Equation des ondes en milieu non borné : dispersion et couches

Equation des ondes en milieu non
borné : dispersion et couches
absorbantes parfaitement adaptées
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Avertissement : le sujet proposé peut sembler long à la première lecture, mais c’est uniquement pour guider les élèves au mieux. Il permet d’illustrer certaines notions théoriques
du cours par des résultats numériques.
Le problème modèle à résoudre théoriquement et numériquement est le problème de
Cauchy pour l’équation des ondes :

∂2u
1 ∂2u


(x,
t)
−
(x, t) = 0,



c2 ∂t2
∂x2




u(x, 0) = u (x),
0








 ∂u (x, 0) = u1 (x),
x ∈ IR, t > 0,
x ∈ IR,
(1)
x ∈ IR.
∂t
Si les données initiales sont suffisamment régulières, le problème de Cauchy (1) admet
une solution unique u(x, t) d’énergie finie et au moins de classe C 2 en temps. Nous allons
chercher à approcher cette solution par une méthode de différences finies.
1
1.1
Equation des ondes en dimension 1
La formule de D’Alembert
En dimension 1, nous savons résoudre analytiquement le problème (1) :
Montrer que la solution u du problème (1) est donnée par la formule de D’Alembert :
Z
1
1 x+ct
u(x, t) = {u0 (x + ct) + u0 (x − ct)} +
u1 (ξ) dξ.
(2)
2
2c x−ct
En déduire que la solution est somme de deux ondes progressives se propageant à
vitesse finie. Exhiber si les données initiales u0 , u1 sont à support dans l’intervalle [a, b]
le cône de propagation (c’est à dire les endroits où la solution est non nulle) sur l’intervalle
en temps [0, T ]. De même, exhiber pour un point (x, t) ∈ IR × IR∗+ le cône de dépendance
de la solution en ce point (c’est à dire le lieu des valeurs des solutions desquelles dépend
u(x, t)).
On vérifie que dans le domaine
{(x, t) ; t >
b−a
, b − ct < x < a + ct}
2c
la solution est constante égale à :
1
u(x, t) =
u1 (ξ) dξ.
(3)
2c R
On en déduit qu’en tout point de l’espace, pour t assez grand, la fonction t 7→ u(x, t) est
constante. En pratique, on choisit u1 à moyenne nulle pour tuer cette constante.
Z
1
Cas D-périodicité en espace
1.2
Dans un premier temps, pour borner le domaine de propagation nous allons supposer
que les données et la solution sont périodiques en espace de période D, où D est un réel
strictement positif. En changeant l’échelle de temps : t −→ ct, on peut considérer que
la vitesse c = 1.
Soit donc [−D/2, D/2] le domaine de calcul. On se donne T le temps de simulation (dont
l’ordre de grandeur est comparable à D). On se donne ensuite J pour définir le pas de
la grille h en espace avec J h = D. La donnée du coefficient sans dimension CFL noté α
permet de déterminer le pas de discrétisation en temps :
α=
c∆t
.
h
Le nombre d’itérations en temps est alors automatiquement déterminé. On note Ujn une
approximation de u(xj , tn ) et Uhn le vecteur de RJ+1 :
Implémenter le schéma suivant dit saute-mouton d’ordre 2 en temps et en espace
suivant :
n+1
n − 2U n + U n
− 2Ujn + Ujn−1
− 2Ujn + Ujn−1 Uj+1
1 Uj
j
j−1
n
+
(A
U
)
=
−
=0
h h j
∆t2
c2
∆t2
h2
(4)
et le tester pour une donnée initiale de type Gaussien
n+1
1 Uj
c2
− ln 10
u0 (x) = exp
x − x0
a
2
|x − x0 | ≤ 2.5 a ;
u0 (x) = 0 sinon
associée par exemple à u1 identiquement nulle. Les paramètres x0 centre de la gaussienne
et a > 0 largeur à 10% sont à ajuster en fonction de D et h.
1.2.1
Le schéma de démarrage
Le schéma (4) faisant au pas de temps n + 1 intervenir les valeurs trouvées au deux pas
de temps précédents, il convient de disposer d’un schéma dit de démarrage sur les deux
premières itérations. Pour initialiser le schéma totalement discrétisé et déterminer Uh0 et
Uh1 , nous avons besoin d’approcher Uh (0 ∗ ∆t) et Uh (1 ∗ ∆t). Pour Uh0 , il est naturel de
choisir
Uj0 = u0 (xj )
Montrer que l’approximation
Uj1 = Uj0 + ∆t u1 (xj )
n’est que d’ordre 1 en temps.
Montrer que l’approximation
Uj1 = ((I −
c2 ∆t2
Ah )Uh0 )j + ∆t u1 (xj )
2
est d’ordre 2 en temps.
Illustrer numériquement ces résultats et conclure sur le choix du schéma de démarrage.
2
1.2.2
La condition de stabilité.
Expliquer en comparant les cônes de propagation continu et discret pourquoi
une condition nécessaire de stabilité est
0 ≤ α ≤ 1.
Que peut-on dire avec des tests numériques sur cette condition ?
1.3
1.3.1
Analyse de la dispersion numérique.
Influence du coefficient CFL et de la discrétisation en espace
On fixe les paramètres D, T, x0 et a. Faites varier le coefficient CFL α et le nombre
de points de la grille en espace J : qu’observe t’on ? Il ne s’agit pas d’instabilité mais
de dispersion numérique. Afin de l’étudier, on considère des solutions particulières de
l’équation des ondes en domaine périodique. Soit un entier 0 < L < J/2, kL ∈ IR, tel que
kL D = 2πL,
alors
u(x, t) = exp i(ωL t − kL x)
est une solution de type onde plane harmonique, D-périodique, de l’équation des ondes
si ωL et kL vérifient la relation de dispersion
ωL2 = (kL c)2
kL est appelé le nombre d’onde. La solution est périodique en espace de période λL =
2π/|kL | qui est nommée la longueur d’onde. On considère les données initiales
u0 (x) = exp(−ikL x)
et
u1 (x) = −cu00 (x) = ikL c exp(−ikL x)
Donner l’expression de la solution exacte de l’équation des ondes pour ces données
initiales.
Vérifier que la solution discrète du schéma (4) pour ces mêmes données initiales
s’écrit :
Ujn
=
1 1 ωL ∆t
n
+
ei(ω̃L t −kL xj ) +
2 2 sin(ω̃L ∆t)
1 1 ωL ∆t
n
−
ei(−ω̃L t −kL xj )
2 2 sin(ω̃L ∆t)
avec ω̃L vérifiant la relation de dispersion discrète :
4
4c2
kL h
2 ω̃L ∆t
=
sin
sin2
2
2
∆t
2
h
2
Remarquer que l’on retrouve la condition nécessaire de stabilité. Montrer que
ω̃L = ωL + O(h2 + ∆t2 )
ce qui permet de retrouver que le schéma est d’ordre 2 en temps et en espace.
3
1.3.2
Dispersion numérique : théorie et tests numériques
kh
qui correspond à l’inverse du nombre de points par longueur
2π
d’onde, tracer les courbes de dispersion q(α, G) pour différentes valeurs de α, avec
En introduisant G =
kh
arcsin(α sin( ))
ω̃(k)
2
q(α, G) =
=
kh
ω(k)
α2
Analyser les éléments suivants :
• Quand α est fixé et h → 0 (et donc ∆t aussi).
• Pour α fixé, que peut-on dire de la variation de la fonction G → q(α, G) ? Interpréter
en terme de choix du pas de discrétisation en espace.
• Pour G fixé, que peut-on dire de la variation de la fonction α → q(α, G) ? Que recommander comme choix de CFL ?
• Que se passe-t’il quand α → 0 ? Pourquoi faire diminuer le pas de temps sans toucher
au pas d’espace est une fausse bonne idée pour gagner en précision ?
Comparer avec des tests numériques (Prendre pour conditions intiales les parties
réelles des modes de Fourier, pourquoi ne pas prendre u1 = 0 ?)
2
Propagation dans un milieu à deux couches homogènes introduction aux couches absorbantes parfaitement adaptées (PML)
Nous considérons maintenant l’équation des ondes avec coefficients variables : on se
limite à 2 domaines homogènes de caractéristiques différentes. Nous nous intéressons au
problème de Cauchy en 1 dimension d’espace :

∂2u
∂
∂u



ρ(x) 2 −
µ(x)
= 0, x ∈ IR,


∂t
∂x
∂x
u(x, 0) = u0 (x),
x ∈ IR,



∂u


(x, 0) = u1 (x),
x ∈ IR,
t > 0,
(5)
∂t
dans le cas particulier où le milieu de propagation est composée de deux milieux homogènes semi-infinis :
ρ(x) = ρ1 , µ(x) = µ1
si x < 0,
ρ(x) = ρ2 , µ(x) = µ2
si x > 0.
(6)
Pour des données suffisamment régulières, on démontre que le problème (5) admet une
solution unique. Dans chacun des deux milieux, on a donc une vitesse de propagation :
r
c1 =
µ1
dans le milieu x < 0,
ρ1
r
c2 =
µ2
dans le milieu x > 0.
ρ2
(7)
On introduit les impédances σ1 et σ2 de chaque milieu :
z1 =
√
µ1 ρ1 dans le milieu x < 0,
z2 =
Dans la suite nous désignerons par :
4
√
µ2 ρ2 dans le milieu x > 0.
(8)
• u1 la restriction de u à x < 0,
• u2 la restriction de u à x > 0.
Nous nous contenterons de considérer le cas :
(
u0 est régulière à support compact dans x < 0,
u1 = 0.
(9)
On note [a, b] le support de u0 avec a < b < 0. On démontre qu’associées au problème
(5) les conditions de transmission suivantes sont vérifiées :
 1
 u (0, t) = u2 (0, t)
t > 0,
1
2
∂u
∂u
 µ1
(0, t) = µ2
(0, t) t > 0.
∂x
∂x
2.1
(10)
Solution exacte : coefficients de réflexion et transmission
Les données initiales étant strictement à support dans le domaine 1, x < 0, la formule de
D’Alembert nous dit que dans un premier temps deux ondes vont se propager à la vitesse
c1 : une vers les x < 0 et l’autre faire les x > 0. Pour cette dernière, la présence de la
discontinuité en x = 0 donne naissance à nouveau à deux ondes, une dite réfléchie u−
1 (x, t)
dans le domaine 1 se propageant vers les x < 0 à la vitesse c1 , l’autre dite transmise
u+
2 (x, t) dans le domaine 2 se propageant vers les x > 0 à la vitesse c2 . On démontre
que l’onde u−
1 (x, t) correspond à une donnée initiale fictive positionnée en [−b, −a] en
considérant l’ensemble du domaine composé des caractéristiques du milieu 1. De même,
l’onde u+
2 (x, t) correspond à une donnée initiale fictive positionnée en [c2 /c1 a, c2 /c1 b]
en considérant l’ensemble du domaine composé des caractéristiques du milieu 2. Afin
d’assurer la continuité à l’interface en tenant compte de l’onde initialement émise de u0 ,
il est naturel de considérer que la source fictive pour l’onde u−
1 (x, t) est proportionnelle
d’un facteur R avec le symétrisé de u0 par rapport à x = 0 (principe des images ou
miroir) et que la source fictive pour l’onde u+
2 (x, t) est proportionnelle d’un facteur T
au dilaté de u0 (pour prendre en compte la différence de vitesse).
Montrer que u définie par :
1
1
u(x, t) = {u0 (x + c1 t) + u0 (x − c1 t)} + Ru0 (−x − c1 t)
2
2
1
c1
u(x, t) = T u0
(x − c2 t)
2
c2
x>0
x<0
est la solution du problème de Cauchy (5) sous les conditions
1+R=T
z1 (1 − R) = z2 T
et
En déduire les valeurs de R et T .
2.2
Schéma numérique pour l’équation à coefficients variables
On considère que les vitesses et impédances des milieux sont données relativement à
une vitesse de référence (qui vaudra 1 par changement d’échelle en temps) et à une
5
impédance de référence : les coefficients c1 , c2 , z1 , z2 sont donc maintenant des nombres
sans dimension et l’équation se réécrit :
 ∂2u
∂
∂u
z



(x) 2 −
(zc)(x)
= 0, x ∈ IR,

 c
∂t
∂x
∂x
u(x, 0) = u0 (x),
x ∈ IR,



∂u


(x, 0) = 0,
x ∈ IR,
t > 0,
(11)
∂t
La modification du schéma ne pose de difficulté qu’à l’interface puisque le coefficient
z
n’y est pas défini. On s’inspire alors d’une méthode d’éléments finis en intégrant
c
l’équation multipliée par la fonction chapeau centrée en 0 sur l’intervalle ] − h, h[ et on
utilise ensuite pour le calcul de la matrice de masse la formule des trapèzes.
Ecrire le schéma obtenu. On vérifiera que si on avait approché le coefficient discontinu par une des deux valeurs (c’est à dire décaler d’une 1/2 couche la discontinuité
en ρ par rapport à celle en µ) le schéma peut devenir instable (prendre les valeurs 1,1
d’un côté et 2,2 de l’autre successivement à CFL α = 1 par exemple.) Pour tronquer le
domaine de calcul, on imposera à un bout une condition de Dirichlet (u=0) et à l’autre
de Neumann (u(J+1)=u(J))
Illustrer les différents cas possibles de discontinuité en comparant avec la solution exacte : c1 > c2 , c1 = c2 , c1 < c2 avec z1 > z2 , z1 = z2 , z1 < z2 .
2.3
Couches parfaitement adaptées
On appelle couches parfaitement adaptées deux milieux ayant la même impédance (on
parle d’adaptation d’impédance). D’après ce qui précède, une onde arrivant à l’interface
entre ces deux milieux est entièrement transmise. L’idée (géniale) de Béranger a été
d’utiliser cette propriété pour proposer un nouveau modèle de conditions absorbantes
au bord des domaines de calcul pour les méthodes volumiques temporelles. Les ondes
diffractées par les structures ne reviennent alors pas dans le domaine de calcul et donc
ne polluent pas la solution numérique. Evidemment, dans la couche fictive il faut les
annuler, ce qui est fait en utilisant des matériaux à pertes qui progressivement vont
atténuer l’onde. On se place dans le domaine fréquentiel eiωt et on considère une interface
entre les matériaux suivants :
ρ
ρ1 = ρ, µ1 = µ, x < 0 et ρ2 =
, µ2 = µ d(ω), x > 0
d(ω)
µ
et dans le milieu 2 c2 = c d(ω). Pour que le
ρ
milieu 2 soit absorbant, il suffit que d(ω) ait une partie imaginaire (avec le bon signe !).
Pour revenir facilement dans le domaine temporel, on demande une expression de d(ω)
iω
sous forme de fraction rationnelle de la variable iω. Soit donc d(ω) =
avec σ > 0.
iω + σ
Pour implémenter les PML (Perfect Matched Layers), il est plus aisé de considérer le
système du premier ordre associé à l’équation des ondes : Soit donc
r
La vitesse dans le milieu 1 est c1 = c =
v(x, ω) = µ(x, ω)
∂u
(x, ω)
∂x
et
w(x, ω) = iωu(x, ω)
6
qui sont continues à l’interface.
Montrer que le système de premier ordre associé dans le domaine temporel est

∂w
∂v


+ σ(x)v − z(x)c(x)
= 0, x ∈ IR, t > 0,


∂t
∂x


 ∂w
c(x) ∂v
+ σ(x)w −
= 0, x ∈ IR, t > 0,
∂t
z(x)
∂x




v(x, 0) = z(x)c(x)u00 (x), x ∈ IR,



w(x, 0) = u1 (x), x ∈ IR,
(12)
avec σ = 0 quand x < 0 et σ = σ > 0 quand x > 0, les données initiales étant situées
hors du domaine absorbant. On peut démontrer alors que la solution dans la couche est
à décroissance exponentielle :
u∗2 (x, t)
= u2 (x, t) exp −
Z x
σ(ξ)dξ
0
Implémenter le schéma d’ordre 1. On commencera par valider le programme sans
PML (on utilisera un schéma totalement centré en temps et en espace strictement équivalent au schéma saute mouton avec les inconnues v aux temps entier et position 1/2
entier et w aux temps 1/2 entier et position entier) et avec un seul milieu, puis avec
deux milieux puis on rajoutera les couches absorbantes des 2 côtés. On prendra soin de
traiter les coefficients discontinus par une méthode issue des éléments finis.
2.4
Couches parfaitement adaptées : σ variable
Si dans le cas continu, on peut montrer qu’il y a décroissance exponentielle de la solution
et réflexion parfaitement nulle à l’interface, il n’en est plus de même dans le cas discret.
Si σ est trop fort, la réflexion à la discontinuité n’est plus nulle. Si σ est trop faible, il
faut beaucoup de profondeur dans la couche pour que l’onde soit suffisamment atténuée
pour ne pas se réfléchir en fin de couche PML. On souhaite un traitement efficace (très
peu de réflexion dans le domaine de calcul) mais pas trop coûteux en nombre d’inconnues
donc en temps de calcul (couche PML fine).
L’idée est alors de prendre pour σ une fonction polynomiale continue allant de 0 au σ
maximum telle que
!
Z L
exp −
σ(ξ)dξ
=r
0
avec r l’absorption qu’on souhaite obtenir à l’extrémité de la couche là où il y aura la
réflexion terminale.
Implémenter les PML à coefficients variable et illustrer le compromis à choisir.
7