Calculabilité,correction,terminaison et compléxité

Calculabilité, correction, terminaison et compléxité
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Sommaire
Calculabilité1.
Terminaison et correction d'algorithmes2.
Complexité3.
Exemple : tri4.
Pour aller plus loin5.
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Calculabilité
fonction calculable : une fonction est calculable s'il existe une méthode précise
qui, étant donné un argument , permet d'obtenir l'image en un nombre fini
d'étapes.
Plusieurs formalisations mathématiques de ce que peut être une méthode de calcul
existent et sont équivalentes :
fonctions récursives
machine de Turing
lambda-calcul
machine à compteurs
automate cellulaire
…
Elles définissent exactement les mêmes fonctions calculables.
f
x
f(x)
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Qu'est ce qui est programmable?
Considérons les fonctions du type :
La plupart des fonctions que nous connaissons sont programmables :
f:ℕ → ℕ
f(x) =
x
2
f(x) = + 1
x
2
f(x) = cos(x)
premier(x) = {
1
0
si x est premier
sinon
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Nombre de programmes ???
Un exemple : la fonction constante égale à .
Si on remplace par n'importe quel entier on peut en écrire une infinité. On peut
donc les numéroter (en partant du plus court et dans l'ordre lexicographique)
Il y a donc autant de programmes qu'il y a de nombres entiers. En désignant par
l'ensembles des programmes de on obtient :
représente l'infini dénombrable
0
function f(n){return n−n+x−x; }
x
ℕ → ℕ
card() = card(ℕ) =
ℵ
0
ℵ
0
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