Algorithmes et Structures de Données

Université de Corse - IUP NTIC2 2005/2006 – Algorithme et Structure de Données
Algorithmes et
Structures de Données
Chapitre 2 - La récursivité
Capocchi Laurent
[e-mail]
http://spe.univ-corse.fr/capocchiweb
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Objectif
 Les algorithmes qui s’appellent eux mêmes
 Algorithmes récursifs
 Base, partie strictement récursive
 Principe de fonctionnement
 Exemples
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Définitions
 «Une procédure récursive est une procédure
récursive»
 Technique ou concept défini en fonction de lui même
Directement ou indirectement
 Elle permet de résoudre certains problèmes d'une manière
rapide comparé à la technique itérative
 La récursivité utilise toujours la pile du
programme en cours
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Définitions
 Une pile est une zone mémoire réservée à chaque
programme
 Le rôle de la pile est stocker les variables locales et les
paramètres d'une procédure
 Dans une procédure récursive, toutes les variables locales
sont stockées dans la pile et empilées autant de fois qu'il y
a d'appels récursifs.
 Attention aux remplissages abusifs entraînant les
débordement de pile
 En fin de programme les variables sont
désempilées

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Base, partie strictement récursive
 Une définition récursive est composée de deux parties:
Une partie non récursive: une instruction (ou bloc
d'instructions) nommée « point d'arrêt » qui indique que le
reste des instructions ne doit pas être exécuté.
Une partie strictement récursive
fonction maFonction ( ….. ) : TypeDeRetour
variables locales : …..
si ( fin ) alors
…..
sinon
maFonction ( ….. )
finsi
retourner ( valeur )
finFonction c
Condition
d'arrêt
Appel
récursif
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Base, partie strictement récursive
 Une fonction récursive « f » peut être appelées depuis son
propre corps de fonction
Soit directement: si la fonction « f » appelle
directement « f », on dit que la récursivité est directe
Soit indirectement à travers une ou plusieurs fonctions
relais: si « f » appelle une fonction « f1 », qui appelle
une fonction « f2 », ..., qui appelle une fonction « fn » et
qui enfin appelle « f » on dit qu'il s'agit d'une
récursivité indirecte.
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Principe de fonctionnement
 La question qui se pose dans la définition d'une fonction
récursive est celle de la condition d'arrêt de la récursivité
 Exemple: calcul de la somme des n premier entiers positifs
somme(n) = n + somme(n-1) et somme(1) = 1
fonction somme ( n : NatuelNonNul) :
NatuelNonNul
variable locale temp : NatuelNonNul
si (n==1)
retourner 1
sinon
temp ← somme(n-1)
retourner n + temp
finSi
FinFonction somme
sans le test
si (n==1), la
fonction ne
s'arrêterait
jamais !
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Principe de fonctionnement
 Les paramètres de l'appel récursif doivent toujours changer
 Sinon l'ordinateur fait un appel infini à la procédure récursive
impliquant un débordement de la pile
 Le changement de valeurs conduit l'ordinateur à rencontrer un
ensemble de paramètres vérifiant le test d'arrêt indiquant que
la procédure récursive aura atteint le fond (point terminal)
 Les paramètres ainsi que les variables locales sont
désemplilées au fur et à mesure qu'on remonte
les niveaux

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Exemple (1)
somme(4)
création du premier temp
somme(3)
création du deuxième temp
somme(2)
création du troisième temp
somme(1)
création du quatrième temp
destruction de temp
retourne 1
destruction de temp
retourne 2+1
destruction de temp
retourne 3+3
destruction de temp
retourne 4+6
Trace de la
fonction somme
pour n = 4
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Exemple (2)
procédure combinaison (st, tete: ChaineCaractère)
variables locales i: Entier
si ( longueur(st) = 1) alors
affiche(tete+st)
sinon
pour i=1 jusqu'à longueur(st) faire
combinaison(copie(st, 1, longueur(st)-1)),
tete+st[0])
st <- copie(st, 1, longueur(st)-1) + st[0])
finpour
finsi
fincombinaison
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Exemple (2)
 Combi('abc', ' ') Paramètre: st <- 'abc'; tete <- ' '
i<-1
combi('bc', 'a')
st <- 'bca'
i <- 2
combi('ca','b')
Paramètre: st <- 'bc'; tete <- 'a'
i<-1
combi('c', 'ab')
st <- 'cb'
i <- 2
combinaison('b','ac')
st <- 'bc' // valeur qui n'a plus d'importance
Point d'arrêt: on affiche 'ab'+'c' soit 'abc'
Point d'arrêt: on affiche 'ac'+'b' soit 'acb'
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Exemple (2)
st <- 'bca'
i <- 2
combi('ca','b')
st <- 'ca'+b'='cab'
i <- 3
combi('ab','c')
Paramètre: st <- 'ca'; tete <- 'b'
i<-1
combi('a', 'bc')
st <- 'ac'
i <- 2
combinaison('c','ba')
st <- 'ca' // valeur qui n'a plus d'importance
Point d'arrêt: on affiche 'bc'+'a' soit 'bca'
Point d'arrêt: on affiche 'ba'+'c' soit 'bac'

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Exemple (2)
st <- 'ca'+b'='cab'
i <- 3
combi('ab','c')
st <- 'ab'+'c'='abc' //valeur qui n'a plus d'importance
Paramètres: st <- 'ab'; tete <- 'c'
i<-1
combi('b', 'ca')
st <- 'ba'
i <- 2
combinaison('a','cb')
st <- 'ab' // valeur qui n'a plus d'importance
Point d'arrêt: on affiche 'ca'+'b' soit 'cab'
Point d'arrêt: on affiche 'cb'+'a' soit 'cba'
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Remarques
 Lorsqu'une fonction récursive définit des variables locales, un
exemplaire de chacune d'entre elles est créée à chaque appel
récursif de la fonction
 Exemple somme(4), la variable locale temp est créée 4 fois
 Ces variables sont restituées au fur et a mesure que l'on quitte
la fonction comme toute variables locale d'un fonction
 Attention au dépassement de mémoire et à la définition
abusive de variables
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Structure de données récursives
 Une structure de données récursives tout comme une
définition récursive, est une structure qui fait référence à elle
même
 Les structures de données naturellement récursives sont les
listes, les arbres, ...
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Exercices
 Transformer une boucle en une procédure récursive
 Transformer 2 boucles imbriquées en une procédure récursive
 Calculer la factorielle d'un entier
 Inverser une chaîne de caractères
 Dire si une chaîne de caractères est un palindrome
 Afficher les anagramme d'une chaîne de caractères
 Afficher le triangle de Pascal
 Donner l'algorithme récursif des tours de Hanoi
 Tracer une maison sans lever le crayon

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Bibliographie et Webographie
A. CHAMBILY, P. CONSTANTINE, La récursivité pas à pas
 C. PAOLI, Cours d'algorithmes et structures de données