Graphes et arbres

IF111 - Algorithmes et structures de données-Graphes-abres
Exercice 1
1. Dessiner l’arborescence binaire ayant 10 noeuds {0, 1, 2, ..., 9}, telle que le parcours infixe et le parcours
postfixe de cette arborescence produisent respectivement les suites suivantes : 9, 3, 1, 0, 4, 2, 6, 7, 8, 5
(infixe) et 9, 1, 4, 0, 3, 6, 7, 5, 8, 2 (postfixe). Dire quel est le raisonnement utilisé pour arriver à la
solution.
Dire quelle est la hauteur du noeud 1 et 2 dans l’arborescence dessinée et quelle est la hauteur de
l’arborescence elle même. Enfin dire si l’arborescence dessinée est complète.
2. Ecrire la suite d’entiers obtenue par le parcours préfixe de l’arborescence obtenue dans la question precedente. Ecrire un algorithme recursif qui prend en entrée une arborescence et affiche les valeurs des nœuds
dans l’ordre du parcours préfixe de l’arborescence. L’ algorithme utilisera les fonctions estV ide(T ) qui
retourne vrai si l’arborescence T est vide, val(T ) qui retourne l’étiquette de la racine d’un arbre non vide
et f ilsgauche(T ) et f ilsdroite(T ) qui retournent respectivement la sous-arbre gauche et le sous-arbre
droit de l’arborescence T .
Exercice 2
On veut concevoir des algorithmes récursifs pour calculer des propriétés d’un arbre binaire donné en entrée. Les
algorithmes peuvent utiliser les fonctions estV ide(T ) qui retourne vrai si l’arborescence T est vide, f ilsgauche(T )
et f ilsdroit(T ) qui retournent respectivement le sous-arbre gauche et le sous-arbre droit de l’arbre T . Décrire
l’idée des algorithmes et en écrire le pseudo-code.
1. Concevoir un algorithme récursif, nommé Hauteur(T ), qui calcul la hauteur d’une arborescence binaire
T donnée en entrée. Si l’arborescence est vide l’algorithme retournera −1. L’algorithme s’appuie sur la
technique diviser pour régner.
2. Concevoir un algorithme récursif qui calcule le nombre de feuilles d’une arborescence binaire donnée en
entrée.
Exercice 3
On considère le graphe G défini par la matrice d’adjacence

0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

1 0 1 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
suivante :

0 0 0
0 1 1

1 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 1
0 1 0
1. Dessinez ce graphe.
2. Un graphe est dit connexe si pour toute paire de sommets s, t, il existe un chemin allant de s à t. Indiquez
si le graphe précédant est connexe. Ecrivez un algorithme qui teste si un graphe non orienté G(V, E) est
connexe ou non.
3. Une composante connexe d’un graphe est un sous-graphe connexe tel que chaque sommet de la composante
connexe n’est relié à aucun sommet n’appartenant pas à cette composante connexe. Donnez la liste des
composantes connexes du graphe G.
1
4. Ecrire un algorithme qui calcule la liste des composantes connexes d’un graphe non orienté. On pourra
coder cette information en indiquant pour chaque sommet du graphe le numéro de la composante connexe
à laquelle il appartient. On peut supposer que les sommets sont numérotés de 1 à n.
2