un arbre de poids maximum ( on ne
changera pas les poids en leurs opposés ) .
89. Dans le graphe valué ci-dessous , chercher un arbre de poids maximum .
5 2 3 2
4 1

1
4  3 2  1
A l'arbre trouvé , on associe une base de cycle .
Exprimer le cycle ( x2 u2 x3 u6 x4 u5 x2) dans cette base .
90. Déterminer un graphe partiel du graphe suivant qui soit un arbre de poids maximum .
-1
  -2
3 
2 -2 1
-1 3
1 -2
-1 -3 
  5
-2
91. Soit G = ( X , U ) un graphe connexe et l : U R .
Montrer que l'algorithme suivant permet de déterminer un graphe partiel ( X , T ) de G qui
est un arbre de poids minimum .
(0) Les arcs sont supposés rangés dans l'ordre des poids décroissants .
l(u1)  l(u 2)  ...  l(um) .
Poser T : = U , i = 1
(1) .Si ( X , T - { ui} ) n'est pas connexe aller en (3)
.Si ( X , T - { u i } ) est connexe , aller en (2)
(2) Poser T : = T - { ui}
Aller en (3)
(3) . Si i = m , terminer
. Si i < m , faire i : = i + 1 , aller en (1)
Dans quel sens peut-on dire que cet algorithme est " dual " de celui de KRUSKAL ?
Résoudre les exemples de la série en utilisant cet algorithme .
92. Dans chaque cas lorsqu’on détermine un arbre de poids minimum ou maximum
,déterminer une base de cycles et une base de cocycles du graphe considéré .
BIBLIOGRAPHIE :
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