Regroupement de territoires dans le contexte de l

Regroupement de territoires dans le contexte de
l’assurance automobile
Samuel Perreault
Jean-Philippe Le Cavalier
Université Laval
Octobre 2014
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
1 / 13
Le défi
Le défi :
Le défi est de regrouper les territoires initiaux de façon à rendre les groupes
finaux le plus homogène possible.
On veut minimiser un certain critère : D :=
P
i
wi (λi − yi )2 .
• wi est l’exposition associée au territoire i ;
• λi est la prime initiale associée au territoire i ;
• yi est la prime ajustée associée au territoire i (prime finale).
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
2 / 13
Un algorithme de type k-means classique
Un algorithme de type k-means classique (exemple)
0
●
●
1
2
●
3
4
5
●
6
7
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
8
9 10
●
●
12
● ● ●
14
Actulab
16
●
18
20
●
22
● ●
24
● ●
26
Octobre 2014
3 / 13
Un algorithme de type k-means classique
Un algorithme de type k-means classique (exemple)
Red mean = 14.1
0
●
●
1
2
Green mean = 15.4
●
3
4
5
●
6
7
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
8
9 10
●
●
12
Blue mean = 16.8
● ● ●
14
Actulab
16
●
18
20
●
22
● ●
24
● ●
26
Octobre 2014
3 / 13
Un algorithme de type k-means classique
Un algorithme de type k-means classique (exemple)
Red mean = 7
0
●
●
1
2
Green mean = 15.5
●
3
4
5
●
6
7
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
8
9 10
●
●
12
Blue mean = 23.83
● ● ●
14
Actulab
16
●
18
20
●
22
● ●
24
● ●
26
Octobre 2014
3 / 13
Un algorithme de type k-means classique
Un algorithme de type k-means classique (exemple)
Red mean = 5.8
0
●
●
1
2
Green mean = 14.88
●
3
4
5
●
6
7
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
8
9 10
●
●
12
Blue mean = 23.83
● ● ●
14
Actulab
16
●
18
20
●
22
● ●
24
● ●
26
Octobre 2014
3 / 13
Un algorithme de type k-means classique
Un algorithme de type k-means classique (exemple)
Red mean = 4.5
0
●
●
1
2
Green mean = 14.1
●
3
4
5
●
6
7
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
8
9 10
●
●
12
Blue mean = 23.83
● ● ●
14
Actulab
16
●
18
20
●
22
● ●
24
● ●
26
Octobre 2014
3 / 13
Un algorithme de type k-means classique
Un algorithme de type k-means classique (exemple)
Red mean = 2.67
0
●
●
1
2
Green mean = 13.42
●
3
4
5
●
6
7
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
8
9 10
●
●
12
Blue mean = 23.83
● ● ●
14
Actulab
16
●
18
20
●
22
● ●
24
● ●
26
Octobre 2014
3 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Initialisation
(sélection aléatoire)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Initialization
(expansion)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1
D = 510, 771, 107
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
4 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 2
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
5 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 2
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
5 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 2
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
5 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 2
D = 532, 487, 853
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
5 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Optimisation
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 1 (suite)
D = 69, 066, 748
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
6 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 2 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
7 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 2 (suite)
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
7 / 13
L’algorithme modifié
Exemple 2 (suite)
D = 108, 263, 053
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
7 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
Étape additionnelle
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 10, 408
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 69, 066, 748
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 10, 408
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 1
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 10, 408
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 10, 408
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 59, 634, 652
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 11, 177
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 59, 634, 652
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 17, 203
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 59, 634, 652
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 17, 203
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 1
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 17, 203
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 17, 203
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 59, 634, 652
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 59, 634, 652
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 1
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 2
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 2
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 1
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 1
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 25, 985
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 47, 877, 278
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 47, 877, 278
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 1
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 2
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 4
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 4
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 4
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 4
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 3
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 2
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 1
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 1
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 1
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 24, 692
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 58, 198, 865
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 21, 284
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 47, 877, 278
Octobre 2014
8 / 13
Étape additionnelle
Exemple 1 (suite)
es = 16, 726
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
# groupes disponibles : 0
Actulab
D = 45, 342, 835
Octobre 2014
8 / 13
Traiter la contrainte spécifique concernant Toronto
Application en parallèle de l’algorithme + optimisation finale
Application en parallèle de l’algorithme
On tranche la base de données en deux : Toronto et hors-Toronto.
Optimisation finale sur la base de données complète
Condition additionnelle : aucun nouveau groupe ne peut entrer dans
Toronto.
→ Il est permis, pour un groupe dans Toronto de s’étendre à l’extérieur de
la métropole.
Perreault & Le Cavalier (ULaval)
Actulab
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Conclusion
La méthode
Le but
Obtenir la variation intra-groupe la plus petite.
Base : l’algorithme des k-moyennes
Construit spécifiquement pour cette tâche.
Modifications
• Initialisation
• Ré-assignation
• Étape additionnelle
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Conclusion
Désavantages et améliorations
Long !
• Créer un seul résultat est long.
• Beaucoup de simulation nécessaires.
Améliorations faites depuis le temps...
→ Réduction du temps nécessaire pour effectuer une seule simulation.
→ Amélioration du résultat finale.
→ Réduction du nombre de simulations nécessaires pour obtenir un bon
résultat.
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Conclusion
Références I
Forgy, E. W. (1965).
Cluster analysis of multivariate data : efficiency versus interpretability
of classifications.
Biometrics, 21:768–769.
Lance, G. N. et Williams, W. T. (1967).
A general theory of classificatory sorting strategies ii. clustering
systems.
The computer journal, 10(3):271–277.
Lloyd, S. (1982).
Least squares quantization in pcm.
Information Theory, IEEE Transactions on, 28(2):129–137.
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Conclusion
Références II
MacQueen, J. (1967).
Some methods for classification and analysis of multivariate
observations.
In Proceedings of the fifth Berkeley symposium on mathematical
statistics and probability, volume 1, page 14. California, USA.
Steinley, D. (2006).
K-means clustering : a half-century synthesis.
British Journal of Mathematical and Statistical Psychology,
59(1):1–34.
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