Courant et résistances

Chapitre 6
Courant et résistance
Objectif intermédiaire 3.2
Connaître les caractéristiques électriques d'une résistance, les groupements de résistances et la
façon dont la tension, le courant et la puissance se distribuent entre elles.
Courant et densité de courant
Le courant circulant dans un fil est la quantité de charge traversant une section de ce fil par unité de temps.
Si le débit de charge dans le fil est constant, le courant se calcule avec
I=
où
et
I
∆Q
∆t
∆Q
∆t
est le courant en ampères,
est la quantité de charge traversant une section du fil en coulombs
est l'intervalle de temps en secondes.
Si le débit de charge dans le fil n'est pas constant, le courant se calcule avec
I=
où
et
I
dq
dt
dQ
dt
est le courant en ampères,
est la quantité de charge infinitésimale traversant une section du fil en coulombs
est l'intervalle de temps infinitésimal en secondes.
I
A
I
I
Par convention, le courant est dans la direction du mouvement des charges positives ou dans la direction
inverse du mouvement des charges négatives.
Le courant traversant une section du fil peut être calculé à partir de la concentration des charges et la
vitesse de dérive des charges dans le fil. La vitesse de dérive des charges dans le fil est
vd =
∆l
∆t
Chapitre 6 : Courant et résistance
où
vd
∆l
∆t
Page C6-2
est la vitesse de dérive en mètres par seconde,
est la longueur de fil parcourue par les charges en mètres
et
est l'intervalle de temps en secondes.
La quantité de charge présente dans la longueur ∆l
de fil est
∆l
∆Q = n ( A ∆l ) q
où
∆Q
n
A∆l
et
q
→
vd
est la quantité de charge en
coulombs,
est le nombre de particules
chargées par mètre cube,
est le volume d'une longueur ∆l
de fil en mètres cubes
est la charge d'une particule en
coulombs.
Sachant que toutes les charges
q
→
vd
q
q
v→
d
→
vd
I
q
A
∆Q présentes dans la longueur ∆l de fil traverseront une section du fil
durant l'intervalle de temps ∆t , le courant dans le fil est
I=
où
et
I
n
A∆l
q
vd
∆Q n A ∆l q
=
= n A q vd
∆t
∆t
est le courant en ampères,
est le nombre de particules chargées par mètre cube,
est le volume d'une longueur ∆l de fil en mètres cubes,
est la charge d'une particule en coulombs
est la vitesse de dérive en mètres par seconde.
La densité de courant est le courant par unité de surface du fil; soit
J=
où
et
J
I
A
n
q
vd
I n A q vd
=
= n q vd
A
A
est la densité de courant en ampères par mètre carré,
est le courant en ampères,
est la section du matériau en mètres carrés,
est le nombre de particules chargées par mètre cube,
est la charge d'une particule en coulombs
est la vitesse de dérive en mètres par seconde.
Dans un espace où les charges se déplacent dans une direction quelconque, la densité de courant est un
vecteur, comme la vitesse de dérive, donné par
où
r
J
r
r
J = n q vd
est le vecteur densité de courant en ampères par mètre carré,
Chapitre 6 : Courant et résistance
et
1.
n
q
r
vd
Page C6-3
est le nombre de particules chargées par mètre cube,
est la charge d'une particule en coulombs
est le vecteur vitesse de dérive en mètres par seconde.
Le débit de charge circulant dans un fil est donné par l'équation
-t
q(t) = 60 e10 µ C
où
t
s'exprime en secondes.
La section du fil est de 0,75 mm2.
a)
Quelle est l'équation du courant dans le fil ?
b)
Quelle est l'équation de la densité de courant dans le fil ?
2.
Un fil possède une concentration de 1⋅1028 électrons de conduction par mètre cube. Le
courant dans le fil est de 10 mA et la section du fil est de 0,50 mm2.
Rappel: 1 ch. élé. = 1,602⋅10-19 C
a)
Quelle est la densité de courant ?
b)
Quelle est la vitesse de dérive des électrons ?
Résistivité
La résistivité est une caratéristique électrique qui permet de distinguer entre les conducteurs et les isolants.
Plus la résistivité d'un matériau est grande, plus ce matériau est isolant. Pour plusieurs matériaux, la
résistivité varie linéairement en fonction de la température; soit
ρ = ρ0 [ 1 + α ( T - T 0 ) ]
où
et
ρ
ρ0
α
T
T0
T en ohms-mètres,
est la résistivité à la température T0 en ohms-mètres,
est la résistivité à la température
est le coefficient thermique de résistivité en Celcius inverses,
est la température en Celsius
est la température de référence en Celsius.
La résistivité indique l'importance de l'opposition d'un matériau au passage du courant. Dans un conducteur,
les électrons de conduction se déplacent sous l'influence d'un champ électrique. Dans leur mouvement, les
électrons sont freinés par la présence des atomes dans leur chemin. Dans les matériaux ohmiques, la
densité de courant est proportionnelle au champ électrique; soit
r
r E
J=
où
r
J
r
E
ρ
est le vecteur densité de courant en ampères par mètre carré,
est le vecteur champ électrique en volts par mètre
Chapitre 6 : Courant et résistance
et
ρ
Page C6-4
est la résistivité en ohms-mètres.
De plus, la résistivité varie beaucoup d'un matériau à un autre comme le montre le tableau ci-dessous.
Résistivité à T0=20 °C (voir tab. 5.1 - Serway)
matériau
Argent
Cuivre
Or
Aluminium
Tungstène
Fer
Platine
Plomb
Nichrome
Carbone
Germanium
Silicium
Verre
Caoutchouc dur
Souffre
Quartz fondu
Résistivité
Coefficient thermique
Ω⋅m
(°C)-1
1,59⋅10-8
1,70⋅10-8
2,44⋅10-8
2,82⋅10-8
5,60⋅10-8
10⋅10-8
11⋅10-8
22⋅10-8
150⋅10-8
3,50⋅10-5
0,46
640
1010 à ⋅1014
≈1013
≈1015
75⋅1016
3,80⋅10-3
3,90⋅10-3
3,40⋅10-3
3,90⋅10-3
4,50⋅10-3
5,0⋅10-3
3,92⋅10-3
3,90⋅10-3
0,40⋅10-3
-0,50⋅10-3
-48⋅10-3
-75⋅10-3
Par ailleurs, la conductivité est l'inverse de la résistivité; ainsi
σ=
où
et
3.
σ
ρ
r
J
r
E
r
r
1
⇒ J=σE
ρ
est la conductivité en ohms-mètres inverses,
est la résistivité en ohms-mètres,
est le vecteur densité de courant en ampères par mètre carré,
est le vecteur champ électrique en volts par mètre.
Un fil de cuivre est traversé par un courant de 50 A. La température du cuivre est de 35°C. Le
diamètre du fil de cuivre est de 1,63 mm (calibre AWG #8).
Note: Le calibre AWG #8 est une grosseur du fil employé pour les cuisinières électriques. Le courant
admissible dans ce fil est de 40 A afin qu'il ne chauffe pas au-dela de la limite de tolérance.
a)
Quelle est la densité de courant dans le fil ?
b)
Quelle est la résistivité du fil ?
c)
Quelle est la conductivité du fil ?
d)
Quel est le champ électrique dans le fil ?
Résistance
Chapitre 6 : Courant et résistance
Page C6-5
Un circuit électrique est un circuit dans lequel circule le courant. Des fils électriques sont utilisés pour relier
les éléments de circuit entre eux.Les fils électriques opposent une résistance au passage du courant qui est
généralement négligeable. Des éléments de circuit appelés résistances s'opposent au passage du courant.
V
A
La mesure de l'opposition au passage du courant
dans un circuit électrique s'appelle également la
résistance.La résistance se calcule avec
R=
ρl
A
où
R
ρ
est la résistance du matériau en ohms,
est la résistivité du matériau en ohms-mètres,
et
l
A
est la longueur du matériau en mètres
est la section du matériau en mètres carrés.
I
l
ε
Note: On suppose que le courant voyage dans le sens de la longueur dans le matériau et que la section du
matériau est constante.
4.
Un bloc d'ardoise est utilisé comme résistance. La longueur du bloc est de 50 cm et la section
du bloc est de 625 cm2. La section du bloc est de forme carré.La résistivité de l'ardoise est de
1⋅106 Ω⋅m.
a)
Quelle est la résistance du bloc d'ardoise si le courant traverse le bloc dans le sens de la longueur ?
b)
Quelle est la résistance du bloc d'ardoise si le courant traverse le bloc dans le sens de la largeur ?
5.
Un certain matériau rectangulaire de 5 cm de longueur, de 4 cm de largeur et de 2 cm
d'épaisseur est traversé par un courant de 0,4 µA dans le sens de la longueur.La tension entre
les extrémités est de 2,5 V.
a)
Quelle est la résistance de ce matériau lorsque le courant le traverse dans le sens de la longueur ?
b)
Quelle est la résistivité de ce matériau ?
Loi d'Ohm
E
Les résistances s'opposent au passage du courant.
Lorsqu'il y a un courant qui traverse une résistance, il
y a une tension qui apparaît aux bornes de la
résistance. Cette tension se calcule avec la loi
d'Ohm; soit
IR
R
VR = R I R
VR
Chapitre 6 : Courant et résistance
où
et
VR
R
IR
Page C6-6
est la tension aux bornes de la résistance en volts,
est la résistance en ohms
est le courant traversant la résistance en ampères.
La loi d'Ohm découle des propriétés des matériaux ohmiques, puisque
VR

 E= l

IR

 J=
A

E

 J=ρ

où
et
E
VR
l
J
IR
A
ρ
R
 I R VR
 A =ρl


 A
⇒  I R = 
 ρl


 ρl
 VR = 
 A


 VR


 IR = R IR

est le champ électrique en volts par mètre,
est la tension aux bornes de la résistance en volts,
est la longueur du matériau en mètres,
est la densité de courant en ampères par mètre carré,
est le courant traversant la résistance en ampères,
est la section du matériau en mètres carrés,
est la résistivité du matériau en ohms-mètres
est la résistance en ohms.
6.
Une pile de 1,5 V est branchée en parallèle avec une résistance.
a)
Quel est le courant traversant la résistance si sa valeur est de 75 Ω ?
b)
Quel est le courant traversant la résistance si sa valeur est de 1,2 kΩ ?
7.
Une résistance de 63 Ω est traversée par un courant électrique.
a)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance si le courant est de 1,11 A ?
b)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance si le courant est de 143 mA ?
Puissance fournie par une pile
La puissance indique la quantité d'énergie transférée par unité de temps. Dans le cas d'une pile, de
l'énergie est transférée de la pile au circuit électrique. La puissance fournie par une pile est
Ppile = V pile I pile
où
et
Ppile
est la puissance fournie par la pile en watts,
V pile
est la tension aux bornes de la pile en volts
I pile
est le courant fournie par le pile en ampères.
Chapitre 6 : Courant et résistance
8.
Page C6-7
Une pile de 1,5 V fournit un courant de 30 mA à un circuit électrique.
Quelle est la puissance fournie par la pile ?
9.
Une pile de 9 V fournit une puissance de 117 mW à un circuit électrique.
Quel est le courant fourni par la pile ?
Puissance dissipée par une résistance
L'effet Joule est le phénomène par lequel une résistance, traversée par un courant, dégage de la chaleur.
La puissance est alors la quantité de chaleur dissipée par unité de temps. La puissance dissipée par une
résistance est
PR = V R I R
où
et
PR
VR
IR
est la puissance dissipée par la résistance en watts,
est la tension aux bornes de la résistance en volts
est le courant traversant la résistance en ampères.
Si on emploie la loi d'Ohm dans l'équation précédente, on a
VR = R I R
où
et
VR
R
IR
PR
 PR = VR I R

⇒  =( R IR ) IR
 =R I2

R
est la tension aux bornes de la résistance en volts,
est la résistance en ohms,
est le courant traversant la résistance en ampères
est la puissance dissipée par la résistance en watts.
De même, on a

 PR = VR I R

VR

V 
⇒  = VR  R 
IR =
R
 R 


V2
 = R

R
où
et
10.
IR
VR
R
PR
est le courant traversant la résistance en ampères,
est la tension aux bornes de la résistance en volts,
est la résistance en ohms
est la puissance dissipée par la résistance en watts.
Une résistance avec une tension de 10 V à ses bornes est traversée par un courant de 12 mA.
Chapitre 6 : Courant et résistance
a)
Quelle est la puissance dissipée par la résistance ?
b)
Quelle est la valeur de la résistance ?
11.
Une résistance de 100 Ω est traversée par un courant de 25 mA.
a)
Quelle est la puissance dissipée par la résistance ?
b)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance ?
12.
Une résistance de 900 Ω possède une tension de 36 V entre ses bornes.
a)
Quelle est la puissance dissipée par la résistance ?
b)
Quel est le courant traversant la résistance ?
13.
Une résistance de 2,5 kΩ dissipe une puissance de 1 W.
a)
Quel est le courant traversant la résistance ?
b)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance ?
Page C6-8
Conservation de l'énergie
Rappelons que lorsqu'une pile fournit un courant, elle transfère de l'énergie au circuit électrique. Le courant
sort par la borne positive lorsqu'une pile fournit du courant. Si la pile est épuisée, il faut la recharger. Pour
recharger une pile, on fait entrer du courant par la borne positive. Lorsqu'une pile se recharge, le circuit
électrique transfère de l'énergie à la pile. L'énergie transférée à la pile est emmagasinée par celle-ci.
Dans un circuit électrique résistif, les piles qui fournissent du courant transfèrent de l'énergie aux
résistances qui dissipent de l'énergie et transfèrent de l'énergie aux piles qui se rechargent.
Note: Les condensateurs et les bobines dans un circuit électrique peuvent emmagasiner de l'énergie et la
restituer plus tard.
14.
Un circuit électrique est composé d'une pile de 12 V en série avec deux résistances de 40 Ω et
60 Ω. Rappelons que le même courant traverse la pile et les deux résistances.
a)
Quel est le courant traversant la pile et les deux résistances ?
b)
Quelle est la puissance fournie par la pile ?
c)
Quelle est la puissance dissipée par la résistance de 40 Ω ?
d)
Quelle est la puissance dissipée par la résistance de 60 Ω ?
Note: La puissance fournie au circuit est égale à la puissance dissipée dans le circuit.
Chapitre 6 : Courant et résistance
Page C6-9
R1
15.
Soit le circuit électrique ci-joint avec:
R1 = 1 kΩ
R2 = 2 kΩ
E1 = 12 V
E2 = 9 V
La 1re pile de 12 V fournit de l'énergie au
circuit (elle se vide).
La 2e pile de 9 V reçoit de l'énergie du
circuit (elle se recharge).
a)
Quel est le courant dans le circuit ?
b)
Quelle est la puissance fournie par la 1re pile ?
c)
Quelle est la puissance absorbée par la 2e pile ?
d)
Quelle est la puissance dissipée par la résistance de 1 kΩ ?
e)
Quelle est la puissance dissipée par la résistance de 2 kΩ ?
ε1
ε2
R2
Chapitre 6 : Courant et résistance
Page C6-10
Réponses
-t
1. a) I(t) = - 6 e 10
3
2
µA
-t
b) I(t) = - 8 e 10
-6
A
m
2
2. a) 20⋅10 A/m b) 12,5⋅10 m/s
3. a) 23,96⋅106 A/m2 b) 1,799⋅10-8 Ω⋅m c) 5,559⋅107 (Ω⋅m)-1 d) 0,4311 V/m
4. a) 8 MΩ b) 2 MΩ
5. a) 6,25 MΩ b) 1⋅105 Ω⋅m
6. a) 20 mA b) 1,25 mA
7. a) 70 V b) 9 V
8. 45 mW
9. 13 mA
10. a) 120 mW b) 833 Ω
11. a) 62,5 mW b) 2,5 V
12. a) 1,44 W b) 40 mA
13. a) 20 mA b) 50 V
14. a) 120 mA b) 1,44 W c) 576 mW d) 864 mW
Note: 1,44 W = 576 mW + 864 mW
15. a) 1 mA b) 12 mW c) 9 mW d) 1 mW e) 2 mW
Note: 12 mW = 9 mW + 1 mW + 2 mW
 Tous droits réservés, Richard Fradette.