Cours

CNAM UE MVA 211 Ph. Durand
Algèbre et analyse tensorielle deuxième partie Cours 6:
Eléments d’algèbre homologique
Mars 2007
1
Introduction
Dans les chapitres précédents, nous avons calculés avec les moyens du bord
certain groupes d’homologies de cohomologies. Déjà, lorsque nous avons exposés des rudiments de théorie de l’homotopie, nous avons introduit la longue
suite exacte d’une fibration. Cette suite exacte longue permet d’obtenir certains groupes d’homotopies qu’il aurait été plus difficile d’obtenir de manière
directe. Par exemple ce fut le cas pour le troisième groupe d’homotopie de la
sphère S 2 . On peut développer considèrablement les outils de calculs dans le
cadre de l’homologie. L’homologie se révèle très calculatoire, à partir de suite
exactes courtes comme l’excision ou la suite de Mayer-Vietoris (qui ressemble
dans le cadre homotopique au théorème de Van Kampen mais est beaucoup
plus puissante) On peut définir des suites exactes longues d’homologie qui
donnent de nombreux résultats. Nous allons survoler quelques unes de ces
techniques classiques de calcul d’homologie. c’est ce qu’on appelle l’algèbre
homologique.
2
Longue suite exacte d’homologie (ou cohomologie)
Tout d’abord, il faut prendre un point de vu et si tenir quand on définit
l’algèbre homologique on peut prendre une présentation homologique, ou bien
1
a partir du complexe adjoint une pr’esentation cohomologique. on choisit une
fois pour toute la présentation homologique.
On a mentioner l’existence d’une longue suite exacte d’une fibration pour
le calcul des groupes d’homotopies en théorie de l’homotopie; on peut montrer l’existence de suite exacte longue en homologie.Plus précisement, on va
définir ce qu’on appelle une suite exacte courte de complexes de chaines puis
cela nous permettra de construire une suite exacte longue en homologie permettant de calculer des groupes d’homologies à partir d’opération tels les
recouvrement par deux ouverts d’une variété :suite de Mayer Vietoris, ou
par des opérations chirurgicales telles l’excision.
2.1
Morphisme de complexe de chaines
Considérons deux complexes de chaines (A∗ , ∂∗ ), (B∗ , ∂∗ ):
∂n+1
∂
∂n−1
∂n+1
∂
∂n−1
n
... −→ An+1 −→ An −→
An−1 −→ ...
n
... −→ Bn+1 −→ Bn −→
Bn−1 −→ ...
On dit que f est un morphisme de complexe de chaines f : A → B quand
quel que soit l’entier n, f ◦ ∂n+1 = ∂n+1 ◦ f Cela entraine la commutativité
du diagramme ci dessous:
∂n+2
/ An+1
f
∂n+2
/ Bn+1
∂n+1
/A
n
f
∂n+1
/ Bn
∂n
/ An−1∂n−1 /
f
∂n
/ Bn−1∂n−1 /
Théorème
Un morphisme de complexe de chaines f induit un morphisme f∗ en homologie, en effet, tout d’abord ce morphisme envoie un cycle sur un cycle et un
bord sur un bord (simple consequence de la comutativité du diagramme ci
dessus). Maintenant soit c un cycle de An , [c] un element de Hn (A) alors,
soit c0 un cycle homologue a c, c0 =c + ∂n+1 cn+1 mais l’image par f de c0 est
dans Hn (B) car f (c) est un cycle de Bn et f (∂n+1 cn−+1 ) est un bord de Bn
2
2
On vient de définir une flêche entre groupes d’homologies:
f∗ : Hn (A) → Hn (B) définie pour tout n
2.2
Suite exacte courte de complexe de chaines
On considère trois complexes de chaines (A∗ , ∂∗ ), (B∗ , ∂∗ ), (C∗ , ∂∗ ):
on suppose que quel que soit l’entier n la suite:
f
g
0 −→ An −→ Bn −→ Cn −→ 0
est exacte Alors on peut envisager le complexe double ci dessous:
0
/ An+1
∂
0
0
/ Bn+1
∂
f
f
/ An
∂
f
/ An−1
/ Cn+1
/0
∂
g
g
/ Bn
∂
g
/ Cn
/0
∂
/ Bn−1
/ Cn−1
/0
On vient donc de définir deux morphismes de chaines . On a donc pour
tout entier n la suite de morphisme en homologie:
f∗
g∗
Hn (A) −→ Hn (B) −→ Hn (C)
Lemme du serpent
Il existe un homomorphisme de connexion noté δ qui transforme la suite
de morphismes précédent en une suite exacte longue, autrement dit on a la
δ
flêche: Hn (C) −→ Hn−1 (A). Ce lemme est souvent appellé lemme du serpent
(ou snake lemma en anglais) l’homomorphisme de connexion est cruciale il
permet de lier entre eux tous les groupes d’homologie des complexes (A∗ , ∂∗ ),
(B∗ , ∂∗ ), (C∗ , ∂∗ ) en une longue suite exacte:
f∗
g∗
δ
f∗
g∗
...Hn (A) −→ Hn (B) −→ Hn (C) 99K Hn−1 (A) −→ Hn−1 (B) −→ ...
3
Une écriture condensée de cette longue suite exacte, est un diagramme sous
forme d’un triangle exacte comme ci dessous:
f∗
H∗ (A)d
JJ
JJ δ
JJ
JJ
J
/ H∗ (B)
t
g∗ ttt
t
tt
t
zt
H∗ (C)
Nous allons donner un démonstration de ce lemme.
Il y a deux chose à établir: l’existence du morphisme de connection δ entre
l’homologie de A et l’homologie de C puis détablir l’exactitude aux différents
points de la suite.
Démonstration du Lemme
1) On commence par construire le morphisme de connexion: on va parcourir
une partie du complexe double définit ci dessus, on choisit c un cycle de Cn ,
on va lui associer un cycle a de An−1 , il faudra ensuite vérifier que cette
opération peut se faire modulo un bord c’est a dire passe en homologie:
0
/ An+1
∂
0
/ An
0
f
f
f
/ b ∈ Bn
/ An−2
g
/ Cn+1
/0
/ c ∈ Cn
/0
∂
g
g
/ ∂b ∈ Bn−1
∂
g
∂
∂
/ a ∈ An−1
∂
/ Bn+1
∂
∂
0
f
/ Bn−2
/ Cn−1
/0
∂
/ Cn−2
/0
Comme l’application g est surjective, il existe b ∈ Bn tel que g(b) = c;
D’autre part, on considère ∂b ∈ Bn−1 , on a g(∂b) = ∂g(b) = ∂c = 0 car c est
un cycle. Enfin par exactitude, il existe a ∈ An−1 tel que fn−1 (a) = ∂b On
pose alors: δ[c] = [a]
4
Il faut verifier que cette définition est consistante, en particulier que a est un
cycle il faut continuer un peu la chasse au diagramme:
0
/ An+1
∂
0
f
f
f
/A
n
/ a ∈ An−1
/ Cn+1
/0
∂
g
g
g
/ b ∈ Bn
/ c ∈ Cn
/0
∂
/ ∂b ∈ Bn−1
∂
/ ∂a ∈ An−2
g
∂
∂
0
/ Bn+1
∂
∂
0
f
/ Cn−1
/0
∂
/ Bn−2
/ Cn−2
/0
On voit que a est bien un cycle car par la commutativité du diagramme,
f (∂a) = ∂f (a) = ∂∂b = 0, comme f est injective on a bien ∂a = 0.
Il faut enfin montrer que [a] ne dépend pas du représentant c de [c] donc
aussi de b et a. en effet choisissons d’autres représentants (c0 , b0 , a0 ), [c0 ] = [c],
on a donc c0 − c = ∂c00 avec c00 ∈ Cn+1 , soit b00 ∈ Cn+1 tel que c00 = g(b00 ) qui
existe par surjectivité:
0
/ An+1
∂
0
f
f
/ a00 ∈ An
0
/ ∂a ∈ An−2
f
/ c00 ∈ Cn+1
/0
∂
g
g
/ b ∈ Bn
/ c ∈ Cn
/0
∂
/ ∂b ∈ Bn−1
∂
g
∂
/ a ∈ An−1
∂
/ b00 ∈ Bn+1
∂
∂
0
f
/ Bn−2
/ Cn−1
/0
∂
/ Cn−2
g
5
/0
Alors g(b0 − b − ∂b00 ) = c0 − c − ∂c00 = 0 et il existe a00 ∈ An par exactitude, tel que fn (a00 ) = b0 − b − ∂b00 .
Mais f (a0 − a − ∂a00 ) = ∂b0 − ∂b + f (∂a00 ) = ∂b0 − ∂b + ∂f (a00 )
Donc f (a0 − a − ∂a00 ) = ∂∂b00 = 0
Enfin par injectivité de f on trouve que a0 = a + ∂a00 soit [a0 ] = [a]. On
vient de montrer que l’homomorphisme de connexion δ est une application
bien définie en cohomologie. 2
2) Montrons maintenant l’exactitude de la suite d’homologie.
On reprend la longue suite exacte d’homologie (maintenant δ existe).
g∗
f∗
g∗
f∗
δ
...Hn (A) −→ Hn (B) −→ Hn (C) −→ Hn−1 (A) −→ Hn−1 (B) −→ ...
• Verification de l’exactitude ”au milieu” (au point Hn (B).
g∗ ◦ f∗ = (g ◦ f )∗ = 0. En effet comme on a une suite exacte courte de complexes, si a ∈ An alors f (a) ∈ Imf donc g(f (a)) = 0, alors g(f (a + ∂a0 ) = 0.
On voit donc que imf∗ ⊂ img∗ . Réciproquement soit [b] un élément de kerg∗
alors, g∗ ([b]) = [g(b)] = 0, et il existe c dans Cn+1 tel que g(b) = ∂c. Par
surjectivité de g, il existe b0 dans Bn+1 tel que c = g(b0 ): g(b) = ∂g(b0 )
0
/ An+1
∂
0
0
/ b0 ∈ Bn+1
∂
/ a ∈ An
∂
f
/ ∂a ∈ An−1
f
f
/ c ∈ Cn+1
/0
∂
/ b ∈ Bn
∂
g
/ Bn−1
/ Cn
g
/0
∂
/ Cn−1
g
/0
Il est donc clair par commutativité du diagramme (g∂(b0 ) = ∂g(b0 )) que
g(b − ∂b0 ) = 0, par exactitude il existe a ∈ An tel que f (a) = b − ∂b0 ,de plus
comme b est un cycle, a aussi: f (∂a)) = ∂(f (a) = ∂b − ∂∂b0 = 0. finalement
f∗ ([a]) = [f (a)] = [b] et [b] ∈ imf∗
6
• Verifions maintenant l’exactitude en Hn (C)
Montrons que img∗ ⊂ kerδ, si b est un cycle de Bn , par construction de
δ on a: δ([g(b)] = [a]) où f (a) = ∂b et comme b est un cycle et f injective,
on a donc ∂ ◦ g∗ = 0.
0
∂
0
/ ∂b ∈ Bn+1
∂
f
f
/ An
∂
0
f
/ a ∈ An+1
/ An−1
/ Cn+1
/0
∂
g
g
/ b ∈ Bn
∂
g
/ Cn
/0
∂
/ Bn−1
/ Cn−1
/0
Réciproquement, on kerδ ⊂ img∗ , en effet, soit c un n-cycle de C, tel que
δ([c]) = 0; il existe par construction b ∈ Bn et a ∈ An−1 tel que c = g(b)
0
/ An+1
∂
0
0
/ Bn+1
∂
f
f
/ a 0 ∈ An
∂
f
/ a ∈ An−1
/ Cn+1
/0
∂
g
g
/ b ∈ Bn
∂
g
/ Bn−1
/ c ∈ Cn
/0
∂
/ Cn−1
/0
et f (a) = ∂b et [a] = δ([c]) = 0. Soit a0 ∈ An tel que a = ∂a0 . On
pose b0 = b − f (a0 ) c’est un cycle de Bn donc, g(b0 ) = c, donc g∗ ([y 0 ]) = [c]
d’où le résultat.
• Vérifions enfin l’exactitude en Hn (A)
Soit a ∈ An−1 tel que f (a) = ∂b pour b ∈ Bn ([a] est donc dans le noyau de f∗
car f∗ ([a]) = [∂b] = 0), g(b) est un cycle, Alors ∂g(b) = g(∂b) = g(f (a)) = 0
Ainsi, par construction de l’opérateur de connexion on voit que [a] est dans
l’image de δ: [a] = δ[g(b)]
7
0
∂
f
∂
f
/ Cn+1
/0
∂
g
g
/ b ∈ Bn
∂
/ a ∈ An−1
g
/ Bn+1
∂
/ An
0
0
f
/ An+1
/ c ∈ Cn
/0
∂
/ ∂b ∈ Bn−1
/ Cn−1
/0
Comme nous l’avons mentionné au début, ce lemme est trs utile pour calculer
l’homologie ou la cohomologie de toute une collection d’espace topologiques
comme les sphères ou les espaces projectifs. a partir du moment où l’on dispose de suites exactes comme par exemple la suite de Mayer-Vietoris ou la
suite d’homologie relative qui sert pour l’excision. Nous allons illustrer ces
exemples.
2.3
Exemples de suite exactes longues
Les méthodes développées plus haut dans le cadre homologique peuvent être
d’eclinées dans le cadre cohomologique. Il suuit de remplacer les complexes
de chaines par des complexes de cochaines, et des morphismes de complexes
de cochaines et des suites exactes de tels complexes.
Un complexe de cochaine est donné par (A∗ , d∗ )
dn−1
dn+1
d
n
... −→ An−1 −→ An −→
An−1 −→ ...
Une suite exacte de cochaine est donné par:
0
/ An−1
d
0
0
/ B n−1
d
f
f
/ An
d
f
/ An+1
/ C n−1
/0
d
g
g
/ Bn
d
g
/ B n+1
/ Cn
/0
d
/ C n+1
/0
On obtient alors, une suite exacte longue en cohomologie:
8
f∗
g∗
f∗
δ
g∗
...H n (A) −→ H n (B) −→ H n (C) −→ H n+1 (A) −→ H n+1 (B) −→ ...
2.3.1
Suite exacte de Mayer-Vietoris
Une méthode pour calculer la cohomologie d’une variété consiste a utiliser
un recouvrement par des ouverts. On peut Alors d’efinir une cohomologie
particulière appelée cohomologie de Cech. quand on restreint se recouvrement à deux ouverts on peut déjà calculer des cohomologies à partir de la
suite exacte courte de Mayer-Vietoris.
On considère donc le diagramme commutatif ci dessous où les flêches sont
des inclusions:
; U GG
GG k
ww
GG
GG
w
w
G#
ww
U ∩ VGG
U; ∪ V
GG
ww
w
GG
ww
ww
j GGG
ww l
#
i www
V
U et V sont des ouverts recouvrant une variété M .On en déduit le diagramme ”pull-back” suivant au niveau des formes différentielles on a pour
tout degré k:
Ωk (U )
rr8
k∗ rrr
r
r
rrr
LLL
LLLi∗
LLL
L&
LLL
LLL
L
l∗ LLL&
r8
rrr
r
r
r ∗
rrr j
Ωk (U ∪ V )
Ωk (V )
Ωk (U ∩ V )
On en déduit le théorème suivant:
9
Théorème
Du diagramme commutatif des formes différentielles ci-dessus on déduit la
suite exacte de complexes différentiels ci dessous:
i∗ −j ∗
k∗ ⊕l∗
0 −→ Ωk (U ∪ V ) −→ Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) −→ Ωk (U ∩ V ) −→ 0
avec k ∗ ⊕ l∗ (ω) = (k ∗ ω, l∗ ω) et (i∗ − j ∗ )(ω, η) = i∗ ω − j ∗ η
Démonstration
Il y a deux chose à démontrer: tout d’abord que les pull back commutent
aux dérivations et cela est une simple propriété des formes différentielles.
Alors, si la suite ci-dessus est exacte en tout degrés, on a la suite exacte de
complexes différentiels ci dessous:
0
/ Ωk−1 (U ∪ V )
d
0
0
Ω
i∗ −j ∗
(U ) ⊕ Ωk−1 (V )
d
/ Ωk (U ∪ V )
d
k∗ ⊕l/ ∗ k−1
/ Ωk+1 (U ∪ V )
k∗ ⊕l∗
d
Ω
/0
d
i∗ −j ∗
i∗ −j ∗
/ Ωk (U ) ⊕ Ωk (V )
k∗ ⊕l/ ∗ k+1
/ Ωk−1 (U ∩ V )
/ Ωk (U ∩ V )
/0
d
(U ) ⊕ Ωk+1 (V )
/ Ωk+1 (U ∩ V )
/0
Montrons maintenant que la suite courte est exacte en tout k:
• Exactitude en Ωk (U ∪ V )
Il suffit de démontrer que k ∗ ⊕ l∗ est injective. Choisissons σ un élément de
Ωk (U ∪ V ), et (k ∗ ⊕ l∗ )(σ) = (σ|U , σ|V ) = (0, 0) et cela signifie que σ = 0 d’où
le résultat.
• Exactitude en Ωk (U ) ⊕ Ωk (V )
Tout dabord: (i∗ − j ∗ ) ◦ (k ∗ ⊕ l∗ )(σ) = (i∗ − j ∗ )(σ|U , σ|V ) = σ|U ∩V − σ|U ∩V = 0
Donc Im(k ∗ ⊕ l∗ ) ⊂ ker(i∗ − j ∗ ). réciproquement, considérons (η, η 0 ) dans
0
Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) tel que (i∗ − j ∗ )(η, η 0 ) = 0; Alors η|U ∩V = η|U
∩V Donc il
existe une forme globale sur M = U ∩ V noté σ égal a η sur U et η 0 sur
V et égale sur l’intersection donc qui se prolonge globalement en σ sur M :
(η, η 0 ) = (k ∗ ⊕ l∗ )(σ)
10
• Exactitude en Ωk (U ∩ V )
Il faut montrer que l’application (i∗ − j ∗ ) est surjective. Soit ω un él’ement
arbitraire de Ωk (U ∩V ). Il faut montrer qu’il existe deux formes η et η 0 respec0
tivement dans Ωk (U ) et Ωk (V ) telles que: ω = (i∗ −j ∗ )(η, η 0 ) = η|U ∩V −η|U
∩V .
Il faut utiliser pour cela une partition de l’unité {φ, ψ} associée au recouvrement ouvert {U, V }.
Rappelons qu’une partition de l’unité associé au recouvrement ouvert {U, V }
consiste en deux fonctions {φ, ψ} infiniment lisses sur chaque ouvert vérifiant
φ + ψ = 1 sur la reunion des ouverts.
Il faut donc faire le choix suivant:
η = ψω sur U ∩ V et 0 sur U \Suppψ
η 0 = −φω sur U ∩ V et 0 sur V \Suppφ
On a donc:
0
η|U ∩V − η|U
∩V = ψω − (−φ)ω = ω 2
Exercice
En utilisant la suite exacte de Mayer Vietoris Calculer directement la cohomologie du cercle S 1 .
2.3.2
Suite exacte d’homologie relative
Une paire d’espaces topologique est un couple (X, Y ) . Un morphisme de
paires est une application continue f : X → X 0 dont la restriction à Y vérifie
: f (Y ) ⊂ Y 0 .
Si Cp (X) désigne comme avant le module des p-chaines singulière sur un
espace topologique X, et Y est un sous espace topologique de X, Cp (Y )
s’identifie au sous module de Cp (X) de base l’ensemble des p- simplexes
singuliers de X à valeur dans Y . de manière évidente le bord ∂ : Cp (X) →
Cp−1 (X) envoie alors Cp (Y ) dans Cp−1 (Y ). De plus si f : (X, Y ) → (X 0 , Y 0 )
est un morphisme de paires alors fp : Cp (X) → Cp (X 0 ) envoie Cp (Y ) dans
Cp (Y 0 ).
11
Définition
Le complexe des formes singulières relatives de (X, Y ) est le complexe de
chaines de modules Cp (X, Y ) = Cp (X)/Cp (Y ) et de morphisme de bord
∂ : Cp (X, Y ) → Cp−1 (X, Y ).
Il faut alors définir les cycles relatifs Zp (X, Y ) et les bords relatifs Bp (X, Y )
On pose
Zp (X, Y ) = {σ ∈ Cp (X)/∂σ ∈ Cp−1 (Y )}
Ainsi on ne garde que cycle de X qui son tués dans Cp−1 (Y ).
Bp (X, Y ) = Bp (X) + Cp (Y )
Ainsi on conserve les bords de X qui ne sont pas des chaines de Y . Le
quotient de ces espaces permet de définir le p-ième groupe d’homologie relative de la paire (X, Y ).
Théorème
Un morphisme de paires f : (X, Y ) → (X 0 , Y 0 ): induit un morphisme de
chaines fp : Cp (X, Y ) → Cp (X 0 , Y 0 ). qui lui méme induit un morphisme en
homologie relative.
Démonstration
Il suffit de s’assurer de la commutativité du diagramme ci-dessous:
/ Cn+1 (X, Y )
f
∂n+1
/ Cn (X, Y )
f
/ Cn+1 (X 0 , Y 0 ) ∂n+1 / Cn (X 0 , Y 0 )
∂n
/ Cn−1 (X, Y )
/
f
∂n
/ Cn−1 (X 0 , Y 0 )
/
Si σ est dans Cn (X, Y ) alors par définition, un cycle équivalent est σ 0 =
σ + σY . Et la commutativité résulte du simple fait que σ 0 , σ, σY sont des
élements de Cn (X)Pparticulier et que
Pla dérivation commute par linéarité
avec f : f (∂σ) = f ( ni=0 (−1)i σ (i) ) = ni=0 (−1)i f (σ)(i) = ∂f σ.2
12
Pour finir On pose X = (X, ∅) donc Cp (X) = Cn (X, ∅) pour tout p entier.
Si j : (X, ∅) → (X, Y ) est l’inclusion, le morphisme induit jp : Cp (X, ∅) →
Cp (X, Y ) s’identifie a la projection canonique Cp (X) → Cp (X, Y )
Théorème
Si i : Y → X, j : (X, ∅) → (X, Y ) sont les inclusions Alors on a par construction même la suite exacte courte de complexes:
ip
jp
0 −→ Cp (Y ) −→ Cp (X) −→ Cp (X, Y ) −→ 0
Démonstration
l’exactitude au point centrale est simple: les chaines de Cp (X) tuées dans le
quotient Cp (X, Y ) proviennent exactement du noyau Cp (Y ), l’injectivité et
la surjectivité de ip et jp respectivement est laissée en exercice.2
Application
Cette dernière suite exacte permet elle aussi de calculer beaucoup de groupes
d’homologies. Un cas particulier important est le cas où X est une variété
et Y = ∂X son bord.
13