Etude des transformateurs Première partie : Transformateurs

Transformateurs Page 1 sur 23 TS2ET 2006-2007
Etude des transformateurs
Première partie : Transformateurs monophasés
I. Généralités
1. Constitution
Un transformateur comporte :
- un circuit magnétique constitué de tôles de matériaux
ferromagnétiques (ou ferrimagnétiques) et éventuellement
d’entrefers.
- de deux (ou plus) bobinages, l’un est appelé primaire, les autres
secondaires.
Sur la figure ci-contre, le bobinage de gauche est le primaire, celui
de droite est le secondaire.
Dans les transformateurs industriels, les enroulements sont bobinés
sur le même noyau. Voir ci-contre un exemple de transformateur
cuirassé constitué de tôles en « E » et « I ».
Pour faciliter le refroidissement, l’enroulement parcouru par
l’intensité la plus élevée est placé à l’extérieur.
i
1
(t)
v
1
(t)v
2
(t)
i
2
(t)
2. Orientation des tensions et intensités
Généralement l’enroulement primaire est orienté avec la convention
récepteur alors que les secondaires sont orientés avec la convention
générateur.
Les courants sont orientés de manière à ce que les flux créés
s’additionnent : voir le schéma du paragraphe précédent et celui ci-
contre pour le repérage des têtes d’enroulement.
i
1
(t)
v
2
(t)
i
2
(t)
v
1
(t)
Les nombres de spires au
primaire et au secondaire sont
notés respectivement n
1
, n
2
.
II. Transformateur parfait
1. Présentation
Le circuit magnétique d’un transformateur parfait présente une perméabilité magnétique infinie : sa
réluctance est nulle, il n’y a pas de fuites de flux, pas de pertes ferromagnétiques (hystérésis et courants de
Foucault). La résistance des enroulements est nulle (pas de pertes par effet Joule).
2. Mise en équation
a. Tensions
Le flux à travers une section du circuit magnétique est noté Φ(t).
Exprimer le flux total Φ
Τ1
(t) pour l’enroulement primaire.
T1 1
( ) ( )
t n t
Φ = Φ
Exprimer le flux total ΦΤ2(t) pour l’enroulement secondaire.
T2 2
( ) ( )
t n t
Φ = Φ
i
1
(t)
v
1
(t)v
2
(t)
i
2
(t)
Φ(t)(t)(t)(t)

Transformateurs Page 2 sur 23 TS2ET 2006-2007
Exprimer la tension v1(t) en fonction de ΦΤ1(t) (loi de Faraday) :
T1
1
d ( )
( )
d
t
v t
t
Φ
=.
Exprimer la tension v
2
(t) en fonction de Φ
Τ2
(t) :
T2
2
d ( )
( )
d
t
v t
t
Φ
= − .
Déduire de ce qui précède la relation entre v
1
(t), v
2
(t), n
1
et n
2
.
T1 1
1
d ( ) d ( )
( )
d d
t n t
v t
t t
Φ Φ
= = et
T2 2
2
d ( ) d ( )
( )
d d
t n t
v t
t t
Φ Φ
= − = − , en éliminant Φ(t), on obtient :
2 2
1 1
( )
( )
v t n
v t n
= −
. Le
signe traduit une opposition de phase entre les tensions primaire et secondaire
Si les grandeurs sont sinusoïdales, les nombres complexes V
1
et V
2
sont associés à v
1
(t) et v
2
(t). Ecrire la
relation entre V
1
, V
2
, n
1
et n
2
puis la relation entre V
1
, V
2
, n
1
et n
2
(V
1
et V
2
sont les valeurs efficaces de v
1
(t) et
v
2
(t)).
Pour les nombres complexes associés :
2 2
1
1
n
V
V n
= −
Pour les valeurs efficaces :
2 2
1 1
V n
V n
= (remarque : les valeurs efficaces sont positives).
Comparer les valeurs efficaces des tensions primaire et secondaire si n
1
> n
2
.
Dans ce cas, la valeur efficace de la tension secondaire est inférieure à la valeur efficace de la tension
primaire, le transformateur est abaisseur.
Le transformateur est dit abaisseur si la valeur efficace de la tension secondaire est inférieure à la valeur
efficace de la tension primaire, il est dit élévateur dans le cas contraire.
b. Intensités
Ecrire la relation d’Hopkinson pour le circuit magnétique. En tenant compte de la valeur de la réluctance
(voir la présentation), écrire la relation entre i
1
(t), i
2
(t), n
1
et n
2
.
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
t n i t n i t
ℜΦ = + car les forces magnétomotrices primaire et secondaire s’ajoutent (voir l’orientation
des intensités par rapport aux têtes d’enroulement). Puisque le transformateur est parfait
0
ℜ =
, la relation
d’Hopkinson devient :
1 1 2 2
0 ( ) ( )
n i t n i t
= + (loi de compensation des ampères tours).
Si les grandeurs sont sinusoïdales, les nombres complexes I
1
et I
2
sont associés à i
1
( t ) et i
2
( t ). Ecrire la
relation entre I
1
, I
2
, n
1
et n
2
puis la relation entre I
1
, I
2
, n
1
et n
2
( I
1
et I
2
sont les valeurs efficaces de i
1
( t ) et
i
2
( t )).
Pour les nombres complexes associés :
2
1
1
2
n
I
I n
= −
Pour les valeurs efficaces :
2 1
1 2
I n
I n
=
(remarque : les valeurs efficaces sont positives).
Comparer les valeurs efficaces des intensités primaire et secondaire si n
1
> n
2
. Dans ce cas, l’intensité
efficace au primaire est plus faible que celle au secondaire. Un transformateur abaisseur (de tension) élève
les intensités.
c. Rapport de transformation
On note m le rapport du nombre de spires secondaires sur le nombre de spires primaires. Cette grandeur est
appelée « rapport de transformation ».
Ecrire la relation entre I
1
, I
2
et m et celle entre V
1
, V
2
et m :
2 1
1
I I
m
= − et
2 1
V mV
= −
Pour les valeurs efficaces, ces relations deviennent
2 1
1
I I
m
= et
2 1
V mV
=
Les deux relations ci-dessus sont à connaître par cœur.
Conséquences : que peut-on dire des puissances apparentes au primaire et secondaire ?

Transformateurs Page 3 sur 23 TS2ET 2006-2007
Au primaire, la puissance apparente s’écrit
1 1 1
.
S V I
= or
1 2
I mI
= et
1 2
1
V V
m
= donc
1 2 2 2 2 2
1. .
S V mI V I S
m
= = =
. Les puissances apparentes au primaire et au secondaire sont égales pour un
transformateur parfait.
Remarque : le transformateur étant réversible, la définition du primaire et du secondaire n’intervient qu’après
son branchement. A cause de cela la norme définit le rapport de transformation comme le rapport de la
valeur efficace de tension la plus élevée sur la plus faible. Cette définition (différente de la précédente) ne
sera pas utilisée ici (cours, TP et exercices) ni à priori lors de l’examen.
d. Relation de Boucherot
En partant de la loi de Faraday pour le primaire (voir 2.a), déterminer pour une alimentation sinusoïdale
l’expression de la valeur efficace V
1
de la tension au primaire du transformateur en fonction du nombre de
spires primaire n
1
, de la fréquence f et du flux maximal Φ
m
à travers une section droite du circuit magnétique.
1
1
d ( )
( )
d
n t
v t
t
Φ
= soit en notation complexe (fonctionnement sinusoïdal)
1
j
V
= ωΦ
et pour les valeurs
efficaces
1 1
V n
= ωΦ
Puisque
2
f
ω= π
et
m
2
Φ
Φ = , la relation devient
m
1 1
2
2
V n f
Φ
= π
Rappeler la relation entre le flux maximal, le champ magnétique maximal B
m
et la section droite S du circuit
magnétique :
m m
B S
Φ =
Déduire de ce qui précède la relation entre V
1
, n
1
, f, B
m
et S :
1 1 m 1 m
24,44
2
V n fB S n fB S
π
= =
Pour V
1
et B
m
donnés, comment évolue le produit « nombre de spires primaire x section du circuit
magnétique » si la fréquence augmente ? Quel intérêt économique cela peut-il présenter ?
La relation
1
1m
1
4,44
V
n S
B f
= montre que pour V
1
et B
m
fixés, une augmentation de la fréquence entraîne une
diminution de la taille du transformateur (moins de matière utilisée et gain de place).
Exercice I
Tous les transformateurs étudiés dans cet exercice sont supposés parfaits.
1. Calculer le nombre de spires au secondaire d’un transformateur dont les valeurs efficaces des tensions
primaire et secondaire sont égales à 220 V et 24 V et qui comporte 100 spires au primaire.
La relation
2 2
1 1
V n
V n
= a été établie précédemment donc
2
2 1 1
24
100 11
220
V
n n V
= = =
spires
2. Calculer l’intensité efficace des courants primaire et secondaire d’un transformateur 230 V / 48 V de
puissance apparente 750 VA.
Pour le primaire
1 1 1
.
S V I
= donc
1
11
750
3,26A
230
S
IV = = =
a. si il y a un seul enroulement secondaire.
2 2 2
.
S V I
= donc
2
22
750
15,6A
48
S
IV = = =
b. si il y a deux enroulements secondaires.
2 2 2
2 .
S V I
= donc
2
22
750
7,8A
2. 2.48
S
IV = = =

Transformateurs Page 4 sur 23 TS2ET 2006-2007
Exercice II
On considère le montage représenté ci-contre. Le transformateur est
supposé parfait (son rapport de transformation est noté m).
1. Ecrire la relation entre v
2
(t), i
2
(t) et R.
2 2
( ) ( )
v t Ri t
=
v
1
(t)
i
1
(t)
i
2
(t)
v
2
(t)R
2.a. Exprimer v
2
(t) en fonction de v
1
(t) et du rapport de transformation.
2 1
( ) ( )
v t mv t
= −
b. Exprimer i
2
(t) en fonction de i
1
(t) et du rapport de transformation.
2 1
1
( ) ( )
i t i t
m
= −
3. En déduire la valeur littérale de la résistance « vue » par le générateur branché au primaire du
transformateur : d’après ce qui précède
1 1
1
( ) ( )
mv t R i t
m
− = − soit
1 1
2
1
( ) ( )
v t R i t
m
= donc
eq
2
R
R
m
=. Si le
transformateur est abaisseur (m < 1) alors la résistance R vue du primaire est plus élevée.
4. On considère maintenant le montage ci-contre :
a. Déterminer la valeur littérale de la résistance R
s
« vue »
du secondaire du transformateur.
Loi des mailles au primaire :
1 s 1 2
1
( ) ( ) ( ) 0
v t R i t v t
m
− + =
Comme
1 2
( ) ( )
i t mi t
= − alors
1 s 2 2
1
( ) ( ) ( ) 0
v t R mi t v t
m
+ + =
En multipliant par m l’équation précédente :
2
1 s 2 2
( ) ( ) ( ) 0
mv t m R i t v t
+ + =
Cette équation est « représentée » sur le schéma équivalent
ci-contre. Dans le cas d’un transformateur abaisseur, la
résistance R
eq
ramenée au secondaire est plus faible.
2
eq s
R m R
=
v
1
(t)
i
1
(t)
R
s
i
2
(
t
)
v
2
(t)
v
1
(t)
i
1
(t)R
s
i
2
(t)
v
2
(t)
v
2
(t)
1
m
v
1
(t)
i
1
(t)m
2
R
s
i
2
(t)
v
2
(t)
mv
1
(t)
b. Application à l’étude des circuits RLC (voir le TP n°1)
Dans le TP n°1, un transformateur 220 V / 24 V (supposé parfait) est placé en sortie du GBF. Sa résistance
de sortie est notée r
s
et égale à 50 Ω. Calculer la résistance de sortie du GBF vue du secondaire.
2
1
24
0,109
220
V
mV = = = et d’après ce qui précède
2
eq
0,109 .50 0,59
R
= = Ω
. Cette valeur est négligeable
devant les valeurs de résistances utilisées par ailleurs dans le TP.
III. Transformateur réel
1. Présentation
Dans cette partie, il est tenu compte de la résistance des enroulements, la perméabilité magnétique du circuit
magnétique n’est plus infinie, il y a des fuites de flux et les pertes dans le fer ne sont plus nulles.
Dans ces conditions, l’intensité appelée par le primaire du transformateur n’est plus sinusoïdale : les bobines
réelles sont remplacées par des bobines fictives (voir le cours sur les bobines à noyau de fer).
2. Schémas équivalents
a. A vide (l’intensité circulant dans le secondaire du transformateur est nulle)
Le modèle équivalent du transformateur à vide fait apparaître les mêmes éléments que pour une bobine à
noyau de fer auxquels est rajouté un transformateur parfait selon le schéma ci-dessous.

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Au primaire du transformateur
figurent :
- la résistance r
1
de l’enroulement,
- l’inductance de fuites l
1
au
primaire,
- la résistance R
f
qui consomme
les pertes dans le fer,
- l’inductance L
m
parcourue par le
courant magnétisant.
V
20
= - mV'
1
m
I
1t
L
m
I
1m
I
10
I
1f
R
f
V'
1
r
1
ω
j
l1
I
1
V
1
Transformateur parfait
Ecrire la relation entre V
1
, V’
1
, I
1
, la résistance du primaire et l’inductance de fuite
au primaire.
1
1 1 1 1
' ( )
V V r j I
= + + ω
ℓ
Ecrire les relations entre V’
1
, R
f
et I
1f
puis entre V’
1
, L
m
et I
1m
.
1f
1 f
'
V R I
= et
1m
1 m
' j
V L I
= ω
Que vaut l’intensité secondaire lorsque le transformateur est à vide ? En déduire I
1t
.
A vide, l’intensité efficace dans le secondaire est nulle : I
2
= 0. Pour le
transformateur parfait :
1t 2
I mI
= − ce qui donne
1t
0
I
=
Représenter V
1
, V’
1
, I
1
, I
1m
, I
1f
et I
10
sur un diagramme de Fresnel (V’
1
est placé
verticalement).
I
1
et I
10
sont confondus car I
1t
est nul.
-j
1
V'
1
I
1
I
1
-r
1
I
1
1
l
ω
V
1
I
1m
I
1f
b. En charge (l’intensité circulant dans le secondaire du transformateur n’est pas nulle)
La résistance de l’enroulement secondaire ainsi que l’inductance de fuites au secondaire sont rajoutés au
schéma précédent :
V
1
I
1
r
1l1
V'
1
I
1f
I
10
I
1m
L
m
m
Transformateur parfait
V
20
= - mV'
1
I
1t
R
f
r
2l2
I
2
V
2
Ecrire la relation entre V
20
, V
2
, I
2
, la résistance du secondaire et son inductance de fuites.
2
2 20 2 2
( )
V V r j I
= − + ω
ℓ
Ecrire la relation entre I
2
, I
1t
et le rapport de transformation m :
1t 2
I mI
= −
Ecrire la relation entre I
1
, I
10
et I
1t
:
1 1t 10
I I I
= +
c. Schéma simplifié
Dans de nombreuses situations, la chute de tension aux bornes de r
1
et l
1
est négligeable, il est alors possible
de modifier le modèle équivalent comme suit :
Les éléments R
f
et L
m
sont soumis à la
tension V
1
au lieu de
V’
1
.
V
1
I
1
r
1
l
1
V'
1
I
1f
I
10
I
1m
L
m
m
Transformateur parfait
V
20
= - mV'
1
I
1t
R
f
r
2
l
2
I
2
V
2