07.Les Arbres

Algorithmique P2
Les Arbres
Renaud Dumont, Ulg
2009-2010
Biblio. supplémentaire
Ouvrages
◦ Algorithmes et structures de données génériques, Divay M.,
2004, Dunod
◦ Data Structures and Algorithm Analysis in C++, MA Weiss,
1998, Pearson Ed.
Cours
◦ Cours d'algorithmique en langage C, Jean-Eric Pin, LIAFA,
1998
◦ Algorithmique 4, Dominique Seret, Univ. Paris Descartes,
2008
◦ Programmation avancée, T. Lecroq, Univ. Rouen
◦ Arbres de recherche, Sylvie Hamel, Université de Montréal,
2009
Graphes
Un graphe est un couple G = (S, A)
◦ S est l'ensemble des sommets
◦ A est un sous-ensemble de S x S, l'ensemble des
arêtes.
arêtes
◦ A = {(1, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 3), (4, 3)}
Deux arêtes (s, t) et (s', t') sont consécutives
si t = s'
◦ Arêtes consécutives (1, 2) et (2, 4)
Graphes
Un chemin dans un graphe est une suite
d'arêtes consécutives.
◦ (1,2)(2,4)(4,3) est un chemin
◦ (1,4)(4,3)(3,3)(3,3) est un autre chemin
◦ …
Graphe non dirigé (non orienté) :
◦ si (s, t) est une arête, (t, s) est une arête
Arbres
Arbre (libre)
◦ Graphe non-dirigé (non-orienté) non-vide, connexe
et sans circuit (acyclique)
Arbre enraciné
◦ Graphe non-dirigé muni d'un sommet distingué (la
racine)
racine et tel qu'il existe un chemin unique de la
racine à un sommet quelconque.
Arbres – Exemples d'utilisation
Expression arithmétique
◦ ((a+b) * (c-d) – e)
Chaine de caractères
◦ mais, mars, mer, mon
Permet de mémoriser les caractères déjà rencontrés
Arbres – Exemples d'utilisation
Structure grammaticale
Structure d'un livre, classifications biologiques, …
Système de répertoires/fichiers d'un OS, interface
fenêtrée d'un logiciel
Un arbre, c'est une structure de données non linéaire
permettant de hiérarchiser les données
◦ Relation inter-éléments = "est parent de"
Arbres - Vocabulaire
Nœud, racine, fils
◦ éventuellement qualifiés "à gauche" ou "à droite"
pour les arbres binaires (voir suite)
Nœud
–
Racine
Nœud
Fils
(à gauche)
Nœud
Fils
(à droite)
Arbres - Vocabulaire
Ancêtre, descendant, père, fils
◦ x descendant (propre) et fils (à droite) de y
◦ y ancêtre (propre) et père de x
"propre" : si x est différent de y, tel qu'ici
Tous les nœuds d'un arbre ont un et un seul
parent, sauf la racine.
r
◦ Propriété du chemin unique
Frère, sœur
◦ Nœuds de même parent
a
b
h
y
x
Arbres - Vocabulaire
Feuille = nœud sans fils
Racine = le seul nœud sans père
Degré d'un nœud = nombre de ses enfants
Racine,
Nœud
interne
r
Feuille
a
Nœud
interne
y
Nœud
interne
b
Feuille
b
Feuille
h
Feuille
x
Arbres - Vocabulaire
Profondeur d'un nœud = longueur du chemin entre la racine
et ce nœud
Hauteur d'un arbre = profondeur maximale de ses
nœuds/hauteur de sa racine
Hauteur d'un nœud = longueur maximale du chemin entre ce
nœud et une feuille
r
Prof. = 0
Haut. = 2
H(Arbre) = 2
a
Prof. = 1
Haut. = 0
y
Prof. = 1
Haut. = 1
h
Prof. = 2
Haut. = 0
x
Prof. = 2
Haut. = 0
Arbres - Vocabulaire
Niveau L dans un arbre = ensemble des
nœuds de profondeur L
Taille d'un arbre = nombre de ses nœuds
r
Prof. = 0
Niv. = 0
T(A) = 5
Niveau 0 contient 1 nœud
Niveau 1 contient 2 nœuds
Niveau 2 contient 2 nœuds
a
Prof. = 1
Niv. = 1
y
Prof. = 1
Niv. = 1
h
Prof. = 2
Niv. = 2
x
Prof. = 2
Niv. = 2
Arbre enraciné
Définition récursive
◦ Un nœud seul est un arbre dont la racine est ce
nœud.
◦ Etant donnés un nœud r et k arbres T0,T1,…,Tk-1
ayant des racines notées respectivement r0,r1, …, rk-1,
on construit un nouvel arbre de racine r en posant
que r est le parent de r0,r1, …, rk-1.
T0,T1,…,Tk-1 sont alors appelés les soussous-arbres de r
dont les racines r0,r1, …, rk-1 sont les enfants de r.
Arbre vide = Arbre ne contenant aucun nœud
◦ N'est pas considéré comme un arbre
Arbres - Vocabulaire
Quels sont les sous-arbres de l'arbre suivant ?
A
C
B
C
B
D
D
E
F
G
D
E
E
F
F
G
G
Le chemin C-E est-il sous-arbre de A ?
Arbres ordonnés
Un arbre ordonné est un arbre enraciné dans
lequel tous les fils de chaque nœud sont
ordonnés
Arbres binaires
Un arbre binaire est un ensemble fini de
nœuds
◦ Vide (noté ε, qui n'est pas un arbre), ou
◦ Constitué d'une racine et de deux arbres disjoints
Sous-arbre à gauche et sous-arbre à droite
Dont l'un des deux est éventuellement vide
Le degré d'un nœud d'un arbre binaire ne
peut prendre que les valeurs 0, 1 ou 2
◦ Chaque nœud possède 0,1 ou 2 fils.
Arbres binaires
On représente souvent un arbre binaire par le
triplet A = (Ag, r, Ad)
Pour l'arbre de gauche, il vient
◦ (Ø, 1,((Ø,3, Ø),2, Ø))
Et pour l'arbre de droite ?
◦ Rép. : ((Ø,2,(Ø,3, Ø)),1, Ø)
Arbres binaires complets
Un arbre binaire est complet si chaque niveau de
l'arbre est complètement rempli
Pour un nœud numéroté i,
1
◦ Le fils à gauche est numéroté 2*i
◦ Le fils à droite 2*i+1
Propriétés :
2
4
3
5
6
7
◦ Si H(A) = h, l'arbre possède n=2h+1-1 nœuds
◦ Le nombre de feuilles est égal au nombre de nœuds
internes + 1
Arbres binaires
Un arbre binaire est localement complet si
tout nœud a 0 ou 2 fils
Un arbre binaire est partiellement complet si
toutes les feuilles sont placées sur la gauche
de l'arbre
Arbres binaires
Un arbre est dégénéré (filiforme) si tous ses
nœuds ont exactement 0 ou 1 fils (à droite ou
au gauche)
◦ Un tel arbre de profondeur h possède h+1 noeuds
Arbres binaires
Arbres binaires de 1, 2, 3 et 4 nœuds
Lesquels sont
◦ complets?
◦ localement complets ?
Les arbres binaires
Un arbre généalogique est-il un arbre binaire ?
Si ascendant, oui
Si descendant, non
© JB Laurent
Arbres binaires équilibrés
Équilibré : Pour chaque nœud, les hauteurs
des sous-arbres gauche et droit diffèrent
d'au plus une unité
Parfaitement équilibré : Pour chaque nœud,
les nombres de nœuds de chaque sous-arbre
gauche et droit diffèrent d'au plus une unité
Equilibré
Parfaitement Eq.
Notions de parcours (∀arbres)
Un parcours est une énumération des nœuds de
l'arbre
◦ De par cette énumération, chaque parcours définit un
ordre sur les nœuds
On distingue
◦ les parcours de gauche à droite
Le fils à gauche précède le fils à droite dans l'énumération
◦ les parcours de droite à gauche
Le fils à droite précède le fils à gauche dans l'énumération
Ensuite, on différencie
◦ Les parcours en largeur
◦ Les parcours en profondeur
Parcours en largeur
Dans un parcours en largeur, on énumère les nœuds
par ordre croissant de profondeur des nœuds
Autrement dit, de haut en bas, niveau par niveau (et de
gauche à droite)
Parcours en profondeur
Parcours préfixe, préordre (NGD) :
◦ tout Nœud est suivi des nœuds de son sous-arbre
Gauche puis des nœuds de son sous-arbre Droit
Parcours infixe, symétrique (GND) :
◦ tout Nœud est précédé des nœuds de son sous-arbre
Gauche et suivi des nœuds de son sous-arbre Droit
Parcours suffixe,
suffixe postfixe,
postfixe, postordre (GDN) :
◦ tout Nœud est précédé des nœuds de son sous-arbre
Gauche et des nœuds de son sous-arbre Droit
On parle aussi d'ordre préfixe, infixe et suffixe
On trouve aussi les parcours 'droite-gauche'
Parcours en profondeur
Soit l'arbre binaire suivant
Parcours préfixe
◦ Nœud, Gauche, Droite
◦ a, b, d, e, h, c, f, i, g, k
Parcours infixe
◦ Gauche, Nœud, Droite
◦ d, b, h, e, a, f, i, c, k, g
Parcours suffixe
◦ Gauche, Droite, Nœud
◦ d, h, e, b, i, f, k, g, c, a
Codage des arbres binaires
Chaque arête d'un arbre binaire A est étiqueté
◦ Par 0 si f est un fils à gauche
◦ Par 1 si f est un fils à droite
L'étiquette du chemin reliant la racine à un nœud
donné est le mot formé par les étiquettes des
arêtes le composant.
Le code d'un arbre est l'ensemble des étiquettes
des chemins issus de la racine
Le code de l'arbre ci-contre est
◦ {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 010, 101, 110}
◦ Fournit un ordre de parcours des noeuds
Codage de parcours préfixe
Séquence : a,b,d,e,h,c,f,i,g,k
Codes : ε, 0, 00, 01, 010,
1, 10, 101, 11, 110
Ordre lexicographique
◦ Soit un ordre sur un alphabet : 0<1, a<b<c<d…
◦ L'ordre lexicographique est défini par u <lex v ssi
u est un préfixe de v, ou
U=pau' et v=pbv' ou p est un mot, et a et b sont des
lettres telles que a<b
Codage de parcours suffixe
Séquence : d,h,e,b,i,f,k,g,c,a
Codes : 00,010,01,0,101,10,
110,11,1, ε
Ordre opposé de l'ordre lexicographique
obtenu en considérant 1<0
Étape s
1
a
b
d
e
h
c
f
i
g
k
Ordre lexicographique
2
ε
0
00
01
010
1
10
101
11
110
Code
3
ε
1
11
10
101
0
01
010
00
001
Complément du code
4
ε
0
00
001
01
010
1
10
101
11
5
a
c
g
k
f
i
b
e
h
d
Correspondance lignes 4-3-1
6
d
h
e
b
i
f
k
g
c
a
Ordre opposé
Complément, ordre lex.
Codage de parcours infixe
Séquence :d,b,h,e,a,f,i,c,k,g
Codes : 00,0,010,01,ε,
10,101,1,110,11
Ordre des nombres croissants
On associe à chaque nœud
son code concaténé à 1
Le code obtenu est considéré
comme la partie fractionnaire
d'un nombre entre 0 et 1
en binaire
Nœud
Code
C.Frac.
C.Frac.
P.Frac.
P.Frac.
Ordre
a
ε
.1
8/16
5
b
0
.01
4/16
2
c
1
.11
12/16
8
d
00
.001
2/16
1
e
01
.011
6/16
4
f
10
.101
10/16
6
g
11
.111
14/16
10
h
010
.0101
5/16
3
i
101
.1011
11/16
7
k
110
.1101
13/16
9
Codage de parcours en largeur
Séquence : a,b,c,d,e,f,g,h,i,k
Codes : ε, 0, 1, 00, 01, 10,
11, 010, 101, 110
Ordre croissant des mots croisés (shortlex)
Défini par u<mc v ssi
|u|<|v|, ou
|u|=|v| et u <lex v
Codage de parcours
Exemple : (a+b)-(c*d)
Arbre d'expression :
Préfixe :
Infixe :
Postfixe :
-+ab*cd
a+b-c*d
ab+cd*-
Représentation paranthèsée
Soit un parcours préfixe
◦ a, b, d, e, h, c, f, i, g, k
Comment différencier les deux structures
suivantes ?
Représentation paranthèsée
Comment spécifier la structure de l'arbre ?
1.
Ecrire la paranthèse ouvrante puis l'étiquette du
noeud
2.
Descendre sur le premier fils et réappliquer 1.
3.
Quand on ne sait plus descendre, on ferme la
paranthèse, on remonte d'un niveau et on traite le fils
suivant en réappliquant 1.
4.
Une fois tous les fils traités, on ferme la paranthèse
du noeud parent
◦
◦
Ici, (a(b(d)(e(h)))(c(f(i))(g(k))))
Remarque : perte des distinctions
fg ou fd dans un arbre binaire
Représentation paranthèsée
Exercices
a
b
f
c
d
e
Réponses
(a(b(d(e(h))))(c(f(i))(g(k))))
Et
(a(b(c(d)(e))(f)(g))(h(i(j)(k)(l)(m))))
h
g
i
j
k
l
m
Représentation d'un arbre en
mémoire
Soit l'arbre généalogique
simplifié suivant
Représentation par une liste de fils
◦ Difficulté pour ajouter des éléments (taille du
tableau)
Représentation d'un arbre en
mémoire
Allocation contiguë (mémoire ou fichier)
◦ Espace mémoire réservé à la compilation perte
de place si grand nombre de fils pour un nœud
◦ Les pointeurs sont ici les indices des lignes du
tableau
Représentation d'un arbre en
mémoire
Représentation par allocation dynamique
◦ Calcul nécessaire du nombre de pointeurs de
chaque nœud
Pour un arbre généalogique, nombre difficile à préciser
perte parfois importante d'espace mémoire
◦ Optimal pour un arbre dont les nœuds ont un degré
constant (ex : binaire complet)
Représentation d'un arbre en
mémoire
Solution : une liste de listes de nœuds
À partir de MA Weiss, voir Sources supp.
Représentation d'un arbre en
mémoire
Expression Tree
◦ Pile de pointeurs vers des arbres
◦ Exemple : ab+cde+**
MA Weiss, voir Sources supp.
Représentation d'un arbre en
mémoire
o
Exemple : ab+cde+**
MA Weiss, voir Sources supp.