Ondes électromagnétiques dans le vide

PSI Brizeux Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide 33
CHAPITRE PO3
CHAPITRE PO3
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
DANS LE VIDE
1. STRUCTURE DE L’ONDE PLANE ELECTROMAGNETIQUE
DANS LE VIDE ILLIMITE
1.1. Transversalité et orthogonalité des champs
Rappelons que les champs
!
E
et
!
B
obéissent tous deux dans le vide à une équation du type :
!
"
!
E
-
!
1
c2
!
"2E
"t2
=
!
0
Le vide illimité est donc un milieu non dispersif où toutes les ondes électromagnétiques
planes se propagent à la vitesse c.
Prenant une forme d'onde progressive suivant la direction x, les champs auront la structure :
!
E
( Ex( t -
!
x
c
), Ey( t -
!
x
c
), Ez( t -
!
x
c
) )
!
B
( Bx( t - x
c ), By( t - x c ), Bz( t - x c ) )
En outre, ils doivent obéir aux équations de Maxwell qui vont alors imposer des relations sur ces
composantes. Remarquons dès à présent que dans ce problème toute dérivation partielle par rapport
à y ou z sera nulle et que, en appelant u la variable t -
!
x
c
, nous aurons :
!
"
"x
= -
!
1
c
!
d
du
et
!
"
"t
=
!
d
du
Les équations de Maxwell imposent alors :
div
!
B
= 0 =>
!
dBx
du
= 0
!
rot
!
E
= -
!
"B
"t
=> 0 = -
!
dBx
du
;
!
1
c
dE z
du
= -
!
dBy
du
;
!
1
c
dEy
du
= -
!
dBz
du

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div
!
E
= 0 =>
!
dE x
du
= 0
!
rot
!
B
=
!
1
c2
"E
"t
=> 0 =
!
1
c2
dE x
du
;
!
1
c
dBz
du
=
!
1
c2
dEy
du
; -
!
1
c
dBy
du
=
!
1
c2
dE z
du
Or on ne s'intéresse ici qu'à des champs variables tout champ statique obéissant évidemment
aussi à l'équation de d'Alembert dont il est une solution triviale ne correspondant pas à une
propagation). En ne retenant que la partie variable des champs, il vient :
Ex = 0 Bx = 0
Ez = - c By Ey = + c Bz
Le premier résultat fondamental est donc que les champs
!
E
et
!
B
d'une onde plane dans le
vide sont transverses, c'est à dire tous deux orthogonaux à la direction de propagation.
En outre,
!
E
et
!
B
sont entre eux orthogonaux (ce qui peut être montré facilement en formant leur
produit scalaire) et on a la relation E = cB .
Si on désigne par
!
u
un vecteur unitaire de la direction de propagation, tous ces résultats peuvent
être regroupés dans la formule :
!
B
=
!
1
c
!
u
∧
!
E
Sous cette forme, le résultat apparaît indépendant du trièdre de référence et du sens de
propagation.
Il est important de remarquer que cette structure impose à la direction de propagation et aux
champs de former un trièdre direct : (
!
u
,
!
E
,
!
B
). Cependant les directions de
!
E
et
!
B
eux-mêmes ne
sont pas fixées dans le plan orthogonal à la direction de propagation.
Quand ces directions varient rapidement aléatoirement (du fait du mécanisme d'émission
par exemple) , on dit que l'onde électromagnétique n'est pas polarisée.
Ainsi la lumière qui nous vient du soleil est une onde électromagnétique localement plane non
polarisée.
1.2. L’impédance du vide
Dans le chapitre précédent, nous avons vu qu’il est possible d’associer à une onde et au milieu de
propagation une impédance caractéristique. Qu’en est-il des ondes électromagnétiques dans le vide ?
C’est le couplage entre
!
E
et
!
B
imposé par les équations de Maxwell qui est à l’origine de la nature
ondulatoire du champ électromagnétique. Il est cependant ici difficile de distinguer un effet et une
cause comme dans le cas des précédents exemples. Comment alors définir l’impédance ?

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Nous pouvons nous appuyer sur une analyse dimensionnelle : le problème étant ici de nature
électromagnétique, cette impédance devra avoir les dimensions d’une impédance électrique.
!
E
s’exprime en V.m-1. Il faudrait donc le diviser par des A.m-1 pour obtenir la dimension souhaitée.
Or un champ magnétique est toujours homogène à « µ0 .A.m-1 ». Le quotient
!
µ0E
B
a donc les
dimensions souhaitées.
Nous définissons l’impédance associée au champ électromagnétique par :
Z =
!
µ0E
B
Dans le cas d’une onde électromagnétique plane B = E
c =
!
µ0"0
E. D’où
Zvide =
!
µ0
"0
Nous retrouvons l’idée que le couple c, Zvide définit aussi bien le vide que le couple µ0, ε0...
1.3. L'onde électromagnétique monochromatique
1.3.1. États de polarisation
Supposons maintenant l'onde plane progressive monochromatique (OPPM) se propageant dans la
direction x. Les champs peuvent s'écrire :
!
E
( 0, E0y cos (ωt - kx), E0z cos (ωt - kx + φ) )
!
B
( 0, - 1
c E0z cos (ωt - kx + φ), +
!
1
c
E0y cos (ωt - kx) )
Dans un plan x = cste, les extrémités des
vecteurs
!
E
et
!
B
décrivent des ellipses,
l'ellipse décrite par l'extrémité de
!
B
se
déduisant de celle décrite par l'extrémité de
!
E
par une similitude de rapport
!
1
c
et d'angle
!
"
2
.
€
ux
€
E
€
B
E0z
E0y
Dans ce cas on dit que l'onde est polarisée elliptiquement. Les champs ne sont pas colinéaires à
des directions fixes mais tournent à vitesse angulaire ω dans un plan d'onde.

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De plus, suivant les valeurs de φ, on peut discuter du sens de rotation. Les différents cas de figure
sont représentés ci-dessous à titre d'indication. Quand les champs tournent négativement autour de la
direction de propagation, l'onde est dite gauche. Elle est évidemment dite droite dans le cas inverse.
z
z
z
z
z
z
z
z
y
y
y
y
y
y
y
y
x
! = - " ou "
rectiligne
-" < ! < - "/2
! = - "/2
- "/2 < ! < 0
! = 0
rectiligne
0 < ! < "/2
! ="/2
"/2 < ! < "
gauche
droite
Dans le cas particulier où φ =
!
"
2
+ kπ et E0y = E0z, les champs balayent des cercles et l'onde est
dite circulaire.
1.3.2. Polarisation rectiligne
Un cas très important enfin est celui de φ = 0 ou π où les champs restent colinéaires à une
direction fixe : on parle alors de polarisation rectiligne.
Dans ce cas on peut choisir les axes du trièdre de référence colinéaires aux champs et on aura par
exemple :
OPPM polarisée rectilignement
!
E
= E0 cos (ωt - kx)
!
uy
!
B
= E0
c cos (ωt - kx)
!
uz
Nous verrons ultérieurement qu'il est possible, à partir d'ondes non polarisées, d'obtenir des
ondes polarisées. On pourra même changer d'état de polarisation et transformer des ondes rectilignes
en ondes circulaires ou réciproquement.
On peut déjà faire une remarque intéressante : une onde rectiligne peut toujours être considérée
comme la somme de deux ondes circulaires se propageant dans la même direction mais tournant en
sens inverse à la vitesse ω, pulsation de l'onde rectiligne : les 3 vecteurs champs électriques
correspondants seront en effet conformes au schéma suivant :

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€
E
€
E
1
2
€
E
L'aspect du champ électromagnétique se propageant suivant x sera, à une date donnée, le suivant :
1.3.3. Utilisation de la notation complexe
On peut retrouver très rapidement tous les résultats associés à l'OPP dans le vide illimité en
imposant à cette onde d'être sinusoïdale et en employant la notation complexe. En effet, supposant
une structure de l'onde de la forme :
!
E
=
!
E
0
!
ej k.r" #t
( )
!
B
=
!
B
0
!
ej k.r" #t
( )
On voit qu'une dérivation partielle par rapport à y par exemple devient une simple multiplication
par j
!
k
. Les opérateurs div et
!
rot
deviennent alors un vrai produit scalaire j
!
k
. et un vrai produit
vectoriel j
!
k
∧ . Les équations de Maxwell s'écrivent alors :
j
!
k
.
!
B
= 0
j
!
k
∧
!
E
= jω
!
B
j
!
k
.
!
E
= 0
j
!
k
∧
!
B
= - jω
c2
!
E