Ondes électromagnétiques dans le vide

PSI Brizeux
Ch.PO3 Ondes électromagnétiques dans le vide
33
CHAPITRE PO3
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
DANS LE VIDE
1.
STRUCTURE DE L’ONDE PLANE ELECTROMAGNETIQUE
DANS LE VIDE ILLIMITE
1.1.
Transversalité et orthogonalité des champs
Rappelons que les champs E et B obéissent tous deux dans le vide à une équation du type :
!
1 "2 E
"E - 2
= 0
c "t 2
!
Le vide illimité est donc un milieu non dispersif où toutes les ondes électromagnétiques
! ! c.
!
planes se propagent à la vitesse
! !
Prenant une forme d'onde progressive suivant la direction x, les champs auront la structure :
E ( Ex( t -
x
x
x
), Ey( t - ), Ez( t - ) )
c
c
c
x
x
x
B ( Bx( t - c ), By( t - c ), Bz( t - c ) )
!
!
!
!
En outre, ils doivent obéir aux équations de Maxwell qui vont alors imposer des relations sur ces
composantes. Remarquons
dès à présent que dans ce problème toute dérivation partielle par rapport
!
x
à y ou z sera nulle et que, en appelant u la variable t - , nous aurons :
c
"
1 d
="x
c du
!
et
" d
=
"t du
Les équations de Maxwell imposent alors :
div B = 0
!
! !
rot E = -
!
=>
"B
"t
!
!dB
!
x
= 0
du
=>
0 = -
!
!
dBx
du
!
! !
;
dBy
1 dE z
= c du
du
!
!
;
dBz
1 dE y
= du
c du
!
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div E = 0
!
! !
rot B =
1 "E
c 2 "t
=>
dE x
= 0
du
=>
0 =
!
1 dE x
c 2 du
;
1 dBz
1 dE y
= 2
c du
c du
;
-
34
1 dE z
1 dBy
= 2
c du
c du
Or on ne s'intéresse ici qu'à des champs variables tout champ statique obéissant évidemment
aussi à l'équation de d'Alembert dont il est une solution triviale ne correspondant pas à une
!
!
! la partie variable
!
!
propagation).
En ne retenant que
des champs,
il vient :!
Ex = 0
Bx = 0
Ez = - c By
Ey = + c Bz
Le premier résultat fondamental est donc que les champs E et B d'une onde plane dans le
vide sont transverses, c'est à dire tous deux orthogonaux à la direction de propagation.
En outre, E et B sont entre eux orthogonaux (ce qui!peut!être montré facilement en formant leur
produit scalaire) et on a la relation E = cB .
Si on!désigne par u un vecteur unitaire de la direction de propagation, tous ces résultats peuvent
!
être regroupés dans la formule :
!
B=
1
u∧ E
c
! indépendant
!
Sous cette forme, le résultat!apparaît
du trièdre de référence et du sens
!
propagation.
de
Il est important de remarquer que cette structure impose à la direction de propagation et aux
champs de former un trièdre direct : ( u , E , B ). Cependant les directions de E et B eux-mêmes ne
sont pas fixées dans le plan orthogonal à la direction de propagation.
Quand ces directions varient rapidement aléatoirement (du fait du mécanisme d'émission
! ! !
! !
par exemple) , on dit que l'onde électromagnétique n'est pas polarisée.
Ainsi la lumière qui nous vient du soleil est une onde électromagnétique localement plane non
polarisée.
1.2.
L’impédance du vide
Dans le chapitre précédent, nous avons vu qu’il est possible d’associer à une onde et au milieu de
propagation une impédance caractéristique. Qu’en est-il des ondes électromagnétiques dans le vide ?
C’est le couplage entre E et B imposé par les équations de Maxwell qui est à l’origine de la nature
ondulatoire du champ électromagnétique. Il est cependant ici difficile de distinguer un effet et une
cause comme dans le cas des précédents exemples. Comment alors définir l’impédance ?
!
!
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35
Nous pouvons nous appuyer sur une analyse dimensionnelle : le problème étant ici de nature
électromagnétique, cette impédance devra avoir les dimensions d’une impédance électrique.
!
E s’exprime en V.m-1. Il faudrait donc le diviser par des A.m-1 pour obtenir la dimension souhaitée.
µE
Or un champ magnétique est toujours homogène à « µ0 .A.m-1 ». Le quotient 0 a donc les
B
dimensions souhaitées.
Nous définissons l’impédance associée au champ électromagnétique par :
!
Z=
µ 0E
B
E
Dans le cas d’une onde électromagnétique plane B = c = µ0 "0 E. D’où
!
Zvide =
µ0
! "0
Nous retrouvons l’idée que le couple c, Zvide définit aussi bien le vide que le couple µ0, ε0...
!
1.3.
L'onde électromagnétique monochromatique
1.3.1. États de polarisation
Supposons maintenant l'onde plane progressive monochromatique (OPPM) se propageant dans la
direction x. Les champs peuvent s'écrire :
E ( 0, E0y cos (ωt - kx), E0z cos (ωt - kx + φ) )
!
1
1
B ( 0, - c E0z cos (ωt - kx + φ), + E0y cos (ωt - kx) )
c
!
Dans un plan x = cste, les extrémités des !
vecteurs E et B décrivent des ellipses,
l'ellipse décrite par l'extrémité de B se
déduisant de celle décrite par l'extrémité de E
1
"
! une !
par
similitude de rapport et d'angle .
c
2
!
!
E0z
B
ux
E
€ E0y
€
€
Dans ce cas on dit
est polarisée elliptiquement. Les champs ne sont pas colinéaires à
! que l'onde !
des directions fixes mais tournent à vitesse angulaire ω dans un plan d'onde.
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36
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De plus, suivant les valeurs de φ, on peut discuter du sens de rotation. Les différents cas de figure
sont représentés ci-dessous à titre d'indication. Quand les champs tournent négativement autour de la
direction de propagation, l'onde est dite gauche. Elle est évidemment dite droite dans le cas inverse.
z
z
z
y
y
x
! = - " ou "
rectiligne
! = - "/2
gauche
z
z
y
!=0
rectiligne
y
-" < ! < - "/2
z
y
- "/2 < ! < 0
z
y
y
0 < ! < "/2
z
! ="/2
y
"/2 < ! < "
droite
Dans le cas particulier où φ =
"
+ kπ et E0y = E0z, les champs balayent des cercles et l'onde est
2
dite circulaire.
1.3.2. Polarisation
! rectiligne
Un cas très important enfin est celui de φ = 0 ou π où les champs restent colinéaires à une
direction fixe : on parle alors de polarisation rectiligne.
Dans ce cas on peut choisir les axes du trièdre de référence colinéaires aux champs et on aura par
exemple :
OPPM polarisée rectilignement
E = E0 cos (ωt - kx) uy
E0
B = c cos (ωt - kx) uz
!
!
Nous verrons ultérieurement qu'il est possible, à partir d'ondes non polarisées, d'obtenir des
ondes polarisées. On pourra!même changer d'état de
! polarisation et transformer des ondes rectilignes
en ondes circulaires ou réciproquement.
On peut déjà faire une remarque intéressante : une onde rectiligne peut toujours être considérée
comme la somme de deux ondes circulaires se propageant dans la même direction mais tournant en
sens inverse à la vitesse ω, pulsation de l'onde rectiligne : les 3 vecteurs champs électriques
correspondants seront en effet conformes au schéma suivant :
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37
E
€
E2
E1
€
€
L'aspect du champ électromagnétique se propageant suivant x sera, à une date donnée, le suivant :
1.3.3. Utilisation de la notation complexe
On peut retrouver très rapidement tous les résultats associés à l'OPP dans le vide illimité en
imposant à cette onde d'être sinusoïdale et en employant la notation complexe. En effet, supposant
une structure de l'onde de la forme :
E = E0 e
B = B0 e
(
j k.r"#t
(
j k.r"#t
)
)
! !par rapport à y par exemple devient une simple multiplication
On voit qu'une dérivation!partielle
par j k . Les opérateurs div!et rot
alors un vrai produit scalaire j k . et un vrai produit
! deviennent
!
vectoriel j k ∧ . Les équations de Maxwell s'écrivent alors :
!
!
!
jk. B = 0
j k ∧ E = jω B
jk. E = 0
jω
! !
j k ∧ B = - c2 E
! !
!
! !
!
!
!
!
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38
On retrouve alors directement la transversalité des champs ( E et B orthogonaux au vecteur
"
k
d'onde), la relation B = ∧ E , et la relation k = ± ....
c
"
!
!
1.4.
Énergie
des
!
! ondes électromagnétiques
!
!
1.4.1. Rappel : densité d’énergie et vecteur de Poynting
Rappelons qu’à tout champ électromagnétique ( E , B ), nous avons associé :
- une énergie localisée dans tout l’espace où est créé le champ et dont la densité volumique est :
!! 2
B2
"0 E
u=
+
2µ 0
2
- un vecteur « courant de puissance » R dont le flux à travers une surface représente la puissance
électromagnétique traversant cette!surface.!L’expression de R est :
!
R=
1
E∧ B
µ0 !
1.4.2. Application à l’onde
plane
!
! !
!
1
" E 2 B2
Avec la relation B = u ∧ E , il vient : 0 =
. Ici encore nous retrouvons une équirépartititon
2µ 0
c
2
de l’énergie entre les deux « formes » d’énergie associées à l’onde.
!
!
! !
!
!u = ε 0 E2 =
B2
µ0
D’où l’expression du vecteur de Poynting :
R=
1! 2
E u = cu u
µ 0c
Le vecteur de Poynting
! est colinéaire
! à la !direction de propagation. Ce résultat est tout à fait
logique car R transporte l’énergie
! associée à l’onde et la puissance associée est maximale à travers
une surface orthogonale à la direction de propagation...
Enfin dans le cas d'ondes sinusoïdales, on s'intéressera surtout à des valeurs moyennes (dans le
!
temps) des grandeurs et on aura pour l'onde plane sinusoïdale :
<u> = ε0<E2> = ε0E02 < cos2(ωt - kx) > =
et
1
<R> = c <u> = 2 ε0cE02
!
1
ε0 E 0 2
2
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39
On ne peut pas employer la notation complexe pour le vecteur de Poynting. On doit le
calculer en revenant d'abord aux valeurs réelles des champs.
1.4.3. Vitesse de propagation de l’énergie
Ce vecteur est fondamental pour
décrire l'énergie transportée par une onde
et très utile pour définir une vitesse de
propagation de l'énergie. Dans le cas
d'une onde se propageant dans une
direction u donnée et choisissant une
surface plane S (dont l'étendue sera à
préciser) orthogonale à cette direction, on
peut dire que l'énergie traversant S
!
pendant dt est calculable à partir du flux
de R à travers S.
u
S!
vg dt
!
S'il n'y a pas d'énergie cédée par l'onde au milieu de propagation, c'est aussi l'énergie qui
était contenue dans le volume δτ s'appuyant sur S et de longueur vgdt . D’où le bilan :
dt
(∫∫s R . dS ) = dt (∫∫s R dS) = ∫∫∫
! !
δτ
u dτ =
∫∫s uv dt dS
g
∫∫s R dS = v ∫∫s u dS
g
Ce bilan énergétique simple permet de calculer vg...
Dans le cas de l’onde plane dans le vide, E et B ne dépendent pas des coordonnées transversales
à la direction u et la relation déterminant vg s'écrit simplement :
! u!S vg = R S = uc S
!
L'énergie de l'onde plane se propage donc également à la vitesse c. Ce résultat n'est pas
surprenant puisque le vide n'est pas dispersif. Dans le cas général d'un milieu dispersif, par contre,
l'énergie électromagnétique ne se propagera pas à la vitesse c.
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2.
REFLEXION D’UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE
SUR UN CONDUCTEUR
2.1.
Introduction
40
Nous allons dans ce paragraphe examiner le comportement d'une OPPM se propageant
initialement dans le vide et arrivant sur un conducteur. Dans toute la suite de cette étude, nous
supposerons l'espace partagé en deux demi-espaces, l'un vide, l'autre formé par le conducteur,
supposé globalement neutre. La frontière entre ces deux demi-espaces sera elle-même plane .
Toujours dans un souci de simplification, nous supposerons l'OPPM polarisée rectilignement.
Deux problèmes doivent alors être résolus :
- Les directions de propagation des éventuelles ondes réfléchie et transmise.
- Les amplitudes de ces ondes.
Nous commençons par examiner le cas le plus simple : celui d'une onde en incidence normale et
d'un conducteur parfait.
2.2.
Notion de conducteur parfait
Nous appelons conducteur parfait un conducteur idéal dont la conductivité γ serait infinie.
L’application de la loi d’Ohm à un tel conducteur (dans les conditions de validité de cette loi)
implique alors nécessairement que le champ électrique y soit nul : on aurait sinon en effet des courants
( donc une énergie ) infinis.
L’équation de Maxwell-Faraday montre alors qu’un éventuel champ magnétique ne peut être que
stationnaire : il ne peut correspondre au champ d’une onde.
Retenons ces résultats :
Une onde électromagnétique ne peut se propager dans un métal parfait : les
champs E et B variable y sont identiquement nuls.
2.3.
! !
Réflexion sur un conducteur parfait sous
incidence normale
2.3.1. Structure de l’onde réfléchie
Nous supposons donc ici que les plans d'onde sont parallèles au plan de séparation
vide-conducteur : tous les points de ce plan sont donc atteints en phase par l'onde incidente.
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41
D’après la structure de l'OPPM dans le vide illimité, le champ E est transverse, donc
tangent au plan. Le champ E est alors continu à la traversée de ce plan, ce qui implique que,
du côté du vide, au niveau du plan, il soit également nul. L'onde incidente seule ne satisfait
pas à cette condition : il existe nécessairement une onde réfléchie
!
!
Nous pouvons déjà remarquer que la nullité de E sur le plan implique que cette limite constitue
un noeud de champ électrique, et correspond à une impédance électromagnétique nulle : la
superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie donnera une onde stationnaire...
!
Pour préciser la structure de cette onde réfléchie, réécrivons tout d'abord l'onde incidente :
E i = E0i e j(ωi t + ki z) u y
;
i (incident)
! Nous affectons l'indice
! liées !
à toutes les grandeurs
à cette
onde. D'après la remarque faite plus
haut, nous pouvons supposer que
l'onde réfléchie est elle-même plane
et doit donc s'écrire :
E r = E 0r e
(
j " r t#k r r
kr
∧ Er
"r
!
"
kr = r
c
!
!
!
!
!
ωi
k i = - c ez
;
!
Ei
ki
€
B
i
E =0
)
Br =
!
E0i
B i = c e j(ωi t + k i z) u x
€
B=0
€
€
€
!
!
!
Pour préciser cette structure, il suffit d'expliciter la condition E = E i + E r = 0 , en z = 0, à tout
instant :
E0i e jωi t u y + E 0r e j(ωr t - kryy - krxx) = 0
∀t, ∀y, ∀x
! ! !
!
On doit donc respecter les conditions :
! !
E 0r = - E0i u y
ωr = ωi = ω
kry = krx = 0
Par conséquent, l'onde réfléchie a même pulsation que l'onde incidente, et elle se propage
"
e z.
également !
suivant z , ce
! qui implique également que k r =
c
Elle est également polarisée rectilignement, suivant la même direction que l'onde incidente.
!
!
! électrique à la réflexion : on peut également
On assiste enfin à un retournement du champ
dire que l'onde réfléchie a même amplitude que l'onde incidente, avec un déphasage de π à la
réflexion.
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42
Cette dernière propriété peut se traduire simplement par un coefficient de réflexion
E
( rapport 0r en z = 0 ) : r = -1
E 0i
En résumé, l'onde réfléchie s'écrit :
E r = - E0i e j(ωt - kz) uy
E0i
B r = c e j(ωt - kz) ux
"
!
k r = +! uz
c
!
!
Il est intéressant de remarquer que le champ magnétique, lui, ne change pas de sens : ceci est dû
au double changement de sens de E et k .
!
!
2.3.2. Onde stationnaire résultante
! !
Dans le vide, on assiste donc à la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie. L'onde
résultante s'écrit :
!
E = E i + E r = - 2 E0 sin ωt.sinkz u y
E
B = B i + B r = 2 0 cosωt.coskz u x
c
! ! !
! le plan métallique on a un noeud de champ
On reconnaît là la forme d'une onde stationnaire : sur
! de!champ
! magnétique. Les noeuds
! de E coïncident d'ailleurs avec les ventres
électrique et un ventre
!
de B et réciproquement. E et B sont constamment en quadrature. D'un point de vue énergétique, en
revenant aux notations réelles, on peut calculer u et R :
!
2
2
Β
! ! ε0 Ε
u = 2 + 2µ0 = 2ε0Ε2( sin2ωt.sin2kz + cos2ωt.cos2kz )
!
E02
R = µ0c sin2ωt.sin2kz u z
<u> = ε0Ε2 et < R > = 0
!
!
L'onde stationnaire ne propage donc pas d'énergie.
!
!
2.3.3. Complément : pression de radiation
Revenant alors au plan z = 0, le champ magnétique total dans le vide s'écrit :
E0
B = 2 c e jωt u x
Or ce champ magnétique est un champ tangent pour le plan de séparation z = 0.
Ceci implique, d'après les relations de passage sur B , l'existence de courants superficiels sur le
plan métallique, de densité : !
!
2E 0 jωt
e
js =
uy
µ
c
0
!
!
!
!
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43
Ces courants fournissent une interprétation physique du mécanisme de réflexion de l'onde :
l'onde incidente, par son champ E i met en mouvement les charges libres du plan conducteur, créant
ainsi un courant superficiel colinéaire à E i . Ce courant crée en retour l'onde réfléchie.
!
!
Par ailleurs, ces courants
sont en quadrature temporelle avec le champ E à la surface du métal
( E en sinωt et js en cosωt) ce!qui fait que la puissance moyenne dissipée par ces courants est nulle.
Ce résultat est conforme à l’idée qu’on se fait d’un conducteur parfait !
!
Le plan conducteur, parcouru par un courant surfacuque et placé dans un champ magnétique, subit
! une force de Laplace. Cette force surfacique est l’équivalent d’une pression appelée pression
de plus
de radiation. Cette pression se manifeste par exemple au niveau des satellites de communication en
orbite terrestre lorsqu’ils sont « éclairés » par la lumière du Soleil ou par l’albedo (partie de la lumière
solaire réfléchie par la Terre).
2.3.4. Grille polarisante
Imaginons à présent qu'on remplace le plan métallique par une grille métallique dont
l'espacement des fils est petit devant la longueur d'onde.
Les charges libres du conducteur ne peuvent se déplacer que colinéairement aux fils de la grille et
cette dernière ne se comportera comme un plan que pour des ondes dont le champ E incident sera luimême colinéaire aux fils.
En revanche une onde dont le champ E serait orthogonal aux fils sera!entièrement transmise par la
grille. Plus généralement, une onde elliptique quelconque arrivant sur la grille pourra toujours être
décomposée, au niveau de E , en une composante parallèle aux fils, entièrement réfléchie, et une
composante orthogonale aux fils,
! entièrement transmise.
L'onde elliptique incidente est transformée après traversée de la grille en une onde rectiligne
orthogonale à la direction des fils : la grille est dite polarisante.
!
Dans le domaine de l'optique, on peut faire traverser à des ondes lumineuses des substances
transparentes se comportant de la même façon. Ces substances, appelées polaroïds, comportent des
longues chaînes moléculaires créées par étirement et rendues conductrices, qui se comportent comme
les fils de la grille métallique.
Notons enfin que ces polariseurs servent également d'analyseurs puisqu'ils peuvent sélectionner,
donc mesurer, la composante d'une onde dans une direction donnée.
2.4.
Réflexion sur un conducteur parfait sous
incidence oblique
On suppose maintenant que le vecteur d'onde incident n'est plus parallèle à l'axe z, si bien que :
"
k i = kiy e y - kiz e z avec
ki = i
c
Toujours en supposant une onde polarisée rectilignement, la direction de polarisation de E n'est
plus indifférente. Supposons la toujours parallèle au plan séparateur, de sorte que le champ
!
!
électrique reste tangentiel.
!
!
!
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44
La continuité de ce champ sur le plan implique encore l'existence d'une onde réfléchie, de même
polarisation pour E , de même pulsation, de même amplitude, avec déphasage de π à la réflexion.
Mais quelle est la direction de propagation de cette onde réfléchie ? Le vecteur d'onde réfléchi doit
s'écrire :
k r = kry e y + krz e z avec k i = k r
!
Or la relation de continuité de E sur le plan s'écrit :
!
!
!
!
E0i e (
j " i t#k yi y )
( r
u x + E 0r e !
j " t#k yr y )
=0
∀t, ∀y
kr
Er
!
Donc,
les relations déjà citées, cette
! outre
!
!
continuité implique : kry = kiy. L'égalité des€
modules et le nécessaire retournement de la
propagation implique alors : krz = - kiz. Les
deux ondes ont donc des directions de €
propagation symétriques par rapport à la
normale au plan de séparation. On retrouve
les lois de Descartes associées au "miroir "
qu'est le conducteur pour l'onde incidente.
B
r
€
E =0
€
Ei
€
€
Bi
€
2.5.
Réflexion sur un conducteur réel
sous incidence normale
B=0
ki
€
Dans un conducteur réel, le champ électrique peut être non nul. L'onde incidente donne alors
naissance à une onde réfléchie et une onde transmise. La continuité en z = 0 du champ électrique
tangentiel s'écrit alors :
Et = Ei + Er
Les trois ondes auront même pulsation, même direction de propagation et, en introduisant des
coefficients (éventuellement complexes)
! ! de
! réflexion et de transmission la relation ci-dessus permet
d'écrire :
1+r=t
Il serait tentant d'écrire une sorte de conservation de l'amplitude sous la forme r + t = 1,
ce qui est totalement faux. La relation ci-dessus exprime la continuité du champ électrique de
chaque côté du plan.
Une deuxième nécessaire relation entre r et t sera obtenue par conservation, à la traversée du
plan, du champ magnétique. En effet, on n'a plus ici de courants surfaciques ( qui n'étaient dus qu'au
modèle limite du conducteur parfait ), donc plus de discontinuité de B , quelle que soit sa direction.
Le calcul détaillé des amplitudes des ondes réfléchie et transmise nécessite la connaissance de la
structure de l’onde dans le métal, qui sera étudiée dans un chapitre suivant...
!