À la recherche des interactions entre électrons dans les conducteurs

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Transport électronique quantique

Le transport électronique dans les métaux ou les

semiconducteurs des puces électroniques standards est

généralement très bien décrit par une théorie ne prenant

en compte que les interactions entre les électrons et le

réseau cristallin d’atomes, et pas les interactions entre

électrons qui sont pourtant des particules chargées.

Plutôt que de simples électrons, les briques de base du

transport électronique dans le modèle des liquides de

Fermi sont des quasi-électrons. Leur charge est la charge

élémentaire de l’électron e pour l’accélération par le

champ électrique et leur masse effective m* est le plus

souvent réduite par rapport à la masse m des électrons

dans le vide. Les quasi-électrons interagissent peu entre

eux car la charge négative de l’électron est en perma-

nence étroitement écrantée au cœur du conducteur par

un nuage chargé positivement. Ce nuage provient d’une

diminution locale de la densité électronique en présence

des noyaux atomiques du réseau cristallin chargés posi-

tivement. Lorsque la taille des conducteurs est fortement

réduite les interactions prennent d’autant plus d’impor-

tance que le confinement rend les distances inter-élec-

troniques plus petites et que l’écrantage de la charge

électronique n’est plus aussi efficace. Les interactions

résiduelles entre quasi-électrons peuvent toutefois être

prises en compte comme des petites perturbations dans

Les porteurs de charge dans les conducteurs électriques sont généralement bien décrits par des particules

électroniques pratiquement libres malgré l’interaction de Coulomb. Ce n’est pas le cas dans les conducteurs

unidimensionnels où l’effet des interactions est exacerbé par le confinement et où des phénomènes

spectaculaires comme la séparation du spin et de la charge de l’électron apparaissent. Afin de sonder

les interactions dans un conducteur unidimensionnel, nous avons réalisé une expérience dans le régime

de l’effet Hall quantique. Une technique spectroscopique donnant accès à la distribution en énergie des

électrons du conducteur unidimensionnel mis hors d’équilibre révèle les transferts d’énergie qui résultent

des interactions.

À la recherche des interactions

entre électrons dans les

conducteurs unidimensionnels

Article proposé par :

A. Anthore, [email protected]

H. le Sueur, Helene.le-S[email protected]

C. Altimiras, C[email protected]

U. Gennser, Ulf.G[email protected]

D. Mailly, Dominique.M[email protected]

F. Pierre, F[email protected]

Laboratoire de Photonique et de Nanostructures, UPR 20, CNRS/Univ. Paris Diderot, Marcoussis

La dualité onde-corpuscule implique que les élec-

trons dans les conducteurs sont décrits à la fois par

des particules et par des ondes. Cette dualité se

manifeste particulièrement dans les circuits de petite

taille, lorsqu’une ou plusieurs dimensions sont compa-

rables à la longueur d’onde électronique. Il se produit

alors des résonances électroniques, de manière analogue

aux résonances acoustiques dans une pièce de petite taille.

Augmenter le confinement dans ces circuits a aussi pour

effet d’augmenter les interactions entre électrons, ce qui

peut bouleverser profondément la nature des états électro-

niques dans le conducteur. Les conséquences sont parfois

spectaculaires : bien que les électrons soient un des

constituants élémentaires de la nature, indivisibles, ils

apparaissent dans les conducteurs unidimensionnels

comme si leur composante de charge et leur composante

de spin étaient séparées. En général, les interactions enri-

chissent considérablement la palette de phénomènes phy-

siques en créant des états de la matière corrélés et en

intriquant les degrés de liberté en présence. De plus, les

interactions sont responsables de la perte de cohérence

quantique, en brouillant la phase quantique d’un électron,

par exemple, par le couplage à son environnement. De ce

fait, elles jouent un rôle essentiel en physique mésosco-

pique, à la frontière entre le monde macroscopique décrit

par la mécanique classique et le monde microscopique

décrit par la mécanique quantique.

Mécanique quantique À la recherche des interactions entre électrons dans les conducteurs unidimensionnels

système électronique est d’y injecter de l’énergie en excès.

Une façon précise de caractériser la relaxation vers l’équi-

libre est de mesurer la probabilité d’occupation des états

électroniques en fonction de leur énergie notée f(E). En

particulier, à l’équilibre, le système aura tendance à mini-

miser son énergie totale et les états de plus haute éner-

gie ne seront pas occupés. Hors équilibre, si l’injection

d’énergie est suffisante, ces mêmes états seront occupés.

Lors de la relaxation vers l’équilibre due aux interactions,

des transferts d’énergie auront lieu pour dépeupler les

états de plus haute énergie. Observer la façon dont f(E)

se déforme pour converger vers une fonction d’équilibre

fournit donc des informations sur les mécanismes d’inte-

raction, par exemple à travers d’éventuelles fuites d’éner-

gie hors du système électronique sondé, mais aussi sur la

nature des excitations électroniques.

Encadré Canaux de bord unidimensionnels de l’effet Hall quantique

L’effet Hall quantique se produit dans les conducteurs

bidimensionnels faiblement désordonnés soumis à un fort

champ magnétique perpendiculaire. Ce phénomène se

manifeste par l’existence de plateaux de la résistance de Hall

en fonction du champ magnétique, établis à des fractions

entières du quantum de résistance

K=/ 25,8

2kΩ

(figure E1a). Dans ce régime, le courant se propage le long

des bords, dans des canaux considérés comme la réalisation

quasi idéale de conducteurs unidimensionnels balistiques.

Ceci se comprend intuitivement au vu des trajectoires

électroniques classiques (figure E1b, haut). Sous l’influence

du champ magnétique B, les électrons au cœur du conduc-

teur suivent des orbites circulaires de très petite taille – typi-

quement 10 nm pour B = 10 T

– à la fréquence cyclotron

wc = eB/m*. Avec des électrons si localisés, on s’attend à ce

que le cœur de l’échantillon soit un mauvais conducteur. Au

contraire, les électrons proches du bord rebondissent contre

les parois, se propageant ainsi de proche en proche le long

du bord de manière chirale, c’est-à-dire selon une direction

unique qui dépend du bord de l’échantillon.

La mécanique quantique a pour effet de discréti-

ser l’énergie cinétique associée aux orbites cyclotrons en

niveaux dits de Landau qui sont espacés par l’énergie 

(figure E1b, bas). Dans cette image, le régime de l’effet Hall

quantique correspond à la situation où l’énergie de Fermi EF,

en dessous de laquelle tous les niveaux électroniques sont

occupés, est située entre deux niveaux de telle sorte que les

niveaux de Landau sont tous soit entièrement remplis d’élec-

trons, soit entièrement vides au cœur de l’échantillon. En

conséquence, il n’existe pas au cœur de l’échantillon d’exci-

tations électroniques de basse énergie (proche de EF) contri-

buant au transport. Les seules excitations électroniques de

basse énergie sont portées par les canaux de bord situés au

croisement entre EF et un niveau de Landau courbé sur les

bords par le potentiel de confinement. Il y a donc autant de

canaux de bord co-propageants que le nombre n de niveaux

de Landau remplis au cœur de l’échantillon. Comme les

canaux suivent des lignes équipotentielles unidimension-

nelles et comme la rétro-diffusion de la charge est rendue

impossible par la chiralité, chacun contribue en parallèle

comme un canal unidimensionnel parfaitement balistique

de conductance universelle 1/RK. Ce modèle simple per-

met de décrire l’effet Hall quantique entier sans prendre en

compte les interactions.

Figure E1 – (a) Haut : photographie optique d’une barre de Hall typique et schéma électrique. Bas : résistance de Hall RHall = VHall/I et résistance longitu-

dinale RL = VL/I mesurée en fonction du champ magnétique sur un gaz bidimensionnel d’électrons. (b) Haut : plan bidimensionnel d’électrons. Les lignes

continues représentent les trajectoires classiques au cœur de l’échantillon et sur les bords. Les tirets représentent les canaux de bord. Bas : énergie des

niveaux de Landau en fonction de la position y dans le gaz bidimensionnel.

Mécanique quantique

À la recherche des interactions entre électrons dans les conducteurs unidimensionnels

peu de conducteurs purement unidimensionnels qui

soient faciles à connecter électriquement pour sonder le

transport. De plus, il faut que ces conducteurs soient très

peu désordonnés : à une dimension, le moindre défaut

est incontournable, ce qui rend les matériaux très faci-

lement isolants. Les nanotubes de carbone sont d’excel-

lents candidats comme conducteur unidimensionnel

et ont soulevé un intérêt majeur depuis les années 90.

Cependant la plupart des mesures de transport dans ces

systèmes sont dominées par les effets de longueur finie

et les reprises de contact, donnant accès à la physique à

zéro dimension ou à celle des contacts tridimensionnels

plutôt qu’à la physique unidimensionnelle. Les canaux de

bord de l’effet Hall quantique dans les gaz bidimension-

nels d’électrons (voir encadré), faciles à connecter et moins

sensibles au désordre, sont des composants modèles pour

étudier les excitations électroniques en régime de trans-

port purement unidimensionnel. Ils ont été utilisés dans

l’expérience décrite ci-dessous, où une technique spec-

troscopique permet de sonder l’effet des interactions via

les transferts d’énergie qu’elles génèrent.

Spectroscopie hors-équilibre

des canaux de bord de l’effet Hall

quantique

Une manière directe de sonder expérimentalement

les interactions est de mettre le système électronique

hors d’équilibre et d’observer son retour vers l’équilibre.

En général le plus simple pour mettre hors d’équilibre le

la plupart des cas et le modèle des liquides de Fermi

reste valable.

Cette description simple en terme de quasi-électrons

libres est mise à mal dans les conducteurs unidimension-

nels, plus étroits que la longueur d’onde électronique. Ceci

se comprend intuitivement en réalisant qu’un électron

essayant de se propager doit repousser ses voisins le long

du conducteur à cause des interactions électron-électron.

Ce n’est pas le cas dans les conducteurs de plus grande

dimensionnalité où les électrons voisins peuvent facile-

ment se contourner. Puisque le déplacement d’un électron

individuel est impossible dans un conducteur unidimen-

sionnel, les excitations électroniques sont de nature collec-

tive. De plus, le couplage entre électrons et trous (absence

d’électron) unidimensionnels de spin opposés et de même

impulsion donne lieu à des excitations électroniques col-

lectives portant soit une charge et aucun spin soit un spin

et aucune charge. Ces deux types d’excitations se propagent

à des vitesses différentes car les interactions entre élec-

trons affectent essentiellement la vitesse des excitations de

charge. En conséquence, la charge et le spin d’un électron

injecté dans un conducteur unidimensionnel s’éloignent

progressivement, on parle de séparation spin-charge. Plus

généralement, le modèle de Tomonaga-Luttinger décrit les

propriétés de transport des excitations électroniques de

petite énergie dans ces systèmes.

Bien que les prédictions théoriques existent depuis

plus de 50 ans quant aux excitations électroniques dans

les conducteurs unidimensionnels, ce n’est que très

récemment qu’elles ont commencé à être mises en évi-

dence expérimentalement. Il existe en effet dans la nature

Figure 1 – Dispositif expérimental. Gauche : représentation de l’échantillon en perspective. Le gaz bidimensionnel d’électrons (gris clair) créé à l’interface entre deux

semiconducteurs GaAs et AlGaAs est enterré à 105 nm en dessous de la surface. Les grilles (roses) sont posées à la surface et isolées galvaniquement du gaz d’élec-

trons. Polarisées négativement, elles définissent des zones interdites pour les électrons du gaz bidimensionnel (gris foncé). Le chemin des canaux de bord chiraux

en présence d’un champ magnétique de 4,25 Tesla est représenté par des lignes noires et orienté par des flèches. Les interconnexions entre canaux de bord sont

représentées par des lignes pointillées. La reprise de contact vers les canaux de bord se fait par l’intermédiaire de contacts ohmiques (jaunes). Les principales sources

de tension sont indiquées. Les fonctions de distribution en énergie des états électroniques attendues dans les canaux de bord sont représentées dans les encadrés.

Droite : image au microscope électronique de l’échantillon.

Mécanique quantique

À la recherche des interactions entre électrons dans les conducteurs unidimensionnels

système électronique est d’y injecter de l’énergie en excès.

Une façon précise de caractériser la relaxation vers l’équi-

libre est de mesurer la probabilité d’occupation des états

électroniques en fonction de leur énergie notée f(E). En

particulier, à l’équilibre, le système aura tendance à mini-

miser son énergie totale et les états de plus haute éner-

gie ne seront pas occupés. Hors équilibre, si l’injection

d’énergie est suffisante, ces mêmes états seront occupés.

Lors de la relaxation vers l’équilibre due aux interactions,

des transferts d’énergie auront lieu pour dépeupler les

états de plus haute énergie. Observer la façon dont f(E)

se déforme pour converger vers une fonction d’équilibre

fournit donc des informations sur les mécanismes d’inte-

raction, par exemple à travers d’éventuelles fuites d’éner-

gie hors du système électronique sondé, mais aussi sur la

nature des excitations électroniques.

Encadré Canaux de bord unidimensionnels de l’effet Hall quantique

L’effet Hall quantique se produit dans les conducteurs

bidimensionnels faiblement désordonnés soumis à un fort

champ magnétique perpendiculaire. Ce phénomène se

manifeste par l’existence de plateaux de la résistance de Hall

en fonction du champ magnétique, établis à des fractions

entières du quantum de résistance Rhe

K=/ 25,8

2kΩ

(figure E1a). Dans ce régime, le courant se propage le long

des bords, dans des canaux considérés comme la réalisation

quasi idéale de conducteurs unidimensionnels balistiques.

Ceci se comprend intuitivement au vu des trajectoires

électroniques classiques (figure E1b, haut). Sous l’influence

du champ magnétique B, les électrons au cœur du conduc-

teur suivent des orbites circulaires de très petite taille – typi-

quement 10 nm pour B = 10 T

– à la fréquence cyclotron

wc = eB/m*. Avec des électrons si localisés, on s’attend à ce

que le cœur de l’échantillon soit un mauvais conducteur. Au

contraire, les électrons proches du bord rebondissent contre

les parois, se propageant ainsi de proche en proche le long

du bord de manière chirale, c’est-à-dire selon une direction

unique qui dépend du bord de l’échantillon.

La mécanique quantique a pour effet de discréti-

ser l’énergie cinétique associée aux orbites cyclotrons en

niveaux dits de Landau qui sont espacés par l’énergie 

(figure E1b, bas). Dans cette image, le régime de l’effet Hall

quantique correspond à la situation où l’énergie de Fermi EF,

en dessous de laquelle tous les niveaux électroniques sont

occupés, est située entre deux niveaux de telle sorte que les

niveaux de Landau sont tous soit entièrement remplis d’élec-

trons, soit entièrement vides au cœur de l’échantillon. En

conséquence, il n’existe pas au cœur de l’échantillon d’exci-

tations électroniques de basse énergie (proche de EF) contri-

buant au transport. Les seules excitations électroniques de

basse énergie sont portées par les canaux de bord situés au

croisement entre EF et un niveau de Landau courbé sur les

bords par le potentiel de confinement. Il y a donc autant de

canaux de bord co-propageants que le nombre n de niveaux

de Landau remplis au cœur de l’échantillon. Comme les

canaux suivent des lignes équipotentielles unidimension-

nelles et comme la rétro-diffusion de la charge est rendue

impossible par la chiralité, chacun contribue en parallèle

comme un canal unidimensionnel parfaitement balistique

de conductance universelle 1/RK. Ce modèle simple per-

met de décrire l’effet Hall quantique entier sans prendre en

compte les interactions.

Figure E1 – (a) Haut : photographie optique d’une barre de Hall typique et schéma électrique. Bas : résistance de Hall RHall = VHall/I et résistance longitu-

dinale RL = VL/I mesurée en fonction du champ magnétique sur un gaz bidimensionnel d’électrons. (b) Haut : plan bidimensionnel d’électrons. Les lignes

continues représentent les trajectoires classiques au cœur de l’échantillon et sur les bords. Les tirets représentent les canaux de bord. Bas : énergie des

niveaux de Landau en fonction de la position y dans le gaz bidimensionnel.

Mécanique quantique À la recherche des interactions entre électrons dans les conducteurs unidimensionnels

peu de conducteurs purement unidimensionnels qui

soient faciles à connecter électriquement pour sonder le

transport. De plus, il faut que ces conducteurs soient très

peu désordonnés : à une dimension, le moindre défaut

est incontournable, ce qui rend les matériaux très faci-

lement isolants. Les nanotubes de carbone sont d’excel-

lents candidats comme conducteur unidimensionnel

et ont soulevé un intérêt majeur depuis les années 90.

Cependant la plupart des mesures de transport dans ces

systèmes sont dominées par les effets de longueur finie

et les reprises de contact, donnant accès à la physique à

zéro dimension ou à celle des contacts tridimensionnels

plutôt qu’à la physique unidimensionnelle. Les canaux de

bord de l’effet Hall quantique dans les gaz bidimension-

nels d’électrons (voir encadré), faciles à connecter et moins

sensibles au désordre, sont des composants modèles pour

étudier les excitations électroniques en régime de trans-

port purement unidimensionnel. Ils ont été utilisés dans

l’expérience décrite ci-dessous, où une technique spec-

troscopique permet de sonder l’effet des interactions via

les transferts d’énergie qu’elles génèrent.

Spectroscopie hors-équilibre

des canaux de bord de l’effet Hall

quantique

Une manière directe de sonder expérimentalement

les interactions est de mettre le système électronique

hors d’équilibre et d’observer son retour vers l’équilibre.

En général le plus simple pour mettre hors d’équilibre le

la plupart des cas et le modèle des liquides de Fermi

reste valable.

Cette description simple en terme de quasi-électrons

libres est mise à mal dans les conducteurs unidimension-

nels, plus étroits que la longueur d’onde électronique. Ceci

se comprend intuitivement en réalisant qu’un électron

essayant de se propager doit repousser ses voisins le long

du conducteur à cause des interactions électron-électron.

Ce n’est pas le cas dans les conducteurs de plus grande

dimensionnalité où les électrons voisins peuvent facile-

ment se contourner. Puisque le déplacement d’un électron

individuel est impossible dans un conducteur unidimen-

sionnel, les excitations électroniques sont de nature collec-

tive. De plus, le couplage entre électrons et trous (absence

d’électron) unidimensionnels de spin opposés et de même

impulsion donne lieu à des excitations électroniques col-

lectives portant soit une charge et aucun spin soit un spin

et aucune charge. Ces deux types d’excitations se propagent

à des vitesses différentes car les interactions entre élec-

trons affectent essentiellement la vitesse des excitations de

charge. En conséquence, la charge et le spin d’un électron

injecté dans un conducteur unidimensionnel s’éloignent

progressivement, on parle de séparation spin-charge. Plus

généralement, le modèle de Tomonaga-Luttinger décrit les

propriétés de transport des excitations électroniques de

petite énergie dans ces systèmes.

Bien que les prédictions théoriques existent depuis

plus de 50 ans quant aux excitations électroniques dans

les conducteurs unidimensionnels, ce n’est que très

récemment qu’elles ont commencé à être mises en évi-

dence expérimentalement. Il existe en effet dans la nature

Figure 1 – Dispositif expérimental. Gauche : représentation de l’échantillon en perspective. Le gaz bidimensionnel d’électrons (gris clair) créé à l’interface entre deux

semiconducteurs GaAs et AlGaAs est enterré à 105 nm en dessous de la surface. Les grilles (roses) sont posées à la surface et isolées galvaniquement du gaz d’élec-

trons. Polarisées négativement, elles définissent des zones interdites pour les électrons du gaz bidimensionnel (gris foncé). Le chemin des canaux de bord chiraux

en présence d’un champ magnétique de 4,25 Tesla est représenté par des lignes noires et orienté par des flèches. Les interconnexions entre canaux de bord sont

représentées par des lignes pointillées. La reprise de contact vers les canaux de bord se fait par l’intermédiaire de contacts ohmiques (jaunes). Les principales sources

de tension sont indiquées. Les fonctions de distribution en énergie des états électroniques attendues dans les canaux de bord sont représentées dans les encadrés.

Droite : image au microscope électronique de l’échantillon.

Mécanique quantique À la recherche des interactions entre électrons dans les conducteurs unidimensionnels

tracées en fonction de dV et de la tension de grille VG,

pour une transmission du contact ponctuel quantique

réglée à t ≈ 0,4. Les parties claires correspondent aux

bords de marche des fonctions de distribution en éner-

gie. On peut voir deux bords de marche similaires dont

la distance en tension de grille VG, et donc en énergie, est

proportionnelle à dV. La figure 3b présente les fonctions de

distribution en énergie extraites des données brutes pour

différentes tensions dV. Lorsque les deux canaux se ren-

contrant au niveau du contact ponctuel quantique sont à

la même tension, la fonction de distribution mesurée est

une fonction de Fermi à la température de 43 mK, proche

de la température dans le réfrigérateur à dilution où est

fixé l’échantillon. Quand on augmente dV, la fonction de

distribution prend la forme d’une double marche dont la

hauteur (0,4) et la largeur (≈ edV) obéissent aux prédic-

tions théoriques sans interactions.

Pour observer le retour progressif de la distribution

électronique vers l’équilibre, la distance entre la création

Figure 2 – Spectroscopie d’états électroniques hors-équilibre. (a) Schéma d’une boîte quantique couplée à deux canaux de bord. La boîte quantique est définie dans le

gaz bidimensionnel à l’aide de grilles couplées électrostatiquement (en vert et violet). Les courants ID et IS circulent dans les canaux de bord rouge et bleu. Le courant

Iboîte mesuré est le courant traversant la boîte quantique. Les dimensions de cette boîte quantique sont suffisamment petites pour que l’espacement entre niveaux

électroniques discrets soit plus grand que la gamme d’énergie explorée. Il n’y a alors qu’un seul niveau électronique discret actif. (b) Description schématique de la

spectroscopie des fonctions de distribution en énergie fD,S(E) dans les électrodes de drain (D) et source (S) avec un seul niveau électronique discret d’énergie Eniv(VG)

dans la boîte quantique. La distribution en énergie dans le drain est supposée hors d’équilibre avec une forme de double marche tandis que la distribution en énergie

dans la source est ici une fonction de Fermi d’équilibre. (c) Lorsque la boîte quantique est très faiblement couplée à la source et au drain (régime tunnel séquentiel),

le courant électrique Iboîte la traversant est directement proportionnel à fS(Eniv) – fD(Eniv). Les fonctions fD,S(E) sont obtenues en balayant Eniv par effet de champ

avec la tension VG. Sur la gamme d’énergie sondée, on a ∂∂−EVe

niv/

, où hG est un bras de levier qui dépend du couplage capacitif grille-boîte quantique.

(d) La transconductance ∂Iboîte/∂VG, signal mesuré dans l’expérience, est proportionnelle à ∂(fS – fD)/∂E.

Figure 3 – Test expérimental de la technique de spectroscopie hors équilibre. Pour pouvoir ignorer l’effet des interactions le long du canal de bord, la longueur

de propagation est ici très courte (0,8 mm). (a) Données expérimentales de conductance différentielle de la boîte quantique ∂Iboîte/∂VG représentées en échelle de

couleur (le sombre correspond à un signal faible et le clair à un signal négatif) en fonction de VG la tension de grille de la boîte quantique, et de dV différence de

tension entre les deux canaux de bord mélangés au niveau du contact ponctuel pour générer en sortie une fonction de distribution électronique hors équilibre. (b)

Symboles : fonctions de distribution f (E) mesurées en fonction de l’énergie E des états électroniques pour différentes tensions de polarisation du contact ponctuel

quantique dV. Les fonctions de distribution sont obtenues en intégrant sur VG les données expérimentales de la figure de gauche aux valeurs de dV indiquées par les

tirets colorés. La conversion entre la tension VG et l’énergie E se fait grâce à une calibration indépendante. La ligne noire correspond à la fonction de Fermi calculée

à une température T = 43 mK.

Mécanique quantique

À la recherche des interactions entre électrons dans les conducteurs unidimensionnels

Le système électronique que nous avons sondé de cette

manière est un canal de bord du régime de l’effet Hall

quantique (voir encadré). Ces canaux guidant le courant

électrique le long des bords de l’échantillon sont générale-

ment considérés comme des conducteurs unidimension-

nels parfaitement balistiques. En effet, sous l’influence du

champ magnétique, le courant ne s’y propage que dans

un seul sens et, en conséquence, l’inévitable désordre rési-

duel ne peut pas entraîner une rétro-diffusion du courant

dans le canal. Dans ces canaux de bord, il est prédit que

les porteurs de charge vérifient le principe d’exclusion de

Pauli, qui stipule qu’un même état quantique peut être

occupé au plus par un fermion. Le remplissage des états

accessibles à ces porteurs, qui sont quantifiés par leur

caractère ondulatoire, combiné à la taille finie du circuit,

se fait donc par énergie croissante et l’énergie du dernier

niveau occupé à température nulle est appelée énergie de

Fermi EF. A l’équilibre à une température T, la probabi-

lité d’occupation des états électroniques, aussi appelée

fonction de distribution en énergie, est alors une fonction

de Fermi fE eEE

FkBT

()=1/(

()/

+− où kB est la constante

de Boltzmann. Hors d’équilibre, cette distribution peut

prendre des formes très différentes.

En pratique, le dispositif utilisé pour obtenir le régime

de l’effet Hall quantique est un gaz bidimensionnel

d’électrons formé à l’interface de deux semiconducteurs

d’AlGaAs et de GaAs de très grande pureté, réalisés par

épitaxie par jets moléculaires. Le nombre de canaux

le long de chaque bord du gaz d’électrons est contrôlé

par la valeur du champ magnétique B (voir encadré).

L’échantillon mesuré est représenté sur la figure 1. Le gaz

bidimensionnel est séparé de la surface de l’échantillon

par 105 nm de matériaux isolants. Pour établir un contact

électrique avec les canaux au bord du gaz bidimension-

nel, on fait diffuser un alliage d’or et de germanium au

travers de la couche isolante (en jaune sur la figure 1). Le

chemin suivi par les canaux de bord est ensuite défini en

appliquant une tension négative à des grilles métalliques

déposées à la surface de l’échantillon : une tension suf-

fisamment négative repousse le gaz d’électrons présent

sous la grille, ce qui forme des bords artificiels le long des-

quels se propagent les canaux.

Pour mettre un canal de bord hors équilibre, nous

mélangeons les populations électroniques de deux canaux

de bord portés à des potentiels électriques différents au

moyen d’une petite constriction (voir figure 1, panneau de

gauche). Cette petite constriction, appelée contact ponc-

tuel quantique, réalise l’équivalent électronique d’un sépa-

rateur de faisceau optique. Elle est réalisée au moyen de

deux grilles métalliques en regard situées au dessus du

gaz bidimensionnel d’électrons (voir figure 1, panneau

de droite). En appliquant une tension de polarisation de

plus en plus négative aux grilles, une zone confinée de

plus en plus étroite entre les deux grilles est formée par

répulsion électrostatique. La probabilité de transmission

t des canaux de bord incidents à travers le contact ponc-

tuel quantique peut être complètement ajustée avec la ten-

sion de grille, entre 1 (passant) et 0 (fermé). Dans chaque

canal de bord provenant directement d’un contact élec-

trique polarisé à une tension V, le système électronique

est à l’équilibre thermique : la distribution en énergie

électronique y a la forme d’une fonction de Fermi, c’est-

à-dire une marche arrondie à cause de la température T

sur une largeur d’environ kBT et décalée en énergie par

le potentiel électrochimique appliqué –eV. L’énergie de

chaque état électronique transférée à travers la constric-

tion est constante. En conséquence, la distribution en

énergie dans les canaux de bord sortant est simplement la

somme des deux fonctions de Fermi incidentes pondérées

par les probabilités de transmission t et de réflexion 1 – t

pour que les canaux de bord incidents aboutissent dans le

canal sortant considéré. Il en résulte une distribution en

énergie en forme de double marche en sortie du contact

ponctuel quantique (voir figure 1, panneau de gauche),

très différente d’une fonction de Fermi à l’équilibre.

Le deuxième élément clé est la possibilité de mesurer

la fonction de distribution en énergie des électrons dans

un canal de bord. Pour cela nous utilisons une boîte quan-

tique, c’est à dire une zone très confinée du gaz bidimen-

sionnel d’électrons, comme filtre passe bande en énergie

(voir figure 2 ). En effet, le caractère ondulatoire des élec-

trons associé aux petites dimensions entraîne une quan-

tification de l’énergie des niveaux électroniques dans la

boîte quantique, de façon analogue à la quantification des

niveaux dans un atome. Lorsque la boîte quantique est fai-

blement couplée à des canaux de bord, les seuls électrons

qui peuvent la traverser sont ceux qui ont l’énergie d’un

des niveaux discrets. Dans l’expérience, la boîte quantique

est suffisamment petite pour qu’un seul niveau d’éner-

gie Eniv soit accessible dans la gamme d’énergie explorée.

Dans ce cas, le courant Iboîte à travers la boîte quantique

est directement lié à la probabilité de présence f(Eniv) d’un

électron à l’énergie Eniv. L’énergie Eniv est modulable par

effet de champ en modifiant la tension VG appliquée à

une grille métallique couplée capacitivement au niveau

discret de la boîte. Afin d’obtenir la distribution en éner-

gie f(E), il suffit alors de mesurer

Gboîte

()

en balayant VG.

Relaxation en énergie

des états de bord

Afin de démontrer la validité de la spectroscopie

hors d’équilibre décrite ci-dessus, nous avons d’abord

mesuré la fonction de distribution suffisamment près

du contact ponctuel quantique d’injection pour pouvoir

ignorer les interactions survenant lors de la propaga-

tion jusqu’à la boîte quantique de mesure. Dans ce cas,

nous nous attendons donc à observer une fonction de

distribution en forme de double marche dont la hauteur

des marches est donnée par la transmission du contact

ponctuel quantique – caractérisée indépendamment – et

la distance entre marches est définie par la tension dV

entre canaux de bord. La figure 3a présente en échelle de

couleur des données expérimentales brutes

∂∂IV

Gboîte/,

proportionnelles dans cette gamme d’énergie à ∂f/∂E,