Equation des ondes en milieu non borné : dispersion et couches

Equation des ondes en milieu non
borné : dispersion et couches
absorbantes parfaitement adaptées
isab[email protected]
Avertissement : le sujet proposé peut sembler long à la première lecture, mais c’est uni-
quement pour guider les élèves au mieux. Il permet d’illustrer certaines notions théoriques
du cours par des résultats numériques.
Le problème modèle à résoudre théoriquement et numériquement est le problème de
Cauchy pour l’équation des ondes :
1
c2
∂2u
∂t2(x, t)−∂2u ∂x2(x, t)=0, x ∈IR, t > 0,
u(x, 0) = u0(x), x ∈IR,
∂u
∂t (x, 0) = u1(x), x ∈IR.
(1)
Si les données initiales sont suffisamment régulières, le problème de Cauchy (1) admet
une solution unique u(x, t)d’énergie finie et au moins de classe C2en temps. Nous allons
chercher à approcher cette solution par une méthode de différences finies.
1 Equation des ondes en dimension 1
1.1 La formule de D’Alembert
En dimension 1, nous savons résoudre analytiquement le problème (1) :
Montrer que la solution udu problème (1) est donnée par la formule de D’Alem-
bert :
u(x, t) = 1
2{u0(x+ct) + u0(x−ct)}+1 2cZx+ct
x−ct
u1(ξ)dξ. (2)
En déduire que la solution est somme de deux ondes progressives se propageant à
vitesse finie. Exhiber si les données initiales u0, u1sont à support dans l’intervalle [a, b]
le cône de propagation (c’est à dire les endroits où la solution est non nulle) sur l’intervalle
en temps [0, T ]. De même, exhiber pour un point (x, t)∈IR ×IR∗
+le cône de dépendance
de la solution en ce point (c’est à dire le lieu des valeurs des solutions desquelles dépend
u(x, t)).
On vérifie que dans le domaine
{(x, t) ; t > b−a
2c, b −ct < x < a +ct}
la solution est constante égale à :
u(x, t) = 1
2cZR
u1(ξ)dξ. (3)
On en déduit qu’en tout point de l’espace, pour tassez grand, la fonction t7→ u(x, t)est
constante. En pratique, on choisit u1à moyenne nulle pour tuer cette constante.
1

1.2 Cas D-périodicité en espace
Dans un premier temps, pour borner le domaine de propagation nous allons supposer
que les données et la solution sont périodiques en espace de période D, où Dest un réel
strictement positif. En changeant l’échelle de temps : t−→ ct, on peut considérer que
la vitesse c= 1.
Soit donc [−D/2, D/2] le domaine de calcul. On se donne Tle temps de simulation (dont
l’ordre de grandeur est comparable à D). On se donne ensuite Jpour définir le pas de
la grille hen espace avec J h =D. La donnée du coefficient sans dimension CFL noté α
permet de déterminer le pas de discrétisation en temps :
α=c∆t
h.
Le nombre d’itérations en temps est alors automatiquement déterminé. On note Un
june
approximation de u(xj, tn)et Un
hle vecteur de RJ+1 :
Implémenter le schéma suivant dit saute-mouton d’ordre 2 en temps et en espace
suivant :
1
c2
Un+1
j−2Un
j+Un−1
j
∆t2+ (AhUn
h)j=1
c2
Un+1
j−2Un
j+Un−1
j
∆t2−Un
j+1 −2Un j+Un j−1
h2= 0
(4)
et le tester pour une donnée initiale de type Gaussien
u0(x) = exp
−ln 10 x−x0
a2
|x−x0| ≤ 2.5a;u0(x)=0 sinon
associée par exemple à u1identiquement nulle. Les paramètres x0centre de la gaussienne
et a > 0largeur à 10% sont à ajuster en fonction de Det h.
1.2.1 Le schéma de démarrage
Le schéma (4) faisant au pas de temps n+ 1 intervenir les valeurs trouvées au deux pas
de temps précédents, il convient de disposer d’un schéma dit de démarrage sur les deux
premières itérations. Pour initialiser le schéma totalement discrétisé et déterminer U0
het
U1
h, nous avons besoin d’approcher Uh(0 ∗∆t)et Uh(1 ∗∆t). Pour U0 h, il est naturel de
choisir
U0
j=u0(xj)
Montrer que l’approximation
U1
j=U0 j+ ∆t u1(xj)
n’est que d’ordre 1 en temps.
Montrer que l’approximation
U1
j= ((I−c2∆t2
2Ah)U0
h)j+ ∆t u1(xj)
est d’ordre 2 en temps.
Illustrer numériquement ces résultats et conclure sur le choix du schéma de dé-
marrage.
2

1.2.2 La condition de stabilité.
Expliquer en comparant les cônes de propagation continu et discret pourquoi
une condition nécessaire de stabilité est
0≤α≤1.
Que peut-on dire avec des tests numériques sur cette condition ?
1.3 Analyse de la dispersion numérique.
1.3.1 Influence du coefficient CFL et de la discrétisation en espace
On fixe les paramètres D, T, x0et a.Faites varier le coefficient CFL αet le nombre
de points de la grille en espace J: qu’observe t’on ? Il ne s’agit pas d’instabilité mais
de dispersion numérique. Afin de l’étudier, on considère des solutions particulières de
l’équation des ondes en domaine périodique. Soit un entier 0< L < J/2,kL∈IR, tel que
kLD= 2πL,
alors
u(x, t) = exp i(ωLt−kLx)
est une solution de type onde plane harmonique, D-périodique, de l’équation des ondes
si ωLet kLvérifient la relation de dispersion
ω2
L= (kLc)2
kLest appelé le nombre d’onde. La solution est périodique en espace de période λL=
2π/|kL|qui est nommée la longueur d’onde. On considère les données initiales
u0(x) = exp(−ikLx)
et
u1(x) = −cu0
0(x) = ikLcexp(−ikLx)
Donner l’expression de la solution exacte de l’équation des ondes pour ces données
initiales.
Vérifier que la solution discrète du schéma (4) pour ces mêmes données initiales
s’écrit :
Un
j=1
2+1 2
ωL∆t
sin(˜ωL∆t)ei(˜ωLtn−kLxj)+1 2−1 2
ωL∆t
sin(˜ωL∆t)ei(−˜ωLtn−kLxj)
avec ˜ωLvérifiant la relation de dispersion discrète :
4
∆t2sin2˜ωL∆t 2=4c2 h2sin2kLh 2
Remarquer que l’on retrouve la condition nécessaire de stabilité. Montrer que
˜ωL=ωL+O(h2+ ∆t2)
ce qui permet de retrouver que le schéma est d’ordre 2 en temps et en espace.
3

1.3.2 Dispersion numérique : théorie et tests numériques
En introduisant G=kh
2πqui correspond à l’inverse du nombre de points par longueur
d’onde, tracer les courbes de dispersion q(α, G)pour différentes valeurs de α, avec
q(α, G) = ˜ω(k)
ω(k)=
arcsin(αsin(kh
2))
αkh
2
Analyser les éléments suivants :
•Quand αest fixé et h→0(et donc ∆taussi).
•Pour αfixé, que peut-on dire de la variation de la fonction G→q(α, G)? Interpréter
en terme de choix du pas de discrétisation en espace.
•Pour Gfixé, que peut-on dire de la variation de la fonction α→q(α, G)? Que recom-
mander comme choix de CFL ?
•Que se passe-t’il quand α→0? Pourquoi faire diminuer le pas de temps sans toucher
au pas d’espace est une fausse bonne idée pour gagner en précision ?
Comparer avec des tests numériques (Prendre pour conditions intiales les parties
réelles des modes de Fourier, pourquoi ne pas prendre u1= 0 ?)
2 Propagation dans un milieu à deux couches homogènes -
introduction aux couches absorbantes parfaitement adap-
tées (PML)
Nous considérons maintenant l’équation des ondes avec coefficients variables : on se
limite à 2 domaines homogènes de caractéristiques différentes. Nous nous intéressons au
problème de Cauchy en 1 dimension d’espace :
ρ(x)∂2u
∂t2−∂ ∂x µ(x)∂u ∂x= 0, x ∈IR, t > 0,
u(x, 0) = u0(x), x ∈IR,
∂u
∂t (x, 0) = u1(x), x ∈IR,
(5)
dans le cas particulier où le milieu de propagation est composée de deux milieux homo-
gènes semi-infinis :
ρ(x) = ρ1, µ(x) = µ1si x < 0, ρ(x) = ρ2, µ(x) = µ2si x > 0.(6)
Pour des données suffisamment régulières, on démontre que le problème (5) admet une
solution unique. Dans chacun des deux milieux, on a donc une vitesse de propagation :
c1=rµ1
ρ1
dans le milieu x < 0, c2=rµ2
ρ2
dans le milieu x > 0.(7)
On introduit les impédances σ1et σ2de chaque milieu :
z1=√µ1ρ1dans le milieu x < 0, z2=√µ2ρ2dans le milieu x > 0.(8)
Dans la suite nous désignerons par :
4

•u1la restriction de uàx < 0,
•u2la restriction de uàx > 0.
Nous nous contenterons de considérer le cas :
(u0est régulière à support compact dans x < 0,
u1= 0.(9)
On note [a, b]le support de u0avec a < b < 0. On démontre qu’associées au problème
(5) les conditions de transmission suivantes sont vérifiées :
u1(0, t) = u2(0, t)t > 0,
µ1
∂u1
∂x (0, t) = µ2
∂u2
∂x (0, t)t > 0.(10)
2.1 Solution exacte : coefficients de réflexion et transmission
Les données initiales étant strictement à support dans le domaine 1, x < 0, la formule de
D’Alembert nous dit que dans un premier temps deux ondes vont se propager à la vitesse
c1: une vers les x < 0et l’autre faire les x > 0. Pour cette dernière, la présence de la
discontinuité en x= 0 donne naissance à nouveau à deux ondes, une dite réfléchie u−
1(x, t)
dans le domaine 1 se propageant vers les x < 0à la vitesse c1, l’autre dite transmise
u+
2(x, t)dans le domaine 2 se propageant vers les x > 0à la vitesse c2. On démontre
que l’onde u−
1(x, t)correspond à une donnée initiale fictive positionnée en [−b, −a]en
considérant l’ensemble du domaine composé des caractéristiques du milieu 1. De même,
l’onde u+
2(x, t)correspond à une donnée initiale fictive positionnée en [c2/c1a, c2/c1b]
en considérant l’ensemble du domaine composé des caractéristiques du milieu 2. Afin
d’assurer la continuité à l’interface en tenant compte de l’onde initialement émise de u0,
il est naturel de considérer que la source fictive pour l’onde u−
1(x, t)est proportionnelle
d’un facteur Ravec le symétrisé de u0par rapport à x= 0 (principe des images ou
miroir) et que la source fictive pour l’onde u+
2(x, t)est proportionnelle d’un facteur T
au dilaté de u0(pour prendre en compte la différence de vitesse).
Montrer que udéfinie par :
u(x, t) = 1
2{u0(x+c1t) + u0(x−c1t)}+1 2Ru0(−x−c1t)x > 0
u(x, t) = 1
2T u0c1 c2
(x−c2t)x < 0
est la solution du problème de Cauchy (5) sous les conditions
1 + R=Tet z1(1 −R) = z2T
En déduire les valeurs de Ret T.
2.2 Schéma numérique pour l’équation à coefficients variables
On considère que les vitesses et impédances des milieux sont données relativement à
une vitesse de référence (qui vaudra 1 par changement d’échelle en temps) et à une
5