Rappels On rappelle qu`on utilise ici le logiciel - MPSI

TP 1
Prise en main et premières fonctions dans le langage Python
MPSI - Lycée Chrestien de Troyes
Rappels
On rappelle qu’on utilise ici le logiciel Pyzo qui permet d’interpréter le langage Python :
5. Prouver alors rigoureusement votre résultat.
Exercice 1.3
1. Dans la console interactive, rentrer les instructions suivantes :
L=[k**2 for k in range(0,10)] ; max(L); min(L); sum(L); len(L)
puis préciser l’intérêt de ces commandes.
2. Dans le langage Python, construire alors la fonction etendue qui pour toute liste donnée
L renvoie la différence entre le plus grand et le plus petit terme de la liste.
3. De la même façon, construire la fonction moyenne qui renvoie la moyenne des valeurs
prises dans L.
4. Pour finir, construire la fonction booléenne test qui pour tout couple (L, a) donné, teste
si la liste L constituée de nombres réels ne possède pas de plus grand élément que a ∈ R,
c’est à dire :
• la fonction renvoie True si a est supérieur aux éléments de L,
On fera donc attention à chaque fois :
1. à bien définir nos fonctions dans la fenêtre d’édition,
• sinon elle renvoie False.
2. puis une fois interprétée par le logiciel, à les appeler dans la console interactive.
Exercice 1.1 On considère la fonction f définie par f (x) = ax2 + bx + c avec (a, b, c) ∈ R3 , a 6=
0. On note Cf la parabole associée.
Exercice 1.4 On note f une fonction continue sur le segment [a, b].
1. Déterminer les coordonnés (xS , yS ) du sommet de la parabole qu’on notera S.
1. En utilisant la commande linspace, construire dans le langage Python, la fonction sup
qui pour tout triplet (f, a, b) renvoie la valeur supx∈[a,b] |f (x)|.
2. Dans le langage Python, construire la fonction sommet qui pour tout triplet (a, b, c) renvoie
les coordonnées de S.
2. Tester votre programme avec la fonction sin sur [0, π] et pour laquelle vous modifierez le
nombre de points dans votre programme. Que remarquez-vous ?
3. Construire la fonction representation qui pour tout (a, b, c, h) ∈ R4 renvoie la courbe
représentative de la fonction f sur l’intervalle [xS − h, xS + h].
4. En utilisant une structure conditionnelle, modifier le programme précédent de sorte que :
Exercice 1.5 On considère un polynôme du second degré à coefficients réels défini par p(x) =
ax2 + bx + c.
• si a est nul, le programme affiche le texte ”attention, ce n’est pas un polynôme du
second degré”,
1. Préciser l’expression des racines de p en fonction de ∆ le discriminant associé. On se
placera d’abord dans R, puis dans C.
• sinon, le programme renvoie le graphe.
Exercice 1.2 On définit la fonction f par f (x) =
2. En utilisant une structure conditionnelle, construire dans le langage Python, le programme
solution qui pour tout triplet (a, b, c) donné, renvoie les racines réelles de p.
2x2 − 5x + 3
.
x−2
3. Modifier alors le programme précédent afin que celui-ci renvoie les racines de p,
éventuellement complexes. On fera attention : dans le langage Python, les nombres complexes s’écriront a + b ∗ j, avec (a, b) ∈ R2 .
1. Préciser son domaine de définition, puis déterminer les limites aux bornes du domaine de
définition.
2. Dans le langage Python, construire la fonction f .
3. Construire la fonction courbe qui pour tout couple (a, b) donné, renvoie la représentation
graphique de f sur l’intervalle [a, b].
4. En déduire que Cf possède une asymptotique oblique dont on devinera l’équation
graphiquement.
Exercice 1.6 On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé et on considère D et D0
deux droites distinctes d’équations réduites :
y = ax + b et y = a0 x + b0
1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que ces droites soient sécantes, puis
dans ce cas, préciser les coordonnées de I, le point d’intersection de ces droites.
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Prise en main et premières fonctions dans le langage Python
MPSI - Lycée Chrestien de Troyes
2. Dans le langage Python, construire la fonction inter qui pour tout quadruplet (a, b, a0 , b0 )
donné, vérifie si les droites sont sécantes, puis le cas échéant, renvoie les coordonnées de I,
le point d’intersection de D et D0 .
3. On note (S) le système linéaire suivant :
(
ax + by = c
a0 x + b0 y = c0
avec b 6= 0, b0 6= 0
(a) Etablir que (S) possède une unique solution si et seulement si ab0 − a0 b 6= 0. Préciser
alors la solution de ce système.
(b) Que peut-on dire dans le cas où b = 0 ou b0 = 0 ?
Exercice 1.7 On note f la fonction f : x 7→
p
|x| définie sur R.
1. Dans le langage Python, définir la fonction f qui à tout réel x renvoie l’image de x par f .
2. Construire la fonction representation qui pour tout couple (a, b) donné, renvoie la courbe
représentative de f sur [a, b].
3. Modifier votre programme afin que celui-ci prenne pour argument le triplet (λ, a, b), λ ∈ R,
puis renvoie sur un même graphique les courbes associées aux fonctions :
• x 7→ f (x − λ)
• x 7→ f (x) + λ
• x 7→ f (λx)
• x 7→ λf (x)
4. Tester votre programme avec λ = 2. Que remarquez-vous ?