Suites et séries

Bcpst 2 -2016/2017 Lycée François 1er
Devoir Maison 1
Suites et séries
À rendre pour le : mardi 13 septembre 2016
Problème :
On pourra dans ce problème utiliser sans le démontrer que
|ln(1 −u)|6u
1−u∀u∈[0; 1[
Tous les programmes et résultats Pythons pourront éventuellement être imprimés et collés sur la copie rendue
pour plus de lisibilité et pour ne pas avoir à les recopier. Voir fin de la feuille pour les indications de fonctions
Python utiles.
Soient (Sn)n>1la suite définie par
Sn=
n
X
k=1
1
n+k∀n∈N∗
et (S0
n) = P
n>1
unla série définie par
un=(−1)n+1
n.
1. Démontrer que (Sn)converge et trouver sa limite `.
Partie I : Valeur approchée de `par méthode numérique.
2. a) Écrire grâce à Python une fonction prenant comme argument net rendant un graphique mettant en
valeur les 5 parties suivantes du plan :
- La partie colorée (selon la couleur de votre choix) In={(x, y)∈R2|n−16x6net 06y61/x}.
(partie entre l’axe des abscisses et la courbe de la fonction inverse pour xallant de n−1àn.)
- La partie colorée (selon une autre couleur de votre choix) In+1 ={(x, y)∈R2|n6x6n+ 1 et 06
y61/x}.
- La droite constante y= 1/n sur l’intervalle [n−1, n + 1] (faite en sorte qu’elle soit bien visible).
- La partie transparente hachurée sous la courbe y= 1/n pour xcompris entre n−1et n, appelée Hn.
- La partie transparente hachurée (dans l’autre sens par-rapport aux hachures précédents) sous la
courbe y= 1/n pour xcompris entre net n+ 1, appelée Hn+1.
b) Tester la fonction pour plusieurs n>2et coller 2 résultats sur votre copie.
c) Interpréter les observations à l’aide des des intégrales suivantes et les démontrer.
Zn
n−1
1
xdx ;Zn+1
n
1
xdx ;Zn
n−1
1
ndx ;Zn+1
n
1
ndx
d) En déduire que pour tout n∈N∗,n>2on a
Zn+1
n
1
xdx 61 n6Zn
n−1
1
xdx
3. a) Montrer à l’aide des inégalités précédentes que
|Sn−`|61
2n+ 1 ∀n>2
1

b) Utiliser l’inégalité précédente pour construire une fonction Python dépendant d’un paramètre α, per-
mettant, sans utiliser de bibliothèque particulière (et donc sans utiliser la fonction ln), de rendre une
valeur approchée à 10−αprès de `.
c) Quel est le résultat obtenu par le programme pour α= 3 ?
En déduire la (ou les) valeur(s) potentielle(s) de l’arrondi de `à10−3près puis décider (en expliquant
votre choix) si on peut trancher sur un nombre à 3 chiffres après la virgule représentant :
- la valeur exacte de l’arrondi de `à 3 chiffres après la virgule ?
- une valeur "approchée et arrondie" à 10−3près de `?
(On ne demande pas d’obtenir un nombre vérifiant les deux conditions en même temps, mais de tran-
cher sur chacun des points séparément.)
Partie II : La série harmonique
4. a) Montrer que Sn=S0
2npour tout n∈N∗.
b) En déduire la limite de (S0
2n).
c) Justifier finalement que (S0
n)converge et donner sa limite.
Informations relatives à l’utilisation de fonctions Python pour ce devoir :
•Pour tracer une courbe :
on rappelle que l’on peut utiliser la fonction plot de la bibliothèque pylab ou matplotlib.pylab.
Plusieurs options permettent de gérer par exemple la couleur et l’épaisseur de la courbe. (Options que l’on peut
trouver en faisant un help de la fonction.
•Pour colorer ou hachurer une partie du plan :
La fonction fill_between(X,Y) de la bibliothèque pylab ou matplotlib.pylab permet de colorer ou hachurer
la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses et la courbe donnée par les Xet Y(comme pour plot). L’option
color s’applique comme pour plot et il existe encore une option pour les hachures que je vous laisse chercher
(par exemple à l’aide du "help".)
(Attention toutefois, cette fonction n’est pas compatible avec la fonction "legend". Ne perdez donc pas de temps
à essayer de rajouter une légende au graphique.)
2