Machines thermiques avec changements d`état - Jean

Machines thermiques avec changements d’état
I38. Étude d'une pompe à chaleur destinée au chauffage d'une habitation(ESIM 1992).
T2 T1
T2 T3
Une pompe à chaleur à fréon 22 (CHF2Cl : difluorochlorométhane) prélève de la chaleur à un circuit d'eau froide et
cède de la chaleur à de l'eau chaude qui circule dans le sol de l'habitation.
Le fréon décrit un cycle :
– dans l'évaporateur, il subit une évaporation complète sous la pression de vapeur saturante p2 et à la température
T2 ; – le fréon gazeux sort du compresseur à la température T3 et sous la pression p1 ;
– dans le condenseur le fréon gazeux se refroidit, puis se liquéfie complètement sous la pression de vapeur saturante
p1 et à la température Tl ;
– en traversant le détendeur, le fréon subit une détente de Joule-Thomson, passant de T1, p1 à T2, p2 ; cette détente
s'accompagne d'une vaporisation partielle du liquide.
Tous les calculs seront réalisés pour une masse m = 1 kg de fréon et on pose :
– Lv (T) : chaleur latente de vaporisation du fréon ;
– cL : capacité thermique massique du fréon liquide, supposée indépendante de T et de p ;
– le fréon gazeux est assimilé à un gaz parfait de masse moléculaire molaire M, et pour lequel ; 1, 2 0γ=
– l'énergie cinétique macroscopique ainsi que l'énergie potentielle de pesanteur seront négligées dans tout le
problème ;
– le volume massique du fréon liquide est indépendant de la pression et de la température ;
L
v
– l'installation fonctionne en régime permanent.
Données :
11
21 2 1
11 5 5
21
31 11
31
273 K; 305 K; ( ) 205 kJ.kg ; ( ) 175 kJ.kg ;
1, 38 kJ. kg .K ; 5.10 Pa; 12, 65.10 Pa;
0, 75 dm .kg ; 8, 31J.mol .K ;
masse molaire du fréon : 86,5.10 kg.mol .
vv
L
L
TTLT LT
cpp
vR
M
−−
−−
−−−
−−
== = =
===
==
=
0. Préliminaire.
0.1. Montrer que la capacité thermique massique à pression constante du fréon gazeux est (1)
p
R
cM
γ
γ
=−
0.2. La calculer numériquement.
0.3. Un fluide traverse une machine stationnaire. Par unité de masse de fluide transvasé, la machine reçoit un travail
et une chaleur q. Montrer qu’avec les approximations du problème définies précédemment la différence d’enthalpie
massique h entre la sortie et l’entrée, représentées par des indices set e, obéit à
w′
se
hh wq
′
−=+
1. Étude de la compression.
1.1. La compression est adiabatique et réversible ; en déduire T3, puis le travail w en fonction des données.
′
1.2. Quelle est la variation d'entropie massique du fréon ?
2. Passage dans le condenseur.
DS : machines thermiques avec changements d’état, page 1

2.1. Calculer la quantité de chaleur reçue par le fréon.
1
q
2.2. Calculer sa variation d'entropie massique.
3. Passage dans le détendeur.
3.1. Le détendeur est un robinet, auquel on ne fournit ni travail, ni chaleur. Quelle est la variation de l’enthalpie du
fréon ?
3.2. En déduire la fraction massique x de fréon gazeux à la sortie du détendeur.
3.3. Calculer la variation d'entropie massique du fréon.
3.4. Commenter.
4.Passage dans l'évaporateur.
4. 1. Calculer la quantité de chaleur reçue par le fréon.
2
q
4.2. Calculer sa variation d'entropie massique.
5. Efficacité.
Le compresseur est entraîné par un moteur électrique de rendement électro-mécanique r = 0,8.
Définir l'efficacité e de cette pompe à chaleur et l'évaluer.
Si on peut faire varier Tl et T2, pour quelles valeurs de ces paramètres l’efficacité est-elle la meilleure ? Quel
avantage présente ce chauffage par rapport au chauffage électrique ?
6.Étude du cycle.
6. 1. Vérifier le bilan énergétique du cycle.
6.2. Vérifier le bilan entropique du cycle.
6.3. Utilisation d'un diagramme entropique.
Déterminer l'équation d'une isobare dans la partie correspondant à l’état gazeux du diagramme entropique (s en
abscisse, T en ordonnée).
Tracer qualitativement l'isobare p1.
Par quel déplacement la courbe isobare correspondant à p2 se déduit-elle de celle correspondant à p1 ?
Comment sont représentées la vaporisation et la condensation à pression constante dans le diagramme entropique ?
Comment est représentée la détente de Joule-Thomson dans ce diagramme ?
Représenter qualitativement sur le diagramme précédent le cycle.
Montrer que le travail w reçu par le fréon est supérieur à l'aire du cycle.
′
7. Fonctionnement de l’installation.
Cette pompe à chaleur sert à compenser les pertes de chaleur de l'habitation maintenue à la température T4 = 293 K,
alors que la température extérieure est Te = 273 K.
DS : machines thermiques avec changements d’état, page 2
dt1
7.1. Dans le but d'évaluer ces pertes, on coupe le chauffage ; la température de l'habitation passe alors en une durée
= 4 heures de Tt∆4 = 293 K à T5 = 283 K. On admet que la quantité de chaleur perdue pendant la durée d t petite
s'écrit , où désigne la capacité thermique de l'habitation, T sa température à
l'instant t, et a une constante dépendant de l'isolation.
()
e
QakTTδ=−− 7 2.10 J.Kk− =
Donner une équation différentielle décrivant l'évolution T (t) ; en déduire a.
7.2. Calculer la puissance électrique consommée pour maintenir la température de l'habitation à la valeur
constante T e
P
4.
7.3. L'eau qui alimente la source froide subit une chute de température degrés centésimaux durant la
traversée de l'échangeur. En déduire son débit massique. 4T∆=
Capacité thermique massique de l'eau froide utilisée : .
11
4, 18 kJ . kg . K
f
c−− =
II30. Etude d'un climatiseur.
On s'intéresse au fonctionnement d'un appareil de climatisation, dont le but est de maintenir une température
constante (T0 = 20°C) dans un local été comme hiver. Le climatiseur fonctionne donc en pompe à chaleur l'hiver, en
machine frigorifique l'été. Les transferts thermiques du climatiseur se font avec 2 sources :
• L'intérieur de la pièce (à T0).
• L'atmosphère extérieure (on prendra T1 = 0°C en hiver ; T2 = 40°C en été afin de prévoir des conditions
« extrêmes »).
Le fluide caloporteur qui effectue des cycles dans l'appareil est l'ammoniac. Ses caractéristiques thermodynamiques
sont résumées dans le diagramme entropique T(S) où sont représentées :
• les isenthalpiques (H est donné en kJ/kg) ;
• les isobares (représentées par dans le domaine « vapeur sèche »).
On donne, par ailleurs, les pressions de vapeur saturante Ps(T) aux trois températures d'étude
Ps(0°C) = 4,3 bars Ps(20°C) = 8,2 bars Ps(40°C) = 15 bars

On se limitera à l'étude du climatiseur en régime permanent. Par un jeu de vannes adéquat, le fluide peut circuler
dans un sens pour chauffer la pièce (A, B, C, D, A) ; dans l'autre sens pour la rafraîchir (B, A, D, C, B).
Le circuit comporte 2 parties isobares
• L'une à la pression de vapeur saturante de l'ammoniac à 20°C (côté local) ;
• L'autre à la pression de vapeur saturante de l'ammoniac à Text (côté atmosphère extérieure).
Par ailleurs, on suppose l’énergie cinétique du fluide
négligeable ; alors, à la traversée d'une partie active (compresseur,
détendeur ou échangeur) l'énergie reçue par le fluide circulant en
régime permanent vérifie :
∆h = hs – he = w + q
si he et hs sont les enthalpies massiques du fluide à l'entrée et à
la sortie ; w et q étant le travail et la chaleur utiles reçus (c'est-à-
dire échangés avec l'extérieur du circuit, excluant le travail des
forces de pression) par kilogramme de fluide traversant la partie act
Le fl ive. uide subit des échanges de chaleur isobares (sans recevoir de travail utile) dans les échangeurs E et E2 avec les 2
so
à la plus forte
pr dans le détendeur (la détente est donc
ise
réalise-t-on un détendeur (détente isenthalpique d'un fluide) ? Quel autre nom porte une telle
dét e premier principe de thermodynamique est bien vérifié dans une partie active ; c'est pourtant ∆h (et non ∆u )
qu .
2.
eur E est un condenseur : l'ammoniac y entre en B sous forme de vapeur sèche ; il en ressort sous
fo vapeur qui entre en D se vaporise totalement pour
res uement sa
tem 1kg d'ammoniac traité (on rappelle que E, E2 et le compresseur sont des
pa l w fourni par le compresseur au fluide ; l) lors du passage dans l'échangeur E ;
t de performance η du climatiseur. Quel intérêt présente une telle installation
par
l
urces de chaleur (local et atmosphère extérieure). Un système de ventilation permet d'améliorer les échanges
thermiques : la température du fluide est celle de la source d'échange à la sortie de chacun d'entre eux.
Le compresseur comprime de manière adiabatique réversible le fluide à l'état gazeux de la plus faible
ession. L'unité de masse de fluide traité y reçoit le travail utile w.
Le fluide subit une détente adiabatique, sans échange de travail utile,
nthalpique).
1. Généralités
1-1- Comment
ente ?
1-2- L
i est égal à (w + q)... Expliquer qualitativement (sans entrer dans le détail d'une démonstration) cette différence.
1-3- Par lecture du graphe, déduire les enthalpies massiques de vaporisation de l'ammoniac à 0°C, 20°C et 40°C
Fonctionnement hivernal du climatiseur (chauffage)
Dans ce cas :
• l'échang l
rme de liquide saturant en C, à la température T0 du local ;
• l'échangeur E2 est un évaporateur : le mélange liquide
sortir sous forme de vapeur saturante en A à la température de l'atmosphère extérieure T1 = 0°C.
2-1- Tracer le cycle (en l'orientant) de l'ammoniac sur le diagramme entropique. Trouver graphiq
pérature TB à la sortie du compresseur.
2-2- Déterminer (graphiquement), pour l
rties actives) :
• Le travai
• La chaleur qc reçue par le fluide (de la part du loca l
• La chaleur qf reçue par le fluide (de la part de l'extérieur) lors de son passage dans E2.
Faire un bilan énergétique du cycle.
2-3- Définir et calculer le coefficien
rapport à un chauffage électrique ? Quel serait le coefficient de performance η’ si le fluide effectuait des cycles de
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Carnot en effectuant les échanges thermiques avec les mêmes sources de chaleur ? En quoi le cycle effectué diffère-t-il
d'un cycle de Carnot ?
2-4- Quelle est la fraction massique de vapeur XD à la sortie du détendeur ?
2-5 En supposant que l'ammoniac, à l'état gazeux dans le compresseur, est assimilable à un gaz parfait de
coefficient adiabatique γ constant, exprimer le rapport Ts/Te (des températures absolues de sortie et d'entrée dans le
compresseur) en fonction de γ et Ps/Pe (rapport des pressions de sortie et d'entrée du compresseur). En déduire l'indice
adiabatique γ du gaz ammoniac.
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III56. Chauffage d’une piscine à l'aide d'une pompe à chaleur.
Capacité calorifique massique de l'eau : c0 = 4,18 J.g–1.K–1
DS : machines thermiques avec changements d’état, page 5
Masse volumique de l'eau : ρeau = 10 kg.m
ne pompe à chaleur permet de maintenir constante la température de l'eau de la piscine ; on se placera donc en
ré est
int i (compris entre 1 et 5) du cycle, on note Pi, Ti et Vi la pression, la température et le volume du
flu ation d’entropie ∆S de la vapeur assimilée à un gaz parfait pour une transformation isobare entre
les 1 donne l'allure de la courbe d'équilibre liquide-vapeur du fluide considéré dans le
di une des cinq
flèches les sens réels des flux thermiques et du travail.
In iser un changement d’état ? Quel est l'intérêt d'utiliser un fluide
ca ynamique η de la pompe à chaleur. Montrer que l'efficacité réelle de
to
l'air. Dans les conditions précisées
pl
aleur puisse maintenir la température
de
I 2004).
On modélise un congélateur par une machine où circule un fluide, le tetrafluoroéthane R134a, dont le diagramme
pression-enthalpie massique P,h est joint. Dans ce diagramme sont représentées les isothermes, les isochores, les
isentropiques et la courbe de saturation qui délimite les régions du liquide, de la vapeur et du mélange liquide-vapeur.
Chaleur latente massique de vaporisation de l'eau : Lvap = 2800 J.g–1
3 –3
U
gime permanent. La machine thermique fonctionne avec deux sources de chaleur (thermostats) : l'air extérieur de
température Text = 283 K et l'eau de la piscine de température Teau = 299 K. Le fonctionnement de la pompe à chaleur
basé sur le cycle d'un fluide caloporteur ayant une température d'ébullition basse. Le fluide caloporteur, initialement
sous forme d’un mélange liquide-vapeur au point 1, traverse l'évaporateur où l'air extérieur lui permet de subir une
vaporisation complète et de se transformer en vapeur saturante (trajet 1-2). Le compresseur comprime ensuite cette
vapeur (trajet 2-3), de façon adiabatique et réversible. Au niveau du condenseur, la vapeur surchauffée voit d'abord sa
température descendre jusqu'à Teau en suivant une transformation isobare (trajet 3-4). Le fluide caloporteur, toujours
comprimé, redevient ensuite liquide saturé (trajet 4-5). La soupape de détente réduit la pression du fluide caloporteur
(trajet 5-1), transformation au cours de laquelle la température du fluide s'abaisse fortement le rendant prêt pour un
nouveau cycle.
1) Pour un po
ide caloporteur.
a. Calculer la vari
températures T3 et T4.
b. Le dessin de la figure
agramme (T,S). On y a repéré le point 1 correspondant au début du cycle (en fait, ce point n’est placé
qu’approximativement). Reproduire le schéma sur votre feuille et placer les points 2, 3, 4 et 5. Pour chac
étapes, justifier rapidement l’allure des courbes ainsi obtenues.
2) Reproduire le diagramme de la figure 2 et indiquer par des
diquer dans quelles étapes du cycle ces flux ont lieu.
3) Quel est l'intérêt, pour une pompe à chaleur, d’util
loporteur de température d'ébullition basse ?
4) Donner la définition de l'efficacité thermod
ute pompe à chaleur est inférieure à l’efficacité obtenue dans le cas d’un fonctionnement réversible utilisant des
sources de même températures et calculer cette dernière efficacité. On a ici η = 5.
5) Les pertes de la piscine sont essentiellement dues à l'évaporation de l'eau dans
us haut, le taux d'évaporation par heure et par mètre carré de surface d'eau est de α = 150 g.h–1.m–2. En déduire
l'énergie perdue pendant une heure par l'eau de la piscine, de surface S = 250 m2.
6) Quel doit être le travail que l'on doit fournir au fluide pour que la pompe à ch
la piscine constante pendant une heure ? Comparer ce travail à l'énergie qu'il aurait fallu fournir si on chauffait l'eau
de la piscine avec une simple résistance électrique.
IV32. Réfrigérateur (d’après X-Cachan PS