Cours

CNAM UE MVA 211 Ph. Durand
Alg`ebre et analyse tensorielle deuxi`eme partie Cours 6:
El´ements d’alg`ebre homologique
Mars 2007
1 Introduction
Dans les chapitres pr´ec´edents, nous avons calcul´es avec les moyens du bord
certain groupes d’homologies de cohomologies. D´ej`a, lorsque nous avons ex-
pos´es des rudiments de th´eorie de l’homotopie, nous avons introduit la longue
suite exacte d’une fibration. Cette suite exacte longue permet d’obtenir cer-
tains groupes d’homotopies qu’il aurait ´et´e plus difficile d’obtenir de mani`ere
directe. Par exemple ce fut le cas pour le troisi`eme groupe d’homotopie de la
sph`ere S2. On peut d´evelopper consid`erablement les outils de calculs dans le
cadre de l’homologie. L’homologie se r´ev`ele tr`es calculatoire, `a partir de suite
exactes courtes comme l’excision ou la suite de Mayer-Vietoris (qui ressemble
dans le cadre homotopique au th´eor`eme de Van Kampen mais est beaucoup
plus puissante) On peut d´efinir des suites exactes longues d’homologie qui
donnent de nombreux r´esultats. Nous allons survoler quelques unes de ces
techniques classiques de calcul d’homologie. c’est ce qu’on appelle l’alg`ebre
homologique.
2 Longue suite exacte d’homologie (ou coho-
mologie)
Tout d’abord, il faut prendre un point de vu et si tenir quand on d´efinit
l’alg`ebre homologique on peut prendre une pr´esentation homologique, ou bien
1

a partir du complexe adjoint une pr’esentation cohomologique. on choisit une
fois pour toute la pr´esentation homologique.
On a mentioner l’existence d’une longue suite exacte d’une fibration pour
le calcul des groupes d’homotopies en th´eorie de l’homotopie; on peut mon-
trer l’existence de suite exacte longue en homologie.Plus pr´ecisement, on va
d´efinir ce qu’on appelle une suite exacte courte de complexes de chaines puis
cela nous permettra de construire une suite exacte longue en homologie per-
mettant de calculer des groupes d’homologies `a partir d’op´eration tels les
recouvrement par deux ouverts d’une vari´et´e :suite de Mayer Vietoris, ou
par des op´erations chirurgicales telles l’excision.
2.1 Morphisme de complexe de chaines
Consid´erons deux complexes de chaines (A∗, ∂∗), (B∗, ∂∗):
... −→ An+1
∂n+1
−→ An
∂n
−→ An−1
∂n−1
−→ ...
... −→ Bn+1
∂n+1
−→ Bn
∂n
−→ Bn−1
∂n−1
−→ ...
On dit que fest un morphisme de complexe de chaines f:A→Bquand
quel que soit l’entier n,f◦∂n+1 =∂n+1 ◦fCela entraine la commutativit´e
du diagramme ci dessous:
∂n+2
//An+1
∂n+1 //
f
An
∂n//
f
An−1
f
∂n−1//
∂n+2
//Bn+1
∂n+1 //Bn
∂n//Bn−1
∂n−1//
Th´eor`eme
Un morphisme de complexe de chaines finduit un morphisme f∗en homolo-
gie, en effet, tout d’abord ce morphisme envoie un cycle sur un cycle et un
bord sur un bord (simple consequence de la comutativit´e du diagramme ci
dessus). Maintenant soit cun cycle de An, [c] un element de Hn(A) alors,
soit c0un cycle homologue a c,c0=c+∂n+1cn+1 mais l’image par fde c0est
dans Hn(B) car f(c) est un cycle de Bnet f(∂n+1cn−+1) est un bord de Bn
2

2
On vient de d´efinir une flˆeche entre groupes d’homologies:
f∗:Hn(A)→Hn(B) d´efinie pour tout n
2.2 Suite exacte courte de complexe de chaines
On consid`ere trois complexes de chaines (A∗, ∂∗), (B∗, ∂∗), (C∗, ∂∗):
on suppose que quel que soit l’entier n la suite:
0−→ An
f
−→ Bn
g
−→ Cn−→ 0
est exacte Alors on peut envisager le complexe double ci dessous:
0//An+1
f//
∂
Bn+1
g//
∂
Cn+1
∂
//0
0//An
f//
∂
Bn
g//
∂
Cn
∂
//0
0//An−1
f//Bn−1 g//Cn−1//0
On vient donc de d´efinir deux morphismes de chaines . On a donc pour
tout entier nla suite de morphisme en homologie:
Hn(A)f∗ −→ Hn(B)g∗ −→ Hn(C)
Lemme du serpent
Il existe un homomorphisme de connexion not´e δqui transforme la suite
de morphismes pr´ec´edent en une suite exacte longue, autrement dit on a la
flˆeche: Hn(C)δ −→ Hn−1(A). Ce lemme est souvent appell´e lemme du serpent
(ou snake lemma en anglais) l’homomorphisme de connexion est cruciale il
permet de lier entre eux tous les groupes d’homologie des complexes (A∗, ∂∗),
(B∗, ∂∗), (C∗, ∂∗) en une longue suite exacte:
...Hn(A)f∗ −→ Hn(B)g∗ −→ Hn(C)δ 99K Hn−1(A)f∗ −→ Hn−1(B)g∗ −→ ...
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Une ´ecriture condens´ee de cette longue suite exacte, est un diagramme sous
forme d’un triangle exacte comme ci dessous:
H∗(A)f∗//H∗(B)
g∗
zzt
t
t
t
t
t
t
t
t
H∗(C)
δ
ddJ
J
J
J
J
J
J
J
J
Nous allons donner un d´emonstration de ce lemme.
Il y a deux chose `a ´etablir: l’existence du morphisme de connection δentre
l’homologie de Aet l’homologie de Cpuis d´etablir l’exactitude aux diff´erents
points de la suite.
D´emonstration du Lemme
1) On commence par construire le morphisme de connexion: on va parcourir
une partie du complexe double d´efinit ci dessus, on choisit cun cycle de Cn,
on va lui associer un cycle ade An−1, il faudra ensuite v´erifier que cette
op´eration peut se faire modulo un bord c’est a dire passe en homologie:
0//An+1
f//
∂
Bn+1
g//
∂
Cn+1
∂
//0
0//An
f//
∂
b∈Bn
g//
∂
c∈Cn
∂
//0
0//a∈An−1
f//
∂
∂b ∈Bn−1
g//
∂
Cn−1
∂
//0
0//An−2
f//Bn−2 g//Cn−2//0
Comme l’application gest surjective, il existe b∈Bntel que g(b) = c;
D’autre part, on consid`ere ∂b ∈Bn−1, on a g(∂b) = ∂g(b) = ∂c = 0 car cest
un cycle. Enfin par exactitude, il existe a∈An−1tel que fn−1(a) = ∂b On
pose alors: δ[c] = [a]
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Il faut verifier que cette d´efinition est consistante, en particulier que aest un
cycle il faut continuer un peu la chasse au diagramme:
0//An+1
f//
∂
Bn+1
g//
∂
Cn+1
∂
//0
0//An
f//
∂
b∈Bn
g//
∂
c∈Cn
∂
//0
0//a∈An−1
f//
∂
∂b ∈Bn−1
g//
∂
Cn−1
∂
//0
0//∂a ∈An−2
f//Bn−2 g//Cn−2//0
On voit que aest bien un cycle car par la commutativit´e du diagramme,
f(∂a) = ∂f(a) = ∂∂b = 0, comme fest injective on a bien ∂a = 0.
Il faut enfin montrer que [a] ne d´epend pas du repr´esentant cde [c] donc
aussi de bet a. en effet choisissons d’autres repr´esentants (c0, b0, a0), [c0] = [c],
on a donc c0−c=∂c00 avec c00 ∈Cn+1, soit b00 ∈Cn+1 tel que c00 =g(b00) qui
existe par surjectivit´e:
0//An+1
f//
∂
b00 ∈Bn+1
g//
∂
c00 ∈Cn+1
∂
//0
0//a00 ∈An
f//
∂
b∈Bn
g//
∂
c∈Cn
∂
//0
0//a∈An−1
f//
∂
∂b ∈Bn−1
g//
∂
Cn−1
∂
//0
0//∂a ∈An−2
f//Bn−2 g//Cn−2//0
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