PCSI Les Ulis TD1 CI2 : S.L.C.I Asservissement en vitesse d’une caméra mobile Mise en situation : L’étude porte sur la caméra de poursuite SPEEDCAM utilisée aux derniers championnats du monde d’athlétisme à Berlin pour filmer le sprint final des athlètes en tête de course. La caméra est fixée sur un chariot se déplaçant sur un rail. Un capteur optique permet de mesurer à chaque instant la position de la caméra par rapport au coureur. Un calculateur détermine alors la vitesse réelle de l’athlète et en déduit la consigne nécessaire à fournir à la caméra pour suivre le coureur. Cette dernière est transmise sous forme de tension de commande à l’asservissement du chariot. Le chariot est asservi en vitesse comme le montre le schéma fonctionnel suivant. Pour cela, un capteur de vitesse mesure en permanence la vitesse de la caméra par rapport au sol pour pouvoir la comparer à la vitesse de consigne. Toutes les informations provenant des capteurs sont converties en tension afin de pouvoir être traitées. position de l’athlète par rapport à la caméra Tension consigne Calculateur Tension moteur + - Ampli. Tension mesurée Chariot +caméra Vitesse Capteur de vitesse Figure 1 Partie 1 : réponse du système non asservi On appelle S le système composé de la caméra et du chariot mobile v(t) est la vitesse du chariot, c’est la sortie du système. um(t) est la tension du moteur, c’est l’entrée du système. On peut donc modéliser S par le schéma bloc suivant : um (t ) Chariot + caméra Sciences Industrielles pour l’Ingénieur v(t ) 1 PCSI Les Ulis TD1 CI2 : S.L.C.I L’objectif de cette partie est de déterminer la réponse d’un tel système aux entrées types. Il faut donc dans un premier temps déterminer le modèle de comportement qui permet de créer une relation entre um (t ) et v(t ) . M : masse du système S Fm : force motrice de l’ensemble S, cette force est proportionnelle à la tension d’alimentation du moteur du chariot, Fm = K m .um (t ) Fr : force de frottement qui s’oppose au déplacement du chariot, cette force est proportionnelle à la vitesse du chariot, Fr = µ.v(t ) um (t ) : tension d’alimentation du moteur Questions : Question 1 : Réaliser les diagrammes SADT A-0 et SADT A0 du système speedcam En appliquant le théorème de la résultante dynamique à l’ensemble S (la somme des forces appliquées est égale à la masse multipliée par l’accélération), démontrer que l’équation de mouvement du chariot peut s’écrire sous la forme : Question 2 : τ. dv(t ) + v(t ) = K .u m (t ) dt Déterminer les valeurs de τ et de K en fonction des données de l’énoncé. Pour la suite de l’étude on prendra : τ = 0.01s et K = 10m.s −1.V −1 Question 3 : Appliquer la transformée de Laplace à cette équation en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. Montrer que V(p) peut se mettre sous la forme V ( p ) = H ( p )U m ( p ) et déterminer H(p). Question 4 : Modéliser le système S sous forme de schéma bloc en prenant Um(p) comme entrée et V(p) comme sortie. Question 5 : Déterminer la réponse impulsionnelle vδ (t ) (réponse à un dirac) du système et représentez approximativement cette réponse. Question 6 : Déterminer la réponse indicielle vu (t ) (réponse à un échelon unitaire) du système S. Question 7 : Justifier l’allure de cette courbe à partir de la réponse impulsionnelle (figure 2) théorique obtenue à l’aide d’un logiciel de simulation. Sciences Industrielles pour l’Ingénieur 2 PCSI Les Ulis TD1 CI2 : S.L.C.I Figure 2 Question 8 : Déterminer la réponse du système à une rampe vr (t ) fonction de K et de τ On prendra r (t ) = t.u (t ) Partie 2 : performances du système asservi Pour améliorer les performances du système, il est nécessaire de l’asservir en vitesse selon le schéma de principe suivant : Vc J Uc + ε(t) KA V Um H(p) Ue J On extrait du cahier des charges les performances attendues de la caméra : • Erreur statique nulle • Temps de réponse à 5% : 0.08s Le chariot est actionné par un moteur électrique piloté par sa tension d’entrée um(t). Cette tension est obtenue à l’aide d’un amplificateur fournissant une tension um(t) proportionnelle à la tension de commande ε(t) (le gain KA est réglable et peut au maximum être égal à 20). Un capteur de vitesse mesure la vitesse v(t) et renvoi une information de tension ue(t) proportionnelle à la vitesse v(t) (gain J = 0,3 V.s/m). Cette tension est ensuite comparée à la tension de consigne Uc pour former l’écart ε(t). Sciences Industrielles pour l’Ingénieur 3 PCSI Les Ulis Question 9 : TD1 CI2 : S.L.C.I Expliciter à partir de schémas les critères de performance du cahier des charges présentés. En utilisant la formule de Black (que vous redémontrerez), calculer littéralement la V(p) fonction de transfert HT (p) = du chariot asservi. Vc (p) Question 10 : On cherche maintenant à caractériser les performances du système asservi, c’est à dire la rapidité et la précision. Question 11 : En calculant la valeur à convergence de v(t) suite à une entrée en échelon v c (t) = u(t) , déterminer si le système est précis (pour ce calcul on prendra Ka=1). Comment augmenter cette précision? Est-il possible de satisfaire le cahier des charges en terme de précision. Question 12 : Déterminer la rapidité du système. Comment augmenter la rapidité ? Quelle sera la conséquence sur la précision ? Est-il possible de satisfaire le cahier des charges en terme de rapidité. Sciences Industrielles pour l’Ingénieur 4