Algorithmique répartie

Algorithmique r´ epartie
C. Lavault
LIPN (UMR 7030), universit´e Paris 13
Al´ ea 
PARTIE I–ALGORITHMIQUE R ´ EPARTIE CLASSIQUE
Introduction
Algorithmes et protocoles fondamentaux (avec identit´ es)
Introduction aux r´ eseaux anonymes

Syst` eme r´ eparti S: processus-communication
Mod` ele de syst` eme r´ eparti S
Mod`ele de S:G= (P,L)(|P| =n,|L| =m)
graphe connexe, simple et sym´etrique.
IProcessus tout est local : ´etat, m´emoire, horloge, identit´e,
tampons, variables, calculs, etc.
ICommunication par messages
–point-`a-point/multipoint (voisins/diffusions)
–synchrone/asynchrone
synchronisation virtuelle : algorithme AEvent-Message Driven
asynchrone `a d´elais born´es (par τ) : algorithme Apartiellement
synchrone
IA-Savec/sans information globale statique/dynamique avec
identit´es/anonyme
ITerminaison de A?explicite/implicite
IFautes ? Pannes franches, fautes byzantines (processus, lignes),
d´efaillances transitoires/syst´emiques autostabilisation
IMesures de complexit´e de A?en messages/bits, en m´emoire, en
temps/phases-rondes

Algorithmes d’´ election sur un r´ eseau en anneau
´
Election sur un anneau unidirectionnel [Chang,Roberts-79]
et sa variante bidirectionnelle [CL-90]
Analyse de l’algorithme de Chang-Roberts
IComplexit´e en messages au pire :
Mmax(n) = X
1≤j≤n
j+n=n2
2+3n 2
IComplexit´e en messages hjien moyenne (j= 1,. . . , n)
pk,j=P(hjiparcourt kliens) (1≤k≤j≤n−1)
=j−1
k−1
n−1
k−1×n−j
n−k
E(Mn) = n+X
1≤j≤n−1X
1≤k≤j
k pkj +n=nHn+n
FGP de Mn:P(z) = n
in
iX
1≤k≤n−1n
i−k(z−1)k.

Analyse de l’algorithme de Chang-Roberts (fin)
E(Mn) = nln n+ (γ+1)n+1/2+On−1=Θ(nlog n).
var(Mn)=(2−H(2)
n)n2−nHn= (2−π2/6)n2−nln n−1+On−1.
Attention. Pour i6=`entiers de [n−1], les v.a. Miet M`ne sont
mˆeme pas deux `a deux ind´ependantes. Mais, les v.a. Mjsont
deux `a deux non corr´el´ees (1≤j≤n−1). Donc,
var(Mn) = X
1≤j≤n−1
var(Mj). . .
IComplexit´e en phases virtuelles (en «temps ») :
Tmax(n)=(n−1) + n+n=3n−1.
Algorithmes d’´ election sur un anneau (bis)
Deux ´elections : sur un anneau bidirectionnel [Franklin-82]
et unidirectionnel [Peterson-82], [Dolev,Klawe,Rodeh-82]

Analyse de l’algorithme de Franklin
Au pire/en moyenne : 2nmessages par phase, sauf terminaison :
n.
IComplexit´e en phases virtuelles et en messages au pire :
Mmax(n) = 2n×# maximal de phases, i.e. lorsque le nombre
de pics est maximal = bn/2c.
# maximal de phases = blg nc+1
Mmax(n) = 2nblg nc+n=Θ(nlog n).
IComplexit´e en messages en moyenne (ncandidats initiaux)
Moyenne et variance du nombre de pics d’une permutation
σ∈Sn[Carlitz-74], [Flajolet,Sedgewick-09] :
M(n)=(n−2)/3(n≥2) et V(n) = 2(n+1)/45 (n≥4).
Analyse de l’algorithme de Franklin (suite)
Distribution des pics sur l’anneau : Pc(n,k)=P(ncandidats, k
pics).
Distribution des kpics d’une permutation σ∈Sn:P(n,k).
Par une r´ecurrence simple, Pc(n,k) = P(n−1,k−1), et donc,
Mc(n) = n/3(n≥3) et Vc(n) = 2n/45 (n≥5).