Physique des ondes - Ondes électromagnétiques dans le vide
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Physique des ondes Ondes électromagnétiques dans le vide PC Lycée Dupuy de Lôme E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 1 / 12 Le vide correspondra à l’absence de charges et de courants Ð → Ð → j = 0 ρ=0 On assimilera l’air au vide Les équation de Maxwell dans le vide s’écrivent donc : Ð → ⎧ ⎪ → ∂B Ð→Ð ⎪ ⎪ ⎪ (1)-Maxwell-Faraday : rot E = − ⎪ ⎪ ⎪ ∂t ⎪ Ð → ⎪ ⎪ ⎪ (2)-Maxwell-Gauss : div E = 0 ⎪ ⎨ Ð → ⎪ → ∂E ⎪ Ð→Ð ⎪ ⎪ ǫ (3)-Maxwell-Ampère : rot B = µ ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ ∂t ⎪ ⎪ Ð → ⎪ ⎪ (4)-Maxwell-Φ : div B = 0 ⎪ ⎩ E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 2 / 12 Equation de propagation Equation de propagation Ð → 1 Dans le vide, en notant c = √ , le champ magnétique B associé à une µ 0 ǫ0 onde vérifie l’équation d’Alembert tridimensionnelle Ð → Ð → 1 ∂2 B Ð → = 0 ∆B − 2 2 c ∂t Ð → On obtient de même pour le champ E l’équation Ð → Ð →Ð → ∂2 E Ð → ∆ E − µ 0 ǫ0 2 = 0 ∂t E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 3 / 12 Ondes planes progressives Surfaces d’onde Surface d’onde C’est une surface où la perturbation caractéristique de l’onde est identique en tout point, à un instant t Le vecteur d’onde est orthogonal aux surfaces d’onde Source proche S b Source éloignée S Source à l’infini S b Onde sphérique E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Onde plane Physique des ondes 4 / 12 Ondes planes progressives Définition Onde plane Une surface telle qu’en tout point M la caractéristique de l’onde est constante est nommée surface d’onde. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 5 / 12 Ondes planes progressives Définition Onde plane Une surface telle qu’en tout point M la caractéristique de l’onde est constante est nommée surface d’onde. Une onde est dite plane si les surfaces d’onde sont des plan. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 5 / 12 Ondes planes progressives Définition Onde plane Une surface telle qu’en tout point M la caractéristique de l’onde est constante est nommée surface d’onde. Une onde est dite plane si les surfaces d’onde sont des plan. La propagation d’une onde plane sera donc rectiligne. S E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 5 / 12 Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques Définition (OPPH) OPPH Ð → → → Pour une direction de propagation Ð u on définit le vecteur d’onde k = kÐ u associé à l’onde de pulsation ω telle que en tout point M défini par ÐÐ→ Ð → r = OM : Ð → → Ð → Ð→ E (M ) = E0 cos(ωt − k ⋅ Ð r) Ð →Ð → → Ð → Ð E = E 0 ei(ωt− k ⋅ r ) E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 6 / 12 Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques Transversalité (OPPH) Ð → On étudie ne OPPH telle que k = k.Ð e→ x L’expression générale du champ électrique est alors : Ð → Ð → Ð → i.(ωt−k.x) E = [E 0x .Ð e→ x + E 0y .ey + E 0z . ez ] .e Ð → Dans le vide, div E = 0 Ð → Or ici div E = E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 7 / 12 Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques Transversalité (OPPH) Ð → On étudie ne OPPH telle que k = k.Ð e→ x L’expression générale du champ électrique est alors : Ð → Ð → Ð → i.(ωt−k.x) E = [E 0x .Ð e→ x + E 0y .ey + E 0z . ez ] .e Ð → Dans le vide, div E = 0 Ð → Or ici div E = E 0x . (−k.) .ei.(ωt−k.x) E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 7 / 12 Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques Transversalité (OPPH) Ð → On étudie ne OPPH telle que k = k.Ð e→ x L’expression générale du champ électrique est alors : Ð → Ð → Ð → i.(ωt−k.x) E = [E 0x .Ð e→ x + E 0y .ey + E 0z . ez ] .e Ð → Dans le vide, div E = 0 Ð → Or ici div E = E 0x . (−k.) .ei.(ωt−k.x) → Ð → Ð Donc E0x = 0, soit E ⋅ k = 0 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 7 / 12 Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques Transversalité (OPPH) Ð → On étudie ne OPPH telle que k = k.Ð e→ x L’expression générale du champ électrique est alors : Ð → Ð → Ð → i.(ωt−k.x) E = [E 0x .Ð e→ x + E 0y .ey + E 0z . ez ] .e Ð → Dans le vide, div E = 0 Ð → Or ici div E = E 0x . (−k.) .ei.(ωt−k.x) → Ð → Ð Donc E0x = 0, soit E ⋅ k = 0 Transversalité de l’OPPH Les champs électrique et magnétiques sont tous les deux transverses à la direction de propagation de l’onde pour une OPPH dans le vide. L’onde est alors dite transversale. Attention, il est possible d’avoir des ondes non transversales se propageant dans le vide.... ce ne seront pas alors des ondes planes. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 7 / 12 Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques Bilan (OPPH) Relation de structure pour une OPPH Ð → Ð → Ð → Les champs E et B associés à une OPPH sont orthogonaux. Si k le vecteur d’onde, Ð → Ð → Ð → k ∧E -b B= ω E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 8 / 12 Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques Approche (OPPH) énergétique L’objectif est ici de déterminer la vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique, vem Ð → On considère une OPPH E = E0 .cos (ωt − k.x) .Ð e→z et une section S dans le plan Y OZ On considère une durée dt ≫ T avec T la période de l’onde. Exprimer la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique ⟨ue m⟩ Ð → Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting ⟨P i⟩ Exprimer en fonction de ⟨ue m⟩ et vem la valeur moyenne de l’énergie traversant S pendant dt Exprimer en fonction de ⟨P i⟩ la valeur moyenne de l’énergie traversant S pendant dt En déduire la vitesse de propagation de l’énergie E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 9 / 12 Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques Approche (OPPH) énergétique L’objectif est ici de déterminer la vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique, vem Ð → On considère une OPPH E = E0 .cos (ωt − k.x) .Ð e→z et une section S dans le plan Y OZ On considère une durée dt ≫ T avec T la période de l’onde. Exprimer la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique ⟨ue m⟩ Ð → Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting ⟨P i⟩ Exprimer en fonction de ⟨ue m⟩ et vem la valeur moyenne de l’énergie traversant S pendant dt Exprimer en fonction de ⟨P i⟩ la valeur moyenne de l’énergie traversant S pendant dt En déduire la vitesse de propagation de l’énergie Vitesse de propagation de l’énergie Pour une OPPH dans le vide, l’énergie se propage à la vitesse c. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 9 / 12 Etats de polarisation États de polarisation Polarisation d’une OPPH Ð → On observe la vibration du champ E (x, t) dans un plan d’onde x = C te . Ð → La trajectoire de l’extrémité du vecteur E dans ce plan caractérise la polarisation de l’onde Polarisation rectiligne Polarisation elliptique Polarisation circulaire Exemple de polarisations pour une propagation selon l’axe Ox : z z y E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) z y Physique des ondes y 10 / 12 Etats de polarisation Polarisation rectiligne z Polarisation rectiligne Une OPPH est polarisée Ð → rectilignement si le champ E a la même direction en tout point de l’espace. Ð → E x Ð → cB Dans l’exemple ci-dessus, Ð → k y L’onde se propage selon le sens L’onde est polarisée selon la direction E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 11 / 12 Etats de polarisation Polarisation rectiligne z Polarisation rectiligne Une OPPH est polarisée Ð → rectilignement si le champ E a la même direction en tout point de l’espace. Ð → E x Ð → cB Dans l’exemple ci-dessus, Ð → k y L’onde se propage selon le sens +Ð e→y L’onde est polarisée selon la direction colinéaire à Ð e→z E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 11 / 12 Etats de polarisation Polarisation elliptique sens de polarisation Une onde sera polarisée droite si la rotation dans un plan d’onde se fait dans le sens horaire lorsqu’on la voit progresser vers nous, gauche sinon z Polarisation elliptique RR RRR E .cos (ωt) 0y Ð → Ð → Ð → Ð → E (ex ,ey ,ez ) RRRR RRR RRR E0z .cos (ωt − ϕ) Polarisation circulaire b y RRR RRR E0 .cos (ωt) Ð → R → Ð → Ð → E (Ð ex ,ey ,ez ) RRR RR ±E .sin (ωt) RRR 0 Onde polarisée circulairement E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Physique des ondes 12 / 12
