Notes de cours CTN-326 Fichier

Université du Québec
École de technologie supérieure
Département de génie de la construction
1100 Notre-Dame Ouest, Montréal, Québec,
H3C 1K3
CTN-326
MÉCANIQUE DES FLUIDES ET THERMODYNAMIQUE
Notes de cours
par: François Brissette
Ces notes sont basées sur le matériel pédagogique
développé par Robert Leconte et François Brissette
Rédigé :
Révisé :
Révision majeure :
Révisé :
Révisé :
Révisé :
Révisé :
Septembre 1997
Août 2002
Décembre 2007
Avril 2008
Hiver 2009
Automne 2012
Décembre 2012
Préface
Bien que basées sur la vision personnelle des professeurs Brissette et Leconte, ces notes de cours sont en
partie inspirées d’ouvrages et de littérature existants. Parmi ceux-ci, deux excellents volumes doivent être
mentionnés :
Van Wylen, G.J., Sonntag, R.E., 1981, Thermodynamique appliquée, traduit par Pierre Desrochers,
Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., 736 pp.
Daugherty, R.L., Franzini, J.B., Finnemore, E.J., 1985, Fluid mechanics with engineering applications,
eight edition, McGraw Hill, 598 pp.
Tout le texte de ces notes de cours est original. Quelques figures et problèmes ont été empruntés, entre
autres des deux sources ci-haut.
Dans la version originale des notes de cours, plusieurs problèmes avaient été tirés des notes du cours de
ING-130 par Adil Benmassaoud et Éric David version décembre 1996. Il faut noter que ces problèmes
n’étaient pas originaux et venaient de plusieurs sources non citées.
Un des buts de la révision majeure de ces notes de cours en décembre 2007 a été d’éliminer ces problèmes
empruntés. Sauf oubli ou erreur, la très grande majorité des problèmes de ces notes de cours sont donc
originaux.
Sincères remerciements à Mélanie Trudel pour avoir effectué une révision complète de ces notes de cours
à l’hiver 2009.
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Chapitre 1
Propriétés des fluides
Objectifs
La maîtrise des notions présentées dans ce chapitre devrait vous permettre de pouvoir :
• expliquer les termes fluides, gaz, thermodynamique, mécanique des fluides et hydraulique;
• définir conceptuellement et mathématiquement les notions d’énergie et de travail ainsi que de
la transformation d’énergie;
• nommer les unités standards du Système International, pouvoir les manipuler facilement et
effectuer les conversions d’unités courantes;
• définir les principales propriétés des fluides gazeux et liquides, conceptuellement et
physiquement;
• différentier les fluides et solides sur la base de leur propriété mécanique;
• comprendre et expliquer les variations des principales propriétés des fluides en fonction de la
température;
• résoudre des problèmes simples mettant en relief les propriétés de base des fluides.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-1
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
1.1 Introduction générale
La thermodynamique et la mécanique des fluides sont des sciences fondamentales importantes
pour plusieurs aspects de la tâche d’un ingénieur. Les principes de base de ces sciences datent
tous de plusieurs décennies et même centaines d’années dans plusieurs cas. Leur apprentissage
et compréhension sont fondamentaux pour les notions plus avancées qui suivront dans plusieurs
autre cours tels que hydraulique et hydrologie, mécanique des sols, génie de l’environnement,
hydraulique urbaine er ressources hydriques pour ne nommer que ceux-là . En tant que futur
ingénieur en construction, vous êtes particulièrement bien placé pour savoir que la construction
sur des fondations minées est une entreprise périlleuse. Donnez à ce cours l’attention et le travail
qu’il mérite.
Ce cours est principalement orienté sur la partie mécanique des fluides dont la compréhension est
plus essentielle à la suite du programme en génie de la construction. En thermodynamique,
l’accent sera mis sur les principes de base nécessaires aux applications de la climatisation et aux
échanges de chaleur qui sont importants dans les bâtiments.
1.2 Définitions
Mécanique des fluides : science qui étudie les propriétés des fluides selon les lois de la
mécanique et de la thermodynamique
Thermodynamique : 1) Étude de l’énergie et de ses transformations 2) partie de la physique qui
traite des relations entre les phénomènes mécaniques et calorifiques
Hydraulique : mécanique des fluides appliquée à l’eau, principalement sous forme liquide
Fluide : substance qui se déforme d’une manière continue sous l’effet d’une force de
cisaillement, peu importe la grandeur de cette dernière.
Cette définition diffère grandement de celle d’un solide où pour une contrainte donnée
correspond une déformation finie et non pas continue. Cette définition peut se présenter de la
manière suivante :
F
Plaque de superficie A
v
y
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-2
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
La force requise pour déplacer la plaque est proportionnelle à l’aire de la plaque, à la vitesse à
laquelle cette dernière se déplace, et inversement proportionnelle à l’épaisseur de fluide de telle
sorte que :
Fα
Av
y
1.1
En remplaçant la force par sa contrainte de cisaillement (F/A) et en remplaçant la
proportionnalité par l’introduction d’une constante µ, on retrouve :
τ = µ
dv
dy
1.2
Ou dv/dy représente le taux de déformation du fluide. Nous reviendrons sur la signification de la
constante de proportionnalité dans une prochaine section.
τ (Pa)
Plastique idéal
Fluide newtonien
Fluide non newtonien
Fluide idéal
dv/dy (sec-1)
Les fluides peuvent être séparés en deux grandes catégories: les gaz et les liquides. Les
propriétés des gaz et des fluides diffèrent grandement, mais à la base, les deux respectent
l’équation 1.2 qui les classe dans une catégorie à part des solides.
1.3 Notions d'énergie
La notion d’énergie occupe une place prépondérante dans notre société qui est d’abord et avant
tout basée sur sa consommation.
L’énergie peut se définir comme une capacité d’effectuer un travail ou de provoquer un débit de
chaleur. L’ingénierie en tant que discipline est en grande partie basée sur la transformation
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-3
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
d’énergie. Le diagramme suivant illustre les différentes formes d’énergie ainsi que les
transformations nécessaires pour des usages de tous les jours.
Energie chimique
(essence)
Energie nucléaire
(atome)
Energie solaire
(soleil)
Combustion
Réaction nucléaire
Collecteur solaire
Énergie
hydraulique
Énergie de chaleur
Machine thermique
(heat engine)
Turbine
(Francis, Pelton...)
Énergie mécanique
Générateur électrique
Énergie électrique
lignes de transmission
Chauffage
Moteur électrique
(résistance, induction)
Énergie de chaleur
• chauffe-eau
• radiateur
• four
• éclairage etc...
Énergie mécanique
• laveuse
• rasoir
• perceuse
• etc...
Étapes de conversion d’énergie aux fins d’utilisation d’énergie électrique
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-4
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Dans un tel contexte, il ne faut pas s’étonner que chaque processus de conversion d’énergie soit
étudié en grand détail afin d’obtenir une efficacité maximum. Dans une chaîne de processus de
transformation, le rendement total de conversion est donné par :
η total =
n
∏η
i
1.3
i=1
Pour une conversion d’énergie, l’efficacité ou rendement de chaque processus doit être maximum
et le nombre de processus minimum. La thermodynamique étudie précisément les aspects
d’efficacité de conversion d’énergie. Le tableau suivant donne l’efficacité de processus de
conversion d’énergie courants.
Méthode de conversion d'énergie
chauffage électrique à résistance
turbine hydraulique
moteur électrique (250 kW)
moteur électrique (1 kW)
moteur diésel (50 kW - 67 hp)
moteur à essence
capteur solaire
moteur à vapeur (locomotive)
photosynthèse
Efficacité
(%)
~ 100
> 90
90
78
40
33
10
8
2
1.4 Unités standards
Le système d’unités le plus utilisé au Québec est le système international (SI). Le système
international, contrairement à ses concurrents, est un système défini en ce sens qu’une force
unitaire exercée sur une masse unitaire crée une accélération unitaire. Les trois unités de base
sont le kilogramme, le mètre et la seconde. L’unité de force correspondante, le Newton, est donc
égale à 1 kg m sec-2.
Toutefois, par tradition et à cause de la proximité des Américains, de nombreuses unités
anglaises telles le PSI, le HP ou le BTU sont couramment utilisées en mécanique des fluides.
Une révision des unités standards est recommandée.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-5
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
1.5 Propriétés des fluides gazeux et liquides
1.5.1 Compressibilité
Il est nécessaire de considérer séparément les liquides et les gaz étant donné leurs caractéristiques
opposées.
1.5.1a Liquides (densité, masse volumique)
La compressibilité des liquides est définie par leur module d’élasticité Em défini par :
Em = -V
dP
dV
1.4
Où P est la pression et V le volume. Par exemple, le module d’élasticité de l’eau varie avec la
température et a une valeur de 2.18 GPa à 20oC. Le tableau 1 présenté à la fin du chapitre donne
les valeurs du module d’élasticité de l’eau en fonction de la température. Cette haute valeur du
module d’élasticité indique qu’en pratique les liquides peuvent être considérés comme
incompressibles. Les exemples suivants illustrent ce fait.
Exemple :
Quelle est la variation du volume d’eau en % lorsque la pression passe de 1 à 2 atmosphères ?
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-6
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Exemple :
Quelle est l’augmentation nécessaire de la pression pour provoquer une diminution de volume de
1% pour de l’eau à 20oC ?
Solution :
1.5.1b Gaz (équation d'état)
Pour un gaz parfait, la loi d’Avogadro nous indique que pour une même température et pression,
deux volumes de gaz contiennent le même nombre de molécules. À 0oC et 101.3 kPa, ce nombre
est de 6.023x1023 molécules et définit l’unité de mole. À ces conditions, une mole de gaz occupe
un volume de 22.41 litres. La loi des gaz parfaits nous indique cette relation de façon générale :
PV = nR' T
1.5
où P est la pression absolue en Pa, V le volume en m3, T la température en Kelvins, n le nombre
de moles et R' la constante universelle des gaz parfaits égale à 8.314 J/(mol.K).
L’équation 1.5 peut aussi être exprimée sous forme massique par :
PV = mRT
1.6
Avec la masse m en kilogramme et avec R=R'/mm où mm est la masse molaire exprimée en
kg/mole. La constante R exprimée en J/(kg.K) est donc spécifique à chaque gaz . Cette constante
pour plusieurs gaz courants est présentée dans le tableau 5 à la fin du chapitre.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-7
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Un gaz parfait est un gaz qui répond aux conditions suivantes :
•
•
•
•
Les molécules de gaz sont espacées les unes des autres
Les molécules occupent un espace négligeable par rapport au récipient
Les collisions entre les molécules sont élastiques
L’énergie des molécules est strictement une énergie de translation
Les gaz dont la structure moléculaire est complexe ou qui sont près de leur point de vaporisation
ne répondent donc pas à ces critères. En thermodynamique, comme beaucoup de phénomènes se
passent près des points de changements de phase (par exemple en réfrigération), l’utilisation de la
loi des gaz parfaits peut entraîner des erreurs considérables. Plusieurs équations d’approximation
existent, mais il est généralement beaucoup plus utile d’utiliser les tables de thermodynamique
qui seront introduites au chapitre 7. Pour les problèmes de ce chapitre, considérez que la loi des
gaz est toujours applicable.
Exemple :
Un réservoir cylindrique d’air comprimé a un diamètre de 0.3m et une longueur de 2.5 m. La
pression absolue dans le réservoir est de 1.1 MPa. Calculez la masse d’air dans le réservoir.
T=20oC
Solution :
1.5.2 Viscosité (dynamique et cinématique)
Plus tôt dans ce chapitre, un fluide a été défini comme se déformant de manière continue sous
une contrainte de cisaillement, peu importe la grandeur de cette dernière. Le gradient de vitesse
ou taux de déformation est directement proportionnel à la contrainte de cisaillement selon
l’équation 1.2 reproduite ici :
τ = µ
dv
dy
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1.7
1-8
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
La viscosité d’un liquide est définie par cette constante de proportionnalité. Plus cette dernière
est élevée, plus le fluide offrira une résistance accrue à la déformation. Les unités standard de la
viscosité sont le Pa.sec. Sous ces unités on la qualifie de viscosité dynamique.
La viscosité est due aux forces de cohésion créées par les dipôles de l’eau (voir la prochaine
section) ainsi qu’au transfert de momentum créé par le mouvement des molécules au travers des
couches de fluide voyageant à des vitesses différentes. La première force domine chez les
liquides alors que la deuxième est prédominante chez les gaz. Il en résulte que la viscosité d’un
liquide diminue avec une augmentation de la température alors qu’elle augmente chez un gaz.
La viscosité est aussi souvent exprimée sous forme cinématique en divisant la viscosité
dynamique par la masse volumique du fluide de la façon suivante :
ν =
µ
ρ
1.8
Les unités de la viscosité cinématique sont le m2/sec . Les valeurs de viscosité pour l’eau et l’air
sont présentées à la fin de chapitre.
1.5.3 Tension de surface (cohésion, adhésion, capillarité)
Les liquides présentent des caractéristiques d’adhésion et de cohésion qui représentent toutes
deux une forme d’attraction moléculaire. La cohésion permet au liquide de résister à sa
déformation alors que l’adhésion permet son adhérence à un autre corps.
La force de cohésion d’un liquide est due à la polarité de ses molécules. L’eau, par exemple, est
un liquide polaire. Cette polarité, bien que la molécule soit neutre dans son ensemble, entraîne
par différence d’électronégativité la présence de dipôles positifs et négatifs. Les molécules
s’orientent naturellement en position d’attraction mutuelle et cette force doit être vaincue pour
créer une déformation de la surface. L’adhésion vient du même phénomène, mais avec un corps
étranger. La tension de surface est exprimée en N/m. Pour la plupart des applications en
ingénierie, la tension de surface peut être négligée. Elle est toutefois très importante pour
plusieurs phénomènes naturels, dont la capillarité.
2δδ+
H O
105
H δ+
o
L'eau, une molécule polaire
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-9
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
La capillarité permet entre autres la montée de l’eau dans les arbres. L’effet ménisque est le
résultat de la capillarité. Si les forces d’adhésion dominent (eau dans un tube de verre) on
observe une montée capillaire alors que si les forces de cohésion dominent (mercure dans un tube
de verre), on observe une dépression capillaire.
σ - tension de surface
θ
h - montée capillaire
r
Avec l’équilibre entre la force de tension et la force de gravité, on peut facilement démontrer que
la montée capillaire h d’un liquide est définie par :
h =
2σ cosθ
ρ gr
1.9
L’angle θ dépend des propriétés du fluide et de la paroi. Dans le cas de l’eau en contact avec du
verre propre θ = 0. Pour du mercure en contact avec du verre, θ = 140 et une dépression sera
observée.
Exemple :
Calculez et comparez la montée capillaire pour du mercure et de l’eau à 20oC dans un tube de
verre propre dont le diamètre est de 0.5mm.
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-10
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
1.5.4 Pression de vapeur
Tous les liquides tendent à s’évaporer ou à se volatiliser en projetant des molécules au dessus de
leur surface. Si le volume au dessus de cette surface est confiné, une pression partielle est créée
par la vapeur. À un point donnée, le nombre de molécules quittant la surface du liquide est
balancé par le nombre de molécules revenant vers cette surface. À ce moment, on parle de
pression de saturation. L’activité moléculaire augmente avec la température et donc la pression
de vapeur aussi. Si la pression ambiante exercée sur la surface d’un liquide devient égale ou
inférieure à la pression de vapeur il s’ensuit une volatilisation rapide qu’on appelle ébullition. La
pression de vapeur de l’eau est de 101.3 kPa à 100oC et donc, à la pression atmosphérique
ambiante, le point d'ébullition de l’eau est de 100oC. À 20oC la pression de vapeur de l’eau est
de 2.34 kPa. Si on réduit la pression ambiante à 2.34 kPa, le point d'ébullition sera de 20oC.
Le phénomène d’ébullition à basse pression est appelé cavitation. Ce phénomène est important
pour plusieurs applications d’hydraulique (notamment les pompes) où de basses pressions
peuvent survenir naturellement. Si ces baisses de pression sont trop élevées, l’eau peut passer
sous forme vapeur pour rapidement revenir sous forme liquide dès que la pression s’élève à
nouveau. La création et destruction subséquente des bulles d’air peut rapidement endommager
les ouvrages hydrauliques.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-11
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Les tableaux suivants sont tirés de Daugherty, R.L., Franzini, J.B., et Finnemore, E.J., 1985, Fluid mechanics
with engineering applications, 8th edition, McGraw-Hill, 581 pp.
Tableau 1 Propriétés physiques de l'eau en unités SI
Température,
Poids
volumique
Masse
volumique
Viscosité
dynamique
Viscosité
cinématique
Tension
de surface
Pression de
vapeur
Module
d’élasticité
volumique,
Em,
× 106
kN/m2
°C
γ,
kN/m3
ρ,
kg/m3
μ,
× 10-3
N⋅s/m2
ν,
× 10-6
m2/s
σ,
N/m
ρν
kN/m2, abs
0
5
10
15
20
9.805
9.807
9.804
9.798
9.789
998.8
1000.0
999.7
999.1
998.2
1.781
1.518
1.307
1.139
1.002
1.785
1.519
1.306
1.139
1.003
0.0756
0.0749
0.0742
0.0735
0.0728
0.61
0.87
1.23
1.70
2.34
2.02
2.06
2.10
2.14
2.18
25
30
40
50
60
9.777
9.764
9.730
9.689
9.642
997.0
995.7
992.2
988.0
983.2
0.890
0.798
0.653
0.547
0.466
0.893
0.800
0.658
0.553
0.474
0.0720
0.0712
0.0696
0.0679
0.0662
3.17
4.24
7.38
12.33
19.92
2.22
2.25
2.28
2.29
2.28
70
80
90
100
9.589
9.530
9.466
9.399
977.8
971.8
965.3
958.4
0.404
0.354
0.315
0.282
0.413
0.364
0.326
0.294
0.0644
0.0626
0.0608
0.0589
31.16
47.34
70.10
101.33
2.25
2.20
2.14
2.07
Tableau 2 Propriétés physiques de l'air à la pression de 101.3kPa en unités SI
Température
T,
°C
T,
°F
-40
-20
0
10
20
30
40
60
80
100
200
-40
-4
32
50
68
86
104
140
176
212
392
Masse
volumique
Poids
spécifique
Viscosité
dynamique
Viscosité
cinématique
ρ,
kg/m3
γ,
kN/m3
µ,
× 10-5
N⋅s/m2
ν,
× 10-5
m2/s
1.515
1.395
1.293
1.248
1.205
1.165
1.128
1.060
1.000
0.946
0.747
14.86
13.68
12.68
12.24
11.82
11.43
11.06
10.40
9.81
9.28
7.33
1.49
1.61
1.71
1.76
1.81
1.86
1.90
2.00
2.09
2.18
2.58
0.98
1.15
1.32
1.41
1.50
1.60
1.68
1.87
2.09
2.31
3.45
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-12
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Tableau 3 L'atmosphère standard (selon OACI) en unités SI
Élévation au-dessus
du niveau de la mer,
Température
Pression
absolue
kN/m2, abs
Poids
spécifique
γ,
kN/m3
Masse
volumique
ρ,
kg/m3
Viscosité
dynamique
μ,
× 10-5
N⋅s/m2
km
°C
0
15.0
101.33
12.01
1.225
1.79
2
4
6
8
10
2.0
-4.5
-24.0
-36.9
-49.9
79.50
60.12
47.22
35.65
26.50
9.86
8.02
6.46
5.14
4.04
1.007
0.909
0.660
0.526
0.414
1.73
1.66
1.60
1.53
1.46
12
14
16
18
20
-56.5
-56.5
-56.5
-56.5
-56.5
19.40
14.20
10.35
7.57
5.53
3.05
2.22
1.62
1.19
0.87
0.312
0.228
0.166
0.122
0.089
1.42
1.42
1.42
1.42
1.42
25
-51.6
2.64
0.41
0.042
1.45
30
-40.2
1.20
0.18
0.018
1.51
Tableau 4 Propriétés physiques des liquides communs à la pression atmosphérique
standard en unités SI
Liquide
Benzène
Tetrachlorure
de carbone
Pétrole
Gazoline
Glycérine
Hydrogène
Kerosène
Mercure
Oxygene
SAE 10
huile
SAE 30
huile
Eau
Température
Masse
volumique
Densité
Viscosité
dynamique
Tension
de surface
Pression de
vapeur
T,
°C
ρ,
kg/m3
s
μ,
× 10-4
N.s/m2
σ,
N/m
ρν
kN/m2, abs
20
895
0.90
6.5
0.029
10.0
1.03
20
20
20
20
-257
20
20
-195
20
1588
856
678
1258
72
808
13550
1206
918
1.59
0.86
0.68
1.26
0.072
0.81
13.56
1.21
0.92
9.7
72
2.9
14900
0.21
19.2
15.6
2.8
820
0.026
0.03
12.1
1.1
20
918
0.92
4400
0.036
20
998.2
1.00
10.1
0.073
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
0.063
0.003
0.025
0.51
0.015
0.037
55
0.000014
21.4
3.20
0.00017
21.4
2.34
Module
d’élasticité
volumique
Em,
x106,
kN/m2
4.35
26.2
2.18
1-13
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Tableau 5 Propriétés des gaz communs au niveau de la mer à 68°F en unités SI
Gas
Air
Dioxide de
carbone
Monoxide
de carbone
Helium
Hydrogene
Methane
Axote
Oxygen
Vapeur
d’eau
Formule
chimique
Poids
moléculaire
Masse
volumique
Viscosité
dynamique
Constante des
gaz
ρ,
kg/m3
μ,
× 10-5
N⋅s/m2
R,
N.m/(kg.K)
[=m2/(s2.K)]
Chaleur spécifique
N.m/(kg.K)
[(= m2/(s2.K)]
_______________
Cp
Cv
29.0
1.205
1.80
287
1003
716
CO 2
44.0
1.84
1.48
188
858
670
CO
He
H2
CH 4
N2
O2
28.0
4.00
2.02
16.0
28.0
32.0
1.16
0.166
0.0839
0.668
1.16
1.33
1.82
1.97
0.90
1.34
1.76
2.00
297
2077
4120
520
297
260
1040
5220
14450
2250
1040
909
743
3143
10330
1730
743
649
H2O
18.0
0.747
1.01
462
1862
1400
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-14
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Problèmes
PARTIE I: révision des unités et de la mécanique (pression, force,
travail, rendement, etc.)
Problème 1
Une génératrice diésel dont le rendement est de 45% est utilisée pour actionner une pompe pour vider les
infiltrations d'eau dans une tranchée (le rendement du moteur électrique est de 80% et celui de la pompe
est de 50%). Calculez le rendement total de l’opération.
Rép.: 18%
Problème 2
Donnez les dimensions des termes suivants et leurs unités dans le système international
a
= gt2, b = rω, c = pvD/µ, d = ρgh,
g
t
r
ω
ρ
T
:
:
:
:
:
:
accélération gravitationnelle
temps
rayon d’une roue
vitesse angulaire
masse volumique
température absolue
e = ρRT
v
D
µ
h
R
Q
:
:
:
:
:
:
f = v/(gh)
g=ρQgh
vitesse linéaire
diamètre d’une conduite
viscosité dynamique
hauteur de liquide
constante spécifique des gaz parfaits
débit volumique (m3/sec)
Rép.: M ; m/s ; sans unité ; Pa ; Pa; sans unités, W
Problème 3
Trente livres d’un fluide occupent un espace de 15 litres. Veuillez calculer la masse volumique du fluide.
Rép.: 909 kg/m3
Problème 4
Un chimiste veut préparer un liquide ayant une densité de 1,1 en mélangeant un liquide miscible de
densité 1.25 et de l’eau. Quelle est la proportion du volume d’eau ajouté par rapport au nouveau volume.
Rép.: α = 0,6 (60% du volume sera de l’eau)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-15
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Problème 5
Calculez la consommation d'essence (en litres/100 km) d'un véhicule roulant à 100 km/h connaissant les
points suivants:
•
•
•
•
•
•
coefficient de traînée C de la voiture = 0.4
densité de l'essence diésel : 0.8
contenu énergétique de l'essence 48x106 Joules/kg
rendement du moteur 33%
supposez que toute l’énergie du véhicule est utilisée pour combattre la résistance de l'air.
la force de résistance due à l'air est donnée par F air = 2.5 x C x V2 où V est la vitesse du véhicule en
m/sec
indice: Energie = Force x déplacement (calculez l’énergie pour un déplacement de 100 km)
Rép.: 6.1 litres/100 km
Problème 6
Combien de marches et quelle élévation une personne de 50 kg pourrait-elle grimper après avoir bu un
litre de lait ?
•
•
•
•
densité du lait 0.8
contenu calorifique du lait 717 calories/kg
efficacité de conversion humaine = 15%
hauteur de la contremarche = 20 cm
NB: 1 calorie = 4184 Joules
Rép.: 3675 marches ou 735 mètres de gain vertical
(on peut noter que la bière a un contenu calorifique d'environ 430 calories/kg et que vous ne
pourriez donc monter qu'environ 2200 marches pour le même litre, sans compter les risques
accrus d'accidents...)
Problème 7
Quelle puissance électrique pourrait-on produire si on brûlait les notes de cours des étudiants de l'ÉTS de
façon continue ?
•
•
•
•
•
production de notes: 2 kg/cours
nombre de cours/année: 10 cours
nombres d'étudiants à l'ÉTS: 2000 étudiants
contenu calorifique du papier 2x104 Joules/g.
efficacité de conversion chaleur - électricité: 30%
Rép.: 7.6 kW (environ 10 hp)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-16
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
PARTIE II: Propriétés des fluides
Problème 8
Calculez l'augmentation de pression nécessaire à une diminution de volume de 5% d'un volume d'eau de 1
litre à 20oC. Si notre volume d'eau a une surface de 1000 cm2 combien de Volkswagen Golf (1000 kg)
faudrait-il empiler pour créer cette diminution de volume (P=F/A=mg/A) ?
NB: le module d'élasticité volumique de l'eau à 20oC est de 2.2 GPa
Rép.: ∆P= 0.11GPa, 1122 Volkswagen Golf
Problème 9
Un cylindre d'air comprimé fait 240 mm de diamètre et un mètre de long. Un indicateur de pression
relative indique que la pression est de 0.6 MPa lorsque la température est de 20oC. Trouver la masse d'air
à l'intérieur du cylindre. (Pabsolue = Prelative + Patmosphérique).
Rép.: 0.377 kg
Problème 10
Le pneu d'une roue de bicyclette de 700 mm de diamètre est gonflé à sa cote de pression maximale est de
100 psi à une température de 20oC. La bicyclette est par la suite remisée à l'intérieur d'une voiture laissée
en plein soleil. Si la température à l'intérieur de la voiture monte à 50oC et que la pression maximale que
le pneu puisse réellement supporter est de 110 psi (compte tenu du facteur de sécurité de 10 psi), y aura-til crevaison ? (considérez le volume de la chambre à air comme étant constant). Le diamètre de la
chambre à air est de 23 mm.
NB: les pressions sont relatives.
Rép.: La pression relative montera à 111.7 psi et il y aura donc crevaison.
Problème 11
Calculez le diamètre d'un tube de verre nécessaire afin de créer une montée capillaire de 100 mètres pour
de l'eau à 10oC (l’eau et le verre sont propres : θ = 0).
Rép.: 0.3 µm
Problème 12
A quelle température l'eau bouillira-t-elle à Mexico située à 2300 mètres en altitude.
Rép. : ≈ 91oC
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-17
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Problème 13
A quelle température l'eau bouillira-t-elle au sommet du mont Everest situé à 8844 mètres en altitude.
Rép. : ≈70oC
Problème 14
Un fluide remplit l’espace entre deux plaques posées l’une sur l’autre dans un plan horizontal. Les deux
plaques sont distantes de 5mm. Une contrainte de 100 Pa permet de déplacer la plaque supérieure à une
vitesse de 1m/sec. Le profil de vitesse entre les deux plaques est linéaire. Veuillez calculer la viscosité
dynamique du fluide entre les deux plaques.
Rép. : 0.5 Pa.sec (N.sec/m2)
Problème 15
Le profil de vitesse au sein d’une conduite de 2 cm de diamètre est donné par l’expression suivante : V(r)
= 10(1 – (100r)2) m/s. Calculez la contrainte de cisaillement à la paroi si l’eau est à 25° C. Note : vous
devrez calculer le gradient de vitesse dv/dr à la paroi (r=0cm au centre, r=1cm à la paroi).
Rép.: τ = 1,8 Pa
Problème 16
Un viscosimètre est composé de deux tubes concentriques de 30 cm de long chacun et de 20,0 cm et 20,2
cm de diamètre, respectivement. Un couple de 0,13 N.m, est nécessaire pour tourner le cylindre interne à
une vitesse de 400 tpm (tour par minute). Calculez la viscosité dynamique du fluide.
Rép.: µ = 1,65 × 10-3 Pa.sec
Problème 17
Un ballon sphérique rigide à un rayon de 5m. La pression absolue dans le ballon est égale à la pression
atmosphérique de 100 kPa et la température est de 20°C.
1. Calculez la masse et le nombre de moles d’air que déplace le ballon.
2. Si le ballon est rempli d’hélium à 100 kPa et à 20° C, quels sont la masse et le nombre de moles
d’hélium.
Rép.: 1. : n = 21,5 kmoles; m=623 kg
2. : n = 21,5 kmoles ; m = 86 kg
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1-18
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
Problème 18
Un cylindre vertical fermé par un piston sans frottement contient de l’argon à 100° C. Le piston a une
masse de 5 kg et un diamètre de 100 mm; la pression atmosphérique est de 97 kPa. Si le volume du
cylindre est de 2 L, quelle est la masse d’argon qui se trouve à l’intérieur ? R argon =208.13
NB : la pression absolue à l’intérieur du cylindre est égale à la pression atmosphérique plus le poids du
piston divisé par son aire (P=mg/A).
Rép.: m = 2,66 g
Problème 19
Un cylindre vertical fermé par un piston sans frottement et muni de butées contient de l’air. La section du
piston est de 0,2 m2. L’air est initialement à 200 kPa (pression absolue) et à 500° C; il est ensuite refroidi
par suite d’un échange de chaleur vers le milieu ambiant.
a) Quelle est la température de l’air contenu dans le cylindre au moment où le piston atteint les butées
sachant que cette évolution est à pression constante ?
b) Si le refroidissement est poursuivi jusqu’à ce que la température atteigne 20° C, quelle est la pression
à l’intérieur du cylindre dans ce dernier état ?
Rép.: a) T 2 = 113, 43° C
b) P 3 = 151, 7 kPa
1m
1m
Problème 20
Un réservoir rigide A est relié à un ballon sphérique et élastique B. Chacun contient de l’air à la
température ambiante de 25° C. Le volume du réservoir A est de 0,1 m3 et la pression absolue initiale est
de 300 kPa. Le diamètre initial du ballon est de 0,5 m et la pression absolue intérieure est de 100 kPa. On
ouvre le robinet reliant A et B et on laisse ouvert. On peut supposer que la pression à l’intérieur du ballon
est directement proportionnelle au diamètre du ballon et que la température finale de l’air y est uniforme à
25° C. Déterminez la pression finale dans le système et le volume final du ballon.
Rép.: P f = 136,6 kPa
V f = 0,167 m3
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-19
Chapitre 1 : Propriétés des fluides
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
1-20
Chapitre 2 : Statique des fluides
Chapitre 2
Statique des fluides
Objectifs
La maîtrise des notions présentées dans ce chapitre devrait vous permettre de pouvoir:
• saisir que la pression en un point d'un fluide statique est indépendante de la direction;
• expliquer que les points situés sur un même niveau d'un fluide statique continu ont la même
pression;
• exprimer la pression d'un fluide selon les unités courantes, incluant en hauteur de pression (m
ou pieds);
• calculer la pression d'un fluide statique incompressible ou compressible à différentes
profondeurs ou altitude;
• définir les termes pression absolue, relative, atmosphérique, pression de vide;
• discuter des différents appareils disponibles pour mesurer la pression relative et absolue;
• effectuer les calculs nécessaires reliés aux différents appareils de mesure de la pression;
• définir les termes : centre de gravité, centroïde, centre de pression, moment d'inertie;
• calculer la force résultante et son point d'application sur toute surface plane immergée;
• calculer les composantes horizontales et verticales des forces agissant sur une surface courbe
immergée;
• définir la force de poussée;
• calculer la force de poussée s'exerçant sur des volumes simples complètement ou
partiellement immergés;
• définir le terme d'hydraulique de puissance et appliquer les concepts de statique des fluides
pour la résolution de calculs simples.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-1
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.1 Introduction
La mécanique des fluides peut être séparée en deux grandes branches qui sont la statique et la
dynamique. La statique est la branche qui étudie les fluides au repos, c’est-à-dire les fluides dans
lesquels aucun déplacement macroscopique des molécules n'existe. Les vitesses et accélérations
du fluide sont donc nulles partout. De par la définition même d’un fluide, aucune contrainte de
cisaillement ne s’exerce donc sur un fluide au repos. La statique s’intéresse donc aux forces
exercées par le fluide sur des corps et surfaces immergés ou sur des corps flottants.
2.2 Pression en un point d'un fluide statique
Examinons le diagramme de corps libre d’une particule de fluide infinitésimale de forme
triangulaire tel qu’illustré au diagramme suivant.
Si le fluide est au repos, il s’ensuit du premier principe de Newton que :
∑ F =0
x
et
∑F
y
=0
2.1
On peut donc écrire :
∑F
= p xδ y - psδ ssinθ = 0
∑F
= p yδ x - psδ s cosθ - ρ g
x
y
2.2
δ xδ y
2
=0
2.3
La solution des équations 2.2 et 2.3 donne p x = p y = p z . Dans un fluide au repos, en tout point
de ce dernier, la pression est donc égale dans toutes les directions. Ce n’est pas la même chose
pour un solide au repos où les contraintes peuvent varier dans les directions. Il n’est donc pas
possible d’avoir de contrainte de cisaillement dans un fluide au repos. Dans un fluide en
mouvement, généralement p x ≠ p y ≠ p z .
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-2
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.3 Variation de pression dans un fluide
statique
2.3.1 Fluide incompressible
Analysons le diagramme suivant qui exprime les forces qui s’exercent sur un volume cubique de
fluide au repos.
Il est facile de voir que la sommation des forces en x et en z est égale à zéro puisqu’elles ne
dépendent que de la pression. Dans le sens vertical par contre, il faut tenir compte de la force de
gravité et nous avons :
∑F
y
= -(p +
∂p δy
∂p δy
) δ z δ x + (p) δ zδ x - γ δ x δ yδ z
∂y 2
∂y 2
2.4
qui se simplifie par :
dp
= -γ = -ρ g
dy
2.5
Il est courant en mécanique des fluides de nommer l’axe vertical ‘z’ ce qui donne :
dp
= -γ = -ρ g
dz
2.6
Peu importe la nomenclature, la variation de pression dans un fluide statique est toujours dans le
sens du vecteur local de l’accélération gravitationnelle. L’équation 2.6 s’intègre pour donner la
relation importante de :
∆p = -ρ g∆z = -γ z
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2.7
2-3
Chapitre 2 : Statique des fluides
Le signe négatif indique que la pression augmente lorsque z diminue. Plutôt que d’utiliser le
signe négatif, il est coutume de mesurer z à partir de la surface libre et augmentant en profondeur.
Avec cette convention et en spécifiant p=0 à la surface, nous trouvons :
p = ρ gz = γ z
2.8
Exemple :
Un observatoire sous-marin est situé à 100 mètres de profondeur. Calculez la force exercée sur
un hublot rond et horizontal de 1m de diamètre. La masse volumique de l’eau salée : 1020
kg/m3.
Solution :
2.3.2 Fluide compressible
Pour un fluide compressible (un gaz), en utilisant la loi des gaz parfaits, nous pouvons écrire
PV = mRT
ou encore
P = ρ RT
2.9
À partir des équations 2.6 et 2.9, il est possible d’écrire
dP
gdz
=P
RT
2.10
-g
(z 2 -z1 )
P2
= e Rt
P1
2.11
Et en intégrant, on trouve :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-4
Chapitre 2 : Statique des fluides
L’équation précédente n’est valide que si la température est constante. Toutefois comme la
figure suivante le démontre ainsi qu’au tableau 3 du chapitre 1, ceci n’est pas le cas de
l’atmosphère, qui est le cas pratique le plus courant d’un fluide compressible au repos où la
pression verticale varie fortement.
Ce diagramme montre la structure de l’atmosphère terrestre sur toute son épaisseur. En
ingénierie, la troposphère est la zone la plus importante et elle s’étend sur les 12 premiers
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique dT
dz = b
2-5
2.12
Chapitre 2 : Statique des fluides
kilomètres de son épaisseur. Le gradient de température dT/dz = -b est constant dans cette zone
et est égal à approximativement 6.5oC/km. En substituant
à l’intérieur de l’équation 2.10, on peut retrouver l’expression
g
 T  Rb
P2
=  2
P1
 T1 
2.13
qui est valide pour tout gaz parfait dont la variation de température en fonction de l’élévation est
constante. Cette équation est valide pour la troposphère. Outre les applications aux calculs
atmosphériques, il y a peu d’autres applications où il est nécessaire d’étudier les variations de
pression d’un gaz au repos. Comme les gaz ont une masse volumique très faible, à moins que la
dimension verticale d’un volume de gaz soit énorme, la variation de pression selon cet axe est
négligeable. Il n’en est pas de même pour un liquide.
Exemple :
Calculez la pression atmosphérique à une hauteur de 10 000m si :
• Patm au niveau de la mer = 101.3 kPa
• Le gradient thermique est de 6.5 oC/km
• T=15oC au niveau de la mer
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-6
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.4 Hauteur de pression
Il est commun en mécanique des fluides d’exprimer la pression par la hauteur (en unité de
longueur) équivalente d’une colonne de fluide statique qui exercerait une pression équivalente à
sa base. Cette hauteur équivalente est appelée hauteur de pression ou parfois tête d’eau. Dans le
cas d’une pompe, on parlera plutôt de hauteur manométrique.
Cette hauteur est exprimée par :
h=
P
γ
=
P
ρ gz
=
=z
ρg
ρg
2.14
Les unités sont généralement exprimées en mètres ou en pieds, mais peuvent aussi avoir
n’importe quelle unité de hauteur. Le type de liquide doit être obligatoirement mentionné si ce
n’est pas de l’eau. Par exemple, il est courant d’exprimer la pression atmosphérique en mm de
mercure.
2.5 Pression relative et absolue
L’Italien Evangelista Torricelli fut le premier à mesurer la pression atmosphérique. En utilisant
un tube de verre inversé tel qu’illustré ci-dessous, il établit en 1643 la première mesure de la
pression atmosphérique à 760 mm de mercure. Il observa aussi que cette dernière variait
légèrement selon les jours. Comme cette mesure fut faite par rapport au vide du sommet du tube
(la pression de vapeur du mercure est très faible) il s’agit d’une pression absolue.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-7
Chapitre 2 : Statique des fluides
En hydraulique, il est courant de mesurer la pression de l’eau relativement à la pression
atmosphérique. On parle alors de pression relative. De cette façon, la pression à la surface libre
d’un liquide est égale à zéro. En pression relative, on parle parfois de pression de vide (vacuum)
pour exprimer une pression relative inférieure à zéro et de pression de gage pour référer à une
pression relative positive.
On peut noter les échelles suivantes pour les différentes mesures possibles:
•
•
•
•
Pression absolue
Pression relative
Pression de vide
Pression gage
0 à +α
-(Patm) à +α
0 à Patm
0 à +α
Selon ces échelles les mesures suivantes sont équivalentes (Patm = 101 kPa): une pression
absolue de 30 kPa, une pression relative de –71 kPa, une pression de vide de +71kPa.
On peut noter entre autres les unités suivantes pour la pression:
•
•
•
•
•
•
1 atmosphère (atm) = 101 325 pascal = 101.3 kPa
1 atm = 1.01325 bar
100 kPa = 1 bar = 1000 millibar
1 atm = 1013.25 millibar
1 atm = 760 mm de Hg
1 atm = 14.696 psi
P
Pression relative
(gage pressure)
Pression de vide
(vacuum)
Pression atmosphérique (101.3 kPa, 760 mmHg, 14.7 psi)
Pression absolue
Pression absolue
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
Zero
Absolu
(vide)
2-8
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.6 Mesures de la pression
Divers instruments de mesure de la pression existent afin de nous permettre de bien connaître
cette variable fondamentale en mécanique des fluides et hydraulique. Les plus courants sont
brièvement discutés ci-dessous.
2.6.1 Baromètre
Le baromètre de Torricelli est trop encombrant pour une utilisation courante. Le baromètre le
plus courant consiste en un mécanisme lié à un diaphragme recouvrant un cylindre sous vide.
Toute faible variation de pression engendre un déplacement du diaphragme qui se traduit par un
mouvement d’une aiguille sur un indicateur gradué préalablement.
2.6.2 Bourdon
Pour des applications où les variations de pression sont brusques et élevées, le baromètre est trop
fragile et un tube de Bourdon est généralement utilisé.
Le Bourdon est simplement un tube métallique évidé dont une extrémité est fermée et l’autre est
reliée au fluide sous pression. Sous l’effet de la pression, le tube tend à se redresser provoquant
le mouvement d’une aiguille sur un cadran gradué. Les unités que l’on retrouve sur un cadran de
Bourdon peuvent être très variées et il importe de bien vérifier si les pressions mesurées sont
absolues, relatives et en quelles unités elles se trouvent.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-9
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.6.3 Capteur de pression électronique (‘transducer')
Ce type de capteur traduit une variation de pression par une variation de signal électrique, qui,
une fois calibré et amplifié permet de mesurer très exactement la pression. La pression agit sur
une membrane sur lequel une jauge d’étirement est localisée. La résistance électrique de la jauge
est affectée par sa déformation due à la pression. Avec une calibration appropriée, la pression
peut être reliée au courant de façon très précise. Ce type de capteur permet des taux d’acquisition
de données très élevés et une grande précision aux dépens d’une plus grande fragilité et de
l’obligation de procéder à des calibrations périodiquement.
2.6.4 Colonne piézométrique
La colonne piézométrique est utilisée pour des applications ou les pressions sont peu élevées.
C’est la méthode utilisée pour mesurer les niveaux des nappes phréatiques pour des aquifères
confinées ou non confinées. Il s’agit simplement de relier un tube avec une extrémité ouverte à
l’endroit ou on veut connaître la pression. Le liquide montera librement à l’intérieur de la
colonne jusqu’au point où le poids de la colonne de liquide sera égal à la pression au point A. La
pression est alors simplement calculée par ρgz ou z est la hauteur de la colonne de liquide.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-10
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.6.5 Manomètre simple
Le manomètre fonctionne sur le même principe que le piézomètre, mais grâce à un tube en U
rempli d’un liquide lourd (généralement du mercure de densité s m égale à 13.56) il permet la
lecture de pressions beaucoup plus élevées.
À l’aide du diagramme précédent et en partant du principe que la pression de tout point sur un
même niveau horizontal en un liquide continu est la même on peut écrire
PB = PC
2.15
En partant des principes de pression statique, on peut facilement écrire, si P A est en pression
relative :
PA = ρ m g y + ρ f g z = s m ρ eau g y + sf ρ eau g z
2.16
si P A est en pression absolue.
PA = ρ m g y + ρ f g z + Patm = s m ρ eau g y + sf ρ eau g z + Patm
2.17
2.6.6 Manomètre différentiel
Dans plusieurs applications, il importe de connaître une différence de pression plutôt qu’une
valeur de pression donnée. Pour ces utilisations, un manomètre différentiel est utilisé. Dans ce
cas-ci, les deux extrémités du tube en U contenant le liquide à haute densité sont reliées à des
points de pression.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-11
Chapitre 2 : Statique des fluides
On peut donc trouver directement :
PA - PB = ρ M gy + ρ Fg(z A - z B )
2.18
ou encore
PA - PB
γF
= sy + (z A - z B )
2.19
Les équations 2.18 et 2.19 ne sont valides que si les fluides en A et B ont la même masse
volumique. Dans le cas ou les masses volumiques sont différentes, l’équation du manomètre
peut être réécrite par :
PA - PB = ρ M gy + ρ A gz A - ρ Bgz B = γ M y + γ A z A - γ Bz B
2.20
2.7 Force sur une surface plane
Si la surface est horizontale, la pression est constante et la force sur cette surface plane est
simplement donnée par le produit de la pression et de l’aire de la surface. Si la surface est
inclinée, la force est donnée par l’intégrale suivante :
F = ∫ PdA = ρ g ∫ zdA
A
2.21
A
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-12
Chapitre 2 : Statique des fluides
Pour attaquer la résolution de cette intégrale, considérons la figure suivante.
Les hauteurs verticales sont notées par la lettre h et les longueurs exprimées selon le sens de
l’inclinaison de la surface par y. Toutes ces longueurs sont mesurées à partir de la surface libre.
Il s’agit donc de déterminer la grandeur de la force résultante F ainsi que son point d’application
sur la surface.
En prenant un élément horizontal de la surface d’une longueur x, largeur y et de surface dA, on
peut déterminer que la force qui s’applique sur cet élément est donnée par :
dF = PdA = γ hdA = γ y sinθ dA
2.22
La force totale s’exerçant sur la plaque est donnée par :
F = γ sinθ ∫ y dA
2.23
Les bases de mécanique physique nous indiquent que le moment d’une surface par rapport à un
axe horizontal est donné par :
∫ y dA
2.24
A
Et que la position de l’axe centroïdal (par lequel le moment est zéro) est donnée par :
yc =
1
y dA
A ∫A
2.25
On peut donc écrire que :
F = γ sinθ A y c
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2.26
2-13
Chapitre 2 : Statique des fluides
Ou, si exprimé en fonction de l’axe vertical
F = γ hc A
2.27
La force résultante est donc simplement le produit de la pression au centroïde de la surface
multipliée par l’aire de cette dernière. Ayant trouvé la force résultante, il s’agit maintenant de
trouver le point d’application de cette dernière qui est donné par le centre de pression.
2.7.1 Centre de pression
Afin de trouver le point d’application de la force résultante, toujours en se référant à la figure
précédente, il s’agit de faire la sommation des moments par rapport au point O. Pour l’élément
dF de l’équation 2.22, le moment est donné par :
ydF = γ sinθ y 2dA
2.28
Le point d’application sera à l’endroit ou le moment crée par la force résultante sera égal à la
sommation des moments définis à l’équation 2.28. Cette distance est appelée le centre de
pression et est noté y p ou h p selon l’axe utilisé. On peut le définir de la façon suivante :
y p F = γ sinθ ∫ y 2dA
2.29
A
Or l’intégrale comprise à l’intérieur de l’équation 2.29 est égale au moment d’inertie de la
surface par rapport à l’axe passant par le point O et donc :
y p F = γ sinθ I o
2.30
En substituant 2.26 à l’intérieur de 2.30, on retrouve :
yp =
γ sinθ I o
I
= o
yc A
γ sinθ y c A
2.31
Comme il est beaucoup plus pratique de définir le moment d’inertie d’une surface par rapport à
son centroïde Ic , on peut, par le théorème des axes parallèles, écrire :
I o = y c2 A + I c
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2.32
2-14
Chapitre 2 : Statique des fluides
On peut donc finalement réécrire la position du centre de pression par :
Ay c2 + I c
I
yp =
= yc + c
yc A
yc A
2.33
En résumé selon le système d’axe choisi, on retrouve les équations suivantes pour la force
résultante F et son point d’application appelé centre de pression :
Selon l’axe de l’angle de la surface plane :
F = γ sinθ A y c
y p = yc +
2.34
Ic
yc A
2.35
et selon l’axe vertical :
F = γ hc A
h p = hc +
(sinθ ) 2 I c
hc A
2.36
2.37
Le tableau 2.1 présente la position des centroïdes ainsi que des moments d’inertie de surfaces
courantes.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-15
Chapitre 2 : Statique des fluides
FORME
Rectangle
•C
h
yc
Centroïde
selon l’axe
vertical ‘y c ’
Surface
Moment d’inertie p/r à
l’axe horizontal passant
par le centroïde
h/2
bh
bh3/12
h/3
bh/2
bh3/36
r
πr2
πr4/4
4r/(3π)
πr2/2
8  4
π
 −
r
 8 9π 
4r/(3π)
πr /4
b
πab
b
Triangle
h
•C
yc
b/2 b/2
b
r
•C
Cercle
Demicercle
Quart-decercle
Ellipse
yc
•C
yc
r
•C
yc
2
4
π
 −
 16 9π
 4
r

r
•C
yc, b
πab3/4
a
Tableau 2.1 Centroïde et moment d’inertie de surfaces usuelles.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-16
Chapitre 2 : Statique des fluides
Exemple :
Veuillez calculer la force résultante ainsi que son point d’application pour la plaque verticale de
largeur égale à deux mètres illustrée ci-dessous.
5 mètres
d’eau
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-17
Chapitre 2 : Statique des fluides
Exemple :
La porte rectangulaire illustrée ci-dessous pivote au point B. Si la masse de la porte est de 2000
kg, calculez la force qui devra être appliquée au centroïde de cette dernière pour qu’elle reste
fermée. La largeur de la porte est de 1.2 m et le fluide est de l’eau.
1.5 m
F
1.5 m
45o
B
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-18
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.8 Force sur une surface courbe
Pour une surface courbe, l’approche utilisée à la section précédente est beaucoup plus ardue. En
effet, comme la force exercée par la pression est toujours perpendiculaire à la surface, la
sommation des éléments de forces dF implique une direction d’application qui varie avec la
forme de la surface. Les équations développées jusqu’à présent ne peuvent être appliquées qu’à
des surfaces planes.
2.8.1 Composante horizontale
L’analyse des forces statiques sur une surface courbe peut toutefois se faire en considérant le
diagramme ci-dessous. Au diagramme (b), la surface M’N’ définit la projection verticale de la
surface MN. Comme le volume de liquide hachuré est en équilibre, il en résulte nécessairement
que :
F′ = Fx′
2.38
donc, on peut en conclure que :
« La composante horizontale de la force résultante sur toute surface immergée est égale
à la force exercée sur la projection verticale de cette même surface »
2.8.2 Composante verticale
Considérons maintenant le diagramme (c). Outre la force de réaction F z , la seule force verticale
exercée par le liquide est celle due au poids du liquide au dessus de la surface. On peut donc
écrire :
« La composante verticale de la force résultante sur toute surface immergée est égale au
poids du liquide situé au-dessus de cette surface »
Cette composante passe par le centroïde du volume d’eau au-dessus de la surface.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-19
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.8.3 Force résultante
Règle générale, les composantes verticales et horizontales ne s’appliqueront pas sur un même
point sur la surface. Il est donc généralement impossible de trouver un point d’application pour
situer la force résultante. Cependant si la surface courbe est d’ une largeur uniforme (perpendiculaire
au diagramme), la résultante F va passer par un point de rencontre et sa grandeur et son angle seront
données par les équations suivantes :
F=
2.39
tan(θ) = F z / F x
2.40
Dans le cas particulier d’ une surface courbe formée d’ un arc de cercle, on peut démontrer que la
force résultante passe nécessairement par le centre du cercle. Cette notion sera utilisée lors du
laboratoire 1.
Exemple :
Calculez la force résultante qui s’exerce sur la surface courbe (demi-cylindre) illustrée cidessous. Le fluide est de l’eau.
5m
1m
Solution :
1m
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-20
Chapitre 2 : Statique des fluides
Exemple :
Calculez la force résultante qui s’exerce sur la surface courbe (demi-cylindre) illustrée cidessous. Le fluide est de l’eau.
5m
pas
d’eau
1m
11 m
m
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-21
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.9 Force de poussée (poussée d'Archimède)
À partir des deux exemples précédents, regardons l’équilibre des forces exercées sur une sphère
immergée dans un fluide :
Fv1
W
Si on néglige le poids de la sphère pour s’attarder
aux forces dues au fluide, on peut séparer la
Fv2
force totale en une force verticale F v1 qui s’exerce sur la surface supérieure de la sphère ainsi
qu’en une force verticale F v2 qui s’exerce sur la partie inférieure de la sphère. On peut alors
facilement démontrer que la force résultante est exercée vers le haut et est égale à :
Fp =
4 3
π r ρf g
3
2.39
2.41
Cette force, appelée force de poussée est égale au poids d’un volume de fluide égal à celui de la
sphère. Cet énoncé correspond au principe d’Archimède.
Plus précisément, le principe d’Archimède, nommé en l’honneur du fondateur de l’hydrostatique,
peut s’énoncer ainsi :
« tout corps plongé en un fluide reçoit une poussée verticale ascendante égale au poids
du volume d’eau déplacé »
La force de poussée s’applique au centroïde du volume de fluide déplacé.
De façon dynamique le premier principe de Newton indique que la variation de momentum est
égale à la sommation des forces s’exerçant sur un corps. Sur tout corps immergé de volume V,
nous avons :
∑F = W - F
p
= ρ s Vg - ρ f Vg
2.40
2.42
Un corps immergé se déplacera vers la surface si sa masse volumique est moindre que celle du
fluide déplacé et se déplacera vers le bas si sa masse volumique est supérieure à celle du fluide.
L’équilibre ne sera possible pour un corps immergé que si la masse volumique du corps est égale
à celle du fluide.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-22
Chapitre 2 : Statique des fluides
2.10 Stabilité des corps flottants
2.10.1 Corps immergés
Pour un corps immergé, tel que nous l’avons vu précédemment, deux forces s’exercent sur ce
corps : la force de gravité et la force de poussée. La force de poussée s’exerce au centroïde du
volume de fluide déplacé alors que la force de gravité s’applique au centre de masse du corps.
Les deux forces s’appliquent dans un axe vertical.
Examinons le cas d’un ballon dans l’atmosphère tel qu’illustré ci-dessous.
On peut rapidement déduire la loi suivante :
« un corps immergé sera stable si le centre de poussée est situé au-dessus du centre de masse »
Dans ce cas, tout déplacement du corps produira un couple qui tendra automatiquement à
ramener ce dernier à sa position initiale.
2.10.2 Corps flottants
Pour un corps flottant, on retrouve la complication supplémentaire que la partie immergée du
volume variera en fonction du déplacement. On retrouve encore une fois deux forces distinctes
agissant sur le corps : la force de poussée qui est une force verticale égale au poids du volume
d’eau déplacé et la force de gravité du corps. La force de poussée s’applique au centroïde du
volume d’eau déplacé alors que la force de gravité s’applique au centre de masse du corps.
Tout comme pour le cas d’un corps immergé, le corps sera stable tant que le couple de
déplacement créé tend à ramener le corps à sa position initiale. Un exemple de position instable
et stable est illustré sur le diagramme suivant.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-23
Chapitre 2 : Statique des fluides
Hauteur
métacentrique
Pour ces deux cas par contre, le centre de poussée est situé au-dessous du centre de masse. La
règle développée pour les corps immergés ne peut donc pas s’appliquer.
Définissons la hauteur métacentrique comme la hauteur verticale du point formée par
l’intersection des lignes de poussée du corps déplacé et de la ligne de poussée du corps dans sa
position centrale.
On peut alors écrire :
« un corps flottant sera stable si la hauteur métacentrique est située au-dessus du centre
de masse de ce même corps »
2.11 Notions d'hydraulique de puissance
Sans contredit, l’utilisation la plus répandue des notions de statique des fluides est dans une
branche appelée l’hydraulique de puissance. Cette branche s’intéresse à la façon dont la
puissance peut être transmise par un liquide ou gaz pressurisé.
Les freins d’une voiture, les contrôles d’ailerons des avions, les pelles mécaniques sont tous des
utilisations courantes de l’hydraulique de puissance. On estime d’ailleurs que 90% de tous les
outils industriels sont contrôlés par l’hydraulique de puissance.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-24
Chapitre 2 : Statique des fluides
Observons le diagramme ci-dessous. La pression étant constante en tout point horizontal d’un
fluide continu, une petite force appliquée sur le côté A (petite surface) se traduit
automatiquement par une force beaucoup plus élevée du côté droit (B).
A
B
On peut écrire :
A 
F2 = F1  2 
 A1 
2.41
Et donc, avec l’aide d’une petite force, on peut produire une force nettement plus élevée
simplement par le jeu de propagation des pressions et des aires différentes.
Le diagramme ci-dessous montre le principe de fonctionnement d’un système de levée
hydraulique tel qu’utilisé dans les garages.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-25
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problèmes
Problème 1
Calculez la pression relative à une profondeur de 20m dans un lac.
Rép: P=196 kPa
Problème 2
Calculez la pression relative à une profondeur de 4km dans un océan. Prenez 1020 kg/m3 pour la
masse volumique de l’eau salée.
Rép: P = 40 MPa
Problème 3
Calculez la pression relative et la pression absolue d’un liquide de poids spécifique 13 kN/m3 à
une profondeur de 10 m si la pression à la surface libre du fluide est de 120 kPa.
Rép: Prel = 130 kPa Pabs = 250 kPa
Problème 4
Une bouteille d’air comprimé est chargée à une pression absolue de 1.2 MPa. Calculez la
pression relative de l’air comprimé au niveau de la mer (Patm=100kPa) et dans la soute d’un
avion pressurisée à 50 kPa.
Rép: 1.1 MPa et 1.15 MPa
Problème 5
La pression relative d’une bouteille d’air comprimé est de 600kPa au niveau de la mer
(Patm=100kPa). On transporte la bouteille d’air comprimé dans une chambre environnementale
et sa pression relative devient égale à 500 kPa. Quelle est la pression absolue dans la chambre
environnementale ?
Rép: 200 kPa
Problème 6
Un réservoir vertical de 100 m de hauteur contient du méthane. La pression relative au sommet
du réservoir est de 15 mmHg. Calculez la pression relative à la base du même réservoir sachant
que cette base est située au niveau de la mer. P atm au niveau de la mer = 101.3 kPa.
NB: P atm100m ≠ 101.3 . T=20o, constante dans l’air et dans le réservoir.
Rép.: P = 11 mmHg
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-26
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problème 7
La planète Vénus a une température moyenne de 427° C et la pression à la surface est de 2,0
MPa. Pour une atmosphère de CO 2 pure (gaz parfait), l’accélération gravitationnelle est de 8,73
m/s2 et la température est constante. Trouvez l’altitude à laquelle la pression atmosphérique est
de 0,1 MPa. Pour le CO 2 , R = 188 J/kg.K.
Rép.: h =
45 160 m
Problème 8
On a enregistré une température de -25° C et une pression de 45,5 kPa à une certaine altitude
alors que ces coordonnées sont respectivement 15° C et 101,5 kPa au niveau de la mer. On peut
supposer que la température chute uniformément à mesure que l’altitude croît. Calculez le taux
de chute de température de même que la pression à une altitude de 3000 m.
Rép.: b =
6,37 × 10-3 K/m; P = 70,2 kPa
Problème 9
La pression et la température dans l’air au niveau de la mer sont respectivement 100 kPa et 288
K. À partir du niveau de la mer, la température chute au taux de 0,0065 K/m jusqu’à la
stratosphère (11 000 m) à partir de où elle demeure constante à 216,5 K. Calculez la pression et
la masse volumique à une altitude de 18 000 m avec R = 287 J/kg.K.
Rép.: P =
7,38 kPa; ρ = 0,119 kg/m3
Problème 10
Calculez la pression relative aux points A, B, C, D de la figure ci-dessous.
air
air A
C
0.3m
0.3m
0.6m
B
huile
s=0.9
eau
1m
D
Rép.: -5,89 kPa; 5,89 kPa; 5,89 kPa; 22,66 kPa
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-27
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problème 11
Considérant le système représenté par la figure ci-dessous, si h 1 = 30 cm, h 2 = 20cm, L = 40cm,
θ = 30°, γ 0 = 9810 N/m3 et σ Hg = 13,6 calculez la pression relative P RA et son équivalent en
hauteur de mercure.
L
θ
A
eau
h2
h1
mercure
Rép.: P RA
= 64,7 kPa; 485 mmHg
Problème 12
Un piston de 15 cm de diamètre est installé dans un cylindre connecté à un tube incliné tel
qu’illustré ci-dessous. Le fluide manométrique est de l’huile de poids spécifique 9,27 kN/m3.
Quand un poids W est placé sur le piston, le niveau du fluide passe du point 1 au point 2. Quel
est le poids W, si on suppose que le changement de position du piston est négligeable ?
W
15 cm
piston
Position 2
Position 1
huile
30o
Rép.: W = 12,3 N
Problème 13
Trouvez la différence de pression (P A - P B ) sachant que ρ 1 = 1000 kg/m3 et ρ 2 = 13600 kg/m3.
A
ρ1
B
1.5m
ρ1
0.75m
0.5m
ρ2
Rép.: 54,5 kPa
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-28
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problème 14
Calculez la différence de pression exacte qui cause un déplacement L de 10 cm le long d’un tube
incliné à 15°. L’appareil contient de l’huile (σ = 0,8). Les diamètres D du réservoir et du tube
incliné sont 20cm et 5mm, respectivement.
L
D
Position 2
Position 1
Position 1
Position 2
15o
d
Rép.: 203,6 Pa
Problème 15
Deux réservoirs d’eau sont reliés entre eux par un manomètre contenant du mercure (s=13.56).
Trouvez la différence de pression (P 1 - P 2 ).
P1
1m
P2
ρhg
0.75m
ρ
0.25m
1.5m
eau
eau
Rép.: 151.4 kPa
Problème 16
La chute de pression au travers un dispositif X, traversé par de l’eau, est mesurée à l’aide d’un
manomètre utilisant du mercure (s=13.56). Calculez (P B - P A ).
N. B. Il
n’y a pas d’écoulement au
travers du manomètre.
Rép.: 28.1 kPa
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-29
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problème 17
On considère le système illustré ci-dessous. Le réservoir de gauche est sous une pression relative
de 100 kPa. Une couche d’huile de densité σ A = 0,8 recouvre un liquide B de densité σ B = 0,9.
Ce réservoir est relié à une conduite d’eau par un manomètre en∪ contenant du mercure (σ Hg =
13,6).
Calculez la pression relative P 0 en kPa et en mm de Hg.
0.8m
Pr = 100 kPa
A
B
0.5m
O
eau
0.5m
0.3m
0.4m
0.2m
mercure
Rép.: P 0 = 82,2 kPa,
P 0 = 617 mm Hg
Problème 18
Le manomètre en ∪ illustré ci-dessous est utilisé pour mesurer une pression relative dans un
réservoir d’eau. La branche de droite contient du mercure (σ = 13,6) dont le niveau libre est
20cm au-dessus du point A. Le niveau de séparation de l’eau et du mercure dans la branche de
gauche de 30cm sous A. Calculez :
a) la pression relative dans la conduite au point A;
b) la différence de niveau du mercure dans le manomètre si la pression dans le réservoir est
réduite de 40 kPa.
20cm
A
30cm
Rép.: a) P = 63,8 kPa
b) h = 0,19 m
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-30
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problème 19
Calculez la force résultante sur la plaque rectangulaire de 5m de largeur illustrée ci-dessous.
Calculez aussi son point d’application.
18m
Rép.: 7.94 MN à 12m sous la surface
Problème 20
Calculez la force résultante sur la plaque rectangulaire de 5m de largeur illustrée ci-dessous.
Calculez aussi son point d’application.
18m
10m
(porte)
Rép.: 6.37 MN à 13.64m sous la surface
Problème 21
Calculez la force résultante sur la plaque rectangulaire de 5m de largeur illustrée ci-dessous.
Calculez aussi son point d’application.
10m
45o
Rép.: 3.46 MN à 9.43 m de la surface le long de la plaque
Problème 22
La vanne AB pivote autour d’un axe passant par le point C situé à 10cm en dessous du centre de
gravité G. La vanne est circulaire et elle possède un diamètre de 1,80m.
Quelle est la hauteur h de l’eau permise pour ne provoquer aucun moment non compensé (pour
que la vanne reste fermée verticalement) par rapport à C.
N. B. Ceci se produira lorsque le centre de pression
passera par C.
A
180 cm
Rép.: h
= 1,125m
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
10 cm
G
C
B
2-31
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problème 23
Une vanne rectangulaire de 5m de hauteur sur 3m de largeur et de masse négligeable est retenue
par un contrepoids. Si l’angle d’inclinaison de la vanne est de 60°, déterminez la profondeur de
l’eau pour que la vanne reste en équilibre. La vanne est articulée au point O.
2500kg
mg
d
Rép.: d
O
= 2,66m
60o
Problème 24
La vanne AB de surface courbée peut tourner autour du point C. Déterminez et placez les
composantes horizontale et verticale de la force résultante par unité de largeur des forces
hydrostatiques exercées sur la vanne AB.
A
C
2m
B
Rép.: r h = 19,6 kN/m; r v = 30,8 kN/m
Problème 25
Soit une vanne qui peut s’ouvrir automatiquement par une rotation autour d’un axe passant par
O. Calculez la profondeur D pour laquelle la vanne s’ouvre si on néglige sa masse.
D
O
1.5m
Rép.: D = 2,6m
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-32
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problème 26
La vanne suivante est articulée au point H. La vanne est de forme carrée de 2m de long.
Négligez la masse de la vanne. Quelle force F doit-on exercer au point A pour que la vanne reste
en position fermée.
1m
H
30o
F = ? kN
Rép.: F = 32,7 kN
A
Problème 27
Une plaque rectangulaire CD fait 1,8m de largeur et de 2,0m de long. En supposant que la grille
est faite d’un matériel homogène et en négligeant la friction au support C, déterminez le poids
nécessaire de la grille pour la garder fermée jusqu’à ce que la surface libre de l’eau atteigne le
niveau 2m au-dessus du support.
2m
C
2m
4
Rép.: 180,5 kN
3
D
Problème 28
Un barrage de béton est constitué d’une surface verticale de 10m de hauteur terminée par un arc
de cercle dont le rayon de courbure est de 1m.
a) calculez la composante horizontale (R h ) de la force hydrostatique s’exerçant sur le barrage;
b) calculez la composante verticale (R v );
c) calculez la grandeur de la force résultante ainsi que l’angle que fait cette force par rapport à
l'horizontale.
Largeur = 2m
10m
1m
Rép.: a) R h =1187 kN
b)R v =211,9 kN
c)R=1205,8 kN θ=10,1°
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-33
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problème 29
Sachant que r=0.5m et θ= 30°, trouvez la grandeur de la force et le point d’application par
rapport à la surface libre de la résultante des forces hydrostatiques appliquées sur la plaque de
forme circulaire illustrée ci-dessous.
θ
Rép.: R = 1926 N;
2r
h p = 0,3125 (selon l’axe vertical);
Problème 30
Le cylindre et la conduite de la figure suivante contiennent de l'huile de densité 0.902. Si le
manomètre indique 21.56 N/cm2, quelle est la masse de l'ensemble piston-poids ? Si le diamètre
de la conduite reliée au manomètre est de 1cm, calculez la masse nécessaire pour équilibrer le
fluide au niveau du manomètre? Quelle est la pression directement sous le piston ?
Rép.: 60 115 kg, 1.73 kg, 231.5 kPa
Poids
180 cm
Piston
Dia. = 180 cm
Problème 31
Un morceau rectangulaire de bois de 1 mètre de longueur par 10 cm de hauteur par 20 cm de
largeur flotte sur l'eau. Si la densité du bois est de 0.75 calculez sa hauteur de flottaison.
Rép.: 7.5 cm sur 10 seront submergés
Problème 32
On pèse dans l'eau un objet (l’objet est entièrement immergé) en forme de prisme de 20 cm
d'épaisseur, 20 cm de large et 40 cm de longueur, et on trouve un poids de 49N. Quelle est sa
masse et quelle est sa densité ?
Rép.: 21 kg, 1.31
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-34
Chapitre 2 : Statique des fluides
Problème 33
De combien s'enfonce dans l'eau douce un tronc d'arbre de 2.40 m de diamètre et de densité
0.425?
Rép.: 1.057 m
Problème 34
Un navire dont les côtés sont verticaux à une masse de 3800 tonnes et s'enfonce de 6.3 m (tirant
d'eau) en eau salée (1025 kg/m3). Calculez son tirant d'eau en eau douce
Rép.: 6.46 m
Problème 35
Une sphère de 120 cm de diamètre flotte à demi immergée dans de l'eau salée (1025 kg/m3).
Quelle est la masse minimum de béton (2400 kg/m3) qui, utilisé comme ancre, peut l'immerger
complètement ?
Rép.: 810 kg
Problème 36
Un cube métallique de 15 cm de côté est suspendu par une corde. Le cube est immergé à moitié
dans l'huile (densité 0.8) et moitié dans l'eau. Si la masse volumique du métal est de 2640 kg/m3
T
trouvez la force de tension dans la corde.
Rép.: 57.55 N
huile
eau
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-35
Chapitre 2 : Statique des fluides
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2-36
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Chapitre 3
Conservation de la masse
Objectifs
La maîtrise des notions présentées dans ce chapitre devrait vous permettre de pouvoir :
• définir les notions de champ de vitesse et d’accélération, d’accélération locale et
d’accélération convective;
• distinguer les accélérations locale, convective et totale;
• énumérer les principales catégories d’écoulement;
• distinguer les écoulements permanents des non-permanents, les écoulements uniformes des
non-uniformes, turbulents et laminaires;
• saisir la différence entre volume de contrôle et système;
• expliquer l’importance de l’approche du volume de contrôle en ingénierie;
• différentier le principe de la conservation de la masse selon qu’il est appliqué à un système
ou à un volume de contrôle;
• appliquer le principe de conservation de la masse pour la résolution de problèmes simples.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-1
Chapitre 3 : Conservation de la masse
3.1 Introduction
La dynamique des fluides se consacre à l'étude des fluides en mouvement ainsi que des forces qui
causent ce mouvement ou encore des forces crées par le mouvement du fluide. C'est la branche
la plus importante de la mécanique des fluides et c'est aussi celle dont les applications sont les
plus nombreuses.
Lors de la conception d'un ouvrage hydroélectrique par exemple, on peut relever les notions
suivantes de la dynamique des fluides:
•
•
•
•
•
•
•
Mouvement de l'eau dans les turbines
Transformation d'énergie hydraulique/mécanique
Forces exercées sur les conduites d'amenée
Phénomène du coup de bélier
Phénomène du ressaut hydraulique
Design de l'évacuateur de crues: forces agissant sur les vannes; écoulement au travers un
orifice
Réservoirs: fluctuation des débits/marnage, rétention d'eau/inondations
Ces phénomènes peuvent être étudiés avec l'aide des équations fondamentales de la mécanique
des fluides. Ces équations sont:
•
•
•
Équation de la conservation de la masse
Équation de la conservation de l'énergie
Équation de la quantité de mouvement
Ces équations seront dérivées à l'intérieur de ce chapitre et des suivants et leurs applications
seront étudiées.
3.2 Notions de cinématique des fluides
La cinématique est la partie de la mécanique des fluides qui étudie les mouvements des fluides en
faisant abstraction des forces qui les produisent. En particulier, la cinématique s'intéresse
fortement à la description de la vitesse du fluide de même que des accélérations qui découlent
des variations de cette dernière.
Bien que la cinématique ne s'intéresse pas, strictement parlant, aux forces, il est important de
comprendre que de par le second principe de Newton:


dmv
= ∑F
dt
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3.1
3-2
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Toute variation de vitesse d'un fluide entraîne une variation de momentum qui se traduit par une
force exercée par le fluide ou sur le fluide. Puisque la dynamique s’intéresse particulièrement
aux forces, et que ces dernières résultent d’un changement de vitesse, il en résulte donc un intérêt
certain pour la description du champ de vitesse.
3.2.1 Vitesse et champ de vitesse
La vitesse d'un écoulement de fluide (que ce soit en conduite, à surface libre ou tout autre) est
souvent représentée par un champ de vitesse vectoriel. La notation vectorielle indique
simplement que la vitesse est tridimensionnelle et doit être représentée en conséquence. La
figure suivante illustre le champ de vitesse unidirectionnel à l'intérieur d'une conduite. Notez que
la vitesse est plus élevée au centre de la conduite et égale à zéro aux parois.
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Comme nous le verrons plus loin, le champ de vitesse ainsi que ses variations contrôlent la
dissipation d'énergie d'un écoulement. Sa connaissance est donc fondamentale pour plusieurs
applications incluant :
•
•
•
•
design de pompes et de turbines
design d'orifices
étude du mouvement de l'eau dans des lacs et réservoirs
transport de contaminants ou particules par les fluides
Une bonne définition du champ de vitesse permet de tracer les lignes d'écoulement aussi appelées
lignes de courant. La ligne de courant est une ligne partout tangente aux vecteurs de vitesse.
Cette ligne est celle que suivrait toute particule de fluide ou toute particule solide de masse
négligeable et à flottaison neutre.
La figure suivante illustre le champ de vitesse observé dans le lac St-Clair situé entre les lacs
Hurons et Érié. Le lac St-Clair est traversé par la rivière du même nom et le fort débit de cette
dernière (4000 m3/sec en moyenne) crée le courant observé. Deux lignes de courant y sont aussi
illustrées.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-3
Chapitre 3 : Conservation de la masse
3.2.2 Accélération et champ d’accélération
Tel que mentionné plus tôt, toute variation de vitesse se traduit par une accélération positive ou
négative. Ce changement de vitesse implique une variation de momentum et entraîne donc une
force ou des forces.
Comme le champ de vitesse est vectoriel, l'accélération l'est aussi:

 dv
a=
dt
3.2
On distingue deux types d'accélération soient les accélérations locale et convective:
L'accélération locale est une augmentation de vitesse qui s'observe en un point fixe dans l'espace.
C'est une variation de vitesse en fonction du temps. Une accélération locale implique
nécessairement une augmentation ou une diminution du débit d'écoulement. Elle est définie par
la dérivée partielle suivante :


∂v
al =
3.3
∂t
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-4
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Le diagramme suivant illustre la variation de débit dans une rivière suite à une averse. Suite au
début de l'averse, le débit (et donc la vitesse) augmente rapidement pour atteindre un maximum
et décroît par la suite pour revenir au débit initial. Tout observateur le long de la rivière sera en
mesure d'observer ces accélérations locales.
Q
(m3/sec)
t
L'accélération convective est celle qui est ressentie par une particule de fluide se déplaçant le
long d'une ligne de courant. C'est une variation de vitesse ressentie lors d'un déplacement. La
vitesse ne change pas en un point donné, mais varie en fonction du point considéré. Dans une
conduite de diamètre variable, la vitesse du fluide augmentera ou diminuera pour accommoder la
section d'écoulement. Un observateur fixe voit une vitesse constante alors qu'une goutte de
fluide ou un observateur se déplaçant avec le fluide sera soumis à des accélérations dites
convectives.
Supposons deux points situés sur une même ligne de courant et séparés de 0.5 m. La vitesse au
point 1 est de 1 m/sec et celle au point 2 de 3 m/sec. L'accélération est toujours définie par une
variation de vitesse en fonction du temps soit :


∆v
ac =
∆t
3.4
Il faut donc connaître le temps requis pour que le fluide passe du point 1 au point 2. En prenant
comme approximation la vitesse moyenne v m , et en remplaçant ∆t par ∆x/v m on retrouve :


 ∆v
a c = vm
∆x
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3.5
3-5
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Et donc pour l'exemple, l'accélération convective moyenne (entre les points 1 et 2) est donnée
par :
ac = 2
3 −1
= 8 m/sec 2
0.5
L'accélération convective en un point est donnée sous forme différentielle par :


∂v
ac = v
∂x
3.6
L'accélération totale dv/dt est donc donnée par la somme des accélérations locale et convective
par :


  
∂v ∂v
a = al + ac =
+v
3.7
∂t
∂x
L'équation 3.7 est valide pour un écoulement unidirectionnel dans la direction de l'axe des x.
Pour un écoulement bidimensionnel, l'accélération totale est définie par :



 ∂v  ∂v  ∂v
a=
+ vx
+ vy
∂t
∂x
∂y
3.8
3.3 Classification des écoulements
Les champs de vitesse peuvent être influencés par de nombreux facteurs notamment :
•
•
•
•
Propriétés des fluides (ex. : viscosité)
La présence de tourbillons
Fluctuations des débits
Géométrie des conduites ou canaux, etc..
Les fluides et écoulements peuvent être classifiés selon différentes catégories en relation avec les
caractéristiques de leur champ de vitesse. Il existe de multiples façons de catégoriser les
écoulements. Les principales catégories sont discutées ci-dessous.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-6
Chapitre 3 : Conservation de la masse
3.3.1 Visqueux vs non visqueux (Idéal vs non-idéal)
Pour un écoulement en conduite, les caractéristiques du champ de vitesse pour des écoulements
visqueux et non visqueux sont les suivantes :
•
•
•
Fluide visqueux (réel)
Profil de vitesse non-uniforme
Forces de cisaillement présentes
Vitesse à la paroi nulle
•
•
•
Fluide non-visqueux (idéal)
Profil de vitesse uniforme
Forces de cisaillement absentes
Vitesse à la paroi ≠ 0
Un fluide non-visqueux aussi appelé fluide idéal est une représentation d'un fluide sans viscosité.
Un fluide idéal n'oppose aucune résistance à l'écoulement. En réalité, tous les fluides sont
visqueux, mais plusieurs fluides ont une faible viscosité (tels que l'eau) et l'utilisation du concept
de fluide idéal en ingénierie permet d'émettre des hypothèses simplificatrices et de résoudre
plusieurs problèmes pratiques. L'équation de Bernoulli qui sera présentée plus loin est une des
plus importantes utilisations du concept de fluide idéal.
3.3.2 Laminaire vs turbulent
Une des plus importantes classifications du champ de vitesse est celle qui permet de séparer les
écoulements turbulents et laminaires. Un scientifique anglais, Osbourne Reynolds, fut le premier
à démontrer en 1883 qu'il existe deux types différents d'écoulement. À faible vitesse,
l'écoulement se fait de manière ordonnée et les lignes de courant demeurent parallèles les unes
aux autres. Une particule à flottabilité neutre relâchée dans l'écoulement suivrait une trajectoire
lisse et douce. Ce régime d'écoulement est qualifié de laminaire.
À plus grande vitesse, l'écoulement devient plus chaotique et de nombreux tourbillons
deviennent observables. La vitesse en tout point de l'écoulement oscille autour de la vitesse
moyenne. Ce régime d'écoulement est appelé turbulent.
Les diagrammes suivants illustrent les caractéristiques principales de ces deux régimes :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-7
Chapitre 3 : Conservation de la masse
v
t
Écoulement laminaire
v
t
Écoulement turbulent
Outre la vitesse d'écoulement, Reynolds observa que le régime d'écoulement était aussi influencé
par la viscosité du fluide et la proximité d'une paroi comme une conduite ou le lit d'une rivière.
Utilisant une technique appelée analyse dimensionnelle, Reynolds démontra que la transition
entre les régimes laminaires et turbulents pouvait être définie pour tous les fluides par le
paramètre suivant :
Vl Dl ρ
3.9
µ
où V l et D l sont respectivement une vitesse et une distance caractéristiques de l'écoulement et ρ
et µ sont respectivement la masse volumique et la viscosité dynamique du fluide. Pour un
écoulement en conduite, on choisit logiquement comme valeurs caractéristiques la vitesse
moyenne de l'écoulement V et le diamètre de la conduite D et on peut définir le nombre de
Reynolds par:
Re =
VD ρ
µ
=
VD
υ
avec υ =
µ
ρ
3.10
Pour un écoulement en conduite si :
•
•
Re < 2000, l'écoulement est laminaire
Re > 2000, l'écoulement est turbulent
Pratiquement parlant, la turbulence complète n'est souvent atteinte qu'à un nombre de Reynolds
beaucoup plus grand que 2000 soit de 4000 à 8000. On parle alors parfois d'écoulement
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-8
Chapitre 3 : Conservation de la masse
transitoire. Le passage de la turbulence à l'écoulement laminaire est par contre toujours très net à
un nombre de Reynolds de 2000. Le nombre de Reynolds exprime essentiellement le rapport des
forces d'inertie (VD) aux forces de viscosité υ du fluide. Un fluide ayant une grande inertie et
une faible viscosité sera turbulent. Le même fluide avec une très faible inertie ou un fluide avec
une plus grande viscosité sera en écoulement laminaire.
Le régime d'écoulement à une grande importance en ingénierie puisque chaque mouvement
désordonné du fluide requiert de l'énergie pour lutter contre la viscosité. Les écoulements
turbulents dissipent donc plus d'énergie que les écoulements laminaires. En pratique, pour la très
grande majorité des applications en génie civil, les écoulements sont turbulents.
3.3.3 Permanent vs non permanent
Un écoulement permanent ou stationnaire est un écoulement dont les propriétés ne changent pas
dans le temps.
∂
(v,Q,A,d,ρ ,µ ...) = 0
∂t
3.11
Notez que la dérivée est partielle et que les propriétés de l'écoulement peuvent changer dans
l'espace, mais qu'en tout point, ces caractéristiques (peu importe leur valeur) sont constantes. Au
sens strict, tous les écoulements sont non permanents (non stationnaires) mais dans la majorité
des cas en ingénierie, la variation temporelle est suffisamment lente pour que l'on puisse
considérer l'hypothèse d'un écoulement permanent.
Cas 1: Suite à une averse, la vitesse moyenne d'un cours d'eau au niveau d'un pont passe de 0.5
m/sec à 1 m/sec sur une période 5 heures.
Bien que ce cas soit strictement parlant non permanent, l'accélération locale est égale à 2.8x10-5
m/sec2 ce qui est extrêmement faible. Si on s'intéresse à la force de l'écoulement sur le pont, on
peut considérer les cas à 0.5 et 1 m/sec comme permanents. L'accélération locale de
l'écoulement est tellement faible qu'elle n'a aucun effet dynamique.
Cas 2: Suite à des pluies torrentielles, un bris de barrage entraîne une augmentation de vitesse de
l'écoulement dans une rivière de 0.5 m/sec à 10 m/sec sur une période 5 minutes.
Dans ce cas-ci, l'accélération locale est plus de 1000 fois supérieure au cas précédent.
L'accélération locale de l'écoulement devient significative et toute application devra considérer
l'écoulement comme non permanent.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-9
Chapitre 3 : Conservation de la masse
3.3.4 Uniforme vs non uniforme
Un écoulement uniforme est un écoulement dont les propriétés ne changent pas dans l'espace.
∂
∂ x,y,z
(v,Q,A,d,ρ ,µ...) = 0
3.12
Un écoulement dans une conduite de diamètre constant est un exemple d'écoulement uniforme.
Dès que la section d'écoulement change (diamètre pour une conduite, profondeur ou largeur pour
un écoulement à surface libre) l'écoulement est nécessairement non uniforme. Toutes les
combinaisons suivantes sont théoriquement possibles :
•
•
•
•
Permanent et uniforme
Permanent et non uniforme
Non permanent et non uniforme
Non permanent et uniforme
D’un point de vue pratique, la dernière combinaison (non permanent uniforme) n’est possible
que dans une conduite. En ingénierie, la très grande majorité des applications sont reliées à des
cas permanents et non uniformes.
3.3.5 Fluvial (sous-critique) vs torrentiel (supercritique)
La distinction entre les écoulements fluvial et torrentiel est fondamentale pour les écoulements à
surface libre. Ces écoulements seront vus en détails dans le cours CTN-426 Hydraulique et
hydrologie. La distinction est basée sur un nombre sans dimensions appelé nombre de Froude
défini ainsi pour un écoulement à deux dimensions :
Fr =
v
gy
3.13
où v est la vitesse moyenne de l’écoulement et y sa profondeur. Le terme gy représente la
vitesse de déplacement d’une onde de perturbation dans l’écoulement (les ondes faites par un
caillou lancé dans une rivière ou un lac par exemple). Le nombre de Froude est donc le ratio de
la vitesse de l’écoulement sur celle des ondes de perturbation. Si le nombre de Froude est plus
grand que 1, l’écoulement est dit torrentiel ou supercritique. Il est appelé fluvial ou sous-critique
si le nombre de Froude est inférieur à 1. L’écoulement est critique si le nombre de Froude est
égal à 1.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-10
Chapitre 3 : Conservation de la masse
3.4 Le théorème de transport
Le théorème de transport permet de relier la notion de volume de contrôle couramment utilisée
en ingénierie à celle de système à partir duquel les lois générales de conservation de la masse et
de l'énergie sont dérivées.
3.4.1 Notions de volume de contrôle et de système
Plusieurs problèmes pratiques en mécanique des fluides requièrent d'analyser un comportement
dans un espace défini. Cette approche permet de bien définir l'ensemble des forces agissant sur
le volume de contrôle et s'apparente en quelque sorte à l'analyse de problèmes en physique
statique.
Par exemple, sur le diagramme ci-haut, si on s'intéresse à la force exercée sur la vanne, il est
pratique d'analyser les forces en jeu à l'intérieur du volume en traits pointillés. Ce volume est
appelé un volume de contrôle. Plus spécifiquement, un volume de contrôle est un volume fixe
dans l'espace au travers duquel circule un fluide. Le choix du volume de contrôle est fait par
l'analyste en fonction de la géométrie du problème et de son expérience.
Toutefois, la mécanique des fluides repose sur un ensemble de lois qui s'appliquent à un système.
Un système est une quantité donnée de matière (fluide).
Les lois dérivées dans la première partie de ce cours, à savoir les lois de la conservation de la
masse et de l'énergie s'appliquent à un système et non pas à un volume de contrôle. Prenons par
exemple un verre rempli d'eau. En tant qu'ingénieur, il est très logique de s'intéresser à ce verre
en tant que volume de contrôle. Or, à l'intérieur de ce volume de contrôle, ni la masse ni
l'énergie ne sont conservées! En effet, l'eau peut s'évaporer et perdre ou faire un gain d'énergie
par transfert de chaleur avec le milieu environnant. Évidemment, avec l'approche systémique qui
consiste à suivre l'ensemble des molécules d'eau contenues initialement dans le verre, les lois
énoncées plus tôt s'appliquent exactement.
Aux fins d'ingénierie, il incombe donc de relier ces deux approches. Le théorème de transport est
utilisé à cette fin.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-11
Chapitre 3 : Conservation de la masse
3.4.2 Dérivation simplifiée du théorème de transport
Le théorème de transport est basé sur le suivi d'un paramètre physique dans un volume de
contrôle et dans un système. Ce paramètre physique sera dénoté par B lorsque sous forme
extensive, ou par b lorsque sous forme intensive (/kg de fluide). Ce paramètre physique peut être
plusieurs choses, mais le plus souvent ce sera :
•
•
•
La masse du fluide m
L'énergie cinétique du fluide 0.5mv2
Le momentum du fluide mv
Considérons la conduite avec élargissement suivante :
I
II
Volume de contrôle fixe = système au temps t
Système au temps t + ∆t (le volume de fluide s'est déplacé)
I
Nouvelle masse entrée dans le volume de contrôle durant ∆t
II
Masse sortie du volume de contrôle durant ∆t
Durant l'intervalle de temps ∆t le système (composé d'une masse fixe de fluide) s'est déplacé et le
volume de contrôle (VC) est resté fixe.
Au temps t:
Bsys (t) = BVC (t)
3.14
Avec
•
•
B sys (t) = quantité du paramètre B (masse, énergie ou autre) dans le système
B VC (t) = quantité du paramètre B dans le volume de contrôle VC
Au temps t + ∆t:
Bsys (t + ∆t) = BVC (t + ∆t) + BII (t + ∆t) - BI (t + ∆t)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3.15
3-12
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Le taux de variation du paramètre dans le système dans le temps est donné par :
∆Bsys
∆t
=
Bsys (t + ∆t) -Bsys (t)
∆t
3.16
En substituant les équations 3.14 et 3.15 dans le côté droit de 3.16, on obtient :
∆Bsys
∆t
=
BVC (t + ∆t) -BVC (t)
B (t + ∆t) BI (t + ∆t)
+ II
∆t
∆t
∆t
3.17
Et de façon simplifiée, on obtient le théorème de transport :
∆Bsys
∆t
=
∆BVC
B
B
+ II - I
∆t
∆t ∆t
3.18
Textuellement ceci indique que le taux de changement du paramètre B dans le système est égal
au taux de changement du même paramètre B dans le volume de contrôle additionné de la
quantité du paramètre B sorti du volume de contrôle dans l'intervalle ∆t et soustrait de la quantité
du paramètre B entré dans le volume de contrôle durant le même intervalle.
Sous forme différentielle, lorsque l'intervalle de temps ∆t tend vers 0, on peut réécrire le
théorème de transport par :
dBsys
dt
=
•
•
dBVC
+ Bout - Bin
dt
3.19
où les deux derniers termes représentent les débits (/sec) sortant et entrant du volume de contrôle.
3.5 La loi de la conservation de la masse
La loi de la conservation de la masse exprime simplement qu'un système ne perd ni ne gagne de
masse ou encore:
dmsys
= 0
3.20
dt
Ce principe de conservation de la masse est partie intégrante de la physique newtonienne et
origine de Lavoisier (1776) qui énonça son fameux « rien ne se perd, rien ne se crée ». Une
exception concerne la transformation de masse en énergie telle qu'énoncée par la simple équation
E=mc2 de Einstein.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-13
Chapitre 3 : Conservation de la masse
3.5.1 Équation de la conservation de la masse
Le paramètre physique B est donc représenté par la masse m, et en incorporant 3.20 à 3.19 on
peut énoncer le principe de conservation de la masse pour un volume de contrôle par:
•
•
dm VC
= min - m out
dt
3.21
Textuellement, la variation de masse à l'intérieur d'un volume de contrôle est égale à la masse qui
entre dans le VC moins la masse qui en sort.
3.5.2 Concepts du débit massique et de la vitesse moyenne
d’écoulement
Le débit massique est représenté en kg/sec par :
•
m = ρQ
3.22
où Q est le débit volumique exprimé en unités de volume par unité de temps, généralement en
m3/sec ou en litres/sec. On peut exprimer le débit volumique par le produit de l'aire de la section
d'écoulement et de la vitesse moyenne :
Q=vA
3.23
ou encore
•
m = ρ vA
3.24
Compte tenu de la viscosité et de la présence de parois, un gradient de vitesse existe et la vitesse
moyenne est définie par l'intégrale suivante :
v=
1
A
∫ v dA
3.25
A
et donc, on peut finalement écrire :
•
m =ρ
∫ v dA
3.26
A
Finalement en substituant 3.22 à l’intérieur de 3.21 et en notant que m=ρV, où V est le volume,
on retrouve, pour un fluide dont la masse volumique ρ est constante :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-14
Chapitre 3 : Conservation de la masse
dV
= Qin − Qout
dt
3.27
L’équation 3.27 représente la forme volumique de l’équation de conservation de la masse et elle
est valide pour tous les liquides (incompressibles) et pour un gaz pourvu que la masse volumique
soit constante (ce qui est rarement le cas). Cette équation dit que le taux de variation de volume
(m3/sec) à l’intérieur d’un volume de contrôle est égal à la différence entre les débits volumiques
entrant et sortant dans ce même volume de contrôle. Si le débit volumique entrant est égal au
débit volumique sortant, le taux de variation du volume est nul et le volume est constant.
Dans le cas où l’écoulement est permanent, les équations 3.21 et 3.27 peuvent se réduire à :
m in = m out
3.28
Qin = Qout
3.29
Exemple :
À partir du diagramme suivant, exprimez le gain ou la perte de masse du réservoir en kg/sec, en
m3/sec et calculez la hausse ou la baisse du niveau d'eau en m/sec.
Solution :
V=7 m/sec
A=0.0025 m2
Aire du réservoir
1 m2
0.003 m3/s
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-15
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Exemple :
Calculez le débit massique (kg/sec), le débit volumique (m3/sec) ainsi que la vitesse moyenne
dans la conduite circulaire présentant le profil de vitesse illustré ci-dessous :
R
v = vmax
  r  2
 1-   
R 

vmax = 2 m/sec
R = 0.1 m
r varie entre 0 (au centre de la conduite) et 0.1 (à la paroi)
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-16
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Problèmes
Problème 1
Vous relaxez dans une chaise sur le bord d’une rivière. En l’espace d’une heure, vous observez
que la vitesse passe de 0.5 m/sec à 1m/sec. Calculez l’accélération locale :
Rép.: 1.39x10-4 m/sec
Problème 2
De l'eau circule dans une conduite de diamètre constant suivant un écoulement unidirectionnel
uniforme non constant dont le champ de vitesse est donné par v = (10/t + 5) m/s. Déterminez
l'accélération pour t = 1, 2 et 10 s.
Rép.: i)
a = -10 m/s2
ii)
a = -2,5 m/s2
iii)
a = -0,1 m/s2
Problème 3
La vitesse d'un fluide le long de l'axe des x change de 12 m/s au point A à 36 m/s au point B.
Sachant que la vitesse est une fonction linéaire de la position le long d'une ligne de courant,
déterminez l'accélération aux points A, B et C. Considérez l'écoulement comme permanent.
0.05m
0.05m
Rép.: i) a(A)
= 2880 m/s2
B
C
A
ii)
a(B)
= 8640 m/s2 iii)
a(C)
= 5760 m/s2
Problème 4
Un écoulement unidimensionnel à un profil de vitesse défini en fonction du temps et de sa
position comme étant égal à v = x + 0.05t. Calculez l’accélération totale de l’écoulement :
i) au point x=5 à t=10. ii) ) au point x=0 à t=20
Rép.: i) 5.55 m/sec2 ii) 1.05 m/sec2
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-17
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Problème 5
La vitesse moyenne de l’eau qui circule dans une conduite de 20 cm de diamètre est de 2m/sec.
Calculez les débits massiques et volumiques
Rép.: 62.8 kg/sec, 62.8 l/sec
Problème 6
De l'eau de pluie s'écoule sur une rue inclinée décrivant ainsi un écoulement en régime
permanent. Une feuille de papier à la surface se déplace à une vitesse U de 1 m/s. La section de
passage de l'écoulement a une largeur de 2 m et une hauteur h = 1 cm. Calculez le débit
volumique de l'écoulement pour les profils de vitesse suivants (U et h sont des constantes et y est
la coordonnée perpendiculaire aux lignes de courant):
i) v = U
ii) v = U y/h
Rép.:
i) Q = 0,02 m3/s ii) Q = 0,01 m3/s
Problème 7
De l'air (ρ = 1,2 kg/m3) est aspiré à 6 m/s vers un compresseur à travers une conduite de 20 cm de
diamètre. L'air quitte le compresseur à une vitesse de 3 m/s à travers une conduite de 10 cm de
diamètre. Calculez la masse volumique de l'air à la sortie.
Rép.: ρ = 9,6 kg/m3
Problème 8
Un débit volumique de 0.1m3/sec circule dans une conduite dont le diamètre est de 900mm.
Calculez la vitesse moyenne d’écoulement dans la conduite.
Rép.: 0.157 m/sec
Problème 9
De l'eau s'écoule à une vitesse uniforme de 3 m/s dans une conduite AB de 1,2 m de diamètre
reliée à une conduite BC de 1,5 m de diamètre. Au point c) la conduite se sépare en deux parties.
La première, CD a un diamètre de 0,8 m et transporte le tiers de l'écoulement total. La vitesse
dans la seconde CE est 2,5 m/s . Calculez :
a) le débit volumique dans AB
b) la vitesse dans BC
c) la vitesse dans CD
d) le diamètre CE
Rép.: a) Q AB = 3,393 m3/s
c) V CD = 2,25 m/s
D
A
B
b) V BC = 1,92 m/s
d) D CE
= 1,073 m
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
C
E
3-18
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Problème 10
Calculez la vitesse à la sortie de la conduite illustrée ci-dessous, sachant que le débit massique
entrant est de 25 kg/sec.
D=15 cm
D=30 cm
Rép.: 0.35 m/sec
Problème 11
Calculez les débits massique et volumique de l’eau qui s’écoule au travers de la conduite
suivante, de même que la vitesse à la section 2 :
v= 4.5 m/sec
D1=1/3 D2
D2=30 cm
Rép.: 0.035 m3/s, 35 kg/sec, 0.5 m/sec
Problème 12
Un réservoir s'alimente en eau par deux entrées 1 et 2. Le diamètre et la vitesse de l'écoulement
de l'entrée 1 sont respectivement 10 cm et 5 m/s et le débit volumique Q 2 = 0,03 m3/s .
A) Quelle est la vitesse V 3 à la sortie si le diamètre d 3 = 15 cm et si la hauteur d'eau h dans le
réservoir reste constante?
B) Si à t = 0s la vitesse de l'écoulement v 3 à la sortie est augmentée à 5 m/s, quelle est la vitesse
de baisse du niveau d'eau dans le réservoir et quelle est la masse d'eau perdue du réservoir à
t=5s, si le diamètre du réservoir est de 60 cm.
Q2 = 0.03 m3/sec
V1 = 5 m/sec
D1 = 10 cm
h
Rép.: A)
B1)
B2)
V 3 = 3,92 m/s
v = dh/dt
= 0,0676 m/s
m = 95,5 kg
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
D3 = 15 cm
3-19
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Problème 13
De l'eau circule le long d'une conduite circulaire de 50 mm de diamètre avec une vitesse moyenne
de 10 m/s et s'écoule ensuite perpendiculairement de façon radiale entre 2 disques parallèles
espacés de 10 mm. Calculez la vitesse moyenne de l'écoulement à une distance radiale de 300 mm
dans l'espace entre les disques.
10mm
Rép.: 1,04 m/s
dia = 50 mm
Q
Problème 14
Une entrée d'eau à 0,1 m3/s et une entrée d'alcool (s = 0,8) à 0,3 m3/s sont mélangées dans une
conduite en Y. Quelle est la masse volumique du mélange à la sortie ?
Rép.: 850 kg/m3
Problème 15
De l’eau s'écoule dans une conduite suivant le profil de vitesse : v = 0,6 - 15 r 2 où v est en
m/s et le rayon r en m. Veuillez calculer le diamètre de la conduite.
NB : la vitesse est nulle à la paroi et maximale au centre de la conduite.
Rép.: D=0.4m
Problème 16
Veuillez calculer le débit volumique dans le cas du problème 15.
Rép.: Q = 0,0377 m3/s
Problème 17
Dans une installation hydraulique, l'eau débouche à l'atmosphère à travers une conduite
horizontale en Y. La vitesse des jets est de 10 m/s . Calculez les débits Q 1 , Q 2 et Q 3 ainsi
que la vitesse au point 1.
D=8cm
Q2
Q1
D=12cm
D=7cm
Q3
Rép.:
Q 1 = 0,088 m3/s; Q 2 = 0,05 m3/s; Q 3 = 0,038 m3/s; v 3 = 7.83 m/sec
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-20
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Problème 18
Dans un canal rectangulaire, la vitesse moyenne est de 5m/s. Si la largeur du canal est de
10 m et que sa profondeur est de 1.5 m, quel est le débit d'écoulement en m3/s?
Rép.: 75 m3/s
Problème 19
Lors d'une opération d'éclusage, l'eau entre dans l'écluse par 200 ouvertures pratiquées le
long de celle-ci. Chaque ouverture possède une largeur de 2 pieds et une longueur de 2
pieds. L'écluse fait 900 pieds de longueur et 85 pieds de largeur. L'écluse est conçue de
manière à ce que la surface de l'eau monte à une vitesse maximale de 5 pieds/minute. Pour
cette condition particulière, quelle serait la vitesse moyenne de l'écoulement dans les
ouvertures?
Rép.: v= 7,97 pieds/sec.
Problème 20
Le canal ci-dessous possède une largeur de 2 mètres. Pour la distribution de vitesse
montrée, quel serait le débit d'écoulement dans le canal si la profondeur d'eau est de 1
mètre.
v = 10(e y - 1)
1m
y
3
30o
Rép.:Q = 14.37 m /s
Problème 21
Est-ce que le réservoir cylindrique dont le diamètre est de 6 pieds et qui est présenté cidessous se vide ou se remplit? À quel taux le niveau d'eau monte-t-il ou s'abaisse-t-il dans
le réservoir?
Dia = 6 pieds
Dia = 3 pouces
V=4 pi/s
Dia = 4 pouces
V=10 pi/s
Dia = 6 pouces
V=7 pi/s
Rép.: Le niveau baisse à la vitesse de 0,0247 pi/s
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-21
Chapitre 3 : Conservation de la masse
Problème 22
Un lac ne possédant pas d'exutoire (sortie) est alimenté par une rivière dont le débit moyen
est de 28,4 m3/s. L'eau s'évapore à la surface de ce lac à raison de 0,164 m3/s par km2 de
superficie de réservoir. La superficie du réservoir varie avec la profondeur selon l'équation
suivante, où h est en mètres et A est en km2: A = 11,7 + 48,7 h. Quel est le niveau
d'équilibre du lac? Au-dessous de quel débit le lac va-t-il s'assécher?
Rép.: h = 3,32 m Q = 1,92 m3/s
Problème 23
Une rivière se décharge dans le réservoir montré ci-dessous à un débit moyen de 400 000
pi3/s. La sortie du réservoir se fait au travers de conduites d’amenée qui amènent l’eau à une
centrale de production hydroélectrique. Sachant que le débit à la sortie est de 350 000 pi3/s
et que le réservoir possède une superficie de 40 mi2, au bout de combien de temps le niveau
d’eau dans le réservoir aura-t-il augmenté de 20 pieds?
Qin
Qout
Rép.: t= 123 heures, soit environ 5 jours
Problème 24
Un jet d’eau de 10 cm de diamètre sort du réservoir circulaire ci-dessous, dont le diamètre
est de 1 mètre. Supposons que la vitesse du jet soit donnée par l’équation V = (2gh)½.
Combien de temps prendra le niveau d’eau dans le réservoir pour passer de h 0 =2 mètres à h
= 0,50 mètre.
ho
Rép: 31,9 secondes
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-22
Chapitre 3 : Conservation de la masse
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
3-23
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Chapitre 4
Équation générale
d’énergie
Objectifs
La maîtrise des notions présentées dans ce chapitre devrait vous permettre de pouvoir :
•
•
•
•
•
•
•
maîtriser le concept de conservation de l’énergie totale et de ses transformations;
énumérer les différentes formes d’énergie présentes dans un fluide;
calculer le travail fait par un fluide sur un volume de contrôle;
saisir les étapes menant à la formulation de l’équation de Bernoulli;
expliquer les limites de l’applicabilité de l’équation de Bernouilli;
appliquer l’équation générale d’énergie appliquée à un écoulement uniforme en conduite;
appliquer l’équation d’énergie à des problèmes pratiques d’ingénierie en négligeant les pertes
de charge;
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-1
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
4.1 La première loi de la thermodynamique
La première loi de la thermodynamique appliquée à un système stipule que la variation de
l'énergie totale du système est égale au taux d'énergie transférée ou transmise au système sous
forme de chaleur moins le taux de travail fait par ou sur le système:
•
•
dE
= Q - W
dt
4.1
L'équation 4.1 est exprimée en Joules/sec (Watts). La question des échanges de chaleur sera
étudiée de façon plus détaillée au chapitre 7. L'énergie peut prendre plusieurs formes, celles
utilisées en mécanique des fluides sont :
•
•
•
Énergie cinétique
Énergie potentielle
Énergie interne associée au mouvement des molécules
4.2 L’équation générale d’énergie dérivée à
partir du théorème de transport
Si on utilise le théorème de transport et qu'on l'applique à l'énergie, le paramètre physique B
devient:
B = E = me
avec
e=u+
v2
+ gz
2
4.2
avec l'énergie massique e exprimée en J/kg. L’énergie interne massique u, exprimée en kJ/kg,
sera discutée en plus grands détails au chapitre 7 et représente la mesure de l’énergie cinétique
moléculaire.
Le théorème de transport qui permet de relier l'approche systémique à celle du volume de
contrôle est donné (chapitre précédent) par:
dBsys
dt
=
•
•
dBVC
+ Bout - Bin
dt
4.3
=
•
•
dE VC
+ E out - E in
dt
4.4
et devient
dE sys
dt
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-2
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
et sous forme massique
d(me)sys
dt
d(m(u+
=
v2
+gz) VC )
•
•
v2
v2
2
+ ∑ m j out (u+ +gz) j - ∑ mi in (u+ +gz)i
dt
2
2
j
i
4.5
Si on exprime le flux massique par
m= ρ V (volume)
•
et
m = ρ vA
4.6
où v est la vitesse moyenne d'écoulement et en combinant 4.1 et 4.5 on obtient :
•
•
Q- W =
d(me) VC
v2
v2
+ ∑ ρ jVjA j out (u+ +gz) j - ∑ ρi Vi A i in (u+ +gz)i
dt
2
2
j
i
4.7
Le taux de travail est le résultat d'un travail extérieur au volume de contrôle fait par ou sur le
fluide (par une machine telle une pompe) ainsi que par le travail fait par le fluide entrant dans le
volume de contrôle (travail fait sur le fluide du volume de contrôle) ou sortant du volume de
contrôle (travail par le fluide du volume de contrôle). Ceci s'exprime par:
•
W =
•
•
•
Wm + Wfo - Wfi
4.8
Où les indices m, fo et fi réfèrent respectivement au travail d'une machine (positif si fait par le
fluide ou négatif si fait sur le fluide), au travail fait sur le fluide sortant (positif car fait par le
fluide du volume de contrôle) et au travail fait par le fluide entrant (négatif car fait sur le fluide
du volume de contrôle).
Pour le travail fait par les fluides entrants et sortants, puisque le travail est une force multipliée
par un déplacement, que la force est la pression multipliée par l'aire et que le déplacement est
égal à la vitesse moyenne du fluide par l'intervalle de temps, on peut écrire :
∆W = F · ∆x = ρA · v∆t
4.9
Et le taux de travail est simplement donné par :
•
W = pAv
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4.10
4-3
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Le travail fait par les fluides sortants et entrants peut être exprimé par :
•
•
Wfo - Wfi = ∑ p jA j v j - ∑ pi A i vi
j
4.11
i
En tant qu'ingénieurs, l'intérêt se porte naturellement sur le travail fait par une machine (pompe)
ou sur une machine (turbine) et non pas sur le travail fait par le fluide sur le fluide. En
incorporant 4.11, 4.8 et 4.7 on peut écrire:
•
•
d(me) VC
p
v2
p
v2
Q - Wm =
+ ∑ ρ jVjA j out ( +u+ +gz) j - ∑ ρi Vi A i in ( +u+ +gz)i
dt
2
2
ρ
ρ
j
i
4.12
L'équation 4.12 est l'équation d'énergie de base utilisée en mécanique des fluides. Dans la grande
majorité des applications, on considère le régime d'écoulement permanent et l'équation
précédente devient:
•
•
v2
p
v2
Q - Wm = ∑ ρ jVjA j out ( +u+ +gz) j - ∑ ρi Vi A i in ( +u+ +gz)i
2
2
ρ
ρ
j
i
p
4.13
4.3 Simplification de l’équation et application
à un écoulement en conduite
Supposons l'écoulement suivant, stationnaire, uniforme et incompressible à l'intérieur d'une
conduite :
Q
Profil de vitesse
2
Z
1
pompe
L'équation 4.13 appliquée au volume de contrôle défini entre les sections 1 et 2 donne :
•
•
•
Q + Wm = m (
p2
ρ
+u 2 +
•
v22
p
v2
+gz 2 ) - m ( 1 +u1 + 1 +gz1 )
2
2
ρ
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4.14
4-4
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Notez que puisque la pompe effectue un travail sur l'écoulement (donc négatif) le terme de travail
devient positif. L'analyse de ce système est unidimensionnelle en ce sens que l'écoulement est
considéré par sa vitesse moyenne au travers de la section d'écoulement. Toutefois, à cause de la
friction sur les parois, le profil de vitesse n'est pas uniforme et l'on doit introduire un facteur de
correction pour relier la vraie énergie cinétique à celle représentée par la vitesse moyenne.
L'équation 4.14 s'exprime alors de la façon suivante :
•
•
•
Q + Wm = m (
p2
ρ
+u 2 +α
•
v22
p
v2
+gz 2 ) - m ( 1 +u1 +α 1 +gz1 )
ρ
2
2
4.15
Ce coefficient appelé coefficient de Coriolis peut être défini de la façon suivante. Le débit
massique tel qu'exprimé à l'équation 4.6 est donné pour une portion de la surface d'écoulement
dA par :
•
m = ρ vdA
4.16
Et le taux d'entrée d'énergie cinétique (J/sec) est donné par :
•
Ek =
ρ vdA v 2
2
4.17
Pour la surface entière d'écoulement, on obtient :
•
Ek =
ρ
3
v dA
2∫
4.18
A
Si l'on fait le même calcul avec la vitesse moyenne d'écoulement V on retrouve :
•
Ek =
ρ
2
AV 3
4.19
Le coefficient de Coriolis est donc simplement défini par :
3
α =
∫ v dA
A
AV 3
4.20
Il est facile de démontrer que la moyenne d'éléments mis au cube est toujours plus élevée que le
cube de la moyenne des mêmes éléments. Il s'ensuit donc que α est toujours plus grand que 1.
Pour un écoulement laminaire on pourrait démontrer que α est égal à 2 alors que sa valeur se
situe entre 1.01 et 1.1 pour un écoulement turbulent. Il est commun d'utiliser α =1 pour toutes
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-5
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
les applications sauf dans les cas ou une grande précision est nécessaire. Cette approximation
sera utilisée dans le cadre de ce cours.
En divisant l'équation 4.15 par le débit massique et par l'accélération gravitationnelle, on obtient :
•
•
Q + Wm
•
mg
u 2 v22
p1 u1 v12
= ( + +
+z ) - ( + +
+z )
γ g 2g 2
γ g 2g 1
p2
4.21
Notez que les unités de l'équation 4.21 sont maintenant exprimées en mètres ou en équivalent de
hauteur de colonne d'eau. En réarrangeant l'équation 4.21, on se retrouve avec :
•
v2
W
p v2
( + 1 +z1 ) + • m = ( 2 + 2 +z 2 ) +
γ 2g
γ 2g
mg
p1
(1)
(2)
(3)
•


1
Q
 (u 2 -u1 )- • 
g
m g 

4.22
(4)
Les termes (1) et (3) représentent l'énergie hydraulique du fluide aux sections 1 et 2. L'énergie
hydraulique est composée d'un terme de pression, d'un terme d'énergie cinétique et d'un terme
d'énergie potentielle tous exprimés en mètres.
Le terme (2) est appelé hauteur manométrique et représente l'énergie ajoutée par la pompe en
équivalent de colonne d'eau. Le terme serait négatif s'il s'agissait d'énergie enlevée à
l'écoulement par une turbine.
Le terme (4) représente la conversion d'énergie mécanique en énergie thermique par les forces de
viscosité ainsi que la dissipation de cette énergie par transfert de chaleur vers l'extérieur. Ce
terme indique que lors de tout écoulement, la friction due à la viscosité du fluide enlève de
l'énergie mécanique (ou hydraulique) à l'écoulement et ceci se traduit (puisque l'énergie totale est
conservée) par une augmentation de l'énergie interne de l'écoulement et possiblement par un
transfert de chaleur à l'extérieur du volume de contrôle. Le terme (4) est généralement appelé
'perte de charge hydraulique' ou h f . Ce terme sera revu en détail au prochain chapitre.
En peut réécrire l'équation 4.22 de façon plus simple par :
H1 + h p = H 2 + h f
4.23
Où H 1 et H 2 représentent l'énergie hydraulique disponible aux sections 1 et 2, h p représente la
hauteur d'énergie ajoutée par la pompe et h f les pertes d'énergie entre les sections 1 et 2 appelées
pertes de charge hydrauliques. Ces pertes seront définies au prochain chapitre.
Bien que les unités de 4.23 soient en mètres, il s'agit bien d'une équation d'énergie.
multipliant chaque terme de l’équation 4.23 par mg, on retrouve des unités de Joules.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-6
En
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
4.4 Exemple : pompage entre deux réservoirs
Soit le diagramme ci-dessous où une pompe prend de l'eau d'un réservoir bas et l'achemine vers
un réservoir à un plus haut niveau. On demande de calculer la hauteur manométrique requise de
la pompe (h p ) ainsi que sa puissance requise en watts. Négligez les pertes de charge.
2
80m
70m
50m
1
D=50 cm
L=1000m
Q=0.5m3/sec
20 m
pompe
En prenant un volume de contrôle tel qu'illustré en pointillé on peut réécrire l'équation 4.23 par :
p1
2
2
v
p v
( + 1 +z1 ) + h p = ( 2 + 2 +z 2 )
γ 2g
γ 2g
Si on considère que le diamètre des réservoirs est grand par rapport à celui de la conduite, les
vitesses en 1 et en 2 sont négligeables et les pressions sont atmosphériques aux deux endroits.
On peut donc simplifier par :
h p = 80 -50
Ou encore h p = 30 m. La pompe doit donc ajouter 30 mètres d'énergie pour combattre la
différence d'énergie potentielle entre les deux réservoirs. S’il y avait des pertes de charge dues à
la friction, la pompe devrait fournir plus d’énergie que 30 m de façon à vaincre cette perte
d’énergie. Ces concepts seront discutés au chapitre suivant. Pour la puissance :
•
hp =
Wm
•
•
•
ou en réarrangeant: Wm (Pw ) = m ghp = ρ Qghp
mg
Et donc, pour la puissance en watts, on retrouve l'expression suivante :
Pw = ρ Qgh p = 1000 ⋅ 0.5 ⋅ 9.8 ⋅ 30 = 147000 W = 147 kW
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-7
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
4.5 Équation d’énergie le long d’une ligne de
courant : équation de Bernoulli
L'équation de Bernoulli est une simplification de l'équation générale d'énergie nommée en
l'honneur de son découvreur et père de l'hydrodynamique Daniel Bernoulli. L'équation de
Bernoulli est obtenue en faisant les hypothèses suivantes :
•
•
•
•
l'écoulement est stationnaire (permanent)
l'écoulement est incompressible (masse volumique constante)
les effets dus à la viscosité sont négligés (pas de perte de charge ou d'énergie, ou
simplement que l'énergie interne de l'écoulement est constante)
l'écoulement se fait le long d'une ligne de courant (α = 1)
On obtient donc, le long d'une ligne de courant entre deux points 1 et 2 (à partir de 4.23):
H1 + h m = H 2
4.24
Et si il y a absence de travail mécanique fait sur l'écoulement (pompe) ou par l'écoulement
(turbine), on retrouve en détaillant le terme d'énergie hydraulique totale:
(
p1
γ
+
v12
p v2
+z1 ) = ( 2 + 2 +z 2 )
2g
γ 2g
4.25
L'équation de Bernoulli stipule qu'en l'absence d'effets de viscosité (ou lorsque ceux-ci sont
négligeables) et en l'absence de travail fait sur ou par l'écoulement, l'énergie totale (énergie
hydraulique totale) est conservée et est la somme d'une énergie de pression, d'une énergie
cinétique et d'une énergie potentielle. Ces énergies sont exprimées en hauteur piézométrique
(voir chapitre 2), c'est-à-dire en hauteur équivalente de liquide (en mètres).
L'équation de Bernoulli n'est strictement parlant jamais applicable, mais elle permet de bonnes
approximations dans plusieurs cas utiles. Elle permet aussi la compréhension de nombreux
phénomènes en hydrodynamique.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-8
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Exemple :
De l'eau s'écoule dans la conduite horizontale illustrée ci-dessous. La pression relative à la
section 1 est de 100 kPa et la vitesse est de 2 m/sec. Trouvez la pression à la section 2. Le
diamètre de la conduite à la section 1 est de 10 cm et de 5 cm à la section 2.
D1=10cm
D2=5 cm
Solution:
4.6 Quelques applications de l'équation de
Bernoulli
4.6.1 Écoulement au travers d'un orifice
L'écoulement d'un fluide dans un orifice, à partir d'un réservoir ou d'une conduite a plusieurs
applications en ingénierie. Les orifices contrôlent entre autres la vidange de bassins de rétention
ainsi que le débit dans certains regards d'égouts et conduites.
1
Soit le diagramme suivant :
h
2
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-9
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
En appliquant l'équation de Bernoulli entre les points 1 et 2, considérant que la pression est
atmosphérique à chaque section et que le diamètre du réservoir est grand comparativement à
celui de l'orifice (v 1 est négligeable) on peut écrire :
z1 =
v2 2
+z
2g 2
ou encore
v2 2
= z2 - z1 = h
2g
on peut donc écrire pour la vitesse et le débit à la sortie de l'orifice par :
v= 2g h
Q = Ao
2g h
4.26
avec A o qui représente l'aire de l'orifice. En pratique toutefois, près de l'orifice, on observe un
rétrécissement du jet d'eau de telle sorte que l'aire A du jet d'eau n'est pas égale à celle de l'orifice.
On peut écrire A o = C d A où C d est plus petit que 1. Dépendant de la finition de la bordure de
l'orifice, C d varie entre 0.6 et 0.64. La valeur de 0.6 est la plus souvent employée en ingénierie.
L'équation d'orifice s'exprime donc par :
Q = Cd A o
2g h
4.27
Dans le cadre de ce cours on prendra C d = 1 à moins qu'il ne soit spécifié autrement.
4.6.2 Vidange d'un réservoir
Supposons un réservoir qui se vide par un orifice.
s'exprimer sous la forme suivante :
L'équation de continuité (3.21) peut
dV
= Qin - Qout
dt
4.28
Où V est le volume d'eau dans le réservoir. Le débit de sortie est donné par l'équation 4.27. Si
les parois du réservoir sont verticales l'aire A du réservoir est constante et le volume est donné
par V = Ah (où h est le niveau d'eau dans le réservoir) l'équation 4.28 peut être réécrite sous la
forme :
Q - Cd A o 2gh
dh
= in
4.30
dt
A
Et si le débit d'entrée au réservoir est nul durant la vidange, on retrouve :
- Cd A o 2gh
dh
=
dt
A
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4.31
4-10
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Cette équation s'intègre facilement pour en arriver à une relation entre t et h. La vidange d'un
réservoir se retrouve sous la forme d'une équation différentielle puisque le débit de sortie n'est
pas constant, mais bien fonction du niveau d'eau dans le réservoir. Plus le niveau d'eau diminue
dans le réservoir, plus le débit de sortie est faible et plus la diminution du niveau est faible.
Exemple :
Un réservoir cylindrique vertical dont la superficie est de 1 m2 se vide par un orifice dont l'aire
est de 0.001 m2 (C d = 1). Si le niveau d'eau dans le réservoir est de 1 m, on vous demande de
calculer le niveau d'eau dans le réservoir après une minute de vidange, et le temps requis pour
vidanger le réservoir au complet.
Solution:
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-11
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
4.6.3 Tube de Pitot
Un tube de Pitot, souvent simplement appelé 'Pitot' est l'appareil le plus couramment utilisé pour
faire des mesures de vitesse dans divers écoulements. L'appareil est nommé en l'honneur de son
inventeur, Henri de Pitot qui testa l'appareil dans la Seine pour la première fois en août 1732. Le
principe est basé sur la mesure de la pression statique et de la pression dynamique en un point
d'un écoulement. Supposons l'arrangement suivant :
h2
h1
Q
1
x
x
2
Puisque l'écoulement est strictement horizontal, la distribution verticale de la pression est donc
hydrostatique. On peut donc dire que h 1 = P 1 /γ . À l'entrée du tube 2, l'écoulement est nul et on
peut aussi écrire que h 2 = P 2 /γ. Appliquons maintenant l'équation de Bernoulli sur la ligne de
courant qui passe par le point 1 et qui s'arrête exactement au point 2. Ce point est appelé un
point de stagnation, et l'eau qui s'écoule et qui freine brusquement en arrivant au point 2 crée une
pression dynamique. Entre le point 1 et 2, comme le tube est horizontal on retrouve :
v12
+
γ 2g
p1
=
p2
γ
4.32
ou encore en remplaçant le terme P/γ par h, on retrouve
v12
2g
= h 2 - h1
4.33
Autrement dit, la différence de niveau entre deux tubes verticaux dont les extrémités sont
respectivement perpendiculairement et dans le sens de l'écoulement est égale au terme de vitesse
(v2/2g) dans l'équation d'énergie, appelée pression dynamique. La somme de la pression statique
et de la pression dynamique donne la pression au point de stagnation.
Les tubes de Pitot peuvent se retrouver sous plusieurs formes, mais le concept de base est
toujours le même soit de comparer la pression statique et la pression au point de stagnation créée
par un écoulement. Vous aurez à utiliser un tube de Pitot lors du laboratoire 2.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-12
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
4.6.4 Cavitation
La cavitation est un phénomène d'ébullition à basse pression très dommageable pour les
équipements hydrauliques et particulièrement susceptible de se produire dans les pompes. Tel
que vu dans la première partie du cours, l'ébullition se produit lorsque la pression de vapeur d'un
liquide est égale à la pression ambiante. Pour de l'eau à la pression atmosphérique (101.3 kPa),
l'ébullition est obtenue à 100oC , température à laquelle la tension de vapeur de l'eau est de 101.3
kPa. À une température normale d'utilisation, soit 20oC, la tension de vapeur de l'eau est faible,
soit de 2.34 kPa. Si la pression de l'écoulement baisse sous cette valeur, une ébullition s'ensuivra
et l'écoulement deviendra bi-phasique, c'est-à-dire partiellement liquide avec une multitude de
bulles de vapeur d'eau. Dès que la pression se rétablira, les bulles de vapeur d'eau vont imploser
très rapidement pour retourner sous forme liquide. Chaque implosion crée une forte pression
dynamique locale. La fréquence très élevée de ces pressions dynamiques locales peut entraîner
une détérioration rapide du matériel de la conduite ou de l'appareil dans lequel se produit le
phénomène. La cavitation est susceptible de se produire entre autres :
•
•
•
dans les pompes lorsque la hauteur d'aspiration est trop élevée
dans les conduites en siphon
dans des rétrécissements de conduite rapide (tube Venturi)
Exemple :
Pour le diagramme ci-dessous, veuillez déterminer le débit Q pour lequel la cavitation se
produira à la section 2 si la température de l'eau est de 20oC et que le diamètre de la section 2 est
de 15 cm. ?
1
Patm = 100 kPa
5m
2
Q
Solution:
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-13
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Problèmes
Problème 1
De l'eau circule avec un débit de 20 litres/sec vers le bas dans une conduite circulaire de 10cm de
diamètre. Sachant que la pression est de 500kPa à un niveau donné, calculez la pression 10m
plus bas.
Rép.: P = 598 kPa
Problème 2
Un débit de 100 litres/sec d’eau circule dans une conduite horizontale. En un point 1, le diamètre
de la conduite est de 15cm. Quel est le diamètre de la conduite en un point 2 en aval, sachant
que la pression a augmenté de 10kPa entre le point 1 et le point 2 ?
Rép.: D = 19 cm
Problème 3
Une conduite circulaire longue de 5 m est inclinée vers le haut à 30o. Le diamètre passe de 10 cm
à l'entrée à 15 cm à la sortie. Calculez le débit volumique d’eau si les indicateurs de pression à
l'entrée et à la sortie donnent les mêmes valeurs.
Rép.: Q = 61.4 l/sec
Problème 4
Un raccord conique incliné vers le bas voit son diamètre passer de 1,2 m à 0,6 m sur une
différence de niveau de 3 m. La pression au point le plus haut est 69 kPa. Négligeant le
frottement, calculez la pression au point le plus bas pour un débit d'eau de 5,5 m3/min.
Rép.: 98,5 kPa
Problème 5
De l'eau à 20oC est siphonnée d'un large réservoir avec un tube de diamètre constant tel
qu'illustré ci-dessous. Sachant que la pression atmosphérique est de 100 kPa calculez la vitesse
de l’eau dans la conduite ainsi que la pression au point le plus élevé.
7m
4m
Rép.: v=10.84 m/sec P rel =-88.2 kPa (P abs =11.8 kpa)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
2m
4-14
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Problème 6
De l'eau à 20oC est siphonnée d'un large réservoir avec un tube de diamètre constant tel
qu'illustré ci-dessous. Sachant que la pression atmosphérique est de 101 kPa et que la pression
de vaporisation de l'eau à cette température est de 2,34 kPa, calculez la hauteur H maximale (à
partir de la base du réservoir) pour siphonner l'eau en évitant la cavitation (vaporisation de l'eau).
H
Rép.: H = 8,06 m
2m
Problème 7
Déterminez le débit volumique d'eau à travers la conduite dans un plan horizontal illustrée à la
figure suivante. Le liquide dans le manomètre a une masse volumique de 900 kg/m3:
2.5 m
Q
0.08 m
Rép.: Q = 0.011 m3/s
Problème 8
De l'eau circule dans une conduite en Y tel qu'illustré ci-dessous. Calculez la pression au point
(3) si la conduite est dans un plan horizontal.
2
A3 = 0.07 m
P3 = ?
A1 = 0.1 m2
P1 = 400 kPa
V1 = 4 m/sec
A2 = 0.02 m2
P2 = 350 kPa
Rép.: P 3 = 404,5 kPa
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-15
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Problème 9
De l'eau s'écoule d'un large réservoir illustré ci-dessous. Si l'on néglige toutes les pertes,
déterminez le débit volumique et la pression au point (1). Les deux sorties sont à la pression
atmosphérique.
7m
Dia = 0.03m
4m
1
Dia = 0.05m
Dia = 0.02m
Rép.: Q 1 = 0.0091 m3/s
;
P 1 = 57,9 kPa
Problème 10
Quelle est la puissance maximale que peut générer la turbine hydroélectrique de la figure
suivante. L'eau sort de la turbine à l'air libre via une conduite de 1m de diamètre.
50m
6 m/sec
T
Rép.: W = 2,23 MW
Problème 11
Une huile de lubrification (871 kg/m3) est pompée jusqu'à une élévation de 11 m dans une
conduite de 20 cm de diamètre où on mesure une pression relative de 120 kPa. Calculez la
puissance fournie par la pompe pour un débit de 0,1 m3/s. On néglige toutes les pertes.
120kPa
5m
6m
Rép.: Puissance = 16,7 kW
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
P
4-16
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Problème 12
La pression à l'entrée d'une conduite en Y est de 200 kPa et le débit est de 0,15 m3/s pour un
diamètre de 20 cm. Le débit au point 2 est de 0,1 m3/s et le diamètre des conduites aux points 2
et 3 sont respectivement de 20 et 10 cm. Calculez les pressions P 2 et P 3 . La conduite est dans
un plan horizontal.
P3 V3
P1 V1
P2 V2
Rép.: P 2 = 206,3 kPa et P 3 = 191,1 kPa
Problème 13
Calculez la hauteur h pour que les conditions soient stationnaires.
Dia = 0.01 m
1m
Dia = 0.02 m
h
Rép.: 6.25 cm
Problème 14
Sachant que la conduite a un diamètre de 10 cm, on vous demande de calculer:
a) la hauteur manométrique de la pompe pour que le débit soit de 60 litres/sec
b) la pression à l'entrée de la pompe
c) la pression à la sortie de la pompe
5m
P
5m
Rép.: h p =12.98 m, -78.2 kPa, 49 kPa
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4-17
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Problème 15
a) Calculez le débit et la vitesse de l’eau sortants à l’air libre via une conduite de 0.5m de
diamètre si la turbine est absente.
b) Calculez le débit et la vitesse sachant que la turbine enlève 16m d’énergie équivalente à
l’eau qui coule dans la conduite.
c) Calculez est la puissance fournie par la turbine dans ce dernier cas.
Rép.: a) 19.8 m/sec 3.88m3/sec
b) 8.85 m/sec 1.74m3/sec
c) 272.6 kW
20m
T
Problème 16
Calculez la pression au point 2 sachant que le débit est de 25 l/sec. Le liquide dans le manomètre
est du mercure (s=13.6).
Rép. : 177.9 kPa
Problème 17
Une des 3 pressions indiquées sur le diagramme est incorrecte. Laquelle ?
Rép. : P B =24405 Pa
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4-18
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
Problème 18
Sachant que la manomètre contient du
mercure et que les diamètres aux sections A
et B sont de 20 et 10 cm respectivement,
calculez le débit d’eau circulant au travers du
tube Venturi montré dans le diagramme
suivant.
Rép. : 57 l/sec
Problème 19
Sachant que la conduite a un diamètre de
10cm, calculez la puissance requise par la
pompe pour un débit de 15 l/sec, sachant que
la pression relative à l’entrée de cette dernière
est de -25 kPa.
Rép. : 4.45 hp
Problème 20
De l’eau s’écoule radialement entre deux
disques situés à l’extrémité d’une conduite de
15cm de diamètre. L’espacement entre les
deux disques est de 2.5 cm. Si la pression en
A est de -0.3m, trouvez la hauteur de pression
en B et le débit en litres/sec.
Rép. : 105.4 l/sec et -0.044m
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-19
Chapitre 4 : Équation générale d’énergie
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
4-20
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Chapitre 5
Pertes de charge dans les
conduites
Objectifs
La maîtrise des notions présentées dans ce chapitre devrait vous permettre de pouvoir :
• dériver l’équation générale de perte de charge;
• expliquer la différence entre les caractéristiques des pertes de charge dans les écoulements
laminaires et les écoulements turbulents;
• distinguer les régimes laminaires et turbulents, ainsi que les régimes de turbulence lisse,
rugueuse et transitionnelle;
• calculer le facteur de friction f pour différents régimes d’écoulement et conduites en utilisant
soit le diagramme de Moody ou les équations approximatives;
• calculer les pertes de charge dues au frottement dans les conduites avec l’aide des équations
de Darcy-Weisbach et Hazen-Williams;
• expliquer le concept de perte de charge singulière;
• calculer les pertes de charge singulières;
• résoudre des problèmes de calcul de conduites en tenant compte des pertes de charge dues à la
friction et aux pertes singulières;
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-1
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
5.1 Introduction
L'étude des pertes de charge dans les conduites est un sujet de grande importance en hydraulique.
La connaissance de ces pertes est nécessaire pour la conception des systèmes de distribution
d'eau potable résidentiel et industriel. Elles sont d'une importance particulière pour le calcul des
débits d'incendies et s'appliquent aussi au dimensionnement de tous les systèmes de machines
hydrauliques telles les pompes et turbines. Il importe donc de développer une approche
permettant le calcul des pertes d'énergie lors d'écoulements en conduite.
5.2 L’équation générale de perte de charge
L'équation 4.23 reproduite ici présente l'équation d'énergie entre deux sections d'une conduite.
H1 + h w = H 2 + h
5.1
Si aucun travail mécanique n'est présent (on appelle alors cet écoulement en mouvement
gravitaire pur), h w =0 et l'équation indique que la différence d'énergie entre les deux sections est
égale à la perte de charge entre ces deux sections. On peut réécrire l'équation 5.1 par:
z1 +
P1
v2
P
v2
+ 1 = z2 + 2 + 2 + h f + hs
2g
2g
ρg
ρg
5.2
Les pertes de charge ont été plus précisément réécrites sous la forme de deux termes h f et h s .
Les pertes de charge par friction notées par h f , sont celles dues à la friction causée par la
présence des parois de la conduite. Les pertes de charge dites singulières notées par h s
comprennent les pertes de charges supplémentaires causées par toutes les discontinuités présentes
dans l'écoulement. Ces discontinuités, telles que les raccords, coudes ou vannes causent de la
turbulence supplémentaire et entraînent donc des pertes d'énergie additionnelles. Imaginez que
vous poussiez un meuble sur un plancher de bois en latte très lisse. L'énergie requise pour ce
déplacement consiste à vaincre la force de friction entre le meuble et le plancher. Sur un
plancher de lattes inégales, en plus de la friction, il faudrait exercer une force supplémentaire à
chaque fois que le meuble heurterait une protubérance dans le plancher de bois. Il en va de
même pour un écoulement dans une conduite. Les pertes de charge singulières seront abordées à
la section 5.7.
Pour un écoulement permanent, l'ensemble des forces qui s'exercent sur le fluide doit être égal à
zéro. Considérons les forces agissant sur le fluide contenu à l'intérieur d'une conduite :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-2
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
L
P1
τ
L'écoulement se fait de
1 vers 2, l'axe vertical
est l'axe Z
mg sinθ
P2
mg
L'équilibre des forces donne :
P1A1 - P2 A 2 + mg sinθ - τ o A o = 0
5.3
où A 1,2 représente l'aire de la conduite et A o l'aire de la surface extérieure du cylindre sur laquelle
la force de friction est appliquée. En détaillant les termes, on retrouve :
P1
π D2
4
- P2
π D2
4
+ ρg
π D2
4
L sinθ - τ oπ DL = 0
5.4
En divisant tous les termes par ρgπD2/4 on retrouve :
4τ o L
P1
P
- 2 + L sinθ =0
ρg ρg
ρ gD
5.5
Sachant que v 1 = v 2 et que sinθ = (z 1 -z 2 )/L on peut écrire :
4τ o L
P1
v2
P
v2
+ z1 + 1 = 2 + z 2 + 2 +
ρg
2g
ρg
2g
ρ gD
5.6
On en retire donc la relation importante :
hf =
4τ o L
ρ gD
5.7
Cette équation décrit la relation entre la contrainte de cisaillement causée par le frottement du à
la présence de la paroi de la conduite et les autres variables. Afin de pouvoir utiliser cette
relation, il importe toutefois d'avoir une description de la contrainte de cisaillement. Compte
tenu de la différence fondamentale dans la nature physique des écoulements laminaires et
turbulents, il faudra considérer ces cas séparément.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-3
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
5.3 Équation de perte de charge pour un
écoulement laminaire
De par la définition même d'un fluide, on peut écrire :
τ = -µ
dv
dr
5.8
Pour un écoulement laminaire, on pourrait démontrer ( à l'aide des équations 5.7 et 5.8) que le
profil de vitesse suit une fonction parabolique. Ceci entraîne que le profil de cisaillement (dV/dr)
suit une fonction linéaire :
τ
v
Vmoy
r
Cisaillement (linéaire)
Vitesse (parabolique)
Le profil parabolique de vitesse est de la forme :
  r 2 
v(r) = v max 1 -   
  R  
v moy = v =
v max
2
5.9
La contrainte de cisaillement est obtenue par dérivation de 5.9 selon 5.8 et donne :
τ = 4µ v
r
R2
5.10
À la paroi de la conduite r=R et en substituant cette expression à l'intérieur de l'expression
générale dérivée à la section précédente (5.7), on retrouve l'expression générale des pertes de
charge pour un écoulement laminaire :
hf =
32µ L
v
ρ g D2
5.11
Cette équation n'est valide que pour un écoulement laminaire et elle est nommée équation de
Hagen-Poiseuille en l'honneur des deux chercheurs allemand (1839) et français (1841) qui l'ont
dérivée.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-4
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
5.4 Équation de perte de charge pour
écoulement turbulent
La problématique des écoulements turbulents étant difficilement attaquable d'un point de vue
théorique, l'approche empirique a dû être privilégiée. Les expériences de laboratoire effectuées
par Darcy et Weisbach (1850) ont démontré pour le cisaillement à la paroi une relation de la
forme :
τ = K v2
5.12
Cette relation indique que pour les écoulements turbulents, le cisaillement à la paroi est
proportionnel au carré de la vitesse moyenne (K étant la constante de proportionnalité). Pour les
écoulements laminaires, le cisaillement est proportionnel à la vitesse. En introduisant 5.12 à
l'intérieur de la formule générale (5.7) on retrouve :
hf =
K8L v 2
ρ D 2g
5.13
En regroupant certains termes, on retrouve l'expression de Darcy-Weisbach:
f L v2
hf =
D 2g
5.14a
où f = K8/ρ est appelé coefficient de friction. En substituant v par Q/A, on retrouve :
h f = 0.0827
fLQ 2
D5
5.14b
Cette dernière formule indique que la perte de charge est proportionnelle au débit au carré, et
inversement proportionnelle au diamètre à la puissance 5.
Bien qu'établie pour les écoulements turbulents on peut noter que l'équation de Darcy-Weisbach
s'applique aussi pour les écoulements laminaires et que dans ce cas, en égalant les équations
5.14a et 5.11, on retrouve :
f=
64ν
64
=
Dv
Re
5.15
L'équation de Darcy-Weisbach est donc universelle et applicable pour tous les écoulements.
Lorsque ceux-ci sont laminaires, l'expression théorique du coefficient de friction est donnée par
l'équation 5.15. Il importe maintenant d'exprimer la valeur du coefficient de friction pour les
écoulements turbulents.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-5
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
5.5 Calcul du coefficient de friction f
Plusieurs chercheurs se sont attaqués de façon empirique à la problématique de la détermination
du coefficient ou facteur de friction. Ces travaux ont donné lieux à des résultats apparemment
contradictoires et à de nombreux débats entre scientifiques. Parmi ces travaux, ceux de Blasius
(1913) ont une signification particulière.
5.5.1 Équation de Blasius pour conduites lisses
À la suite d’expériences empiriques, Blasius établit la forme suivante du facteur de friction :
f=
0.316
Re0.25
5.16
L’aspect étonnant des travaux de Blasius est qu’ils indiquent que le facteur de friction n’est
aucunement relié à la rugosité de la conduite. Il fut démontré peu après que cette équation était
inadéquate pour un nombre de Reynolds supérieur à 105 et pour des conduites très rugueuses. En
fait, il aura fallu attendre 17 ans pour résoudre ce problème.
5.5.2 Expérience de Nikuradse
Nikurasde (1930) fit de nombreuses expériences avec des conduites enduites de sable de façon à
simuler la rugosité. Anticipant que le facteur de friction dépendait à la fois du niveau de
turbulence (défini par le nombre de Reynolds) et de la rugosité de la conduite, il réalisa une série
d'expériences détaillées en faisant varier les deux paramètres. Il définit le paramètre de rugosité
comme le ratio du diamètre des grains de sable utilisés sur celui de la conduite (k s /D). Ses
résultats donnèrent ceci :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-6
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Ce comportement permet de définir plusieurs zones de comportement du facteur de friction telles
qu'illustrées ci-dessous :
Parmi ces zones on retrouve :
•
•
La zone laminaire (Re < 2000). Dans cette zone le facteur de friction est donné par l'équation
5.15 et les pertes de charge sont données par l'équation de Hagen-Poiseuille (5.11)
Une zone d'écoulement transitionnel (à ne pas confondre avec la zone turbulente
transitionnelle) pour la zone suivante 2000 < Re < 6000. Le facteur de friction n'est fonction
que de Re.
Pour les trois zones suivantes, l'écoulement est complètement turbulent (Re>6000)
•
•
•
Une zone de turbulence lisse aussi appelée zone de conduite lisse. Dans cette zone, le facteur
de friction ne dépend que du nombre de Reynolds. Le facteur de friction est donné par
l'équation de Blasius (5.16)
Une zone de turbulence rugueuse. Dans cette zone, le facteur de friction n'est fonction que de
la rugosité de la conduite et n'est pas fonction du nombre de Reynolds.
Une zone turbulente transitionnelle. Dans cette zone, le facteur de friction dépend à la fois
du nombre de Reynolds et de la rugosité relative.
Ces connaissances étant empiriques, il restait toutefois à essayer de comprendre ce
comportement.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-7
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
5.5.3 Théorie des couches limites de Prandl et Von Karman
Il faudra attendre les travaux fondamentaux de Prandtl et Von Karman (1930-35) sur les couches
limites pour saisir les raisons de ce comportement.
La couche limite est la région d'un écoulement située à proximité de la frontière d'un objet où la
vitesse du fluide est réduite à cause du cisaillement causé par la frontière.
À l'interface directe entre un fluide et un solide fixe, la vitesse d'écoulement est égale à zéro.
Ceci indique que même pour un écoulement fortement turbulent, il existe une très mince couche
de fluide où l'écoulement est laminaire. Cette très mince couche dont l'épaisseur est de l'ordre de
quelques microns pour les écoulements en conduite est appelée sous-couche laminaire et son
épaisseur est définie par δ. Les trois zones situées dans les écoulements turbulents dépendent de
la hauteur relative des éléments de rugosité de la conduite par rapport à l'épaisseur de la souscouche laminaire. Prandtl et Von Karman identifient les relations suivantes pour le régime lisse :
pour ε ≤
δ
6
(
) - 0.8
5.17
1
D
= 2 log10   + 1.14
f
ε 
5.18
1
= 2 log10 Re f
f
et pour le régime rugueux :
pour ε ≥ 3δ
5.5.4 Formule de Colebrook et diagramme de Moody
Le régime le plus important en hydraulique est le régime intermédiaire entre les régimes lisses et
rugueux décrits par Prandtl et Von Karman. Une formule empirique pour les conduites
commerciales pour la transition entre le régime lisse et le régime rugueux a été développée par
Colebrook (1938) :
ε
1
2.51 
= -0.86 ln  D +
5.19
 3.7
f
Re f 


La formule de Colebrook fonctionne aussi très bien pour les régimes lisses et rugueux.
L'importante contribution de Colebrook a été de faire le lien entre les rugosités artificielles de
Nikuradse (k s ) et celles des conduites commerciales (ε) qui sont beaucoup plus irrégulières.
La formule de Colebrook est toutefois difficile à utiliser puisque le facteur de friction se retrouve
des deux côtés de l'équation. Pour contrevenir à cette difficulté, Moody (1944) construisit un
diagramme fort utile illustré à la page suivante. Ce diagramme est encore utilisé aujourd'hui bien
qu’il soit voué à disparaître dû à la présence des ordinateurs et des calculatrices.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-8
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-9
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Avec l’arrivée des calculatrices, des formules explicites approximatives ont fait leur apparition.
La plus connue est la suivante :
1/ 3
 
106  
4 ε
=
+
f 0.0055 1 +  2 ⋅10
 
D Re  
 

5.20
La formule la plus précise est probablement celle de Swamee et Jain (1976, Explicit Equations
for Pipe-Flow Problems., J. Hydraulics Div., ASCE, v102, pp.657-664). Cette formule est
précise à 1% ou moins de la formule de Colebrook et est beaucoup plus simple à utiliser. Elle est
valide pour des rugosités relatives variant entre 10-6 et 10-2.
f=
1.325
  ε 

ln   D  + 5.74  
   3.7  Re0.9  


 
2
5000 < Re < 108
5.21
Le calcul du coefficient de friction peut se faire à partir du diagramme de Moody, de la formule
de Colebrook (5.19), ou à partir des formules explicites 5.20 et 5.21. Les quatre expriment la
même relation entre le facteur de friction, la rugosité relative de la conduite et le nombre de
Reynolds de l’écoulement.
5.6 Formule de Hazen-Williams
Les formules présentées dans les sections précédentes sont applicables pour n'importe quel
fluide. Malgré le fait qu'elles représentent le plus précisément possible la vraie nature physique
du phénomène, elles sont par contre difficiles à utiliser. En conséquence, plusieurs formules
empiriques spécifiques sont apparues avec le temps. Le meilleur exemple est la formule de
Hazen-Williams très couramment utilisée dans l'industrie de la distribution d'eau potable. Elle est
exprimée par :
1.852
 3.59 
hL = L 

 CHW 
Q1.852
D 4.87
5.22
Où les unités sont en mètres et en secondes. Le coefficient de Hazen-Williams C HW varie de
environ 50 pour une conduite très vieille et très incrustée à environ 140 pour des conduites
extrêmement lisses.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-10
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
La formule de Hazen-Williams n'est valide que pour de l'eau à des températures normales et pour
des conduites de diamètre supérieur à 5cm et dont la vitesse moyenne est inférieure à 3 m/sec.
Cette approche ne permet pas de définir explicitement les pertes de charge singulières.
Le tableau ci-dessous fournit des valeurs typiques du coefficient de Hazen –Williams.
5.7 Pertes de charge singulières
Les pertes de charge ont été introduites au début de ce chapitre. Les pertes de charge singulières
sont négligeables lorsque les longueurs de conduites sont grandes. Toutefois, lorsque les
conduites sont plus courtes ou lorsque les discontinuités sont importantes, il est nécessaire d'en
tenir compte sous peine de faire d'importantes erreurs. Il importe maintenant d'en faire une
description permettant la résolution de problèmes d'ingénierie.
À chaque fois que la vitesse d'un écoulement est altérée par la présence d'un obstacle, des
tourbillons de courant se forment résultant en une perte d'énergie supplémentaire. Ces pertes
sont plus importantes lorsque les écoulements décélèrent que lorsqu'ils accélèrent. Ceci est
illustré dans une conduite convergente divergente, telle que vue lors du laboratoire 2.
La perte de charge varie selon la nature de la discontinuité et selon le niveau de fini produit par le
manufacturier. Deux coudes de 90o n'auront pas nécessairement la même perte de charge. Le
rayon de courbure, le fini de l'intérieur du coude de même que la qualité des raccords auront une
influence sur la perte de charge. Compte tenu de toutes ces variations, une approche empirique
est utilisée et la perte de charge singulière est définie par :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-11
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
hs = ks
v2
2g
5.23
où k s est appelé coefficient de perte de charge singulière. Le tableau suivant donne un ordre de
grandeur pour k s pour les cas suivants (mais ces valeurs peuvent varier, parfois même largement
pour les raisons citées plus haut).
Les valeurs réelles sont fournies par le manufacturier et même dans ces cas elles peuvent différer.
Généralement, on peut toutefois considérer que les valeurs du manufacturier sont minimales.
Type de discontinuité
Coefficient de perte de charge
(ordre de grandeur) (k s )
10
15
0.2
1
5
25
2
Valve de type globe 100% ouverte
Valve de type globe 50% ouverte
Vanne porte 100% ouverte
Vanne porte 75% ouverte
Vanne porte 50% ouverte
Vanne porte 25% ouverte
Vanne d'arrêt (check valve)
sens permis
Vanne d'arrêt (check valve)
sens contraire
Té
∞
0.4
1.5
Coude 45o
Coude 90o
0.4
0.75
Exemple :
Calculez les pertes de charge pour la section de conduite suivante si la vitesse est de 2 m/sec dans
la conduite de petit diamètre. Le facteur de friction f est égal à 0.02 pour les deux conduites.
Coude
K=0.5
chaque
D = 2 cm
L=10 m
Expansion
D2/D1=2
K=5
D = 4 cm
L=2 m
Vanne globe 100%
ouverte k=10
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-12
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Solution :
Les pertes de charge singulières sont aussi parfois exprimées sous la forme de longueur
équivalente de conduite. Dans ce cas, on exprime simplement que la perte de charge due à la
discontinuité est égale à la perte de charge par frottement de 'x' mètres de conduite de même
diamètre. Avec
v2
fL v 2
hs = ks
hf =
5.24
2g
D 2g
on pose simplement :
ks =
fLe
D
soit
Le =
ksD
f
5.25
L'équation d'énergie est donc simplement donnée par :
fL t v 2
H1 = H 2 +
D 2g
avec
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
L t = L+∑
ksD
f
5.26
5-13
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
5.8 Problèmes types
Maintenant que les bases théoriques pour le calcul du facteur de friction sont établies, il importe
de regarder comment ces notions sont incorporées à l'intérieur de calculs d'ingénierie. Trois
catégories de problèmes existent :
Catégorie
1
2
3
Variables connues
Q,D,ε,ν,L
D,ε,ν,h f,L
Q,ε,ν,h f,L
Variables inconnues
hf
Q
D
Un problème de catégorie 1 est direct à résoudre et se résout de façon explicite. Les deux autres
catégories ne présentent pas de solution explicite et une solution numérique ou itérative sera
nécessaire. En effet, si on ne connaît pas Q ou D, il est impossible de calculer le nombre de
Reynolds et le coefficient de friction. Il faudra alors supposer une valeur du facteur de friction f
(généralement en supposant un écoulement turbulent rugueux) et le vérifier par la suite. Si la
valeur ne concorde pas, on la corrige et on recommence.
Les problèmes usuels d'ingénierie sont de type 2 et surtout de type 3. En effet, généralement le
débit est déterminé par la demande (municipale, commerciale, industrielle, de même que les
réserves d’incendie) et les autres caractéristiques sont fonctions de la pression minimale requise
et des caractéristiques géographiques du site. Il ne reste qu’à dimensionner la/les conduites.
Exemple :
Vous voulez transporter un débit d'eau à 20oC de 20 litres/sec dans une conduite de 10 cm de
diamètre, de 100 mètres de longueur dont la rugosité absolue est de 0.01 mm. Quel devrait être
le niveau d'eau minimum dans le réservoir ?
h
100 m
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-14
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Exemple :
Vous voulez transporter un débit d'eau à 20oC de 100 litres/sec dans une conduite de 100 mètres
de longueur dont la rugosité absolue est de 0.01 mm. Sachant que le niveau d'eau est de 5 mètres
dans le réservoir, trouvez le diamètre de la conduite requise.
5
100 m
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-15
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Problèmes
Problème 1
Une conduite à une rugosité relative égale à 0.0001. Sachant que le nombre de Reynolds de
l’écoulement est égal à 106, trouvez le facteur de friction de la conduite pour cet écoulement.
Rép.: f=0.0136
Problème 2
De l’eau à 20oC s’écoule dans une conduite de 150mm avec une vitesse de 2 m/sec. Sachant que
la rugosité absolue de la conduite est égale à 1mm, trouvez le facteur de friction.
Rép.: f=0.034
Problème 3
Dans le cas de la conduite du problème 2, veuillez calculer la perte de charge engendrée par cet
écoulement si la conduite à une longueur de 100m.
Rép.: hf = 4.6 m
Problème 4
Un débit de 50 l/sec s’écoule dans une conduite de 30 cm de diamètre. Si la rugosité absolue de
la conduite est égale à 0.1mm et que la longueur de cette dernière est de 200m, calculez la perte
de charge totale (l’eau est à 20oC).
Rép.: f=0.018,
Re=2.1x105, hf = 0.31 m
Problème 5
Dans le cas de la conduite du problème 4, calculez la nouvelle perte de charge si la température
de l’eau est à 4oC.
Rép.: f=0.019,
Re=1.34x105, hf = 0.32 m (l’impact de la température est minimal)
Problème 6
Toujours dans le cas de la conduite du problème 4, calculez la nouvelle perte de charge si le
diamètre de la conduite passe de 30 à 15cm.
Rép.: f=0.019,
Re=4.23x105, hf = 10.3 m (l’impact du diamètre est critique)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-16
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Problème 7
De l’eau à 20oC est en écoulement dans une conduite horizontale sur une longueur de 10 m avec
un débit de 0.01 l/s. Calculez la chute de pression dans la conduite sachant que l’écoulement est
laminaire et que le diamètre de la conduite est de 1cm .
Rép.: 0.408 kPa
Problème 8
De l’eau à 20oC s’écoule selon le diagramme suivant. La conduite a un diamètre de 300mm et sa
rugosité absolue est de 0.5mm. Sachant que le débit voulu est de 100 l/sec, calculez le niveau
minimal du réservoir :
h
500 m
Rép.: f=0.023, h=4.0m
Problème 9
Pour le système représenté ci-dessous, de l'eau à 90oC est en écoulement permanent dans une
conduite en acier commerciale. On néglige les pertes d'énergie à l'entrée de la conduite. La
sortie de la conduite est à l'air libre. e = 0,046 mm
Calculez le débit si H = 1,22 m, D = 17,2 cm, d = 0,32 cm et L = 1,22 m
H
d
D
L
Rép.: Q = 9,09 x 10-6 m3/s
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-17
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Problème 10
De l'eau à 20oC est aspirée d'un bassin d'irrigation vers un autre bassin par le biais d'une conduite
de 50 mm de diamètre et sur une longueur de 1,8 m comme l'indique le diagramme suivant. La
rugosité absolue de la conduite est de 0,20 mm. Les coefficients de singularité de chacun des
coudes sont de 0,4, et ceux à l'entrée et la sortie de la conduite sont de 0,8 et 1,0, respectivement.
Déterminez le débit de l'eau dans la conduite.
conduite
13 cm
Rép.: Q = 1,62x10-3 m3/s
Problème 11
Une turbine comme le montre la figure suivante extrait de l'eau une puissance 37,3 kW. La
conduite de transport a un diamètre, une longueur et un coefficient de friction de 30,5 cm, 91,5 m
et 0,02, respectivement. Les pertes par singularité sont négligeables. Déterminez le débit à
travers la conduite et la turbine.
Z1=27m
T
Z2=0m
Rép.: Q = 0,55 m3/s ou Q = 0,15 m3/s (physiquement il ne peut y avoir qu'une seule
réponse comme cela sera vu en CTN-426)
Problème 12
Deux réservoirs d'eau à 20oC sont reliés par une conduite d'acier galvanisé (e = 0,15 mm) de 75
mm de diamètre. Le réservoir du haut est ouvert à l'atmosphère et celui du bas est pressurisé à 70
kPa au-dessus de la pression atmosphérique. On néglige les pertes de singularité. Déterminez le
sens de l'écoulement et calculez le débit volumique.
7m
6m
15m
4m
Rép.: Q = 1,53x10-2 m3/s
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-18
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Problème 13
La pompe illustrée ci-dessous fournit une puissance de 45 kW causant ainsi un écoulement de
0,04 m3/s. Calculez le nouveau débit si la pompe est retirée du système. Considérez f = 0,016 et
négligez les pertes de singularité.
d=60mm
l=30m
f=0.016
d=40mm
P
Rép.: Q = 1,49x10-2 m3/s
Problème 14
Lorsque le robinet est fermé, l'eau s'écoule de A vers B telle qu'illustrée ci-dessous. Quel est le
débit d'eau dans le réservoir B si le robinet est ouvert et l'eau s'écoule aussi vers C. Négligez
toutes les pertes de singularité et considérez f = 0,02 et D = 0.1m pour toutes les conduites.
(N'oubliez pas que l'équation d'énergie doit s'appliquer le long d'une ligne de courant)
A
z=15m
B
80m
Rép.: Q=1,8x10-2 m3/sec
z=0m
C z=0m
40m
75m
Problème 15
Une perte de pression de 700 kPa est observée dans une conduite horizontale en fer forgé
(ε=0.046mm) de 10 cm de diamètre. La conduite transporte de l'huile dont la densité est de 0.9 et
la viscosité cinématique est de 10-5 m2/sec. Calculez le débit à l'intérieur de la conduite.
L=300 m.
Rép: 0.037 m3/sec
Problème 16
Vous voulez transporter 0.002 m3/sec d'eau à 20oC sur une distance horizontale avec une perte de
charge maximale de 30m. Sélectionnez le diamètre minimum requis pour la conduite si ε=0.0015
mm. L=400m.
Rép: 3.88 cm
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-19
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Problème 17
Vous voulez transporter un débit de 20 litres/sec au travers de la conduite de 10 cm de diamètre
présentée ci-dessous. La rugosité absolue de la conduite est de 0.01 mm. Les coefficients de
perte de charge singulière sont : chaque coude = 0.7, entrée = 0.1.
a) calculez la puissance nécessaire en négligeant toutes les pertes de charge.
b) calculez la puissance nécessaire de la pompe en tenant compte des pertes de
charge.
Rép.: a) 2.7 hp b) 3.3 hp
8m
El. 20 m
El. 10 m
12 m
1m
P
1m
1m
2m
Problème 18
Calculez le débit au travers de la conduite illustrée ci-dessous :
3 km
100 m
D = 20 cm
f = 0.015
Rép.: 0.092 m3 /sec
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-20
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
Problème 19
Pour le problème précédent, afin de réduire le débit, vous installez une vanne à l'extrémité basse
de la conduite. Sachant que le coefficient de perte singulière de la vanne est donné par l'équation
suivante k s = e100/(100-%fermeture)), trouvez le % de fermeture de la vanne nécessaire pour ramener le
débit à : a) 50 litres/sec, b) 10 litres/sec
Rép.: a) 84% b) 90%
Problème 20
Sachant que le diamètre de la conduite est de 10 cm et que sa rugosité absolue est de 0.01 mm,
trouvez le débit véhiculé par la conduite si la température de l’eau est de 20ºC.
100 m
5
Rép : 18.3 litres/sec.
Problème 21
Pour le problème précédent, la conduite commence à rouiller; ce qui a pour effet d'augmenter la
rugosité absolue à une valeur de 2 mm. Calculez le nouveau débit véhiculé par la conduite. Le
diamètre interne de la conduite est inchangé.
Rép.: 11 litres/seconde
Problème 22
Toujours pour le même problème, quel diamètre de conduite serait nécessaire pour ramener le
débit original de 18.3 litres/sec en supposant une conduite rouillée (rugosité absolue de 2 mm).
Rép.: 12 cm de diamètre
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-21
Chapitre 5 : Pertes de charge dans les conduites
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
5-22
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Chapitre 6
Équation de la quantité de
mouvement
Objectifs
La maîtrise des notions présentées dans ce chapitre devrait vous permettre de pouvoir :
• décrire conceptuellement et mathématiquement la deuxième loi de Newton;
• expliquer l’importance de la deuxième loi de Newton sur les fluides en mouvements;
• saisir l’importance de la nature vectorielle du champ de vitesse sur les forces engendrées par
ce dernier;
• définir un volume de contrôle et d'indiquer les forces externes agissant sur le volume;
• formuler l'équation de la quantité de mouvement selon l’approche du volume de contrôle;
• calculer les forces engendrées par des fluides en mouvement.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-1
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
6.1 Équation de la quantité de mouvement
La deuxième loi de Newton indique que tout changement de momentum (quantité de
mouvement) d'un système en mouvement est le résultat d'une force nette appliquée sur ce
système. Si on prend comme exemple un changement de direction de 90o d'une conduite dû à un
coude, le momentum de l'écoulement passe de 100% à 0 dans un axe et de 0 à 100% dans un
autre axe. Le résultat est que le coude doit exercer une force sur le fluide et vice versa. Si vous
essayez de bloquer le jet d'un tuyau d'incendie avec votre corps (en changeant effectivement la
vitesse et la direction de l'écoulement), vous devrez offrir une force très importante pour rester en
position. L'équation de la quantité de mouvement est la dernière équation fondamentale en
mécanique des fluides et elle traite des forces engendrées par le mouvement des fluides. Ces
forces sont importantes pour plusieurs applications en ingénierie.
6.1.1 Dérivation à partir du théorème de transport
Si on utilise le théorème de transport et qu'on l'applique à la quantité de mouvement, le paramètre
physique B devient :

B = mv
6.1
avec la quantité de mouvement exprimée en kg-m/sec .
Le théorème de transport qui permet de relier l'approche systémique à celle du volume de
contrôle est donné (chapitre 3) par :
dBsys
dt
=
•
•
dBVC
+ Bout - Bin
dt
6.2
et devient

d ( mv )sys
dt
=

d ( mv )VC
dt
 • 
 • 
+ m v - m v

out 
in
6.3
Si le volume de contrôle contient plusieurs entrées et sorties, on peut réécrire 6.3 sous la forme
suivante :

d ( mv )sys
dt
=

d ( mv )VC
dt
+
 • 
 • 
m
v
∑  out ∑  m v in
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6.4
6-2
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
L'énoncé du deuxième principe de Newton est donné par :

d ( mv )sys
=
dt

∑F
ext/sys
6.5
et exprime que la variation de momentum du système est le résultant de forces extérieures
agissant sur le système. L'équation 6.5 exprime aussi la nature vectorielle du phénomène.
En combinant les équations 6.4 et 6.5 on obtient :


d ( mv )VC
+
∑ Fext/sys =
dt
∑  m v 
•

out
 • 
- ∑ m v

in
6.6
Comme mentionné dans les chapitres précédents, pour la majorité des applications en ingénierie,
le cas stationnaire est celui d'intérêt. On peut donc écrire, pour un écoulement stationnaire :

∑F
∑  m v 
•
ext/sys
=

out
 • 
- ∑ m v

in
6.7
Ainsi donc, la sommation des forces agissant sur le liquide à l'intérieur du volume de contrôle est
égale à la différence entre les débits massiques de momentum sortant et entrant du volume de
contrôle. On doit noter que de façon similaire à ce qui a été fait au chapitre 4, on devrait ajouter
un facteur de correction au terme de vitesse pour tenir compte de la distribution non uniforme de
la vitesse aux entrées et sorties du volume de contrôle. Ce coefficient appelé coefficient de
Boussinesq peut être défini de façon très similaire au coefficient de Coriolis défini au chapitre 4.
Sachant que le débit massique est donné pour une portion de la surface d'écoulement dA par :
•

m = ρ vdA
6.8
et le taux d'entrée de momentum est donné par :
• 


m v = ρ vdA v
6.9
Pour la surface entière d'écoulement, on obtient :
• 
2
m v = ρ ∫ v dA
6.10
A
Si l'on fait le même calcul avec la vitesse moyenne d'écoulement V on retrouve :
•
 2
mv =ρ AV
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6.11
6-3
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Le coefficient de Boussinesq est donc simplement défini par :
2
v
∫A dA

β =
AV 2
6.12
Il est facile de démontrer que la moyenne d'éléments mis au carré est toujours plus élevée que le
carré de la moyenne des mêmes éléments. Il s'ensuit donc que β est toujours plus grand que 1.
Comme nous sous-entendons pratiquement toujours l'utilisation de la vitesse moyenne
d'écoulement, l'équation 6.7 devrait être écrite de la façon suivante :

∑  β m v 
•
∑F
ext/sys
=

out
 • 
- ∑ βm v

in
6.13
Pour un écoulement laminaire dans une conduite circulaire, on peut montrer que β = 4/3. Pour
les écoulements turbulents en conduite, β varie entre 1.005 et 1.05. En pratique, on choisira β=1
pour la très grande majorité des applications en ingénierie.
6.1.2 Formulation dans le système cartésien
Compte tenu de la nature vectorielle du système, on peut réécrire l'équation 6.13 dans le système
cartésien :
• 
• 
m
v
∑  x out ∑  m v x in
•
•
∑ Fy = ∑  m v y out - ∑  m v y in
•
•
∑ Fz = ∑  m vz out - ∑  m vz in
∑ Fx =
6.14a
6.14b
6.14c
En explicitant directement le débit massique par ρQ on peut directement écrire :
∑F
x
=
∑ ( ρ Qv )
∑ ( ρ Qv )
- ∑ ( ρ Qv x )in
6.15a
y out
- ∑ ( ρ Qv y )
6.15b
z out
- ∑ ( ρ Qv z )in
x out
∑F =
∑ F = ∑ ( ρ Qv )
y
z
in
6.15c
Dans beaucoup d'applications, il n'y a qu'une seule entrée et une seule sortie et les équations
précédentes se résument à :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-4
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
∑F
=
( ρ Qv x )out - ( ρ Qv x )in
6.16a
∑F
=
( ρ Qv )
6.16b
∑F
=
( ρ Qv z )out - ( ρ Qv z )in
x
y
z
y out
- ( ρ Qv y )
in
6.16c
6.1.3 Forces externes
Les forces agissant sur le fluide contenu à l'intérieur du volume de contrôle sont généralement
l'une des suivantes :
•
•
•
Forces de pression transmise au travers du fluide
Forces de la frontière physique transmise au solide
Force gravitationnelle
Considérons le réducteur illustré ci-dessous faisant partie d'une conduite :
Choisissons comme volume de contrôle la section conique du réducteur délimitée par les deux
lignes pointillées. Afin d'identifier toutes les forces impliquées, un diagramme des corps libres
est présenté sur le diagramme suivant :
Fy
Fx
P2A2
P1A1
mg
Toutes les forces sont représentées selon leur direction correcte sauf pour les forces Fx et Fy du
réducteur agissant sur le fluide qui sont présentées selon la direction positive de leur axe
traditionnel. Les forces dues à la pression sont toujours dirigées vers le volume de contrôle.
Voyons l'exemple suivant.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-5
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Exemple
Pour le réducteur présenté ci-haut, calculez la direction et la magnitude des forces Fx et Fy
sachant que, P1=50 kPa, D1=10cm, D2=5cm, Volume du réducteur = 500 cm3, Q=7.85 litres/sec.
Le fluide est de l'eau et l'on peut négliger les pertes de charge entre les sections 1 et 2.
Solution :
Selon l'axe des 'x' nous trouvons à partir de l'équation 6.16a:
P1 A1 - P2 A2 + Fx = ρ Qv2 - ρ Qv1
Noter que bien qu’on ne connait pas, à priori, la direction de Fx, elle est fixée positive. On trouve
avec Q/A que v 1 =1m/sec et v 2 =4m/sec. En appliquant l'équation de Bernoulli entre 1 et 2 on
peut trouver que P 2 = 42.5 kPa. On pose donc:
50000
π 0.12
4
− 42500
π 0.05 2
4
+ Fx = 1000 x0.00785(4 − 1)
D'où on trouve F x = -285.7 N . Le signe négatif indique que la supposition d'une force vers la
droite est incorrecte et que la force est dans le sens négatif (ce qui fait implicitement beaucoup de
sens). Dans l'axe vertical, comme il n'y a aucun écoulement l'équation 6.16b devient :
Fy - mg = 0
Et donc, le problème en est un de statique et on trouve que F y = 0.5x9.8 = 4.9N. Le signe positif
indique que la direction supposée de la force est correcte.
6.2 Application à des problèmes d’ingénierie
Il est facile de se laisser berner par l'apparente complexité des équations présentées plus haut.
L'application des concepts développés est toutefois assez directe. Les étapes suivantes sont
requises :
•
•
•
•
Identification du volume de contrôle
Identifier l'ensemble des forces agissant sur ce volume et les représenter de façon
cartésienne
Identifier les momentums entrant et sortant du volume de contrôle selon chacun des axes
cartésiens
Finalement, l'application des équations 6.16a à 6.16c permettra de trouver les variables
manquantes.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-6
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Selon chaque axe, la force s'exerçant sur l'écoulement sera égale à la variation du momentum de
l'écoulement selon cet axe (côté droit des équations), ainsi qu’à la différence entre les différences
forces s’appliquant sur le volume de contrôle (côté gauche des équations).
Les exemples suivants permettront de bien établir cette approche.
Exemple :
Calculez la force nécessaire (F x , F y ) pour maintenir en place le coude suivant dans lequel circule
de l'eau. Le coude est dans un plan horizontal. La vitesse est de 3 m/sec partout dans la conduite
et la pression relative de l'eau au niveau de l'ancrage est de 30 kPa. Le diamètre de la conduite
est de 15 cm.
L=1m
ancrage
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-7
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Exemple :
Quelle doit être la force requise pour maintenir la plaque en place ? La plaque est soumise à un
jet d'eau de 30 m/sec.
V=30 m/sec
F
D=15cm
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-8
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Exemple :
Calculez la force dans le collet pour les conduites suivantes soumises au même débit. Négligez
le poids de l'eau et de la conduite.
.
V1=3m/sec
D1=300mm
P1=150kPa rel.
V1=3m/sec
D1=300mm
P1=150kPa rel.
D2=150mm
D2=150mm
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-9
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Problèmes
Problème 1
Un jet d'eau de 25 mm de diamètre sort d'un bec de sortie à une vitesse de 30 m/s. Le diamètre de
la conduite est de 250 mm et la pression interne est de 500 kPa.
Calculez : a) le débit volumique;
b) la réaction du jet sur le bec de sortie
Rép.: a) Q = 0,0147 m3/s
b) R = 24,1 kN
Problème 2
Une surface plane est soumise à l'impact direct d'un jet d'eau de 50 mm de diamètre à une vitesse
de 18 m/s.
Calculez : a) la force exercée sur la plaque au repos;
b) la force sur une plaque qui se déplace dans le sens du jet à une vitesse de 6 m/s.
Rép.: a) R = 636,2 N
b) R = 282,7 N
Problème 3
Un coude horizontal fait dévier un écoulement de 180o. Les caractéristiques de l'écoulement et
de la conduite y sont groupées. À la sortie l'eau s'écoule à la pression atmosphérique.
Déterminez la force nécessaire pour maintenir en place le coude illustré à la figure suivante :
Section 2
D2=160mm
V2
V1
Rép.: R =
-8345 N (axe des x)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
Section 1
P1=100kPa
V1=2 m/sec
D1=300mm
6-10
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Problème 4
Un jet d'eau horizontal est dévié d'un angle θ = 60o sur une surface courbe dont il s'approche et
s'éloigne tangentiellement. Les vitesses d'approche v 1 et de retrait v 2 sont respectivement 30 m/s
et 25 m/s pour un débit massique de 0.8 kg/s. Calculez la force du jet sur cette surface et son
orientation pour un système au repos.
θ = 60o
Rép.: R = 22,3 N
θ = 69o
Problème 5
Un coude horizontal fait dévier un écoulement de 45o. Les diamètres et les pressions sont
respectivement de 500 mm et 40 kPa à l'entrée et de 250 mm et 23 kPa à la sortie.
Calculez la grandeur et la direction de la force exercée par le fluide (ρ = 850 kg/m3) sur la
conduite pour un débit de 0,45 m3/s.
Rép.: R = 6362 N;
θ = 31o
Problème 6
Un coude convergeant fait dévier l'écoulement d'un angle de 135o dans un plan vertical. La
section de passage de l'eau à l'entrée a un diamètre de 400 mm et celle à la sortie a un diamètre de
200 mm. Le volume de l'eau entre les deux sections est de 0.2 m3. Le débit de l'eau est de 0,4
m3/s et les pressions à l'entrée et à la sortie sont de 150 kPa et 90 kPa, respectivement.
Calculez la force et la direction de l'eau sur le coude, illustré à la figure suivante.
135o
D1=400mm
D2=200mm
Rép.: R = 26,0 kN;
q
= 8,0o
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-11
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Problème 7
Un raccord a une section d'admission de 7 dm2 et une section de refoulement de 28 dm2. Le
raccord installé dans un plan horizontal fait dévier le liquide selon les directions illustrées par la
figure suivante. Les pressions à l'entrée et à la sortie sont de 40 kPa et de 20 kPa. Le fluide a
une masse volumique de 900 kg/m3 et un débit de 400 kg/s. Calculez la force qu'exerce le fluide
sur le raccord et sa direction.
30o
60o
Rép.: 8,21 kN;
-79,4o
Problème 8
Dans une installation hydraulique, l'eau débouche à l'atmosphère à travers une conduite
horizontale en Y, telle qu'illustrée à la figure suivante. La vitesse des jets est de 10 m/s et la
pression relative au point 1 de 19,4 kPa. Les diamètres sont indiqués sur la figure suivante.
1)
2)
Calculez les débits Q 1 , Q 2 et Q 3 .
Déterminez la grandeur et la direction de la force résultante exercée sur les parois de la
conduite.
V2=10m/sec
D2=8cm
30o
D1=12cm
60o
V3=10m/sec
D3=7cm
Rép.: 1) Q 1 = 0,0885 m3/s; Q 2 = 0,05 m3/s;
2) R = 297,7 N; θ = 15,4o
Q2
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
= 0,038 m3/s
6-12
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Problème 9
L'écoulement illustré par la figure suivante est considéré en régime permanent. Le fluide a une
densité de 0,85 et il est assujetti à la pression atmosphérique aux points 1, 2 et 3.
Calculez la force nécessaire pour maintenir la boîte en place.
Q3=3 m3/sec
V3=1.5 m/sec
60o
45o
V2=2 m/sec
Q1=5 m3/sec
V1=2 m/sec
Rép.: F = 4182 (x) + 5718 (y)
Problème 10
Un jet d'eau horizontal sort par l'orifice circulaire d'un réservoir. Le jet se bute contre une plaque
verticale perpendiculaire à l'axe du jet. Une force de 2 kN est nécessaire pour maintenir la plaque
en place contre la force du jet. Quel est le diamètre du jet d'eau à la sortie de l'orifice si la
pression dans le réservoir au point A est de 80 kPa?
x
A
V
Rép. : 12.62 cm
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-13
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Problème 11
Déterminer les composantes requises selon l'axe des x et y de la réaction externe afin de retenir la
conduite qui amène le jet d'huile dans le plan horizontal. Utilisez V 1 = 90 pi/s, V 2 = 85 pi/s, Q =
2 pi3/s et S huile = 0.90.
y
30o
V1
x
V2
Rép. : F x = -572 lbf et F y = -148 lbf
Problème 12
Une plaque circulaire A, de 50 cm de diamètre, a un orifice en son centre dont les arêtes sont
angulées. Un jet d'eau frappe concentriquement la plaque à une vitesse de 30 m/s. La plaque
étant stationnaire, quelle est la force externe requise pour maintenir celle-ci en place si la vitesse
du jet d'eau jaillissant de l'orifice est également de 30 m/s? Les diamètres des jets sont D = 10
cm et d = 5 cm.
A
D
V
d
V
Rép. : F = 5.3 kN
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
6-14
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
Problème 13
Une conduite, dont le diamètre est de 30 cm, possède un coude de 180o. Le débit d'eau ainsi que
la pression relative dans la conduite et dans le coude sont de 0.06 m3/s et 100 kPa
respectivement. Si le volume du coude est de 0.10 m3 et que le coude lui-même pèse 500 N,
quelle force doit être appliquée aux brides pour maintenir le coude en place? Considérez que la
pression est constante dans la conduite (pertes de charge négligeables).
Rép. : F x = -14.24 kN et F y = 1.48 kN
Problème 14
La pression mesurée dans le coude (à 90o) de la conduite horizontale est de 300 kPa. Si le
diamètre du coude et de la conduite est de 1 m et que le débit d'eau est 10 m3/s, quelle est la
composante en x de la force qui doit être appliquée au coude afin de le maintenir en place?
Vx
Vy
Rép. : F x = -363 kN
Problème 15
L'eau circulant à l'intérieur de cette conduite en ''T'' possède les caractéristiques suivantes :
Q 1 = 0,25 m3/s
Q 2 = 0,15 m3/s p 1 =100 kPa
p 2 =70 kPa
p 3 =80 kPa
3
D 1 =15 cm
D 2 =10 cm
D 3 =15 cm
ρ =1000kg/m
En considérant ces conditions, quelle est la force externe (dans les boulons ou autres dispositifs),
dans le plan x-y, nécessaire pour maintenir le ''T'' en place?
Q3
Q1
Rép. : F x = -3,32 kN et F y
= -3,41 kN
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
Q2
6-15
Chapitre 6 : Équation de la quantité de mouvement
9-16
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Chapitre 7
Substances pures, travail
et premier principe de la
thermodynamique.
Objectifs
La maîtrise des notions présentées dans ce chapitre devrait vous permettre de pouvoir :
• définir une substance pure;
• expliquer le lien entre chaleur et température;
• différencier les transferts de chaleur sensible et latente, et calculer l’énergie requise pour
causer une augmentation de température ou un changement de phase d’une substance pure;
• définir les termes de température et pression de saturation, liquide sous-refroidi, liquide
saturé, vapeur saturée, vapeur surchauffée;
• maîtriser le concept d’équilibre des phases;
• déterminer l’état thermodynamique d’une substance pure;
• faire le lien entre énergie et travail;
• expliquer le lien entre la température et l'énergie cinétique d'un gaz;
• établir le relation entre le travail, la pression et le volume;
• calculer le travail effectué ou requis sur un diagramme P-V;
• différencier les évolutions isobare, isochore, isotherme, polytropique et liées à un ressort;
• expliquer le premier principe de la thermodynamique pour une évolution d’un système ouvert
ou fermé, et pour un cycle;
• calculer les variables thermodynamiques propres à un état et de calculer le travail et la chaleur
échangés durant l’évolution d’un système fermé.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-1
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
7.1 Propriétés des substances pures
7.1.1 Substance pure
Une substance pure est une substance qui est homogène et qui à la même composition chimique
sous toutes ses phases. L’eau est une substance pure, mais pas l’air ambiant puisque les gaz
formant ce dernier vont condenser à des températures différentes créant ainsi des différences de
composition dans les phases liquides et solides.
7.1.2 Chaleur et température
La chaleur est définie comme la forme d’énergie qui est transmise par un corps à haute
température vers un corps à une température plus basse.
Le transfert de chaleur résulte nécessairement d’une différence de température entre deux corps
et se produit toujours de la haute vers la basse température. La chaleur n’est pas une propriété
d’un système. Par exemple, prenons un bloc métallique ramené de l’extérieur à une température
de –10oC vers l’intérieur à +20oC. De la chaleur sera échangée entre l’air ambiant et le bloc et,
par la suite, les deux seront à une température identique, supposons, 19.98oC. À aucun moment
ne pouvons-nous dire que le bloc contient de la chaleur. Par contre, les niveaux d’énergie
respectifs de l’air ambiant et du bloc ont changé, tels qu’illustrés par les changements de
température. La chaleur est un phénomène qui se manifeste aux frontières des systèmes.
Puisque la chaleur est une forme d’énergie, ses unités sont celles de l’énergie, soit des Joules.
Par contre, lorsque de la chaleur est transmise à une substance pure, la température de cette
dernière n’augmente pas nécessairement. Il existe deux types de transferts de chaleur, soit le
transfert de chaleur sensible, qui se traduit obligatoirement par une augmentation de température,
et le transfert de chaleur latente qui, à pression constante, se fait sans variation de température.
7.1.2a chaleur sensible et chaleur latente (pression constante)
La chaleur sensible est la forme d’énergie transmise à une substance pure sans qu’il y ait de
changement de phase. Ce transfert d’énergie s’accompagne toujours d’une augmentation de
température. Cette augmentation de température est définie de la façon suivante :
∆Q = mc p ∆T
•
•
7.1
∆Q est la chaleur transférée en Joules
m est la masse en grammes de la substance pure
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-2
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
•
•
∆T est l’augmentation de température de la substance pure suite au transfert de chaleur
c p est la chaleur spécifique de la phase considérée de la substance pure exprimée en
J/g/oC
La chaleur latente est la forme d’énergie transmise qui produit un changement de phase pour une
substance pure. Ce changement de phase s’effectue à température constante et est donné par :
∆Q = mcl
•
7.2
c l est le coefficient de chaleur latente donné en J/g.
7.1.2b Chaleurs spécifiques
Strictement parlant, les valeurs de chaleur spécifique ne sont pas constantes. Toutefois, pour de
faibles variations de température (jusqu’à quelques dizaines de degrés C) on peut les considérer
comme constantes. On peut noter que l’énergie requise pour un changement de phase est
beaucoup plus importante que pour une simple augmentation de température pour une phase
donnée.
Le tableau suivant donne les valeurs typiques pour l’eau.
Valeurs des chaleurs spécifiques pour l'eau
Chaleur spécifique (liquide)
Chaleur spécifique (glace)
Chaleur latente de fusion
Chaleur latente de vaporisation
Chaleur spécifique (gaz) V=cte
Chaleur spécifique (gaz) P=cte
J/g/K
calories/g/K
4.19
1
2.04
0.49
335 (J/g)
80 (cal/g)
2257 (J/g) 540 (cal/g)
1.41
0.34
1.87
0.45
Pour un gaz, la définition des chaleurs spécifiques est plus complexe. Contrairement à un liquide
où la variation de volume en fonction de la température est généralement négligeable, une
variation de température d’un gaz entraîne une augmentation de volume. Un transfert de chaleur
vers un gaz peut se faire sous deux conditions limites : à volume constant ou à pression
constante.
Ceci est exprimé par le diagramme suivant :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-3
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Substituez
Par < , > ou =
chauffage à volume constant
W
W
+Q=
P2
V2
T2
P
V
T
P2
V2
T2
P
V
T
P, V et T
identiques
W
W
+Q=
chauffage à pression constante
Ce diagramme indique que pour un gaz, un ajout identique de chaleur peut entraîner deux
températures finales différentes selon que l’évolution se fait à volume ou à pression constante.
Pour la même augmentation de température, il faudra transférer plus de chaleur si ce transfert est
effectué à pression constante que s’il est effectué à volume constant. En effet, le chauffage à
pression constante demande de déplacer le piston ce qui requiert un travail de m g ∆l joules si la
masse du piston est m et le déplacement sur une distance ∆l.
Ceci explique pourquoi les valeurs de chaleur spécifique à pression constante sont toujours plus
élevées que celles à volume constant.
Cet exemple démontre aussi très clairement l’équivalence entre énergie, travail et chaleur.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-4
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Exemple :
Calculez l’énergie requise pour faire fondre 1 kg d’eau gelée initialement à -20oC et pour
l’amener à une température de +20oC. Calculez le temps requis si la source de chaleur est une
ampoule de 100 watts. La pression ambiante est de 101 kPa.
Solution :
7.1.3 Équilibre des phases d’une substance pure
Système thermodynamique : il s’agit d’une quantité de matière de masse fixe et dont l’état peut être
caractérisé à l’aide de variables thermodynamiques. Le système est séparé de son environnement par
des frontières qui peuvent être fixes ou mobiles. Un système isolé n’est influencé d’aucune manière
par son environnement. Il n’y a donc pas d’énergie qui franchisse les frontières du système, que ce
soit sous forme de chaleur ou de travail.
Une analyse thermodynamique est fréquemment réalisée sur un appareil, par exemple un
compresseur, au travers duquel s’écoule un fluide. La procédure suivie pour une telle analyse
consiste à spécifier un volume de contrôle qui englobe l’appareil qui sera analysé. Il est possible que
de l’énergie (travail et/ou chaleur) franchisse la surface de contrôle, qui est la surface du volume de
contrôle.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-5
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
En résumé, un système est défini lorsque que l’on travaille avec une quantité fixe de fluide, alors que
le volume de contrôle traite de situations où il y a circulation de fluide. La terminologie « système
fermé » est aussi employée pour désigner le système, alors que le terme « système ouvert » est
équivalent au volume de contrôle.
Un système thermodynamique est caractérisé par des variables thermodynamiques qui définissent
l’état du système. Ces variables sont dites :
•
•
extensives si elles sont fonction de la taille du système. C’est le cas de la masse et du
volume. Les variables extensives peuvent s’additionner et sont dépendantes de la masse du
système.
intensives si elles sont indépendantes de la taille du système. C’est le cas de la température et
de la pression d’un système. Les variables intensives ne s’additionnent pas. Si deux volumes
d’eau de 1 litre respectivement à 10 et 20oC sont mélangés, la nouvelle température ne sera
pas de 30oC.
Toute variable extensive peut être exprimée de façon intensive en divisant par la masse du
système. Par exemple :
- le volume V (m3) est une variable extensive
- le volume massique ν = V/m (m3/kg) est une variable intensive
Finalement, des variables thermodynamiques peuvent être dépendantes ou indépendantes. Pour la
phase liquide de l’eau, la pression et la température sont indépendantes puisque, pour une
température donnée, l’eau liquide peut se retrouver sous plusieurs pressions différentes. Lors
d’un changement de phase par contre, les variables de pression et température sont dépendantes.
En effet, à une température donnée, les deux phases ne peuvent coexister qu’à une seule pression
donnée.
L’état thermodynamique d’une substance pure peut être entièrement défini à l’aide de deux
variables thermodynamiques indépendantes.
Cet énoncé est important puisque pour plusieurs des problèmes dans ce chapitre et les suivants, il
faudra d’abord définir l’état d’un système, et donc trouver deux variables indépendantes.
Nous sommes tous familiers avec les états thermodynamiques de l’eau à la pression ambiante de
101 kPa. Le point de fusion, qui caractérise le passage de l’état solide à l’état liquide est à 0oC et
le point de vaporisation, qui caractérise le passage de l’état liquide à l’état gazeux est à 100oC.
Mais, à une pression différente, ces valeurs peuvent changer radicalement. Comme il a été
représenté à la figure suivante, les différentes phases de l’eau peuvent se retrouver de 7 manières
différentes :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-6
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
solide
liquide
gaz
solide-liquide (ligne de fusion)
liquide-gaz (ligne de vaporisation)
solide-gaz (ligne de sublimation)
solide-liquide-gaz (point triple)
P
Point
critique
LIQUIDE
Ligne de
vaporisation
Ligne de fusion
SOLIDE
Ligne de
sublimation
VAPEUR
Point
triple
T
Diagramme pression température
Prenons un litre d’eau à 20oC et 101 kPa, et ajoutons-lui de la chaleur. Pour chaque Joule
d’énergie ajoutée, on notera une augmentation de température suite au transfert de chaleur
sensible. Lorsque le liquide arrive au point de vaporisation, toute énergie ajoutée entraînera non
pas en une augmentation de température, mais bien en un changement de phase, et ce, jusqu’à ce
que tout le liquide se soit transformé en gaz. À ce moment toute chaleur transférée sera de
nouveau traduite par une augmentation de température.
Durant le changement de phase, la pression et la température ne sont pas des variables
indépendantes. Effectivement, connaître les conditions de 100oC et 101 kPa ne suffit pas à
définir l’état thermodynamique de l’eau. Nous pourrions avoir 100% de liquide, 100% de
vapeur, ou toute proportion intermédiaire des deux phases.
Ceci peut être exprimé à l’aide d’un diagramme température-volume qui décrit bien les relations
entre la température et le volume massique pour des évolutions à pression constante.
Ces mêmes évolutions peuvent aussi être présentées sur un diagramme tridimensionnel pressionvolume-température.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-7
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-8
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Lors d’un changement de phase, la température et la pression sont qualifiées de température (T s )
et de pression de saturation (P s ). Les phases entièrement liquides et vapeurs à ces conditions
sont qualifiées de liquide saturé et vapeur saturée. On peut aussi définir les termes suivants :
Pour une pression donnée,
si T < T s la phase liquide est qualifiée de liquide comprimé ou sous-refroidi
si T > T s la phase vapeur est qualifiée de vapeur surchauffée.
Et de la même façon, pour une température donnée
si P > P s la phase liquide est qualifiée de liquide comprimé ou sous-refroidi
si P < P s la phase vapeur est qualifiée de vapeur surchauffée.
Lors d’un changement de phase, afin de connaître l’état thermodynamique d’une substance pure,
il est nécessaire d’obtenir (outre P et T) une variable thermodynamique additionnelle. Utilisons
le volume ou le volume massique.
Soit :
m t = masse totale
m g = masse de la phase vapeur
m f = masse de la phase liquide
et
V t = volume total
V g = volume de la phase vapeur
V f = volume de la phase liquide
avec
mt = mg + mf
Vt = Vg + Vf
Nous pouvons maintenant définir une nouvelle variable ‘x’ dénommée le titre qui définit la
fraction de la masse totale qui est de la vapeur soit :
x = m g /m t
Et donc :
à l’état de vapeur saturée x = 1
à l’état de liquide saturé x = 0
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-9
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Les volumes massiques (variables intensives) sont définis par :
ν t = V t /m t
ν g = V g /m g
ν f = V f /m f
On peut aussi exprimer le titre en fonction des volumes massiques et vice-versa à l’aide des
équations suivantes :
ν t = ν f + x (ν g - ν f )
x = (ν t - ν f ) / (ν g - ν f )
7.3
7.4
ou, en remplaçant ν fg = (ν g - ν f )
ν t = ν f + x ν fg
x = (ν t - ν f ) / ν fg
7.5
7.6
L’état thermodynamique d’une substance pure telle que l’eau est généralement obtenu à partir
des tables de thermodynamique ou à partir de graphiques exprimant les mêmes valeurs. Pour des
raisons de précision, les tables sont préférables.
L’utilisation des tables et la définition de l’état thermodynamique se font généralement à partir
des tables de saturation. Les tables de valeurs saturées sont exprimées en fonction de la
température ou de la pression à intervalles réguliers.
Exemple :
Définissez l’état thermodynamique de l’eau à 150oC et 5 MPa.
Solution :
Dans les tables saturées pour la température, à 150oC, la pression de saturation est de 475.8 kPa.
Comme la pression de 600 kPa est plus élevée que la pression de saturation, l’eau est sous forme
de liquide comprimé (la haute pression favorise la phase liquide). Dans des tables de liquide
comprimé (non incluses dans les notes), nous pourrions trouver que le volume massique de l’eau
sous ces conditions est de 0.0010878 m3/kg ou encore une masse volumique de 919.29 kg/m3.
Les variables thermodynamiques d’un liquide comprimé sont relativement indépendantes de la
pression, mais elles dépendent de la température. Les liquides sont peu compressibles. Si aucune
table de liquide comprimé n’est disponible, on peut utiliser les variables thermodynamiques du
liquide saturé à la même température.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-10
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Exemple :
Définissez l’état thermodynamique de l’eau à 300kPa et 200oC.
Solution :
Dans les tables saturées pour la pression, à 300 kPa, la température de saturation est de 133.55oC.
Comme la température de 200oC est plus élevée que la température de saturation, l’eau est sous
forme de vapeur surchauffée (la haute température favorise la phase gazeuse). Dans les tables de
vapeur surchauffée, nous pouvons trouver que le volume massique de l’eau sous ces conditions
est de 0.7163 m3/kg.
Exemple :
Définissez l’état thermodynamique de l’eau à 200oC et à 1.55 MPa.
Solution :
Dans les tables saturées pour la température, nous constatons que ces conditions représentent des
conditions saturées. Les valeurs de température et de pression ne sont pas indépendantes et il est
impossible de définir notre état thermodynamique. En effet, à ces conditions il est possible de
retrouver du liquide saturé, une vapeur saturée ou un mélange liquide-vapeur. Il est donc
nécessaire de connaître une autre variable afin de nous permettre de définir l’état
thermodynamique de l’eau.
Exemple :
Définissez l’état thermodynamique de l’eau à 200oC et dont le volume massique v est de 0.05
m3/kg.
Solution :
Dans les tables saturées pour la température à 200oC, nous trouvons que les volumes massiques
pour la phase liquide et la phase gazeuse sont respectivement de 0.001157 et de 0.12736 m3/kg.
Comme le volume massique de 0.05 m3/kg se retrouve entre ces deux valeurs, nous avons
coexistence des deux phases. À partir de l’équation 7.3, ν t = ν f + x ν fg nous pouvons trouver
que le titre est égal à : x = (ν t - ν f )/ ν fg = (0.05 – 0.001157)/(0.12736 – 0.001157) = 0.387.
Nous avons donc en masse 38.7% de phase gazeuse et 61.3% de phase liquide. Notre état
thermodynamique est donc entièrement défini.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-11
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Exemple :
Déterminez les 3 états par lesquels l’eau passe pour les évolutions suivantes. Il y a une masse
d’eau de 5 kg et elle occupe les volumes complets sous le piston. Dans l’état intermédiaire, le
piston touche au ressort, mais n’exerce aucune pression sur ce dernier. La force sur le ressort est
donnée par F = k ∆l avec k = 100 kN/m. L’aire du piston est de 0.05 m2 et la pression
atmosphérique est de 101.3 kPa. Trouvez aussi la masse du piston. Présentez les évolutions sur
des diagrammes Pression-température et température-volume massique.
50 litres H2O
100 litres H2O
T = 127.44oC
P=?
P = 250 kPa
T=?
150 litres H2O
P=?
T=?
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-12
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
7.2 Température et énergie cinétique d'un
gaz
Supposons N molécules à l’intérieur d’un volume cubique dont les côtés sont de longueur a. Le
nombre d’impacts élastiques d’une molécule par unité de temps (sec-1) est donné par :
v
2a cosθ
7.7
où θ est l’angle d’incidence moyen des molécules sur ce mur et v est la vitesse moyenne d’une
molécule. Sur chaque mur x,y ou z, nous avons donc un nombre de collisions (sec-1) égal à :
N
v
3 2a cosθ
7.8
Si chaque collision est élastique et avec la première loi de Newton, nous avons :

d(mv)
=
dt
F
=
∑
2mv cosθ
7.9
où m représente la masse d’une molécule. La pression exercée sur chaque mur P = (F/A) est
donc égale au nombre de collisions multiplié par la force créée par le changement de momentum
dû à chacune des collisions :
P=
mNv 2 ρ v 2
=
3a 3
3
7.10
où ρ est la masse volumique (kg/m3) du gaz en question. Avec la loi des gaz parfaits
PV= mRT
7.11
on peut combiner 7.10 et 7.11 et écrire, en considérant ρ = m/V:
v2
= R'T
3
7.13
L’équation 7.13 dénote clairement que la température absolue est une mesure de l’énergie
cinétique des molécules de la substance. Bien que l’équation 7.13 n’est strictement applicable
qu’à des gaz parfaits, l’énoncé précédent est toutefois général. À une température de 0 K, les
molécules sont en repos complet (aucun mouvement). On peut aussi noter que si la température
augmente, la vitesse des molécules augmente ainsi que par la pression étant donné que cette
dernière est due aux chocs des molécules. Il sera vu dans une section ultérieure que le niveau
d’énergie thermique (kJ) associé à une température donnée est donné par une variable
thermodynamique appelée énergie interne.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-13
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
7.3 Le principe zéro de la thermodynamique
Le principe zéro n’a pas l’importance du premier ou de second principe de la thermodynamique.
Son intérêt est plus historique que scientifique. Essentiellement, le premier principe peut être
énoncé de la façon suivante :
« Si un corps A est en équilibre thermique avec un corps B, et que le même corps A est en
équilibre thermique avec un corps C, alors les corps B et C sont aussi en équilibre
thermique l’un avec l’autre. »
Bien que cela puisse paraître trivial, le principe zéro de la thermodynamique est celui par lequel
les échelles de température peuvent être définies.
Afin de pouvoir comparer et calibrer les différentes méthodes de mesure de la température
(thermomètre à mercure, thermocouple etc.) il importe d’avoir des points de référence et une
échelle de température. L’échelle internationale de température est le degré Celsius nommé ainsi
en l’honneur de l’astronome suédois Anders Celcius qui la développa dans les années 1730.
Jusqu’en 1954, les points de référence étaient les points de fusion et de vaporisation de l’eau à la
pression de 101.325 kPa, donnant respectivement 0 et 100oC. Depuis 1954, le point triple sert de
référence et existe à la température de 0.01oC et à la pression de 611.3 Pa.
7.4 Travail
7.4.1 Travail, pression, volume, diagramme de Clapeyron
Le travail est défini par le produit scalaire du vecteur force et de son déplacement
 
W = ∫ F ⋅ ds
7.14
Si la force est constante, on peut écrire pour l’axe x
x2
 
W = ∫ F ⋅ ds = Fx ∫ dx = Fx (x 2 - x1 ) = Fx ∆x
7.15
x1
Si la force est créée par le champ gravitationnel le travail est défini par :
W = mg(z 2 - z1 ) = Fg ∆z
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7.16
7-14
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
ce qui représente le travail produit à la suite d’une variation d’énergie potentielle. Si la force est
le résultat d’une variation de momentum tel que défini par la première loi de Newton (équation
7.9), le travail résulte d’une variation d’énergie cinétique telle que définie à l’équation 7.17.
dv
W
=
= ∫ Fx dx = ∫ m x dx
dt
dv x
m
v dt = m ∫ v dv
∫=
dt
x
x
x
m 2
(v 2 - v12 )
2
7.17
Il existe une convention pour le signe du travail. Si le travail est effectué par un corps, un fluide
ou un système, ce dernier est positif. S’il est effectué sur un corps ou fluide ou un système, il est
alors négatif. Si on comprime un ballon, on effectue un travail positif. Par contre, si l'on se met
à la place du ballon, le travail est négatif. Ceci peut paraître trivial, mais il n’en sera pas de
même pour plusieurs problèmes où la convention de signe sera très importante à leur bonne
résolution.
Regardons la figure suivante où un fluide exerce une pression sur un piston qui se déplace de la
position 1 vers la position 2:
1
2
Patm
Q
Pfluide
F
Patm
x
Puisque la force exercée par le fluide sur le piston est donnée par F=PA , le travail peut être
dénoté par :
W = PA(x 2 -x1 ) = P(V2 -V1 )
7.18
Plus exactement on peut définir le travail par l’intégrale suivante :
V2
W=
∫ PdV
7.19
V1
De par la définition même d’une intégrale, l’équation 7.19 indique que graphiquement, le travail
est égal à l’aire sous la courbe d’un diagramme pression volume, aussi appelé diagramme de
Clapeyron.
P
1
2
travail
V
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-15
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Exemple :
Un gaz dans un cylindre de 50 mm à une pression de 140 kPa (absolue) est chauffé. Le piston se
déplace à l’intérieur du cylindre à pression constante sur une distance de 300 mm. Calculez :
• Le travail effectué par le fluide
• Le travail effectué par la pression atmosphérique
• Le travail net disponible
Représentez le tout sur un diagramme de Clapeyron.
Solution :
300 mm
50 mm
7.4.2 Évolutions d’un système thermodynamique
Lorsqu’un système passe d’un état thermodynamique à un autre état thermodynamique
caractérisé par une ou des variables thermodynamiques différentes, on dit que celui-ci subit une
évolution. Une évolution est souvent représentée sur un diagramme pression-volume.
Une évolution quasi statique est une évolution où les changements d’état se font très
graduellement de telle sorte que le système est pratiquement en équilibre à tous les moments lors
de l’évolution. Plusieurs évolutions réelles peuvent être considérées comme quasi statiques. Par
opposition, une évolution brusque ou rapide ne peut être caractérisée que par ses états initial et
final. Entre ces états, le système est en déséquilibre. Un ballon gonflable (une ‘balloune’ de
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-16
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
fête) duquel on laisserait s’échapper de l’air très tranquillement peut être considéré comme une
évolution quasi statique alors que si on laissait le même ballon se dégonfler par lui-même, nous
pourrions observer une évolution brusque.
Les caractéristiques des évolutions d’un système thermodynamique peuvent être très variées,
mais certaines évolutions se font selon des contraintes particulières. On peut entre autres
distinguer les évolutions isobare, isochore et isotherme.
Isobare P=cte
Isochore V=cte
Isotherme T=cte (PV=C si gaz parfait C=mRT)
W=P(V 2 -V 1 )
7.20
W=0
7.21
W=C ln(V 2 /V 1 )=C ln(P 1 /P 2 ) 7.22
P
P
2
1
V
P
P1
1
P1
2
P2
2
P2
1
V
V1
V1=V2
V2
V
V1
V2
Évolution isochore
Évolution isobare
Évolution isotherme
On peut aussi définir une évolution polytropique si cette dernière suit une relation de la forme :
PV n = cte
Dans ce cas, le travail est défini par :
W=
P2 V2 -P1V1
1-n
7.23
Pour une évolution contrôlée par un ressort (force externe proportionnelle au déplacement du
piston), il est facile de démontrer que le travail est donné par :
1
W = (P1 +P2 )(V2 -V1 )
7.24
2
Cette équation indique que le déplacement entre les états final et initial sur un diagramme de
Clapeyron est dicté par une droite.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-17
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Exemple :
Un ensemble cylindre piston contient 4 kg d’eau à 35oC. L’eau occupe entièrement le volume de
30 litres. Afin de soulever le piston, la pression interne doit être de 300 kPa. Lorsque le volume
sous le piston atteint 75 litres, il rencontre un ressort qui requiert 360 kN pour être comprimé de
1 mètre. Si l'on chauffe le système jusqu’à ce que la pression interne atteigne 7 Mpa, déterminez
les états par lesquels passe le système et calculez le travail total. L'aire du piston est de 0.06m2.
30 litres H2O
75 litres H2O
7 Mpa
Solution
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-18
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Exemple :
Un gaz dans un système cylindre-piston est initialement à 200 kPa et à un volume de 1 litre.
Suite à une expansion, le gaz se retrouve à une pression de 500 kPa et à un volume de 2.5 litres,
en passant par les états suivants. Calculez le travail effectué par le fluide au cours de cette
évolution.
Pression
(kPa)
200
Volume
(litres)
1
300
1.3
400
1.8
500
2.5
Solution :
Cette évolution est quelconque et ne peut être représentée par une équation analytique.
Connaissant les états intermédiaires, on peut toutefois l’évaluer de façon graphique en calculant
les aires sous la courbe du diagramme PV.
Pression
(kPa)
200
300
Volume
(litres)
1
Pression
moyenne
V i+1 -V i
(m3)
Travail
(joules)
250
0.0003
+75
350
0.0005
+175
450
0.0007
+315
1.3
400
1.8
500
2.5
Le travail total est donc de 565 joules.
expansion.
Le travail est positif puisque le fluide subit une
7.4.3 Travail au cours d'un cycle thermodynamique
Suite à une série d’évolutions, si un système thermodynamique revient à son état initial, on dit
qu’il a subi un cycle thermodynamique. Ce concept est fondamental puisque la très grande
majorité des machines thermodynamiques fonctionnent selon un cycle de façon à produire de
l’énergie de façon continue. Un cycle composé de deux évolutions A et B entre les états
thermodynamiques 1 et 2 est représenté à la figure suivante.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-19
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
P
P1
1
A
B
P2
2
V
V2
Le travail est représenté graphiquement par l’aire hachurée sur ce diagramme. Le travail net est :
•
•
Positif si le cycle est dans le sens des aiguilles d’une montre (fait par le fluide)
Négatif si le cycle est dans le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre (fait sur le
fluide).
7.5 Premier principe de la thermodynamique
Le premier principe de la thermodynamique implique la conservation de l’énergie.
Essentiellement, il indique qu’au cours de toute évolution, le changement d’énergie du système
est égal au transfert net d’énergie vers le système ou vers l’extérieur du système. On peut le
représenter simplement par (avec E pour énergie totale d’un système):
•
•
dE
= E in - E out
dT
7.25
Tel que vu au chapitre 4, le transfert d’énergie peut se faire sous la forme de travail ou sous la
forme d’un transfert de chaleur. On peut donc écrire plus précisément :
∆E = E final -E initial = Q - W
7.26
ce qui indique que la variation d’énergie totale d’un système est égale à la différence entre le
travail effectué par ou sur le système et la chaleur reçue ou cédée par ce dernier. Rappelons ici
les conventions de signe :
•
•
•
•
Travail effectué par le système +
Travail effectué sur le système –
Chaleur reçue par le système +
Chaleur cédée par le système –
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-20
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Cette convention de signe est importante pour la résolution de problèmes. Notez bien que le
changement de convention entraînerait simplement un changement des signes de Q et W à
l’équation 7.26. Soyez consistant dans votre utilisation des signes.
7.5.1 Premier principe pour un cycle thermodynamique
Dans le cas d’un cycle thermodynamique, le système thermodynamique part d’un état initial et
revient après un certain nombre d’évolutions à son même état initial. L’énergie totale du système
ne change donc pas. Le premier principe peut donc s’exprimer mathématiquement par :
7.27
Ceci indique que la chaleur nette échangée au cours de toutes les évolutions composant le cycle
est égale au travail net effectué au cours des mêmes évolutions. Compte tenu de la convention
des signes, ceci implique que si au cours d’un cycle on a transféré de la chaleur au système, ce
dernier a effectué un travail positif. À l’inverse, si le système a cédé de la chaleur au cours du
cycle, un travail a été effectué sur ce dernier.
7.5.2 Premier principe pour un système fermé
L’énergie totale d’un système est constituée de plusieurs formes d’énergie à savoir :
•
•
•
•
•
Énergie cinétique E k
Énergie potentielle E p
Énergie chimique E c
Énergie nucléaire E n
Énergie interne U
L’énergie interne est le résultat de l’énergie cinétique, de vibration et de rotation des molécules et
sera discutée plus directement à la prochaine section. Dans les cas courants (en omettant
l’énergie chimique et l’énergie nucléaire) on peut réécrire l’équation 7.26 par :
∆E = E 2 -E1 =(U 2 - U1 ) +
m 2 2
(v 2 -v1 ) + mg(z 2 -z1 ) =Q12 - W12
2
7.28
Ou encore :
Q12 =(U 2 - U1 ) +
m 2 2
(v 2 -v1 ) + mg(z 2 -z1 ) + W12
2
7.29
Cette équation peut aussi s’exprimer sous forme massique (par unité de masse J/kg)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-21
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
q12 =(u 2 - u1 ) +
1 2 2
(v 2 -v1 ) + g(z 2 -z1 ) + w12
2
7.30
Pour de nombreuses applications les systèmes sont au repos et/ou ne subissent aucune
accélération ou décélération et aucune variation d’énergie potentielle. Dans ces cas les équations
7.29 et 7.30 deviennent :
Q12 =(U 2 - U1 ) + W12
q12 =(u 2 - u1 ) + w12
7.31
7.32
7.5.3 Énergie interne et enthalpie
Telle que mentionnée précédemment, l’énergie interne est l’énergie stockée dans les molécules
d’une substance. Cette énergie est généralement principalement cinétique, mais elle peut aussi
être de l’énergie de rotation ou de vibration. Comme elle est principalement corrélée avec
l’énergie cinétique, elle est très fortement reliée à la température de la substance. Il est difficile
de mesurer l’énergie interne de façon absolue, mais il est très facile de mesurer la variation
d’énergie interne simplement en chauffant à volume constant. Dans ce cas :
q12 =(u 2 - u1 )
7.33
Et pour une substance sous une seule phase, on retrouve avec les chaleurs spécifiques :
q12 =(u 2 - u1 ) = c v (T2 -T1 )
7.34
ou encore :
Q12 =(U 2 - U1 ) = mc v (T2 -T1 )
7.35
Donc, en fixant un datum, on peut facilement établir les valeurs d’énergie interne présentes dans
les tables de thermodynamiques. L’énergie interne est une variable thermodynamique au même
titre que la température ou le volume.
Pour les changements de phase, la notion de titre s’applique de la même façon que décrite
précédemment. On peut donc définir :
m t = masse totale
m g = masse de la phase vapeur
m f = masse de la phase liquide
et
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-22
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
U t = énergie interne totale
U g = énergie interne de la phase vapeur
U f = énergie interne de la phase liquide
avec
mt = mg + mf
Ut = Ug + Uf
Le titre est défini par :
x = m g /m t
Et donc :
à l’état de vapeur saturée x = 1
à l’état de liquide saturé x = 0
Les énergies internes massiques (variables intensives) sont définies par :
u t = U t /m t
u g = U g /m g
u f = U f /m f
On peut aussi exprimer le titre en fonction des énergies internes massiques et vice-versa à l’aide
des équations suivantes :
u t = u f + x (u g - u f )
x = (u t - u f ) / (u g - u f )
7.36
7.37
ou, en remplaçant u fg = (u g - u f )
u t = u f + x u fg
x = (u t - u f ) / u fg
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7.39
7.40
7-23
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Exemple :
Un réservoir rigide est divisé en deux parties égales. La première moitié du réservoir est
entièrement occupée par 10 kg d’eau à 300 kPa et 20oC et l’autre moitié est sous le vide. On
enlève la paroi du centre et l’eau occupe soudainement tout le réservoir. La température revient à
sa température initiale. Calculez le volume du réservoir, la pression finale et le transfert de
chaleur pour ce processus.
10 kg
eau
vide
Réponse
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-24
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
En thermodynamique la combinaison de l’énergie interne et du produit de la pression par le
volume revient souvent sous la forme :
H = U +PV
7.41
La nouvelle variable ainsi formée est appelée l’enthalpie du système. L’enthalpie est une
variable thermodynamique au même titre que les autres même si elle n’a pas une signification
physique directe. Une des nombreuses applications où l’enthalpie peut être employée est dans le
cas d’une évolution isobare d’un système fermé. Dans ce cas, l’évolution est décrite par
l’équation 7.31 reprise ici :
Q12 =(U 2 - U1 ) + W12
avec
W12 = P(V2 -V1 )
7.42
Cette expression peut être réarrangée sous la forme :
Q12 =(U 2 + PV2 ) - (U1 - PV1 ) = H 2 - H1
7.43
Pour l’évolution isobare d’un système fermé, la chaleur échangée est égale à la différence
d’enthalpie.
Pour le calcul de l’enthalpie lors de la coexistence de deux phases, les mêmes relations que celles
développées précédemment s’appliquent à savoir :
H t = enthalpie totale
H g = enthalpie de la phase vapeur
H f = enthalpie de la phase liquide
Avec
Ht = Hg + Hf
Les enthalpies massiques (variables intensives) sont définies par :
h t = H t /m t
h g = H g /m g
h f = H f /m f
On peut aussi exprimer le titre en fonction des enthalpies massiques et vice-versa à l’aide des
équations suivantes :
h t = h f + x (h g - h f )
x = (h t - h f ) / (h g - h f )
7.44
7.45
ou, en remplaçant h fg = (h g - h f )
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-25
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
h t = h f + x h fg
x = (h t - h f ) / h fg
7.46
7.47
7.5.4 Relations entre chaleurs massiques et enthalpie et
énergie interne
Pour une évolution à volume constant (w=0), on peut écrire l’équation du premier principe sous
la forme suivante :
q12 =(u 2 - u1 ) = c v (T2 -T1 )
Q12 =(U 2 - U1 ) = mc v (T2 -T1 )
7.48
7.49
Pour une évolution à pression constante, l’équation du premier principe nous donne la relation
7.43 qui peut aussi être réécrite comme :
q12 =(h 2 - h1 ) = c p (T2 -T1 )
Q12 =(H 2 - H1 ) = mc p (T2 -T1 )
7.50
7.51
Selon la définition même de l’enthalpie, on retrouve :
∆h - ∆u = ∆(Pv)
7.52
Et pour un gaz parfait sous forme massique :
Pv = RT
7.53
On peut retrouver facilement que
cp - cv = R
7.54
7.5.5 Premier principe pour un volume de contrôle (ou
système ouvert)
Un volume de contrôle est un espace physique dans lequel on retrouve des flux massiques entrants
ou sortants. Ils sont plus complexes à analyser que les systèmes fermés puisque les flux entrants et
sortants peuvent avoir des énergies cinétiques, potentielles ou internes différentes. Notre analyse des
volumes de contrôle sera simplifiée et est présentée de façon à pouvoir introduire le cycle de
réfrigération qui est celui qui a le plus d’importance en génie de la construction.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-26
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
On peut exprimer le premier principe pour un système ouvert par l’équation suivante :
•
•
•
•
dE
= Q + E in - E out - W
dt
7.55
Simplifions cette équation en supposant un écoulement permanent. L’énergie totale du système
ne change pas et nous pouvons réécrire l’équation 7.55 sous la forme suivante :
Q = (U+E k + E p )sortant - (U + E k + E p )entrant + Wtotal
7.56
Or le fluide entrant à une certaine pression crée un travail sur le système égal au produit de la
pression et du volume entrant. Ce travail est fait sur le système par le fluide entrant et par le
système par le fluide sortant. On peut donc exprimer le travail total par :
Wtotal = Wsysteme + PVsortant -PVentrant
7.57
Comme on s’intéresse presque toujours par le travail fait par le système ou sur le système par une
force extérieure ajoutée (pas celle du fluide lui-même) on peut avec la définition de l’enthalpie et
de l’équation 7.56 réécrire l’équation 7.57 sous la forme :
Q = (H+E k + E p )sortant - (H + E k + E p )entrant + Wsysteme
7.58
mv 2
mv 2
+ mgz)sortant - (H +
+ mgz)entrant + Wsysteme
2
2
7.59
Ou encore :
Q = (H+
Et sous forme massique (Joules/kg)
q = (h+
v2
v2
+ gz)sortant - (h +
+ gz )entrant + w systeme
2
2
7.60
1 2 2
(v s -v e ) + g (z s - z e ) + w systeme
2
7.61
Ou finalement :
q = (h s - h e )+
Finalement, si on considère que la différence entre les énergies cinétique et potentielle entrantes
et sortantes est négligeable, on peut écrire :
=
q
( hs - he ) + wsysteme
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7.62
7-27
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Problèmes
Problème 1
Combien d’énergie doit-on enlever à un kg de vapeur d’eau pour la transformer en glace à 0oC.
Le tout se passe à 101.3 kPa.
Rép.: 3011 kJ
Problème 2
Calculez l'énergie requise en kiloJoules pour amener à ébullition 3 kg d'eau et vaporiser la moitié
de cette eau, si l'eau est contenue dans un bol en cuivre de 2 kg et si la température de l'eau et du
bol est initialement de 20oC.
• chaleur sensible pour l'eau = 4.19 kJ/kg/K
• chaleur sensible pour le cuivre = 0.39 kJ/kg/K
• chaleur latente de vaporisation = 2257kJ/kg
Si vous chauffez le tout sur un élément chauffant de 1000 W et que les pertes de chaleur dans
l'air sont de 50%, calculez le temps requis pour amener l'eau à ébullition et le temps requis pour
vaporiser la moitié de cette eau. Prenez pour acquis que le cuivre est à la même température que
l’eau.
Rép.: 4453.5 kJ, 2136 et 6771 secondes respectivement
Problème 3
Déterminez si, dans chacun des états suivants, l’eau est un liquide comprimé, une vapeur
surchauffée ou un mélange de liquide saturé et de vapeur :
a) 120° C, 150 kPa;
b) 0,35 MPa, 0,4 m3/kg;
c) 160° C, 0,4 m3/kg;
d) 200 kPa, 110° C;
3
e) 300° C, 0,01 m /kg; f) 5 kPa, 10°C.
Rép.: a)
b)
c)
d)
e)
f)
vapeur surchauffée
mélange liquide-vapeur
vapeur surchauffée
liquide comprimé
mélange liquide-vapeur
liquide comprimé
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-28
Chapitre 7 : Substances pures, travail, 1er principe de la thermodynamique
Problème 4
Pour les deux substances suivantes et chacun des états indiqués, déterminez selon le cas :
-
le titre (si la substance est saturée)
ou la température (si la substance est surchauffée)
a) R-134a :
b) eau :
i) 400 kPa, 0,04 m3/kg;
i) 20° C, 1 m3/kg;
ii) T=12° C
Rép.: a) i) x=0,78
ii) 400 kPa,
ii) 8 MPa,
b)
0,052 m3/kg
0,01 m3/kg
i) x= 0,0173
ii )x=0,3892
Problème 5
Calculez les volumes massiques suivants :
a)
b)
R-134a
eau
50° C, titre de 80%
8 MPa, titre de 92%
Rép.: a) ν = 0,0122 m3/kg
b)
ν = 0,0217 m3/kg
Problème 6
Un réservoir rigide de 0,1 m3, contient des volumes égaux de liquide et de vapeur de R-134a à
30° C. On doit introduire du R-134a additionnel jusqu’à ce que sa masse soit de 90 kg.
a)
b)
Quelle quantité de masse aura-t-on fait pénétrer dans le réservoir au cours de l’opération ?
Si la température reste constante à 30° C, quel est le volume maintenant occupé par le
liquide ?
Rép.: ∆m = 28.71 kg, V f = 0,075 m3
Problème 7
Le réservoir A a un volume de 100 L et contient du R-134a à 26° C dont la composition en
volume est de 10% de liquide et 90% de vapeur. Le vide a été fait dans le réservoir B. On ouvre
le robinet et, au bout d’un moment, les réservoirs atteignent le même état, soit 26° C, et 200 kPa.
Quel est le volume du réservoir B ?
robinet
Rép.: V b = 1,657 m3
Réservoir A
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
Réservoir B
7-29
Chapitre 7 : Substances pures, travail et premier principe de la thermodynamique
Problème 8
Calculez la vitesse moyenne des molécules d'oxygène à une température de 20oC ainsi qu'à une
température de 250oC.
Rép.: 478 et 638 m/sec
Problème 9
Un ballon contient 50 m3 d'air à la pression atmosphérique. L'air est chauffé jusqu'à ce que le
ballon soit gonflé à 800 m3. Si la pression à l'intérieur du ballon est considérée comme à peu
près constante, calculez le travail fait pendant l'expansion.
Rép.: 75.9 MJ
Problème 10
Un gaz qui subit une expansion passe des conditions 1 aux conditions 2:
1- Volume = 1 m3 Pression = 0.5 Mpa
2- Volume = 3.5 m3 Pression = 0.1 Mpa
Si l'état 1 est relié à l'état 2 par une ligne droite sur un diagramme P-V calculez le travail effectué
durant l'expansion.
Rép.: 750 kJ
Problème 11
Lors d'une compression isotherme, 0.25 kg d'hydrogène passent de 150 kPa à 675 kPa. Calculez
la température du gaz si un travail de 500 kJ est nécessaire. Prenez l'hypothèse d'un gaz parfait.
Rép.: +49 oC
Problème 12
Un cylindre fermé par un piston sans frottement contient 5 kg de vapeur d’eau surchauffée à 1
MPa et 250° C. On refroidit le système à pression constante jusqu’à ce que l’eau atteigne un titre
de 50%.
Calculez le travail qui s’effectue au cours de l’évolution.
Rép.: W12 = -675 kJ
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-30
Chapitre 7 : Substances pures, travail et premier principe de la thermodynamique
Problème 13
Un dixième de kilogramme d’oxygène à 150 kPa et 20° C est retenu dans un cylindre fermé par
un piston. On dépose lentement des poids sur le piston et on comprime le gaz à température
constante jusqu’à ce que la pression finale soit de 600 kPa. Prenez l'hypothèse d'un gaz parfait.
Calculez le travail qui s’effectue au cours de l’évolution.
Rép.: W12 = -10.6 kJ
Problème 14
Soit le système représenté ci-dessous. Le volume initial à l’intérieur du cylindre est de 100 L et
la pression y est de 100 kPa. Le ressort touche le piston, mais n’y exerce encore aucune force.
On chauffe ensuite le système, jusqu’à ce que le système double de volume; la pression intérieure
est alors de 300 kPa. Pendant l’évolution, la force de rappel du ressort est proportionnelle au
déplacement du piston mesuré à partir de sa position initiale. Calculez le travail qu’effectue le
système formé par l’air dans le cylindre.
Rép.: b) W12 = 20 kJ
AIR
Problème 15
On prend une petite montgolfière vide et on la gonfle à partir d’un réservoir d’air comprimé
jusqu’à ce que son volume atteigne 5 m3. Le baromètre indique 95 kPa. (P=cte)
En choisissant le réservoir, le ballon et le tuyau de raccordement comme le système, calculez le
travail correspondant à cette évolution.
Rép.: W12 = 475 kJ
Problème 16
L’arrangement cylindre-piston illustré ci-dessous contient 0,2 m3 de dioxyde de carbone à 300
kPa et 200° C. On retire les poids du piston de manière à ce que le gaz se détende selon la
relation : PV1.2 = constante jusqu’à ce que la température finale soit de 100° C.
Le CO 2 se comporte comme un gaz parfait durant cette évolution.
Calculez le travail qui s’effectue durant l’évolution.
Rép.: W12 = 63,4 kJ
CO2
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-31
Chapitre 7 : Substances pures, travail et premier principe de la thermodynamique
Problème 17
Le cylindre représenté ci-dessous contient 1 kg d’eau saturée (liquide et vapeur) à 30° C. Le
piston a une section de 0.065 m2 et une masse de 40 kg; il repose sur des butées. Au départ, le
volume est de 100 L; la pression atmosphérique ambiante est de 94 kPa et l’accélération
gravitationnelle locale est de 9.75 m/s2. On fournit de la chaleur au système jusqu’à ce que le
cylindre contienne de la vapeur saturée.
a)
b)
Quelle est la température de l’eau au moment où le piston commence à s’élever au-dessus
des butées ?
Calculez le travail accompli par l’eau durant l’évolution entière.
Patm
vapeur
liquide
Rép.: a) T S = 99,6° C
b) W = 159,6 kJ
Problème 18
On comprime un gaz dans un cylindre fermé par un piston sur lequel agit une force externe. Au
début de l’expérience, le gaz est à 30°C et 500 kPa; la pression finale est de 1400 kPa. Voici
quelques données expérimentales concernant cette évolution. Calculez le travail lié à cette
évolution.
Pression, kPa
Volume, L
500
653
802
945
1100
1248
1400
1.25
1.08
0.96
0.84
0.72
0.60
0.50
Rép.: a) W = -686,11 J
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-32
Chapitre 7 : Substances pures, travail et premier principe de la thermodynamique
Problème 19
Soit l’arrangement piston-cylindre illustré ci-dessous. Le piston sans frottement, dont la section
est égale à 0.06 m2, repose sur des butées et le volume renfermé est alors de 30 L. La masse du
piston est telle qu’il faut une pression de 300 kPa pour le soulever à la pression ambiante.
Lorsque le piston est soulevé jusqu’à un point où le volume est de 75 L, il rencontre un ressort
qui requiert 360 kN pour être comprimé de 1 m. Au début de l’expérience, le cylindre contient 4
kG d’eau saturée (liquide et vapeur) à 35° C. Si on chauffe le système jusqu’à ce que la pression
interne finale atteigne 7 MPa, déterminez l’état final de l’eau et le travail effectué pendant
l’évolution.
Rép.: W= 258,1 kJ
T 3 = 352,8° C
H2O
Problème 20
Le cylindre illustré ci-dessous renferme de l’eau et est fermé par un piston qui est retenu par un
ressort disposé de telle façon que, lorsque le volume dans le cylindre est nul, le ressort est
complètement détendu. La force de rappel du ressort est proportionnelle au déplacement et le
poids du piston est négligeable. Lorsque le piston s’arrête sur les butées, le volume renfermé
dans le cylindre est de 120 L. Au début de l’évolution, le cylindre contient 4 kg d’eau dont la
pression et le titre sont respectivement de 350 kPa et de 1%. On fait alors chauffer l’eau jusqu’à
ce qu’elle se transforme en vapeur saturée. Calculez :
a) la pression finale dans le cylindre;
b) le travail fait par l’eau durant le procédé.
Rép.: a) P f = 6,481 MPa
b) W = 77,7 kJ
H2O
N. B. Ce problème est difficile. Considérez 3 états. L’état 2 est celui où le piston touche tout juste aux
butées. Le seul travail produit est le résultat de l’évolution 1-2. L’évolution 2-3 est isochore et se
termine à l’état 3 lorsque j’ai 100% vapeur saturée. La force du ressort est proportionnelle au
déplacement du piston et est donc proportionnelle au volume dans le cylindre.
Problème 21
Un réservoir rigide d’une capacité de 500 L est rempli de R-134a à 1 MPa et 100° C. On refroidit le
réservoir jusqu’à 0° C. Calculez la quantité de chaleur transmise pendant cette évolution.
Rép.: Q 12
= - 3409 kJ (-187.8 kJ/kg)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-33
Chapitre 7 : Substances pures, travail et premier principe de la thermodynamique
Problème 22
Soit le récipient isolé et rigide illustré à la figure suivante. Il est constitué d’un compartiment sous vide
séparé par une membrane d’un second compartiment rempli par 1 kg d’eau à 65° C et 700 kPa. La
membrane se rompt et l’eau remplit alors tout le volume du récipient, de sorte que la pression résultante
est de 15 kPa. Déterminez la température finale de l’eau et le volume du récipient.
Rép.: T 2 = 53,97° C
V 2 = 0,21 m3
membrane
Problème 23
Un cylindre isolé et fermé par un piston contient du R-134a à 26° C et à un titre de 90%. Le volume est
alors de 30 L. Le piston se déplace jusqu’au point où le R-134a sera à l’état de vapeur saturée. Le R-134a
effectue un travail de 4.0 kJ sur le piston. Déterminez la température finale en supposant que l’évolution
est adiabatique (sans échange de chaleur). Note : Ce n’est pas une évolution isobare, sinon la température
resterait à 26° C.
Rép.: T 2 = -9.3° C
Problème 24
Un cylindre vertical fermé par un piston contient 10 kg de R-134a à 10° C. On fournit de la chaleur au
cylindre, ce qui a pour effet de faire monter librement le piston jusqu’à ce qu’il atteigne des butées; à ce
moment-là, le volume a doublé. On fournit encore de la chaleur jusqu’à ce que la température intérieure
atteigne 100° C; la pression dans le cylindre est alors de 1,2 MPa. Calculez la chaleur totale transférée.
Rép.: Q 13 =
2.1MJ
Problème 25
Un cylindre contient 0,4 kg de vapeur d’eau saturée à 110° C, comme l’illustre la figure suivante. Le
ressort touche alors le piston, mais n’y exerce encore aucune force. On fournit de la chaleur à l’eau, ce qui
entraîne l’élévation du piston. Pendant l»évolution, la force de rappel du ressort est proportionnelle au
déplacement du piston; la constante du ressort est de 50 kN/m et la section du piston est de 0,05 m2.
a) Quelle est la température dans le cylindre lorsque la pression intérieure atteint 300 kPa ?
b) Calculez la quantité de chaleur transmise au cours de l’évolution.
Rép.: T 2 = 527,9° C
b) Q 12
= 265,5 kJ
H2O
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-34
Chapitre 7 : Substances pures, travail et premier principe de la thermodynamique
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
7-35
Chapitre 8 : Réfrigération
Chapitre 8
Réfrigération
Objectifs
La maîtrise des notions présentées dans ce chapitre devrait vous permettre de pouvoir :
• expliquer conceptuellement et techniquement le principe de la réfrigération à compression de
vapeur;
• différencier une pompe à chaleur d’un système de réfrigération;
• énumérer les composantes principales d’un système de réfrigérations;
• discuter du rôle des composantes principales d’un système de réfrigérations;
• décrire ce qu’est un échangeur de chaleur;
• connaître les méthodes de contrôle de température d'un cycle de réfrigération;
• appliquer le premier principe aux quatre évolutions d'un cycle de réfrigération;
• décrire les états du réfrigérant entrant et sortant de chaque évolution d'un cycle de
réfrigération;
• calculer un cycle de réfrigération à compression de vapeur;
• calculer le débit massique de réfrigérant pour satisfaire à une puissance de réfrigération
donnée.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-1
Chapitre 8 : Réfrigération
8.1 Introduction
La création du froid est quelque chose d’assez mystérieux, voire d’impossible à comprendre ou
expliquer sans des notions de base de thermodynamique. La première « machine à créer du
froid » date d’il y a à peine 150 années. Vos grands-parents pourront vous confirmer qu’il n’y a
pas si longtemps, de la glace était livrée à domicile pour garder les aliments au froid. La glace
était coupée sur les cours d’eau l’hiver et emmagasinée sous de la paille dans des entrepôts, où
elle se gardait jusqu’à l’hiver suivant. Il existe encore beaucoup de pays ou la glace fait encore
office de système de réfrigération.
Comparativement, notre capacité de création de chaleur date à Homo Erectus, il y de ça 1.5
million d’années.
Historiquement, l’histoire de la réfrigération est marquée par les étapes suivantes (voir Anderson,
1953, pour un historique détaillé).
Un anglais, William Cullen démontra en 1748 une réduction de température lorsque de l’éther
était évaporé sous vide partiel. En 1775 il donna une lecture publique intitulée « Cold Produced
by Evaporating Fluids ».
En 1781, l’italien Tiberius Cavallo fut le premier à publier l’équivalent dans le prestigieux
« Philosophical Transactions of the Royal Society » en décrivant ses expériences sur la
production de froid.
La figure ci-dessous démontre le principe de base de l’expérience, en l’adaptant un peu plus près
de la réalité d’aujourd’hui (Cullen avait utilisé de l’éthyle-éther initialement à la pression
atmosphérique couplé à une pompe à vide).
H2O
o
20 C
R134a
o
-10 C
200 kPa
Figure 8.1
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-2
Chapitre 8 : Réfrigération
Votre excellente connaissance du deuxième principe de thermodynamique vous indique que la
volatilisation forcée requiert un ajout de chaleur égal à l’augmentation d’énergie interne. À la
figure 8.1, cet ajout de chaleur viendra du volume d’eau entourant l’éprouvette d’éther. Tel que
le deuxième principe l’indique, si l’eau perd de la chaleur, puisqu’aucun travail n’est effectué,
son énergie interne (et donc sa température) doit diminuer. L’eau a donc été refroidie. Notez
que « du froid » n’a pas été créé. La « création de froid » est impossible. Désolé de vous
décevoir!
On peut par contre enlever de la chaleur à une substance, ce qui se traduit
automatiquement par une baisse de température. (À moins bien sûr que la substance soit en état
de saturation, et à ce moment la perte de chaleur peut se faire à température constante, ce qui se
traduira bien sûr par la condensation d’une partie de la vapeur saturée.)
En fait, la réfrigération est le processus par lequel on enlève de la chaleur à un milieu fermé,
provoquant ainsi en une baisse de température du milieu.
Évidemment, le système illustré à la figure ci-dessus n’est pas très utile puisqu’il n’est utilisable
qu’une seule fois. Un système de réfrigération doit pouvoir fonctionner en continu. Pour le
système de la figure ci-dessus, cela implique la récupération du R134a évaporé, sa compression
et réintroduction dans notre éprouvette contenant de l’eau. Pas si simple à première vue.
Mais, l’argent étant un agent de motivation puissant, on peut toujours compter sur le génie
inventif de l’humain. Ce qui nous ramène à notre historique.
En 1818, un anglais nommé Robert Salmon reçut une Patente en Angleterre (No. 4331) pour le
refroidissement artificiel de boissons.
En 1834, une Patente est enregistrée pour la production de froid via l’expansion de liquides
volatils dans un circuit fermé. Les premiers compresseurs pour la fabrication de glace font leur
apparition. L’ancêtre des systèmes modernes est né.
Il est intéressant de noter que ceci arrive AVANT que le premier principe de la thermodynamique
n’ait été clairement énoncé par l’allemand Clausius en 1850. Les inventeurs étaient donc en
avant sur les théoriciens.
L’américain Alexander Twining (1801-1884) enregistre une Patente américaine en 1853 et met
sur pied une usine de production de glace à Cleveland ayant une capacité de 1600 livres par jour,
en utilisant de l’éther sulfurique.
En 1859, l’ammoniaque est introduite et deviendra le réfrigérant standard pour de nombreuses
années.
En 1872, l’américain Boyle invente et opère le premier système de réfrigération à base de
compression (d’ammoniaque). Les années qui suivirent virent la multiplication des systèmes de
réfrigération pour les brasseries, les navires et trains.
La compression de vapeur est utilisée dans la majorité des systèmes de réfrigération moderne.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-3
Chapitre 8 : Réfrigération
8.2 Cycle de réfrigération à compression de
vapeur
Le système de réfrigération à compression de vapeur suit un cycle composé de quatre évolutions
distinctes. Le principe du cycle est très simple. Il s’agit de faire circuler un fluide à basse
température et à le mettre en contact avec le milieu à réfrigérer, généralement composé d’air. Si
la température du fluide réfrigérant est inférieure à la température de l’air, de la chaleur sera
échangée entre les deux fluides passant de l’air vers le fluide réfrigérant. La température du
milieu à réfrigérer diminue. Le reste du cycle vise simplement à éliminer la chaleur
emmagasinée par le fluide réfrigérant pour qu’il puisse revenir à son état initial.
Comme présenté à la figure 8.2, le cycle est composé d’un compresseur, d’une soupape de
détente ainsi que de deux échangeurs de chaleur. Le cycle est séparé en une section de haute
pression et une de basse pression, toutes deux étant toutefois supérieures à la pression
atmosphérique.
Qh
soupape de
détente
condenseur
compresseur
évaporateur
W
Qb
espace froid
Figure 8.2 : cycle de réfrigération à compression
de vapeur
Qu’est-ce qu’un échangeur de chaleur ? Il s’agit de n’importe quel mécanisme permettant
l’échange de chaleur entre 2 fluides sans que les fluides soient eux-mêmes mélangés. Dans son
exemple le plus simple, la conduite de cuivre qui transporte l’eau chaude à partir de votre
chauffe-eau jusqu’à votre douche est un échangeur de chaleur, puisqu’elle permet le passage de
la chaleur de l’eau chaude vers l’air entourant la conduite. Évidemment, dans ce cas particulier,
puisque cet échange de chaleur n’est pas souhaitable, il est logique d’entourer la conduite d’un
revêtement isolant pour justement limiter cette perte de chaleur.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-4
Chapitre 8 : Réfrigération
Mais dans le cas ou un échange de chaleur est souhaitable, on doit tenir compte des règles
suivantes :
•
•
•
L’échange de chaleur est proportionnel à la différence de température entre les deux
fluides
L’échange de chaleur est proportionnel à la surface de contact entre les deux fluides
Le matériel séparant les deux fluides doit être un bon conducteur de chaleur
La troisième condition est facilement remplie puisqu’un des fluides est généralement transporté
par une conduite métallique bonne conductrice de chaleur.
Pour ce qui est de la seconde condition, une conduite en serpentin assure généralement une
surface de contact suffisante. Plus le diamètre de la conduite est faible, plus le ratio entre la
surface de contact et le volume de fluide est grand ce qui maximise l’échange de chaleur par
unité de masse. Toutefois, si le diamètre est trop petit, les pertes de charge deviennent grandes
(souvenez-vous que les pertes de charge sont fonction du diamètre à la puissance 5 !) et il faudra
ajouter de la puissance au système.
La première condition est de loin la plus intéressante. Supposez un fluide réfrigérant à une
température de -10oC circulant dans une conduite en contact avec de l’air à 0oC. Avec une
différence de température de 10oC, le réfrigérant perdra de la chaleur au profit de l’air. L’air
verra sa température baisser légèrement alors que le réfrigérant verra sa température augmenter.
Si l’air passe à -2.5oC et le réfrigérant à -7.5oC, l’efficacité d’échange de chaleur vient de
diminuer de 50% puisque la différence de température est passée de 10oC à 5oC. Puisque la
masse d’air est normalement grande par rapport à la masse de réfrigérant, on peut facilement
régler le problème de l’air en assurant une bonne circulation d’air dans l’espace à réfrigérer. Un
simple ventilateur assure que l’air refroidi directement en contact avec le réfrigérant soit
rapidement remplacé par de l’air à plus haute température. La convection naturelle assure le
mouvement de l’air froid vers le bas, mais un ventilateur assurera une efficacité maximum et
permettra une surface de contact plus petite entre les deux fluides.
Pour ce qui est du réfrigérant, il s’agit de s’assurer que ce dernier est dans un état saturé dans
l’échangeur de chaleur. De cette façon, la chaleur qui lui est transférée à partir du milieu à
réfrigérer servira à faire passer du liquide saturé sous forme de vapeur saturée, tout en gardant la
température du fluide réfrigérant constante! De cette façon, on s’assure que la différence de
température reste optimale. Simple et élégant. De plus, la quantité d’énergie que l’on peut
transférer au fluide réfrigérant est beaucoup plus grande, permettant une bonne puissance de
réfrigération dans un espace compact.
À la sortie de l’évaporateur, le réfrigérant devrait être de la vapeur saturée à 100%, puisque cette
dernière verra sa pression augmentée par le compresseur, et qu’il est difficile de comprimer un
mélange liquide vapeur. Si la pression du réfrigérant augmente, sa température augmentera
aussi, ce qui lui permettra de rejeter la chaleur absorbée dans l’évaporateur.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-5
Chapitre 8 : Réfrigération
En effet, pour que le cycle fonctionne, la chaleur absorbée par le fluide réfrigérant doit
éventuellement être relâchée. Le second échangeur de chaleur (condenseur), opère de la même
façon que le premier. Pour que le réfrigérant cède de la chaleur, il doit avoir une température
plus élevée que le milieu ambiant de rejet, soit une température d’au moins 40oC si le rejet se fait
dans de l’air ambiant entre 20 et 30oC. Une compression adéquate assurera que ces conditions
sont remplies. Pour les mêmes raisons qu’énoncées précédemment, le réfrigérant perdra sa
chaleur à température constante puisqu’il sera en conditions saturées dans le condenseur. La
perte de chaleur se traduira par la condensation de vapeur saturée en liquide saturé.
Le passage au travers de la soupape de pression constitue la dernière étape du cycle. Une
soupape de pression est simplement un mécanisme de perte de charge. Une grande perte de
charge se traduit par une importante perte de pression ce qui retourne le réfrigérant à son état
initial de fluide à basse température et basse pression.
Selon l’équation d’un cycle, la chaleur nette produite par le cycle doit être égale au travail net fait
par le cycle. En respectant les conventions de signe, on peut écrire l’équation nette du cycle :
−Qh + Q b =
−W
8.1
Qb + W =
Qh
8.2
ou encore :
où les indices h et b indiquent la chaleur échangée à haute et basse températures. Le travail est
fait sur le fluide par le compresseur et est donc négatif. La chaleur à basse température est
transmise au fluide et est positive. Elle est cédée par le fluide à haute température et est donc
négative. En valeur absolue, Q h est donc toujours plus élevée que Q b .
Chose assez amusante, vous pouvez donc en conclure qu’un système de réfrigération est en fait
un appareil de chauffage! Nous y reviendrons d’ailleurs un peu plus tard en parlant de
thermopompes.
8.2.1 Critères de performance
Comme mentionné, précédemment, pour que le cycle puisse fonctionner adéquatement il faut :
•
•
•
•
Que la température du fluide à l’évaporateur soit inférieure de 5 à 15°C de celle de l’espace
froid, de façon à permettre le transfert de chaleur du milieu à réfrigérer vers le réfrigérant
Que la température du fluide au condenseur soit supérieure de 5 à 15°C de celle du milieu
ambiant, de façon à permettre au réfrigérant de relâcher la chaleur accumulée vers le milieu
ambiant
Le réfrigérant sera en conditions de saturation dans l’évaporateur et le condenseur
Les pressions dans l’évaporateur et dans le condenseur seront supérieures à la pression
atmosphérique, sans être toutefois trop élevées (inférieures à 2MPa).
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-6
Chapitre 8 : Réfrigération
L’efficacité d’un cycle de réfrigération est mesurée par son coefficient de performance β défini
par :
=
β
Qb
Qb
1
=
=
Wnet Qh − Qb Qh − 1
Qb
8.3
Tous les termes de cette équation sont en valeur absolue. La valeur de β est toujours supérieure à
un. C’est la raison pour laquelle on ne parle pas d’efficacité, par définition entre 0 et 1, mais
plutôt de coefficient de performance
Si vous vous arrêtez pour y penser, vous trouverez très intéressant le fait qu’une valeur de β
supérieure implique que pour chaque Joule d’énergie que vous achetez à Hydro-Québec pour
faire fonctionner le compresseur de votre appareil, vous en retirez jusqu’à 3 fois plus en
refroidissement. Nous y reviendrons plus tard.
Avant de procéder à une analyse plus précise du cycle, il est opportun de discuter du fluide
réfrigérant.
8.2.2 Le réfrigérant idéal
Le réfrigérant est choisi sur les bases de sa relation entre pression et température de saturation.
Les propriétés suivantes sont souhaitables :
•
•
•
•
•
•
Le cycle devrait entièrement être à une pression supérieure à la pression ambiante (ceci aide à
la détection de fuite et permet d’éviter que de l’air s’introduise à l’intérieur du cycle ce qui
pourrait causer plusieurs problèmes)
Le coût du réfrigérant devrait être faible
Il devrait être facilement disponible
Il est sans danger pour la santé humaine
Il devrait pouvoir être vaporisé à une température inférieure à –10°C et condensé à une
température supérieure à 40°C à des pressions raisonnables.
Finalement, il devrait être sans danger pour l’environnement.
L’avant-dernière condition fait référence au fait que le réfrigérant doit avoir une température
inférieure au milieu à réfrigérer pour assurer le transfert de chaleur dans l’évaporateur, et une
température supérieure au milieu ambiant dans le condenseur, pour permettre le rejet de chaleur.
Par exemple, si on voulait réfrigérer un entrepôt à -20oC dans le désert du Sahara, il faudrait une
température de réfrigérant d’au moins -30oC dans l’évaporateur et de +60oC au condenseur, pour
que la chaleur puisse être rejetée dans l’air chaud du désert. Tout ça à des pressions raisonnables,
puisque le système est constitué de conduites et de joints. Une pression trop grande dans le
système rendrait ce dernier trop susceptible aux fuites.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-7
Chapitre 8 : Réfrigération
Bien qu’assez simple conceptuellement, la quête du réfrigérant idéal fut parsemée d’embûches.
Sur ce, nous pouvons encore une fois reprendre (et terminer) notre petit historique sur la
réfrigération.
Durant les années 1800 et débuts 1900, les fluides répondant aux conditions ci-dessus étaient :
l’ammoniaque (NH3), le chlorure de méthyle (CH3Cl), et le dioxyde de soufre (SO2), le premier
étant le plus utilisé. Tous ces fluides ont la malheureuse propriété d’être toxiques. Suite à la
prolifération de systèmes de réfrigération et l’apparition des premiers réfrigérateurs domestiques
à partir de 1915, des accidents parfois fatals surviennent de plus en plus fréquemment durant les
années 20.
En 1928, les américains Midgley et Kettering de la compagnie Dupont inventent le réfrigérant
miracle appelé Fréon. Il est sans couleur ou odeur, ininflammable et sécuritaire pour la santé.
De plus, il est chimiquement très stable et est fortement compatible aux huiles minérales, ce qui
permet la lubrification du compresseur à même le mélange. Le fréon est en fait une famille de
composés appelée CFC pour : chlorofluorocarbones. Ce sont des composés d’atomes de
carbone (hydrogène), fluor et chlore. Le plus commun est le Fréon 12, utilisé pour la réfrigération
à basse température. Le fréon 12 est en fait une molécule de méthane (CH 4 ) auquel trois atomes
hydrogène sont remplacés par deux fluors et un chlore. Son nom chimique est le difluoro-chloro
méthane (CHF 2 Cl).
La Patente de la compagnie expire durant les années 40 et le fréon-12 est manufacturé par
plusieurs compagnies sous différents noms. Le nom générique de réfrigérant-12 (R-12) est
utilisé. On peut aussi noter le réfrigérant-22 pour les applications à basse température.
Tout baigne dans l’huile jusqu’au début des années 1970 alors que les Américains Rowland et
Molina de l’Université de la Californie à Irvine, se posent la question de ce qu’il advient des
milliers de tonnes de CFC produits et ultimement relâchés dans l’atmosphère. Ils trouvent alors
que les CFC sont vraisemblablement transportés jusque dans la stratosphère où ils sont détruits
suite à l’action du rayonnement ultraviolet. Le chlore ainsi libéré s’attaque alors à l’ozone
stratosphérique. Cette mince couche d’ozone stratosphérique est celle qui protège la terre et ses
habitants contre le rayonnement ultraviolet nocif (UVB et UVC). Leurs résultats sont publiés
dans la revue Nature en 1974 (Molina et Rowland, 2004).
Leurs résultats se transforment vite en controverse et l’industrie de la réfrigération essaie tant
bien que mal de minimiser l’impact de leurs travaux. Malgré la solidité de leur théorie, le
puissant lobby de l’industrie chimique se traduira par le fait qu’au début des années 80, peu sont
réellement convaincus du danger imminent des CFC. C’est au milieu des années 80 que les
premières mesures à partir du sol enregistrent l’absence de la couche d’ozone en Antarctique.
Des mesures satellitaires de la NASA confirment rapidement ces observations et permettent
d’imager l’énorme superficie de ce « trou ».
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-8
Chapitre 8 : Réfrigération
L’importance de la couche d’ozone pour la vie terrestre résulte en une mobilisation rapide de
l’opinion populaire. En 1987, 57 nations industrielles signent le Protocole de Montréal visant à
éliminer graduellement les CFC. Modifiée à trois reprises (dont à Montréal pour la troisième
modification en 1997), la production de CFC est interdite depuis le 31 décembre 1995.
En 1995, Molina et Rowland reçoivent le prix Nobel de chimie pour leurs travaux sur les CFC et
la couche d’ozone.
Depuis 1997, la concentration de chlore dans la stratosphère est en diminution et le trou dans la
couche d’ozone au dessus de l’Antarctique est lentement en train de se résorber.
Au travers de ce débat scientifique, l’industrie chimique recherche activement un réfrigérant de
remplacement. Le remplaçant idéal devrait avoir les mêmes propriétés physiques, chimiques et
thermodynamiques que le R-12 pour pouvoir être un substitut intégral, tout en ayant un potentiel
nul d’appauvrissement de la couche d’ozone. Le substitut intégral n’a jamais été trouvé.
Le réfrigérant R134a introduit encore une fois par Dupont s’est imposé en tant que meilleur
candidat. Le R134a, ou tétrafluoroéthane (CF 3 -CH 2 F) élimine complètement le chlore en faveur
d’une molécule plus lourde et contenant 4 atomes de fluor. L’industrie automobile fut une des
premières à l’adopter au milieu des années 90. On ne peut, par contre, substituer directement le
R-12 par du R-134a sur des équipements existants. Des changements de conduits et de joints
d’étanchéité sont nécessaires, de même qu’un changement de compresseur si on veut conserver la
même efficacité. C’est pour cette raison que malgré l’interdiction de fabrication du R-12, ce
dernier continu d’être utilisé par de nombreux appareils de réfrigération et la vente de R-12
recyclé est toujours autorisé. Lorsque la durée de vie utile de ces appareils sera atteinte, le R-12
sera alors complètement éliminé.
Finalement, pour compliquer les choses, le R134a fait partie de la liste des gaz contribuant à
l’effet de serre, et fait partie des gaz qui devraient être éliminés graduellement après 2012 selon
le Protocole de Kyoto. Le R134a à un effet de serre 1300 fois supérieur à celui de CO 2 .
Pour terminer l’historique, dernier fait important, on peut noter qu’en mai 2005, le professeur
canadien François Brissette a remplacé dans ses notes de cours les tables de thermodynamiques
du R-12 par celles du R-134a. Et voilà.
Finalement, l’expérience des 30 dernières années nous permet d’ajouter une dernière condition
au réfrigérant idéal, à savoir qu’il devrait être sans danger non seulement pour la santé humaine,
mais aussi pour l’environnement.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-9
Chapitre 8 : Réfrigération
8.3 Analyse théorique du cycle
Chacune des quatre composantes du cycle de réfrigération à compression de vapeur est un
système ouvert représenté par l’équation du premier principe de la thermodynamique
q = (hs − he ) + 0.5(vs2 − ve2 ) + g ( zs − ze ) + wsystème
8.4
Nous pouvons simplifier l’analyse du cycle en nous concentrant sur les termes importants de
chaque évolution, et donc en simplifiant au maximum l’équation ci-dessus. En représentant le
cycle avec les états 1-2-3-4 suivants :
3
2
Qh
W
4
1
Qb
espace froid
Nous retrouvons les quatre évolutions composant le cycle.
8.3.1 Évolution 1-2: compression
Avec les suppositions suivantes :
• v1 = v2
• z1 = z2
• compresseur bien isolé (Q=0)
on peut écrire :
w12= h1 − h2
8.5
De plus, tel qu’il sera vu rapidement au chapitre suivant, cette évolution peut être qualifiée
d’isentropique et donc de relation où l’entropie est approximativement constante et donc :
s1 = s2
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8.6
8-10
Chapitre 8 : Réfrigération
8.3.2 Évolution 2-3: échange de chaleur à haute température
Avec les suppositions suivantes :
• v2 = v3
• z2 = z3
• travail nul
on peut écrire :
q23= h3 − h2
8.7
de plus, en assumant que les pertes de charge sont faibles, la pression sera constante et nous
avons donc P2 = P3 .
8.3.3 Évolution 3-4: soupape de détente
Avec les suppositions suivantes :
• v3 = v4
• z3 = z4
• soupape bien isolée (Q=0)
• travail nul
on peut écrire :
h3 = h4
8.8
8.3.4 Évolution 4-1: échange de chaleur à basse température
Avec les suppositions suivantes :
• v1 = v4
• z1 = z4
• travail nul
l’équation 8.4 devient :
q14= h1 − h4
8.9
de plus, en assumant que les pertes de charge sont faibles, la pression sera constante et nous
avons P1 = P4 .
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-11
Chapitre 8 : Réfrigération
Le cycle théorique peut être représenté sur un diagramme pression enthalpie massique. Le
diagramme pression enthalpie massique présente les caractéristiques suivantes :
p
point critique
région
de
liquide
saturé
ligne d'entropie
constante
ligne de température cte
ligne de liquide
saturé
région liquide et
vapeur
ligne de vapeur
saturée
région de vapeur
surchauffée
ligne de volume
constant
h
Diagramme pression enthalpie massique
Sur un tel diagramme, le cycle de réfrigération à compression de vapeur est représenté de la
manière suivante :
p
3
4
2
1
h
Diagramme p-h pour le cycle de
compression de vapeur standard
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-12
Chapitre 8 : Réfrigération
Compte tenu des définitions du cycle théorique on peut aussi modifier le coefficient de
performance (éq.8.3) par :
β
=
Qb Effet réfrigérant
=
=
Wnet
Travail net
h1 − h4
h2 − h1
8.10
Notez que les relations définies pour le cycle sont toutes sous forme massique, soient en kJ/kg.
Pour définir la puissance du cycle de réfrigération, outre ces valeurs, il est nécessaire de connaître
le débit massique de réfrigérant à travers le système.
Par exemple, pour un effet réfrigérant de 70 kJ/kg, si le débit du réfrigérant q ref
l’évaporateur est de 1 kg/sec, la puissance de réfrigération est ainsi définie :
Préf . = h1 − h4 q réf = 70
traversant
kj kg
1
= 70kW = 93.9 hp
kg sec
Ce qui serait un gros système de réfrigération. Pour un système 10 fois plus petit, il faudrait
simplement faire circuler un débit de réfrigération 10 fois plus petit. L’analyse de base du cycle
faite sous forme massique ne change pas. Il faudra bien sûr dimensionner les échangeurs de
chaleur et les conduits en fonction du débit massique du réfrigérant. Autrement dit, si vous
essayez de transformer votre réfrigérateur maison en climatiseur pour un entrepôt de 10000 m3 en
le connectant à un compresseur de 150 hp, vous risquez d’être fort déçus des résultats. Assurezvous de bien éloigner les enfants avant de brancher le compresseur.
Un système de réfrigération (ou de climatisation) sera conçu d’abord et avant tout en fonction de
sa puissance de réfrigération. Cette dernière est fonction du volume d’air à réfrigérer et des
conditions ambiantes. Une large fenestration, une orientation vers le soleil ou une mauvaise
isolation sont tous des facteurs qui militeront en faveur d’une puissance plus élevée.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-13
Chapitre 8 : Réfrigération
Exemple :
Soit un cycle de réfrigération à compression de vapeur fonctionnant au R134a. La température
du réfrigérant est de –10oC dans l’évaporateur et de +50oC dans le condenseur. Le moteur et le
compresseur ont une efficacité de 71% chacun. Si vous visez une puissance de refroidissement de
20 kW veuillez calculer :
• l’effet réfrigérant
• le débit massique de R134a nécessaire pour la puissance de refroidissement requise
• les coefficients de performance théorique et réel.
Solution :
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-14
Chapitre 8 : Réfrigération
8.4 Pompes à chaleur
Le cycle d’une pompe à chaleur, souvent appelé thermopompe est illustré ci-dessous. Le cycle
est rigoureusement le même que celui d’un cycle de réfrigération sauf que le but n’est pas de
refroidir un espace restreint, mais plutôt de réchauffer un milieu restreint. Pour la réfrigération,
le milieu restreint est le réfrigérateur alors que le milieu ambiant est le bâtiment où la chaleur à
haute température est rejetée. Sous une opération de pompe à chaleur, le milieu restreint est le
bâtiment et la chaleur à basse température est tirée de l’extérieur du bâtiment. Une pompe à
chaleur « pompe » littéralement la chaleur du milieu extérieur froid pour rejeter de la chaleur vers
le milieu chaud.
espace chauffé
Qh
condenseur
soupape de
détente
compresseur
évaporateur
W
Qb
cycle de pompe à chaleur à compression de vapeur
Dans le cas d’une pompe à chaleur, puisque le but n’est pas de retirer de la chaleur, mais plutôt
d’en ajouter, le coefficient de performance est donné en fonction de la chaleur à haute
température Q h plutôt que Q b comme c’est le cas en réfrigération. :
=
β
h −h
Qh effet réchauffant Qh
1
=
=
= 2 3
Wnet
travail net
Qh − Qb 1 − Qb h2 − h1
Qh
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8.11
8-15
Chapitre 8 : Réfrigération
Exemple :
En fonction de l’exemple précédent, calculez la puissance de réchauffement ainsi que le
coefficient de performance théorique de la pompe à chaleur.
Solution :
8.4.1 Fonctionnement mixte : pompe à chaleur/climatiseur
Certaines thermopompes permettent le fonctionnement en mode « pompe à chaleur » et en mode
« climatiseur ». Dans ces appareils les échangeurs de chaleur peuvent jouer à la fois le rôle de
condenseur et d’évaporateur. Un échangeur de chaleur est à l’intérieur du bâtiment et l’autre est
à l’extérieur.
En mode de climatisation, l’échangeur de chaleur à l’intérieur joue le rôle de l’évaporateur et
celui à l’extérieur de condenseur. Les rôles sont renversés en opération de pompe à chaleur. Les
coefficients de performance réelle 2 à 3 plus élevés que tout autre appareil de chauffage rendent
son utilisation très intéressante. Ce haut niveau de performance est toutefois compensé par le
haut coût initial à l’achat, les coûts d’entretien ainsi que par l’obligation de dégivrer
l’évaporateur dès que la température du réfrigérant à l’intérieur de ce dernier est inférieure à 0oC.
La pompe à chaleur n’est plus rentable à une température extérieure inférieure à –10oC.
8.5 Références
Anderson, OE., Refrigeration in America: A History of a New Technology and its Impact.
Princeton: Princeton University Press, 1953
Molina, M.J., et Rowland, F.S. "Stratospheric Sink for Chlorofluoromethanes: Chlorine AtomCatalysed Destruction of Ozone," Nature 249 (28 June 1974):810.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-16
Chapitre 8 : Réfrigération
Problèmes
Problème 1
Un système de réfrigération opère à des pressions de 240 et 1200 kPa, respectivement à
l’évaporateur et au condenseur. Définissez les variables thermodynamiques importantes :
- à la sortie de l’évaporateur
- à l’entrée du condenseur
- à la sortie du condenseur
- à l’entrée de l’évaporateur
Rép :
État 1 : -5.4oC
État 2 : 51.5oC
État 3 : 46.3oC
État 4 : -5.4oC
240 KPa h=244.1 kJ/kg s=0.922
1200 KPa h=277.34kJ/kg s=0.922
1200 KPa h=115.8 kJ/kg
240 KPa h=115.8 kJ/kg x=0.36
Problème 2
Pour le problème précédent, calculez l’effet réfrigérant, le travail massique du compresseur, le
rapport de pression de ce dernier, ainsi que l’effet réchauffant du système.
Rép : 128.3 kJ/kg, 33.24 kJ/kg, 5, 161.54 kJ/kg (NB : vous noterez que 128.3+33.24=161.54,
une vérification que vous devriez toujours faire
Problème 3
Toujours dans le cas du problème précédent, calculez la puissance de réfrigération sachant que le
débit massique du réfrigérant est de 0.05 kg/sec.
Calculez aussi la puissance fournie au
réfrigérant par le compresseur. Si l’efficacité globale du compresseur est de 0.4, calculez la
puissance électrique nécessaire pour le faire fonctionner.
Rép : 6.4 kW, 1.66 kW, 4.15kW
Problème 4
Un cycle de réfrigération opère aux pressions de 200 et 900 kPa avec du R134a. Déterminez (/kg
de réfrigérant) les valeurs théoriques de :
a)
b)
c)
d)
e)
effet de réfrigération
chaleur rejetée dans le condenseur
travail fait par le compresseur
le coefficient de performance
la température de l'évaporateur
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-17
Chapitre 8 : Réfrigération
f)
g)
h)
i)
la température du condenseur
le titre après la soupape de détente
le volume spécifique de la vapeur entrant dans le compresseur
la température de la vapeur quittant le compresseur
Rép.: a) 141.7 kJ/kg b) 172.8 kJ/kg c) 31.1 kJ/kg d) 4.56 e) -10oC f) 35.5oC
a) 0.3 h) 0.099 m3/kg i) 41oC
solution :
État 1 : 200 KPa 241.3 kJ/kg s=0.92534
État 2 : 900 KPa 272.4 kJ/kg s=0.92534
État 3 : 900 KPa 99.56 kJ/kg
État 4 : 200 KPa 99.56 kJ/kg x=0.307
Problème 5
Un entrepôt frigorifique utilise du R134a selon un cycle de compression de vapeur standard. La
température du réfrigérant dans l'évaporateur et le condenseur est respectivement de–20oC et
+40oC. Sachant aussi que la puissance de refroidissement du système est de 10 kW, déterminez :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
la pression de l'évaporateur
la pression du condenseur
le rapport de pression du compresseur
le travail idéal du compresseur par kilogramme de réfrigérant
le vrai travail du compresseur par kilogramme de réfrigérant compte tenu d'une efficacité de
60% de ce dernier.
l'effet réfrigérant
le débit massique de réfrigérant
la puissance fournie au réfrigérant par le compresseur
la puissance requise pour faire fonctionner le compresseur
la puissance de refroidissement (échangée à l'évaporateur)
la puissance de la chaleur échangée au condenseur
les coefficients de performance théorique et réel
le titre à l’entrée de l’évaporateur
Rép.: a)133 kPa b)1016 kPa c)7.64 d)42.1 kJ/kg e)70.2 kJ/kg f)129.1 kJ/kg g)0.078 kg/sec
h) 3.28 kW i)5.47 kW j) 10 kW (vérification de la donnée initiale) k) 13.3 kW l) 3.0 et 1.8
m) 0.39
solution :
État 1 : 133 KPa 235.31 kJ/kg s=0.9332
État 2 : 1016.4 KPa 277.44kJ/kg s=0.9332
État 3 : 1016.4 KPa 106.19 kJ/kg
État 4 : 133 KPa 106.19 kJ/kg x=0.38819
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-18
Chapitre 8 : Réfrigération
Problème 6
Pour le problème précédent, calculez le débit massique d'air nécessaire au contact de
l'évaporateur si l'air qui quitte l’échangeur de chaleur est à -15oC. Prenez la chaleur massique de
l'air c p =1.005 kJ/kg/K. Vous vous souviendrez que Q=c p m ΔT.
Rép.: 1.99 kg/sec
Problème 7
Du R134a à -10oC est introduit à l’intérieur de deux échangeurs de chaleur de longueur infinie,
au travers d’un milieu ambiant constitué d’air à une température de 0oC (la longueur infinie
indique simplement que le réfrigérant atteindra éventuellement la température du milieu ambiant,
soit 0oC). Dans les deux cas, le débit massique de réfrigérant est de 0.05 kg/sec.
La seule différence est qu’à l’entrée du premier échangeur de chaleur, le réfrigérant est sous un
état de vapeur saturée alors qu’à l’entrée du second, l’état est en liquide saturé.
En prenant pour acquis que la température dans le milieu ambiant reste constante (la masse d’air
est grande par rapport à la masse du réfrigérant), calculez la puissance maximale de réfrigération
possible dans les deux cas. Considérez que la pression reste constante.
Rép : 0.44 kW et 10.66 kW. Ce problème démontre l’énorme avantage d’avoir des conditions
saturées au niveau de l’échange de chaleur. (ces chiffres prennent pour acquis que le réfrigérant
atteint la température finale de 0oC)
Solution :
État initial de liquide saturé : p=200.7 kPa, h initial =36.96, h final =250.08, P max =10.66 kW
État initial de vapeur saturée : p=200.7 kPa, h initial =241.35, h final =250.08, P max =0.44 kW
Problème 8
Une pompe à chaleur opère à des pressions de 240 et 1200 kPa, respectivement à l’évaporateur et
au condenseur.
Sachant que le débit massique de réfrigérant est de 0.1 kg/sec, calculez la puissance de la pompe
à chaleur ainsi que son coefficient de performance théorique.
NB : Les états thermodynamiques sont les mêmes qu’aux problèmes 1 et 2. Vous pouvez donc
réutiliser les mêmes valeurs.
Rép : 16.15 kW, 4.86
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-19
Chapitre 8 : Réfrigération
Problème 9
Une pompe à chaleur utilisant du R134a doit produire 100 kW de chauffage. Si la température
extérieure est de -10oC et que la température intérieure requise est de 25oC déterminez :
a) le rapport de pression du compresseur
b) le coefficient de performance théorique
c) le débit massique du réfrigérant
d) l'input électrique nécessaire si le compresseur a une efficacité globale de 50% ainsi que le
que vrai coefficient de performance
e) le débit massique d'air pour que l'air quittant l'évaporateur soit à 5oC
Allouez 10oC de différence pour le transfert de chaleur dans le condenseur et l'évaporateur et
prenez la chaleur massique de l'air c p =1.005 kJ/kg/K
Rép.: a) 6.7 b) 4.48 c) 0.57 kg/sec d) 44.7 kW et 2.24 e) 15.5 kg/sec
solution : État 1 : 133 KPa 235.31 kJ/kg s=0.9332
État 3 : 887 KPa 98.8 kJ/kg
État 2 : 887 KPa 274.55 kJ/kg s=0.9332
État 4 : 133 KPa 98.8 kJ/kg
Problème 10
Une pompe à chaleur utilisant du R134a produit 100 kW avec une température du réfrigérant au
condenseur de 50oC. La source de chaleur est l'atmosphère avec une température de design de
5oC. Une différence de température de 10oC est établie dans le condenseur et l'évaporateur par
rapport au milieu ambiant. Déterminez le coefficient de performance théorique, le rapport de
compression du compresseur et le débit massique du réfrigérant.
Rép.: a) 4.52 b) 5.4 c) 0.63 kg/sec
solution : État 1 : 243 KPa 244.3 kJ/kg s=0.9219
État 3 : 1317 KPa 121.45 kJ/kg
État 2 : 1317 KPa 279.2 kJ/kg s=0.9219
État 4 : 243 KPa 121.45 kJ/kg x=0.38819
Problème 11
Un bâtiment requiert 100 kW de chauffage 40 heures par semaine, 48 semaines par année.
Calculez les coûts comparatifs de l'énergie pour une thermopompe, un brûleur au gaz naturel et
des plinthes électriques. Vous disposez des données suivantes :
b) coût de l'énergie électrique 0.075$/kWh
c) le coefficient de performance réel de la thermopompe 2.25
d) coût du gaz naturel 0.35$/m3
e) contenu énergétique du gaz 37.5 MJ/m3
f) efficacité du brûleur à gaz 85%
g) efficacité des plinthes électriques 99%
Rép.: 6394$, 7590$ et 14545$ (par année)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-20
Chapitre 8 : Réfrigération
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
8-21
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Chapitre 9
Second principe de la
thermodynamique
Objectifs
La maîtrise des notions présentées dans ce chapitre devrait vous permettre de :
•
•
•
•
•
•
définir le concept de machine thermique;
expliquer la nécessité du rejet de chaleur dans un cycle d'une machine thermique;
calculer le rendement d'une machine thermique;
décrire les 4 évolutions d'un cycle de Carnot;
définir le rendement maximum selon un cycle de Carnot;
comprendre intuitivement le concept d'entropie d'une substance ainsi que le concept
d'accroissement d'entropie;
• comprendre que la direction d'une évolution se fait dans la direction d'une entropie plus
grande;
• utiliser les valeurs d'entropie des tables de thermodynamique pour faire des calculs simples;
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-1
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
9.1 Énoncé du second principe de la
thermodynamique
Le premier principe de la thermodynamique ne dit pas tout. Clairement, nous savons qu’un
pouding chaud mis au réfrigérateur se refroidira. Pourtant, le premier principe permet au
pouding de se réchauffer en enlevant de la chaleur au réfrigérateur pourvu que le gain de chaleur
soit égal au changement d’énergie interne de l’air à l’intérieur du réfrigérateur. Le second
principe permet de résoudre ce dilemme apparent.
9.1.1 Énoncé intuitif du second principe
Il existe plusieurs façons d’énoncer le second principe simplement :
•
•
•
L’écoulement de chaleur au travers une frontière simple se fait toujours de la haute
température vers la basse température
Deux gaz mis ensembles vont toujours se mélanger spontanément et ne se sépareront pas
spontanément
Un miroir finira toujours par se briser et une fois brisé, les morceaux ne reformeront pas le
miroir spontanément
Bien que simplistes, les énoncés précédents nous indiquent qu’il y a certaines évolutions qui sont
permises et d’autres pas. Le second principe nous permet de définir la direction d’une évolution.
Ces différents énoncés démontrent que la direction d’une évolution se fait toujours vers un état
de désordre ou d’incertitude plus grand. Ce désordre ou incertitude se retrouve au niveau
moléculaire.
Autrement dit, un système ne s’organisera pas sous une forme plus complexe spontanément, mais
tendra toujours à l’opposé. Cette idée sera explorée plus loin.
9.1.2 Énoncés de Clausius et de Kelvin-Planck
D’une manière plus formelle, deux énoncés permettent de définir le deuxième principe de la
thermodynamique. Ce sont les énoncés de Clausius et de Kelvin-Planck.
L’énoncé de Clausius s’énonce comme suit :
« Il est impossible de construire un appareil décrivant un cycle et qui ne produirait
d’autres effets que de transférer de la chaleur d’un corps froid à un corps chaud »
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-2
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
T2
Q2
T2 > T1
Q2 = Q1
Violation du second principe
(Énoncé de Clausius)
Q1
T1
L’énoncé de Kelvin-Planck s’énonce ainsi :
« Il est impossible de construire un appareil décrivant un cycle et qui ne ferait que
produire du travail en échangeant de la chaleur avec un seul réservoir »
Violation du second principe
W
W=Q
(Énoncé de Kelvin Planck)
Q
T
L’énoncé de Kelvin-Planck stipule que pour un cycle, il est impossible d’avoir l’égalité suivante :
Q H = Wnet
9.1
Il faut avoir aussi un échange de chaleur à basse température de telle sorte que :
Q net = Wnet
9.2
Cette dernière égalité est exprimée par le diagramme suivant :
T1
Q1
T2 > T1
Q2 > Q1
Wnet
Machine thermique
Q2
T2
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-3
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
L’appareil produisant du travail à la suite d’un échange de chaleur avec deux réservoirs est
appelé machine thermique.
Le rendement thermique d’une machine est donné par :
η=
Wnet
QH
9.3
L’équation précédente est le ratio du travail produit par la machine sur l’énergie fournie à la
machine. À cause du rejet à basse température, le rendement est nécessairement inférieur à 1.
De plus, à partir du premier principe pour un cycle de la machine thermique on peut aussi écrire :
η=
Wnet
Q - QB
Q
= H
=1- B
QH
QH
QH
9.4
Certains détails des machines thermiques seront discutés dans une section ultérieure.
En résumé, l’énoncé de Kelvin-Planck indique qu’il est impossible d’avoir une efficacité de
100%.
Le deuxième principe est celui qui prédit l’impossibilité de la machine perpétuelle. Il existe trois
types de machines perpétuelles :
•
•
•
Une machine qui produit du travail à partir de rien
Une machine qui prend de la chaleur d’une source et la transforme en travail équivalent
Une machine sans friction, c’est-à-dire qui marche tout le temps, mais ne produit aucun
travail
Quiconque réussit à construire une de ces machines deviendra très très riche. Sauf pour le
troisième cas qui ne servirait à rien de toute façon!
9.1.3 Réversibilité et irréversibilité
Une évolution idéale est appelée une évolution réversible. Une évolution réversible est définie
comme une évolution qui peut être inversée (le système est donc ramené à son état initial) sans
créer de changement et au système et à l’environnement ambiant.
Plusieurs facteurs contribuent à rendre une évolution irréversible :
•
•
•
•
La friction
Une expansion d’un gaz non contrôlée
Le mélange de deux substances
La viscosité des fluides
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-4
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Bien que toutes les évolutions soient irréversibles, si une évolution opère suffisamment
lentement, cette dernière est appelée quasi statique et peut être considérée comme réversible.
Les vrais critères de réversibilité sont les suivants :
•
•
•
L’évolution doit être sans friction (fluide idéal et pas de friction mécanique)
La différence de pression entre le fluide et ses frontières doit être infinitésimale durant
l’évolution. Autrement dit, l’accélération des frontières doit être infinitésimale.
La différence de température entre le fluide et ses frontières doit être infinitésimale. La
chaleur transférée ou rejetée doit l’être de façon très lente.
Le troisième critère est le plus difficile à bien saisir. De par les notions du précédent chapitre, il
devrait être clair que tout transfert de chaleur est une évolution irréversible puisque pour le
transfert inverse (de la source froide vers la source chaude) un travail est nécessaire. En fait, plus
la différence de température est élevée, plus l’irréversibilité est grande. Toutefois, cette notion
de transfert de chaleur réversible est utile pour décrire une évolution idéale.
9.1.4 Cycle de Carnot
L’énoncé de Kelvin-Planck définissant qu’une efficacité de 100% est impossible, on peut se
demander quelle est l’efficacité maximum que l’on peut obtenir pour un cycle thermodynamique.
L’ingénieur français Sadi Carnot qui énonça originalement le second principe de la
thermodynamique s’est posé cette question en 1824.
En son honneur, le cycle de Carnot définit l’efficacité maximum d’un cycle opérant à partir de
réservoirs à haute température T h et à basse température T b . Le cycle de Carnot est composé de
quatre évolutions réversibles. Voici l’exemple d’une centrale thermique qui opérerait selon le
cycle de Carnot :
Réservoir à Th
1
Qh
2
évaporateur
pompe
W
turbine
W
condenseur
4
Qb
3
Réservoir à Tb
Usine thermique fonctionnant selon le cycle de Carnot
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-5
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Le cycle de Carnot est composé des quatre évolutions suivantes :
1. Un transfert de chaleur du réservoir à haute température vers le fluide. L’évolution étant
réversible, la température du fluide ne doit être que très légèrement inférieure à celle du
réservoir. L’évolution est donc isotherme (à température constante) et le transfert de chaleur
ne peut donc qu’aboutir à un changement de phase). On passe de liquide saturé à l’entrée de
l’évaporateur à vapeur saturée à la sortie.
2. La deuxième évolution est adiabatique (pour être réversible) et se produit dans la turbine. La
turbine fournit du travail et le fluide subit une perte de pression et de température et passe de
vapeur saturée à un mélange liquide-vapeur.
3. La troisième évolution est isotherme et le fluide perd de la chaleur. Bien qu’une partie de la
vapeur passe sous forme liquide, le fluide reste toujours sous forme liquide-vapeur à la sortie
du condenseur.
4. La dernière évolution est aussi adiabatique et consiste à comprimer le fluide ce qui entraine
une augmentation de la température. Le fluide est sous forme de liquide saturé à la sortie de
la pompe.
Le cycle peut être représenté sous un diagramme T-v de la façon suivante :
1
T
2
4
3
v
Comme toutes ces évolutions sont réversibles, si l'on inverse la direction d’écoulement du fluide
nous retrouvons un cycle de réfrigération de Carnot. La différence entre le cycle de réfrigération
à compression de vapeur et le cycle de réfrigération de Carnot sera discutée plus loin.
Les conclusions de Carnot étaient les suivantes :
1. Il est impossible de construire une machine qui fonctionnerait entre deux réservoirs donnés et
qui serait plus efficace qu’une machine réversible fonctionnant selon le cycle de Carnot
2. Toutes les machines qui fonctionnent selon le cycle de Carnot entre deux réservoirs donnés à
température constante ont le même rendement.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-6
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Comme le rendement d’un cycle de Carnot ne dépend que des températures hautes et basses du
cycle, on peut écrire pour une machine thermique fonctionnant selon le cycle de Carnot (et à
partir de l’équation 9.4):
η=
Wnet
Q
= 1 - B = f(TB , TH )
QH
QH
9.5
Lord Kelvin proposa la relation suivante qui fut à la base de l’échelle de température absolue.
Les températures sont donc exprimées en Kelvins.
QB
T
= B
QH
TH
9.6
Donc, le rendement d’une machine thermique de Carnot est donné par :
De façon similaire, le coefficient de performance d’un cycle de réfrigération de Carnot peut être
défini par (à partir de l’équation 8.3):
β=
Qb
Tb
1
=
=
Th
Wnet
Th - Tb
−1
Tb
9.8
9.1.5 Inégalité de Clausius
L’énoncé mathématique du deuxième principe est décrit par l’inégalité de Clausius. Pour un
cycle, elle s’exprime par la relation :
δQ
∫ T
≤ 0
9.9
Pour une machine thermique (ou un réfrigérateur) cette intégrale peut s’exprimer sous la forme
suivante :
Q
Q
δQ
9.10
∫ T = Thh - Tbb ≤ 0
Pour un cycle réversible (tel le cycle de Carnot), la relation définie par l’équation 9.6 tient et l'on
peut écrire :
δQ
∫ T
=
Qh Qb
= 0
Th
Tb
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9.11
9-7
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Pour un cycle réel (irréversible), la chaleur rejetée à basse température est toujours plus élevée à
cause des pertes et :
δQ
∫ T
=
Qh Qb
< 0
Th
Tb
9.12
Pour une évolution réversible entre deux états a et b, on peut démontrer que la valeur de
l’intégrale :
b
∫
a
δQ
9.13
T
ne dépend que des états a et b et est donc indépendante du chemin parcouru.
Ceci implique nécessairement la présence d’une nouvelle propriété. Cette nouvelle propriété est
appelée entropie dénotée S (kJ/K) ou sous forme massique par s (kJ/K/kg). On peut donc écrire
pour une évolution réversible :
b
Sb - Sa = ∫ dS =
a
b
∫
a
δQ
T
9.14
Remarquez que l’équation 9.14 définit un changement d’entropie. La définition d’une échelle
absolue d’entropie dépasse le niveau de ce cours. En fait, il existe un troisième principe qui
permet de définir que l’entropie d’une substance pure est égale à zéro lorsque la température
absolue est égale à zéro. Cependant, pour les problèmes d’ingénierie, comme la différence
d’entropie est la notion d’intérêt, il est coutume de définir un datum arbitraire dans les tables de
thermodynamique. Généralement, pour l’eau, l’entropie est définie comme étant égale à zéro
sous des conditions de liquide saturé à 0.01oC.
L’entropie étant une variable thermodynamique au même titre que l’énergie interne ou
l’enthalpie, les équations développées précédemment pour une substance pure et impliquant le
titre sont aussi valides.
En définissant
S t = entropie totale
S g = entropie de la phase vapeur
S f = entropie de la phase liquide
Avec
St = Sg + Sf
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-8
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Les entropies massiques (variables intensives) sont définies par :
s t = S t /m t
s g = S g /m g
s f = S f /m f
On peut aussi exprimer le titre en fonction des entropies massiques et vice-versa à l’aide des
équations suivantes :
s t = s f + x (s g - s f )
x = (s t - s f ) / (s g - s f )
ou, en remplaçant s fg = (s g - s f )
s t = s f + x s fg
x = (s t - s f ) / s fg
Regardons maintenant le cycle de Carnot en fonction de l’entropie.
isothermes, on peut exprimer l’équation 9.14 sous la forme suivante :
Pour les évolutions
b
1
Q
Sb - Sa = ∫ δ Q =
Ta
T
9.15
Et donc dans un diagramme entropie température, l’aire sous une évolution réversible représente
la chaleur absorbée ou dégagée durant cette évolution.
Pour les deux évolutions adiabatiques réversibles, comme Q=0, il s’ensuit que ces évolutions
sont à entropie constante ou isentropique.
Le diagramme suivant nous montre le cycle de Carnot pour une machine thermique représenté
sur un diagramme température entropie.
T
liquide
comprimé
Travail net
produit
Vapeur
surchauffée
Entropie massique kJ/(kg.K)
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-9
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Nous pouvons aussi facilement représenter le cycle de réfrigération de Carnot (en trait foncé)
comparativement au cycle de réfrigération à compression de vapeur (en pointillé) :
Ligne de pression
constante
T
2
liquide
3
comprimé
Vapeur
surchauffée
Travail net
fourni
1
4
Entropie massique kJ/(kg.K)
Dans le cycle de compression de vapeur normal, la compression est considérée comme une
évolution adiabatique réversible, donc isentropique. Dans la soupape de détente, l’évolution est
approximativement adiabatique, mais n’est pas réversible dû aux pertes de charge importantes.
Cette évolution n’est donc pas isentropique. Le cycle à compression de vapeur est préférable au
cycle de Carnot puisque le compresseur n’a qu’à compresser de la vapeur et non un mélange
liquide vapeur.
Pour une évolution irréversible on peut démontrer que :
b
b
Sb - Sa = ∫ dS >
∫
a
a
δQ
T
9.16
Cette équation est importante puisqu’elle démontre l’influence de l’irréversibilité sur l’entropie
d’un système.
Donc, pour une évolution réversible :
b
Sb - Sa = ∫
a
δQ
T
9.17
Mais le moindre effet irréversible durant l’évolution aura pour résultat un changement d’entropie
plus grand selon :
b
Sb - Sa > ∫
a
δQ
T
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9.18
9-10
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
On voit que pour un ajout de chaleur, l’entropie d’un système augmente alors que pour une perte,
l’entropie de ce dernier diminue. Toutefois, on peut démontrer que si l'on considère le système et
son environnement, l’entropie totale augmente toujours pour toute évolution. Ce principe est
appelé principe de l’accroissement de l’entropie.
9.1.6 Principe d'accroissement de l'entropie
Le principe de l’accroissement de l’entropie est l’expression la plus simple du deuxième principe
de la thermodynamique. Les seules évolutions possibles sont celles qui résulteront d’une
augmentation nette d’entropie. Il importe bien de comprendre que l’entropie d’un système peut
diminuer suite à une perte de chaleur. Mais l’augmentation d’entropie subie par le milieu
environnement qui reçoit cette chaleur est nécessairement plus élevée.
L’entropie totale de l’univers ne cesse donc d’augmenter depuis sa création. Méditez sur cet
axiome philosophique…
Pour un système isolé et qui n’échange donc ni travail, chaleur ou masse avec son
environnement, on peut écrire pour toute évolution :
dS ≥ 0
Sfinal - Sinitial ≥ 0
9.19
L’entropie étant une variable extensive, pour tout système isolé composé de sous-systèmes on
peut écrire :
S=
∑m s
i i
9.20
i
Dans le cas d'un système non isolé, si on considère comme macrosystème l'ensemble du système
à l’étude et de son environnement, on peut écrire en dénotant la variation d'entropie du
macrosystème par ∆S net on peut écrire:
∆Snet = ∆Ssys + ∆Senv ≥ 0
9.21
L’exemple suivant illustre cet état des choses pour un système isolé.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-11
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Exemple :
Un réservoir isolé contient 5 kg d’eau à 500oC à 1 MPa et 5 kg d’eau à 1000oC à la même
pression de 1 MPa. Les deux volumes sont séparés par une membrane. Vous laissez la
température s’équilibrer. Calculez le changement d’entropie.
5kg
500oC
5kg
1000oC
Solution :
9.2 Machines thermiques
Comme énoncée précédemment, une machine thermique est un appareil qui produit un travail net
au cours d’un cycle en prenant de la chaleur d’un corps chaud et en rejetant de la chaleur vers un
corps froid :
T1
Q1
T2 > T1
Q2 > Q1
W
Machine thermique
Q2
T2
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-12
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
de telle sorte que pour un cycle
Wnet = Q net
9.22
Comme le travail net doit être positif, la quantité de chaleur à haute température fournie au
système doit être plus élevée que la chaleur rejetée. Le rendement d’une machine thermique tel
que défini à l’équation 9.4 est donc donné par :
η=
Wnet
Q - QB
Q
= H
=1- B
QH
QH
QH
9.23
L’étude des machines thermiques est le domaine du génie mécanique. Nous ne verrons ici
qu’une brève introduction des principes de base.
Substance de travail
La substance de travail est le fluide qui absorbera ou cédera de la chaleur au cours du cycle.
Cette substance peut être une substance pure, telle la vapeur d’eau, être considérée comme une
substance pure (telle que l’air) ou être une substance binaire ou tertiaire.
Source de chaleur
La source de chaleur est, la majorité du temps obtenue suite à la combustion d’un combustible
quelconque.
Combustion
d’un combustible
Combustion
interne
Combustion
externe
Source de
chaleur
Sans
combustion
Ignition à la
bougie
Ignition à la
compression
nucléaire
Énergie
solaire
Les machines thermiques à combustion externe regroupent principalement les machines à vapeur
utilisées dans les centrales thermoélectriques.
Dans une machine à combustion externe, les produits de combustion chauds sont séparés de la
substance de travail par un mur conducteur. Dans une machine à combustion interne, les gaz de
combustion sont eux-mêmes la substance de travail. Bien que généralement plus complexes, les
machines à combustion interne sont plus compactes permettant ainsi une utilisation plus
compacte comme pour les automobiles.
Arrangement mécanique
Les machines à déplacement positif impliquent un mouvement d’une pièce mécanique dans la
même direction que le fluide qui agit comme substance de travail. Les machines à mouvement
alternatif (piston) sont utilisées entre autres pour les moteurs des automobiles alors que les
pompes centrifuges sont un bon exemple d’une machine à mouvement rotatif.
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-13
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Déplacement
positif
Mouvement
alternatif
Mouvement
rotatif
Arrangement
mécanique
Déplacement
non-positif
turbine
Jet
Moteur de
fusée
Pour qu’une machine thermique fonctionne avec succès, elle doit suivre un cycle d’opérations de
manière séquentielle. Pour les moteurs à combustion interne, les deux cycles les plus répandus
sont ceux de l’ignition à étincelle crédité à Nicolaus Otto (1876) et le cycle d’ignition à
compression de Rudolf Diesel (1892). Les cycles correspondants sont généralement appelés les
cycles d’Otto et de Diésel. Le principe d’un moteur quatre temps avec bougie d’allumage est
présenté ci-dessous de même que le cycle correspondant.
P
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-14
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Problèmes
Problème 1
Un moteur à combustion interne a une température maximum de combustion de 1500oC. La
température du gaz à la sortie est de 450oC. Quelle est l'efficacité maximum possible du moteur?
L'installation d'un tuyau d'échappement haute performance réduit la température de sortie à
250oC. Quel est l'effet sur l'efficacité maximum possible ?
Rép.: 59.2%, augmente à 70.5%
Problème 2
Un moteur fonctionnant sur le cycle de Carnot a une efficacité de 60% et opère à une température
minimum de 20oC. Déterminez la température maximum du cycle et le taux de transfert de
chaleur si la puissance à la sortie (travail) est de 24 kW.
Rép.: 460 oC, 40 kW
Problème 3
Un moteur à combustion interne utilise de l'huile dont le contenu en énergie est de 44.4 MJ/kg à
un taux de 5 kg/h. Si l'efficacité est de 28%, calculez la puissance de sortie ainsi que le taux de
rejet de chaleur.
Rép.: 17.3 kW, 44.4 kW
Problème 4
Un collecteur d'énergie thermique dans l'océan opère à un endroit où la température de l'eau en
surface est de 24oC et la température en profondeur est de 8oC. L'efficacité de l'usine est 50% de
l'efficacité maximum théorique. Déterminez le débit d'eau minimum d'eau chaude et d'eau froide
pour une puissance de 1MW. Prenez la chaleur massique de l'eau égale à 3.7 kJ/kg/K.
Rép.: 627 kg/sec, 610 kg/sec
Problème 5
On se propose de chauffer une maison pendant l’hiver avec une thermopompe. Il faut garder la
maison à 20° C en tout temps. On estime que lorsque la température extérieure descendra à -10°
C, le taux des pertes de chaleur par la maison sera de 25 kW. Quelle est la puissance électrique
minimale requise pour entraîner la thermopompe ?
Rép.: P =
2,558 kW
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-15
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Problème 6
Un réfrigérateur de Carnot fonctionne dans une pièce où la température est de 20° C. Il faut
retirer 5 kW de la chambre froide pour conserver sa température à -30° C. Quelle puissance de
moteur faut-il pour faire fonctionner ce réfrigérateur ?
Rép.: P = 1,03 kW
Problème 7
On se propose de construire une machine thermique cyclique pour fonctionner dans l’océan, à un
endroit où la température de l’eau est de 20° C près de la surface et de 5° C à une certaine
profondeur. Quel est le rendement thermique maximal possible d’une telle machine ?
Rép: rendement théorique maximal = 0,051
Problème 8
On utilise une machine cyclique pour faire passer de la chaleur d’un réservoir chaud à un
réservoir froid (voir figure ci-dessous). Déterminez si une telle machine est réversible,
irréversible ou impossible à réaliser avec les échanges d’énergie indiqués.
Rép.: Machine impossible
Tc = 1000 K
Qc = 325 kJ
machine cyclique
W = 200 kJ
Qf = 125 kJ
Tb = 400 K
Problème 9
Soit une machine thermique de Carnot qui fonctionne entre des réservoirs dont les températures
sont de 1000° C et 0 ° C et qui reçoit 1000 kJ de chaleur du réservoir chaud.
a) En choisissant le fluide moteur comme système, représentez le cycle au moyen d’un
diagramme T-S.
b) Calculez le travail net et le rendement thermique de ce cycle.
c) Calculez la variation d’entropie des réservoirs chaud et froid.
Rép.: b) Wnet
c) ∆S
= 785, 6 kJ
= 0,785 kJ/K
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-16
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
Problème 10
Une thermopompe de Carnot utilise du fréon 12 comme fluide moteur. De la chaleur est cédée par le
fréon à 40° C et, pendant cette évolution, le fréon passe de l’état de vapeur saturée à l’état de liquide
saturé. On fournit de la chaleur au fréon lorsqu’il est à 0° C.
a) Représentez ce cycle dans un diagramme T-s;
b) Calculer le titre au début et à la fin de l’évolution isotherme 0° C;
c) Calculez le coefficient de performance du cycle.
Rép.: b) x 2 = 0,234;
x 3 = 0,975 c) CDP = 7,83
Problème 11
Soit une machine de Carnot qui utiliser de la vapeur d’eau comme fluide moteur et qui a un
rendement thermique de 25%. De la chaleur est transmise au fluide moteur à 300° C et pendant cette
évolution l’eau passe de l’état de liquide saturé à l’état de vapeur saturée.
a) Représentez ce cycle dans un diagramme T-s;
b) Calculez le titre du fluide moteur au début et à la fin de l’évolution de refroidissement isotherme;
c) Calculez le travail net fourni par kilogramme d’eau.
Rép.: b) x 1
= 0,28; x 4 = 0,78
c) WNet
= 351,1 kJ/kg
Problème 12
Un cylindre de 10 L fermé par un piston contient de la vapeur saturée d’ammoniac à -20° C. On
augmente la force extérieure qui agit sur le piston pour comprimer le gaz de façon adiabatique et
réversible jusqu’à ce qu’il atteigne une pression de 1,8 MPa. Calculez le travail effectué pendant
l’évolution.
Rép.: W12
= -4,36 kJ
Problème 13
Un cylindre hautement isolé et fermé par un piston contient de l’ammoniac à 10° C. On déplace le
piston pour comprimer l’ammoniac par un procédé réversible jusqu’à ce que la pression atteigne 2
MPa; la température est alors de 70° C. Au cours de l’évolution, il y a 400 kJ de travail fourni au
système. Quel était le volume initial du cylindre ?
Rép.: V 1 = 0,605 m3
Problème 14
Un cylindre isolé et fermé par un piston contient du fréon 12 à 600 kPa et 40° C dans un volume de
100 L. Le fréon se détend et déplace le piston jusqu’à ce que la pression dans le cylindre ne soit plus
que de 100 kPa. On affirme que le fréon effectue un travail de 75 kJ sur le piston pendant cette
évolution. Est-ce possible ?
Rép.: ∆S Net = 0,0748 kJ/K; possible
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-17
Chapitre 9 : Second principe de la thermodynamique
CTN-326 : Mécanique des fluides et thermodynamique
9-18
R134a - saturation: table de température
T
C
-24
-22
-20
-18
-16
-14
-12
-10
8
12
16
20
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
48
52
56
60
70
80
90
100
P
kPa
vf
m3/kg
111.60
121.92
132.99
144.83
157.48
170.99
185.40
200.73
387.56
442.94
504.16
571.60
645.66
685.30
726.75
770.06
815.28
862.47
911.68
962.98
1016.40
1072.00
1129.90
1252.60
1385.10
1527.80
1681.30
2116.20
2632.40
3243.50
3974.20
0.000730
0.000733
0.000736
0.000740
0.000743
0.000746
0.000750
0.000753
0.000788
0.000797
0.000806
0.000816
0.000826
0.000831
0.000836
0.000842
0.000847
0.000853
0.000859
0.000865
0.000871
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