etude d`une installation de chauffage mixte solaire-gaz

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CONCOURS e4a / 2000 - PHYSIQUE II
ETUDE D'UNE INSTALLATION DE CHAUFFAGE MIXTE SOLAIRE-GAZ
Corrigé détaillé
PREMIERE PARTIE
COMPORTEMENT THERMIQUE DE LA DALLE SOLAIRE
I.1. Introduction
I.1.1. Dimension de j : [j] = [φ]/[L]2 où φ est le flux thermique (en watt).
[λ] = [j][L]/[T] = [φ]/[L][T] (λ) = W.m-1.K-1
I.1.2. Entre t et t+dt, la tranche dx de masse dm = ρSdx reçoit dQx - dQx+dx =
jxSdt - jx+dxSdt et sa température varie de dT, d'où le bilan :
dxSdt
x
T
dxSdt
x
j
dt
t
T
cSdxcSdxdT 2
2
∂
∂
λ=
∂
∂
−=
∂
∂
ρ=ρ , 2
2
x
T
ct
T∂ ∂
ρ
λ
=
∂
∂ d'où la
diffusivité thermique c
aρ
λ
=, de dimension [a] = [L]2/[t] d'après l'équation de
la chaleur A2, (a) = m2.s-1 .
I.1.3. [h] = [j]/[T] = [φ]/[L]2[T] (h) = W.m-2.K-1
Physiquement, h dépend essentiellement des propriétés thermophysiques de l'air
(conductivité thermique, viscosité, etc), de la vitesse de l'air, et de la forme et de la
structure de la surface d'échange.
I.2. Analyse dimensionnelle
I.2.1. De l'équation générale (T-Ti)m j0n hp
λ
q ar tu Hv xw = 1, on déduit
l'équation aux dimensions :
[T]m. ([φ][L]-2)n. ([φ][L]-2[T]-1)p. ([φ][L]-1[T]-1)q. ([L]2[t]-1)r. [t]u. [L]v. [L]w = 1,
soit : [T]m-p-q [φ]n+p+q [L]2r+v+w-2n-2p-q [t]u-r = 1, d'où le système d'équations :
m - p - q = 0 ; n + p + q = 0 ; 2r + v + w - 2n - 2p - q = 0 ; u - r = 0.
Il y a quatre coefficients indépendants que l'on peut choisir, par exemple m,
q, r et w, les autres étant exprimés en fonction d'eux.
On en déduit : n = - m ; p = m - q ; u = r ; v = - 2r - q - w ,
que l'on substitue dans l'équation générale :
1.......)( 2
0=λ− −−−−− wqwrrrqqmmm ixHtahjTT , ce qui conduit aux regroupements par
coefficients :
1...
)(
2
0=
ö
ç
è
æ
÷
ö
ç
è
æ
÷
ö
ç
è
æλ
÷
÷
ö
ç
ç
è
æ−wrq
m
iH
x
H
at
hHj
TTh , donc
()()
1...
)(
0=
ö
ç
è
æ
÷
÷
ö
ç
ç
è
æ−−w
rq
m
iH
x
FoBi
j
TTh .

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I.2.2. Le nombre de Fourier peut s'écrire Π3 = Fo = t/τd avec τd = H2/a .
A.N.: τd = 75100 s = 20,9 h.
On peut aussi écrire Fo = Ld2/H2 Ld = (at)½ . A.N.: Ld = 0,279 m.
I.2.3. Le nombre de Biot apparaît comme le rapport du flux de chaleur convectif
en surface au flux transféré par conduction dans le solide (rapport résistance
thermique conductrice de la dalle / résistance thermique de sa surface) ; il
traduit donc l'importance relative du transfert par convection et par
conduction entre le solide et le fluide qui le baigne.
Si Bi << 1, la conduction domine et le phénomène convectif a peu
d'influence sur le profil thermique intérieur au solide dont l'épaisseur est donc
négligeable ; si Bi >> 1, la convection domine et le matériau peut être
considéré comme peu conducteur, donc d'épaisseur importante, avec un profil
thermique fortement influencé par la convection à la frontière.
Ici, Bi = 0,99 . On constate d'autre part que τd est un peu inférieur à la
durée d'une journée, que Ld est de l'ordre de l'épaisseur de la dalle, ce qui
implique que la diffusion thermique dans la dalle n'est pas assez lente pour
considérer la dalle comme infiniment épaisse, et que la convection doit être
prise en compte.
I.3. Régime permanent
0=
∂
∂t Tentraîne 0
2
2=
∂
∂
x
T T(x) = Ax + B,
comme j(x) = - λA = j0 = h [T(H) - Ti] = h [AH + B - Ti], on en déduit :
A = -j0/λ et B = Ti + j0/h + j0 H/λ, T(x) = Ti + j0/h + j0 H/
λ - j0 x/λ.
A.N.: T(H) - Ti = j0/h T(H) - Ti = 3 degrés.
I.4. Régime périodique
I.4.1. Les équinoxes sont les instants auxquels la Terre passe aux deux points
d'intersection du plan de l'écliptique avec le plan équatorial (printemps,
automne), de sorte que les durées du jour et de la nuit sont égales. Le terme δ
est donc nul aux équinoxes.

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I.4.2. Méthode de séparation des variables : j(x,t) = f(t)g(x) d'où :
)(")()(')( 2
2xgtfa
x
j
atfxg
t
j=
∂
∂
==
∂
∂, )(
)("
)(
)('
xg
xg
a
tf
tf =.
Les deux fonctions sont égales, quelles que soient les valeurs de t et x, donc
égales à une constante C. On en déduit f(t) = F exp(Ct); comme le régime est
sinusoïdal de pulsation ω, C = iω. Il s'ensuit :
)()(" xg
a
ixg
ω
=dont la solution générale est xi
a
xi
aeGeGxg )1(
2
2
)1(
2
1
)( +
ω
−+
ω+= .
La dalle étant semi-infinie, le premier terme ne reste fini que si G1 = 0, d'où la
solution générale :
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ö
ç
ç
è
æω
−ω+
÷
÷
ö
ç
ç
è
æω
−ω== ω
−
ö
ç
ç
è
æω
−ω
ω
−x
a
tix
a
tejeeFGtxj x
a
x
a
ti
x
a2
sin
2
cos..),( 2
0
2
2
2
a2
ω
=α .
La chaleur se propage donc dans la dalle comme une onde plane progressive
sinusoïdale à la célérité ω= ac 2, avec une amplitude décroissant
exponentiellement avec la profondeur de pénétration. La célérité étant
fonction de la pulsation ω, la dalle constitue un milieu dispersif pour les
ondes thermiques.
I.4.3. En x = H, l'amplitude de l'onde est : j0
ö
ç
ç
è
æπ
−H
aJ
exp , soit 19,1 % de celle
en x = 0. On définit le temps caractéristique τp = H/c , soit τp = 6,31 h .
I.4.4. Il s'agit de la décomposition en série de Fourier de la fonction périodique :
{0 pour t ∈[-J/2,0], j0 sin ωt pour t ∈[0,J/2]}, de forme générale :
∞
=ω+ω+= 1
0sincos),0(
mmm tmbtmaatj .
I.5. Influence des conditions aux limites
I.5.1. La courbe j(H,t) de la figure 4 ne présente pas la forme de demi-alternance
de j(0,t) car le milieu étant dispersif, les termes de fréquence élevée présents
dans la série de Fourier se propagent plus vite en étant davantage amortis. De
ce fait, on obtient une sinusoïde de période J = 24 h déformée, la montée étant
rapide (temps courts dominés par les harmoniques élevés) et la décroissance
lente (temps longs, dominés par les basses fréquences et le fondamental).

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La densité du flux est maximale à t ≈ 11,6 h, soit un décalage ∆t1 = 5,6 h
par rapport au midi solaire, inférieur à τp (temps de propagation du
fondamental) du fait précisément de la transmission plus rapide des
harmoniques de fréquence élevée.
L'amplitude crête à crête d'environ 0,205 W.m-2 peut être comparée à
l'amplitude j0 de 1 W.m-2 de la demi-alternance, ce qui donne une amplitude
relative de 20,5 % un peu supérieure à l'amplitude relative calculée en 1.4.3
dans le cas d'une sollicitation purement sinusoïdale ; ce dépassement est dû à
la présence des harmoniques dont la vitesse est d'autant plus grande que la
fréquence est élevée. On peut aussi comparer l'amplitude moyenne (égale à la
moitié de l'amplitude crête à crête) à j0/2, amplitude du fondamental, ce qui
revient au même.
I.5.2. La densité du flux de chaleur en surface de dalle de la figure 5 atteint son
maximum pour t ≈ 13,3 h soit un décalage par rapport au midi solaire ∆t2 ≈
7,3 h , plus élevé que ∆t1. On peut interpréter ce retard par le fait que le flux
en surface est proportionnel à l'écart (T-Ti) ; or d'après la loi de Fourier j(x,t)
est en retard spatial sur T(x,t), donc T(x,t) est en retard temporel sur le flux
conductif dans la dalle.
L'amplitude crête à crête de j(H,t) de 0,127 W.m-2 (amplitude relative de
12,7 % par rapport à j0) est plus faible que dans l'hypothèse semi-infinie du
fait de la résistance thermique que procure le film d'air convectif, qui amortit
les variations du flux conductif dans la dalle à sa surface.
On voit donc que la convection en surface modifie de manière importante
l'ensemble du comportement thermique de la dalle en termes d'amplitude et de
déphasage des variations du flux de chaleur solaire imposé, et doit être prise
en compte dans l'étude dynamique du plancher solaire. Le modèle semi-infini
est donc à rejeter en faveur du modèle à épaisseur finie.

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DEUXIEME PARTIE
ETUDE HYDRAULIQUE DU CIRCUIT SOLAIRE
II.1. Puissance thermique du circuit solaire
II.1.1. Le bilan d'énergie s'écrit η A Esm = G
V (Tim - Tem) J . A.N.: A = 23,6 m2 .
Comme Pch/η = S h [T(H)m - Tim], on obtient T(H)m = 23,2 °C .
II.1.2. Rth = ∆T/φ. Or φ = Sh [T(H)m - Tim] et φ = Sλ [T(0)m - T(H)m]/H
∆T = T(0)m - Tim= φ/S.(1/h + H/λ) Rth = H/λS + 1/hS .
A.N.: Rth = 2,98.10-3 K/W et φ = Pch/η ∆T = 8,3 °C
T(0)m = 27,3 °C
II.1.3. La puissance thermique moyenne absorbée par les panneaux solaires est :
φ = dQ/dt = D ρf cf ∆Tsm = Pch/η d'où :
D = Pch/ηρfcf∆Tsm , soit D = 2,35.10-4 m3.s-1 = 0,848 m3/h .
II.1.4. B est un facteur sans dimension représentant la fraction de l'éclairement
solaire effectivement absorbée optiquement par les panneaux solaires avant
pertes par conduction et convection.
K est homogène à un coefficient d'échange thermique h, caractérisant les
pertes thermiques vers l'atmosphère.
La puissance transférée au liquide solaire est D ρf cf ∆Ts = A [BE - K(Tsm-Te)].
Si l'on veut assurer le fonctionnement pour E = Emin, avec ∆Ts > ∆Tsmin, il faut
D < Dlim = A [BEmin - K(Tsm - Te)]/ ρf cf ∆Tsmin
A.N.: Dlim = 3,56.10-4 m3.s-1 = 1,28 m3/h .
II.2. Caractéristiques hydrauliques du circuit solaire
II.2.1. Dans un écoulement laminaire, les lignes de courant sont stables ; elles
deviennent temporellement fluctuantes puis chaotiques dans un écoulement
turbulent.