Le condensateur - Gymnase français de Bienne
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Chapitre 5 OSPH 5. Le condensateur 31 Le condensateur 5.1. La capacité Un condensateur est composé de deux conducteurs, appelés armatures, séparés par un isolant comme de l'air ou du papier. On peut donner aux armatures des charges égales mais opposées en les reliant à une pile, un dispositif comprenant des bornes entre lesquelles subsiste une différence de potentiel constante. En réalité, la pile fait passer la charge d'une armature à l'autre. Dans les schémas de circuits électriques, on utilise le symbole pour représenter le condensateur, et le symbole pour la pile, la barre plus courte désignant la borne négative. Le potentiel de chaque armature est le même que celui de la borne à laquelle elle est reliée puisqu'il n'y a pas de différence de potentiel dans un conducteur (le fil et l'armature) en état d'équilibre statique. Par conséquent, la différence de potentiel entre les armatures est la même que la différence de potentiel entre les bornes de la pile. Lorsque la pile est déconnectée, les charges restent sur les plaques où elles sont maintenues par leur attraction mutuelle. La quantité de charges Q emmagasinée sur chaque armature d'un condensateur est directement proportionnelle à la différence de potentiel V entre les plaques. On peut donc écrire Q CU équation 5.1 C étant une constante de proportionnalité appelé capacité du condensateur. La capacité d'un condensateur est une mesure de la charge et de l'énergie électrique qu'il est capable d'emmagasiner. U est la tension en les plaques, soit également la différence de potentiel U V . En exprimant l'équation 5.1 sous la forme : C Q U équation 5.2 on voit que la capacité nous renseigne sur la quantité de charges qu'un condensateur peut emmagasiner par unité de différence de potentiel entre les armatures. L'unité SI de capacité est le farad (F). D'après l'équation 5.2 : 1 farad = 1 coulomb/volt Dans la pratique, un farad correspond à une très grande valeur. C'est pourquoi les valeurs des capacités sont souvent données en picofarads (1 pF = 10-12 F) ou en microfarads (1F 10 6 F ). La capacité d'un condensateur dépend, comme nous le verrons plus loin, de la géométrie des armatures (leurs dimensions, leur forme et leur position relative) et du milieu (comme l'air, le papier ou le plastique) compris entre les armatures. La capacité ne dépend pas de Q ou de U séparément. Si l'on double la différence de potentiel, la charge emmagasinée double également, et leur rapport ne change pas. Le condensateur plan Un des condensateurs les plus courants est composé de deux armatures planes parallèles. Si la distance séparant les armatures est Chapitre 5 OSPH Le condensateur 32 petite, on peut négliger les effets de bords aux extrémités et supposer que le champ est uniforme. Les armatures, qui ont la même surface S et qui sont séparées par une distance d, portent des charges opposées de même valeur Q. Ces charges sont situées sur les surfaces intérieures des armatures. Par un calcul direct (voir démonstration faite en classe à partir du champ électrique produit par un plan infini) on sait que le champ entre les armatures est donné par E Q 0 0S où Q S est la densité superficielle de charge. D'après l'équation 3.6, la différence de potentiel dans un champ uniforme est U Ed . Par conséquent, la capacité ( C Q U ) est donnée par : C 0S d équation 5.3 D'après l'équation 5.3, on voit que la constante 0 peut s'exprimer en F/m: 0 8,85 10 12 F m Dans la pratique, les condensateurs plans sont faits de deux bandes de feuille métallique séparées par des feuilles isolantes en plastique. Ce sandwich est enroulé sous forme de cylindre, puis recouvert. Dans les anciens postes de radio, on trouvait des condensateurs plans d'un type différent, composée de plaques semi-circulaires, on pouvant faire varier l’aire des plaques juxtaposées en faisant tourner l’un des ensembles. Exemple 5.1 : Quelle est la capacité d’une sphère isolée de rayon R ? 5.2. Les associations de condensateurs Un condensateur est caractérisé par sa capacité et par la différence de potentiel maximale qu'il est possible de lui appliquer sans endommager l'isolant entre les armatures. Si l'on ne dispose pas de condensateurs ayant la capacité requise, on peut relier entre eux plusieurs condensateurs pour former différentes associations. Nous allons essayer de déterminer la capacité équivalente de deux types fondamentaux d'association. Dans une association en série, deux éléments de circuit sont reliés l'un à la suite de l'autre: ils ont une borne commune. La figure représente deux condensateurs reliés en série avec une pile. Les champs électriques dans les condensateurs sont de même sens, de sorte que la différence de potentiel aux bornes de l'ensemble est simplement égale à la somme des différences de potentiels, c'est-àdire: Chapitre 5 OSPH Le condensateur 33 U U1 U 2 La pile va faire passer des charges de l'armature a à l'armature d. Les armatures b et c vont acquérir des charges induites qui doivent être égales et opposées puisqu'en fait, elles font partie d'un même conducteur sur lequel la charge nette est nulle. La quantité de charge est la même sur chaque condensateur. Les condensateurs sont équivalents à un seul condensateur C éq . La charge sur ce condensateur est la même que la charge sur chacun des condensateurs de départ : Q Q1 Q 2 . Donc : Q Q Q C éq C1 C 2 Cela donne : 1 1 1 C éq C1 C 2 équation 5.4 Dans une association en série, la capacité équivalente est toujours inférieure à celle du condensateur qui la plus petite capacité. Dans une association en parallèle, les deux éléments de circuit sont reliés côte à côte: ils ont deux bornes communes. La figure représente deux condensateurs montés en parallèle avec une pile. Les potentiels des bornes de gauche doivent être les mêmes à l'état d'équilibre électrostatique parce que les bornes sont reliées par des fils conducteurs dans lesquels le champ est nul. Il en va également ainsi des potentiels des bornes de droite. Par conséquent, les différences de potentiel entre les bornes des deux éléments sont les mêmes, c'est-à-dire U U 1 U 2 . La charge totale sur chaque armature du condensateur équivalent est égale à la somme des charges individuelles: Q Q1 Q 2 (C1 C 2 )U C éqU On en déduit facilement que : C éq C1 C 2 équation 5.5 Dans une association en parallèle, la capacité équivalente est toujours supérieure à la plus grande des capacités intervenant dans le montage. EXERCICE Vrai ou faux? Dans une association en série, la différence de potentiel est la plus grande aux bornes du condensateur ayant la plus petite capacité. 5.3. L’énergie emmagasinée dans un condensateur Cette énergie est égale au travail fournit, par exemple par une pile, pour charger le condensateur. Supposons qu’à un instant donné, la quantité de charge sur chaque armature soit q et que la différence de potentiel entre les armatures soit U q C . Le travail nécessaire pour faire passer un charge infinitésimale dq de l’armature négative à l’armature positive est dWEXT Udq (q C )dq . La charge circule dans les fils et non dans l’espace entre les armatures. Le travail total pour faire passer la charge Q est : Chapitre 5 OSPH Le condensateur W EXT Q 0 34 q Q2 dq C 2C Ce travail est emmagasiné sous forme d’énergie potentielle électrique. Comme Q=CU, on a : Ep Q2 1 QU 12 CU 2 2C 2 équation 5.6 L’équation 5.6 donne l’énergie potentielle du système de charges sur les deux plaques. Le facteur ½ qui figure dans l’équation exprime le fait que la charge Q n’a pas été transportée d’un seul coup à travers la différence de potentiel U. La charge ainsi que la différence de potentiel ont augmentés progressivement jusqu’à leur valeur finale. 1. 2. 3. 4. 5. 5.4. Exercices Un condensateur plan de 240 pF a des charges de ± 40 nC sur ses armatures qui sont distantes de 0,2 mm. Déterminez: (a) l'aire de chaque armature; (b) la différence de potentiel entre les armatures; (c) le champ électrique entre les armatures. Dans un condensateur plan, les armatures sont séparées de 0,8 mm. Les armatures portent des charges ± 60 nC et un champ électrique d'intensité 3 104 V m règne entre les armatures. Déterminez: (a) la différence de potentiel; (b) la capacité; (c) l'aire d'une armature. Un condensateur plan de 24 pF a des armatures dont l'aire est égale à 0,06 m2. (a) Quelle est la différence de potentiel nécessaire pour provoquer une décharge entre les armatures? L'intensité du champ disruptif dans l'air est 3 106 V m . (b) Quelle serait la charge sur les armatures correspondant à cette différence de potentiel? Un condensateur de capacité C1 4 F est relié aux bornes d'une pile de 20 V. On enlève la pile et on relie le condensateur à un autre condensateur de capacité C 2 6 F . Quelles sont les charges et les différences de potentiel finales des condensateurs? Un condensateur variable comprend sept armatures en forme de demi-cercles de rayon 2 cm (voir figure p. 42). Les armatures sont distantes de 1 mm. Trouvez la capacité lorsque l'angle est: (a) nul; (b) égal à 45°; (c) égal à 135°. 6. Etant donné deux condensateurs de capacités C1 0,1 F et C 2 0, 25 F , et une pile de 12 V, trouvez la charge et la différence de potentiel pour chacun s'ils sont reliés (a) en série; (b) en parallèle avec la pile. 7. Les trois condensateurs de la figure ont une capacité équivalente de 12, 4 F . Trouvez C1 . 8. Deux condensateurs de capacité C1 2 F et C 2 4 F sont reliés en série avec une pile de 18 V. On enlève la pile et on relie entre elles les armatures de même signe. Trouvez la charge et la différence de potentiel finales pour chaque condensateur. 9. Deux condensateurs de capacité C1 2 F et C 2 6 F sont en parallèle avec une pile de 60 V. On enlève la pile et on relie entre elles les armatures de signes contraires. Trouvez la charge et la différence de potentiel finales pour chaque condensateur. 10. Un condensateur de capacité C1 3 F a une différence de potentiel initiale de 12 V Chapitre 5 OSPH 11. 12. 13. 14. 15. Le condensateur et un deuxième condensateur, C 2 5 F a une différence de potentiel initiale de 10 V. Trouvez les charges et différences de potentiel finales pour chaque condensateur si leurs armatures sont reliées de la manière suivante: (a) armatures de même signe reliées ensemble; (b) armatures de signes contraires reliées ensemble. On vous donne trois condensateurs de capacité C1 1 F , C 2 2 F et C 3 4 F . Combien de capacités différentes pouvez-vous produire avec ces trois condensateurs ? Indiquez les valeurs obtenues. Quelle est la capacité requise pour emmagasiner 100 MeV sous une différence de potentiel de 12 V entre les armatures ? Deux condensateurs, C1 2 F et C 2 5 F , sont reliés en série avec une pile de 20 V. On enlève la pile et on relie entre elles les armatures de même signe. Trouvez les énergies initiale et finale pour chaque condensateur. Deux condensateurs C1 2 F et C 2 5 F , sont en parallèle avec une pile de 40 V. On enlève la pile et on relie entre elles les armatures de signes contraires. Trouvez les énergies initiale et finale pour chaque condensateur. On considère l'association de condensateurs représentée à la figure. Déterminez l'énergie emmagasinée dans (a) le condensateur de 5 F ; (b) le condensateur de 4 F . 35 Électricité et magnétisme Le condensateur Gymnase Français Page 36
