Le condensateur - Gymnase français de Bienne

Chapitre 5 OSPH Le condensateur 31
5. Le condensateur
5.1. La capacité
Un condensateur est composé de deux conducteurs, appelés armatures, séparés par un isolant comme
de l'air ou du papier. On peut donner aux armatures des charges égales mais opposées en les reliant à
une pile, un dispositif comprenant des bornes entre lesquelles subsiste une différence de potentiel
constante. En réalité, la pile fait passer la charge d'une armature à l'autre.
Dans les schémas de circuits électriques, on utilise le symbole pour représenter le condensateur, et
le symbole pour la pile, la barre plus courte désignant la borne négative.
Le potentiel de chaque armature est le même que celui de la borne à laquelle elle est reliée puisqu'il n'y a
pas de différence de potentiel dans un conducteur (le fil et l'armature) en état d'équilibre statique. Par
conséquent, la différence de potentiel entre les armatures est la même que la différence de potentiel
entre les bornes de la pile. Lorsque la pile est déconnectée, les charges restent sur les plaques où elles
sont maintenues par leur attraction mutuelle.
La quantité de charges Qemmagasinée sur chaque armature d'un condensateur est directement
proportionnelle à la différence de potentiel
V
entre les plaques. On peut donc écrire
CUQ équation 5.1
Cétant une constante de proportionnalité appelé capacité du condensateur. La capacité d'un
condensateur est une mesure de la charge et de l'énergie électrique qu'il est capable d'emmagasiner. U
est la tension en les plaques, soit également la différence de potentiel
U V
.En exprimant l'équation
5.1 sous la forme :
U
Q
Céquation 5.2
on voit que la capacité nous renseigne sur la quantité de charges qu'un condensateur peut emmagasiner
par unité de différence de potentiel entre les armatures. L'unité SI de capacité est le farad (F). D'après
l'équation 5.2 :
1 farad = 1 coulomb/volt
Dans la pratique, un farad correspond à une très grande valeur. C'est
pourquoi les valeurs des capacités sont souvent données en picofarads
(1 pF = 10-12 F) ou en microfarads (FF 6
101  ). La capacité d'un
condensateur dépend, comme nous le verrons plus loin, de la
géométrie des armatures (leurs dimensions, leur forme et leur position
relative) et du milieu (comme l'air, le papier ou le plastique) compris
entre les armatures. La capacité ne dépend pas de Qou de U
séparément. Si l'on double la différence de potentiel, la charge
emmagasinée double également, et leur rapport ne change pas.
Le condensateur plan
Un des condensateurs les plus courants est composé de deux
armatures planes parallèles. Si la distance séparant les armatures est

Chapitre 5 OSPH Le condensateur 32
petite, on peut négliger les effets de bords aux extrémités et supposer que le champ est uniforme. Les
armatures, qui ont la même surface Set qui sont séparées par une distance d, portent des charges
opposées de même valeur Q. Ces charges sont situées sur les surfaces intérieures des armatures. Par un
calcul direct (voir démonstration faite en classe à partir du champ électrique produit par un plan infini)
on sait que le champ entre les armatures est donné par
S
Q
E
00 
où SQest la densité superficielle de charge. D'après l'équation 3.6, la différence de potentiel dans
un champ uniforme est EdU . Par conséquent, la capacité (UQC ) est donnée par :
d
S
C0 équation 5.3
D'après l'équation 5.3, on voit que la constante 0 peut s'exprimer en F/m:
mF
12
01085,8 
Dans la pratique, les condensateurs
plans sont faits de deux bandes de
feuille métallique séparées par des
feuilles isolantes en plastique. Ce
sandwich est enroulé sous forme de
cylindre, puis recouvert. Dans les
anciens postes de radio, on trouvait des
condensateurs plans d'un type différent,
composée de plaques semi-circulaires,
on pouvant faire varier l’aire des
plaques juxtaposées en faisant tourner l’un des ensembles.
Exemple 5.1 : Quelle est la capacité d’une sphère isolée de rayon R?
5.2. Les associations de condensateurs
Un condensateur est caractérisé par sa capacité et par la différence de
potentiel maximale qu'il est possible de lui appliquer sans
endommager l'isolant entre les armatures. Si l'on ne dispose pas de
condensateurs ayant la capacité requise, on peut relier entre eux
plusieurs condensateurs pour former différentes associations. Nous
allons essayer de déterminer la capacité équivalente de deux types
fondamentaux d'association.
Dans une association en série, deux éléments de circuit sont reliés
l'un à la suite de l'autre: ils ont une borne commune. La figure
représente deux condensateurs reliés en série avec une pile. Les
champs électriques dans les condensateurs sont de même sens, de
sorte que la différence de potentiel aux bornes de l'ensemble est
simplement égale à la somme des différences de potentiels, c'est-à-
dire:

Chapitre 5 OSPH Le condensateur 33
21 UUU 
La pile va faire passer des charges de l'armature aà l'armature d. Les armatures bet cvont acquérir des
charges induites qui doivent être égales et opposées puisqu'en fait, elles font partie d'un même
conducteur sur lequel la charge nette est nulle. La quantité de charge est la même sur chaque
condensateur. Les condensateurs sont équivalents à un seul condensateur éq C. La charge sur ce
condensateur est la même que la charge sur chacun des condensateurs de départ : 21 QQQ  . Donc :
21 C
Q
C
Q
C
Q
éq
Cela donne :
21
111 CCCéq
 équation 5.4
Dans une association en série, la capacité équivalente est toujours
inférieure à celle du condensateur qui la plus petite capacité.
Dans une association en parallèle, les deux éléments de circuit sont reliés
côte à côte: ils ont deux bornes communes. La figure représente deux
condensateurs montés en parallèle avec une pile. Les potentiels des bornes
de gauche doivent être les mêmes à l'état d'équilibre électrostatique parce
que les bornes sont reliées par des fils conducteurs dans lesquels le champ
est nul. Il en va également ainsi des potentiels des bornes de droite. Par conséquent, les différences de
potentiel entre les bornes des deux éléments sont les mêmes, c'est-à-dire 21 UUU  . La charge totale
sur chaque armature du condensateur équivalent est égale à la somme des charges individuelles:
UCUCCQQQ éq  )( 2121
On en déduit facilement que :
21 CCCéq  équation 5.5
Dans une association en parallèle, la capacité équivalente est toujours supérieure à la plus grande des
capacités intervenant dans le montage.
EXERCICE Vrai ou faux? Dans une association en série, la différence de potentiel est la plus grande
aux bornes du condensateur ayant la plus petite capacité.
5.3. L’énergie emmagasinée dans un condensateur
Cette énergie est égale au travail fournit, par exemple par une pile, pour charger le condensateur.
Supposons qu’à un instant donné, la quantité de charge sur chaque armature soit qet que la différence
de potentiel entre les armatures soit CqU . Le travail nécessaire pour faire passer un charge
infinitésimale dq de l’armature négative à l’armature positive est dqCqUdqdWEXT )( . La charge
circule dans les fils et non dans l’espace entre les armatures. Le travail total pour faire passer la charge Q
est :

Chapitre 5 OSPH Le condensateur 34
C
Q
dq
C
q
WQ
EXT
2
2
0 
Ce travail est emmagasiné sous forme d’énergie potentielle électrique. Comme Q=CU, on a :
2
2
1
2
1
2
2
CUQU
C
Q
Ep équation 5.6
L’équation 5.6 donne l’énergie potentielle du système de charges sur les deux plaques. Le facteur ½ qui
figure dans l’équation exprime le fait que la charge Qn’a pas été transportée d’un seul coup à travers la
différence de potentiel U. La charge ainsi que la différence de potentiel ont augmentés progressivement
jusqu’à leur valeur finale.
5.4. Exercices
1. Un condensateur plan de 240 pF a des
charges de ± 40 nC sur ses armatures qui
sont distantes de 0,2 mm. Déterminez: (a)
l'aire de chaque armature; (b) la différence
de potentiel entre les armatures; (c) le
champ électrique entre les armatures.
2. Dans un condensateur plan, les armatures
sont séparées de 0,8 mm. Les armatures
portent des charges ± 60 nC et un champ
électrique d'intensité 4
3 10
V m
règne
entre les armatures. Déterminez: (a) la
différence de potentiel; (b) la capacité; (c)
l'aire d'une armature.
3. Un condensateur plan de 24 pF a des
armatures dont l'aire est égale à 0,06 m2. (a)
Quelle est la différence de potentiel
nécessaire pour provoquer une décharge
entre les armatures? L'intensité du champ
disruptif dans l'air est 6
3 10
V m
. (b)
Quelle serait la charge sur les armatures
correspondant à cette différence de
potentiel?
4. Un condensateur de capacité FC 4
1est
relié aux bornes d'une pile de 20 V. On
enlève la pile et on relie le condensateur à
un autre condensateur de capacité
FC 6
2. Quelles sont les charges et les
différences de potentiel finales des
condensateurs?
5. Un condensateur variable comprend sept
armatures en forme de demi-cercles de
rayon 2cm (voir figure p. 42). Les
armatures sont distantes de 1mm. Trouvez
la capacité lorsque l'angle est: (a) nul; (b)
égal à 45°; (c) égal à 135°.
6. Etant donné deux condensateurs de
capacités FC 1,0
1et FC 25,0 2, et
une pile de 12 V, trouvez la charge et la
différence de potentiel pour chacun s'ils
sont reliés (a) en série; (b) en parallèle avec
la pile.
7. Les trois condensateurs de la figure ont une
capacité équivalente de F 4,12 . Trouvez
1
C.
8. Deux condensateurs de capacité FC 2
1
et FC 4
2sont reliés en série avec une
pile de 18 V. On enlève la pile et on relie
entre elles les armatures de même signe.
Trouvez la charge et la différence de
potentiel finales pour chaque condensateur.
9. Deux condensateurs de capacité FC 2
1
et FC 6
2sont en parallèle avec une pile
de 60 V. On enlève la pile et on relie entre
elles les armatures de signes contraires.
Trouvez la charge et la différence de
potentiel finales pour chaque condensateur.
10. Un condensateur de capacité FC 3
1a
une différence de potentiel initiale de 12 V

Chapitre 5 OSPH Le condensateur 35
et un deuxième condensateur, FC 5
2a
une différence de potentiel initiale de 10 V.
Trouvez les charges et différences de
potentiel finales pour chaque condensateur
si leurs armatures sont reliées de la manière
suivante: (a) armatures de même signe
reliées ensemble; (b) armatures de signes
contraires reliées ensemble.
11. On vous donne trois condensateurs de
capacité FC 1
1, FC 2 2et
FC 4
3. Combien de capacités
différentes pouvez-vous produire avec ces
trois condensateurs ? Indiquez les valeurs
obtenues.
12. Quelle est la capacité requise pour
emmagasiner 100 MeV sous une différence
de potentiel de 12 Ventre les armatures ?
13. Deux condensateurs, FC 2
1et
FC 5
2, sont reliés en série avec une
pile de 20 V. On enlève la pile et on relie
entre elles les armatures de même signe.
Trouvez les énergies initiale et finale pour
chaque condensateur.
14. Deux condensateurs FC 2
1et
FC 5
2, sont en parallèle avec une pile
de 40 V. On enlève la pile et on relie entre
elles les armatures de signes contraires.
Trouvez les énergies initiale et finale pour
chaque condensateur.
15. On considère l'association de condensateurs
représentée à la figure. Déterminez l'énergie
emmagasinée dans (a) le condensateur de
F 5; (b) le condensateur de F 4 .