XV. Ondes

XV. Ondes
LLes ondes sont omniprésentes, citons par exemple :
d
t
i é t
it
l
• Les vagues, le son, la lumière, …
Une onde est une perturbation par rapport à une situation d’équilibre. Cette perturbation se déplace à une certaine vitesse, mais la matière ne se déplace pas! On distingue :
Les ondes transversales avec
dir. perturbation  dir. propagation
E
Exemples : vague, corde vibrante, lumière
l
d ib
l iè
Les ondes longitudinales avec
dir. perturbation // dir. propagation
p
//
p p g
Exemples : son, ressort vibrant
1
On caractérise une onde par XV. Ondes
y Longueur d’onde 
• sa vitesse c, it
• sa longueur d’onde ,
• sa fréquence (ou sa période T).
(T)
On les relie par
c  
Vitesse c
transversale
A
x0
x
1 oscillation
fréquence  = Nombre d’oscillations/s
Longueur d’onde 
longitudinale
Dans la suite nous allons toujours considérer le cas des ondes sinusoïdales:
Dans la suite, nous allons toujours considérer le cas des ondes sinusoïdales:
En x0
y (t )  A sin  t  k x0 
avec   2
 est la fréquence angulaire et k le nombre d’onde.
et k 
2

2
XV. Ondes
Réflexion et transmission d’une onde lors d’un changement de milieu :
Changement de milieu = changement de vitesse
 Réflexion, une partie de l’onde repart en sens opposé dans le 1
Réfl i
ti d l’ d
t
éd
l 1er milieu.
ili
 Transmission, le reste de l’onde passe dans le second milieu.
Milieu 1
Vitesse c1
Milieu 2
incidente
Vit
Vitesse
c1
réfléchie
Vitesse c2
transmise
Réflexion de la lumière dans un miroir, d’une vague sur un récif, d’un son sur un obstacle… La séparation des ondes réfléchie et transmise se fait à l
La séparation
des ondes réfléchie et transmise se fait à l’interface
interface entre les entre les
milieux. Autre exemple : la machine à ondes
3
XV. Ondes stationnaires
Lorsque deux ondes (une incidente et une réfléchie) coexistent dans un même milieu, on peut, sous certaines conditions, assister à une onde stationnaire.
Etudions le comportement d
Etudions
le comportement d’un
un milieu à 1D soumis à une onde créée à une de milieu à 1D soumis à une onde créée à une de
ses extrémités et qui se réfléchit à l’autre extrémité.
1) Cas de l’extrémité immobile (liée)
onde
d incidente
i id t
source
d réfléchie
éflé hi
onde
M
o
Extrémité fixe :
pas de mouvement
x
Si l’onde incidente est décrite en o par yI , o (t )  A sin  t 
On sait que l’extrémité est fixe => l’onde réfléchie en o vaut q
yR , o (t )   A sin  t  et yI , o (t )  yR , o (t )  0 pour tout t
En M, situé à une distance x de l’extrémité o :
  x 
2 x 
2

yI ( x, t )  A sin   t     A sin   t 
A
sin

t
kx
avec

2

et
k







c








car onde n’arrivera au p
point o qu’après
q p un temps
p x/c
yR ( x, t )   A sin  t  k x 
signe - devant kx car onde est passée en o il y a un temps x/c
4
XV. Ondes stationnaires
1) Cas de l’extrémité immobile (liée)
yTOT ( x, t )  yI ( x, t )  yR ( x, t )  A sin  t  k x   A sin  t  k x 
En utilisant la formule de Simpson, on obtient pour yTOT (x,t) en M :
p   sin((a  b)  sin((a  b)  2 cos a sin b
 simpson
yTOT ( x, t )  2 A sin  kx  cos t   A 'cos t 
On a donc comme « amplitude » résultante :
On a donc comme résultante : A '(( x)  2 A sin  kx 
/2
Extrémité fixe :
pas de mouvement
source
x
Elle sera maximum pour les points tels que :
A '( x)  2 A  sin  kx   1  kx   2n  1

2
 x   2n  1

4
(n entier  0)
Ces points sont des « ventres ». La distance entre deux ventres successifs = /2
5
XV. Ondes stationnaires
1) Cas de l’extrémité immobile (liée)
On a donc comme amplitude résultante : A '( x)  2 A sin  kx 
Elle sera nulle pour les points tels que :
A '( x)  0  sin  kx   0  kx  n  x  n
Ces points sont appelés des nœuds.

2
(n entier>0)
/2
Extrémité fixe :
pas de mouvement
source
x
La distance entre deux nœuds successifs est de /2.
La distance entre un nœud et un ventre successifs est de /4.
Considérons un milieu de longueur L. En pratique la source peut être libre ou liée.
Si source liée => nœud à la source et nœud à l’extrémité
Noeud en x  L  L  n

2
(n  0)
6
XV. Ondes stationnaires
1) Cas de l’extrémité immobile (liée)
Si source libre => ventre à la source et nœud à l’extrémité
Ventre en x  L  L   2n  1

(n entier  0)
4
Ce sont les conditions de résonance. Pour obtenir une onde stationnaire, il faut que le système respecte la condition:

L

n
(n entier > 0) si la source est fixe,
•
2

L

2
n

1

 (n entier  0) si la source est libre.
•
4
Exemple pour une source libre
L   2n  1


n=0

4
ventre
n=1
nœud

n=2
7
XV. Ondes stationnaires
1) Cas de l’extrémité immobile (liée)
Exemple pour une source liée
Ln

2
n=1
((n entier > 0))
n=2
nœud
nœud
n=3
n=3
n=4
n=5
8
XV. Ondes stationnaires
2) Cas de l’extrémité libre => on doit avoir un ventre à l’extrémité!
Dans ce cas on peut aussi calculer les conditions de résonance
Si source lié
liée =>
> noeud
d à lla source ett ventre
t à l’
l’extrémité
t é ité
Si source libre => ventre à la source et ventre à l’extrémité
Pour obtenir une onde stationnaire, il faut que le système respecte la condition:
P
b i
d
i
i il f
l
è
l
di i

L

2
n

1
(n entier  0) si la source est fixe,


•
•Ln

2
4
(n entier >0)
Exemple pour une source libre
Ln

2
ventre
si la source est libre.

n=1

n=2
ventre

n=3
9
XV. Ondes stationnaires
Exemple avec deux extrémités libres
E
Exemple : tube de Rijke
l t b d Rijk
Amplification des
fréquences vérifiant la
condition
di i :
V t
Ventres
Ln

2
avec n > 0
Mode
fondamental
Génération de beaucoup de
fréquences
q
au niveau de la
grille chauffée
10
XV. Ondes stationnaires
On peut exprimer les « conditions d’onde stationnaire » ou « conditions de résonance » en termes de fréquence :
  c /  et L  n
c
 n
 n 0
2L

2
n0
pour la condition en /2
c
avec  0 
2L
  c /  et L   2n  1

4
c
   2n  1
  2n  1 0
4L
n0
pour la condition en 
c
avec  0 
4L
0 est appelée la fréquence de résonance fondamentale du système étudié.
è , 3ème
ème
è
Les fréquences suivantes sont les 2
fé
l
… harmoniques.
h
Exemple d’une harmonique sur un pont de bois.
11
XV. Ondes - son
Le son est une onde longitudinale de compression de matière,
L’onde se déplace, pas la matière! Matière = gaz, liquide ou solide.
Matière gaz, liquide ou solide.
Dans le vide, le son ne se propage pas (impossible de comprimer du vide).
La vitesse du son c dépend du type de matériau :
c (m/s)
Dans l’air :
Air
Hélium
Eau
Acier Tissu humain
343
900
1500
5940
1540

c = 343 m/s
pression
x
Oscillation de la pression de l’air autour de Patm
12
XV. Ondes - son
Onde sonore = déplacement d’une molécule autour d’une position d’équilibre
x(t )  xmax sin  t  k x0 
avec   2
et k 
2

Onde sonore = variation de la pression d’un gaz autour de la pression d’équilibre (= pression atmosphérique pour un son dans l’air)
p (t )  pmax cos  t  k x0 
avec pmax  c   xmax
Attention : les maximums de p
Att
ti
l
i
d  et de x
t d  sont décalés t dé lé
Déphasage de /2 => sinus et cosinus
L’intensité d’un son est reliée à l’énergie qu’il « transporte ». Celle‐ci est proportionnelle à l’énergie cinétique maximale des molécules lors du « mvt ».
d  x 
v(t ) 
 xmax  cos  t  k x0   vmax cos  t  k x0 
dt
2
2
2
Donc I  Ecin  dm vmax
 I   xmax   I  pmax
Cette relation est importante car notre oreille détecte pmax
13
XV. Ondes - son
2
L’intensité d’un son est donc proportionnelle à pmax
L intensité est définie comme la puissance exercée par l
L’intensité
est définie comme la puissance exercée par l’onde
onde par unité de par unité de
surface  à sa direction de propagation, en W/m2
Comme l’intensité des sons audibles varie sur plusieurs (14!) ordres de grandeur de 10 ‐12 W/m2 à 100 W/m
grandeur, de 10 à 100 W/m2
 I 
on utilise une échelle logarithmique : I dB  10 log  
 I0 
12 W/m
Ell
Elle est prise relativement au seuil d’audition, I
t i
l ti
t
il d’ diti
I0 = 10
10‐12
W/ 2 2 à 1000 Hz
à 1000 H
L’unité de IdB est le décibel (dB). En termes de pression :
I dB
 pmax 
 20 log 

p
 0 
p0 est le seuil de pression audible : 2 10‐5 N/m2
Seuil audition
Conversation
Avion décollage Seuil douleur
0 dB
50 dB
110 dB
130 dB
14
XV. Ondes - son
Exercice 41 :
Calculez la différence de pression maximale et le déplacement maximal à 1000 Hz pour une onde sonore de 120 dB d’intensité. Comparez cette pression à la pression atmosphérique.
15
XV. Ondes - voix
La voix humaine résulte de deux phénomènes :
• La vibration des cordes vocales, • Les ondes stationnaires créées dans la gorge et la cavité bucco
Les ondes stationnaires créées dans la gorge et la cavité bucco‐nasale.
nasale.
La vibration des cordes vocales est causée par le flux d’air provenant de la trachée.
Pour préparer un son, les cordes se é
l
d
contractent => fermeture du larynx,
Ensuite le flux d’air de la trachée force leur ouverture,
L’air s’engouffre à grande vitesse
 Chute de pression (Bernoulli), p
(
),
 Elles se referment.
La pression réaugmente, les cordes se rouvrent et ainsi de suite
rouvrent, et ainsi de suite.
=> Vibration continue des cordes vocales
C d vocales
Cordes
l
air
16
XV. Ondes - voix
Les cordes vocales émettent de nombreuses fréquences (un bruit),
Pour obtenir un son, certaines de ces fréquences seulement sont amplifiées:
=>> onde stationnaire dans des cavités résonantes :
onde stationnaire dans des cavités résonantes :
• la gorge, la cavité buccale, la cavité nasale.
Exemple effet de la longueur de la cavité résonante
Exemple, effet de la longueur de la cavité résonante
Bouche
ouverte
air
i
L=0.2m
Source :
corde vocale
L

et c     
4
340

 425 Hz
0.8
c
4L
Géométries différentes de la cavité
=> Fréquences de résonance différentes
=> Sons différents
17
XV. Ondes - voix
Les cordes vocales émettent de nombreuses fréquences (un bruit),
Pour obtenir un son, certaines de ces fréquences seulement sont amplifiées:
=>> onde stationnaire dans des cavités résonantes :
onde stationnaire dans des cavités résonantes :
• la gorge, la cavité buccale, la cavité nasale.
Comment produit‐on les différentes voyelles ? Enveloppe
pp = formant
Chaque pic = fréquence générée par les cordes vocales
18
XV. Ondes - voix
Que se passe‐t‐il si l’on change le gaz présent dans les cavités résonantes?
On passe de l
On
passe de l’air
air à l
à l’hélium
hélium par exemple
par exemple
La longueur de la cavité reste la même,
La condition de résonance en longueur d’onde reste la même,

La longueur d’onde
La longueur d
onde du mode fondamental est la même :
du mode fondamental est la même :
L     4L
4
Mais la vitesse de l’onde est différente! Bouche
c = 900 m/s
900 /
ouverte

c
900

 1125 Hz  plus aigu
4 L 00.88
hélium
Source :
corde vocale
L=0.2m
Si l’on met de l’hexafluorure de soufre, c = 136 m/s

136
c

 170 Hz  plus grave
4 L 0.8
19
XV. Ondes - oreille
L’oreille permet de détecter les sons. Le conduit auditif permet de créer une onde sonore stationnaire => première amplification.
Comme le conduit mesure 2.5 cm. La première condition de résonance (n=0) c
 3.4 kHz => sensibilité maxi de l’oreille
correspond à L   4   
4L
à cette fréquence.
Après transmission par le canal auditif externe, l’onde
Après transmission par le canal auditif externe, l
onde de pression permet de de pression permet de
faire vibrer une membrane, le tympan.
L 4
2
1
3 4
La vibration du tympan est ensuite La
vibration du tympan est ensuite
amplifiée et transformée en influx nerveux => nerf auditif
1 Vibration du tympan
1.
Vib ti d t
2. Amplification par les osselets
3. Transmission à la cochlée
4. Transformation en signal nerveux
Oreille externe
O ill
Oreille
Oreille
O
ill
moyenne interne
20
XV. Ondes - oreille
Amplification de la force agissant sur le tympan pour l’Homme (pas pour les reptiles). Amplification
de la force agissant s r le t mpan po r l’Homme (pas po r les reptiles)
Le ligament 3 est pris comme pivot (axe de rotation) du levier « marteau ».
Oreille moyenne
Homme
reptile
A2
Equilibre des moments si levier à l’équilibre :
r1 F1  r2 F2
r1
 F2  F1
r2
A1
La surface (A1) du tympan est de 65 mm2 alors que celle (A2) de la fenêtre ovale est de 3.2 mm2 => amplification de la pression : r1
F2  F1 et
r2
F2 r1 F1 A1 r1 A1
P2 


P1
A2 r2 A1 A2 r2 A2
Comme r1/r
C
/ 2 = 1.5 et A
1 5 A1/A2 = 20, on a une amplification de pression d’un facteur 30, 20
lifi i d
i d’ f
30
en négligeant l’amortissement!
21
XV. Ondes - oreille
Détection de la vibration transmise, via la fenêtre ovale, dans l’oreille interne,
cochlée
fenêtre ovale
canal cochléaire
(endolymphe)
tympan
y p
Rampes vestibulaire
et tympanique
( é il
(périlymphe)
h )
22
XV. Ondes - oreille
Détection du son transmis dans l’oreille interne
Cellules cillées
internes
externes
LLa vibration est transmise du canal vestibulaire au canal tympanique, ib ti
tt
i d
l
tib l i
lt
i
via le canal cochléaire
Vibration de la membrane basilaire
Le mouvement de la membrane basilaire est détecté et transformé en signal électrique par des cellules cillées => fibres nerveuses => cerveau
23
XV. Ondes - oreille
Détection du son transmis dans l’oreille interne, distinction de la fréquence
Son basse fréquence
Son haute fréquence
Selon la fréquence du son, la transmission canal vestibulaire => canal t
tympanique se fait dans une zone différente de la cochlée. i
f it d
diffé t d l
hlé
Les cellules cillées excitées seront différentes => détection de la fréquence.
La fréquence est aussi déduite de la fréquence de vibration de la membrane basiliaire qui reflète celle du son.
=> La fréquence du signal transmis par les cellules cillées est égale à la q
fréquence du son.
24
XV. Ondes - son
En fait notre oreille réagit différemment aux différentes fréquences et le seuil d’audition varie donc également :
25
XV. Ondes - son
Types de sons :
Notre oreille ne nous permet que de « capter » certaines ondes sonores.
On classe les ondes sonores en fonction de leur fréquence.
On classe les ondes sonores en fonction de leur fréquence.
L’oreille humaine perçoit les sons de fréquence comprise entre 20 Hz – 20000 Hz. Cet intervalle se réduit avec l’âge.
Les ultrasons et leur réflexion sont utilisés dans
une technique d’imagerie médicale : l’échographie.
q
g
g p
26
XV. Ondes – son - échographie
Cette technique d’imagerie consiste à envoyer un faisceau d’ultrasons sur la zone d’intérêt du corps –  entre 2 et 8 MHz.
Création et détection des ultrasons avec un transducteur (cristal piézoélectrique)
Création et détection des ultrasons avec un transducteur (cristal piézoélectrique)
 Transforme un signal électrique en une déformation ‐ EMISSION
 Ou transforme une déformation en un signal électrique – DETECTION
émission
réception
Une différence de potentiel V variant à la fréquence crée un son de fréquence 
Un son de fréquence crée une différence de potentiel V
27
XV. Ondes – son - échographie
Lorsque les ultrasons rencontrent dans les tissus un « obstacle » = changement de milieu, os, muscle… On a une TRANSMISSION et une REFLEXION =>> retour en arrière d
On a une TRANSMISSION et une REFLEXION retour en arrière d’une
une partie partie
de l’onde
On enregistre le signal réfléchi (= écho) avec le même dispositif que pour créer les ultrasons Le temps auquel l’écho
créer les ultrasons. Le temps auquel l
écho se produit vaut
se produit vaut
técho
2d

c
d est la distance entre la source et l’obstacle, qu’on peut donc localiser.
Une partie du faisceau est cependant transmise et continue son chemin
=> Nouvelles réflexions possibles sur d’autres structures biologiques
Émission
et réception
des ultrasons
da
db
dc
Obstacles a, b et c
28
XV. Ondes – son - échographie
Le rapport entre les amplitudes incidente et réfléchie = coefficient de réflexion R.
Si changement de milieu a =>> b, R dépend de 
Si changement de milieu a b, R dépend de a et 
et b
L’intensité d’un écho dépend donc de R,
Elle dépend aussi de la direction de réflexion et de diffusion des ultrasons par ll’obstacle
obstacle => du type d
=> du type d’obstacle
obstacle, de sa forme et de son orientation.
de sa forme et de son orientation
Grande amplitude d’écho = zone « blanche » de l’image
Petite amplitude = zone « noire »
Reconstitution d’une ligne de l’objet en fonction des échos reçus à différents temps.
29
XV. Ondes – son - échographie
La profondeur de la zone étudiée dépend du temps pendant lequel on attend un écho.
Ligne de l’objet
Si l’obstacle reflétant les ultrasons est en mouvement, on peut suivre ce mouvement (motion‐mode),
Pour obtenir une image à 2D, on doit scanner plusieurs lignes l’une après g
,
p
g
p
l’autre.
30
XV. Ondes – son - échographie
Chaque ligne enregistrée est maintenue à l’écran jusqu’à la fin du scan
 l’image complète est affichée.
Pour éviter une réflexion inutile et une perte de signal, utilisation d’un gel présentant les mêmes caractéristiques qu’un tissu biologique.
31
XV. Ondes – son – effet-Doppler
Une onde est émise par une source et captée par un récepteur en mouvement à vitesse vr. =>> La fréquence La fréquence ’ perçue par le récepteur est différente de la fréquence perçue par le récepteur est différente de la fréquence 
émise par la source.
Si le récepteur se rapproche de la source, il va rencontrer plus de fronts d’onde
d
onde (de maximums) en une seconde que si il était au repos.
(de maximums) en une seconde que si il était au repos
en 1 seconde, le récepteur parcourt
d  v r => il va rencontrer n fronts d’onde en plus que si il était au repos : n
d


Si le récepteur s’éloigne, on a logiquement
car on rencontre n fronts d’onde en moins.
vr

c
  '  
 '  
vr
 v 
   1  r 
c
c 

vr
 v 
   1  r 
c
c 

32
XV. Ondes – son – effet-Doppler
Une onde est émise par une source en mouvement à vitesse vs et captée par un récepteur au repos. =>> La fréquence La fréquence ’ perçue par le récepteur est différente de la fréquence perçue par le récepteur est différente de la fréquence 
émise par la source.
Il faut raisonner en longueur d’onde :
Si la source se rapproche la distance pour l’observateur
Si la source se rapproche, la distance, pour l
observateur, entre deux entre deux
maximum est diminuée de
v
  v s T  s

 '
  '
Si la source s’éloigne  '
vs


 vs 
1  
c 


 vs 
1  
c 

33
XV. Ondes – son – effet-Doppler
Une onde est émise par une source en mouvement à vitesse vs et captée par un récepteur au repos. Cas extrême : le mur du son: la source va à la même vitesse que l’onde
Cas extrême : le mur du son: la source va à la même vitesse que l
onde qu
qu’elle
elle émet => toutes les ondes se superposent au niveau de l’avion => Cône visible indirectement via la condensation de vapeur d’eau
34
XV. Ondes – son – échographie-Doppler
Ce principe peut être utilisé pour mesurer la vitesse d’un obstacle lors d’une échographie, un globule rouge dans un vaisseau par exemple.
Les ultrasons envoyés par la source de fréquence 0 sont réfléchis par le Les ultrasons envoyés par la source de fréquence sont réfléchis par le
globule. La fréquence perçue par le globule qui s’éloigne est

1. émission
2. réflexion v glob
 v 
 1   0 1  glob 
c 

3. réception
Par réflexion de cette onde, le globule devient une source de fréquence 
Cette source est en mouvement! => la fréquence perçue par le récepteur :
 v glob 
1 

c
1

2 
 0 
 v glob 
 v glob 
1 

1 

c
c 



Si le globule se rapproche :
  v glob  
 1 
 
c
 v glob 




   2  0   0
 1  2 0 

  v glob  
c


 1 


c

 

 v glob 
  2 0 

c


35
XV. Ondes – son – échographie-Doppler
En échographie Doppler, on utilise  pour mesurer la vitesse de fluides (sang) dans le corps.
Exemple : suivi du battement du cœur via la variation de vitesse dans l’aorte.
Si vglob = 0.22 m/s et c = 1540 m/s
avec 0 = 5 MHz
 v glob
  2 0 
 c

  1430 Hz

Artère fémorale
Autre exemple : détection de sténose artérielle.
Sténose = rétrécissement
=> Vitesse plus importante 36
XVI. Ondes électromagnétiques
La lumière est une onde électromagnétique, c’est‐à‐dire un champ électrique et un champ magnétique oscillant perpendiculairement l’un par rapport à l’autre. Comme toutes les ondes, la lumière est caractérisée par:
• Une vitesse de déplacement (c = 3 108 m/s),
• Une longueur d’onde ,
• Une fréquence Une fréquence  c 
On distingue différentes «
On
distingue différentes « familles » au sein des ondes électromagnétiques, » au sein des ondes électromagnétiques
en fonction de leur longueur d’onde (donc aussi de leur fréquence).
37
XVI. Ondes électromagnétiques - vision
Notre œil n’est capable que de percevoir les longueurs d’onde comprises entre 400 et 750 nm = rayonnement visible.
La longueur d’onde correspond à une couleur, mais chaque couleur ne correspond pas à une longueur d’onde :
• Le brun,
• Le blanc,
Le blanc,
• Le magenta…
Notre cerveau crée ces couleurs à partir de notre système de détection : rétine (cônes+bâtonnets) et cerveau
système de détection : rétine (cônes+bâtonnets) et cerveau. Cônes = perception des couleurs Bâtonnets = niveaux de gris, très sensibles
38
XVI. Ondes électromagnétiques - vision
Photochimie de détection, dans les bâtonnets par exemple :
Photochimie
de détection dans les bâtonnets par e emple
Les bâtonnets contiennent de la rhodopsine dans les « disques » de leur segment externe. Ce pigment est sensible à la lumière.
La molécule se dégrade sous l’action des photons (de la lumière) en méta‐
rhodopsine II,
Cela modifie la perméabilité de la membrane aux ions sodium => apparition d’une différence de potentiel électrique,
Cette différence de potentiel peut ensuite être « transmise » à un neurone.
(disques)
39
XVI. Ondes électromagnétiques - vision
Frraction du sig
gnal venant d
du cône « veert »
Notre perception des couleurs = la détection des différentes longueurs d’onde Notre
perception des co le rs la détection des différentes long e rs d’onde
par les cônes « bleu », « vert » et « rouge ».
Le mélange de signaux simultanés sur des cônes différents peut donner lieu aux couleurs ne correspondant à aucune longueur d’onde.
Ces couleurs sont le fruit de l’interprétation de notre cerveau des signaux transmis. Le magenta est donné par l’excitation des cônes « bleu » et « rouge » (mais pas « vert ») => impossible avec une seule longueur d’onde.
Couleur vue
j
jaune
magenta
Fraction du signal venant du cône « rouge »
40
XVII. Electrostatique - charges
Développement de 1600 
Développement
de 1600  1800 par des expériences :
1800 par des expériences :
• Observation et création de « charges » par frottement ou influence grâce à des « machines » électrostatiques
• Il existe 2 types de charges appelées +
Il i t 2 t
d h
lé
et –
t (on aurait pu dire noire et blanche) (
it
di
i
t bl h )
é
b
o
n
i
t
e
Ramsden
Van de Graaf
Chat+ébonite
LLa machine de Wimshurst
hi d Wi h
: électrisation par influence
él
i i
i fl
On collecte des charges provenant de deux disques
=> Accumulation de charges dans deux « réservoirs »
( condensateurs)
( = condensateurs)
=> On observe une décharge entre deux
électrodes reliées aux réservoirs. 41
XVII. Electrostatique - charges
+ + se repoussent, – – se repoussent et + – s’attirent => il existe une force!

F
répulsif
qq' 
1qq '
2
4 0 r
1
0 est la permittivité électrique du vide (si dans le vide)
0 = 8.85 10-12 C2N-1m-2
ke 
attractif
force exercée par q sur q’
1
4 0
 910 Nm C r
9
2
-2
q’
charges q et q’ (en Coulombs) ont un signe!
r = distance entre q et q’

1qq ' = vecteur unitaire dans la direction de q à q
q’


Troisième loi de Newton : F   F '
rF
r
F’ q 1qq’
Similitude avec la force gravitationnelle mais gravitation tjrs attractive

mm ' 
F  G 2 1mm '
r

1 p p' 
1pp '
Similitude (en fait unification) avec la force magnétique F 
2
40 r
42
XVII. Electrostatique - force
Exemple : le dipôle électrique, 2 charges opposées à une distance d
d2
1
+q
d1
2
3
‐q
d
3
d
Quels sont le sens et la grandeur de la force résultante sur une charge
Q = +1C en (1), (2) ou (3) ?
Convention de signe : force vers la droite = positive
43
XVII. Electrostatique - champ
Comment décrire l’effet « potentiel » d’une charge ou d’une distribution de
charge :

Utilisation
du concept de champ électrique E

E  P  = vecteur égal au vecteur force que subirait une charge test q0 = 1C
située au point P. Ce vecteur dépend de P.
E est souvent représenté
 sous forme de « lignes de champ » :
• Direction et sens
 de E P = direction et sens des lignes de champ.
• Grandeur de E  P = densité de lignes de champ.
P
P +q
P
Charge +
Charge -
0
Dipôle
+
q0
Condensateur
44
= 2 plaques chargées
XVII. Electrostatique - champ
Quel est le champ électrique créé par une charge ponctuelle q?
Quel est le champ électrique créé par une charge ponctuelle q?

1r

q 
E ( P)  ke 2 1r
r
r
q

E  P

E  P ' 
1r '

q 
E ( P ')  ke 2 1r '
r'
r’
Le champ permet de prédire l’effet qu’aura la charge q dans tout l’espace,
pp
p
q
g q
p ,
Sans forcément mettre une autre charge q’ 



Le champ créé par plusieurs charges Etotal ( P )  Ei ( P ) F (q ')  q ' E
= somme des vecteurs
somme des vecteurs champs créés par les charges
champs créés par les charges i
Exemple du dipôle


E dipole


 E  E

E

E
P
45
XVII. Electrostatique - champ
Exemple de la plaque infinie uniformément chargée
+

+
EB
A + P
+d

B +  EA
+ 1x
+



E AB ( P)  E A  EB

Q
A
Les composantes verticales des champs créés par les charges se compensent deux par deux,
 le champ résultant est horizontal
le champ résultant est horizontal
Loin des bords, le champ est constant, Ne dépend que de la densité (par surface) de charges sur la plaque
sur la plaque
Ne dépend pas de d!
Q

A
  
E
1x  tant que d  taille plaque 
2 0
Exemple de deux plaques portant des charges opposées distantes de l
Exemple de deux plaques portant des charges opposées, distantes de l

1x
Champ entre les deux plaques = somme vectorielle des champs des plaques
Q

A
  
E  1x
0
Champ à l’extérieur = 0 (assez loin)
l
46
XVII. Electrostatique - champ
Exemples : p
Poissons utilisant l’électrolocalisation
• Création d’un champ par un organe spécifique
• Détection du champ perturbé par un obstacle
conducteur
i l
isolant
P i
Poissons utilisant l’électroréception, ampoule de Lorenzini
tili t l’él t é ti
l d L
i i
Détection de l’activité
musculaire
l i de
d proies,
i
qui crée un champ
électrique
47
XVII. Electrostatique – moment
dipolaire

Dipôle dans un champ électrique extérieur uniforme :
p
p
q
f
E
• Pas de force résultante => pas de mouvement de translation
• Mais moment de force résultant par rapport à O non nul => rotation autour de O

d


 
FB  FA  0

   
M O  rB  FB  rA  FA

d 
d 
M O  qE   sin( )  qE   sin( )
2
2


 
M O  qdE sin( )  pE sin( ) et M O  p  E


p  qd est le moment dipolaire électrique, c’est un VECTEUR
Application : certaines molécules (H
A
li ti
t i
lé l (H2O) O)
présentent un dipôle électrique => elle produisent un champ électrique et « sentent » le champ électrique » le champ électrique
extérieur,
=> Création de « liens » entre les dipôles = liens hydrogène dans l’eau
dipôles = liens hydrogène dans l
eau
Paires de bases
G-C et A-T
eau
48
XVII. Electrostatique – moment dipolaire
Exercice 42 : calcul du moment dipolaire électrique de l’eau
Exercice 42 : calcul du moment dipolaire électrique de l
eau
L’oxygène est plus électronégatif que l’hydrogène
 il attire les e- de l’hydrogène
C llimite : les
Cas
l deux
d
électrons
él
H sont sur l’oxygène
l’
è
 Charge +e sur chaque H et charge -2e sur O,
 on obtient alors le moment dipolaire max de H2O
a = 0.096nm
-2e
d
+2e

p  qd  2ed
104.5°
 104.5 
d  a cos 
  0.059 nm
 2 
 pmax  2e d  1.8910
1 891029 Cm
C
(e  1.610
1 61019 C)
C momentt dipolaire
Ce
di l i électrique
él t i
estt assez important
i
t t
49
XVII. Electrostatique – moment dipolaire
A tre e emple la moléc le d’ammoniac
Autre exemple, la molécule d’ammoniac
La molécule d’ammoniac, neutre électriquement, a un moment dipolaire
électrique de 4.91
4 91 10-30
10 30 Cm
Cm. La liaison NH a une longueur de 1 Angstrom.
Angstrom
Sachant que la charge totale sur l’azote est de -0.5e, calculez l’angle q. Le
moment dipolaire est-il vers le haut ou vers le bas ?
[ = 11.66 10-19C]
[e
10 19C]
Si le N porte un excédent de charge de -0.5e alors le centre du triangle H-H-H
porte une charge +0.5e. Le sens du dipôle est donc vers le bas (de la charge –
vers la charge +)
La g
grandeur du dipole
p vaut p = q
qd = 0.5e d
d est la distance entre la charge + et la charge -.
d  NH cos 180   
p
cos 180    
0.5e NH
   127
50
XVII. Electrostatique - potentiel
La force électrique est conservative => on peut lui associer une énergie q
p
g
potentielle électrique
qq '  
U ( P2 )  U ( P1 )  WF    ke 2 1qq '  ds
Cas d’une charge ponctuelle, on a :
r
trajet
1 1
qq '

dr
k
qq
'
e
  
2
r
 r2 r1 
r1
Par convention
convention, on prend comme zéro de
l'énergie potentielle la situation où r1  
r2
rF
q’
q
r
q’
r1
r2
1qq
qq’
q 1qq’’
U (r2 )  U (r1 )    ke
1 1
U (r2 )  0  ke qq '   
 r2  
Donc
U (r ) 
ke qq '
r
Cela traduit que « lutter contre une force électrique », cela revient à « emmagasiner de l’énergie
i
d l’é
i » qui pourra être restituée par la suite.
i
êt
tit é
l
it
On définit l’énergie par unité de charge comme le potentiel électrique V
U (r )
V (r ) 
en Joule/Coulomb = 1 Volt
q'
ke q
(
)
V
r

Dans le cas d’une charge ponctuelle :
r
51
XVII. Electrostatique - potentiel
Exemple : le dipôle électrique, 2 charges opposées à une distance d
d2
1
+q
d1
2
3
‐q
d
3
d
Quelle est l’énergie potentielle d’une charge Q située en 1, 2 et 3. Quel est le
potentiel aux points 1, 2 et 3.
52
XVII. Electrostatique - potentiel
Cas d
Cas
d’une
une distribution de charges (dipôle, condensateur, objet complexe) :
distribution de charges (dipôle, condensateur, objet complexe) :
L’expression est plus complexe, il faut la calculer :
 
 
U ( P2 )  U ( P1 )  WF    qE  ds et V (r )    E  ds
trajet
trajet
Cas simple du condensateur :

E
+
‐
+
‐
d
+
‐
+ P1 P2 ‐
+ 1x
‐
  
E  1x  sur trajet x : V   E x
0
si trajet de + vers - : V  
si trajet de - vers + : V 

d
0

d
0
Si l’on se rapproche de la plaque positive, le potentiel augmente On rapproche une charge + de la plaque +, alors l’énergie potentielle augmente
pp
g
p q
g p
g
MAIS si on rapproche une charge – de la plaque +, alors l’énergie potentielle 53
diminue
XVII. Electrostatique - capacité
Cas simple du condensateur :
Cas
simple du condensateur :
Quelle est la différence de potentiel entre la plaque – et la plaque + d’un condensateur?
+
+
+
+
+

E

1x
l
‐
‐
‐
‐
‐
d = l  V 

l
l
Q
A0
0
on définit la capacité C (en Faraday F) :
A0
C
et donc Q  C V
l
Par abus de langage, on écrit V à la place de V => Q  CV
Si l’on place une substance isolante autre que (l’air) entre les deux plaques :
CK
A0
l
K est la constante diélectrique de l’isolant en question
K = 1 pour le vide ou l’air, K = 8 pour une membrane cellulaire
Si l’on dépasse un certain voltage limite, le milieu s’ionise et devient un bon conducteur => «claquage» = décharge entre les plaques (éclair par exemple)
54
XVII. Electrostatique - capacité
Cas simple du condensateur : énergie emmagasinée
Cas simple du condensateur : énergie emmagasinée
Pour charger un condensateur avec une charge totale Q, il faut amener progressivement des charges opposées sur ses armatures ( = plaques)
i
td
h
é
t
( l
)
 Petite charge dq amenée sur des plaques portant déjà une charge q coûte :
q
énergie
g
dW  dqV  dq
car V 
charge
C
 Pour charger jusque une charge Q :
Q
Q
q
dq
C
0
W   Vdq  
0
Q
1 q 
Q2
W   
C  2  0 2C
2
Q2 C V 2
W

2C
2
Cette énergie sera restituée lorsque le condensateur se déchargera (
(neutralisation des charges + et ‐)
li i d
h
)
55
XVII. Electrostatique - capacité
Exemple de la membrane cellulaire :
Exemple de la membrane cellulaire :
La constante diélectrique de la membrane est 8, son épaisseur de 10 nm.
Q
Que vaut la capacité de 1 cm
tl
ité d 1 2 de membrane?
d
b
?
Que vaut l’énergie emmagasinée sous une différence de potentiel de 100 mV?
56
XVII. Electrostatique - capacité
Exemple du défibrillateur cardiaque :
Exemple du défibrillateur cardiaque :
Sachant qu’un condensateur de défibrillateur fournit 60 kW pendant 2 ms et que la tension de charge est de 4000 V, calculez :
l t i d h
t d 4000 V l l
‐ la capacité du condensateur utilisé,
‐ la charge accumulée.
57
XVIII. Electricité - courant
Mouvement de charges = courant électrique :
Mouvement
de charges = courant électrique :
Le courant est défini comme le débit de charges par unité de temps
Q
I
t
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 A - Ampère  Coulomb/s
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
l
Vitesse v des e‐ , alors les électrons parcourent en t une distance l  v t
Section A du conducteur
Densité d’e‐ par unité de volume = n
Nombre d’e- dans le cylindre
n Av t e
I
t
 I  n Av e
Mais que vaut v = vitesse moyenne des e‐ ?
Fil de cuivre : I = 10 A, rayon = 1 mm, n = 8.38 10+28 m‐3 alors v = 0.24 mm/s
Vitesse ultra‐lente = vitesse de dérive
58
XVIII. Electricité - courant
Vitesse de dérive lente MAIS vitesse de «
Vitesse
de dérive lente MAIS vitesse de « ll’information
information électrique
électrique » = vitesse du » = vitesse du
champ électrique = vitesse de la lumière (c’est le champ E qui fait bouger les e‐)
Cas d
Cas
d’une
une ampoule situé à 2.4 mètres d
ampoule situé à 2 4 mètres d’un
un interrupteur interrupteur
• Elle s’allume  instantanément en un temps = 2.4m / 3 108 m/s = 8 10‐9 s
• Mais les e‐ de l’interrupteur mettront 10000 s à arriver à l’ampoule
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Pourquoi les électrons subissent ce type de mouvement ?
P
i l él
bi
d
?
• Force motrice : à cause du champ électrique créé dans le conducteur F = qE
(générateur)
• Force de « frottement » : «chocs» avec les atomes du conducteur (proportionnelle à la vitesse F = ‐bv)
 Accélération jusqu’à atteindre une vitesse limite
j q
= vitesse de dérive
59
XVIII. Electricité - courant
• Pour créer le courant
Pour créer le courant dans un solide, on a donc besoin d
dans un solide on a donc besoin d’un
un champ électrique
champ électrique
 À ce champ (constant) correspondra une différence de potentiel entre les extrémités du solide



E
E
E
V
V   E x
Vmax
Vmin
Position x
• MAIS la valeur de I dépend de la « mobilité » des électrons du corps
 Effet de la résistance électrique R du solide
I
V
R
ou V  RI
loi d'Ohm
R ’
R s’exprime en Ohms ‐
i
Oh
 I A è
, I en Ampères et V en Volts
t V V lt
60
XVIII. Electricité - courant
• R dépend des caractéristiques du corps étudié :
R dépend des caractéristiques du corps étudié :
R
L
S
 est la résistivité du matériau (indépendant de L et S). L la longueur et S la section
longueur et S la section
matériau
Résistivité (m)
Cuivre
1.6 10
1
6 10‐8
Air
2 1016
Eau salée
0.2
Eau désionisée
2 105
S
• En fonction de la valeur de , on parle d’isolant () ou de conducteur



• On peut associer une résistivité aux matériaux « biologiques »
En considérant un doigt comme constitué d’un matériau avec  = 0.15 m, calculer la résistance de l’index :
61
XVIII. Electricité - courant
Générateur de potentiel électrique :
p
q
Pour créer un courant, on a donc besoin d’une différence de potentiel V
En pratique, elle provient d’une pile, d’une batterie, d’une prise électrique …
C’est
C
est le générateur qui fournit l
le générateur qui fournit l’énergie
énergie nécessaire à la circulation du courant nécessaire à la circulation du courant
dans le circuit. Cette énergie est transformée en énergie thermique Q dans les résistances, LL’énergie
énergie potentielle électrique perdue dans une résistance vaut
potentielle électrique perdue dans une résistance vaut
q
q
U  qV  qRI  t R  R I 2 t
t
t
Q  R I 2 t effet Joule
L’énergie fournie par le générateur peut aussi se transformer en énergie mécanique dans un moteur électrique
Le rôle du générateur est similaire à celui d’une
Le rôle du générateur est similaire à celui d
une pompe dans un circuit pompe dans un circuit
hydraulique.
62
XVIII. Electricité - courant
Application : électrophorèse
pp
p
sur gel
g

Molécules chargées déposées dans un gel + champ électrique E
 Force électrique sur les molécules
 Mais effet «
Mais effet « frein » de la structure du gel sur la migration des molécules
» de la structure du gel sur la migration des molécules
 Vitesse de « dérive » constante qui dépend de la charge MAIS aussi de la taille (donc du poids moléculaire)! Coupe d’un
C
d’ gell = « filet
fil t » 3D
(microscopie électronique)
63
XVIII. Electricité – association de résistances
Appliquons la loi d’Ohm à des associations de résistances
pp q
En série :
Chutes de potentiel successives dans chacune des résistances
V  V1  V2  V3
I1
I
I3
I2
V
V1  R1 I1 V2  R2 I 2 V3  R3 I 3
Mais conservation du débit de charge
I1  I 2  I 3
D
Donc
Et
E
En parallèle :
llèl
I1
I2
I
V
I3
V   R1  R2  R3  I
 V  RI
et
R  R1  R2  R3
Chutes de potentiel égales dans chacune des résistances
V  V1  V2  V3
V1  R1 I1 V2  R2 I 2 V3  R3 I 3
Mais conservation du débit de charge total
Mais
conservation du débit de charge total
Donc I  I1  I 2  I 3
Et
V V V V
1  1
1
1 
I  


 
 
R R1 R2 R3
R  R1 R2 R3 
64
XVIII. Electricité – association de résistances
Exercice 43 : association de résistances : calculez étape par étape!
p p
p
I
V0
V0 = 50 V
R1 = 10 
R2 = 20 
R3 = 15 
R4 = 5 
Calculer Réquivalente et I
65
XVIII. Electricité – sécurité électrique
Que se passe
Que
se passe‐t‐il
t il si on met en parallèle deux résistances fort différentes :
si on met en parallèle deux résistances fort différentes :
R1 >> R2 ?
R1
I1
I
V
R2
I2
V
I1 
R1
V
I2 
R2
et
 1
1 
I V   
 R1 R2 
comme R1  R2 , on a :
I 2  I1 et
I2  I
Il s’agit d’un court‐circuit dans R2 : tout le courant passe dans R2 et quasi rien dans R1
Imaginons que R
g
q
p
p
1 est la résistance d’une ampoule et R
2 la résistance du corps humain, on peut observer un court‐circuit dans le corps.
R1
R1
R2
66
XVIII. Electricité – sécurité électrique
Notion de prise de terre :
Notion
de prise de terre :
La « terre » électrique est le potentiel pris sur un piquet planté dans le sol. La terre est souvent utilisée comme potentiel bas de référence :
Toute personne au contact du fil de haut potentiel ET de la terre (via les pieds, l
les canalisations d’une baignoire,…) servira de résistance de court circuit.
li i
d’
b i
i
)
i d éi
d
i i
En effet, la résistance entre une main et le pied d’un homme est de l’ordre de 1000 Ohms  Comparable à la résistance d’un grille pain  Fuite de courant vers la terre, via le corps de la personne
Pour limiter les risques : utilisation de fusibles différentiels :
q
Ils détectent les variations brusques de courant et coupent le circuit.
67
XVIII. Electricité – sécurité électrique
Pour plus de sécurité, la carcasse métallique des machines (machine à laver, Pour
plus de sécurité la carcasse métallique des machines (machine à laver
four,…) doit être mise à la terre via le troisième fil des prises. Comme cela, si le fil de haut potentiel était accidentellement en contact avec le boitier métallique, il y aurait un court‐circuit => Variation brusque de courant
=> Déclenchement du fusible différentiel
Sans cette mise à la terre, une personne touchant la machine aurait servi de ,
p
« mise à la terre » => électrocution
Application ::
Application
Que vaut le courant traversant le corps d’une personne touchant un fil à 200V?
R  1000  => Mais est‐ce dangereux ou pas? Pourquoi?
68
XVIII. Electricité – sécurité électrique
Effets physiologiques de l’électricité
Effets physiologiques de l
électricité ::
C’est le courant (lorsqu’il persiste plusieurs secondes ) qui est dangereux, pas la différence de potentiel! Les seuils de dangerosité sont donc exprimés en mA
différence de potentiel! Les seuils de dangerosité sont donc exprimés en mA
Intensité du courant
Effet sur le corps
1 A
1 mA
SSensation
ti de chaleur (continu)
d h l
( ti )
Picotement (alternatif)
Entre 1 mA et 10 mA
Réactions musculaires
Entre 10 mA et 20 mA
Paralysie musculaire
Eventuellement arrêt respiratoire (muscles de la cage thoracique paralysés)
q p
y )
100 mA
Fibrillation ventriculaire
= Fonctionnement non coordonné du muscle cardiaque
Arrêt cardiaque
=>> Arrêt cardiaque
=> Pour rétablir le cœur, il faut défribiller < défibrillateur PS : dans la discussion qui précède,
précède on a considéré des courants continus,
continus
alors que l’électricité domestique est de type alternatif
69
XVIII. Electricité – circuit RC
Circuit RC = association d’un
Circuit RC = association d
un condensateur et d
condensateur et d’une
une résistance.
résistance
1) Charge du condensateur
On fferme lle circuit
O
i it en t = 0
• Au départ, la charge du condensateur est nulle
• Le condensateur se charge petit à petit
• Au final, la différence de potentiel aux bornes
du condensateur est égale à V0
=> Charge finale = CV0
R
C
V0
La différence de potentiel V0 se répartit sur la
résistance (VR) et le condensateur (VC):
+
+
VR  RI
+
+
+ C+
‐
‐
V0
q
V0  VR  VC  RI 
C
l
l
VC  q / C
‐
‐
dq q
V0  R 
dt C
où q est la charge
du condensateur
dq
car I 
dt
70
XVIII. Electricité – circuit RC
1) Charge
Charge du condensateur
du condensateur
On cherche l’évolution de la charge q du condensateur (et du courant dans le circuit) avec le temps. Il faut donc résoudre l’équation différentielle :
dq q
V0  R 
dt C
avec q (t  0)  0 et q (t  )  CV0
C
Ce qui mène à la solution suivante :
i è àl
l i
i
q (t )  CV0 1  e  t / RC  donc on a bien q (t  0)  0 et q (t  )  CV0
V0/R
CV0
constante de temps = RC
q (C)
0
0

2
3
temps (s)
4
dq V0  RCt
I (t ) 
 e
dt R
I (A)
0
0

2
3
temps (s)
4
71
XVIII. Electricité – circuit RC
l
+
2) Décharge
Décharge du condensateur
du condensateur
Chargé à un potentiel V0, comment se décharge un condensateur dans 1 résistance?
I
+
Le condensateur agit comme un « générateur » alimentant R
VC  q / C
Les charges + vont se déplacer h
dé l
++ ++
R
dans le circuit vers la plaque ‐
C
Les charges ‐ vont se déplacer ‐ ‐ ‐ ‐
VR  RI
dans le circuit vers la plaque +
=> courant dans R
‐
La loi d’Ohm donne :
q
 RI
C
avec I  dq / dt
En effet la charge du condensateur diminue => dq négatif => dq   I dt
q
dqq
 R
C
dt
avec q (t  0)  CV0 ett q (t  )  0
72
XVIII. Electricité – circuit RC
2) Décharge
Décharge du condensateur
du condensateur
L’évolution de la charge avec le temps est régie par l’équation :
dq
q

dt
RC
Dont la solution est q (t )  CV0 e
t RC

décroissance exponentielle,
constante de temps 
 RC
Pour le courant la solution est similaire,
V0 t RC
I (t )  e
=> décroissance exponentielle,   RC
R
CV0
q (C)
CV0 /2
0.37CV0
0
0
T1/2 
2
3
temps (s)
4
Après un temps , le
condensateur a perdu 63% de sa
charge :
1
 0.37 q0
q ( )  q0
e( 2.72)
On utilise souvent T1/2, le temps
nécessaire pour perdre la moitié
de la charge :
q
q (T1/ 2 )  0  T1/2   ln(2)
2
73
XVIII. Electricité – circuit RC
Application : le stimulateur cardiaque (pacemaker)
pp
q (p
)
Chaque battement du cœur est provoqué par une stimulation provenant de fibres nerveuses.
En cas de problème, on peut stimuler artificiellement le muscle cardiaque, avec un pacemaker, mais il faut le faire de manière régulière ( 75 fois/min)
On utilise alors deux circuits RC :
O
tili
l d
i it RC
r
Interrupteur
V
C
2
R
Tra
ansistor
1
coeur
r << R
1.
L’interrupteur est en position 1, on charge le condensateur. Le temps de charge dépend de  = rC. On prend r petit => charge très rapide
74
XVIII. Electricité – circuit RC
Application : le stimulateur cardiaque (pacemaker)
pp
q (p
)
2.
L’interrupteur passe en position 2 => décharge du condensateur dans R
Le temps de décharge dépend de 2 = RC
Le transistor est réglé de manière à déclencher une impulsion de stimulation à chaque fois que sa tension (=différence de potentiel) passe sous une valeur limite.
e
La tension du transistor VT est égale à la tension de R = tension du condensateur => Elle décroit comme la charge aux bornes du condensateur :
condensateur => Elle décroit comme la charge aux bornes du condensateur : VT (t ) V0 e

t
RC

décroissance exponentielle,
constante
t t de
d temps
t
2
 RC
 Si on prend comme valeur limite V0/e = 37% de V0 , il faut attendre t = 2
 Après un temps 
è
l’
l
é éé ’
2, l’impulsion est générée. L’interrupteur se remet en position 1, le condensateur se recharge très rapidement (1 <<  car r << R)
3.
L’interrupteur se remet en position 2 et le processus recommence.
75
XVIII. Electricité – circuit RC
Application : le stimulateur cardiaque (pacemaker)
pp
q (p
)
Exemple : Un pacemaker utilise une capacité de 0.4 µF, que doit valoir R pour obtenir une stimulation correspondant à 75 battements/minute ?
obtenir une stimulation correspondant à 75 battements/minute ?
(on considère que la recharge du condensateur est instantanée)
76
XIX. Conduction nerveuse
Neurone = cellule nerveuse
La transmission d’information dans les neurones ↔ signaux électriques
Comment modéliser ce type de signal?
Structure d’un neurone:
Corps de cellule + 1 axone et 7000 dendrites
Section d’axone
Microscopie optique
+ marqueurs fluorescents
Bl = noyau
Bleu
Vert = axone+dendrites
Gaine de myéline
1 mm
Noeud de Ranvier
axoplasme
77
XIX. Conduction nerveuse
Propriétés électriques d’un axone : résistance et capacité
• On distingue la résistance longitudinale et la résistance de fuite de l’axone Résistance longitudinale R :
Résistance longitudinale R :
R
Résistivité de l’axoplasme
a = 2 = 2 m
R
S
ifuite
iaxone
Courant suivant l
suivant l’axe
axe de l
de l’axone,
axone, dans l’axoplasme
a L
Résistance de fuite Rm :
Résistance de fuite R
Rm
Courant vers l
Courant
vers l’extérieur,
extérieur, à travers la à travers la
membrane de l’axone
Résistance pour 1 m2 de surface de membrane Axone myélinisé Axone non myélinisé Rm = 40 
Rm = 0.2 
• La membrane peut être assimilée à un condensateur plan de capacité Cm
Cm
Capacité/unité surface de membrane Axone myélinisé Axone non myélinisé Cm = 5 10‐5 Fm‐2
Cm = 10‐2 Fm‐2
CK
A0
epaisseur
78
XIX. Conduction nerveuse – Résistances
Calcul des résistances longitudinale et de fuite :
Résistance longitudinale R :
Pour 1 cm d’axone L 0 01 m et r 5 10‐66m Pour 1 cm d’axone, L = 0.01 m et r = 5 10
m
R
Cette résistance est énorme !  1000 km câble cuivre
Axone = (très) mauvais conducteur
10 /m
Par unité de longueur, R’ = 2.5 10
éd l
’
/
a L
 2  2.5
2 5 108 
r
Résistance de fuite Rm :
La surface par laquelle le courant s’échappe
La surface par laquelle le courant s
échappe = surface extérieure du cylindre
= surface extérieure du cylindre
Résistance pour 1 unité de surface (1m2) de la membrane = Rm
Pour une longueur L d’axone,
Rm
2 rL
car R mL  si la surface 
RmL 
L
surface  2 rL
r
Il existe donc une distance caractéristique  pour laquelle R = RmL
Rm 
Rm

 a2 R  
2 r   r
Rm r
2 a
0.05 cm axone non myélinisé
 
 0.7 cm axone myélinisé79
XIX. Conduction nerveuse – Résistances
Calcul des résistances longitudinale et de fuite :
Au‐delà d’une distance (max 1cm), tout signal électrique est perdu via le courant de fuite, même dans un axone myélinisé. d f i
ê
d
éli i é
La transmission d’un signal par conduction électrique « simple » est impossible .
Une différence de potentiel entre l’intérieur et l’extérieur de l’axone pourra se p
p
propager dans une section myélinisée d’axone.
Pour modéliser cette situation (par un circuit RC), il faut tenir compte des Pour
modéliser cette situation (par un circuit RC), il faut tenir compte des
résistances et de la capacité de l’axone. On peut alors étudier l
On
peut alors étudier l’atténuation
atténuation et la vitesse de transmission d
et la vitesse de transmission d’un
un signal signal
dans une portion myélinisée d’axone.
80
XIX. Conduction nerveuse – Modélisation
Réponse à un stimulus Réponse
à n stim l s
Appliquons une perturbation de potentiel V entre intérieur et extérieur de la membrane en 1 point de l’axone.
L’intérieur est donc à V’= V+V avec V=‐70 mV (potentiel de repos, voir suite)
• Comment va se propager cette perturbation de potentiel dans l’axone?
Modélisation d’un segment d’axone par un circuit électrique - Résistance longitudinale R
- Résistance de fuite R’
- Capacité de membrane C
Intérieur de la membrane
V
V1
Extérieur de la membrane
V = perturbation par rapport au potentiel de repos (on considère ici V>0 )
V2
V3
Modélisation de plusieurs
segments d’axone en série par
une série de circuits électriques
81
XIX. Conduction nerveuse – Modélisation
Réponse à un stimulus
Réponse
à n stim l s
• Comment va se propager cette différence de potentiel dans l’axone?
Circuit simplifié, négligeons la résistance de fuite.
V1(t)
V
V
V1
V1V
V2(t) et V1(t)
V
V1
V2
V1
V
V1V
V2V
V2
V1(t)
V
Avec résistance
de fuite
V
V1
V1 finaleV
V1V1finale
V
V1finale
V1
V2
V2finale
V3
V3finale
82
XIX. Conduction nerveuse – Modélisation
Réponse à un stimulus
Pour un axone modélisé avec un circuit comportant les résistances longitudinale et de fuite + les condensateurs :
et de fuite + les condensateurs :
•La différence de potentiel finale est de plus en plus faible (à cause de la résistance de fuite) : V1finale > V
résistance de fuite) : V
V2finale > V
V3finale 3finale …
On peut montrer qu’après une longueur L d’axone,
 V finale  L    Ve  L / 
Les stimuli de potentiel de membrane ne se propagent pas de manière efficace sur des longues distances. ffi
d l
di
Il se propageront cependant plus loin dans un axone myélinisé car  vaut 0.7 cm (contre 0.05 cm sans myéline).
83
XIX. Conduction nerveuse – Modélisation
Réponse à un stimulus
Pour un axone modélisé avec un circuit comportant les résistances longitudinale et de fuite + les condensateurs :
•La différence de potentiel finale en 1, 2, 3 … s’établit graduellement (T1< T2< T3) V se « propage » le long de la membrane à une certaine vitesse.
La vitesse de propagation est reliée à la constante de temps du circuit RC :
Sur une longueur de 1 mm (cellule de Schwann): vitesse  x t  0.001m ( RC )1mm
Si = RC petit, alors vitesse importante

l
Or Cm(myélinisé)<<Cm(non myélinisé) => Vitesse plus importante dans les portions myélinisées (50m/s)
Comment comprendre la transmission de l’information sur des distances importantes (L>>) ?
P
Pour un nerf périphérique, neurone moteur (moelle épinière) f é i hé i
t
(
ll é i iè )
à 10‐100 cm de la terminaison (muscle) => perte de signal irréversible!
=> Il doit exister un système d’amplification!
84
XIX. Conduction nerveuse – membrane
Le fonctionnement de l’axone est possible grâce aux propriétés de la membrane cellulaire. En effet, elle est à la fois:
En effet, elle est à la fois:
‐un bon isolant, car c’est une bicouche de phospholipides => elle peut servir de condensateur.
‐ en partie perméable (dans les zones non myélinisées) à certains ions (dont en partie perméable (dans les zones non myélinisées) à certains ions (dont
Na+, K+ et Cl‐), grâce à l’existence de canaux protéiques. Cela permet l’établissement d’un potentiel de membrane.
A t
Autres propriétés importantes:
iété i
t t
‐La perméabilité aux ions dépend de paramètres tels que la différence de potentiel membranaire.
‐Elle contient des pompes à Na+/K+ dans les zones non myélinisées (voir suite)
85
XIX. Conduction nerveuse – concentrations ioniques
Le raisonnement qui va suivre concerne les portions non myélinisées de l’axone.
Différents ions sont présents dans l’axoplasme et à l’extérieur de l’axone,
Leurs concentrations à l’intérieur ci et à l’extérieur co sont très différentes:
Ion
Extérieur de l’axone
Co (moles/m
( l / 3)
Intérieur de l’axone
Ci (moles/m
( l / 3)
Na+
144
10
K+
4
Cl‐
120
Autres‐
28
Total + : 148
Total ‐ : 148
160
7
163
Charge totale nulle
Total + : 170
Total ‐ : 170
Charge totale nulle
Cette situation peut paraitre étrange: les concentrations devraient s’uniformiser
Cette situation peut paraitre étrange: les concentrations devraient s
uniformiser
« agitation
g
thermique
q »
86
XIX. Conduction nerveuse – loi de Nernst
On peut comprendre qu’une différence de concentration persiste SI
•On se rappelle qu’il s’agit d’ions (qui portent une charge électrique)
•IlIl existe une différence de potentiel entre intérieur et extérieur de la membrane
existe une différence de potentiel entre intérieur et extérieur de la membrane
V  Vi  Vo  Vi (on prend Vo comme zéro de potentiel)
ALORS, les ions vont subir une force électrique, qui pourrait lutter contre ll’uniformisation
uniformisation des concentrations.
des concentrations
Exemple pour un ion positif de charge q et V <0 (donc Vi négatif)
Tendance
“potentiel électrique”
+
+
+
V
intérieur
+
+
+
+
+
+
membrane
+


+ F  qE
extérieur
Tendance à l’uniformisation
des concentrations
+
mouvement d’ion + vers le bas potentiel (ou d’ion – vers le haut potentiel)
De l’extérieur vers l’intérieur (pour un ion + et inversement pour un ion ‐)
LL’ampleur
ampleur du «
du « transfert » dépendra du gain en énergie potentielle électrique:
» dépendra du gain en énergie potentielle électrique:
U  qV
87
XIX. Conduction nerveuse – loi de Nernst
Les différences de concentrations peuvent être maintenues pour une valeur Les
différences de concentrations pe ent être mainten es po r ne ale r
bien précise de V donnée par la loi de Nernst. Elle « compare » l’énergie électrique (qV) à l’énergie d’agitation thermique (kT) qui tend à uniformiser les concentrations
c 
-23
qV  kT ln  0  avec k  1.38 10 J/K et T température absolue
 ci 
Le flux I
Le
flux IP , à travers la membrane, des ions + (‐) vers la zone de bas (haut) à travers la membrane des ions + ( ) vers la zone de bas (haut)
potentiel est alors équilibré par le flux inverse IC de la zone de haute [ion] vers la zone de basse [ion].
Ces deux «
d
courants électriques
él
» IC et IP sont donc égaux en grandeurs et d
é
d
opposés en signe pour cette valeur de potentiel de membrane.
Exemple pour le K+ pour les concentrations de repos d’un axone
c 
ci = 160
K+
K+
K+
K+
qV  kT ln  0 
3
moles/m
intérieur
c
i 

‐19
Avec q = 1.6 10
q
C
K+
K+
K+
K+
K+
Et c0 et ci valeurs de repos, on obtient:
IC
IP
membrane
V
V  98 mV
+
K+
comme on a pris V0  0
Vi  98 mV
K
K+
extérieur
K+
88 3
c0 = 4 moles/m
XIX. Conduction nerveuse – loi de Nernst
Exemple pour le K+ pour les concentrations de repos de l’axone
•Donc SI co = 4 et ci = 160 moles/m3 ET que V = ‐98 mV ALORS, le système est équilibre, les concentrations en K+ restent constantes.
•C’est un équilibre dynamique: des ions passent sans cesse de l’intérieur vers ll’extérieur
extérieur (I
(IC) et de l
) et de l’extérieur
extérieur vers l
vers l’intérieur
intérieur (I
(IP)
On dit que le potentiel d’équilibre de l’ion K+ est ‐98 mV
Que valent les potentiels d’équilibre pour les autres ions (et les [] de repos) C0 (moles/m3)
Ci (moles/m3)
Na+
144
10
+71 mV
K+
4
160
‐98 mV
Cl‐
120
7
‐76mV
Potentiel d’équilibre Veq
c 
qV  kT ln  0 
 ci 
89
XIX. Conduction nerveuse – potentiel de repos
Origine du potentiel de repos de la membrane :
Origine
d potentiel de repos de la membrane
D’où vient le potentiel de membrane de l’axone?
Imaginons un système contenant 2 réservoirs séparés par une membrane.
Ils contiennent initialement deux solutions de KCl de [] de 4 et 160 moles/m
/ 3.
La membrane est perméable aux ions K+ mais pas aux Cl‐
= intérieur = extérieur
160 moles/m3
4 moles/m3
•Au
Au départ
départ pas de différence
pas de différence de potentiel
de potentiel V de part V de part
et d’autre de la membrane.
•Des ions K+ passent de la gauche vers la droite
L intérieur perd des charges des charges + (mais
(mais pas des charges pas des charges ‐))
•L’intérieur
=> devient de plus en plus négatif
•Une V apparait donc. ,
l’équilibre!
q
•Quand V atteint ‐98 mV, on atteint
=>Les flux de potentiel
=>Les
flux de potentiel (IP) et de concentration (I
) et de concentration (IC) se compensent
) se compensent alors parfaitement!
=>Les concentrations et V restent alors stables = équilibre dynamique
Les [] de K+ dans les deux réservoirs changent très peu lors du transfert initial de K+ de ll’intérieur
intérieur vers ll’extérieur:
extérieur: ilil suffit d
d’un
un tranfert
tranfert de 1/100000 des K
de 1/100000 des K+ pour atteindre
pour atteindre ‐98mV
98mV
V  Q / C [C=capacité de la membrane]
90
http://www.physiol.usyd.edu.au/~daved/teaching/nernst.html
XIX. Conduction nerveuse – potentiel de repos
Origine du potentiel de repos de la membrane :
Origine
d potentiel de repos de la membrane
•Dans ce cas simple, la membrane se charge « naturellement » à ‐98mV,
•Si l’on considère deux réservoirs contenant du NaCl avec les [] de repos du Na+
de l’axone, la membrane (perméable aux Na+ mais pas aux Cl‐) se chargerait alors « naturellement » à +71mV,
= intérieur = extérieur
Low [NaCl]
Na+
+
High [NaCl]
Na+
Cl-

•Si ll’on
•Si
on considère maintenant deux réservoirs de NaCl
considère maintenant deux réservoirs de NaCl avec les [] de repos du avec les [] de repos du
Cl‐ de l’axone avec une membrane perméable aux Cl‐ et pas aux Na+, on obtiendrait V=‐76mV.
91
XIX. Conduction nerveuse – potentiel de repos
Problème:
Problème
•Dans l’espace intra‐ et extracellulaire de l’axone, on trouve à la fois du K+, du Na+ et du Cl‐ .
•La membrane est perméable à ces trois ions.
•La perméabilité de la membrane diffère selon l’ion. Au repos pK+>pCl‐>PNa+
En prenant comme référence la perméabilité K+, elles sont dans un rapport:
(1 /0.45/0.05)
La situation est plus complexe que si la membrane n’est perméable qu’à un seul ion!
Le potentiel électrique de membrane se stabilise si le courant total des charges à travers la membrane vaut zéro: Itotal=I(K+)+I(Na+)+I(Cl‐)=0
Dans ce cas, la différence de charge Q de part et d’autre reste constante
Le potentiel de membrane est constant, c’est le potentiel de repos Vrepos
V  Q / C [C=capacité de la membrane]
Il se calcule à l’aide de l’équation de Goldman‐Hodgkin‐Katz:
Vrepos



kT  pK   K  o  pK   Na  o  pCl  Cl  i

ln 
e  pK   K    pK   Na    pCl  Cl  
i
i
o





92
XIX. Conduction nerveuse – potentiel de repos
Origine du potentiel de repos de la membrane :
Origine
d potentiel de repos de la membrane
•Avec les valeurs de concentrations ioniques de repos, •En tenant compte des perméabilités de la membrane pour les différents ions,
On obtient comme potentiel de repos de la membrane Vrepos = ‐70mV
Vrepos  70mV
Il existe donc localement des charges résultantes  0 sur les faces interne et externe g
g sur la face intérieure.
de la membrane. Charge + sur la face extérieure et charge –
Leur présence mène à cette différence de potentiel Vrepos = ‐70 mV.
Cependant, la charge totale à l’intérieur de l’axone est nulle, ainsi que celle de l’extérieur de l’axone.
En effet, les ions accumulés sur les faces de la membrane ne représentent que 1/100000 de la quantité totale d’ions. /
q
93
XIX. Conduction nerveuse – axone au repos
Flux résultant d’ions pour l’axone au repos
Fl
rés ltant d’ions po r l’a one a repos
Comparons les valeurs de potentiel d’équilibre de chaque ion avec la valeur de potentiel de repos de la membrane
C0
Ci
(moles/m3) (moles/m3)
Potentiel d’équilibre
Veq
Na+ 144
10
+71 mV
+71 mV
K+
4
160
‐98 mV
Cl‐
120
7
‐76 mV
Potentiel de repos
Vrepos
Vrepos  70mV
ion Cl‐ légèrement hors équilibre: flux IP (=> extérieur) < flux IC (=> intérieur)  flux résultant Cl
flux résultant Cl‐ vers intérieur
vers intérieur
ion Na+ très « hors équilibre »: flux IP et flux IC vers l’intérieur de l’axone
 flux résultant Na+ vers intérieur
ion K+ légèrement hors équilibre: flux I
ion K
légèrement hors équilibre: flux IP (=> intérieur) < flux I
(=> intérieur) < flux IC (=> extérieur)
(=> extérieur)
 flux résultant K+ vers extérieur
94
XIX. Conduction nerveuse – axone au repos
faible flux résultant pour l’ion Cl
faible
fl rés ltant
l’i Cl‐ pour le potentiel de repos
l
t ti l d
flux résultant de Na+ vers l’intérieur de l’axone
flux résultant de K+ vers l’extérieur de l’axone
 Après un certain temps, les concentrations de Na+ et de K+ de part et d’autre de la membrane devraient varier! (totalement négligé jusqu’à présent)
 Comment conserve‐t‐on les concentrations inchangées?
l
h é
Grâce aux pompes à Na+ / K+, qui compensent les flux résultants de ces ions.
Les pompes Na/K servent à maintenir le déséquilibre de [] et le Vrepos!
Elles consomment de l’énergie.
Les flux IP et IC sont eux passifs,
passifs
ils ne consomment pas
d’énergie.
95
XIX. Conduction nerveuse – potentiel d’action
Potentiel d’action
Potentiel
d’action
Pour un stimulus assez important dans une zone non myélinisée, l’information va pouvoir se propager sous la forme d’un « potentiel d’action ».
Si l’on excite le neurone avec une V tel que V’= Vrepos+V devienne supérieur à une valeur seuil Vseuil  ‐50 mV :
1.
2.
3.
Le potentiel croit soudainement et devient > 0
Il atteint une valeur pouvant aller jusque Vmax  +40 mV p
p
Il retourne ensuite plus lentement à sa valeur de repos V
repos = ‐70 mV
Vmax
Vmax
Vseuil
Vseuil
Potentiel de repos Vrepos
Potentiel de repos Vrepos
96
XIX. Conduction nerveuse – potentiel d’action
Potentiel d’action
Potentiel
d’action
La forme du potentiel d’action et la valeur de Vmax ne dépendent pas de l’amplitude du stimulus (tant qu’il dépasse Vseuil) :
La réponse est binaire : tout ou rien.
Les changements de potentiel proviennent de la perméabilité de la membrane pour les ions K+ et Na+ et de sa dépendance en Vmembrane.
V
P t ti l d’action
Potentiel
d’ ti
Perméabilité au Na+
Perméabilité au K+
Temps (ms)
97
XIX. Conduction nerveuse – potentiel d’action
Potentiel d’action
Potentiel
d’action
On peut décomposer le potentiel d’action en plusieurs phases :
1. Lorsque V dépasse V
Lorsque V dépasse Vseuilil , P
, PNa
augmente d’un
un facteur 1000
facteur 1000
N augmente d
 les ions Na+ entrent en masse dans l’axone => V  et devient positif
2. Après 0.3 ms, V approche la valeur Veq d’équilibre du Na+ => flux stoppé
3. La perméabilité au K+ augmente alors d’un facteur 30
 les ions K+ sortent de l’axone => V  et redevient négatif, il passe même sous la valeur de repos V
l
l
d
Vrepos avant de tendre vers cette valeur
td t d
tt
l
4. Le retour final aux concentrations de repos est réalisé grâce aux pompes Na+‐K+ (50 ms) => pendant ce temps l’axone n’est plus excitable
Att ti : les
Attention
l phases
h
1-3
1 3 sont dues
d
V
2
à la perméabilité de la membrane,
pas à l’action des pompes Na+-K+
1
3
Mais comment se propage le
potentiel d’action le long
p
g de l’axone?
4
Temps (ms)
98
XIX. Conduction nerveuse – propagation
Propagation du potentiel d’action
Propagation
d potentiel d’action
Au point P, le potentiel est dans sa phase montante
 Des ions sodium entrent en masse, charge + à l’intérieur
 Par contre, déficit d’ions positifs à l’extérieur => charge –
On va donc assister à l’apparition de faibles courants d’ions positifs dans la zone PQ :
• A l’intérieur, mouvement d’ions + de la gauche vers la droite
• A l’extérieur, mouvement d’ions + de la droite vers la gauche
 Le potentiel transmembranaire en Q augmente (il devient moins négatif)
p
Q g
(
g )
 Lorsqu’il dépasse Vseuil, le potentiel d’action se déclenche en Q Le potentiel d’action ne peut
revenir en arrière: période réfractaire
P
Q
99
XIX. Conduction nerveuse – propagation
Propagation du potentiel d
Propagation
du potentiel d’action
action dans un axone myélinisé
dans un axone myélinisé
Lorsqu’un potentiel d’action arrive dans une zone myélinisée, il ne peut se propager :
La myéline est isolante et inhibe le transfert d’ions
La myéline est isolante et inhibe le transfert d
ions à travers la membrane,
à travers la membrane
Le courant passe dans l’axoplasme mais pas de potentiel d’action courant passif (=charge d’un circuit RC, propagation de V de la membrane)
Courant possible sur une distance de 1mm car 
ibl
di
d
  1cm dans zone myélinisée
d
éli i é
Arrivées dans une zone sans myéline (nœud de Ranvier), les modifications de charge créent une différence de potentiel qui va réactiver les modifications de perméabilité 
é b l é  potentiel d’action = réamplification
l d’
é
lf
d
du signal
l
1mm
100
XIX. Conduction nerveuse – propagation
Propagation du potentiel d
Propagation
du potentiel d’action
action dans un axone myélinisé
dans un axone myélinisé
Ce mode de propagation saltatoire (par sauts) est nettement plus rapide (50m/s) que la propagation de proche en proche du potentiel d’action.
Il t é l
Il est également moins coûteux en énergie : le fonctionnement des pompes t
i
ût
é
i l f ti
td
Na+‐K+ n’est nécessaire que dans les nœuds de Ranvier.
Il est propre aux vertébrés. La gaine de myéline est clairement un avantage développé lors de l’évolution des espèces. 101
XX. Magnétisme
Aimants et champ magnétique
Aimants
et champ magnétique
Certains minéraux présentent des propriétés étonnantes :
Ils attirent les métaux et s’attirent ou se repoussent entre eux.
Cristal de magnétite (Fe3O4) attirant des objets en fer.
= aimants
Forces NON électrostatiques (objets non chargés)
Forces NON électrostatiques (objets non chargés)
=> Existence d’un autre type phénomène = magnétisme
Des petits aimants subissent des déviations 
à  endroits de la Terre (cfr
à 
endroits de la Terre (cfr boussole)
 La Terre agit comme une sorte de gros aimant
(venant de la rotation du noyau de Fe‐Ni liquide de la Terre)
de la Terre)
Des petits aimants sont aussi perturbés par des conducteurs parcourus par un courant électrique p
p
q
(fil droit, spire, bobine,…)
 Lien entre courant électrique et magnétisme
102
XX. Magnétisme
Champ magnétique
Champ
magnétique
Pour comprendre ces phénomènes, on introduit la notion de champ magnétique B [Teslas T]
Champ  VECTEUR : intensité, direction et sens
Champ 
VECTEUR : intensité direction et sens
(champ visualisé par de la limaille de fer)
• Au sein des aimants, B est créé par des « courants microscopiques
i
i
» dans la matière.
d
l
iè
Seuls les courants de surface subsistent, formant une boucle de courant.
• Des fils conducteurs parcourus par un courant créent un champ magnétique.
B
a
I
Fil simple droit
Boucle de courant
Solénoïde = bobine
103
XX. Magnétisme
Champ magnétique
Champ
magnétique
Champ  VECTEUR : intensité, direction et sens
• Des fils conducteurs parcourus par un courant créent un champ magnétique
r
B
a
I
B ( r )  2  k '
I
r
B  2  k ' I
Longueur l, N spires
Au centre de la bobine :
a
k’ = 10‐7 NA‐2
I N
B  4  k '
l
Force créée par un champ sur une charge en mouvement :


Une charge q en mouvement à la vitesse est déviée par un champ :
v
B

 
F  qv B
Attention : produit vectoriel => règle de la main droite
104
XX. Magnétisme
Force et champ magnétique
Force et champ magnétique
 
v B
force  à et => 
 
F  qv B
déviation sans modification de la grandeur de v
grandeur de v
Attention q porte un signe!
Expérience de mesure du rapport e/m, utilisation de B  trajectoire circulaire

B

v

v

F
++++
- - -mv 2
eV 
2
m v2
F
R
F  e v B sin  90   e v B
2eV
v
m

v
F
Va servir de force centripète
et
e
v

m BR

e
2V
 2 2
m B R
105
XX. Magnétisme
détecteur
Application : le spectromètre de masse :
Application : le spectromètre de masse :
Mélange de molécules à analyser
• Bombardement échantillon avec e
o ba de e t éc a t o a ec e‐
=> Création d’ions +
accélération
• Accélération • Sélection de vitesse (v, E
Sél i d i
( E1 et B
B1 )
• Déviation dans un champ magnétique
 On différencie les différentes masses
 On obtient au final un « spectre » des masses des différents ions présents dans l’échantillon
Pourquoi sélectionner une vitesse?
Le rayon de la trajectoire finale est: Le
rayon de la trajectoire finale est:
mv
R
 pour q et m donné
qB
si on veut une seule valeur de R
il faut avoir une seule valeur de v
Comment sélectionner avec v, E1 et B1 


 
F  q E1  q v  B1
F  q E1  q v B1
si v  E1 B1 alors F  0
 pas de déviation
106
XX. Magnétisme
Application : le spectromètre de masse :
Application : le spectromètre de masse :
• Comment relier la position sur le détecteur à la masse de l’ion?
Relative inttensity
m RB

q
v
 On utilise souvent le rapport m/Z avec m = nombre de masse On utilise souvent le rapport m/Z avec m nombre de masse
(dalton) et Z = nombre de charges unitaires sur l’ion
Attention : présence de fragments de la molécule de départ
Attention
: présence de fragments de la molécule de départ
 nombreux pics!
C3H6+, C2H2O+ ou C2H4N+
m/Z
107
XX. Magnétisme
Force magnétique sur un fil parcouru par un courant :
Force magnétique sur un fil parcouru par un courant :
Un champ magnétique agit sur une charge en mouvement
 Il agit sur les électrons circulant dans un conducteur (= courant)
g
(
)
 Force sur le conducteur

B

v dérive
e
e 
e
e
e
Fe

petit élément de charge
 l

 
dl 
 
dF  dq
d v  B  dq
d
 B  I dl  B
dt
 

F  I lB

l est le vecteur dont la direction est celle du conducteur, dont la grandeur est la longueur du conducteur et dont le sens est le sens du courant (charges +)
108
XX. Magnétisme
Moment magnétique :
Moment
magnétique :
Calculons la force totale et le moment de force total agissant sur une boucle de courant (= spire) plongée dans un champ magnétique B :

Côtés 1 et 3
Côtés 1 et 3,
B
F1  I l B sin  90     I l B cos  
F3   I l B cos  
(4)
 (3)
O
A (2)
l
Force résultante nulle 

 (1)

Moment résultant nul M O , F  0 et M O , F  0
1
Côtés 2 et 4,
 À B
F2  I l B et F4   I l B
F
Force résultante nulle
é lt t
ll
mais moment de force résultant non nul!



M O  M O , F2  M O , F4
l
l
B sin    I l B sin  
2
2
M O  I l 2 B sin  
MO  Il

B
3

F3
(3)

O

F4

(4)

F1
(1)
O

B
(2)


F2 109
XX. Magnétisme
Moment magnétique :
Moment magnétique :
Le champ n’exerce donc pas de force résultante, mais un moment résultant
La spire tourne pour que sa surface soit 
p
p
q
au champ B
p

2

M O  I l B sin    I AB sin  
A  aire de la spire
  I A1
M O   B sin  
avec   IA




1n
  I A 1n
direction de  est  à la surface

 

M O    B sens de  donné ppar la règle
g de la main droite
n
A
(sens du courant dans la boucle)



Le moment magnétique s’aligne donc avec
B
C’est le principe de la boussole : l’aiguille aimantée s’aligne avec Bterrestre
C’est aussi pour cela que la limaille de fer s’aligne sur les lignes de champ de B



On utilise donc pour «
quantifier » le magnétisme 
• d’une boucle de courant ou (g
pq )
• d’un aimant (grâce aux courants microscopiques)




110
XXIII. Magnétisme
Moment magnétique : applications
Moment
magnétique : applications
• Moment magnétique d’un électron sur une orbite :
e
2 r
I  avec T 
T
v
ev
evr
 r2 
donc   I A 
2 r
2
e Ze 
e  Ze 
mv2
k 2 v k
r
r
mr
•Moment magnétique du noyau d’hydrogène (=proton p+) :

LLe proton (noyau H) tourne sur lui‐même (=spin)
(
H)
l i ê
( i )


Le proton a une charge +e => charge en rotation sur elle 


=> moment 

Attention, on est en mécanique quantique pas en physique classique!
+
p
Les deux H de l’eau portent un moment magnétique
p
g
q
Ce moment est beaucoup plus faible que celui de l’e‐
111
XX. Magnétisme
Moment magnétique : applications
Moment
magnétique : applications
• IMAGERIE PAR RESONANCE MAGNETIQUE (IRM)
On met des molécules d’eau dans un champ B – chaque proton = boussole
Comme des petites boussoles certains moments de protons s’alignent
Comme des petites boussoles, certains moments de protons s
alignent avec B
avec B
Le moment total est la somme de tous les vecteurs : il est aussi aligné avec B  
B0


total  0
 
B0


total  0

Un corps humain soumis à un champ B présente donc aussi un moment
Un
corps humain soumis à un champ B présente donc aussi un moment totall
(en effet, il contient 70% eau) => il présente un magnétisme nucléaire

En utilisant une séquence de mesure adéquate, on peut détecter la valeur de tot
112
XX. Magnétisme
• IMAGERIE PAR RESONANCE MAGNETIQUE
IMAGERIE PAR RESONANCE MAGNETIQUE
On utilise 

1. Un champ B (=> apparition de total  0 )
2 Un champ électromagnétique oscillant (dans les ondes radio) => permet 2.
Un champ électromagnétique
oscillant (dans les ondes radio) > permet

de détecter total
3. Des champs magnétiques additionnels qui varient avec la position
on les appelle les «
l
ll l
gradients
di
» ‐ ils servent à localiser les protons
il
à l li l

Au final, une image IRM donne une cartographie de total des protons de H2O dans une tranche de corps humain
dans une tranche de corps humain.

total
Chaque « picture element » (PIXEL) de l’image correspond au mesuré à un instant précis dans un « volume element » (VOXEL).
Bonne résolution pour
i
image
anatomique
i
113
XX. Magnétisme
• IMAGERIE PAR RESONANCE MAGNETIQUE
IMAGERIE PAR RESONANCE MAGNETIQUE
Quelques applications médicales :
Imagerie fonctionnelle
Angiographie
Détection de tumeurs
Préparation du geste
Accomplissement du geste
Technologiquement, c’est assez compliqué
• champ B important => bobine avec des dizaine d
champ B important => bobine avec des dizaine d’ampères
ampères
• + bobines avec des courant oscillant à haute fréquence pour le champ électromagnétique oscillant
• + bobines pour créer les «
+ bobines pour créer les « gradients »
114
XX. Magnétisme – effets induits
IlIl est possible de créer des courants grâce à un champ magnétique :
est possible de créer des courants grâce à un champ magnétique :
Si l’on définit le flux magnétique à travers une boucle de courant comme :
 
  B A  B A cos  


A  A 1n
Le flux est un nombre, pas un vecteur

1n


B
A
Des variations de flux créent dans le conducteur une tension «
i i
d fl
é
d
l
d
i
i d i » qui i
induite
s’oppose toujours à la variation de flux (Loi de Lenz‐Faraday) :
Vinduit
d

dt
Vind est en volts et peut créer un courant dans un l
é
d
conducteur! Utiliser la loi d’Ohm.
Le flux peut varier à cause de :
Le
flux peut varier à cause de :
‐ variations de B ‐ variations de A
‐ variation de cos()
i i d
()
Si le conducteur n’est pas une simple boucle mais un objet quelconque conducteur, des variations de flux induisent des courants de Foucault (le principe est strictement identique)
115
XX. Magnétisme – effets induits
Exercice 44 :
Exercice 44 :
Dans le montage ci‐contre, quelle doit être la vitesse de déplacement de la tige conductrice AC (elle est tirée par la force Fext) pour que le circuit, dont la résistance R est égale à 4 , soit traversé par un courant i = 0,25 A ? On donne l = 50 cm et B = 0,8 T. Le sens du courant i est‐il horlogique ou anti‐horlogique ?
116
XX. Magnétisme – effets induits
Exercice 45 (exercice 20‐7) :
Une boucle de 0.1 m2 de surface fait un angle droit avec un champ magnétique g
p
g
q
uniforme. Le sens du champ est alternativement inversé à la fréquence de 60 Hz ; son amplitude est de 2T. Que vaut la FEM moyenne induite pendant le demi‐cycle qui correspond au champ passant de la valeur maximum à zéro puis de nouveau à
qui correspond au champ passant de la valeur maximum à zéro puis de nouveau à la valeur maximum, mais avec une orientation dans le sens opposé ? Que vaut la FEM moyenne sur un cycle entier ?

B
117
XX. Magnétisme – effets induits
E
Exercice 46 (exercice 20‐34)
i 46 (
i 20 34) :
Sur la figure suivante, un pendule métallique est en mouvement dans un champ magnétique uniforme. Dans quels sens tournent les courants de Foucault dans le pendule ? Quelle est l’orientation de la force magnétique agissant sur le pendule ?
118
XX. Magnétisme – effets induits
Exercice 47 (exercice 20‐4) : Sur la figure ci‐dessous, quelle est l’orientation, à
l’intérieur de la boucle de fil rectangulaire, du champ dû à un courant I circulant
d
dans
l fil
le
f l rectiligne
l
? Si on augmente I, dans
d
quell sens le
l courant est‐ill induit
d
dans la boucle ? Si I est constant et que l’on déplace la boucle vers la droite,
quel est le sens du courant induit ?
119
XX. Magnétisme – effets induits
Exercice 48 (exercice 20‐1) : Le champ magnétique de la figure ci‐dessous est
uniforme dans toute la région représentée et pénètre dans le plan du dessin.
Une boucle
b l de
d fil
f l est disposée
d
é dans
d
ce même
ê
plan.
l
Dire s’il
’ l y a courant induit
d
quand la boucle est déplacée de P1 à P2, de P2 à P3 et de P3 à P1.
120
XXI. Rayons X - radiographie
Introduction :
Introduction :
• Les rayons X sont des ondes électromagnétiques de faibles  (0.1‐100 Å)
paquets
q
» d’énergie = photons
g
p
• La lumière = ensemble de « p
• Energie d’un photon E  h  h
c

 RX : petit  = grande énergie
• Découverte des rayons X (=inconnus) par Röntgen en 1895
 Première radiographie peu après (main de la femme de Röntgen)
 Production des RX avec un tube de Coolidge
Émission de Rayons X
e e e
Cible en cuivre
c i re
Différence de potentiel V pour
accélérer les e- vers la cible
Production des e121
XXI. Rayons X - radiographie
Production des RX avec un tube de Coolidge
Production
des RX avec un tube de Coolidge
• Les rayons X sont produits lors du freinage des électrons dans la cible
Conversion énergie cinétique en photons • On obtient beaucoup de longueurs d
On obtient beaucoup de longueurs d’onde
onde = spectre de RX
spectre de RX
Fond continu
• Photons émis lors du freinage des e‐ ‐ ne dépend pas du type de cible
• A retenir: on ne peut produire des RX dont 
i
d i d
d
 min


eV  h max
2
mv 
Emax  h max 
2 
eV
hc
 max 
 min 
h
eV
m v2
eV 
2
min
l'énergie est limitée par le voltage V
  aussi!
122
XXI. Rayons X - radiographie
Spectre caractéristique
Spectre
caractéristique
• Interaction avec les atomes de la cible :  dépend de la nature de la cible
Électron du faisceau interagit avec ceux de la cible (cuivre)
1 électron K éjecté  Réarrangement (descente d’un électron)
 Emission d’un photon X
p
 
Si un électron de la couche L => K
Alors émission d’un photon X Kα
E  h   EL  EK
Si un électron de la couche M => K
Si
él
d l
h M K
E  h   EM  EK
Alors émission d’un photon X K
        
123
XXI. Rayons X - radiographie
Absorption des RX par la matière
Absorption
des RX par la matière
• Les rayons X peuvent traverser la matière, mais ils perdent en intensité Intensité = nombre de photons par seconde
• LL’intensité
intensité après une épaisseur x d
après une épaisseur x d’absorbant
absorbant est donnée par
est donnée par
I   x   I  ,0 e
  x
Valable pour une longueur d’onde
I diminue exponentiellement avec x – coefficient absorption µ
d matéria absorbant
du matériau absorbant : µ 
 quand Z 
q and Z  (interaction avec les Z e
(interaction a ec les Z e‐)
µ dépend
de la longueur d’onde : µ  quand  (donc µ > µ
µ[calcium (Z=20)] > µ[carbone (Z=6)], µ[hydrogène (Z=1)] et µ[oxygène (Z=8)]
Os
Chair
Le plomb (Z = 82) est l’absorbant par excellence => protection contre RX
p
(
)
p
p
124
XXI. Rayons X - radiographie
Absorption des RX par la matière –
Absorption
des RX par la matière – principe de la radiographie
principe de la radiographie
Les tissus absorbent donc différemment les rayons X
=> On peut différencier les tissus du corps humain
Absorption RX pour  constant
µ(os)  µ(tissus mous)
Intensité RX (unités arrbitraires)
1.0
0.8
il reste plus de rayons X
après 15 cm de chair
qu’après
q
p 15 cm d’os
=> contraste
TISSUS MOUS
0.6
OS
0.4
0.2
0.0
0
5
10
15
20
épaisseur d'absorbant (cm)
125
XXI. Rayons X - radiographie
Principe de la radiographie –
Principe
de la radiographie – agent de contraste
agent de contraste
Pour augmenter le contraste, on injecte un élément avec Z important
+ non toxique!
Sulfate de barium Z = 56
Colon avec Barium
126
XXII. Physique nucléaire
S
Structure de l’atome et du noyau
d l’
d
Atome = e(‐) en « orbite » autour d’un noyau(+)
Taille atome 0 1 nm 10‐10m Taille atome ≈ 0.1 nm = 10
m
Taille noyau ≈ quelques femtomètres (1 fm = 10‐15 m)
 Noyau 100000X plus petit que atome
Noyau composé de nucléons : protons (+) et neutrons (0)
Masse(proton) ≈ Masse(neutron) = 1.66 10‐27kg
Masse(nucléon) 1800X Masse(électron)
Masse(nucléon) = 1800X Masse(électron)
 Masse de l’atome est concentrée en son noyau
Pour un atome donné : Pour
un atome donné :
A = nombre de masse = nombre total de nucléons
Z = nombre de protons
AZ N
N = nombre de neutrons
N = nombre de neutrons
A
On décrit les noyaux comme suit : Z X
X = symbole chimique
12
6
C , 136C , 146C
L
Les atomes de même Z mais de A (et N) ≠ sont des isotopes
d
ê
Z
i d A ( N)
d i
127
XXII. Physique nucléaire
Cohésion du noyau
C
hé i d
Le noyau devrait être instable : les charges + se repoussent!
2 protons situés à 2fm l’un de l’autre se repoussent avec une force électrostatique :
e2
F  k 2  60 N  le noyau devrait " exploser"
r
En fait, il existe une force d’attraction entre les nucléons = « force forte »
Elle ne devient importante qu’à très courte distance
 Dans le noyau attraction 100X plus grande que répulsion électrostatique
Dans le noyau attraction 100X plus grande que répulsion électrostatique
Cette force de cohésion ne permet pas de stabiliser tous les noyaux :
‐ certains sont très stables et ils perdurent
p
12
56
C
Exemples : , …
6
26 Fe
Noyaux stables
‐d
d’autres
autres sont instables , …
sont instables 146 C 238
94 Pu
et se transforment plus ou moins vite
Éléments radioactifs
128
XXII. Physique nucléaire
Fi i
Fission nucléaire
lé i
n  235
92 U 
94
38
Sr  140
54 Xe  2n  énergie
95
138
n  235
U

Y

92
39
53 I  3n  énergie
Besoin de 1 n mais production de plus de 2 n
p
p
=> Possibilité de réaction en chaine => bombe
Si on veut maitriser la réaction (centrale atomique), il faut « neutraliser » les neutrons. Utilisation de barres de sodium.
neutrons. Utilisation de barres de sodium.
129
Barres de contrôle servent à absorber les neutrons
=> Limite la réaction de fission
130
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité
Radioactivité étudiée par Becquerel, Pierre et Marie Curie :
• Certains minerais d’uranium impressionnent une plaque photo
• Pierre et Marie Curie isolent le polonium et le radium, très radioactifs
Pierre et Marie Curie isolent le polonium et le radium très radioactifs
Alexander Litvinenko
Empoisonné au Polonium
Mineraii
Mi
d’uranium
On comprend donc qu’un noyau instable se transforme en un autre noyau + radiations
On distingue alors trois « radiations » en fonction de leur pouvoir pénétrant :
• Rayonnement (arrêté par quelques feuilles de papier)
y
(
p q q
p p )
• Rayonnement  (traverse papier mais arrêté par quelques mm d’aluminium)
• Rayonnement  (passe à travers le béton ou plusieurs cm de plomb)
131
Radioactivité 
Radioactivité 
XXII. Physique nucléaire
Les « rayons »  sont en fait des particules  = noyaux 24 He
Ces particules sont produites lors de certaines désintégrations
Ces particules sont produites lors de certaines désintégrations radioactives (= transformation du noyau) Noyau parent E => Noyau fils E
Noyau parent E Noyau fils E’ + particule 
particule 
A
Z
E
A 4
Z 2
E '  He
4
2
Par exemple
226
88
4
Ra  222
Rn

86
2 He
 Aiguilles de vieux réveille‐matin émettent des 
Particules alpha lourdes et chargées => interagissent fortement avec matière
 Faible pénétration MAIS portent une grande énergie F ibl é ét ti MAIS
t t
d é
i
 Dangereux à courte distance (si on ingère une source alpha par exemple)
132
Radioactivité 
Radioactivité 
XXII. Physique nucléaire
Désintégration produisant un électron ou un positron de haute énergie
Positron = même masse que électron et même charge mais positive
q
g
p
L’électron ou le positron vient du noyau (pas des électrons de l’atome)
• Un électron est produit lors de la conversion d’un neutron en proton
n  p  e  
• Un positron est produit lors de la conversion d’un proton en neutron
p  n  e    = neutrino, pas de charge et presque sans masse = inerte
Exemples
14
6
C  147 N  e   
Transforma on d’un neutron en proton → A constant, mais Z augmente de 1
19
10
Ne  199 F  e   
Transforma on d’un proton en neutron → A constant, mais Z diminue de 1
e+ et e‐ ont une charge mais leur masse est 1800 plus petite que celle du g
p p
q
proton => interagissent relativement peu => assez pénétrants
133
XXII. Physique nucléaire
Application radioactivité : Application
radioactivité :
tomographie par émission de positrons (TEP)
• Lors de la désintégration de certains éléments radioactifs, il y a émission de positrons (électron positif = antimatière). • Après ~ 1 ns (ce qui correspond à quelques mm de «
A è 1 (
i
dà
l
d trajet
t j t »), le ) l
positron s’annihile avec un électron de son environnement.
E  mc 2
= transformation de masse en énergie :
g
=>l’émission (en directions opposées) de deux photons  de 511 keV. (1keV = unité d’énergie =103 eV = 1.6 10‐16J )
• Le L 18F est souvent utilisé comme source de positrons. Cet élément a F t
t tili é
d
it
C t élé
t
une demi‐vie de 109 minutes.
134
XXII. Physique nucléaire
Application radioactivité : Application
radioactivité :
tomographie par émission de positrons (TEP)
=> beaucoup d’émissions de e+ dans les premières heures
Produit dans un cyclotron
y
par bombardement d’18O (stable) avec des p
(
)
protons • Le traceur utilisé : le FDG = fluorodeoxyglucose
• Glucose pour accumuler dans les zones consommant du glucose Gl
l d
l
d l
(tumeur)
135
XXII. Physique nucléaire
Application radioactivité : Application
radioacti ité 
tomographie par émission de positrons (TEP)
Pour faire une image d’un patient, on lui injecte l’isotope Pour
faire une image d’un patient on lui injecte l’isotope
émetteur de positron et on détecte les photons  émis lors de l’annihilation (e+‐e‐) 136
XXII. Physique nucléaire
Application radioactivité : Application
radioacti ité 
tomographie par émission de positrons (TEP)
•Comment réaliser une image? Il faut distinguer les évènements g
g
effectivement liés à une désintégration et ceux liés à d’autres évènements.
•On vérifie donc la coïncidence de la détection par le système de deux photons  qu’on
photons , qu
on considère comme provenant de deux directions opposés
considère comme provenant de deux directions opposés
Détecteur de photons 
Si d’ ihil i
Site d’annihilation
Grâce à la position des Grâce
à la position des
détecteurs activés, on peut construire une « droite » sur laquelle l’annihilation a eu
laquelle l’annihilation a eu lieu.
137
Radioactivité 
Radioactivité 
XXII. Physique nucléaire
Production d’un photon de très haute énergie ( ∼10‐12 ‐ 10‐15m)
y
Emis lors de la désexcitation du noyau : état excité => état fondamental
Un noyau excité est souvent produit lors d’une désintégration  ou 
m
Exemple : le technétium 9943
Tc produit par la réaction :
99
42
Mo  9943mTc  e  
Désintégration 
Désexcitation 
Photons  très énergétiques => très pénétrants et très dangereux
138
XXII. Physique nucléaire
Application radioactivité : la scintigraphie (ou gamma camera)
Application
radioactivité : la scintigraphie (ou gamma camera)
On couple une molécule d’intérêt biologique à du technétium.
99 m
Par exemple du méthylène diphosphate couplé au 43Tc , capté par les os
On injecte ce traceur radioactif au patient
=> Emission de  au niveau des os
=> Détection des 
 Construction d’une image
On peut aussi utiliser des isotopes de l’iode, du thallium …
,
123
I pour étudier la thyroïde
53
139
XXII. Physique nucléaire
Application radioactivité : la scintigraphie
Pour certaines tumeurs : C36H66N6O699mTc
Détection des photons émis avec des gamma camera
1) Collimation
2) Scintillation
3) Photomultiplication
4) Détection
5) Traitement du signal +
Traitement du signal +
construction de l’image
140
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité – notion de demi
Radioactivité notion de demi‐vie
vie
Pour un noyau radioactif donné, le nombre dN de désintégrations pendant un petit intervalle de temps dt
p
p
est proportionnel à
p p
N b dde noyaux
Nombre
• N (nombre total de noyau parent)
de départ
• dt (intervalle de temps)
dN
 t
dN   Ndt 
  N  N (t )  N 0 e
dt
L nombre
Le
b dde noyaux parents di
diminue
i
=> signe
i
négatif
é if
La demi‐vie T1/2 = temps nécessaire au passage de N0 à N0/2
T1/ 2 
l ( 2)
ln(

Si TT1/2 court : désintégration rapide, Si
court : désintégration rapide
Si T1/2 long : désintégration lente.
T  6h
Tc
99 m
43
123
53
I  13h
141
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité – notion de demi
Radioactivité
notion de demi‐vie
vie
Application : datation au carbone 14
En haute atmosphère : p
n  147 N 
C p
14
6
((1))
Ce carbone s’oxyde => CO2 et entre dans le cycle de la matière vivante
Mais le 14C est radioactif ‐ :
C
14
6
14
7
N e

avec T1/2 = 5730 ans et  = ln2/T1/2 (2) On observe donc deux tendances pour le carbone : création par (1) et d
disparition par (2)
( )
Pour tout être vivant consommant du carbone (plante – animal …), un équilibre s’établit pour obtenir un rapport des isotopes N (14 C )
r0  12  1012
N ( C)
142
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité – notion de demi
Radioactivité
notion de demi‐vie
vie
Application : datation au carbone 14
14C, mais la réaction (2) continue, avec une Après la mort, plus d’apport de p
,p
pp
,
( )
,
demi‐vie de 5730 ans.
N (14 C )
 Le
Le rapport rapport r 

12
N ( C)
En effet
En effet avec le temps
avec le temps
N (14 C )  N 0 e  t  r (t )  r0 e  t
 La mesure de r permet de savoir à quel moment l’organisme est mort.
Exemple : la mesure de r sur un fragment de momie donne 6 10‐13
Quel est l’âge de cette momie?
143
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité – activité
Radioactivité
On peut aussi calculer le nombre de désintégrations par unité de temps
= vitesse de désintégration = ACTIVITE unité : désintégration/s = Becquerel (Bq) ou Curie, 1Ci = 3.7 10
: désintégration/s Becquerel (Bq) ou Curie 1Ci 3 7 1010 Bq
(activité de 1g de 226Ra)
dN
A
 A0 e   t
dt
A 0  activité initiale
L activité de l
L’activité
de l’élément
élément radioactif diminue également avec le temps
radioactif diminue également avec le temps
Avec la même demi‐vie T1/2 que le nombre de noyaux N(t)
L’activité est un indice de la dangerosité d’un matériau radioactif :
Si A grand grand nombre de  ou  émis par seconde!
Si A grand, grand nombre de ou
émis par seconde!
Pour qu’un matériau devienne moins dangereux, il faut que A ↘
 Il faut attendre plusieurs demi‐vies  Importance de la longueur de la demi‐vie
I
d l l
d l d i i
Pour une utilisation médicale, il faut un T1/2 adapté (technétium – 6 heures) à ce que l’on
ce que l
on veut observer : veut observer :
temps de détection  T1/2  durée de vie du patient
144
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité – activité
Radioactivité
Exemples d’activités:
•1 g d’eau de mer : 0.01 Bq
•1 g d’eau
•1 g d
eau de mer de Fukushima : 47 Bq
de mer de Fukushima : 47 Bq
•1 m3 d’air : 20 Bq
•1 m3 du nuage radioactif de Tchernobyl : 100000 Bq
• 1g de «
d corps humain
h
i » : 0.1 Bq (
0
(40K))
•1g de 40K : 250000 Bq mais abondance naturelle 0.0112 %
Ca  e  
40
19
K
40
19
K  e 
40
20
40
18
(88.8%)
40
Ar *   18
Ar *  
(11.2%)
•1g d’
g 238U : 10000 Bq
q
•Isotopes du Pu
145
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité – dose
Radioactivité
 Dose absorbée D = quantité d’énergie transmise par le rayonnement par unité de masse
Elle s’exprime
Elle s
exprime en Gray (Gy) = Joule/(kg de matière)
en Gray (Gy) Joule/(kg de matière)
 On parle aussi de débit de dose J(t) (concept semblable à l’activité)
T
dD(t )
J (t ) 
dt
D(T )   J (t )dt
0
 Si J(t) est constant pendant le temps T, D = J T
 Mais si D n’est pas constant, comme lors de l’ingestion d’un radioélément :
p
,
g
J (t )  J 0 e
 eff t
avec eff  R  B
R est la constante de décroissance du radioélément et 
est la constante de décroissance du radioélément et B la constante de la constante de
décroissance biologique
ln 2
ln 2
R 
bio  bio
T1/2
T1/2
eff
ln 2
1
1
1
 eff ett

 bio
eff
T1/2
T1/2 T1/2 T1/2
146
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité – dose
Radioactivité 

J 0T1/2
D
Dose
totale
l   J (t )dt
d   J 0 e dt
d 

ln 2

0
0
 t
J0
Exercice: Après avoir injecté un de solution de HSA (Human Serum Albumin) marquée au 99 m
un prélèvement de sang révèle une activité de 10Bq Un deuxième
43Tc , un prélèvement de sang révèle une activité de 10Bq. Un deuxième prélèvement identique, effectué 6 heures plus tard, conduit à une activité de 2.5Bq. Quelle est la période biologique de la HSA, sachant que la demi‐vie du 99 m
td 6h
?
T est de 6 heures ?
43Tc
Si le débit de dose initial est J0=1.9 10‐7Gray/s, quelle est la dose totale reçue dans le sang? (attention aux unités de temps utilisées)
147
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité – dose
Radioactivité
 Mais chaque rayonnement (pour la même énergie déposée) aura des effets différents au niveau biologique  Notion de dose équivalente H : dose absorbée pondérée, en Sievert (Sv)
Notion de dose équivalente H : dose absorbée pondérée en Sievert (Sv)
H  R D R = facteur de pondération du rayonnement
 Mais chaque tissu a une sensibilité spécifique => notion de dose efficace E en Sievert
Si
E  T H T = facteur de pondération du tissu
C’est cette dose qui est importante pour évaluer les risques biologiques d’une source radioactive
Effet d’irradiation  (1.5 Gy) sur un ovaire de souris
148
Les ovocytes sont marqués en brun
XXII. Physique nucléaire
Radioactivité – dose
 La dose efficace en Sv dépend de l’organe ciblé et du type de L d
ffi
S dé
d d l’
iblé t d t
d
rayonnement => il faudrait parler en doses efficaces
 La dose efficace pour une scintigraphie cardiaque (la plus dangereuse) p
g p
q ( p
g
)
est de +/‐ 40 mSv
 C’est comparable à 15 ans d’exposition à la radioactivité naturelle (2.5 mSv/an)
 Entraine un risque de 1/500 de développer un cancer à cause de l’examen
 Il faut estimer le rapport risque/bénéfice avant de prescrire un tel examen!
149
150