Partie 1 - Biblioweb - Université de Cergy

ECOLE DOCTORALE SCIENCES ET INGENIERIE
de l’université de Cergy-Pontoise
THESE
Présentée pour obtenir le grade de docteur d’université
Spécialité : GENIE ELECTRIQUE
Commande et Détection de défaillance d’un
Convertisseur Multicellulaire Série
par
Olivier BETHOUX
ECS : Equipe Commande des Systèmes
Le jeudi 27 octobre 2005
Devant le jury composé de :
Monsieur Jean-Paul Hautier
Monsieur Maurice Fadel
Monsieur Alain Glumineau
Président
Rapporteur
Rapporteur
Monsieur Jean-Pierre Barbot
Monsieur Claude Marchand
Monsieur Jean-Luc Thomas
Monsieur Serge Poullain
Directeur de thèse
Examinateur
Examinateur
Invité
A Monsieur Gilli
qui a semé la première graine
A Abel et Zélie,
alpha et oméga de notre famille
A Lauren et Lucien
qui en sont déjà la continuation
Avant-propos
Le travail présenté dans ce mémoire a été réalisé au sein de l’Equipe Commande des
Systèmes (E.C.S.) sous la direction de Jean-Pierre Barbot, Professeur à l’Ecole Nationale de
l’Electronique et de ses Applications (E.N.S.E.A.) de Cergy-Pontoise.
Je tiens tout d’abord à remercier tous les membres du jury pour l’honneur qu’ils m’ont fait de
participer à l’examen de ma thèse. Je remercie en particulier :
Monsieur Jean-paul Hautier, Professeur à l’Ecole Supériseure des Arts et Métiers
(ENSAM) pour l’honneur qu’il m’a fait en acceptant de participer au jury de thèse et d’en être
le président. Par la qualité de son enseignement, il a largement contribué à l’orientation
définitive dans le domaine du Génie Electrique d’un élève du DEA de l’USTL nommé Olivier
Béthoux. La boucle est donc ainsi bouclée ; et cet aspect de la transmission est pour moi
chargé de sens.
Monsieur Maurice Fadel, Professeur à l’Ecole Nationale Supérieure
d’Electrotechnique, d’Electronique, d’Informatique, d’Hydraulique et de Télécommunication
(ENSEEIHT), pour l’honneur qu’il nous fait en acceptant la lourde tâche de rapporteur. Je le
remercie pour le grand intérêt qu’il a porté à notre travail et les remarques constructives dont
il nous a fait part et qui nous aideront à une orientation pertinente de nos recherches futures.
Monsieur Alain Glumineau, Professeur à l’Ecole Centrale de Nantes (ECN) pour
l’honneur qu’il nous fait en acceptant la lourde tâche de rapporteur. Je le remercie ici
profondément pour l’intérêt porté à notre travail à la fois lors des publications de nos articles
et lors de la lecture approfondie du mémoire ; ses nombreuses suggestions et remarques nous
ont assurément été utiles.
Monsieur Claude Marchand, Professeur à l’Université Paris Sud X, pour sa
participation à ce jury de thèse.
Monsieur Jean-Luc Thomas, Professeur du Conservatoire National des Arts et Métiers
(CNAM) et Directeur R & D d’Areva pour l’honneur qu’il m’a fait en acceptant de participer
au jury de thèse et d’y apporter sa longue et riche expérience industrielle. Son éclairage nous
permet d’envisager dorénavant de nouvelles perspectives
Monsieur Serge Poullain, Docteur Ingénieur et responsable d’une équipe R&D
d’Areva, pour sa participation à ce jury de thèse et pour le regard industriel qu’il a porté à ce
travail.
Monsieur Jean-Pierre Barbot , Professeur à l’Ecole Nationale Supérieure de
l’Electronique et de ses Applications (ENSEA) et responsable de l’équipe ECS pour avoir
diriger ces travaux. Je le remercie vivement pour son soutien constant, la confiance qu’il m’a
témoignée et la grande liberté qu’il a su m’accorder. Sans lui, un tel travail de fond n’aurait
jamais pu voir le jour…
J’adresse également mes remerciements aux autres personnes de l’équipe ECS qui ont
contribué aux échanges scientifiques. Sans être exhaustif, je pense en particulier à Christophe
Combastel, Mohamed Djemaï, Thierry Floquet et Roger Tauleigne.
Je n’oublie pas le soutien constant que m’ont apporté dans cette entreprise le Directeur de
l’ENSEA, Pierre Pouvil, et mes collègues de l’école.
Je remercie également mes différents élèves qui par leur questionnement m’ont amené à
évolué constamment dans mon approche du Génie Electrique.
Ces remerciements ne seraient pas complets si j’oubliais mes parents et beaux-parents qui par
leur soutien logistique m’ont accordé les plages de calme indispensables à la gestation des
idées de ce mémoire.
Je remercie également mon épouse Géraldine et nos deux enfants Lauren et Lucien pour leur
présence qui donne tout son sens à ce travail.
Table des matières
Introduction Générale
1
Partie 1
Rappels et état de l’art
1.1.
Enjeux industriels
4
1.2.
Principe : mise en série de cellules
7
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.
Interrupteur constitué par la mise en série d’interrupteurs
Topologie du convertisseur multicellulaire série
Tension bloquée par une cellule
Courant commuté par une cellule
Relations décrivant le convertisseur
7
8
9
10
10
1.3.
Commande en boucle ouverte à porteuses triangulaires
1.4.
Equilibrage naturel avec la commande en boucle ouverte à porteuses
triangulaires
12
1.5.
Commande en boucle fermée avec M.L.I. intersective
1.6.
Observation des tensions internes pour les commandes à porteuses
triangulaires
18
1.7.
Détection d’une défaillance : approche fréquentielle
1.8.
Nouvelles topologies
multicellulaire
1.8.1.
1.8.2.
1.9.
issues
du
concept
de
Convertisseurs multicellulaires en commutation douce
Structure multicellulaire superposée
Conclusion
11
16
20
convertisseur
22
22
23
24
I
Partie 2
Commande directe respectant, en régime
permanent, une fréquence de découpage fixe.
2.1.
Présentation des enjeux
25
2.2.
Commandabilité - Première approche
26
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.3.
Commandabilité de l’état interne dans le cas spécifique de la
réalisation d’un niveau discret λ donné (λ = 0 à n)
30
2.3.1
2.3.2
2.3.3.
2.3.4.
2.3.5.
2.4.
Algorithme de commande directe
Illustration sur un convertisseur de 3 cellules
Illustration sur un convertisseur de 6 cellules
Cas particulier du convertisseur de 4 cellules
38
39
42
43
Algorithme de commande directe de l’état interne dans le cas du suivi
d’une consigne de tension de sortie (vS)réf
45
2.5.1
2.5.2
2.6.
Première étape dans la sélection d’un cycle candidat : atteindre l’objectif
en n coups
31
Deuxième étape dans la sélection d’un cycle candidat : déroulement
unidirectionnel du temps
33
Troisième étape dans la sélection d’un cycle candidat : minimisation du
nombre de commutations
34
Quatrième étape dans la sélection d’un cycle candidat : minimisation de
l’ondulation des tensions internes
35
Bilan de la sélection d’un cycle candidat
37
Algorithme de commande directe de l’état interne dans le cas
spécifique de la réalisation d’un niveau discret λ donné (λ = 0 à n) 38
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.5.
Problématique
26
Vecteur d’état
27
Commandabilité sous l’hypothèse d’une commande continue et non
bornée
28
Cas particulier du convertisseur de 2 cellules
Cas particulier du convertisseur de 3 cellules
Conclusion
45
47
50
II
Partie 3
Mise en œuvre directe de contrôles par modes
glissants O1 et O2
3.1.
Enjeux industriels
51
3.2.
Rappels sur les modes glissants
51
3.2.1
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
3.2.5.
3.2.6.
3.3.
Application au contrôle d’une suspension magnétique
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
3.3.4.
3.3.5.
3.4.
Origine de la théorie, avantages et inconvénients de leur utilisation
51
Définitions et principe des modes glissants
52
Attractivité de la surface
54
η-attractivité de la surface - convergence en temps fini vers S et rejet de
certaines perturbations
55
Glissement réel – broutement
57
Mode glissant d’ordre supérieur : ordre 2
63
3.2.6.1. Présentation générale
63
3.2.6.2. Un algorithme de commande particulier : le « Twisting »
algorithme
64
Enjeux industriels
Présentation du système et modèle de la suspension magnétique
Stabilisation avec correcteur linéaire et continu
Stabilisation avec mode glissant d’ordre 1
Stabilisation avec mode glissant d’ordre 2 : intérêt du multicellulaire
Application au contrôle de la vitesse d’une M.C.C.
3.4.1. Présentation générale
3.4.2. Modes glissants d’ordre 1
3.4.2.1. Mise en œuvre avec un convertisseur classique
3.4.2.2. Mise en œuvre avec un convertisseur multicellulaire
3.4.3. Modes glissants d’ordre 2
3.5.
Conclusion
69
69
70
72
74
77
79
79
80
81
84
86
89
III
Partie 4
Observation des tensions aux bornes des
condensateurs internes
4.1.
Présentation des enjeux industriels
90
4.2.
Observabilité
91
4.2.1
4.2.2.
4.2.3.
Contexte général
Cas particulier du convertisseur à 2 cellules imbriquées (n = 2)
Cas particulier du convertisseur à 3 cellules imbriquées (n = 3)
91
93
91
4.3.
Algorithme d’observation
94
4.4.
Illustration sur un convertisseur possédant 2 cellules
96
4.4.1.
4.4.2.
4.4.3.
4.5.
Structure et principe de convergence de l’observateur
Test de l’observateur
Association commande directe / observateur à modes glissants
Conclusion
96
99
100
104
Partie 5
Détection / Isolation d’une cellule défaillante
5.1.
Présentation des enjeux
105
5.1.1. Enjeu général
105
5.1.2. Enjeu de la sûreté de fonctionnement des convertisseurs multicellulaires
105
5.2.
Détection de défauts et génération de résidus à l’aide d’observateurs
106
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.3.
106
108
109
Intégration de la fonction détection / isolation à l’association
Commande / Observateur précédente
117
5.3.1.
5.3.2.
5.4.
Cadre de l’étude
Découplage
Génération de résidu
Contexte de la détection / isolation
Illustration sur un convertisseur de 2 cellules
Conclusion
117
118
121
IV
Conclusion Générale
122
Bibliographie
124
V
Introduction générale
1 / 130
Introduction Générale
1.
Convertisseur de puissance
Les convertisseurs de puissance visent à contrôler la puissance électrique transitant
entre la source et la charge ainsi qu’à adapter la présentation de l’énergie électrique de cette
source à cette charge. (Redressement d’un réseau alternatif pour la charge d’une batterie,
ondulation à fréquence variable pour l’entraînement d’une machine électrique à vitesse
variable, etc.) Les applications, nombreuses et variées, s’étagent de quelques watts
(alimentation d’une lampe fluorescente) à plusieurs mégawatts (liaison à courant continu
comme la connexion transmanche « IFA 2000 »). En revanche, elles visent toutes à satisfaire
les mêmes contraintes.
La première d’entre elles est l’obtention d’un excellent rendement. Il s’agit bien
entendu de régler la puissance sans trop de déperdition. Mais, plus fondamentalement, le
volume et le poids d’un convertisseur dépendent directement de ses pertes. En effet, plus les
pertes sont élevées, plus augmente la surface des dissipateurs permettant de maintenir les
composants en dessous de leur température critique. Et, si du point de vue énergétique, un
rendement de 99 % présente une petite amélioration de 1 % par rapport à un rendement de
98 %, le gain est de 100 % vis à vis des pertes, ce qui induit une compacité fortement accrue.
En second lieu, il convient que le convertisseur respecte les normes de compatibilité
électromagnétique. En effet, le traitement de puissances importantes vis à vis des puissances
de réglage ainsi que l’utilisation des composants actifs en commutation induisent une
pollution électromagnétique importante et sur un large spectre, aussi bien en modes conduit
que rayonné.
En dernier lieu, nous devons citer la facilité de réglage. De fait, quand bien même les
microprocesseurs font des progrès considérables, il reste encore essentiel que le réglage de la
puissance soit aisé et, toujours appréciable, que le convertisseur offre des degrés de liberté
supplémentaires. Cela permet d’améliorer la conversion, par exemple en diminuant la
pollution harmonique.
Perturbations
Electro-magnétiques
Source
Pertes
PE
PS
Charge
Algorithme de Contrôle
Consigne
figure 0. 1 : Convertisseur de puissance
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Introduction générale
2.
2 / 130
Point de vue topologique
L’amélioration des convertisseurs passe bien entendu par la recherche de composants
actifs plus performants ainsi que de condensateurs et de circuits magnétiques permettant la
réalisation de filtrages efficaces et sans pertes.
Néanmoins, pour réaliser correctement les différentes fonctions de conversion sous les
trois contraintes précitées, il faut procéder à une association judicieuse des différents
composants non dissipatifs autorisés au sein du convertisseur. Et, dans cette recherche
topologique sur les structures les plus appropriées, le LEEI a acquis une solide expertise.
Dans les pistes largement explorées, nous pouvons citer deux voies , éventuellement
complémentaires.
Historiquement la première piste envisagée, la commutation sans pertes (à zéro de
tension ou bien zéro de courant) permet, à surface de dissipation identique ou moindre,
d’utiliser une fréquence de découpage sensiblement plus élevée : ceci conduit à un volume de
filtrage fortement réduit et donc à un convertisseur à puissance volumique très élevée. Dans
cette catégorie de solutions, on doit citer les convertisseurs à charge résonnante d’une part, et
les convertisseurs à interrupteurs résonnants d’autre part.
3.
Convertisseur multicellulaire série
La seconde voie d’amélioration part du même constat qu’une fréquence de découpage
plus élevée permet la réduction des volumes de filtrage et autorise donc également des
dynamiques de réglage plus courtes. Or, la montée en fréquence est limitée par les pertes en
commutation dues à des transitions imparfaites, et particulièrement de durées non nulles. En
“commutations dures”, ces pertes sont proportionnelles aux durées de transition à l’amorçage
comme au blocage. Pour l’heure, les composants de l’électronique de puissance sont à base de
silicium constitué de différentes couches dopées. Et les qualités dynamiques de ces
composants (MOSFET, IGBT, GTO, Diodes) se détériorent toutes avec l’élévation de leur
contrainte en tension.
La mise en série des interrupteurs offre donc la perspective prometteuse de l’utilisation
de composants standards et adaptés à des commutations à fréquence élevée. Or, par la mise en
série, non pas des interrupteurs mais des cellules de commutation, le convertisseur
multicellulaire est une proposition élégante et sûre qui permet de profiter de composants basse
tension.
Par ailleurs, la multiplication des interrupteurs commandés augmente les degrés de
liberté, et, dans le cas d’un léger surdimensionnement, offre des possibilités de redondance
synonymes d’une plus grande fiabilité.
4.
Plan de l’exposé
A une période où les progrès des microprocesseurs permettent d’envisager, pour le
même coût, l’implantation d’algorithmes de plus en plus complexes, il paraît intéressant de réenvisager les compromis adoptés pour le contrôle des convertisseurs multicellulaires à la
lumière des multiples degrés de libertés qu’ils offrent au concepteur. La possibilité de calculs
plus sophistiqués permettra éventuellement d’assurer le réglage de la puissance convertie tout
en minimisant les contraintes harmoniques et en réduisant les durées des transitoires. En
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Introduction générale
3 / 130
outre, l’observation de l’état interne du convertisseur, en plus de permettre l’utilisation d’un
nombre minimal de capteurs, devrait autoriser la détection et la localisation des défaillances
dans le but de permettre une reconfiguration en temps réel. C’est autour de cette
problématique que s’articulera cet exposé. Celui-ci se déroule en cinq parties.
Dans un premier temps, nous présenterons le convertisseur multicellulaire tel qu’il a
été proposé par le LEEI au début des années 1990. Nous dresserons un portrait de ses
principales caractéristiques telles qu’elles sont apparues au cours de plus de dix ans
d’investigations méthodiques et d’expérimentations. En particulier, l’équilibrage naturel, la
régulation des tensions internes, l’observation de ces tensions sans capteur dédié ainsi que la
détection d’une cellule défaillante par l’approche fréquentielle.
Dans une deuxième partie, en nous appuyant sur le modèle instantané du
convertisseur, nous explorerons les conditions de commandabilité pour proposer une
commande directe autorisant les meilleures dynamiques mais convergeant, en régime
permanent, vers un cycle limite parcouru en une période fixe et maîtrisée. Dans cet ordre
d’idée, nous exhiberons une commande permettant de maintenir indéfiniment un niveau et
cela quel que soit le nombre de cellules du convertisseur. Nous en donnerons l’illustration sur
un convertisseur à six cellules. Par ailleurs, nous procéderons de manière similaire pour
asservir la sortie à une consigne continûment variable : un exemple en sera donné pour un
convertisseur à deux cellules
Dans une troisième partie, nous ferons le lien avec le chapitre précédent en expliquant
l’intérêt que revêt le convertisseur multicellulaire associé à ce type de contrôle-commande.
Nous verrons, en effet, qu’il permet de mettre en œuvre de manière fidèle des algorithmes à
modes glissants aussi bien d’ordre 1 que d’ordre 2. Nous illustrerons notre propos sur les cas
de la stabilisation d’un objet métallique en lévitation magnétique et du contrôle de la vitesse
d’une machine à courant continu.
Une quatrième partie traitera de l’observation, sans capteur interne, de la tension aux
bornes des condensateurs intermédiaires. Nous verrons que l’observation est étroitement liée à
la commande adoptée. Pour permettre le bon fonctionnement de la commande précédente, il
nous faut construire un observateur à modes glissants basé lui aussi sur le modèle instantané.
Comme précédemment, nous en donnerons l’illustration sur un convertisseur à trois cellules.
Nous insisterons sur l’interaction, essentielle, entre observation et commande.
Dans une cinquième partie, nous approfondirons l’étude de l’observateur précédant.
Nous verrons que, compte tenu de sa structure et de sa dynamique, il peut être modifié pour
permettre, en temps réel, la détection puis l’isolation d’une cellule défaillante. Comme
précédemment, nous noterons que commande et observation sont intimement liées ; dans le
cas du multicellulaire, l’un ne peut être conçu indépendamment de l’autre, et, en cours de
fonctionnement, l’un interagit sur l’autre.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
4 / 128
Partie 1
Rappels et état de l’art
« J’ai appris que la physique ne consistait pas
à écrire des équations mais à comprendre les
mécanismes. »
Louis de Broglie
1.1.
Enjeux industriels
Les applications industrielles nécessitent souvent l’utilisation d’un moyen de réglage
souple et fiable. Or, dans le domaine des fortes puissances, l’imperfection des matériaux
conducteurs (résistivité non nulle et “effet de peau”) conduit souvent à privilégier
l’augmentation de la tension afin de conserver des courants moins contraignants. La puissance
électrique (P = VI) à gérer nécessite donc l’emploi de composants semi-conducteurs de calibre
en tension élevé. Or, la capacité de blocage d’une tension élevée s’obtient par la modification
du dopage et l’augmentation de l’épaisseur de la zone de tenue de cette tension. Il en découle
un comportement en conduction moins favorable et des temps de commutation (lors de
l’amorçage et du blocage) plus importants. Ceci engendre des pertes plus importantes, car si
les pertes à l’état bloqué sont négligeables, les pertes en conduction sont proportionnelles à la
tension à bloquer. Quant aux pertes par commutation, elles sont grossièrement
proportionnelles à la somme des deux durées d’amorçage et de blocage. Aussi, la tenue en
tension est-elle un critère essentiel dans les choix technologiques des fabricants de
composants tant du point de vue des diodes (Schottky, PIN, PN) que des composants tout
commandés (MOSFET, IGBT et GTO). [Lefebvre] et [Aloisi]
Composant
Semikron
MOSFET n°1
SKM 120 B 020
VMAX
200 V
Vconduction
Vconduction
Eamorçage
Eblocage
(Tsi = 25 °C) (Tsi = 125 °C) (Tsi = 125 °C) (Tsi = 125 °C)
1,1 V
2,0 V
0,22 mJ
0,15 mJ
(ID = 75 A)
(ID = 75 A)
(ID = 75 A)
(ID = 75 A)
(VE = 100 V) (VE = 100 V)
4V
7V
0,14 mJ
0,32 mJ
(ID = 23 A)
(ID = 23 A)
(ID = 23 A)
(ID = 23 A)
(VE = 400 V) (VE = 400 V)
MOSFET n°2
SKM 181 A 3
800 V
IGBT n°1
SKM 100 GB 063 D
600 V
1,8 V
(IC = 75 A)
2,0 V
(IC = 75 A)
IGBT n°2
SKM 100 GB 124D
1200 V
2,5 V
(IC = 75 A)
3,1 V
(IC = 75 A)
4 mJ
(IC = 75 A)
(VE = 300 V)
10 mJ
(IC = 75 A)
(VE = 600 V)
3 mJ
(IC = 75 A)
(VE = 300 V)
8 mJ
(IC = 75 A)
(VE = 600 V)
figure 1. 1 : données extraites du catalogue Semikron concernant des MOSFET et des IGBT
A titre d’exemple, nous avons extrait les caractéristiques principales de quatre
transistors, deux MOSFET et deux IGBT, du fabricant européen Semikron (cf figure 1. 1). On
constate qu’il n’existe pas de MOSFET de tension moyenne (500 V à 1000 V) capable
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
5 / 128
d’écouler un courant important (supérieur à 50 A). En effet, dans un transistor MOS de
puissance, la chute de tension est principalement due à la région N- qui est faiblement dopée et
d’autant plus épaisse que le composant est destiné à bloquer une tension importante. La
résistance à l’état passant (RDSon) devient rapidement prohibitive pour les fortes tensions
d’avalanches (cf figure 1. 2.a).
On constate d’autre part que le transistor MOS de puissance à faible tension de
blocage (de la dizaine à la centaine de volts) permet d’écouler des courants importants
(plusieurs centaines d’ampères) avec des chutes de tension sensiblement inférieures à celles
du transistor IGBT : de l’ordre du volt. Quant à ce dernier, il est surtout handicapé par ses
charges stockées (comportement bipolaire) qui induisent des pertes par commutation
nettement plus élevées que pour un transistor MOS (figure 1. 2.b).
ID
Collecteur
Grille
Grille
vGS
Drain
IC
Drain
Source
vGE
Emetteur
IC Recombinaisons
dans le collecteur
Collecteur
ID
N+
P+
N-
N« canal »
(N)
P
N+
Si0 2
Source ID
Grille v GS = 15 V
(a)
Recombinaisons
dans la base
« canal »
N
P
N+
Si0 2
Emetteur
IC
Grille v GE = 15 V
(b)
figure 1. 2 : Symbole et structure des transistors de puissance
(a) : transistor MOS
(b) : transistor bipolaire à grille isolée (IGBT)
Dans un premier temps, évaluons l’alternative entre un convertisseur de puissance
réalisé à l’aide de l’IGBT n°1 et un autre convertisseur utilisant une association de trois
MOSFET n°1. Ces deux convertisseurs subissent les mêmes contraintes : une tension
d’alimentation VE = 300 volts et un courant de sortie IS = 75 A. A la température toute
théorique de 25 °C, les pertes par conduction seraient même pas deux fois plus importantes
dans la mise en série (facteur 1,8). A la température plus réaliste de 125 °C, les pertes par
conduction sont trois fois plus importantes dans l’association des trois MOSFET. En
revanche, sur une période de fonctionnement TD, les pertes par commutation
(Ecomm = Eam + Ebl) s’élèvent à 1,11 mJ contre 7 mJ pour le convertisseur mono-interrupteur : le
rapport entre les deux pertes est cette fois-ci de 6,3. Tout va donc dépendre de la fréquence de
travail du convertisseur. Pour un convertisseur travaillant autour du rapport cyclique ½,
l’association des MOSFET devient plus intéressante du point de vue des pertes à partir de la
fréquence de découpage critique : FDcr ≈ 25 kHz. Cette fréquence de 25 kHz est tout à fait
envisageable pour le MOSFET : chaque composant subit alors 253 W de pertes qui entraînent
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
6 / 128
une élévation de température de 63 °C entre l’embase du boîtier du composant et la puce de
silicium (Rthjc = 0,25 °C/W). Dans ces conditions, le composant peut évacuer ses pertes par
l’intermédiaire d’un dissipateur thermique communément employé dans ce type d’application
(figure 1. 3). (Tout dépend des conditions d’exploitation : Ta et RTH dissipateur.)
Puce (source de chaleur à la température T j)
Boîtier
(enveloppe thermiquement
très isolante)
Brasure
Embase
Dissipateur
Air ambiant (à la température T a)
figure 1. 3 : Chaîne thermique des composants de puissance
Par ailleurs, si dans un deuxième temps on compare un convertisseur (VE = 600 V,
α = ½ et IS = 75 A) utilisant un seul IGBT n°2 au lieu de deux IGBT n°1, on trouve le facteur
1,3 pour les pertes par conduction en faveur du composant unique et un facteur 1,3 pour les
pertes par commutation en faveur de l’association de composants. Ceci conduit à une nouvelle
fréquence critique de : FDcr ≈ 17 kHz. Là encore, on se situe dans les plages d’utilisation
classique de ce type de composant.
Comme nous l’avons relevé, le transistor MOS commence à perdre de l’intérêt au delà
d’une tension d’avalanche de 500 V. Pour des courants dépassant la dizaine d’ampères (et
parfois en deçà), on lui préfère l’IGBT qui exploite l’effet bipolaire, comme le rappelle la
figure 1. 2.b. La qualité première qui en découle est que la chute de tension à l’état passant
(Vconduction) reste faible (2 à 3 V) même pour des tenues en tension élevées (supérieures à
1200V) : c’est l’effet bipolaire. Néanmoins dans cette technologie, on peut distinguer deux
types de réalisation (figure 1. 4). L’une, la structure épitaxiale (« Punch Through ») pour les
IGBT basse tension (600 V voire 1200 V) offre un meilleur compromis (pertes en
conduction / pertes en commutation) grâce à la réduction de la durée de vie des porteurs dans
la base. L’autre, la structure homogène (« Non Punch Through »), pour les IGBT de plus fort
calibre en tension (1200 V et plus) possède une aire de sécurité parfaitement rectangulaire
mais présente plus de pertes. Le second exemple illustre cette réalité technologique et donne à
nouveau des raisons légitimes d’envisager la mise en série des composants de commutation de
puissance.
Collecteur
Collecteur
P
P+
N+
N-
(~ 10 µm)
NP
N+
P
N+
Emetteur
(~ 100 µm)
Grille
(a)
Emetteur
Grille
(b)
figure 1. 4 : Les deux structures de réalisation des IGBT
(a) : structure homogène (« N. P. T. »)
(b) : structure épitaxiale (« P. T. »)
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Rappels et état de l’art
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Par ailleurs, plus les applications sont de faibles puissances, plus elles sont
nombreuses. Il n’y a qu’à se rappeler le nombre d’ordinateurs ou de lampes fluo-compactes en
circulation. Aussi, les composants dédiés aux faibles puissances, profitant d’une large
diffusion, sont-ils tout à la fois multi-sources et bon marché. Ce point est également très
surveillé par les industriels.
Ce rapide panorama nous révèle que la conception de convertisseurs réalisés à l’aide
de plusieurs semi-conducteurs sous dimensionnés en tension présente un enjeu important. La
maîtrise de ce type de stratégie passe évidemment par une réalisation permettant au moins une
aussi bonne disponibilité du convertisseur.
1.2.
Principe : mise en série de cellules
1.2.1. Interrupteur constitué par la mise en série d’interrupteurs
Néanmoins, les réalisations de mise en série ont longtemps concerné les applications
pour lesquels la technologie n’offrait pas d’autre alternative [Guidini]. Ce fut le cas du
hacheur (9 kV) embarqué dans le TGV espagnol (A.V.E. en 1990) pour adapter la tension
continue (3kV) délivrée par le réseau ferré espagnol. En effet, la fonction “interrupteur
commandé” était alors conçue par la mise en série de n interrupteurs de calibre plus petit (2
GTO 4,5 kV dans le cas du A.V.E.). On voit immédiatement l’inconvénient de ce procédé. Le
synchronisme des commutations étant impossible à obtenir, lors du blocage, le premier semiconducteur ouvert devrait supporter toute la tension. De même, lors de l’amorçage, le dernier
semi-conducteur amorcé devrait supporter toute la tension. Le fonctionnement était rendu
possible par la mise en place d’un circuit (R, C et D) sur chacun des interrupteurs : l’inertie en
tension ainsi apportée par le condensateur autorisait un certain décalage des transitions. La
figure 1.1 donne une illustration de cette solution pour un “hacheur série” avec n = 2.
Hacheur abaisseur
R1
H1
a b
D1
C1
Interrupteur commandé H réalisé
par mise en série de 2 interrupteurs
commandés H 1 et H 2
R2
VE
H2
a b
DRL
D2
C
21
LS
i LS(t)
vs(t)
CS
Vs
Charge
figure 1. 5 : hacheur abaisseur utilisant deux interrupteurs commandés en série
On peut relever que ce dispositif avait trois inconvénients. Le premier étant que, la
nécessité de faire commuter les interrupteurs simultanément ne permet pas d’utiliser le degré
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de liberté apporté par l’interrupteur supplémentaire. En second lieu, le dispositif d’assistance
est dissipatif ce qui contredit la philosophie générale de la conversion d’énergie. Enfin, les
pertes engendrées devant être réduites, cela conduisait souvent au tri des composants Hk
utilisés pour réaliser l’interrupteur global H.
1.2.2. Topologie du convertisseur multicellulaire série
Le convertisseur multicellulaire série est une proposition toute autre [Meynard]
[Carrière] (1). Il propose, non pas la mise en série d’interrupteurs Hk, mais la mise en série de
cellules de commutation Cellk. La figure 1. 6 rappelle ce qu’est une cellule de commutation
bidirectionnelle en courant, brique de base des hacheurs, alimentations isolées et onduleurs de
tension. La figure 1. 7 présente le convertisseur multicellulaire série dans sa version n = 3.
1
Relevons toutefois qu’il existe d’autres convertisseurs multi-niveaux, apparus à la fin des années 1970, basés
sur le principe de l’écrêteur et ainsi dénommés convertisseur multi-niveaux « clampés par le neutre » [Baker]. On
donne ci dessous le schéma fonctionnel d’un bras pour une association de deux interrupteurs série (3 niveaux).
DA
KB
D+
a
b
~VE/2
KA
DB
iS
a
b
VE
K ’A
~VE/2
a
b
D-
v s (t)
K ’B
a
b
Cette topologie est historiquement la première et connaît des développements industriels dans les convertisseurs
de forte puissance. Toutefois son domaine d’application est limité au champ de la conversion continu / alternatif
(ou alternatif / continu) essentiellement en triphasé. En effet, l’équilibre du pont diviseur capacitif ne peut être
réalisé qu’avec une source de courant alternative et, en monophasé, la fluctuation de la tension du point milieu
s’effectue à la fréquence de ce courant. Dans le cas du trois niveaux, la sélection du niveau intermédiaire
contribue à décharger le condensateur C1 si le courant alternatif est positif et le charger s’il est négatif.
C2
0
D+
C2
VE/2
0
D+
VE/2
1
1
iS > 0
C1
iS < 0
C1
1
VE/2
vs (t)
D0
1
VE/2
vs (t)
D0
Pour plus de détails sur cette structure, on peut se reporter à [Corzine] et [Nabae].
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VE
2
Rappels et état de l’art
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cellule de commutation (Cell)
constituée d’interrupteurs K = H // D
bidirectionnels en courant et à
commande complémentaire
IS
HA a
b
DA
VE
DB
vs (t)
HB
a
b
figure 1. 6: cellule de commutation bidirectionnelle en courant
Cell 3
Cell2
Cell1
HA3a
HA2a
HA1a
b
b
DA3
iE
DA2
vC2
C2
VE
a
b
b
DA3
vC1
iS
C1
DB3
DB2
DB1
HB3
HB2
HB1
a
b
vS
a
b
3 cellules de commutation en série
figure 1. 7 : hacheur 2 quadrants utilisant trois cellules commandées en série
1.2.3. Tension bloquée par une cellule
Chaque cellule (Cellk, k = 1 à n) est encadrée par deux sources de tensions
intermédiaire vCk et vCk-1, avec vC0 = 0 et vCn = VE. Ces sources de tension pourraient fort bien
être autonomes en utilisant par exemple différents enroulements sur un même transformateur
puis en redressant les différentes tensions secondaires de celui-ci. Nous verrons plus loin que
ce surcoût peut être évité et que de simples condensateurs flottants suffisent pour les réaliser.
(Le nième condensateur Cn n’est pas flottant ; c’est le condensateur de filtrage CE de la tension
d’entrée VE.) Dans ce paragraphe, nous supposons la valeur moyenne des tensions vCk
parfaitement maîtrisée. La figure 1. 8 isole une cellule quelconque dans son contexte
immédiat et rappelle ses deux seules configurations stables.
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Rappels et état de l’art
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Cellk
HAka
b
Ck
iAk
DAk
vCk
Ck-1
DBk
vCk-1
C0 = ∞
Cn = CE
HBk
a
b
uk = 1 ⇔
{KAk fermé ; KBk ouvert}
KAk fermé
vCk
uk = 0 ⇔
{KAk ouvert ; KBk fermé}
vKA k = vC k - vC k-1
KAk ouvert
Cellk
vCk-1
vCk
KBk ouvert
Cellk
vCk-1
KBk fermé
vKB k = vC k - vC k-1
figure 1. 8 : cellule cellk et ses deux configurations stables (uk = 0 et uk = 1)
On remarque en particulier que l’interrupteur bloqué doit tenir la tension vcellk, telle que :
vcellk = vCk – vCk-1
Dans le cadre de l’utilisation de (2n) interrupteurs Kk de calibre identique, il faut obtenir la
même contrainte en tension pour toutes les cellules. Soit :
vcell k = VE
n
D’où une répartition régulièrement étagée des tensions internes :
vC k = k VE
n
1.2.4. Courant commuté par une cellule
Le courant IS prélevé par la source de courant aval est une variable continue dans le temps ;
quelles que soient les commutations des cellules, il doit pouvoir circuler. En l’occurrence, en
partant de IS et en remontant vers la source de tension VE, on constate qu’il est aiguillé par les
différentes cellules, et, selon leur position, circule ou non à travers les condensateurs C1 à Cn.
iAk = uk iS
iBk = (1-uk) iS
1.2.5. Relations décrivant le convertisseur
La tension vS appliquée à la source de courant IS résulte du choix des n commandes uk :
n
n
k =1
k =1
vS = ∑v Bk = ∑ u k vcell k
Dans le cas particulier où les n tensions cellulaires sont identiques, on a :
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Rappels et état de l’art
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VE n
uk
n ∑
k =1
Ce qui signifie alors que chaque commande uk a le même rôle vis-à-vis de l’extérieur.
L’évolution des tensions internes vCk (k = 1 à n-1) est donnée par la valeur du courant iCk de
chaque condensateur Ck. Celui-ci est lui-même déterminé par la configuration de ses deux
cellules adjacentes (cf figure 1. 9) :
iCk = iA(k+1) – iA(k) = iS {uk+1 – uk}
t
i
vCk = vCk ( 0) + ∫ Ck dt
Ck
0
La tension vCk(t) n’évolue que lorsque les deux commandes de ses cellules adjacentes
diffèrent. Et dans ce cas, elle évolue avec une dérivée proportionnelle au courant de charge iS.
vS =
HAk+1a
b
DAk+1
DBk+1
Cell k+1
HAka
b
iAk+1
iCk
Ck
DAk
vCk
iAk
DBk
HBk+1
a
b
Cellk
HBk
a
b
figure 1. 9 : causes de l’évolution de la tension vCk aux bornes du condensateur Ck
1.3.
Commande en boucle ouverte à porteuses triangulaires
Dans les commandes en modulation de largeur d’impulsions en boucle ouverte, on vise à
contrôler la valeur moyenne de la tension de sortie sur une période de découpage TD. C’est ce
qu’on obtient classiquement en cherchant l’intersection d’un signal continu avec une porteuse
triangulaire de fréquence FD. Cette méthode a l’avantage de la simplicité et de la maîtrise de la
fréquence de découpage mais l’inconvénient d’être basée sur la valeur moyenne et donc de
privilégier des évolutions lentes.
Dans ce cadre, et en régime permanent, on peut décomposer chaque fonction de commande uk
(t) en série de Fourier :
∞


u k( t ) = ( αk ) + ∑Ukp ( α k ) cos p 2πt 
p =1
 TD 
Pour maintenir les tensions vCk(t) autour de leur équilibre moyen, il faut que les courants
moyens ICk = <iCk(t)> soient nuls. Si on suppose iS constant sur une période de découpage TD,
cela signifie qu’il faut adopter des rapports cycliques αk identiques pour les fonctions de
commutation uk(t).
<iCk> = <iS {uk+1 – uk}> = iS {αk+1 – αk} = 0 ⇒
αk = α
Et, comme à l’équilibre des tensions condensateurs vCk, on a :
V n
vS = E ∑u k
n k =1
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Rappels et état de l’art
il faut adopter :
12 / 128
α=
VS réf
.
VE
Dans ces conditions, seule la phase ϕk d’une fonction uk(t) par rapport à la première u1(t) est à
choisir. Ce choix s’effectue par rapport aux harmoniques de tension générés en sortie. En
choisissant pour origine des temps le milieu de l’état haut de la fonction u1(t), on a :
∞
sin ( pπα ) 


u1 ( t ) = ( α ) + ∑ 2α
cos p 2π t 

p
πα
T

p =1 
 D 
∞
sin ( pπα )   2π  TD  
u k( t ) = ( α ) + ∑ 2α
cos p
t− ϕ 
pπα   TD  2π k  
p =1 
D’où la décomposition de vS(t) en série de Fourier :

sin( pπα)  n
V ∞
 T
 
vS( t ) = ( αVE ) + E ∑ 2α
cos p 2π  t − D ϕk  

∑


n p =1 
pπα  k=1  TD  2π  
Le choix d’un décalage régulier des déphasages ϕk tel que
ϕk = ( k −1) 2π
n
permet d’annuler les (n-1) premiers harmoniques qui sont les plus élevés et les plus difficiles
à filtrer. Il ne reste alors plus que les harmoniques de rangs multiples de n. En effet, dans ce

p

cas, les n composantes cos p2π t − ( k−1)  , k = 1 à n, constituent un système sinusoïdal
TD n


équilibré pour (p ≠ n [n]) et un système homopolaire pour (p = n [n]).
Il en découle que, du point de vue de la source de courant iS, la fréquence de découpage
apparente est (nFD), ce qui facilite grandement le filtrage de sortie.
1.4.
Equilibrage naturel avec la commande en boucle ouverte à porteuses
triangulaires
La question importante est de savoir si la commande précédente fournit un équilibre stable. La
réponse est positive (dans le cas des convertisseurs à nombre de cellules premier). Si on peut
le constater par des essais expérimentaux, la preuve ne peut s’établir avec la modélisation
précédente aux valeurs moyennes. En effet, appliquons les n commandes uk (t) précédentes
telles que (αk = α ; ϕk = ( k −1) 2nπ ) : si on suppose is constant sur une période de découpage, on
constate que les (n-1) tensions vCk(t) ne peuvent pas évoluer même si ces dernières ont une
valeur différente de leur optimum ( vC k opt = k VE ).
n
L’expérimentation révèle une évolution toute autre. En effet, lorsque les tensions vCk(t)
 V 
diffèrent de  k E  , la tension de sortie vS(t) donnée pour une commande [u] permanente
 n 
(αk = α ; ϕk = ( k −1) 2nπ ), par :
∞
sin( pπα)  n
 2π p

vS( t ) = ( αVE ) + ∑2α
[
v
−
v
]
cos
p
t
−
(
k
−
1
)



Ck
+
1
C
k
∑
pπα  k =1
n
p =1 
 TD

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Rappels et état de l’art
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possède toujours la valeur moyenne désirée (αVE) mais présente des harmoniques à toutes les
fréquences multiples de FD car les (vCk+1 - vCk) ne sont plus tous égaux (système déséquilibré
pour p ≠ n [n]). Une illustration de ce phénomène est donnée figure 1. 10.
Tens ion de s ortie ( V C1 et V C 2 à l'é qu ilib re)
Te ns ion de s o rtie ( V C1 et V C 2 hors éq uilibre)
40 0
4 00
35 0
3 50
30 0
3 00
25 0
2 50
20 0
2 00
15 0
1 50
10 0
1 00
50
50
0
0
0
0.1
0. 2
0.3
0 .4
0.5
0 .6
0.7
0.8
0.9
1
x 10
0
0 .1
0 .2
0. 3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 .8
0 .9
-4
1
x 10
Tens ion de s ortie ( V C1 et V C 2 à l'é qu ilib re)
-4
A na ly s e h arm on iq ue de la te ns ion d e s o rtie ( V C 1 et V C2 ho rs éq uilibre )
20 0
2 00
18 0
1 80
16 0
1 60
14 0
1 40
12 0
1 20
10 0
1 00
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x 10
(a)
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
5
3
3.5
4
4 .5
5
x 10
5
(b)
figure 1. 10 : vS(t) et spectre de vS pour un convertisseur à 3 cellules pilotées avec α = 0,5 ;
VE = 400 V Ck = C = 30 µF et FD = 20 kHz
(a) : état interne optimal :
(b) : état interne déséquilibré :
VC1 = 133 V ; VC2 = 266 V
VC1 = 80 V ; VC2 = 300 V
Ces harmoniques de tension δvS(t) interagissent avec la charge pour donner des harmoniques
de courant δiS(t) qui contribuent à la création d’un courant dans le condensateur δiCk(t) à
valeur moyenne non nulle (sur une période TD) : la tension vCk(t) évolue. La figure 1. 11 en
donne une illustration pour l’harmonique de courant situé à la fréquence de découpage FD et
dans le cadre d’un convertisseur à 3 cellules imbriquées (n = 3). Ce chronogramme indique
clairement que l’évolution moyenne des tensions internes vCk(t) est conditionnée tout à la fois
par les commandes (αk ; ϕk) et les phases des harmoniques de courants (induites par les
commandes elles-mêmes et par les impédances de la charge aux différentes fréquences pFD).
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Rappels et état de l’art
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TD
δiS(p=1) (t)
t
u1 (t)
u2 (t)
u3 (t)
iC1 (t)
t
iC2 (t)
t
<iC1> ≤ 0
⇒ <vC1>↓
<iC2> ≤ 0
⇒ <vC2>↓
figure 1. 11 : évolution des tensions vCk due à la composante harmonique p = 1 du courant iS(t)
Le modèle harmonique est construit sur ce constat et pré-suppose des évolutions suffisamment
lentes des <vCk(t)> afin que l’analyse harmonique par transformée de Fourier demeure
pertinente (évolution quasi-statique). Le modèle harmonique est établi selon le diagramme de
la figure 1. 12 et conduit à une modélisation sous forme d’équation d’état de dimension (n-1)2.
 dVC 
 dt  = AH[ VC ] + BHVE
pour laquelle :
AH =
∑AHp( αk;ϕk;ch arge ) et
∞
p =1
BH =
∑B ( α ;ϕ ;ch arge )
∞
p =1
Hp
k
k
Ce modèle, relativement complexe, permet une analyse hors ligne du comportement du
convertisseur. En particulier, il autorise l’étude des équilibres (régime permanent), leurs
conditions de stabilité (valeurs propres) et le moyen de les améliorer.
M.L.I. : ( αk ; ϕk )
vS( t ) = ∑u k ( t )[ vCk − vCk −1 ]
n
{vCk}
k =1
V S (p)
p=1à∞
Z (pωD)
IS (p)
ICk (p)
∫
iCk (t) = i Ak+1 (t) - iAk (t)
dVCk
dt
(p)
IAk (p) = <i Ak(p)(t)> sur T D
iAk(t) = u k(t) i S(t)
( p)
= 1 I Ck
Ck
figure 1. 12 : diagramme illustrant le principe d’établissement du modèle harmonique
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  dV 

L’étude du régime permanent   C  = 0  permet de démontrer la nécessité de respecter la
dt



triple condition
ϕk = ( k -1) 2π
Ck = C
αk = α
n
afin de garantir un équilibre conduisant aux répartitions équilibrées des tensions cellulaires.
L’étude des valeurs propres montre que cet équilibre est stable quel que soit le rapport
cyclique α (0 < α < 1) pour les convertisseurs à nombre de cellules premier. Pour les autres
valeurs de n, il existe des rapports cycliques singuliers conduisant à l’annulation de valeurs
propres.
En dernier lieu, on constate que moins la charge introduit de déphasage sur le courant (charge
résistive), moins la convergence est oscillante (voire plus du tout). Bien-entendu, plus la
valeur de son impédance est faible (courant δiS plus important), plus la convergence sera
rapide. D’où l’idée d’introduire une charge auxiliaire de type (Raux ; Laux ; Caux) accordée sur la
fréquence de découpage FD dans le but de modifier l’emplacement des valeurs propres c’est-àdire de modeler le comportement de l’association convertisseur / charge (figure 1. 13 et figure
1. 14). Au vue des résultats précédents, il apparaît clairement que le dipôle résonnant est
transparent en régime permanent (il n’y a alors pas d’harmoniques FD, 2FD, … (n-1)FD) mais
amortit favorablement les transitoires (Z(FD) = Raux) tout en accélérant leur dynamique
(courant δiS plus important). Le choix d’un ou plusieurs circuits résonnants est conditionné
par une démarche rigoureuse.
HA3
HA2
a
b
DA3
VE
DB3
a
b
DA2
vC2
C2
DB2
HB3
a
b
HA1
a
b
DA1
vC1
iS = IS0 + δi S(t)
C1
DB1
HB2
a
b
HB1
a
b
La
Ca
vS
Charge
Ra
dissipation
(essentiellement transitoire)
figure 1. 13 : hacheur, comportant trois cellules, doté d’un circuit (Raux ; Laux ; Caux) d’assistance
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
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Tens ions in ternes V C1 et V C 2 s ans (R LC )aux
Tens io ns in terne s V C1 et V C 2 a ve c (R LC )a ux
40 0
4 00
35 0
3 50
30 0
3 00
25 0
2 50
20 0
2 00
15 0
1 50
10 0
1 00
50
50
0
0
0
0.1
0. 2
0.3
0 .4
0.5
0 .6
0.7
0.8
0.9
1
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
x 10
(a)
-3
(b)
figure 1. 14: hacheur, comportant trois cellules, alimentant une charge (L = 5 mH ; R = 20 Ω) avec
(α = 1/2) et les conditions initiales ( VE = 400 V ; VC10 = 50 V ≠ VE/3 ; VC20 = 2VE/3 = 266V )
(a) : sans circuit d’assistance
(b) avec circuit d’assistance
( Raux = 20 Ω; Faux = FD ; Qaux= π )
1.5.
Commande en boucle fermée avec M.L.I. intersective
Nous venons de voir que le convertisseur multicellulaire série revêt de bonnes propriétés
intrinsèques. Néanmoins, dans le but de modifier la dynamique de convergence vers
l’équilibre optimum, sans pour autant ajouter des éléments dissipatifs, nous sommes conduits
à envisager un asservissement des tensions internes vCk(t). En effet, il faut garantir une
convergence plus rapide que la convergence naturelle et surtout pas (ou peu) oscillante. Pour
cela, on peut utiliser le courant moyen prélevé par la charge et modifier les rapports
cycliques αk des n commandes uk(t). En effet, en négligeant l’ondulation de iS(t), le modèle
moyen de l’évolution interne est décrit par les (n-1) équations :
I Ck = i Ck = Ck dVCk = iS ( α k +1 −α k )
dt
et l’effet des commandes sur la tension moyenne de sortie correspond à l’équation :
VS = vS = ( α n VE ) + ∑VCk ( α k −α k +1 )
n -1
k =1
Les commandes ont des effets couplés sur les tensions VCk car l’évolution de vCk(t) est
déterminée par les deux commandes uk+1 et uk qui lui sont adjacentes. On se propose de
découpler ce système et de s’affranchir de l’influence du courant de charge iS afin de réguler
(n-1) sous-systèmes linéaires et autonomes. On conserve le dernier degré de liberté pour
contrôler l’évolution moyenne VS de vS(t).
Si on note βk = αk – α1, le sous-système [VC] des (n-1) tensions internes est défini par
l’équation :
[I] = [N] iS [β]
dV
En régime permanent ( I Ck = C Ck = iS(βk +1−βk ) = 0 ), l’écart βk entre les rapports cycliques
dt
des différentes uk(t) et celui de la première u1(t) sont nuls.
De plus, [N] est une matrice carrée inversible de dimension (n-1)2 car [N] et son inverse [N]-1
sont définies comme suit :
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
17 / 128
0
 +1 0 ...
1000... 0
0
 −1+1 0...
1100... 0
 0−1+1 0
0
1110... 0


[ N] = 
[ N] -1 = 




 0 ... 0−1+1 0 
 1 ... 110
 0 0 ... 0−1+1
 1 ... 111
En contrôlant les (n-1) variables de commandes internes γk
[ β ] = 1 [ N ] −1 [ γ ]
iS
on asservit un système constitué de (n-1) intégrateurs indépendants associés au gain (C)-1 :
dV
C Ck = i Ck = γk
dt
Par exemple, (n-1) correcteurs proportionnels indépendants de gain KP = τC permettent
théoriquement une régulation sans erreur statique et avec une constante de temps τ. Dans la
pratique, les imperfections du système conduisent à privilégier un correcteur proportionnelintégral.
La variable α1 permet, quant à elle, le réglage de la valeur moyenne de la tension de sortie VS.
La figure 1. 15 montre le schéma d’une telle structure de contrôle dans le cadre d’un
multicellulaire série à 3 cellules. Il est bien clair que l’annulation du courant iS dans la charge
entraîne également l’annulation du courant dans les condensateurs flottants ; l’action sur la
commande [u] est forcément inopérante. Ajoutons que le choix de la constante de temps en
boucle fermée τ doit respecter le domaine de validité du modèle aux valeurs moyennes
(f < FD/10).
La figure 1. 16 montre le comportement dynamique de la loi de commande proposée. Dans cet
exemple nous simulons un convertisseur piloté à FD = 20 kHz et alimentant une charge de type
RL (RS = 20 Ω et LS = 5 mH). Les conditions initiales des variables internes sont éloignées de
leurs consignes (VC10 = 80 V et VC20 = 200 V) alors que la tension d’alimentation est
VE = 400 V. Au cours de toute la simulation, la consigne de tension appliquée à la charge
demeure constante : VSréf = 200 V.
VC1
V
2 E
3
VE
VE
α1
Inversion de
modèle n°2
VSréf
VE
3
VC2
P.I.
VC1
P.I.
VC2
γ2
γ3
VC1
Multicellulaire
÷
÷
β2
α2
β3
α3
3 cellules
2 condensateurs
VC2
VS
Charge
IS
FD
IS
figure 1. 15: hacheur, comportant trois cellules, et asservi par (VS ;VC1 ;VC2)réf
Ces commandes par découplage entrée – sortie sont détaillées dans divers travaux du LEEI.
On trouve en particulier la commande par linéarisation et découplage autour d’un point de
fonctionnement [Tachon] ainsi que les commandes par linéarisation exacte [Gateau] [Pinon].
Ajoutons qu’il a également été mis en œuvre des commandes par déphasage [Gateau] comme
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
18 / 128
des commandes en amplitude (donnant lieu à des commandes directes et sans modulation)
[Pinon].
Te ns io ns inte rnes V C1 et V C 2 s ans (RL C)a ux
Tens ion s inte rnes V C 1 et V C 2 rég ulées p ar 2 P
40 0
4 00
35 0
3 50
30 0
3 00
25 0
2 50
20 0
2 00
15 0
1 50
10 0
1 00
50
50
0
0
0
0.1
0. 2
0.3
0 .4
0.5
0 .6
0.7
0. 8
0.9
1
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
x 10
(a)
-3
(b)
figure 1. 16 :
hacheur, utilisant trois cellules, alimentant une charge (L = 5 mH ; R = 20 Ω)
(a)
sans circuit d’assistance
(b)
avec asservissement
(VSréf = 200 V; VC1réf = VE/3 ; VC2réf = 2VE/3 )
(VE = 400 V ; α = 1/2)
1.6.
Observation des tensions internes pour les commandes à porteuses
triangulaires
Nous venons de voir que l’action sur la commande [u] permet de modifier le comportement
intrinsèque de l’association convertisseur / charge sans pour autant ajouter d’élément
dissipatif. Nous devons néanmoins constater que cette stratégie nécessite, outre la mesure du
courant de charge iS, les mesures isolées des (n-1) tensions flottantes [vC]. Cet aspect est
industriellement problématique à double titre. D’une part, on augmente la complexité et le
coût du convertisseur multicellulaire : on doit en effet effectuer une mesure dans un contexte
bruité (commutations des cellules environnantes) et l’isoler sans perdre la composante
continue VCk. D’autre part, cette mesure est un risque supplémentaire de panne grave : une
telle panne non détectée mettrait en péril la survie du convertisseur par mauvais réglage des
commandes [u].
VE
VE
VSréf
αk
Commande
(vCk)réf
VE
Multicellulaire
piloté en M.L.I.
(αk ; ϕk)
n-1
vCk
n
(n) cellules
(n-1) condensateurs
n-1
Observateur
VE
n-1
vS
vCk
Charge
iS
FD
iS
figure 1. 17 : commande sans mesure de l’état interne [vC]
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
19 / 128
Il est donc important de construire, même à titre conservatoire, un observateur des tensions
internes à l’aide d’un nombre réduit de mesures fiables : la tension d’alimentation VE et le
courant de sortie iS déjà utilisés pour le contrôle de l’ensemble source / convertisseur / charge.
Nous devons d’abord constater que le modèle moyen, mis à profit pour synthétiser la
commande du convertisseur, n’est pas opérant pour l’observation des tensions condensateurs.
En effet, nous avons vu que, en valeur moyenne :
VS = αn VE + ∑ vCk (α k +1 −α k )
n −1
k =1
Ce qui signifie que, pour des commandes synchrones de rapports identiques (αk = α) et
déphasées de ϕk = k 2π , on mesure la même tension moyenne VS donc le même courant
n
moyen IS quelles que soient les valeurs des tensions vCk(t). Ce point avait déjà été abordé (cf
équilibrage naturel § 1.4.) : il avait été montré que le déséquilibre des tensions internes était
identifiable exclusivement dans le contenu harmonique de vS(t) et donc de iS(t).
Néanmoins, l’utilisation du modèle harmonique associé à cette démonstration est bien trop
exigeant en temps de calcul pour une application temps réel. Aussi se tourne-t-on vers un
modèle moyen sur une durée (TD/n) et échantillonné soit à TD soit à (TD/n) [Bensaid]. (On
parle de “MMn”.)
x(k+1) = FMMn (α) x(k) + GMMn(α) VE(k)
avec x = [vC1 vC2 … vC(n-1) iS]T (donné pour une charge RS + LS série).
Dans le contexte d’une commande M.L.I. avec porteuses triangulaires, ce modèle simple
permet la mise en évidence de l’équilibrage naturel ainsi que l’observation des tensions
internes.
Notons également que ce modèle est non-stationnaire car les matrices d’état Fm et Gm
dépendent des rapports cycliques [α] des commandes [u]. Ce constat oriente la synthèse du
gain d’observation Kobs, non pas vers l’approche de Luenberger, mais vers le calcul récursif de
Kalman : Kobs sera ainsi naturellement mis à jour à chaque période d’échantillonnage ce qui
permettra la prise en compte des valeurs actuelles de Fm et Gm.
Remarque :
Un sur-échantillonnage de la partie observation (Téch = TD /n), s’il est plus contraignant en
terme de réalisation, permettra une meilleure dynamique de convergence des tensions
observées ce qui s’avère intéressant pour conserver une dynamique suffisante pour la
commande (cf choix de τ).
D’où la structure de l’observateur :
xobs(k+1) = {FMMn(k) x(k) + GMMn(k) u(k)} + K(k) [y(k) – iSobs(k)]
La matrice colonne (n ;1) des gains de Kalman est recalculée à chaque échantillonnage en
fonction des matrices de covariance R et Q des perturbations w(k) et v(k) du modèle d’état
MMn stochastique.
x(k+1) = FMMn (α) x(k) + GMMn(α) VE(k) + w(k)
y(k) = iS(k) + v(k)
v(k) représente le bruit blanc gaussien sur la mesure de courant ; w(k), bruit blanc gaussien,
indique à l’observateur le bruit sur la mesure VE et le biais sur la connaissance du système
(incertitudes paramétriques). Dans la structure de Kalman, vitesse de convergence et précision
de l’algorithme sont donc déterminés par le choix sur ces niveaux de bruit, représentés par les
valeurs de R et Q. (On parle de “choix” car en pratique R et Q sont très difficiles à
caractériser.) La dynamique du filtre de Kalman diminue lorsque R ou Q augmentent. Par
ailleurs, les essais sur un multicellulaire à trois cellules montre que le problème majeur est la
connaissance de la résistance de charge ; les performances de l’observateur se dégrade
fortement lorsque l’imprécision sur RS dépasse 20 % [Bensaid].
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
1.7.
20 / 128
Détection d’une défaillance : approche fréquentielle
La multiplication du nombre de cellules laisse craindre une détérioration de la
disponibilité opérationnelle du convertisseur. En réalité, il n’en est rien si le choix de ses
différents composants est bien effectué. En effet, dans ce cas, la défaillance d’un interrupteur
(maintien à l’état passant ou à l’état bloqué) peut être détectée et localisée [Beaudesson]. Dans
l’hypothèse de la défaillance d’un semi-conducteur en circuit fermé (défaillance physique
majeure car souvent initiale), le convertisseur peut être reconfiguré en marche dégradé ((n-1)
cellules). Dans l’hypothèse de la défaillance d’un semi-conducteur en circuit ouvert, le
convertisseur peut être arrêté sans endommager les (n-1) cellules encore saines. Cette
défaillance étant généralement due à un défaut de la commande du composant, on peut même
envisager de passer en défaut physique de circuit fermé pour assurer la continuité de
fonctionnement du convertisseur.
A très brève échéance (de l’ordre de quelques périodes de découpage TD), le problème
majeur est le maintien en court-circuit d’un des 2 interrupteurs d’une cellule Cellk (figure 1.
18). Il en découle un courant de court-circuit visant à rééquilibrer l’énergie des deux
condensateurs Ck et Ck-1 adjacents à cette cellule. Pour les MOSFET et les IGBT, ce courant
peut être maîtrisé à une valeur admissible en les “désaturant” (par diminution contrôlée de la
tension de grille). La décharge de la kième cellule (vcellk → 0) ne dissipe pas plus de
2
V 
ΕSilicium = 1 C E  dans l’interrupteur qui régule le courant de court-circuit et entraîne une
2  n 
surtension inférieure à 100 % ( ∆Vcellk −1 et ∆Vcellk +1 ≤ 2 VE ) sur les 2 cellules adjacentes. Il suffit
n
donc de prévoir une surface de silicium suffisante (calibre en courant suffisant) ainsi qu’une
tenue en tension double pour préserver l’intégrité des interrupteurs. Notons que le transistor
I.G.B.T. est particulièrement adapté à la contrainte énergétique avec une énergie critique de
Esi critique ≈ 6 J/cm2 [Alnahar].
HAk0 défaillant : toujours passant
H Ak0
a
b
DAk0
vCk0 ↓
vBk0
D Bk0
C0 = 0
ICC
vCk0-1 ↑ Ck = C
, vC0 = 0
, 1 ≤ k ≤ (n-1)
Cn = CE , vCn = VE
H Bk0
a
b
HBk0 limite I CC
Court-circuit
figure 1. 18 : défaut de court-circuit sur la k0ième cellule (cellk0)
Il est à noter que pendant toute la durée de ce transitoire (au plus 3 périodes de découpage), la
valeur moyenne de la tension de sortie vS(t) est affectée car :
vS( t ) =
n
∑v ( t )
k =1
Bk
avec vBk0 ≠ 0 lorsque uk0 = 0
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
21 / 128
Relevons que pour les mêmes raisons, la valeur moyenne VS est instantanément mais
durablement affectée par un défaut en circuit ouvert (de HAk0 ou bien de HBk0 constamment
bloqué).
Revenons au cas du court-circuit pour constater que, dès lors que (vCk0 = vCk0-1), la valeur de
VS n’est plus affectée (commande telle que αk = α).
VS =
∑α ( v
k
Ck
k ≠k défaut
−vCk −1 ) = ( αn VE ) +
∑α ( V
k
k≠ k0
k ≤ n −1
Ck
−VCk +1 ) = ( αVE )
La valeur instantanée vS(t) est, en revanche, profondément modifiée et on y relève des
harmoniques aux fréquences multiples de FD non attendus en fonctionnement équilibré
normal ; la phase de ces harmoniques (par rapport à la phase de la première commande par
exemple) permet la localisation de la cellule défaillante. Il ne reste plus qu’à maintenir le bon
interrupteur HBk0 constamment fermé et de reconfigurer la commande pour un convertisseur à
(n-1) cellules et (n-2) condensateurs dont éventuellement un de capacité double.
En cas d’interrupteur en circuit ouvert, l’analyse harmonique permet également de localiser la
cellule concernée [Beaudesson].
Non
Non
V S attendue ?
Oui
confirmation ?
Oui
Transformée de
Fourier de vS(t)
Cdes à 1 pour HAk0 et HBk0
&
reconfiguration de la c de [u]
Transformée de
Fourier de vS(t)
Arrêt du convertisseur
&
Localisation de la défaillance
figure 1. 19 : procédure de détection / localisation avec commande [u] en M.L.I.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
1.8.
22 / 128
Nouvelles topologies
multicellulaire:
issues
du
concept
de
convertisseur
L’avènement des convertisseurs multicellulaires a bouleversé l’appréhension des
convertisseurs statiques en permettant la réalisation d’interfaces de puissance à grande bande
passante tout en utilisant des composants standards à faible coût. Du coup, la mise en oeuvre
« électrotechniquement optimale » n’est plus forcément celle qui utilise le moins
d’interrupteurs commandés.
Aussi n’est pas surpris de constater que le convertisseur multicellulaire est en train d’
engendrer deux nouvelles voies.
1.8.1. Convertisseurs multicellulaires en commutation douce :
La première piste d’investigation consiste à passer de la « commutation dure » à la
« commutation douce » afin de repousser encore plus loin le compromis puissance / fréquence
de découpage. Compte-tenu des données technologiques (capacités parasites des transistors
bloqués et courant de recouvrement très polluant des diodes [jonctions PN]), les investigations
concernant les onduleurs de tension ont surtout porté sur la commutation à zéro de tension
(« Z.V.S. » en anglais). Il s’agit pour cela de ne plus commander qu’au blocage les transistors
principaux ; l’amorçage quant à lui se produit spontanément par la diode située en
antiparallèle. Pour parvenir à ce résultat, il faut adjoindre un circuit auxiliaire permettant
d’injecter un courant suffisant juste avant la demande de blocage du transistor principal afin
de garantir que celui-ci soit bien conducteur et cela quel que soit le courant is consommé par la
charge. La figure 1. 20 montre la topologie d’une telle structure dans le cadre d’un
convertisseur à 3 cellules (4 niveaux). Ajoutons qu’à la réduction des pertes par commutation
dans les interrupteurs principaux s’ajoute le bénéfice classique de la réduction des pentes de
commutation de la tension de sortie vS(t).
VE
2
H A3
H A2
HA1
b
b
b
D A3
D A2
DA3
γ 3a
CEa
λ3
γ 2a
C2a
λ2
a
a
VE
2
D B3
C Eb
γ3b
λ1
a
a
D B2
C2b
DB1
C1b
H B2
b
iS
a
a
H B3
b
γ1a
C1a
γ2b
HB1
b
vS
γ 1b
figure 1. 20 : onduleur monophasé 4 niveaux à commutation douce par circuit auxiliaire commuté dit
« A.R.C.P. » (Auxiliary Resonant Commutated Pole)
Le fonctionnement de cette structure est détaillé dans l’article [Turpin]. Il est important
de préciser que, s’il n’y a pas encore de réalisations industrielles de ce type, un prototype de
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
23 / 128
cette structure a été réalisé au LEEI afin d’en valider expérimentalement le bon
fonctionnement.
1.8.2. Structure multicellulaire superposée :
La seconde voie de recherche vise à réduire l’énergie stockée au sein du convertisseur
par la diminution de la tension appliquée aux bornes des condensateurs internes. Il s’agit alors
d’un nouveau type de convertisseur, hybride du convertisseur multicellulaire classique (figure
1. 21.a) et du convertisseur à plusieurs points (figure 1. 21.b) dont le convertisseur « clampé
par le neutre » (dit « N.P.C. » en anglais est un cas particulier).
HA2
a
b
a
b
DA3
DA2
DA3
a
b
C2
VE
iS
C1
DB3
DB2
HB3
a
b
VE
n
VE
VnE
n
HA1
HA3
DB1
HB2
a
b
HB1
vS
a
b
VE
n
VE
n
iS
VE
n
VE
n
(a) : multicellulaire classique à p cellules
(b) : structure multi-points à n commutateurs
figure 1. 21 : hacheur 2 quadrants utilisant trois cellules commandées en série
Ce convertisseur hybride appelé structure multicellulaire superposée (dit « S.M.C. »
pour Stacked Multicell Converter en anglais) a été tout particulièrement étudiée et réalisée
dans le cas de n = 2 et p quelconque. La figure 1.22 en décrit la topologie ; le détail de son
fonctionnement peut être appréhendé par [Gateau 3] et [Meynard 4]. Précisons néanmoins que
les interrupteurs extrêmes (HAkE2 et HBkE1), s’ils sont bien constitués par une mise en série de
V
deux interrupteurs commandés (afin de pouvoir supporter la tension 2 E ), ne subissent pas
p
la nécessité d’avoir des commutations parfaitement synchrones. En réalité, seul l’un d’entre
eux subit la commutation à la fréquence élevée de découpage FD.
La comparaison entre multicellulaire classique et « SMC » semble favorable à ce
dernier. En effet, on constate une énergie stockée dans les condensateurs moins importante
ainsi que la possibilité d’augmenter la fréquence de découpage apparente pour la charge ce qui
induit tout à la fois un filtrage de sortie moins volumineux et une dynamique de réponse en
transitoire plus rapide. Par ailleurs, cette possibilité d’augmenter la fréquence de la porteuse
MLI permet d’envisager une réduction supplémentaire de l’énergie emmagasinée dans les
condensateurs flottants.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Rappels et état de l’art
24 / 128
H A3E2
H A3E2
a
b
DA3E2
VE
2
C Ea
a
b
D A3E2
D A3E1
a
b
H A3E1
DA3E2
VE
2
a
b
C Eb
HA2E2
a
b
a
b
DA2E2
C 2E2
HB3E2
H A2E2
DA2E2
C1E2
H B2E2
DA2E1
a
b
HA2E1
DA2E2
a
b
C2E1
HA1E2
H A1E2
a
b
D A1E2
a
b
DA1E2
HB1E2
a
DA1E1
HA1E1
D A1E2
a
b
C1E1
D B3E1
D B3E1
D B2E1
DB2E1
DB1E1
D B1E1
H B3E1
H B3E1
H B2E1
HB2E1
HB1E1
H B1E1
a
b
a
b
a
b
iS
b
vS
a
b
figure 1. 22 : topologie du convertisseur multicellulaire superposée
1.9.
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons rappelé l’intérêt des convertisseurs multicellulaires : une
diminution des contraintes en tension appliquées à chaque interrupteur permettant l’utilisation
de composants qui d’une part autorisent des fréquences de commutation plus élevées et
d’autre part sont fabriqués en grand volume.
Nous avons ensuite décrit le principe de fonctionnement et illustré son intérêt, dans le
cadre d’une commande par modulateur M.L.I., en terme de qualité harmonique de la tension
de sortie vS(t).
Dans un troisième temps, nous avons insisté sur la nécessité de prévoir le maintien à
l’équilibre des tensions internes vCk(t). Dans ce but, la solution du contrôle par la commande
(boucle fermée) ne met en jeu aucun nouvel élément de puissance, n’est pas dissipatif et
autorise des dynamiques bien plus élevées que celles induites par la stabilisation par circuits
résonnants amortis (R, L, C).
Dans le but de réduire les coûts, il a été montré qu’il est envisageable d’observer les
tensions internes vCk(t) plutôt que de les mesurer. Néanmoins le filtre de Kalman ainsi
synthétisé nécessite une bonne connaissance de la charge alimentée par le convertisseur.
En dernier lieu, et dans le cadre d’une commande M.L.I. (en boucle ouverte), l’analyse
fréquentielle de la tension de sortie vS(t) permet une détection et une localisation de la
défaillance très rapide (de l’ordre de quelques périodes de découpage TD).
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 25 / 130
Partie 2
Commande directe respectant, en régime
permanent, une fréquence de découpage fixe.
« Il faut imaginer Sisyphe heureux. »
La Peste
Albert Camus
2.1.
Présentation des enjeux
Pour des raisons diverses et variées (coût, disponibilité, savoir faire, qualité des
commutations …), le concepteur peut souhaiter utiliser des interrupteurs à semi-conducteurs
ne supportant pas individuellement la tension imposée par l’application. La mise en série des
composants actifs permet éventuellement de résoudre le problème mais nécessite un parfait
synchronisme de tous ses composants. (Dans le cas contraire, le premier composant ouvert, ou
le dernier composant fermé doit momentanément supporter toute la tension et est
« instantanément » détruit !)
Le convertisseur multicellulaire série apporte une solution plus élégante, plus fiable et
riche en perspectives [Meynard 2] [Meynard 3] [Gateau 2]. En effet, le point de vue adopté est
radicalement différent : on ne se propose plus de mettre en série des interrupteurs mais des
cellules élémentaires de commutation. Avec des sources de tension internes imposées, chaque
cellule de commutation est strictement autonome. Par ailleurs, quel que soit l’état binaire des
n commandes uk(t), la tension vcellk bloquée par l’interrupteur ouvert est :
vcellk = ( vCk ) − ( vCk −1 )
Aussi, afin d’assurer des valeurs identiques pour les tensions internes ( vcell k = VE ), choisit-on
n
les tensions de chaque condensateur de la manière suivante :
vCk = k VE .
n
En pratique, ce convertisseur de puissance utilise toujours des condensateurs de
capacité réduite (poids, volume, prix, comportement vis à vis des courants impulsionnels,
durée des transitoires). Aussi, le courant les traversant modifie t-il la valeur de cette tension.
C d ( vCk ) = iCk = ( u k +1 −u k ) IS
dt
On est donc obligé de tolérer une petite excursion de la tension vCk(t) autour de sa
valeur de référence ( k VE ). Sur une courte échelle de temps, les commutations de chaque
n
cellule peuvent effectivement toujours être provoquées à des instants arbitraires (dans le cas
bien-sûr de tensions internes parfaitement équilibrées). En revanche, sur une plus grande
échelle de temps, si les ordres uk de changement de niveau de chaque cellule n’ont pas à être
synchronisés, ils doivent être gérés avec la triple contrainte suivante.
Premièrement, assurer la tension de sortie vs(t) exigée par le bon fonctionnement du
processus piloté.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 26 / 130
Deuxièmement, assurer un état interne [vC1(t) …. vCn(t)] ne s’éloignant pas trop de
l’état idéal [ VE … k VE … ( n-1) VE ]. Rappelons que, structurellement, il est impossible de
n
n
n
maintenir parfaitement cet état.
Troisièmement, assurer des pertes par commutation compatibles avec l’échauffement
toléré par les semi-conducteurs.
La commande par modulation de largeurs d’impulsions de n signaux continus
représentant les n rapports cycliques souhaités pour la période de découpage en cours est une
solution à ce problème. Cette solution est optimale dans le cas de n modulatrices synchrones
(périodes TD chacune) et déphasées régulièrement dans le temps de : TD . Elle permet en effet
n
un équilibrage naturel en boucle ouverte (à quelques points singuliers près). En régime
permanent, elle engendre une tension de sortie vs(t) au contenu harmonique réduit ; par
rapport à un convertisseur classique (1 cellule), elle offre un régime permanent réduisant le
taux d’harmoniques de courant en (n)2. Par ailleurs, en régime permanent, elle engendre une
ondulation δvCk(t) des tensions aux bornes des condensateurs bornée :
( ∆vCk ) crête - crête ≤ iCS TnD
En effet, dans ce cas le condensateur est traversé par (+ is) pendant une durée d’au plus TD , et
n
par (- is) pendant une durée équivalente.
En revanche, cette solution impose par période de découpage un cycle prédéfini et cela
même en régime transitoire. Par ailleurs, elle contraint l’algorithme de contrôle à raisonner sur
un modèle moyen, donc fortement approché, du convertisseur. Cela revient à se restreindre à
des dynamiques d’évolution lente par rapport à la période de découpage (TD) afin que
l’évolution du modèle reste cohérente avec celle du convertisseur.
Aussi, proposons nous d’explorer d’autres possibilités de commande, satisfaisant
également les trois critères exigés par le bon fonctionnement du convertisseur. Nous nous
appuierons sur le modèle instantané du convertisseur. Celui-ci fait bien apparaître le caractère
hybride du convertisseur : n commandes binaires (les uk(t)) continues par morceau, (n-1) états
internes continus (vCk(t)) et une sortie (vs(t)) également continue par morceaux.
Pour cela, nous allons procéder en deux étapes. Dans la première, nous allons chercher
à générer, en sortie de convertisseur, un niveau λ quelconque parmi les (n+1) réalisables tout
en assurant un état interne optimal. Nous montrerons ainsi qu’il est possible de contrôler un
convertisseur et ceci quel que soit son nombre (n) de cellules, même pour n non premier.
Dans une seconde étape, nous montrerons comment contrôler tout à la fois les (n-1)
tensions internes (vCk) mais aussi la variable externe (Σvs) pour une référence (vs)réf quelconque
entre 0 et VE.
2.2.
Commandabilité - Première approche
2.2.1. Problématique
La question de la commandabilité est cruciale puisqu’il s’agit d’établir si, par sa
commande, l’algorithme de contrôle aura la possibilité d’amener l’état du système où nous le
désirons. Si tel est le cas, la charge revient au concepteur de la commande de transformer ce
potentiel en contrôle effectif du système. Aussi, dans cette phase prospective, nous posons
nous la question : “le système étant à l’état x, puis-je par une commande appropriée et licite,
l’amener à un état voisin x + ∆x ?”
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 27 / 130
2.2.2. Vecteur d’état
Avant de répondre à cette question, nous souhaitons préciser le vecteur d’état x adopté.
Dans un premier temps, et au vu des équations régissant le convertisseur, il apparaît naturel
d’adopter x = [vC1 … vCn-1]T.
dv
k = 1 à (n-1)
C Ck = ( u k +1 −uk ) i S
dt
n
vS = ∑u k v cell k
k =1
k=1àn
vcell k = ( vCk − vCk −1 )
Néanmoins, la dernière équation fait clairement apparaître que la tension vS(t) ne peut
être choisie que parmi un ensemble fini de valeurs.
Par exemple, pour n = 3, les 8 commandes engendrent les 8 sorties vs(t) suivantes :
avec :
Commande U (t) = [u1 u2 u3]T
N°
u3
u2
u1
1
0
0
0
2
0
0
1
3
0
1
0
4
1
0
0
5
1
1
0
6
1
0
1
7
0
1
1
8
1
1
1
Tension de sortie vS(t)
vs = u3 VE + (u2-u3)vC2 + (u1-u2)vC1
vs = 0
vs = vC1
vs = vC2 - vC1
vs = VE - vC2
vs = VE - vC1
vs = VE - vC2 + vC1
vs = vC2
vs = VE
figure 2. 1 : Tableau des 8 sorties envisageables pour n = 3
Remarquons que, si les tensions internes vCk sont réparties aléatoirement entre 0 et VE
(avec néanmoins la contrainte vCk+1 ≥ vCk imposée par les diodes en anti-parallèle) chaque
commande définit un niveau vS(t) différent. Ce qui représente 2n éléments (ici 8). Si le
convertisseur est très proche de son état optimal, ce qui est fondamental pour la sauvegarde
des n cellules de commutation, alors toutes les commandes u = [u1 … un]T telles que :
n
∑u
k =1
k
=λ
sont équivalentes pour la sortie, ce qui conduit à (n+1) valeurs distinctes pour la tension vS(t).
V
On obtient alors uniquement (n+1) niveaux de sortie distincts : λ E avec λ = 0 à n (ici 4
n
niveaux).
La tension vS(t) ne peut donc qu’exceptionnellement égaler la tension de consigne (vS)
réf (t). Comme pour la modulation de largeurs d’impulsions avec porteuses triangulaires
régulièrement déphasées, il s’agit de s’appuyer sur les niveaux discrets de sortie que peut
délivrer le convertisseur pour que le signal vs(t) généré soit le plus proche possible de la
consigne (vS)réf (t). Il s’agit donc, non pas d’annuler l’erreur εvs = (vSréf – vS), mais de faire en
sorte que l’intégrale de cette erreur evs = ∫0t εvsdt reste proche de zéro. On notera que
l’intégrale étant un filtre passe-bas, cette méthode ne permet pas de suivre des fréquences trop
élevées1. Quoiqu’il en soit, nous prenons en compte le système étendu, c’est-à-dire que nous
1
Notons que la connaissance du modèle de la charge (autre filtre passe-bas) permettra de suivre directement la
grandeur (is)réf. [Béthoux 1]
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 28 / 130
mettons en équation le comportement dynamique du convertisseur ainsi que de l’intégrale de
l’erreur qui, utile pour le contrôle-commande, sera intégrée au calculateur.
vCk
n-1
uk
…
Ck
n
…
vs
εvs
_
+
∫
evs
(v s)réf
figure 2. 2 : système étendu en vue d’une commande directe
Dans ce cas particulier, le vecteur d’état x = [vC1 … vCn-1 ΣVs]T se confond avec le vecteur de
sortie Y (c’est-à-dire, le vecteur des grandeurs à contrôler).
La dynamique est donc décrite par :
dvCk
u −u
= k +1 k iS
dt
C
n
devs = [ v ] −  ∑

sréf
 k=1u k v Cell k 
dt
2.2.3. Commandabilité sous l’hypothèse d’une commande continue et non bornée
En s’arrêtant sur les ambitions qui peuvent être assignées à l’algorithme de contrôle,
nous avons dégagé un système étendu dont la description dynamique peut s’écrire sous forme
d’une équation d’état affine en la commande. Nous avons :
dx = F( x ) + G( x )u
dt
où :
− iS
C
 vC 1 



x=
vCn −1 
 Σ vs 
 u1 
 
u= 
u n −1
 u n 
 0 
 
F( x ) =  
 0 
vsréf 
G(x) =
+
iS
C
0
− iS
C
+ iS
C
0
0
− iS
C
vCell 1 v Cell 2 v Cell 3
+ iS
C
− iS
C
+ iS
C
v Cell n-1
vCell n
Avec cette mise en forme, il apparaît clairement que pour une commande U(t)
continue et non bornée, une condition suffisante de commandabilité est :
dét (G(x)) ≠ 0
Le déterminant de la matrice G(x) se calcule aisément par récurrence.
Dans un premier temps, développons dét (G(x)) selon la première colonne :
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 29 / 130
−
détG = −
iS
C
i S iS
+
C C
0 − iS + i S
C C
+ (-1)n-1 vCell 1
−
V Cell 2 …………
iS
C
i
−S
C
+
V
iS
i
+ S
C
C
− iS
C
Celln-1 V Celln
+ iS
C
Puis, nous explicitons le second terme :
+1
-1
 iS 
− C 


n -1
vc e ll1
-1 +1
Et, par récurrence :
+1
-1
0 0
-1 +1
+1
-1
=
…… 0
= 1
+
-1 +1
-1 +1
-1 +1
Pour le premier terme, on réitère le développement selon la première colonne (n-3) fois :
détG =  − iS 
 C
n -2
−
iS
C
+
iS
C
Vcell n-1 V cell n


+  − iS 
C


n -1
{V cell 1 + Vcell 2 + … + V cell n-2}
Et finalement :
 iS 
détG = − C 


n-1
{Vcell 1 + Vcell 2 + … + V cell n-2 + Vcell n-1+ Vcell n}
Soit :
n-1
 iS 
détG = −C  VE
 
Dans le cas de notre problématique initiale (“commandabilité sous l’hypothèse d’une
commande continue et non bornée”), nous voyons ainsi que, pour que le système ne rencontre
pas de problème de commandabilité, il faut éviter les deux cas singuliers suivants : iS = 0 et
VE = 0.
En effet, si la charge ne consomme pas de courant (iS = 0), les (n-1) premières
équations nous montrent que la commande U ne peut pas faire évoluer les tensions internes
(vC1 ;… ;vCn-1). Dans ce cas, la composante qui permet de modifier l’état du système est iS,
physiquement variable de transfert d’énergie. Nous proposerons au paragraphe § 2.3. une
stratégie permettant de traiter cette singularité.
Dans le second cas (VE = 0), nous constatons également une perte de commandabilité
que reflète la dernière équation. Ce second cas particulier relève d’une procédure de mise en
route du convertisseur. Nous en avons décrit une au § 1.1.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 30 / 130
Cette première analyse est certes instructive car elle permet de mettre en évidence des
cas particuliers pour lesquels toute demande de retour à l’équilibre sera vaine. Néanmoins,
elle ne permet pas de pointer tous les cas singuliers. Elle ne répond que partiellement à la
question initiale : la recherche d’une condition nécessaire et suffisante de commandabilité du
convertisseur multicellulaire. Celui-ci est en effet un actionneur à commande u(t) non
seulement discrète (2n valeurs distinctes) mais encore sous contrainte : la plus forte contrainte
étant qu’on ne peut pas appliquer une commande particulière U pendant une durée δt
négative !
A cet égard, il nous paraît plus légitime de reformuler la question initiale sous la forme
suivante : « Le système étant à l’état x, sachant que je souhaite l’amener à un état voisin
x + ∆x, puis-je trouver un n-uplet de durées [δt1 ; … ; δtn] associées aux n commandes U1, …,
Un tel que :
n
∑ δt k dx ( U k ) = ∆x
dt
k =1
et satisfaisant les n contraintes :
δtk ≥ 0 ? »
C’est bien à cette question que nous allons nous atteler en analysant, dans un premier
temps, les directions offertes par les différentes commandes, puis en proposant une commande
discrète par approche géométrique. Nous allons pour cela procéder en deux étapes. Dans la
première, nous allons chercher à générer, en sortie de convertisseur, un niveau quelconque
parmi les (n+1) réalisables. Nous montrerons alors qu’il est possible de contrôler un
convertisseur à nombre de cellules même non premier. Dans une seconde étape, nous
montrerons comment contrôler tout à la fois les (n-1) variables internes [vck] mais aussi la
variable externe Σvs pour une référence (vs)réf lentement variable entre 0 et VE.
2.3.
Commandabilité de l’état interne dans le cas spécifique de la
réalisation d’un niveau discret λ donné (λ = 0 à n).
Précisons que cette étape est intéressante à double titre.
Il a en effet été expérimenté qu’en M.L.I., l’équilibrage naturel n’avait pas lieu dans
les convertisseurs non premier lors de la réalisation des niveaux discrets λ correspondant à
leur diviseur et aux multiples de ceux-ci. (Il va également sans dire qu’aucun contrôle de l’état
interne n’est possible lorsque l’on recherche les niveaux extrêmes λ = 0 et λ = n : dans ces
deux cas particuliers, une seule commande est possible U = [0 … 0]T ou U = [1 … 1]T et elle
ne sollicite aucun condensateur.) Ce phénomène de points singuliers peut s’établir à l’aide du
modèle harmonique. On calcule la matrice d’état AH(λ/n) et on montre qu’elle a des valeurs
propres nulles pour les niveaux λ décrits précédemment.
Nombre de cellules :n Niveaux singuliers : λ
4 = 2*2
2
6 = 2*3
2, 3, 4
8 = 2*2*2
2, 4, 6
10 = 2 * 5
2, 4, 5, 6, 8
12 = 2 * 2 * 3
2, 3, 4, 6, 8, 9, 10
figure 2. 3 : Tableau des points singuliers (hormis λ = 0 et λ = n) pour une commande M.L.I.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 31 / 130
En second lieu, il nous apparaît important de trouver un algorithme de commande
assurant le contrôle du convertisseur pour les niveaux discrets λ = 1 à (n-1) car ceux-ci
assurent une sortie vs(t) quasiment sans découpage apparent. Et nous allons utiliser cette
propriété (cf chapitre 3) pour offrir une mise en œuvre directe des algorithmes de commande
par modes glissants.
Ajoutons également, que lors d’une reconfiguration (n cellules → (n-1) cellules suite à
la défaillance d’une cellule), on peut être amené à adopter un algorithme dédié au nombre non
entier de cellules.
Par ailleurs, la réalisation d’un des (n-1) niveaux discrets enlève toute utilité à la
variable de commande Σvs. Dans ce paragraphe, nous adopterons donc X = [vC1 … vCn-1]T
comme vecteur d’état. Constatons également que le problème présente une symétrie : en effet
le cas du niveau λ est similaire au cas du niveau (n- λ). En effet, les commandes idoines sont
dans le premier cas choisies parmi l’ensemble tel que λ uk sont égales à 1, et dans l’autre
l’ensemble tel que λ uk sont égales à 0.
Rappelons en dernier lieu que dans le cadre d’un actionneur continu à commande non
bornée, cela revient à chercher si le rang de la matrice G’(x) est plein avec :
−
G’(x) =
iS
i
+ S
C
C
0 − iS + iS
C
C
0
0 − iS + iS
C
C
-1 +1
=
− iS + iS
C
C
− iS
C
iS
C
+1
-1
ce qui est clairement le cas pour iS ≠ 0
Dans les contraintes d’application, nous savons que l’interrupteur principal de la
cellule cellk est soit dans la position fermée (uk = 1) soit dans la position ouverte (uk = 0). En
outre, une configuration (U = [u1 … un]T) entraîne pour chaque condensateur Ck une des trois
possibilités d’évolution : aucune (les deux cellules adjacentes dans la même position : uk – uk-1
= 0), ou bien dans le sens d’une augmentation de vCk(t) ( sign(is) [uk+1 - uk] > 0) ou alors dans
le sens d’une diminution de vCk(t) ( sign(is) [uk+1 - uk] < 0). Il apparaît donc clairement que
l’évolution souhaitée (en sortie le niveau λ et en interne l’équilibre) ne pourra être obtenue
que par une succession de commandes appropriées. Voilà pourquoi toutes les combinaisons
n
( n) !
(au nombre de n λ = Cnλ = ( λ) ! ( n-λ ) ! ) permettant la réalisation du λ ième niveau ( ∑ uk = λ ) sont
k =1
potentiellement nécessaires. En dernier lieu, il est important de rappeler que cette suite de
combinaisons particulières (donnant toutes le niveau λ) doit être appliquée dans le respect des
contraintes thermiques imposées par les semi-conducteurs constituant le convertisseur de
puissance. Or, dans ces derniers, les pertes, et donc l’échauffement, sont directement liées au
nombre de commutations effectuées par seconde. L’imposition d’une fréquence de cycle
raisonnable est donc nécessaire au bon fonctionnement de l’amplificateur de puissance.
2.3.1
Première étape dans la sélection d’un cycle candidat : atteindre l’objectif en
n coups
Pour l’obtention d’un niveau prédéfini λ, on a donc un objectif à n contraintes :
obtenir, à la fin d’un cycle des combinaisons choisies, les (n-1) tensions désirées ainsi
qu’imposer une durée TD raisonnable à ce cycle (au regard des pertes dans les interrupteurs).
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 32 / 130
Cela nécessite donc n commandes {U1, … , Uk, … , Un} distinctes aptes à constituer un cycle
c’est-à-dire telles que la durée d’application δtk associée à chacune des n commandes Uk
trouve une solution par la résolution des n équations linéaires décrites par :
n
∑
δt dX ( U ) = X réf −X
k=1 k dt k

n

∑ t k = TD
k =1

On voit donc que le contrôle d’un convertisseur, dont la sortie est maintenue au niveau λ, est
envisageable uniquement si on est capable de trouver n commandes distinctes parmi les
n λ = Cλn telles que :
dX ( U )
dX
 dX
... dt ( Un ) = n
k
rang  dt ( U1 ) ...
dt
...
...
1
1 
 1
Ainsi, le système précédent est inversible et fournit les n durées d’application δtk permettant
d’assurer l’état optimal du convertisseur.
A ce premier stade, nous pouvons noter une explosion combinatoire lorsque le nombre n de
cellules augmente. Pour constituer un cycle après une vérification exhaustive, il faut en effet
tirer n commandes distinctes U au sort parmi les nλ disponibles. Ce qui signifie qu’il faut
tester Cnn λ conditions de rang. Si on prend l’exemple modeste de 6 cellules, on a n 2 = C62 = 15
6
n
possibilités différentes pour réaliser le niveau λ = 2. Ce qui engendre Cn λ = C15 = 5005 nuplets différents à tester. Il est donc naturel d’effectuer ce test hors ligne. Si aucun n-uplet ne
satisfaisait ce premier test, la commandabilité du convertisseur ne pourrait être établie : il
serait inutile d’envisager de continuer la procédure. Notons que tel n’est pas le cas à partir du
moment où is ≠ 0 (cf dét G’). Dans le cas (n = 6 et λ = 2), on trouve ainsi dix six-uplets
candidats. Et, comme nous le verrons plus loin aucune de ces dix possibilités ne correspond à
la solution préconisée par la MLI.
N° de
cde
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
u6
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
Commande U (t) = [u1 u2 u3 u4 u5 u6]T
u5
u4
u3
u2
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
u1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
figure 2. 4 : Les 15 possibilités de réalisation du 2nd niveau dans un convertisseur à 6 cellules
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 33 / 130
N°
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
2
3
4
5
3
4
5
4
5
5
Six-uplet
6
13
7
11
8
10
9
10
8
9
7
9
7
8
6
9
6
8
6
7
14
12
12
11
10
11
12
12
11
10
15
15
14
13
15
14
13
13
14
15
figure 2. 5 : Les 10 six-uplets du 2ième niveau dans un convertisseur à 6 cellules
2.3.2
Deuxième étape dans la sélection d’un cycle candidat : déroulement
unidirectionnel du temps
Toutefois, comme nous l’avons déjà évoqué, cette condition n’est pas suffisante. Pour
assurer la commandabilité réelle du convertisseur, il faut également garantir des temps
d’application δtk positifs pour chacune des n commandes. Le système linéaire précédent doit
donc respecter les n contraintes suivantes :
δtk ≥ 0
Comme nous l’avons vu le choix du cycle candidat doit se réaliser hors ligne. Il faut
donc que chaque commande est, autour de l’équilibre ( vCk = k VE ), la latitude maximale
n
d’augmenter ou de diminuer son temps d’application δtk afin de répondre aux perturbations
(variations de charge et fuites dans un condensateur) ainsi qu’aux changements de consigne
(dus à une variation de la tension d’entrée VE). Idéalement, il serait très favorable d’obtenir
T
δt k = D lors de la résolution du système linéaire à l’équilibre (Xréf = X) :
n
n
∑
δt k dX ( Uk ) = 0
k =1 dt

n

∑ t k = TD

k =1
Et, si ce n’est pas le cas, on choisit alors le n-uplet donnant l’écart minimal à cette
situation idéale :




 δt k − TD  ≤ max  δt k − TD 
max
cycle choisi
n  autres cycles 
n 

Si nous reprenons l’exemple (n = 6 et λ = 2), on doit explorer 5005 possibilités ! Parmi
celles-ci, dix seulement conduisent à des solutions répondant à la condition de rang. En
revanche, ces dix possibilités satisfont à la contrainte δtk ≥ 0 et fournissent une équirépartition des durées d’application à l’équilibre : ( δt k ) éq = TD .
6
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 34 / 130
2.3.3. Troisième étape dans la sélection d’un cycle candidat : minimisation du nombre
de commutations
La troisième étape du processus visant à la présélection du cycle candidat consiste à
choisir le meilleur n-uplet et à l’ordonnancer, c’est-à-dire à choisir l’ordre d’application de
chacune des n commandes présélectionnées. Pour cela, nous allons chercher à minimiser les
pertes par commutation (liées au nombre total de commutations sur l’ensemble des cellules)
ainsi que la contrainte thermique par interrupteur (liée au nombre de commutations par
cellule). Il s’agit donc de reprendre les n-uplets candidats et de tester, pour chacun d’entre
eux, tous les ordonnancements afin de déterminer le cycle le plus approprié à chacun en vue
d’optimiser le rendement et de répartir au mieux les pertes par commutation sur les n cellules.
Pour l’exemple adopté (n = 6 et λ = 2), on obtient pour chaque six-uplet un cycle à contraintes
thermiques identiques : 16 commutations au total réparties sur les six cellules avec quatre
cellules ayant deux commutations et deux cellules ayant quatre commutations.
N°
cycle
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
1 2 6 13 14 15
1 3 7 11 12 15
1 4 8 10 12 14
1 5 9 10 11 13
2 3 8 9 15 10
2 4 7 9 14 11
2 5 7 8 13 12
3 4 6 9 12 13
3 5 6 8 11 14
4 5 6 7 10 15
Nbre de commutations pour chaque cellule Nbre
Cell1 Cell2 Cell3 Cell4 Cell5 Cell6 total
2
4
2
2
4
2
16
2
4
2
2
4
2
16
2
4
2
4
2
2
16
2
4
2
4
2
2
16
2
2
2
4
4
2
16
2
2
2
4
4
2
16
2
2
2
4
2
4
16
2
2
4
2
4
2
16
2
2
4
2
2
4
16
2
2
4
2
2
4
16
figure 2. 6 : Ordonnancement des 10 six-uplets vis-à-vis du critère thermique (n = 6 et λ = 2)
U1 = 1
u 1 (t)
1
1
U2 = 2 U3 = 6
1
0
0
u 2 (t)
u 3 (t)
1
u 4 (t)
1
1
1
u 6 (t)
TD
6
0
0
temps
0
0
0
temps
0
0
0
temps
1
1
0
temps
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
u 5 (t)
1
0
0
U4 = 1 3 U 5 = 1 4 U6 = 1 5
0
0
0
1
0
0
temps
0
1
0
1
0
0
1
temps
TD
figure 2. 7 : Evolution des 6 commandes uk(t) pour le cycle n° I (n = 6 et λ = 2)
Régime permanent
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 35 / 130
2.3.4. Quatrième étape dans la sélection d’un cycle candidat : minimisation de
l’ondulation des tensions internes
La dernière étape du processus nous conduit à considérer comme ultime critère
l’ondulation maximale de tension en régime permanent que subit chaque condensateur
interne. Néanmoins à l’issue de cette procédure plusieurs cycles peuvent présenter les mêmes
qualités vis-à-vis de ces quatre critères hiérarchisés. Cette surabondance ne nuit pas et
l’algorithme de contrôle pourra être construit avec n’importe lequel de ces cycles. Pour le cas
d’école (n = 6 et λ = 2), cela n’est pas le cas car seul le premier cycle engendre, en régime
permanent, une ondulation crête à crête de IS TD sur 4 condensateurs (C1, C2, C4 et C5) et
6C
I
S TD
2
sur un condensateur (C3). (cf figure 2. 7 et figure 2. 8 ).
6C
Dans les cas non singuliers (cf figure 2. 3), on retrouve la commande M.L.I. naturelle
qui consiste à imposer à la première commande U1, « 1 » aux λ premières places et « 0 » aux
(n-λ) suivantes puis à propager cette suite de « 1 » vers les autres cellules par permutation
circulaire. Nous en donnons une illustration aux figures 2.9 , 2.10 et 2.11 pour (n = 5 et
λ = 2).
U1 = 1
U2 = 2 U3 = 6
U4 = 13 U5 = 14 U6 = 15
δvC1 (t)
ISTD
6C
temps
δvC2 (t)
temps
δvC3 (t)
temps
ISTD
3C
δvC4 (t)
temps
δvC5 (t)
temps
TD
figure 2. 8 : Evolution des 5 tensions vCk(t) pour le cycle n° I (n = 6 et λ = 2)
Régime permanent
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 36 / 130
N° de
cde
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Commande U (t) = [u1 u2 u3 u4 u5]T
u4
u3
u2
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
u5
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
u1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
figure 2. 9 : Les 10 possibilités de réalisation du 2nd niveau dans un convertisseur à 5 cellules
U1 = 1
u1 (t)
u2 (t)
U2 = 5 U3 = 8
U4 = 10 U 5 = 4
1
1
0
1
temps
0
0
0
0
0
temps
0
0
temps
0
temps
1
1
u3 (t)
0
u4 (t)
0
0
u5 (t)
0
0
1
1
1
1
1
0
temps
TD
figure 2. 10 : Evolution des 5 commandes uk(t) pour le cycle n°1 (n = 5 et λ = 2)
Régime permanent
U1 = 1
U2 = 5 U3 = 8
U4 = 10 U5 = 4
δvC1 (t)
ISTD
5C temps
δvC2 (t)
temps
δvC3 (t)
temps
δvC4 (t)
temps
TD
figure 2. 11 : Evolution des 4 tensions vCk(t) pour le cycle n°1 (n = 5 et λ = 2)
Régime permanent
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 37 / 130
2.3.5. Bilan de la sélection d’un cycle candidat
Cette recherche systématique des cycles candidats, guidée par les contraintes
physiques subies par le convertisseur, nous a conduit à exhiber des cycles pour tous les cas
(n , λ) rencontrés. En ce qui concerne les cas non singuliers, on montre que les cycles
sélectionnés naturellement par la M.L.I. répondent parfaitement à nos critères. La M.L.I. est
donc optimale tant du point de vue de la possibilité de contrôle des tensions internes que du
point de vue du contenu harmonique des tensions internes (vCk) et cela pour un nombre de
commutations minimal par cellules (2 ↔ un aller-retour).
Pour ce qui est des cas singuliers repérés pour le cas où n est non premier (cf tableau
de la figure 2. 3), cette exploration exhaustive permet de confirmer que le cycle proposé par la
M.L.I. ne peut procurer une situation commandable du convertisseur. Si on reprend l’exemple
V
(n = 6 , λ = 2) du convertisseur à 6 cellules devant générer la tension 2 E , on constate que le
6
cycle M.L.I. consiste en l’application successive des commandes numérotées : 1, 6, 10, 13, 15
et 5. Or, ces six commandes permettent de gouverner les cinq tensions internes vCk(t)
uniquement dans un espace de dimension 4. Pour s’en convaincre, il suffit de remarquer, par
exemple, que les deux premières commandes U1 = 1 et U2 = 6 s’écrivent linéairement en
fonction des 4 autres :
 U1 = U3 + U5
U = U + U
4
6
 2
Il y a donc impossibilité de ramener les tensions condensateurs vCk(t) vers leur équilibre à
partir d’un déséquilibre quelconque. Certes, cela est possible pour certains cas comme le
contrôle de vc2(t) en appliquant pour les six commandes les durées δtk suivantes.

δt = T 6 − 5δτ
δt = δt = δt1 = δtD = δt = T 6 + δτ
3
4
5
6
D
 2
Mais cela est impossible dans bien d’autres cas comme, par exemple le contrôle exclusif de
vC1(t). L’espace engendré par les 6 commandes (1, 6, 10, 13, 15 et 5) choisies par la M.L.I. est
en effet de dimension quatre au lieu de cinq.
U1 = 1
u1 (t)
u2 (t)
0
1
u4 (t)
0
0
0
0
0
0
0
temps
0
0
0
temps
0
0
temps
0
temps
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
temps
0
1
1
0
u6 (t)
1
1
u3 (t)
u5 (t)
U2 = 6 U3 = 10 U4 = 13 U5 = 15 U6 = 5
0
0
0
1
temps
TD
figure 2. 12 : Evolution des 6 commandes uk(t) pour le cycle M.L.I. (n = 6 et λ = 2)
Régime permanent
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 38 / 130
Ce n’était pas le cas avec le cycle n° I {1 → 2 → 6 → 13 → 14 → 15}. Si en effet, on
souhaite par exemple augmenter la tension vC2(t) en maintenant constantes les autres tensions
internes (vC1(t), vC3(t), vC4(t) et vC5(t)), il faut adopter les six durées successives suivantes :

δt = T 6 − 5δτ
δt = δt = δt1 = δtD = δt = T 6 + δτ
3
4
5
6
D
 2
De la même manière, pour augmenter uniquement la tension vC1(t), on applique les six durées
suivantes :
 δt1 = δt 2 = TD 6 − 5δτ

δt 3 = TD 6 + 7δτ

δt 4 = δt 5 = δt 6 = TD 6 + δτ
2.4.
Algorithme de commande directe de l’état interne dans le cas
spécifique de la réalisation d’un niveau discret λ donné (λ = 0 à n)
2.4.1 Algorithme de commande directe
Le cycle {U1 → ... → U k → ... → Un } de n commandes Uk successives préconisé par
l’exploration exhaustive des possibilités offertes par le convertisseur à n cellules peut bien
évidemment être commencé à n’importe laquelle de ces n commandes. Dans le cas de
l’application du cycle (qualifié de « régime permanent »), on a donc un horizon fuyant : à
chaque changement de commande, on démarre donc un nouveau cycle. Lors du régime
permanent, on passera donc du cycle { U k → U k +1 ... → U n → U1 → U k -1} au cycle
{Uk +1 ... → Un → U1 → Uk-1 → Uk } . La durée t d’application d’un cycle est en permanence
comptabilisée et cette valeur est donc remise à zéro après chaque commutation ; on a par
conséquent une commande à horizon fuyant de commutation en commutation.
Par ailleurs, à chaque pas d’échantillonnage (Téch) se pose la question de savoir si le
cycle est approprié ou non et s’il faut changer de commande.
Après chaque commutation, on détermine si la consigne ( ( vCk ) ref = k VE , k = 1 à ( n −1)
n
) est atteignable en un cycle de durée TD ou non. En effet, pour que tel soit le cas, il faut donc
que les n durées δtk , fournies par le système de n équations linéaires à n inconnues, aient des
valeurs positives :
n
dX
∑
k =1δt k dt ( Uk ) = Xréf ( t) − X( t )

n
∑ δt k = TD

k =1
Si au début d’un nouveau cycle, on a bien δtk ≥ 0, alors on est en « régime permanent » et on
applique la première commande Uk du cycle, tout en mettant à jour la durée t séparant l’instant
actuel de celui de début de cycle. On résoud à chaque période d’échantillonnage, le système
de n équations à n inconnues :
n
dX
∑
k =1δt k dt ( Uk ) = Xréf ( t) − X( t )

n
∑δt k = TD - t

k =1
et on quitte ce cycle
{Uk → Uk +1 ... → Un → U1 → Uk-1} pour le suivant
{Uk +1 ... → Un → U1 → Uk-1 → Uk } lorsque sa résolution engendre une durée δtk < T2ech .
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 39 / 130
Si au contraire, dès le début de la première étape, au moins une des n durées d’application δtk
est négative, alors le convertisseur ne permettra pas de rejoindre la consigne xréf dans une
durée TD. On se trouve dès lors en « régime transitoire ». On reste donc en début d’étape
(t = 0) et la commande U appliquée pendant la période d’échantillonnage suivante est celle,
parmi les n, qui permet de s’approcher au mieux de la consigne xréf jusqu’à l’échantillonnage
suivant. On choisit donc la commande idoine (indice k0) par la comparaison des produits
scalaires entre la direction (xréf - x) désirée et la direction induite par chaque commande dx :
dt
dx ( k ) . ( x − x ) ≥ dx ( k ) . ( x −x )
k0 / ∀k = 1 à n :
réf
réf
dt 0
dt
2.4.2 Illustration sur un convertisseur de 3 cellules
Cell 3
Cell1
Cell2
a
b
a
b
a
b
L
iE
vC2
vC1
C2
VE
a
b
iS
C1
a
b
a
b
vS
Rch
figure 2. 13 : hacheur 2 quadrants utilisant trois cellules commandées
Comme décrit figure 2. 1, la commande u(t) = [u1 u2 u3]T offre huit possibilités discrètes qui se
répartissent en quatre groupes :
U1 = [0 0 0]T pour λ = 0,
U2 = [1 0 0] T, U3 = [0 1 0] T, U4 = [0 0 1] T pour λ = 1,
U5 = [0 1 1] T, U6 = [1 0 1] T, U7 = [1 1 0] T pour λ = 2,
U8 = [1 1 1] pour λ = 3.
Seuls λ = 1 et λ = 2 permettent de contrôler les tensions internes vC1(t) et vC2(t). Et dans ces
deux cas, les triplets (U2, U3, U4) et (U5, U6, U7) autorisent des petits déplacements autour de
la position d’équilibre xéq et engendrent une équi-répartition des trois durées d’application δtk
lors du régime permanent. La figure 2. 14 et la figure 2. 15 rappellent les possibilités
d’évolution interne engendrées par chacune des commandes discrètes relatives à la consigne
λ = 1 puis λ = 2.
En dernier lieu, les cycles { U 2 → U3 → U 4} et { U5 → U6 → U7 } engendrent un nombre
minimal de commutations, c’est-à-dire un aller – retour pour chacune des trois cellules de
commutation. Dans ce cas particulier (n = 3), on retrouve la commande proposée par la M.L.I.
classique. Nous l’appliquons en revanche dans le contexte de l’algorithme proposé ci-dessus
(cf § 2.4.1). Nous lui indiquons le niveau λ désiré ainsi que la durée TD de cycle souhaitée :
TD = 1 = 50 µs = 1
20 kHz .
F
D
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 40 / 130
Cell3
iE
VE
Cell2
Cell1
vC2→ vC1 ↓
C2
C1
Cell 3
Cell2
Cell 1
vC2 ↓
vC1↑
iE
iS > 0
C2
VE
1
Cell 3
Cell2
Cell 1
vC2↑
vC1→
C1
C2
VE
1
U2 = [1 0 0] T
iE
iS > 0
C1
iS > 0
1
U3 = [0 1 0] T
U4 = [0 0 1] T
figure 2. 14 : les 3 possibilités pour λ = 1 du bras utilisant trois cellules commandées
Cell 3
Cell2
Cell 1
vC2→
vC1 ↑
iE
VE
C2
C1
1
Cell3
iE
iS > 0
VE
U5 = [0 1 1] T
Cell2
Cell1
vC2 ↑
vC1↓
↓
C1
C2
Cell 3
iE
iS > 0
1
VE
U6 = [1 0 1] T
vC2↓
C2
Cell2
Cell1
vC1→
↓
C1
iS > 0
1
U7 = [1 1 0] T
figure 2. 15 : les 3 possibilités pour λ = 2 du bras utilisant trois cellules commandées
La simulation est réalisée autour du même convertisseur qu’au chapitre 1 (cf figure 2. 13) :
Alimentation
VE
1500 V
Filtre interne
C
33 µF
Charge
L
5 mH
Rch
30 Ω
Dans un premier temps, nous simulons le retour à l’équilibre ( 1 VE = 500 V , 2 VE = 1000 V )
3
3
des deux tensions internes vC1(t) et vC2(t) qui ont pour conditions initiales :
vC1 = 450 V , vC2 = 1050 V .
0
0
Pour la consigne de sortie λ = 1, le « régime transitoire » dure environ 100 µs pendant lesquels
l’algorithme de contrôle choisit la commande U3 = [0 1 0]T qui permet en effet l’augmentation
de vC1(t) et la diminution de vC2(t) (pour iS > 0). Ensuite, on assiste à un « régime permanent »
qui voit s’établir le cycle { U 2 → U3 → U 4} avec une période proche de celle désirée.
En revanche, pour la consigne λ = 2, le « régime transitoire », - bien que durant également
100 µs - est d’une toute autre nature. En effet, la commande ne pouvant choisir que parmi U5,
U6 et U7 n’a pas directement à sa disposition une commande permettant simultanément
l’augmentation de vC1(t) et la diminution de vC2(t). L’algorithme se voit donc obligé de choisir
alternativement la commande U5 (diminution de vC1(t) et stagnation de vC2(t)) et la commande
U7 (stagnation de vC1(t) et augmentation vC2(t)). Dans la première partie du transitoire
(t < 70 µs), ce changement s’opère à une cadence très rapide et inacceptable pour les
interrupteurs constituant le convertisseur tant du point de vue des pertes thermiques que de la
réalité de la commutation à l’ouverture d’un IGBT (courant de queue) : cf figure 2. 16. On est
donc conduit à aménager l’algorithme de contrôle afin de contraindre le choix de la meilleure
commande en régime transitoire. Pour se rapprocher au mieux de l’objectif, on autorise
l’application de la nouvelle commande uniquement si celle-ci n’entraîne pas une cellule à
réaliser une commutation trop rapprochée de la précédente : nous appliquerons un temps de
garde de (TD/5) qui autorise une légère sur-commutation transitoire. Le résultat présenté
figure 2. 17 est bien-entendu inchangé pour λ = 1 et montre pour λ = 2 que le contrôle est
conservé tout en ayant des commutations suffisamment espacées dans le temps.
Toujours du point de vue du régime transitoire, la figure 2. 18 illustre le fait que les trois
commandes de chaque niveau λ = 1 ou λ = 2 permettent l’évolution de l’état interne x dans
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 41 / 130
n’importe quelle direction du plan. A titre d’exemple, pour λ = 1, l’augmentation simultanée
de vC1(t) et vC2(t) s’obtient par utilisation alternée des commandes U3 et U4 avec des durées
d’application différentes car U3 entraîne tout à la fois l’augmentation de vC1 et la diminution
de vC2 alors que U4 entraîne seulement l’augmentation de vC2(t) : avec certes un transitoire plus
long que pour la précédente simulation, une durée d’utilisation plus longue de U4 que de U3
permet ainsi l’augmentation de vC2.
H ac h eu r 3 c e llules en bf avec [N iveau = 2 ; F D = 20 k H z ] et s urc om m . au toris ées
5 50
50 0
5 00
vc a
vc a
H ac he ur 3 c ellule s e n bf avec [Nive au = 1 ; F D = 20 k H z ] e t s urc om m . au toris é es
55 0
45 0
4 50
0
0.5
1
1.5
2
10 50
0
x 10
-4
95 0
0.5
1
1.5
2
2
x 10
0
40
x 10
0.5
1
1.5
-4
2
40
-4
x 10
-4
20
is
20
is
1.5
9 50
0
0
0
0.5
1
1.5
2
0
x 10
6
4
2
0
0.5
1
1.5
1
1.5
2
x 10
6
-4
4
2
2
0
x 10
0.5
8
-4
n° de c de
0
8
n° de c de
1
1 000
vc b
vc b
10 00
0.5
1 050
0.5
1
1.5
2
-4
x 10
(a) : λ = 1
-4
(b) : λ = 2
figure 2. 16 : Evolution des tensions internes vC1(t) et vC2(t) d’un hacheur à 3 cellules alimentant une
charge (R = 30 Ω et L = 5 mH) pour FDréf = 20 kHz et les niveaux λ = 1 et λ = 2
Régime transitoire suivi du régime permanent
H a c h eu r 3 c e llules en b f ave c [N iveau = 2 ; F D = 2 0 k Hz ] et D T > TD /5
5 50
50 0
5 00
vc a
vc a
H ac heur 3 c ellu le s e n bf avec [Niveau = 1 ; F D = 20 k H z ] et D T > TD/ 5
55 0
45 0
4 50
0
0.5
1
1.5
2
0
x 10
-4
10 00
1.5
2
x 10
-4
9 50
0
0.5
1
1.5
2
0
40
x 10
20
0.5
1
1.5
2
40
-4
x 10
is
is
1
1 000
95 0
0
-4
20
0
0.5
1
1.5
2
0
x 10
6
4
2
0
0.5
1
1.5
2
(a) : λ = 1
1
1.5
2
x 10
6
-4
4
2
0
x 10
0.5
8
-4
n° de c de
0
8
n° de c de
0.5
1 050
vc b
vc b
10 50
0.5
1
-4
1.5
2
x 10
-4
(b) : λ = 2
figure 2. 17 : Evolution des tensions internes vC1(t) et vC2(t) d’un hacheur à 3 cellules alimentant une
charge (R = 30 Ω et L = 5 mH) avec limitation du nombre de commutations en régime
transitoire
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 42 / 130
H a c h eu r 3 c e llules en b f ave c [N iveau = 2 ; F D = 2 0 k Hz ] et D T > TD /5
5 50
50 0
5 00
vc a
vc a
H ac heur 3 c ellu le s e n bf avec [Niveau = 1 ; F D = 20 k H z ] et D T > TD/ 5
55 0
45 0
4 50
0
0.5
1
1.5
2
0
x 10
10 00
1.5
2
x 10
-4
9 50
0
0.5
1
1.5
2
0
40
x 10
20
0.5
1
1.5
2
40
-4
x 10
is
is
1
1 000
95 0
0
-4
20
0
0.5
1
1.5
2
0
x 10
6
4
2
0
0.5
1
1.5
2
(a) : λ = 1
1
1.5
2
x 10
6
-4
4
2
0
x 10
0.5
8
-4
n° de c d e
0
8
n° de c d e
0.5
1 050
vc b
vc b
10 50
-4
0.5
1
-4
1.5
2
x 10
-4
(b) : λ = 2
figure 2. 18 : Evolution des tensions internes vC1(t) et vC2(t) d’un hacheur à 3 cellules alimentant une
charge (R = 30 Ω et L = 5 mH) avec limitation du nombre de commutations en régime
transitoire
2.4.3 Illustration sur un convertisseur de 6 cellules
Cette fois-ci, la commande u(t) = [u1 u2 u3 u4 u5 u6]T offre soixante-quatre (26) possibilités
discrètes qui se répartissent en sept (1 + 6) groupes allant de λ = 0 à λ = 6. Contrairement au
cas précédent, la recherche préalable et systématique du meilleur cycle menée au paragraphe
précédent (§ 2.3.) conduit à l’élimination de certaines commandes : pour chaque groupe λ = 1
à λ = 5, on sélectionne donc six commandes. En particulier, ce choix raisonné conduit à :
U1 = [000000]T pour λ = 0 ;
U2 = [100000]T U3 = [010000]T U4 = [001000]T U5 = [000100]T U6 = [000010]T U7 = [000001]
T
pour λ = 1 ce qui correspond aux six seules commandes disponibles ;
U8 = [110000]T
U9 = [101000]T
U10 = [011000]T
U11 = [000110]T
U12 = [000101]T
U13 = [000011]T pour λ = 2 ce qui correspond uniquement à une partie des quinze ( C62 )
commandes disponibles ;
U14 = [111000]T U15 = [110100]T U16 = [100011]T U17 = [010911]T U18 = [001110]T
U19 = [001101]T pour λ = 3 ce qui correspond uniquement à une partie des vingt ( C36 )
commandes disponibles ;
U20 = [111100]T = U13 U21 = [111010]T = U12 U22 = [111001]T = U11 U23 = [100111]T = U10
U24 = [010111]T = U9 U25 = [001111]T = U8 pour λ = 4 ce qui tout naturellement correspond
à une proposition complémentaire du groupe λ = 2 = 6 - 4 .
U26 = [111110]T U27 = [011111]T U28 = [101111]T U29 = [110111]T U30 = [111011]T
U31 = [111101]T pour λ = 5 ce qui correspond aux six seules commandes disponibles : c’est
également une proposition complémentaire du groupe λ = 1 = 6 - 5 ;
U32 = [111111]T pour λ = 6 : c’est également une proposition complémentaire du groupe
λ=0=6-6;
Ce second convertisseur est encore plus emblématique de l’originalité de cette commande
directe avec présélection des commandes Uk idoines. En effet, comme il a déjà été rappelé la
commande MLI ne peut stabiliser les tensions internes pour λ = 2, 3, ou 4 car elle ne permet
pas le contrôle de toutes les directions de l’état x (cf §3.3.5.). Or, tel n’est pas le cas de notre
algorithme comme le montre la figure 2. 19 sur laquelle on peut relever la maîtrise des
tensions aux bornes des cinq condensateurs en régime transitoire comme en régime
permanent. Notons que le transitoire est géré en évitant les risques de sur-commutations et que
l’ondulation de tension en régime permanent est double pour le troisième condensateur (cf
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 43 / 130
§2.3.4). Hormis le nombre de cellules, les données sont inchangées et on simule pour les cinq
tensions internes vCk(t) le retour à l’équilibre ( 1 VE , 2 VE , 3 VE , 4 VE , 5 VE ) ; Celles- ci ont
6
6
6
6
6
pour conditions initiales :
vC1 = 200 V , vC2 = 550 V , vC3 = 700 V , vC4 = 1050 V , vC5 = 1200 V
0
0
H a c h eu r 6 c e llules en b f
0
0
avec [Nive au = 1 / F D = 20 k H z ] e t R c h = 30
105 0
30 0
0
H ac he ur 6 c ellu le s en bf
a ve c [L = 1 , F D = 2 0 k H z ] e t R c h = 30
10 20
2 70
2 50
vc 4
100 0
vc 1
vc d
vc a
2 60
25 0
10 00
2 40
20 0
95 0
0
2
4
55 0
2 30
0
x 10
-4
2
4
130 0
9 80
4
x 10
-4
4.5
5
5 20
5 .5
x 10
4
-4
4.5
5
12 70
5. 5
x 10
-4
5 00
vc 5
125 0
vc 2
50 0
vc e
vc b
12 60
12 50
12 40
120 0
2
4
x 10
2
4
-4
75 0
12 30
4
x 10
30
n° de c d e
vc c
80 0
4 80
0
4.5
5
7 70
-4
5 .5
x 10
7 50
7 40
70 0
4.5
5
5. 5
x 10
30
7 60
10
4
-4
20
vc 3
0
n° de c de
45 0
-4
20
10
7 30
0
2
4
0
x 10
2
-4
4
4
x 10
(a) : 0 ≤ t ≤ 590 µs
-4
4.5
5
5 .5
x 10
-4
4
4.5
5
5. 5
x 10
-4
(b) : zoom → 400 µs ≤ t ≤ 550 µs
figure 2. 19 : Evolution pour λ = 2 des 5 tensions internes vCk(t) d’un hacheur à 6 cellules alimentant une
charge (R = 30 Ω et L = 5 mH) avec limitation du nombre de commutations en régime
transitoire (temps de garde = TD/5)
2.4.4 Cas particulier du convertisseur de 4 cellules
Pour le niveau λ = 2, la recherche systématique d’un quadruplet candidat n’aboutit à aucun
résultat car chaque quadruplet sélectionné lors de la première étape engendre, pour un
équilibre, des durées certes positives mais dont deux sont nulles.
En effet dans ce cas, on a six ( C24 ) commandes distinctes à considérer (figure 2.20).
N° de
cde
1
2
3
4
5
6
Commande U (t) = [u1 u2 u3 u4]T
u4
u3
u2
u1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
figure 2. 20 : Les 6 possibilités de réalisation du 2nd niveau dans un convertisseur à 4 cellules
Pour réaliser une commande, il faut associer quatre de ces six commandes. Sur les quinze
possibilités de cycle qui s’offre, uniquement trois d’entre elles ne satisfont pas la condition de
rang qui autoriserait d’atteindre l’objectif sur un cycle (quatre commandes successives) : cf
figure 2.21.
En revanche, lors de la deuxième étape, les quatre durées δtk obtenues pour l’équilibre (pas
d’évolution des tensions condensateurs) comportent toujours deux termes nuls et deux autres
égaux à TD . Il apparaît alors clairement qu’on ne pourra pas faire évoluer les condensateurs
2
dans toutes les directions.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 44 / 130
N°
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
Quadruplet
2
3
2
3
2
3
2
4
2
4
3
4
3
5
4
5
3
4
3
4
4
5
4
5
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
4
5
6
5
6
5
6
6
6
6
6
6
figure 2. 21 : Les 12 quadruplets du 2ième niveau dans un convertisseur à 4 cellules satisfaisant
la première étape (conditon de rang)
A titre d’exemple, les quatre configurations du premier quadruplet sont représentées
figure 2.22. A l’équilibre, ce cycle conduit à :
 δt 1 = δt 2 = 0
δt = δt = T 2
D
4
 3
On peut alors faire augmenter vC1, en appliquant les durées suivantes
δt1 = δt 2 = + 2δτ
 δt 3 = TD 2 − 3δτ
 δt 4 = TD 2 − δτ
mais certainement pas diminuer vC1, car δτ ≥ 0 pour respecter le déroulement du temps.
De la même manière, augmenter vC2 ou bien vC3 est sans espoir…
U1 = [1 1 0 0]T
Cell 4
iE
VE
U2 = [1 0 1 0]T
Cell3
Cell 2
Cell1
vC3 →
vC2↓
vC1 →
C3
C2
C1
1
1
Cell 4
iE
iS > 0
VE
vC3 ↓
C3
U3 = [1 0 0 1]T
Cell 4
iE
VE
vC3 ↑
C3
C1
1
1
figure 2. 22 :
C2
C1
1
1
iS > 0
U4 = [0 1 1 0]T
Cell3
Cell 2
Cell1
vC2→
vC1 ↓
C2
Cell 3
Cell 2
Cell1
vC2↑
vC1↓
Cell 4
iE
iS > 0
VE
vC3 ↓
C3
Cell 3
Cell 2
Cell1
vC2↑
vC1↓
C2
C1
1
1
iS > 0
Les 4 commandes du quadruplet N° I
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 45 / 130
2.5.
Algorithme de commande directe de l’état interne dans le cas du suivi
d’une consigne de tension de sortie (vS)réf.
Comme précédemment, l’algorithme de contrôle va distinguer un régime permanent ou
faiblement variable autour de celui-ci et un régime transitoire. Dans le premier cas, on va
chercher à optimiser le contenu harmonique et le nombre de commutations par cellules. Cette
recherche de cycles optimaux sera effectuée hors ligne. Le contrôle « temps réel » se contente
de déterminer quel est le cycle adapté à la situation présente et calcule ensuite la durée de
chacune des commandes du cycle choisi.
Le second cas, quant à lui, se définit par opposition au premier. Quand on ne trouve aucun
cycle adapté à la situation réelle, on est loin du régime désiré et on privilégie la rapidité de
rapprochement vers la consigne. La seule limitation sera bien entendu le respect d’un temps
d’application minimal de la commande uk de chaque cellule.
2.5.1 Cas particulier du convertisseur de 2 cellules :
Dans ce cas particulier, on a en « régime de petites variations » un triple objectif. Il s’agit de

V

rejoindre au terme d’une succession de commandes la consigne  vC réf = E , e vSréf = 0  . Un
2


cycle doit donc être constitué de trois commandes successives et doit pouvoir décrire une
trajectoire fermée en régime permanent. Or, on a quatre commandes disponibles, dont deux
(U1 et U4) agissent exclusivement sur la troisième composante eVS de l’état et en sens
contraire. Les deux autres (U2 et U3) agissent sur les deux composantes et en sens contraire
pour la première (vC). (cf figure 2. 23)
N° de cde
1
2
3
4
Uk
u1
0
1
0
1
u2
0
0
1
1
d x( 4)
dt
de
dt VS
d x( 3)
dt
dv
dt C
d x( 2)
dt
d x(1)
dt
figure 2. 23 : les quatre commandes et l’action sur (vc ; evs) qu’elles engendrent (vC ≠ VE/2)
Tout en gardant à l’esprit la minimisation du nombre de commutations, nous sommes donc
tout naturellement conduit à envisager les quatre triplets : (U2 U1 U3) et (U3 U1 U2) ainsi que
(U3 U4 U2) et (U3 U4 U2). Afin de respecter l’utilisation de commandes adjacentes, à la suite
d’un cycle (U2 U1 U3) il faut appliquer soit le cycle inverse (U3 U1 U2) soit le cycle (U3 U4 U2).
Le choix d’un cycle puis des temps d’application de chaque commande s’opère par résolution
des équations suivantes :
δt k 1 dx ( Uk1 ) + δt k2 dx ( U k2 ) + δt k3 dx ( Uk3 ) = xréf − x
dt
dt
dt


δt k1 + δt k 2 + δt k3 = TD − t
avec la triple contrainte δtk1 ≥ 0 , δtk2 ≥ 0 et δtk3 ≥ 0.
où t est la durée écoulée depuis le commencement du cycle.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 46 / 130
ΣV
S
Cycle 2
3
3
ΣV
Cycle 1
1
2
S
3
1
vC
2
2
(a)
1
vC
(b)
figure 2. 24 : trajectoire engendrée par un cycle par résolution des équations
(a) : « régime transitoire » avec xréf = x0
(b) : « régime transitoire » avec xréf ≠ x0
Le cycle est bien entendu constitué de quatre phases distinctes. Lors de la première,
l’algorithme choisit le cycle (Uk1 Uk2 Uk3) adapté. Ensuite, il applique la première commande
Uk1 jusqu’à ce que sa durée d’application δtk1 calculée par le système d’équation devienne
négative. L’algorithme entre alors dans une troisième phase qui consiste à appliquer la
commande suivante Uk2 jusqu’à ce que sa durée d’application δtk2 calculée par l’équation
suivante devienne négative.
δt k2 dx ( U k2 ) + δt k3 dx ( U k3 ) = x réf − x
dt
dt
avec la double contrainte δtk2 ≥ 0 et δtk3 ≥ 0.
On a en effet plus que deux degrés de liberté et on choisit d’abandonner la contrainte
temporelle sur la durée d’un cycle.
Dans sa quatrième et dernière phase, l’algorithme applique la dernière commande Uk3 jusqu’à
ce que celle-ci, au lieu de rapprocher l’état x de son objectif xréf l’en éloigne. En effet, cette
dernière commande ne peut faire évoluer le système que dans la direction définie par dx ( U k3 ) .
dt
On projette donc l’équation δt k3 dx ( U k3 ) = x réf − x sur dx ( U k3 ) . On résout donc l’équation
dt
dt
suivante
T
T
δt k3 dx ( U k3 ) dx ( U k3 ) = dx ( Uk3 ) ( x réf − x )
dt
dt
dt
avec la contrainte δtk3 ≥ 0.
Bien entendu, il peut arriver en début de cycle qu’aucun des quatre triplets ne satisfasse les
contraintes temporelles (δtk1 ≥ 0 δtk2 ≥ 0 et δtk3 ≥ 0) lors de la résolution du système
d’équations. Cela signifie que l’état désiré xréf n’est pas atteignable dans le temps TD imparti à
un cycle de commande : on est alors en régime de grands transitoires. Et l’algorithme choisit
alors d’adopter la commande UM contribuant le plus à rapprocher le système de son objectif
afin de pouvoir dès que possible commencer un nouveau cycle.
T
T
U M : ( x réf − x ) dx ( UM ) ≥ ( x réf − x ) dx ( U k ) , k = 1 à 4
dt
dt
Afin d’éviter des commutations très rapides entre les deux meilleures commandes permettant
de s’approcher de l’objectif, on impose une durée minimale d’application d’une commande
avant de pouvoir passer à une autre.
Pour illustrer les performances statiques et dynamiques de cet algorithme de commande
directe, nous avons adopté un cycle rectangulaire. La consigne (VCréf , VSréf), en partant de
(700 V , 600 V), évolue en fronts raides. A t = 150 µs, la consigne prend la valeur
(700 V , 900 V), puis, à t = 300 µs, la consigne prend la valeur (800 V , 900 V), et enfin, à
t = 600 µs, la consigne prend la valeur (800 V , 600 V). La simulation prend fin à t = 750 µs.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 47 / 130
Les transitions sur VSréf illustrent les changements exigés par le processus piloté. Les
transitions sur VCréf illustrent quant à elles une adaptation de l’état interne vC consécutive à une
variation de la tension d’alimentation VE (ce qui conduit en réalité à des transitions lentes à
cause du filtre d’entrée). Mais ces dernières transitions peuvent également correspondrent à
une reconfiguration du nombre de cellules consécutive à un court-circuit de cellule.
Si on analyse la réponse temporelle, on observe une utilisation du « régime grands
transitoires » dans une seule des trois transitions. La deuxième transition porte sur vC et exige
l’application trop longue de U3. Cette commande (0 1)T permet une augmentation de vC mais
conduit à une tension vS trop faible par rapport à la consigne vSréf et donc à une augmentation
de evs. Cela induit donc un choix se portant alternativement sur U3 et sur U4 afin de se
rapprocher de la consigne et d’entamer un nouveau cycle (t ≈ 450 µs). Les deux autres
transitions s’opérant à vCréf constant, le suivi de vSréf ne consiste plus qu’à adopter un nouveau
cycle et c’est ce que propose la stratégie « régime permanent / petites variations » avec ici une
fréquence de double cycle désirée de FD = 20 kHz. (Le double cycle (Uk1 Uk2 Uk3) suivi de
(Uk3 Uk2 Uk1) forme le cycle M.L.I. complet.)
En dernier lieu, on doit noter qu’ici aucun régime permanent ne s’effectue à vC = VE : on peut
2
donc observer que la tension vS(t) sur un cycle (Uk1 Uk2 Uk3) ne prend pas la même valeur lors
de l’application des commandes Uk1 et Uk3.
Ha c h eur 2 c ellules en bf
ave c L = 5 m H et R c h = 30
85 0
15
10
80 0
0
v
e s
vc
5
75 0
-5
70 0
-1 0
65 0
-1 5
0
2
4
6
0
x 10
2
4
-4
6
x 10
-4
150 0
4
vs
n° de c de
100 0
50 0
3
2
1
0
0
2
4
6
0
x 10
-4
2
4
6
x 10
-4
figure 2. 25 : trajectoire engendrée par une consigne (VCréf , VSréf) rectangulaire
2.5.2 Cas particulier du convertisseur de 3 cellules
A priori, le « régime de petites variations » se caractérise alors par un quadruple objectif, celui
de
rejoindre au
terme d’une
succession
de
commandes
la
consigne

VE
2VE

, v C2 réf =
, e vSréf = 0  . Dans ces conditions, un cycle doit donc être constitué de
 vC1réf =
3
3


quatre commandes successives et doit pouvoir décrire une trajectoire fermée en régime
permanent. Pour ce faire, on dispose d’un potentiel de huit commandes (cf figure 2. 1). Pour
les faibles niveaux de tension de sortie vS, on utilise logiquement la commande U1 générant le
niveau λ = 0 et les commandes U2, U3 et U4 générant le niveau λ = 1. Pour une consigne
vSréf = vS0, l’optimisation du contenu harmonique sur un cycle consiste à faire apparaître un
sous-cycle de TD pour vS avec une séquence 0 / VE . Dans ce cas le moyen d’assurer un aller3
3
retour pour chacune des trois cellules de commutations consiste à adopter le cycle (U1 U2 U1
U3 U1 U4). En effet, vS = 0 ne peut être assurée que par U1. En partant de U1, si l’on décide de
réaliser la tension vS = VE , il faut réaliser une commutation sur une des trois cellules : par
3
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 48 / 130
exemple U2. Pour revenir à vS = 0, il faut forcément réaliser la deuxième commutation sur la
même cellule. Pour les deux sous-cycles suivants, plus aucune commutation ne peut être
réalisée sur la première cellule. Le deuxième sous-cycle utilisera la deuxième cellule et le
troisième sous-cycle la troisième.
Il en va de même pour la réalisation d’un vS élevé ; on utilise le cycle (U8 U5 U8 U6 U8 U7).
Dans ces deux cas, l’algorithme procède de manière similaire à l’algorithme d’un
convertisseur deux cellules à ceci près qu’il existe un compteur du temps passé sur la
commande U1 afin de répartir la durée δt1 en trois durées équitables.
VE
vS (t)
2VE
3
VE
3
temps
0
1
u1 (t)
0
u2 (t)
0
0
0
0
0
temps
0
0
temps
1
0
0
1
u3 (t)
0
0
0
0
TD
U1 U 2 U 1 U3
0
U1
temps
U4
figure 2. 26 : Evolution de vS et des 3 uk(t) pour le cycle M.L.I. générant un vS faible
En revanche pour un niveau vS intermédiaire, il faut commuter entre les 3 commandes (U2 U3
et U4) ainsi que (U5 U6 et U7) générant les niveaux intermédiaires λ = 1 et λ = 2. Dans le but
d’obtenir trois sous-cycles de durée TD , il faut entrelacer ces deux jeux de commandes et
3
assurer que les trois durées à vS = VE soient identiques. Cela conduit à la résolution de 6
3
équations à six inconnues (les 6 δtk).
VE
vS (t)
2VE
3
VE
3
temps
0
u1 (t)
u2 (t)
u3 (t)
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
TD
0
temps
0
temps
1
temps
0
U6 U 2 U 5 U3
U7
U4
figure 2. 27 : Evolution de vS et des 3 uk(t) pour le cycle M.L.I. générant un vS intermédiaire
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 49 / 130
Pour illustrer cette commande, on a simulé le retour à l’équilibre interne d’un convertisseur
déséquilibré (vC10 = 450 V ; vC20 = 1050 V) et cela pour une consigne de tension de sortie
faible vSréf = 250 V puis une tension de sortie intermédiaire vSréf = 750 V.
v
1
5 05
0.5
5 00
4 95
-5
0
1
2
3
4
x 10
1
2
3
4
x 10
5 .5
6
x 10
5
4
2
-4
8
1 000
9 95
95 0
6
x 10
1 005
6
5 .5
-4
1 010
vc b
10 00
-1
5
-4
8
n° de c de
vc 2
4 90
0
-4
10 50
-0.5
n° de c de
45 0
0
v
0
avec L = 5 m H e t Rc h = 30
5 10
e s
50 0
H ac heur 3 c ellu le s e n bf
vc a
a ve c L = 5 m H e t Rc h = 3 0
5
e s
vc 1
Ha c h eur 3 c e llules e n bf
55 0
6
4
2
9 90
0
1
2
3
4
x 10
0
1
2
3
-4
4
x 10
5
5 .5
-4
6
x 10
5
5 .5
-4
(a)
6
x 10
-4
(b)
figure 2. 28 : réponse à une consigne (VC1réf = 500 V , VSréf = 1000 V , VSréf = 250 V)
(a) : régime transitoire suivi du régime permanent
(b) : zoom sur le régime permanent
v
1
5 05
0.5
5 00
0
v
0
avec L = 5 m H e t Rc h = 30
5 10
e s
50 0
H ac heur 3 c ellu le s e n bf
vc a
a ve c L = 5 m H e t Rc h = 3 0
5
e s
vc 1
Ha c h eur 3 c e llules e n bf
55 0
4 95
-5
0
1
2
3
4
x 10
0
2
3
4
x 10
5 .5
6
x 10
5
4
95 0
-4
8
1 000
9 95
2
6
x 10
1 005
6
5 .5
-4
1 010
vc b
10 00
-1
5
-4
8
n° de c de
vc 2
1
-4
10 50
-0.5
4 90
n° de c de
45 0
6
4
2
9 90
0
1
2
3
4
x 10
0
-4
1
2
3
4
x 10
(a)
5
-4
5 .5
6
x 10
5
-4
5 .5
6
x 10
(b)
figure 2. 29 : réponse à une consigne (VC1réf = 500 V , VC2réf = 1000 V , VSréf = 750 V)
(a) : régime transitoire suivi du régime permanent
(b) : zoom sur le régime permanent
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
-4
Commande directe respectant, en régime permanent une fréquence de découpage fixe 50 / 130
2.6.
Conclusion
Dans ce chapitre, l’analyse de la commandabilité du convertisseur multicellulaire a été reprise
en vue d’éclairer sous un angle nouveau les possibilités de contrôle de ce convertisseur. En
effet, à l’instar de tous les convertisseurs d’électronique de puissance le convertisseur
multicellulaire est un système hybride c’est-à-dire un système associant des états continus et
des états discrets. La commande ne peut prendre qu’un nombre fini de niveaux différents et
chaque niveau de commande induit une topologie différente des connexions liant les
différents réservoirs d’énergie. Plus précisément, les connexions / déconnexions sont réalisées
au moyen des interrupteurs de puissance (transistors et diodes en anti-parallèle) et les
2
réservoirs d’énergie sont des condensateurs  EC k = 1 CvC k  .
2


Ce modèle instantané insiste sur les transitions entre différents modèles continus nous a
amené à mettre en avant un algorithme de contrôle permettant tout à la fois les transitoires les
plus rapides mais aussi assurant un régime permanent ou quasi permanent optimal du point de
vue du contenu harmonique interne (δvCk) et externe (δvS) pour un nombre de commutations
déterminé. Ce type d’algorithme vise à concilier les commandes directes (rapides en
transitoire mais conduisant à des régimes permanents mal maîtrisés et à fréquence de
découpage FD dépendant du point de fonctionnement) et les commandes utilisant les
modulateurs de largeur d’impulsions (à la réponse lente en suivi de trajectoire mais présentant
l’avantage de régimes permanents connus et optimisés selon un critère harmonique).
En outre, il a été défini une procédure systématique de recherche des meilleurs cycles
 V
( n -1)VE , V  pour
permettant la réalisation des (n+1) niveaux discrets disponibles  0 , E , ... ,
E
n
n


la tension de sortie vS d’un convertisseur équilibré. Dans le cas des convertisseurs à nombre
premier de cellules (n = 2, 3, 5, 7, 9, 11, …), nous retrouvons les cycles M.L.I. connus. En
revanche, pour les autres convertisseurs, on confirme une nouvelle fois la non commandabilité
de certains niveaux λ mais on exhibe de nouveaux cycles permettant un contrôle sûr du
convertisseur.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
51 / 130
Partie 3
Mise en œuvre directe de contrôles par modes
glissants O1 et O2
« La vie est trop courte pour être petite. »
André Maurois
3.1.
Enjeux industriels
Les techniques de contrôle – commande basées sur les modes glissants ont reçu un
accueil favorable de la part des chercheurs comme de la part des ingénieurs. Cet intérêt
s’explique par leurs propriétés intrinsèques de robustesse ainsi que par une relative simplicité
de mise en œuvre. Cette technique de rétro-action étant de type discontinu, elle se révèle
particulièrement bien adaptée au contrôle des entraînements électriques car les entrées de tels
systèmes sont généralement des signaux électriques binaires c’est-à-dire discontinus par
nature. A ce sujet, on peut déjà trouver beaucoup d’éléments tout à la fois pratiques et
théoriques dans des livres ou des articles [Barbot 1] [Edwards] [Floquet] [Glumineau]
[Guldner] [Laghrouche] [Levant] [Utkin].
D’un point de vue pratique, la réalisation des algorithmes utilise principalement des
convertisseurs de puissance en modulation de largeur d’impulsions (MLI). L’objectif de cette
partie est de montrer que le convertisseur multicellulaire série est très bien adapté à la mise en
œuvre de modes glissants d’ordre 1 utilisant la notion de vecteur équivalent ou bien de lois de
commande basées sur les modes glissants d’ordre 2.
De façon à prendre en compte pleinement l’intérêt d’utiliser le convertisseur
multicellulaire en association avec les modes glissants, nous adopterons donc des commandes
purement discontinues sans passer par des algorithmes de modulation de largeur d’impulsions.
Nous illustrerons notre propos sur deux systèmes électro-mécaniques : le premier est un
entraînement électrique basé sur un moteur à courant continu, le second est une suspension à
lévitation magnétique.
3.2.
Rappels sur les modes glissants
3.2.1 Origine de la théorie, avantages et inconvénients de leur utilisation
La théorie des modes glissants a été formalisée par Utkin dans les années soixante-dix.
Cette formalisation s’appuie sur des travaux antérieurs développés dans les années cinquante
au sein des mathématiciens de l’ancienne URSS : ceux-ci (Anosov et Tzypkin) avaient
développés la théorie des systèmes à structure variable. Le concept des modes glissants
s’inscrit dans cette école d’idées et Emel’yanov en a proposé une généralisation avec les
modes glissants d’ordre supérieur [Emel’yanov].
Les mises en application de ces développements théoriques ont été nombreuses et cela
dans de nombreux domaines : robotique, mécanique ou électrotechnique. Leur utilité a été
validée aussi bien en matière de commande (stabilisation ou suivi de trajectoire) que pour la
réalisation d’observateurs.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
52 / 130
Les raisons de ce succès auprès des ingénieurs sont multiples. Au premier rang, on doit
citer une relative simplicité de mise en œuvre, et cela, même dans le cas de systèmes non
linéaires. Le comportement en mode glissant idéal peut être très intéressant en particulier pour
des systèmes non linéaires, instables ou d’ordre élevé. Dans ce cas les correcteurs analogiques
(P.I.D.) peuvent devenir difficiles voire impossible à régler. Nous pouvons également ajouter,
d’une part une certaine robustesse vis-à-vis d’incertitudes paramétriques, d’autre part une
insensibilité à une classe de perturbations (celles remplissant la “matching condition”)
[Drazenovic]. En dernier lieu, on peut éventuellement obtenir, en régime de glissement, de
nouvelles propriétés plus favorables pour le système à contrôler.
Tous ces aspects positifs ne doivent néanmoins pas masquer certains inconvénients.
Les commandes à modes glissants procèdent de manière discontinue ce qui conduit à exciter
toutes les fréquences du système à contrôler et donc des modes pas forcément pris en compte
dans la modélisation. En second lieu, dans la plupart des cas, les discontinuités de
l’algorithme de contrôle interviennent directement sur l’actionneur. Si cet organe n’est pas
conçu pour ce type de sollicitations, cela risque de conduire à son vieillissement prématuré.
(On remarquera que les convertisseurs statiques sont, en revanche, des organes adaptés.)
3.2.2. Définitions et principe des modes glissants
Dans ce paragraphe, nous souhaitons rappeler que le régime de glissement idéal a le
double avantage de contraindre le système à adopter un comportement dynamique choisi tout
en le rendant insensible à certaines perturbations.
Nous rappelons les définitions des modes glissants dans le cadre d’un système non
linéaire mono-commande (u) dont le comportement dynamique est défini par l’équation
différentielle :
dx = f ( t,x,u )
dt
n
x
∈
X
⊂
R
avec
le vecteur d’état
u∈U ⊂ R
l’entrée de commande bornée
+
f : R × X × U → Rn
un champ de vecteurs suffisamment dérivable mais
incertain. En effet, le modèle mathématique développé en
vue d’établir la loi de commande ne reflète
qu’imparfaitement le modèle réel.
Le but du contrôle par modes glissants est de contraindre les trajectoires x(t) du
système réel à rester sur une surface de glissement S de dimension (n-1) définie par :
S = { x ∈ X tel que s(t,x) = 0}
s : R + × X → R est la fonction contrainte également appelée variable de glissement.
où
Cette fonction est choisie par le concepteur de l’algorithme
de contrôle.
Le comportement dynamique résultant, appelé régime glissant idéal, est complètement
déterminé par les paramètres de cette fonction contrainte s. En régime de glissement idéal (
x ∈ S ), nous avons donc l’avantage de la réduction d’un ordre du système à contrôler.
Comme nous allons le voir, le choix de la fonction contrainte s ne peut pas être
totalement arbitraire. En régime de glissement idéal ( x ∈ S ), le choix adéquat de cette fonction
s va permettre de contraindre le système à adopter les propriétés désirées, comme par exemple
un comportement linéaire, stable et dont le temps de réponse reste compatible avec les limites
énergétiques de l’actionneur.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
53 / 130
 Exemple :
d2 y
u2
=
-1
dt 2
1− y
u(t)
∫
∫
∫
∫
y(t)
figure 3. 1 : système étudié en exemple
Illustrons notre propos sur le système d’ordre 2 non linéaire non affine en la commande et
instable :
d2 y
u2
=
−1
dt 2
1− y
avec
X = ]-1 ; +1[ x R
et
x = [y ;
dy T
] le vecteur d’état.
dt
U=R
L’objectif du contrôle sera d’assurer la poursuite d’une consigne yréf. Dans un premier temps,
nous adoptons yréf = 0 avec des conditions initiales non nulles.
Supposons que la surface de glissement soit définie par :
dy
s = y + τ
dt
où τ est un paramètre réel strictement positif.
Nous verrons ultérieurement (cf § 3.2.3.) que ce choix va permettre la construction d’une
commande u rendant la surface S attractive.
Quoiqu’il en soit, en régime de glissement idéal (s = 0), x est contraint de rester sur une droite
dans le plan de phase. Nous constatons alors que le système adopte un comportement
dynamique du premier ordre avec une constante de temps τ.
dy
dt
y(t)
S
y0
y0
Plan de phase
y
t
Evolution temporelle en M. G. idéal
figure 3. 2 : comportement du système étudié en mode de glissement idéal
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
54 / 130
3.2.3. Attractivité de la surface
Pour obtenir le verrouillage sur la surface S (hyper-plan pour des systèmes mono-commande),
l’algorithme de commande doit rendre la zone de glissement attractive. Une condition
suffisante est la construction d’une commande u(t) telle que :
ds
{si s(x) > 0, alors ds
dt < 0} et {si s(x) > 0, alors dt < 0}.
Ce qui se résume par la condition d’attractivité :
s ds < 0
dt
dy
dt
S
y0
y
Plan de phase
figure 3. 3 : illustration de la condition d’attractivité pour l’exemple étudié (n = 2)
Il est important de noter que, pour garantir cette condition, il faut que la commande u
apparaisse explicitement dans la dérivée première ds de la fonction contrainte s. Et, c’est là
dt
une limitation quant au choix de s(t,x).
Dans notre exemple, la commande agissant exclusivement sur l’accélération , il faut donc que
s(t,x) prenne en compte explicitement la vitesse (seconde composante de l’état x).
La proposition précédente :
dy
s = y + τ
dt
est donc une bonne candidate à partir du moment où τ est strictement positive.
s(t)
u(t)
Algo.
s = y+ τ
dy
dt
d2 y
u2
=
-1
dt 2
1- y
∫
∫
∫
∫
y(t)
contrôle commande
figure 3. 4 : structure de contrôle du système étudié en exemple
Par ailleurs, cette condition permet de garantir que le système ainsi contrôlé va converger vers
la surface S car, avec cette condition, le terme s2 diminue sans cesse au cours du temps.
d ( s2 ) = 2 s ds
dt
dt
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
55 / 130
Néanmoins cette convergence peut avoir lieu à l’infini ! Ce n’est pas ce qui est recherché
puisque l’algorithme de mode glissant vise au contraire à faire converger le système en temps
fini afin de garantir le plus vite possible les bonnes propriétés liées au mode glissant idéal.
3.2.4. η-attractivité de la surface - convergence en temps fini vers S et rejet de certaines
perturbations
Aussi, la condition pratique d’attractivité est-elle la η-attractivité. Cette condition suffisante
de convergence en temps fini est une contrainte plus difficile à satisfaire et s’écrit :
s ds < -η s
dt
avec η > 0
et permet de garantir une convergence en temps fini ∆t. En effet, sous cette condition, on a :
> +η > 0
Si s < 0
alors ds
dt
< −η < 0
Si s > 0
alors ds
dt
Donc, si la condition initiale s(0) est positive, tant que s(t) est positive, son évolution est
décrite par l’inégalité :
s(t) < s(0) - ηt.
Et, si la condition initiale s(0) est négative, tant que s(t) est négative, son évolution est décrite
par l’inégalité :
s(t) > s(0) + ηt
Ce qui confirme que la surface S est attractive sous cette condition et qu’elle est atteinte dans
un temps ∆t inférieur à une certaine borne dépendant des conditions initiales :
s( 0)
∆t <
η
 Exemple :
Dans notre exemple, l’algorithme de commande suivant
u = u + = 0 si s > 0
u = u − = 2 si s < 0

permet de satisfaire la condition de η-attractivité pour tous les états x = [y,
dy T
] tels que la
dt
vitesse soit bornée comme suit :
dy
≤ τ
dt
2
En effet, la dérivée de la fonction contrainte (s) par rapport au temps est donnée par :
2
ds = dy + τ d y
dt
dt
dt 2
Si s > 0
alors
⇒
Si s < 0
alors
⇒
Nous avons donc :
d2 y
= -1 < 0
dt2
ds = dy - τ ≤ dy - τ ≤
dt
dt
dt
2
dy
= 4 -1 ≥ 4
dt2
1− y
1 − ( -1)
-τ
2
-1 = + 1 > 0
ds ≥ dy + τ ≥ - dy + τ ≥ τ
dt
dt
dt
2
η = τ avec des conditions d’attractivité locales.
2
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
56 / 130
La simulation suivante (cf figure 3. 6) permet de visualiser la convergence en temps fini vers
la surface (cf s(t), figure 3. 6.b) ainsi que l’évolution suivant une loi exponentielle pour t > ∆t
(cf y(t) , figure 3. 6.b).
Elle a été réalisée avec le paramètre (τ = 1 s) pour la fonction contrainte (s) et x0 = [0,5 ; 0]T
pour l’état initial. On peut alors mesurer un temps de convergence ∆t ≈ 260 ms : à cet instant
dy
la vitesse
est inférieure à τ = 0,5 (cf figure 3. 6.a). De même on mesure une constante de
2
dt
temps, en glissement (t ≥ ∆t), de τ = 1 s.
On peut remarquer qu’à l’instar des autres retours d’états plus conventionnels, le contrôlecommande utilise la connaissance de toutes les composantes de la variable d’état x (cf figure
3. 4.).
Notons également, qu’il est important de bien choisir la fonction de contrainte en fonction des
saturations de l’actionneur (ici |u|MIN = 0 et |u|MAX = 2). En effet, le choix du paramètre
(τ = 0,2), s’il permet une plus grande rapidité en glissement (cf figure 3. 7.b), conduit à un
domaine d’attractivité réduit. Ce phénomène peut être noté sur la seconde simulation (cf
figure 3. 7) sur laquelle on observe que l’état ne se verrouille pas sur la surface S lors de la
première rencontre de la trajectoire avec la surface de glissement (t ≈ 570 ms) car on a une
vitesse de y(t) trop élevée (cf figure 3. 7.a).
s(t)
{1- sign(s)}
s = y+ τ
d2y
u2
=
-1
d t2
1- y
u(t)
∫
∫
dy
dt
y(t)
∫
∫
E volu tion da ns le pla n d e pha s e (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
0 .5
0 .4
0 .3
E volu tion tem pore lle (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
po s itio n (y )
0 .1
0
-0 .1
-0.2
-0.4
-0 .2
2
-0 .3
c de (u)
vite s s e (dy /dt)
0 .2
fon c tion c on trainte (s )
figure 3. 5 : contrôle du système étudié permettant l’obtention d’un M. G. en temps fini
-0 .4
-0 .5
1
0
-0 .5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0. 2
p os itio n (y )
(a)
0 .3
0.4
0.5
te m ps (t)
(b)
figure 3. 6 : simulation du système étudié en rétro-action avec s bien choisie (Téch = 500 µs)
(a) Plan de phase
(b) Réponse temporelle
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
fo nc tio n c ontra inte (s )
E volu tion da ns le pla n d e pha s e (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
1
0 .8
0 .6
0 .4
57 / 130
E volu tion tem pore lle (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
pos ition (y )
vites s e (dy /d t)
0.5
0 .2
0
-0 .2
0
-0.5
-0 .4
2
c d e (u )
-0 .6
-0 .8
1
-1
0
-0 .5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0. 2
0 .3
0.4
0.5
p os itio n (y )
te m ps (t)
(a)
(b)
figure 3. 7 : simulation du système étudié en rétro-action avec s mal choisie (Téch = 500 µs)
(a) Plan de phase
(b) Réponse temporelle
Comme nous venons de l’évoquer, nous parvenons à satisfaire une η-attractivité en réalisant
une commande discontinue et assez puissante de part et d’autre de la surface S. Il va donc sans
dire que, si une perturbation bornée pMC(t) agit selon la même direction que la commande u,
celle-ci sera donc étouffée : la convergence en temps fini sera donc encore garantie. En mode
glissant, le maintien sur la surface S et les propriétés afférentes seront donc conservées.
Le régime glissant est insensible aux perturbations intervenant dans les mêmes directions que
les entrées : c’est ce qu’on appelle la “matching condition”.
Dans notre exemple, si le système peut s’écrire
d2 y
 u2

=
− 1 + p MC

2
dt
1 - y 
soit parce que le modèle mathématique adopté est incertain, soit parce que des entrées
perturbatrices agissent directement sur l’accélération, alors la η-attractivité est toujours
respectée si pMC est bornée par
pMC ≤ 1 − η
2
Bien entendu, plus η sera petit, plus la convergence vers S sera lente.
u(t)
u(t)
pMC(t)
d2 y
u2
=
- b + ϕ( p MC )
dt 2
1− y
(a)
(a) perturbation pMC
contrôle
∫
∫
∫
∫
y(t)
p1(t)
d2 y
u2
=
-1
d t2
1− y
∫
∫
ϕ(p1)
∫
∫
y(t)
ϕ(p2)
p2(t)
(b)
figure 3. 8 : perturbations affectant le système étudié
rejetée par l’algorithme de (b) perturbations p1 et p2 pour lesquelles le système
rétro-actionné est sensible.
3.2.5. Glissement réel - broutement
Dans le but initial de garantir un régime de glissement quelles que soient les incertitudes de
modélisation et malgré la présence de perturbations, le concepteur d’algorithmes à modes
glissants paraît devoir adopter des commandes u+ et u- brutales et antagonistes.
La convergence est alors effectivement rapide. En revanche, le glissement idéal ne peut être
obtenu par une commutation infiniment rapide de la commande entre les deux valeurs u+ et u-.
Dans la pratique, cela ne peut jamais être le cas pour cause de période d’échantillonnage non
nulle ainsi que de vitesse de commutation non infinie des actionneurs. Il en découle un
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
58 / 130
glissement réel qui résulte en une évolution au voisinage de S caractérisée par des oscillations
à hautes fréquences (phénomène connu sous le nom de “broutement” ou de “réticence”) et une
évolution moyenne de l’état pouvant être considérée sur la surface S.
Ce phénomène est un des inconvénients majeurs de la technique des modes glissants. Outre la
forte sollicitation des actionneurs, on doit déplorer l’excitation de dynamiques non modélisées
pouvant conduire jusqu’à l’instabilité. La simulation suivante a été réalisée sur le système
étudié dans les mêmes conditions que précédemment mais avec une période d’échantillonnage
Téch de Téch = 10 ms (au lieu des 500 µs de la simulation précédente).
E vo lutio n da ns le p lan d e p has e (Y 0 = -0 ,5) & (Téc h = 10 m s )
E vo lution tem po relle (Y 0 = -0 ,5) & (Téc h = 10 m s )
fonc tion c on trainte (s )
0.6
0 .5
0 .4
0 .3
0 .1
0.2
0
-0.2
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1.5
2
2.5
3
0
-0 .1
0
-0 .2
-0.1
po s itio n (y )
vites s e (dy /d t)
0 .2
0.4
-0 .3
-0 .4
-0.2
-0.3
-0.4
-0 .5
-0.5
-0 .5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
p os itio n (y )
(a)
0. 2
0 .3
0.4
0.5
te m ps (t)
(b)
figure 3. 9 : simulation du système étudié en rétro-action (Téch = 10 ms)
(a) Plan de phase
(b) Réponse temporelle
Le phénomène de broutement peut néanmoins être réduit grâce à l’utilisation de la notion de
vecteur équivalent (uéq). Cela va permettre de dissocier la nécessité d’obtenir une convergence
en temps fini vers S du maintien sur cette même surface une fois le glissement en cours.
En effet, nous avons vu que la commande permettait de rejoindre la surface S en temps fini ∆t.
A partir de cet instant (t > ∆t), si un régime glissant idéal s’établit, on a :
s=0

t > ∆t,  ds = ∂s f ( t,x,u éq ) = 0
 dt ∂x
Comme nous l’avons déjà indiqué, la seconde équation fait explicitement apparaître la
commande, appelée “contrôle équivalent” en régime de glissement idéal. Et, pour le cas d’un
système non linéaire mais affine en l’entrée :
dx = f(t,x,u) = Φ( x ) + Γ( x )u
dt
la commande équivalente uéq s’écrit explicitement de la façon suivante :
∂s Φ( x )
∂
u éq = x
∂s Γ( x )
∂x
si la condition dite de transversalité ( ∂s Γ( x ) ≠ 0 ) est satisfaite. Cette condition n’est pas
∂x
contraignante car, d’une part, la fonction s est choisie et, d’autre part, la condition signifie que
le champ de vecteur Γ ne doit pas être tangent à la surface S.
En glissement réel, la loi de commande discontinue consiste en la somme d’une composante
basse fréquence (uBF), qui s’avère être la commande équivalente, et d’une composante haute
fréquence (uHF) qui n’affecte pas le régime sur S. Afin de limiter le broutement, il apparaît
alors naturel de faire porter l’effort de discontinuité uniquement sur les incertitudes
(paramètres mal connus ou entrées perturbatrices). Idéalement, la loi de commande par mode
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
59 / 130
glissant, somme d’un terme continu et d’un terme discontinu assurant l’attractivité, devrait
être :
u éqnom + u +
si s > 0
u(t) = 
−
si s < 0
u éqnom + u
avec u+ ≠ u-.
Ainsi, en réduisant les « gains de commande », on diminue l’amplitude des oscillations (mais,
bien-entendu, pas leur fréquence).
Exemple :
Dans notre exemple, nous pouvons remarquer que le signe de la commande (u) n’a pas
d’importance ; seule la valeur absolue de celle-ci influence le système. C’est pourquoi, nous
posons et nous restreignons la commande dans le domaine positif : u ≥ 0, et nous posons :
v = u2
Dans ces conditions, on adopte :
dy
τ−
vHF = a sign(s)
dt
vBF = (1− y)
τ
avec a > 0.
Vérifions que la condition de η-attractivité est bien remplie en calculant la dérivée de la
fonction contrainte s par rapport au temps.
2
ds = dy + τ u - 1 = dy + τ vBF + v HF - 1 = τ v HF

1 - y 
dt
dt
dt  1 - y
1− y



Soit :
ds = τa sign(s)
dt
1− y
s ds ≤ − η s
ce qui permet de satisfaire la relation :
dt
tout en réduisant la discontinuité sur u(t).
Les simulations suivantes, réalisées avec a = ½ permettent d’illustrer ce phénomène. La
première simulation (cf figure 3. 11) est effectuée dans les conditions déjà connues. On peut
noter que le temps de convergence ∆t vers la surface S est augmenté (∆t ≈ 1,35 s). Cet
inconvénient peut être contourné en ajoutant à la commande précédente un terme
proportionnel à la fonction contrainte : (- bs) avec b > 0. On peut ainsi accélérer la
convergence pour les états éloignés de S sans pour autant augmenter la discontinuité (|u+ - u-|)
nécessaire au maintien sur la surface S.
Précisons que pour cette première simulation, le modèle du système étant connu et non
perturbé, on assiste à une inversion de modèle quasi parfaite : la commande résultant
n’apparaît pas symptomatique de l’intérêt d’un mode glissant. Si en revanche, on introduit un
biais sur le modèle (paramètres mal connus ou changeant) ou si celui-ci est perturbé, la
réponse du système sera relativement bien conservée : c’est là un des intérêts des régimes
glissants.
La seconde simulation (figure 3. 12) vise justement à illustrer la robustesse de l’attractivité de
la surface vis-à-vis de perturbations agissant dans la même direction que la commande u et de
bornes inférieures à la discontinuité sur u. Ici, on a donc adopté :
d2 y
 u2

=
− 1 + p MC

2
dt
1 - y 
avec : pMC(t) = 0,
pour t < 2 s
pMC(t) = - P sin(ωt),
pour t ≥ 2 s
pMC(t) = - P(1 - exp(-t/τ)), pour t ≥ 2 s
pour la première simulation (figure 3. 12.a)
pour la seconde simulation (figure 3. 12.b)
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
où
ω = 2π
P = 0,2
a
vHF
v(t)
sign
∫
∫
véq
&
s
s(t)
figure 3. 10 :
τ = 0,1.
d 2y
u2
=
-1
dt2
1+ y
u(t)
√
véq
et
60 / 130
y(t)
∫
∫
contrôle du système étudié permettant
1)
2)
l’obtention d’un M. G. en temps fini
un broutement réduit
fonc t ion c on traint e (s )
E volu tion da ns le pla n d e pha s e (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
0 .5
0 .4
0 .3
0 .2
E volu tion tem pore lle (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 .1
po s itio n (y )
vite s s e (dy /dt)
0.5
0
-0 .1
0
-0.5
-0 .2
2
c de (u )
-0 .3
-0 .4
-0 .5
1
0
-0 .5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0. 2
0 .3
0.4
0.5
p os itio n (y )
te m ps (t)
(a)
(b)
E volu tion t em p orelle (Y 0 = -0,5) & (Téc h = 0 ,5 m s )
0 .4
0 .2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
fon c t ion c on traint e (s )
fon c tion c on trainte (s )
figure 3. 11 : simulation du système étudié en rétro-action sans perturbation
0.4
0.2
0
0
-0 .5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2
c de (u)
2
c de (u)
0
0.5
po s itio n (y )
po s it io n (y )
0 .5
E volu tion tem pore lle (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
1
0
1
0
0
0.5
1
1.5
tem ps (t)
(a) :
2
2.5
3
te m ps (t)
(b)
figure 3. 12 : simulation du système étudié en rétro-action avec perturbation (t ≥ 2 s)
(a) : perturbation sinusoïdale
(a) : perturbation en échelon (filtré)
Sur le même principe de dissociation de la problématique de convergence vers S de celle de
maintien sur S, les ingénieurs ont adopté des fonctions moins brutales que la fonctions signe.
Au voisinage de la surface, on peut citer :
la fonction saturation {sat(s) = sign(s) pour |s| > ε} et {sat(s) = sign(s) pour |s| ≤ ε},
2 arctan s
ou les fonctions sigmoïdes comme la fonction arctangente :
π
ε
()
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
61 / 130
avec des valeurs d’ε suffisamment petites.
En effet, le régime glissant qui en résulte est alors confiné dans un ε-voisinage de la surface de
glissement où seule la commande équivalente agit. Toutefois, rien ne peut être dit à propos du
comportement du système à l’intérieur de ce voisinage. De plus, bien que cela permette
d’atténuer fortement le phénomène de broutement, la précision (par rapport à l’objectif fixé),
la robustesse de la commande ainsi que le temps de réponse s’en trouve dépréciés. Un
compromis doit être trouvé entre l’importance du broutement et les performances attendues.
(s/ε)
2 arctan(s/ ε) / π
+1
+1
-ε
s
+ε
-ε
s
+ε
-1
-1
figure 3. 13 : fonction saturation (a) et fonction arctangente (b)
E volu tion t em p orelle (Y 0 = -0,5) & (Téc h = 0 ,5 m s )
0 .4
0 .2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
fo nc tio n c o ntra inte (s )
fo nc tio n c o ntra inte (s )
La simulation suivante a été réalisée dans les mêmes conditions que dans le paragraphe 3.2.4,
c’est-à-dire sans prendre en compte la commande équivalente, mais en remplaçant la fonction
signe par la fonction arctangente. Pour cette dernière, on a adopté ε = 0,01 (cf figure 3. 14-a)
puis ε = 0,2 (cf figure 3. 14-b). Dans les deux cas, le système converge vers S (puis vers
l’origine) et, contrairement aux cas précédents, la commande est continue et converge vers la
dy
valeur finale 1 qui permet d’assurer l’équilibre à l’origine (y = 0 ; v =
= 0).
dt
E volu tion tem pore lle (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
0.4
0.2
0
-0 .2
-0 .4
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
-0.2
-0.4
5
2
c d e (u)
2
c d e (u)
0
0
p os ition (y )
p os it ion (y )
0
1
0
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tem ps (t)
te m ps (t)
(a)
(b)
figure 3. 14 : simulation du système étudié en rétro-action utilisant la fonction arctangente
(a) : Téch = 500 µs et ε = 0,01
(b) : Téch = 500 µs et ε = 0,2
En revanche, plus ε est grand, plus la convergence vers S est lente et moins les capacités à
rejeter les perturbations et incertitudes de modèle sont importantes. Cet état de fait est bien
illustré par les deux jeux de simulation suivantes pour lesquels une perturbation sinusoïdale
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Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
62 / 130
E volu tion t em p orelle (Y 0 = -0,5) & (Téc h = 0 ,5 m s )
0 .4
0 .2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
fonc t ion c on traint e (s )
fonc tion c on train te (s )
(figure 3. 15) ou une perturbation en échelon filtré (figure 3. 16) interviennent à partir de la
troisième seconde de simulation. Si pour le paramètre ε = 0,01, le comportement est très
proche de celui obtenu avec la fonction signe (bon rejet de perturbation, cf figure 3. 12), il en
va tout autrement avec le réglage ε = 0,2 car dans ce cas les perturbations éloignent fortement
la fonction contrainte de zéro : les bonnes propriétés des modes glissants ne sont alors plus
vérifiées. On peut en particulier noter une imprécision statique sur la sortie y(t).
E volu tion tem pore lle (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
0.4
0.2
0
-0 .2
-0 .4
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
-0.2
-0.4
5
2
c de (u )
2
c de (u )
0
0
po s itio n (y )
po s itio n (y )
0
1
0
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tem ps (t)
te m ps (t)
(a)
(b)
E volu tion t em p orelle (Y 0 = -0,5) & (Téc h = 0 ,5 m s )
0 .4
0 .2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
fonc t ion c on traint e (s )
fonc tion c on train te (s )
figure 3. 15 : rétro-action avec arctangente et perturbation - P sin(ωt)
pour t ≥ 2 s
(a) : Téch = 500 µs et ε = 0,01
(b) : Téch = 500 µs et ε = 0,2
E volu tion tem pore lle (Y 0 = -0,5 ) & (Téc h = 0,5 m s )
0.4
0.2
0
-0 .2
-0 .4
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
5
-0.2
-0.4
5
2
c de (u )
2
c de (u )
0
0
po s itio n (y )
po s itio n (y )
0
1
0
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tem ps (t)
te m ps (t)
(a)
(b)
figure 3. 16 : rétro-action avec arctangente et perturbation pMC(t) = - P(1 - exp(-t/τ))
pour t ≥ 2 s
(a) : Téch = 500 µs et ε = 0,01
(b) : Téch = 500 µs et ε = 0,2
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Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
63 / 130
3.2.6. Mode glissant d’ordre supérieur : ordre 2
3.2.6.1.
Présentation générale :
Comme nous venons de l’exposer, le phénomène de broutement, par l’usure prématurée des
organes de commande et par la sollicitation de dynamiques rapides non modélisées, est le
principal frein à l’utilisation généralisée des modes glissants dans des applications
industrielles. Toutefois, les travaux des chercheurs russes (Emel’yanov et al.) sur de nouvelles
façons de glisser permettent d’envisager de réduire voire supprime ce phénomène indésirable
tout en sauvegardant les propriétés de convergence en temps fini, d’invariance de la surface et
de rejet d’une certaine classe de perturbations. Cette nouvelle solution est basée sur la théorie
des modes glissants d’ordre supérieur et conduit à des lois de commandes toujours
relativement simples. Dans le cas (fondamental en pratique) où on souhaite obtenir un régime
glissant en temps fini, pendant longtemps, seuls ont été maîtrisés les algorithmes d’ordre un,
deux ou trois. Néanmoins, désormais plusieurs articles [Levant 1], [Levant 2],
[Laghrouche 1], [Laghrouche 2] proposent des algorithmes pour des modes glissants d’ordre r
arbitraire appliqués au contrôle en temps fini de système ayant une entrée et une sortie. Leur
mise en œuvre a été illustrée sur des exemples d’ordre élevé comme le maintien d’une voiture
sur une trajectoire (r = 4).
Pour les algorithmes les plus répandus (ordre 2), il s’agit de générer un régime glissant d’ordre
2 sur une surface choisie, c’est-à-dire d’obtenir en temps fini :
s = ds = 0
dt
où le système est défini par l’équation différentielle :
dx = f ( x,t,u )
dt
pour laquelle f est une fonction C1 par rapport à chacune de ses variables et où la fonction
contrainte s = s(t,x) est une fonction C2 et d’ordre 2 par rapport à la commande u (c’est-à-dire
qu’il faut dériver s deux fois par rapport au temps pour voir apparaître explicitement u).
Bien entendu, le système doit être de degré relatif deux par rapport à la fonction s, ce qui
signifie qu’en dérivant deux fois la contrainte s par rapport au temps, on doit faire
explicitement apparaître la commande u de notre système.
d2 s
( t, x ) = ς( t,x ) + χ( t, x,u )u
dt 2
Le problème posé plus haut revient à la stabilisation en temps fini du système auxiliaire du
second ordre modélisé par :
σ( t,x ) = ds ( t,x )
dt
dσ ( t,x ) = ς( t,x ) + χ( t,x,u )u
dt
Des preuves d’existence de solution ont été établies sous certaines conditions. Les hypothèses
sont les suivantes :
(Hyp. 1) :
La commande u du système est une fonction bornée (et éventuellement
discontinue du temps) : |u| < UM.
L’équation différentielle dx = f ( x,t,u ) admet des solutions (au sens de
dt
Filippov) sur la variété glissante d’ordre 2 ( s = ds = 0 ) pour tout t.
dt
ds
(Hyp. 2) :
La commande u = -UM sign( ( t 0 ) ), où t0 est l’instant initial assure la
dt
convergence en temps fini sur ds = 0 .
dt
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Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
64 / 130
(Hyp. 3) :
Il existe une « région de linéarité », c’est-à-dire qu’il existe trois constantes
positives s0, Km et KM telles que, dans un voisinage |s(t,x)| < s0, on ait :
0 < K m ≤ χ( t,x,u ) ≤ K M
(Hyp. 4) :
A l’intérieur de la région de linéarité (l’ensemble {t,x : |s(t,x)| < s0}) et pour
tout t,x,u, il existe une constante C0 telle que :
|| ς (t,x)|| < C0
La condition 2 (Hyp 2) permet d’établir que, partant de n’importe quel point de l’espace
d’état, il est possible de définir une commande amenant la fonction contrainte s(t,x) dans la
d 2s
zone de linéarité. Les conditions 3 et 4 impliquent que 2 est uniformément bornée dans un
dt
certain domaine. D’après le théorème des fonctions implicites, il existe alors un contrôle
équivalent (la fonction ue(t,x)) assurant l’invariance de la surface S définie par s = ds = 0 .
dt
Les algorithmes du second ordre (dont le « twisting algorithme ») sont donc réglés en fonction
de la fonction contrainte s(t,x) et des 4 paramètres C0, Km, KM et s0 qui lui sont associés. La
convergence en temps fini (vers s = ds = 0 ) est obtenue grâce à la commutation de la valeur
dt
de commande entre un nombre fini de valeurs. A l’exception du « super-twisting » algorithme,
ces commutations sont décidées en fonction de la connaissance simultanée de s et de ds .
dt
Néanmoins, en pratique, ces algorithmes de contrôle sont mis en œuvre dans des calculateurs
cadencés par une horloge (de période fixe Téch). Aussi, pour ces contrôleurs discrétisés, seule
la connaissance de la fonction s est nécessaire : on tient donc compte de s(tk) et de ∆s(tk) = s
(tk) – s(tk-1). Cette facilité de mise en œuvre ne doit pas occulter le fait qu’au lieu d’un régime
glissant idéal, ces algorithmes discrétisés induisent un comportement voisin des trajectoires
engendrées par une commutation de fréquence infinie. On parle de « régime glissant réel »
Pour un mode glissant classique (ordre un), la précision de la convergence est de l’ordre de
Téch, pour un mode glissant d’ordre r, la précision est de (Téch)r.
{
}
3.2.6.2.
Un algorithme de commande particulier : le « Twisting » algorithme

Définition :
Il est défini par la loi de contrôle commande :
, alors :
u = − Umin sign( s )
Si s ds ≤ 0
dt
, alors :
u = − U max sign( s )
Si s ds > 0
dt
où les deux valeurs Umin et Umax vérifient les trois conditions ci-dessous :
Umin > 4 K M

s0
Umin > C0

Km
( K m Umax ) - C0 > ( K M Umin ) + C0

Cette loi permet de rejoindre, en temps fini, la surface S = x : s= ds =0 représentée par
dt
l’origine (0 , 0) dans le plan de phase s , ds . Cette convergence se réalise en une infinité
dt
d’intersections avec les deux axes (successivement abscisse et ordonnée). Le nombre de ces
commutations est infini mais la durée entre chaque commutation se réduisant très rapidement,
la durée d’atteinte de l’origine est finie (paradoxe de Zénon). Aussi, on montre que quelle que
( )
{
}
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65 / 130
soit la condition initiale y(t0) sur l’axe des abscisses (s quelconque et ds = 0 ), la durée de
dt
gl
convergence ( ∆t ) 0 vers le régime glissant est bornée :
( ∆t) gl0
≤
2
(K
(K
m
m
Umax
Umax + KM Umin )
− C0 ) ( KM Umin − C0 )
1
( KM Umin − C0 )
1( Km Umax − C0 )
y( t 0 )

Preuve de convergence :
La preuve de convergence est intéressante car elle permet de mieux appréhender le mode de
fonctionnement de ce type d’algorithme. En particulier, on visualise ainsi les conditions qui
garantissent la convergence en temps fini. On cerne bien la nécessité, pour un régime de
glissement idéal ( s = ds = 0 ), d’avoir un système autorisant des commutations de fréquence
dt
infinie et on matérialise la zone de glissement (origine du plan de phase) ainsi que les
conditions d’évolution de la commande (intersection avec les axes s = 0 et ds = 0 ).
dt
Comme nous allons le voir le procédé de contrôle impose une rotation du point M = s, ds
dt
dans le plan de phase ; aussi, sans perdre en généralité, peut-on prendre pour condition initiale
à t0 = 0 :
M 0 =  s0 =0+ , ds =σ0 >0 
dt 0


A partir de ce point M0, nous allons montrer que, sur la trajectoire limite extérieure le point
M4 obtenu au bout d’une rotation de un tour s’est rapproché de l’origine et que la somme des
durées de rotation de un tour tend vers une limite finie.
( )
M0
ζ = + C0
χ = KM
σ = ds
dt
ζ = + C0
χ = Km
M4
M1
M3
ζ = - C0
χ = Km
s
ζ = - C0
χ = KM
M2
figure 3. 17 : 4 premières commutations du « twisting algorithme » :
trajectoire en trait fin et plein
trajectoire limite extérieure en trait gras et plein
trajectoire limite intérieure en trait gras et plein
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Rappelons l’équation différentielle
d2 s
( t, x ) = ς( t,x ) + χ( t, x,u )u
dt 2
Et les conditions vérifiées par le système et la fonction contrainte s adoptée :
0 < K m ≤ χ( t,x,u ) ≤ K M
|ζ(t,x)| < C0
Lors de la première étape, la valeur de l’entrée de réglage choisie par l’algorithme est – Umax
ce qui donne :
d 2s
- C0 − KM Umax ≤ dσ = 2 = ς − χUmax ≤ C0 - K m Umax
dt
dt
C0
imposée au « twisting algorithme », on peut affirmer que
Km
σ décroît et que la trajectoire extérieure est régie par :
σ = ds
dt
dσ = C − K m U max
0
dt
Ce qui donne, par intégration :
s = 1 ( C0 - K m U max ) t 2 + σ0 t
2
σ = ( C0 - K m U max ) t + σ0
La trajectoire extérieure rencontre l’axe des abscisses au bout d’une durée ∆t1 :
σ0
∆t 1 =
K m Umax - C0
La nouvelle intersection M1 avec les axes s , σ= ds est définie par
dt
2
et
σ1 = 0
( σ0 )
s1 =
2 ( K m Umax - C0 )
Et, dès que σ = 0 , la commande u générée par le « twisting algorithme » commute pour
adopter la valeur :
u = - Umin
On en déduit donc l’équation d’évolution :
d2s
- C0 − KM U min ≤ dσ = 2 = ς − χUmin ≤ C0 - Km Umin
dt
dt
Avec l’hypothèse U max > Umin >
(
)
C
Avec l’hypothèse Umin > 0 imposée au « twisting algorithme », on peut affirmer que σ
Km
décroît (à partir de 0 -) et que la trajectoire extérieure est régie par :
σ = ds < 0
dt
dσ = - C - K U < 0
M min
0
dt
Ce qui donne une décroissance simultanée de s et de σ avec l’évolution :
s = - 1 ( C0 + K M U min ) t 2 + s1
2
σ = - ( C0 + K M U min ) t
La trajectoire extérieure rencontre l’axe des ordonnées au bout d’une durée ∆t2 :
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
∆t 2 =
2 s1
=
C0 + KM Umin
σ0
+ KM Umin ) ( Km Umax − C0 )
La nouvelle intersection M2 avec les axes s , σ= ds est définie par
dt
et
s2 = 0
σ2 = - σ0 ( C0 + K M Umin )
( K m Umax − C0 )
Et, dès que s = 0 , la commande u générée par le « twisting algorithme » commute pour
adopter la valeur :
u = + Umax
On en déduit donc l’équation d’évolution :
d 2s
- C0 + Km U max ≤ dσ = 2 = ς + χUmax ≤ C0 + KM U max
dt
dt
(
(C
67 / 130
0
)
Avec l’hypothèse U max > Umin > C0 imposée au « twisting algorithme », on peut affirmer
Km
que σ croît et que la trajectoire extérieure est régie par :
σ = ds ≤ 0
dt
dσ = - C + K m U max > 0
0
dt
Ce qui donne l’évolution :
s = 1 ( - C0 + K m U max ) t 2 + σ2 t
2
σ = ( - C0 + K m U max ) t + σ2
La trajectoire extérieure rencontre l’axe des abscisses au bout d’une durée ∆t3 :
σ2
σ0
( C0 + KM U min )
=
C0 - Km Umax
Km U max − C0 ( K m Umax − C0 )
La nouvelle intersection M3 avec les axes s , σ= ds est définie par
dt
2
2
et
σ3 = 0
(
σ2 )
- ( K M Umin + C0 ) ( σ0 )
s3 =
=
2 ( C0 - Km Umax )
( K m Umax - C0 ) 2 2
∆t 3 =
(
)
Et, dès que σ = 0 + , la commande u générée par le « twisting algorithme » commute pour
adopter la valeur :
u = + Umin
On en déduit donc l’équation d’évolution :
d2s
- C0 + Km U min ≤ dσ = 2 = ς + χUmin ≤ C0 + KM Umin
dt
dt
C
Avec l’hypothèse Umin > 0 imposée au « twisting algorithme », on peut affirmer que σ
Km
croît (à partir de 0 -) et que la trajectoire extérieure est régie par :
σ = ds > 0
dt
dσ = C + K U > 0
M min
0
dt
Ce qui donne une croissance simultanée de s et de σ avec l’évolution :
s = 1 ( C0 + K M U min ) t 2 + s3
2
σ = ( C0 + K M U min ) t
La trajectoire extérieure rencontre l’axe des ordonnées au bout d’une durée ∆t4 :
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
68 / 130
− 2 s3
σ0
=
C0 + KM Umin
( Km Umax − C0 )
La nouvelle intersection M4 avec les axes s , σ= ds est définie par
dt
et
s4 = 0
σ4 = σ0 ( KM U min + C0 )
( Km Umax − C0 )
Et, dès que s = 0 + , la commande u générée par le « twisting algorithme » commute pour
adopter la valeur :
u = - Umax
On reprend alors un cycle en quatre étapes qui amènera à une nouvelle rotation d’un tour dans
le plan de phase.
On peut remarquer, qu’en vertu des conditions K m Umax > K M U min et U max > Umin > C0 , on a
Km
(
K
M U min + C 0 )
0 ≤ σ 4 = σ0
( K m Umax − C0 ) < σ0 ce qui signifie que le nouveau cycle débute à une distance
∆t 4 =
)
(
réduite par rapport à l’origine. L’algorithme impose donc la convergence vers 0 au bout d’une
infinité de cycles.
∞
Si on s’intéresse à la durée totale t conv = ∑Tk de cette infinité de cycles, il faut sommer
k =1
chacune des durées de cycles Tk = (∆t1 + ∆t2 + ∆t3 + ∆t4)k = σk -1 A où :
 ( K U + C0 ) 
σk = σ0  M min

 ( K m Umax − C0 ) 

1
Tk = σk -1 
+
 K m Umax - C0

(C
1
0
+ K M U min ) ( Km U max − C0 )
+
k
1
K m U max − C0
(C
(K

+ K M Umin )
1

+
Km U max − C0 
m U max − C 0 )
0
K U + C0
On a donc affaire à une progression géométrique d’argument r = M min
compris entre
Km Umax − C0
0 et 1. D’où la convergence vers (0,0) en temps fini :
∞
( Km Umax − C0 )
t conv = ∑Tk = A σ0
(
K
m
U
max
− C0 ) - ( K M U min + C0 )
k =1

Le « twisting algorithme » réel : (commutations à fréquence finie)
Comme nous l’avons signalé précédemment, cet algorithme est implanté dans un calculateur.
Remarquons que ceci n’est pas une limitation car le système à commander ne peut jamais
commuter à fréquence infinie. La loi mise en œuvre est donc en réalité :
, alors :
Si s ∆s ≤ 0
u = − Umin sign( s )
, alors :
Si s ∆s > 0
u = − U max sign( s )
Comme nous l’avons déjà évoqué, cela induit un « mode glissant réel » plus précis que pour
un ordre un : après une durée finie ∆tconv , la trajectoire du système ainsi piloté converge vers
l’ensemble de glissement réel défini par :
ds = O( T ) et s = O T 2
éch
éch
dt
( )

Système à piloter de degré relatif un : extension dynamique
Dans le cas où le système est de degré relatif un par rapport à la fonction s, ce qui signifie
qu’on fait explicitement apparaître la commande u dès la première dérivation de s(x,t) par
rapport au temps, l’équation à considérer est :
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
69 / 130
d2 s
( t, x ) = ς( t, x ) + χ( t, x,u ) du
dt 2
dt
et du est alors considérée comme la nouvelle entrée du système. On parle alors « d’extension
dt
dynamique » de notre système.
L’intérêt est que la commande u réellement appliquée au système est continûment variable car
issue d’un intégrateur. Cela permet de réduire le phénomène de réticence (« Chattering
Phenomenon »). sans pour autant perdre l’avantage des modes glissants : la discontinuité de
commande se retrouve au sein de l’algorithme.
Dans ce cas, la loi de commande appliquée au système est la suivante :
, alors :
du = − u
Si |u| > |uéq|
dt
,
alors
:
ds
du
Si |u| ≤ |uéq|
= − U max sign( s)
et si s ≤ 0
dt
dt
, alors :
du = − U sign( s )
et si s ds > 0
min
dt
dt
nouvelle commande du
dt
∫
commande : u
extension dyna.
système étendu
(a)
dx = f ( t,x,u)
dt
système
y
yréf
« Twisting »
algo
du
dt
∫
extension dyna.
contrôle
x
u
dx = f ( t,x,u)
dt
y
système
x
(b)
figure 3. 18 : commande par modes glissants d’ordre 2 d’un système de degré relatif 1 % à s
3.3.
Application au contrôle d’une suspension magnétique
3.3.1. Enjeux industriels
La lévitation magnétique est un moyen très efficace pour éliminer les forces de frottement
dues aux contacts mécaniques. C’est pourquoi, ce principe est de plus en plus fréquemment
utilisé aussi bien pour la réalisation de systèmes à grandes vitesses de déplacement que pour la
construction de dispositifs de précision. [Dussaut]
Historiquement, les suspensions magnétiques ont été mises en œuvre dans les machines
tournantes afin de faire tourner les rotors sans frottement ; cela assure un fonctionnement à
faibles pertes, sans lubrifiant ni entretien et autorise des vitesses de rotation très élevées. Dans
ce champ d’applications, le train à grande vitesse japonais « Maglev » ainsi que les projets
allemand « Transrapid » et suisse « Suissmetro » sont sans contexte les réalisations les plus
frappantes. Notons que les suspensions magnétiques permettent la conception de pompes
parfaitement étanches, ce qui présente un intérêt crucial dans les installations des centrales
nucléaires par exemple.
Dans un tout autre domaine, la lévitation magnétique est de plus en plus employée dans
l’industrie de précision. A titre d’exemple, elle permet la réalisation des actionneurs de
l’industrie micro-lithographique qui exige une précision au nanomètre.
La lévitation est donc une technique utilisée dans un grand nombre d’applications industrielles
et appelée à se développer. Comme nous allons le voir, c’est un système instable qui nécessite
donc un fonctionnement asservi. Par ailleurs, ce système se révèle être non linéaire et
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
70 / 130
difficilement identifiable (du fait entre autre de son instabilité intrinsèque). Pour conserver un
bon comportement sur de grandes excursions, il faut donc envisager une commande non
linéaire peu sensible aux incertitudes paramétriques.
Ce paragraphe aura donc pour double but de bien mettre en évidence cette problématique et de
proposer des solutions applicables.
3.3.2. Présentation du système et modèle de la suspension magnétique
L’objectif de cet asservissement est de maintenir un objet magnétique en lévitation à une
distance déterminée d’un électro-aimant. Le courant dans ce dernier constitue la seule
grandeur de réglage tandis que la seule variable mesurée est la distance entre la balle et
l’électro-aimant.
VZ
Asst
VZréf
V Iréf
I
Alimentation
électrique réglable en
courant
V
VI
Cellule
photoélectrique
Z
éclairage
Fmag
VZ
MG
figure 3. 19 : système de lévitation magnétique étudié
La position Z de la balle est mesurée à l’aide d’une cellule photo-électrique dont le temps de
réponse est très court (de l’ordre de la µs) et dont le gain est de 650 V.m-1 :
VZ = (650) Z
La tension V appliquée à l’électro-aimant est délivrée par un hacheur deux quadrants asservi
en courant par un correcteur proportionnel-intégral. Le temps de réponse de cette boucle, de
l’ordre des centaines de µs est également négligeable devant les réactions mécaniques de la
balle en lévitation. Le gain du capteur de courant (sonde à effet Hall) est de 1 V. A-1 :
I = (1) VIréf
Comme nous le verrons ultérieurement, la force d’attraction exercée par le bobinage sur le
mobile magnétique dépend de la valeur absolue du courant I. On autorise donc que des
consignes de courant de même signe (ici positif). Par ailleurs dans le but de protéger l’étage
amplificateur de puissance, la consigne de courant VIréf est limitée à 10 V. (valeur
correspondant à IMAX = 10 A.)
I
VE
VIréf
Asservissement
de courant (P.I.)
V
VI
figure 3. 20 : interface de puissance entre la commande stabilisante et l’électro-aimant
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
71 / 130
Dans le but d’expliciter la commande I(t) stabilisante, il nous faut établir le modèle de
comportement de la lévitation.
En premier lieu, la première loi fondamentale de la dynamique appliquée à l’objet en
lévitation donne :
d 2Z
M 2 = Fmag + MG
dt
Pour expliciter cette relation, nous devons déterminer l’expression de la force magnétique Fmag
appliquée par l’électro-aimant au mobile. Pour cela, nous réalisons, sur un intervalle de temps
dt, un bilan énergétique. Pendant ce petit intervalle de temps, l’énergie électrique dWe fournie
par l’alimentation à l’électro-aimant peut être calculée par la loi de Faraday :
dWe = V(t)I(t)dt = RI2dt + IdΦ
Cette énergie est égale à la somme de l’énergie convertie en chaleur par effet Joule dans la
résistance de l’enroulement : (RI2dt), de l’augmentation de l’énergie magnétique stockée
(dEmag) et de l’énergie mécanique produite au sein du convertisseur électromécanique par la
force électromagnétique : (FmagdZ).
Note : on ne tient pas compte dans ce bilan de la présence d’hystérésis dans le matériau
magnétique pas plus que de courants de Foucault. Ces phénomènes engendrent en effet des
pertes que nous négligeons dans ce bilan.
Par ailleurs, flux magnétique Φ dans le bobinage, courant I et position Z du mobile sont liées
par le théorème d’Ampère :
∫Hdl =∫∫ jdS = nI
℘
Or, par définition, le flux s’écrit :
Sc
Φ =∫∫ BdS
S
et, dans le matériau magnétique, il y a couplage entre le champ magnétique d’excitation H
(déterminé par Ampère) et le champ magnétique d’induction B (dont le flux Φ à travers le
bobinage intervient dans faraday) :
B = B(H).
On peut donc dire de façon générale que l’énergie électromagnétique stockée Emag dépend du
flux magnétique dans le bobinage et de la position du mobile : Emag = Emag(Φ,Z). La variation
de l’énergie électromagnétique s’écrit donc :
 ∂Emag 
 ∂E mag 
dE mag = 
dΦ + 

dZ
 ∂Φ 
 ∂Z 
En reportant cette expression dans le bilan énergétique, on obtient :
 ∂Emag  
 ∂Emag 

 ∂Φ  − I  dΦ +  ∂Z  + Fmag  dZ = 0
 




Etant donné que les deux variables Φ et I sont indépendantes, la somme de ces deux termes
est nulle uniquement si chaque terme est nul séparément :
 ∂Emag 
 ∂Emag 
I =
Fmag = - 


 ∂Φ 
 ∂Z 
D’où le modèle de comportement recherché :
d 2Z
 ∂E 
M 2 = - mag  + MG
dt
 ∂Z 
Ce modèle se simplifie grandement dans le cas particulier d’un circuit magnétique en régime
linéaire (faible induction). En effet, le théorème d’Ampère montre que le flux Φ est alors
directement proportionnel au courant I qui lui a donné naissance :
Φ = L(Z) I
Note : le coefficient de proportionnalité L n’est autre que l’inductance (par définition).
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
72 / 130
Et donc, par intégration de la première relation définissant Emag, on retrouve la relation bien
connue :
E mag = 1 I2L( Z)
2
Et, dans ce cas là, on a donc une force Fmag toujours négative, c’est-à-dire qui attire toujours le
mobile vers l’électro-aimant. Le modèle de comportement prend alors une expression bien
plus explicite :
d2Z
= G - I 2 K( Z)
dt 2
avec un paramètre K(Z) positif mais difficile à déterminer expérimentalement :
K( Z) = 1 − dL
2M
dZ
( )
3.3.3. Stabilisation avec correcteur linéaire et continu
Une première stabilisation du procédé décrit ci dessus peut être obtenue par un correcteur
linéaire de type « avance de phase » synthétisé à partir du modèle local. En effet, par
développement au premier ordre autour du régime permanent (I0, Z0), on obtient pour les
petites excursions i(t) et z(t) :
I(t) = I0 + i(t)
Z(t) = Z0 + z(t)
( I0 ) 2 = KG( Z )
0
d2 z
2
= G - ( I0 +i ) K( Z0 ) + dK ( Z0 )z
dt 2
dZ
Et, en conservant les termes du premier ordre, on obtient :
d2 z
2
2
= G - ( I0 ) K( Z0 ) - 2I 0 K( Z0 ) i - ( I0 ) dK ( Z0 )z
dt 2
dZ
(
[
)
]
d2 z
2
+ I0 dK ( Z0 ) z = [ −2K( Z0 )I 0 ] i
2
dt
dZ
Le terme dK ( Z0 ) est bien entendu négatif car pour i(t) constant et positif, le nouveau régime
dZ
permanent correspond à une balle plus éloignée de l’électro-aimant :
- 2 K( Z0 )
z( t =∞ ) =
> 0
I 0 dK ( Z0 )
dZ
En appliquant la transformée de Laplace sur le modèle linéaire tangent, on obtient une
fonction de transfert du second ordre avec
un pôle instable (p1 = + ω0) ;
et un pôle stable (p2 = - ω0).
z( s )
H B0 ( s) =
= H0 2
i( s)
s
1- 2
ω0
avec :
ω0 = I0 − dK ( Z0 )
dZ
H0 = - 2 K( Z0 )
I0 dK ( Z0 )
dZ
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Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
73 / 130
Un tel modèle aux petites variations permet la synthèse de correcteurs linéaires de type
continu ou discret. Restons dans le domaine continu et utilisons le critère de Nyquist pour
déterminer un correcteur continu stabilisant.
Un choix judicieux des trois paramètres (C0, a, τ) d’un correcteur « avance de phase »
C( s ) = C0 1 + aτs permet de faire réaliser à la fonction de transfert T( s ) = C( s) H B0( s ) du
1 + τs
système corrigé un tour, dans le sens trigonométrique, du point (-1) et ainsi d’assurer une
stabilisation de la lévitation autour du point d’équilibre choisi (« critère de Nyquist »).
Notons que les deux paramètres K0 et ω0 de l’approximation linéaire (HB0(s)) du système à
stabiliser dépendent fortement du point de fonctionnement envisagé. Il en découle qu’il est
difficile de garantir des marges raisonnables sur une grande plage de points d’équilibre.
Im (T)
Im (T)
Re (T)
-1
H0
(a)
Re (T)
C0 H0
-1
(b)
figure 3. 21 : lieu de Nyquist du transfert direct : boucle ouverte HBO(s) corrigée par C(s) :
Ca(s) = 1
C b ( s) = C0 1 + aτs
1 + τs
Des essais indiciels, en boucle ouverte et à différentes positions, ont permis d’obtenir une
caractérisation suffisamment précise du modèle linéarisé tangent. Pour des évolutions autour
de la position VZ0 = 4 Volts, on a déterminé par exemple :
H0 = 1,1
ω0 = 2 π (7) rad.s-1
Cette approximation de comportement nous permet de déterminer les 3 paramètres du
correcteur C(s) « avance de phase » :
C0 = - 4,5
a = 10
τ = 2,7 ms
Une analyse fréquentielle montre que, pour le système ainsi bouclé, on a :
une marge de phase de 60°
(liée au choix de a = 10)
une marge de gain de
14 dB
(liée au choix de C0 = -4,5)
une erreur statique de
17 %
(liée au choix de C0 = -4,5)
et une bande passante de 37 Hz.
Notons que l’erreur statique peut facilement se corriger par une intégration agissant dans les
basses fréquences. En revanche, la nécessité d’obtenir, dans le plan de Nyquist, un tour du
point (– 1) exige une valeur de |C0| suffisante, ce qui conduit inévitablement à des saturations
de commande lors des transitoires. (La bande passante du système en boucle fermée a ainsi été
multipliée d’un facteur 5 par rapport à la boucle ouverte.)
Les phénomènes décrits plus haut s’observe parfaitement sur la réponse indicielle pour
laquelle VZréf(t) passe de 2,24 V à 3,10 V à l’instant téch = 50 ms (cf figure 3. 22 . VZ évolue
alors autour de 4 V avec VZinitial = 3,5 V et VZfinal = 4,5 V. Au début du transitoire, la
commande VIréf est saturée à 0 V (I = 0A). A la fin du transitoire la commande VIréf présente
une valeur supérieure à celle du régime permanent initial. Cette évolution de la commande est
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Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
74 / 130
typique des systèmes à déphasage non minimal comme l’est la lévitation magnétique.
L’interprétation, dans ce cas particulier, est la nécessité initiale de réduire le courant afin que
la balle descende puis d’établir une valeur de courant plus importante qu’au départ dans le but
de maintenir le mobile dans une position plus éloignée de l’électro-aimant.
Ré p. Ind. : S uspensio n asservie par a va nce de phase
5
V z(t)
4 .5
4
3 .5
3
0
0 .02
0. 04
0 .06
0
0 .02
0. 04
0 .06
0.0 8
0 .1
0.12
0 .14
0.16
0. 18
0. 2
0.0 8
0 .1
0.12
0 .14
0.16
0. 18
0. 2
10
V I(t)
8
6
4
2
0
tem ps (seconde)
figure 3. 22 : réponse indicielle de la lévitation corrigée par
C b ( s) = C0 1 + aτs
1 + τs
3.3.4. Stabilisation avec mode glissant d’ordre 1
Le correcteur de type avance de phase a permis un fonctionnement stable en boucle fermée.
Ceci a été profitable car cette stabilisation nous a permis de vérifier plus précisément qu’en
boucle ouverte le modèle de la lévitation. En particulier l’obtention de la fonction K(VZ) est
possible par une série d’essais statiques. Dans la plage utilisable (0A < I < 10 A), la figure 3.
23 en donne l’illustration.
S uspension : Régime P ermanent
S uspension : Régime P ermanent K = K (V Z)
10
0
9
-200
8
7
-400
K (V Z)
VI
6
5
-600
4
-800
3
2
-1 000
1
0
-1 200
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
VZ
VZ
(a)
(b)
6
7
8
9
figure 3. 23 : régime permanent obtenu par la stabilisation par C(s)
(a) : VI en fonction de VZ
(b) : K en fonction de VZ
Toutefois, il est difficile d’obtenir un réglage correct du correcteur puisque les deux
paramètres caractérisant le modèle aux petites variations (K0 et ω0) varient fortement avec le
point de fonctionnement (figure 3. 24). Par ailleurs, force est de constater que la lévitation
magnétique n’est pas un procédé linéaire et que le correcteur précédent a été ajusté sur une
approximation de comportement.
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Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
S uspension : mo dèle linéarisé tangent
5
100
4 .5
90
4
80
3 .5
70
3
60
W 0 (V Z)
H 0 (V Z)
S uspension : modèle liné arisé tangent
75 / 130
2 .5
2
50
40
1 .5
30
1
20
0 .5
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
VZ
VZ
(a)
(b)
6
7
8
9
figure 3. 24 : paramètres H0 et ω0 du linéarisé tangent du modèle de la lévitation magnétique
(a) : : H0
(b) : ω0
Suite à ces remarques, notre ambition est de réaliser un asservissement traitant le problème
dans sa globalité (adoption du modèle non linéaire initial) et également peu sensible aux
inévitables incertitudes paramétriques. Pour cela, nous adoptons la structure générale d’un
retour d’état. Bien entendu, nous nous limitons au seul capteur de position et nous serons
amener à reconstruire la seconde composante du vecteur d’état X = [Z ; dZ/dt]T.
Pour simplifier l’écriture, posons :
e1 = Z - Zréf
d( Z−Zréf )
e 2=
dt
Si on trouve une commande I(t) qui assure à tout instant l’égalité : e1 + τ e2 = 0, alors d’un
système qui, en boucle ouverte, est un second ordre non linéaire et mal connu, on obtient, par
rétro-action, un système vérifiant un comportement linéaire du premier ordre avec pour
constante de temps τ. Une telle commande est donc remarquable car elle stabilise et linéarise
la suspension magnétique indépendamment de son point de fonctionnement et de certaines
perturbations extérieures (celles satisfaisant la « matching condition »). Pour être complet sur
les caractéristiques de cette commande stabilisante, il faut préciser qu’elle doit être
suffisamment énergétique pour étouffer toutes les imperfections pré-citées. Et ainsi garantir
notre proposition initiale : l’attractivité de la droite D = {(e1,e2) tel que S(e1,e2) = 0} pour
laquelle la fonction contrainte S(e1,e2) est définie par : S(e1,e2) = e1 + τ e2.
Bien-entendu, meilleure est la précision du modèle, plus il sera facile de garantir l’attractivité
de la droite D.
Cette attractivité et ce verrouillage en temps fini sur la droite D sera possible, si, à tout instant,
la commande I(t) assure les relations :
dS ≤ −µ < 0
S(t) > 0
⇒
dt
dS ≥ +µ > 0
S(t) < 0
⇒
dt
Pour mémoire, rappelons le modèle élaboré au paragraphe précédent :
d2Z
= G - I 2 K( Z)
dt 2
En réalité, le modèle nominal est mal connu et nous devons plutôt écrire :
d2 Z
= G - I 2K( Z) + ∆
dt 2
où ∆ = ∆(I,Z) est un terme englobant les incertitudes paramétriques.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
76 / 130
Et, dans ce cas, à partir de la définition de la fonction contrainte S, on peut écrire :
2
dS( e ,e ) = de1 + τ de2 = - τ I2 K( Z) + τ G + ∆ - d Zréf  + e 
 
dt 1 2
dt
dt
dt 2  2 
 

Commande discontinue à commutations franches :
Dans un premier temps, de la structure du modèle nous ne retenons qu’un second ordre avec
une accélération (d2Z/dt2) directement influencée par la valeur absolue de la commande I(t).
Aussi, proposons nous la commande discontinue :
I=0
S(t) < 0
⇒
I = IMAX
S(t) > 0
⇒
Où IMAX a une valeur suffisante pour permettre de satisfaire la condition de µ-attractivité :
d 2 Zréf e 2
G+µ + ∆ +
+
τ
dt 2
τ
2
( IMAX ) ≥
K MIN
Cette proposition vérifie bien la condition d’attractivité de la droite D (définie par S = 0,) dans
le cas où il n’y a pas d’évolution trop rapide de la balle en lévitation ni d’évolution trop rapide
de sa consigne de position, c’est-à-dire pour :
d2
µ
(
Zréf ) − 1 d ( e 2 ) ≤ G + ∆ −
2
dt
τ dt
τ
En effet :
2
dS = τ G + ∆ − d Zréf  + e2 ≥ + µ
S(t) < 0 ⇒ I = 0
⇒

dt
dt 2 

S(t) > 0 ⇒ I = IMAX
⇒
dS = -τK( Z)
dt
G+
d 2 Zréf
µ
+∆+
+ e2
τ
dt 2
τ
KMIN

d2 Zréf 
+ τ G + ∆ −
+e ≤−µ
dt 2  2

Notons également que le choix du paramètre τ de la fonction contrainte n’est pas arbitraire et
ne doit pas être choisi trop faible. Etant donné que ce paramètre est la constante de temps τ de
la lévitation une fois verrouillée sur la droite de glissement D, cette contrainte n’est pas
gênante car tout à fait naturelle : il en va du respect de la dynamique intrinsèque du système
mécanique afin de ne pas exiger des puissances de commande trop élevées.
Dans notre cas, nous adoptons
pour IMAX le courant maximal toléré : IMAX = 10 A ;
et pour la fonction contrainte S(e1,e2) une forme légèrement modifiée par rapport à
l’expression linéaire mentionnée plus haut :
S(e1,e2) = e1 + (1 + k(e2)2)τe2
avec:
k=3
et
τ = 20 ms
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
2
S uspension asservie par mode glissant d'ordre 1 : tau = (0,02s)*(1 + 3e2 )
77 / 130
2
S uspension asservie par mode g lissant d'ordre 1 : tau = (0,02s)*(1 + 3e2 )
0
4
-0 .5
3
-1
0
0.1
0. 2
0.3
0 .4
0.5
0 .6
0.7
0. 8
0.9
V z(t)
4 .5
4
3 .5
0
0.1
0. 2
0.3
0 .4
0.5
0 .6
0.7
0. 8
0.9
2
1
1
d (V Z - V Zré f)/d t
S urfa c e S (t)
5
1
0
-1
-2
10
V I(t)
-3
5
-4
0
0
0.1
0. 2
0.3
0 .4
0.5
0 .6
0.7
0. 8
0.9
1
-5
-1
-0 .8
-0 .6
-0. 4
temps (seconde)
-0.2
0
0.2
0.4
0 .6
0 .8
1
(V Z - V Zréf)
(a)
(b)
figure 3. 25 : lévitation magnétique asservie par mode glissant d’ordre 1 : réponse indicielle
(a) : fonction contrainte s(t), sortie mesurée VZ(t),
(b) : plan de phase e1, e2
commande VIréf(t)
3.3.5. Stabilisation avec mode glissant d’ordre 2 : intérêt du multicellulaire
La commande précédente permet d’assurer, en temps fini, un mode glissant d’ordre 1 et cela,
malgré des imperfections d’identification et, malgré des forces perturbatrices verticales. Une
fois en glissement sur la surface (droite D), nous pouvons observer une convergence
asymptotique vers la consigne insensible à l’imperfection de l’identification et à la nature non
linéaire du système à stabiliser. Ce bon comportement a été rendu possible grâce à une
commande basée sur de fortes discontinuités (cf figure 3. 25 (a)). Pratiquement, cette
commande exige des variations brutales, et théoriquement infiniment rapides, du courant
circulant I dans la bobine. A moins d’appliquer à cette dernière une tension d’amplitude
infinie, une telle variation ne peut pas être obtenue. La commande réelle I(t) ne pourra être
qu’une approximation de la commande stabilisante exigée par la fonction signe.
Dans le but de contourner cette difficulté tout en conservant les propriétés intéressantes de la
fonction signe, on peut envisager l’utilisation des modes glissants d’ordre 2. Cela permettra
d’agir sur l’électro-aimant en lui imposant un courant I(t) continu.
En effet, on peut étendre l’ordre du système en adoptant une nouvelle commande U(t)
homogène à une tension. La nouvelle variable de commande U(t) n’est plus une variable
d’état et peut donc désormais brutalement sans encombres ni dommages pour le processus
commandé.
VZ
VZréf
Algo.
2nd
ordre
Vcde
1
L0
∫
V Iréf
extension dyna.
commande
Alimentation
électrique
réglable
en courant
I
V
VI
Z
éclairage
Fmag
Cellule
photoélectrique
VZ
MG
figure 3. 26 : commande par modes glissants d’ordre 2 du système étendu
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
78 / 130
Le nouveau système est complètement décrit par le modèle :
d2Z
= G - I 2K( Z)
dt 2
dI = U
dt
L0
Et pour simplifier l’écriture, on pose :
e1 = Z - Zréf
e2 = d ( Z− Zréf )
dt
e3 = I
Par rapport à la fonction contrainte S(e1,e2,e3) = e1 + τe2, l’ordre de ce système à commander
est 2 car, il faut dériver cette fonction S(t) deux fois par rapport au temps pour faire apparaître
explicitement la grandeur de réglage V(t). En effet :
2
dS = e + τ  G − e 2K(Z) − d Zréf 
2
3

dt
dt 2 

d2S

d 2Zréf 
 2
d3Zréf 
2




=
G
−
e
K
(
Z
)
−
−
τ
e
K
(
Z
)
U
−
3

L 3
dt 2
dt 2 
dt 3 

 0
Si on trouve une commande U(t) qui assure à tout instant la double égalité :
S(e1,e2,e3) = e1 + τe2
dS ( e ,e ,e ) = 0
dt 1 2 3
Alors, par cette rétro-action, d’un système non linéaire et mal connu, on obtient un système
adoptant un comportement linéaire du premier ordre avec pour constante de temps τ. (Le
système étendu a quant à lui un comportement du second ordre.)
Pour cela, nous adoptons le « twisting algorithme » suggéré par Emel’yanov et mis en œuvre
par Floquet. Il s’agit de commuter la commande U entre quatre valeurs bien choisies (± Vmin et
± Vmax) en fonction de la position du système dans le plan (S, dS
dt ).
Aussi, proposons nous la commande discontinue :
V = Vmin sign(S)
⇒
S dS ≤ 0
dt
V = Vmax sign(S)
⇒
S dS > 0
dt
où Vmax et Vmin sont deux paramètres positifs : 0 < Vmin < Vmax .
Concrètement, la commande V(t) pouvant engendrer des courants soit positifs soit négatifs,
cela nécessite de modifier la saturation de la commande en courant : IMIN = -10 A et
IMAX = + 10 A. Ajoutons que la réalisation de ces courants n’est possible qu’avec un hacheur
quatre quadrants. Pour les paramètres de la commande, nous adoptons :
L0 = 1
Vmin = 5
Vmax = 500
et pour la fonction contrainte S(e1,e2) :
S(e1,e2) = e1 + τe2 avec : τ = 300 ms
L’existence de la saturation exige bien-entendu de prévoir un dispositif d’anti-saturation au
niveau de l’algorithme de commande.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
S(t)
0
0,5
1
1,5
t
-0,5
79 / 130
S(t)
500
t
0
-1
- 500
VZ(t)
VIréf(t)
10
4,5
5
4,0
5
0
0,5
1
1,5
t
-5
3,5
-10
t
(a)
(b)
figure 3. 27 : lévitation magnétique asservie par mode glissant d’ordre 2 : réponse indicielle
(a) : fonction contrainte s(t), sortie mesurée VZ(t)
(b) : commande interne VU(t), commande réelle
VIréf(t)
Cette commande permet d’assurer, en temps fini, la convergence du point représentatif du
système M (e1,e2,e3) vers le point désiré P (0,0,I). Ce dernier est l’intersection entre le plan
défini par S(e1,e2,e3) = 0 et la droite définie dS ( e1,e2,e3 ) = 0 .
dt
Nous avons ainsi illustré un aspect intéressant des modes glissants d’ordre supérieur :
robustesse de la commande à des incertitudes paramétriques sans pour autant devoir faire face
à des sollicitations trop brutales de l’actionneur. Dans le paragraphe suivant, nous reprendrons
cette étude mais en insistant sur le lien très naturel qui peut être fait entre la structure des
contrôle par modes glissants et les fonctionnalités offertes par les convertisseurs
multicellulaires.
3.4.
Application au contrôle de la vitesse d’une M.C.C.
3.4.1. Présentation générale
Dans cette seconde partie consacrée aux applications, nous souhaitons mettre en évidence, que
dans de nombreuses applications, il est intéressant d’utiliser l’adéquation du mode de
commande (algorithme à contrôle discontinu de type mode glissant) à la structure de
l’interface de puissance (convertisseur « multi-cellulaire »). Le cas courant des machines
électriques est une bonne illustration de cet aspect. Nous verrons qu’avec les modes glissants
d’ordre 1 comme ceux d’ordre 2, la structure multicellulaire est en parfaite synergie avec le
contrôleur.
Tous les résultats donnés dans ce paragraphe seront illustrés par des simulations réalisées pour
un moteur à courant continu à deux paires de pôles, de tension nominale Unom = 220 V et de
puissance nominale Pnom = 3 kW dont le modèle est :
J dΩ = ki + CCh
dt
L di = v − Ri - kΩ
dt
où Ω est la vitesse angulaire du moteur et i le courant de son induit (rotor).
Les paramètres électro-mécaniques adoptés sont :
R=1Ω
L = 10 mH
J = 0,1 Nms2
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
80 / 130
k = 1,27 Vs
L’interface de puissance est alimentée par une tension continue VE de 400 V fournie par le
redressement (à facteur de puissance unitaire) du réseau monophasé (230 V / 50 Hz). Nous
comparerons les réalisations du hacheur : soit classique, soit multicellulaire à cinq cellules.
Ω
Ω
CMCC = ki
CCh
i
Hacheur
VE
Charge
M.C.C.
v
4 quadrants
IMAX
Ωréf
Contrôleur
i
Ω
figure 3. 28 : système étudié
Pour les simulations, nous partirons de conditions initiales nulles avec une vitesse de consigne
Ωréf de 1500 tours/min. Initialement le couple de charge Cch est nul ; à partir de la deuxième
seconde de simulation, il est sinusoïdal avec une fréquence fch de 1 Hz et d’amplitude
12,7 Nm.
3.4.2. Modes glissants d’ordre 1
Comme nous l’avons décrit au paragraphe 3.2., la réalisation d’une loi de commande par
modes glissants comporte deux étapes. Tout d’abord, il s’agit de définir une surface S dans
l’espace d’état (définie par une fonction contrainte s(t,x,u)) telle que, en régime de glissement
(état verrouillé sur cette surface), le système ait le comportement escompté. Dans un second
temps, il s’agit de synthétiser une loi de commande discontinue agissant sur la dérivée
première de la variable de glissement et faisant en sorte que la surface de glissement S soit
attractive (au moins localement). Si elle existe (voir [Utkin] pour une condition nécessaire et
suffisante), l’unique commande uéq qui contraint les trajectoires du système à évoluer
exactement sur la surface de glissement est appelée la commande équivalente et est solution
de :
ds = 0
dt
Précisons que ce qu’on entend par commande équivalente uéq est la commande assurant
strictement et à tout instant s = 0 dans le cas idéal d’un système sans incertitudes et donc
commandé avec une fréquence de commutation infinie. Aussi, si la réalisation le permet, la
commande u par modes glissants se décompose généralement en deux termes :
u = uéq + udisc
où
uéq représente la commande équivalente
et où udisc est l’action discontinue qui assure la convergence en temps fini vers la surface S et
le rejet d’une certaine classe de perturbations (cf « matching condition »). A cette fin,
l’amplitude de la discontinuité doit être supérieure aux bornes dans lesquelles évoluent
les incertitudes de modèles.
Dans le cas du moteur à courant continu, et pour une commande d’ordre 1, la fonction
contrainte s choisie est :
s( t ) = (Ω - Ωréf ) + τ d( Ω - Ω réf )
dt
avec le paramètre τ positif : τ > 0
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
81 / 130
Elle est, comme il se doit, de degré 1 par rapport à la commande en tension v. En effet, sa
première dérivée temporelle est donnée par :
ds = d  ( Ω − Ω ) + τ  ki + Cch  - τ dΩ réf 
réf
dt
dt 
J 
dt 

Soit :
(
Et, au final :
)
2
ds =  ki + Cch  - dΩréf + τk v - Ri - kΩ + τ dCch - τ d Ω réf
dt
J 
dt
J
L
J dt
dt 2

(
)
2
2
ds = τk v + k 1 − τR i − τk Ω - dΩréf - τ d Ω réf + 1 C + τ dCch
dt
JL
J
L
JL
dt
dt 2
J ch
J dt
Dans cette dernière expression, on voit donc explicitement apparaître la commande en tension
v (premier terme). On distingue également des termes évaluables grâce aux mesures (i et Ω)
ainsi que des termes inconnus liés à la référence Ωréf et au couple perturbateur Cch. Aussi, estil alors bien connu (cf paragraphe 3.2.) qu’en appliquant la loi discontinue de commande :
v = véq + vdisc
véq = k Ω + R - L i
avec
τ
vdisc = - JL λ sign( s)
et avec
τk
(
)
d Ωréf + τ d2 Ω réf + 1 C + τ dCch
où λ >
dt
dt 2
J ch J dt
max
un mode glissant apparaît en temps fini ∆t sur la surface définie par s = 0
En effet, les variations de la fonction s(t) sont alors contrôlées par le signe de s comme le
montre l’expression de (ds/dt) pour le système ainsi piloté :
2
ds = - λ sign( s ) +  - dΩréf - τ d Ω réf + 1 Cch + τ dCch 

dt
dt
dt 2
J
J dt 

Dès que le mode glissant a lieu (t > ∆t), la variable vitesse Ω suit un comportement
dynamique linéaire du premier ordre (constante de temps τ définissant la fonction contrainte
s) :
d( Ω - Ωréf )
s = ( Ω - Ω réf ) + τ
= 0
dt
Et, ainsi, puisque le paramètre τ est positif, on peut affirmer que Ω converge
exponentiellement vers sa valeur de consigne Ωréf.
Notons que plus on souhaite suivre des consignes rapides ou rejeter des perturbations de
spectre fréquentiel élevé, plus il va falloir adopter une commande brutale (paramètre λ élevé).
3.4.2.1.
Mise en œuvre avec un convertisseur classique :
Dans ce cas là, la loi de commande v commute uniquement entre deux valeurs + VE et – VE
correspondant à la tension d’alimentation continue VE du hacheur. Par conséquent, on n’a
matériellement pas les moyens de prendre en compte le vecteur équivalent véq. Il faut donc
adopter la loi strictement discontinue :
v = - VE sign( s )
Notons que l’on peut garantir un mode glissant en temps fini pour des consignes et des
perturbations suffisamment lentes. L’attractivité de S n’est en effet possible que si :
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
VE >
(Lτ − R ) i − k Ω - JLτk dΩdt
réf
- JL
k
82 / 130
d2 Ω réf
dCch
+ L Cch + L
k dt
dt 2
τk
max
Commande v(t)
+ VE
t
- VE
Phase de convergence
Glissement réel
vers s = 0
figure 3. 29 :
Comportement théorique de la loi de commande du système doté d’un convertisseur
classique et piloté avec un mode glissant d’ordre un.
La figure 3. 29 représente le comportement théorique de la loi de commande de type mode
glissant d’ordre 1. La commande commute peu lors de la phase de convergence,
éventuellement pas du tout si le système rencontre la surface S dans une zone où la commande
rend cette surface attractive. Une fois sur la surface, les commutations sont en théorie de
fréquence infinie. Les commutations de la commande réelle (une fois la surface atteinte) est
présentée sur la figure 3. 32. Dans notre cas, la consigne (échelon 0 → Ωnom = 1500 tours/min)
est filtrée par un second ordre d’amortissement ξfiltre = 1 et de pulsation ωfiltre = 3,3 rad s-1 afin
d’obtenir une fonction contrainte s(t) C1 et de dérivé bornée respectant les conditions
d’attractivité de la surface S ; avec les conditions initiales s(0) = 0 et ds ( 0) = 0 , le glissement
dt
a donc lieu instantanément. Le paramètre τ de la fonction contrainte s est quant à lui choisi
égal à 0,1. En régime de glissement, cela autorise un bon rejet des perturbations (cf figure 3.
30 entre t = 2 s et t = 3 s).
On peut voir sur la figure 3. 30.a que, avec cette loi de contrôle, la vitesse angulaire Ω est
contrainte à suivre sa référence Ωréf. La figure 3. 30.b montre, quant à elle l’évolution du
courant dans le moteur. Au début du transitoire, on voit que le courant atteint des valeurs
importantes nécessitées par la montée en vitesse. Puis, à partir de la deuxième seconde, on
distingue nettement l’influence du couple de charge.
Vitesse et consigne (en tr/mn)
Courant
1600
15
1400
10
1200
5
1000
800
0
600
-5
400
-10
200
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-15
0
0.5
1
1.5
2
2.5
figure 3. 30 : trois premières secondes du transitoire du système contrôlé par un ordre 1
(b) : évolution du courant i
(a) : évolution de la vitesse Ω
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
3
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
83 / 130
Dans le but de faire apparaître un transitoire vers S, nous faisons partir la consigne Ωréf(t) non
plus de 0 tours/min mais de 150 tours/min (figure 3. 31). L’accrochage à la surface S a lieu
dès la première rencontre de s(t) avec zéro (t ≈ 300 µs) ; au delà de cet instant, un glissement
réel s’installe (figure 3. 31.b). Bien-entendu, si on se focalise sur quelques centaines de microsecondes à t ≈ 500 µs (figure 3. 31.b), ou bien à t ≈ 2 s (figure 3. 32), la commande bien que
de même nature (commutations) ne présente pas le même signal. Par filtrage passe-bas, on
obtiendrait la commande qu’un algorithme continu devrait fournir pour obtenir le même
comportement du système. Le comportement moyen de la tension en début de simulation
(vitesse Ω faible) est par conséquent de valeur bien plus faible qu’en fin de simulation (vitesse
Ω proche de la valeur nominale).
Vitesse et consigne (en tr/mn)
fo nc tion c ontra in te : s (t)
1500
15
1000
10
5
500
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
Courant
1.5
2
2 .5
3
3.5
4
4.5
15
5
x 10
ten s ion en entré e d e M C C : vM C C(t)
-4
4 00
10
2 00
5
0
0
-5
-20 0
-10
-15
-40 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2 .5
3
3.5
4
4.5
5
x 10
-4
figure 3. 31 : trois premières secondes du transitoire du système contrôlé par un ordre 1
(a) : évolution de la vitesse Ω et du courant i
(b) : évolution s et de v pour 0 µs < t < 500 µs
Te ns ion e n en trée de M CC
40 0
30 0
20 0
10 0
0
-100
-200
-300
-400
1.9 99 1.9 99 1 1.99 92 1.9 99 3 1 .99 94 1.99 95 1 .9996 1.9 997 1 .999 8 1.9 99 9
2
figure 3. 32 : Evolution, à t ≈ 2 s, de la loi de commande du système contrôlé par un ordre 1
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
84 / 130
3.4.2.2.
Mise en œuvre avec un convertisseur multicellulaire :
Dans ce cas là, l’interface de puissance est parfaitement adaptée pour prendre en compte une
commutation entre deux niveaux situés autour d’une valeur continue donnée par une inversion
de modèle. Dans ce type d’application, on utilise tous les niveaux et cela en fonction du point
de fonctionnement du système. L’utilisation du convertisseur multicellulaire permet donc de
réaliser une approximation de la tension continue véq d’autant plus fine que le nombre de
cellules est élevé. Ainsi, en utilisant convenablement les cellules du convertisseur, une
composante discontinue peut être ajoutée ; en choisissant correctement l’amplitude de cette
discontinuité (un ou plusieurs niveaux), cette composante autorise le rejet des perturbations
(cf figure 3. 33). Plus précisément, il n’est plus nécessaire d’utiliser des gains inutilement trop
importants et ainsi on réduit le phénomène de réticence (« Chattering Phenomenon »).
Commande v(t)
+ VE
+V
E
Vecteuréquivalent véq(t)
t
t
-V
E
- VE
Phasedeconvergence
Glissement réel
verss=0
Phase de convergence
Glissement réel
vers s = 0
figure 3. 33 :
Comportement théorique de la loi de commande du système doté d’un convertisseur
multicellulaire et piloté avec un mode glissant d’ordre un complet
(a) : évolution de la commande v
(b) : évolution de la commande équivalente véq
Afin de permettre une bonne comparaison, nous avons réalisé la même simulation que
précédemment (cf figure 3. 30) mais en remplaçant le convertisseur classique par un
convertisseur multicellulaire. Le comportement global des variables vitesse Ω et courant i est
inchangé. En revanche, grâce au convertisseur multicellulaire, la tension de commande peut
prendre neuf niveaux intermédiaires régulièrement espacés entre (- VE) et (+ VE) comme le
montre la figure 3. 34. Dans notre cas, nous avons considéré que la force électromotrice
E = kΩ donnait une suffisamment bonne approximation du vecteur équivalent. Ainsi, la
mesure de la vitesse peut être également utilisée afin de déterminer entre quels niveaux le
convertisseur doit commuter.
Tens ion en entré e de M C C
Ten s ion en e ntré e de M C C
40 0
4 00
30 0
3 00
20 0
2 00
10 0
1 00
0
0
-1 00
-100
-2 00
-200
-3 00
-300
-4 00
-400
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 .99 9 1 .99 91 1.9 992 1 .99 93 1.9 994 1. 9995 1.9 99 6 1 .999 7 1.99 98 1 .9999
figure 3. 34 :
2
trois premières secondes du transitoire du système doté d’un convertisseur multicellulaire
et piloté avec un mode glissant d’ordre un complet (Ωréf(0) = 0)
(a) : évolution générale de la commande v
(b) : détail de la commande v à t ≈ 2s
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
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Il est important de souligner qu’avec le convertisseur multicellulaire, en imposant la même
amplitude de réticence (∆smax) que pour le convertisseur classique, la fréquence Fi des
ondulations résiduelles de courant diminue fortement. En régime permanent
(Ω = 1500 tours/min), cette fréquence est d’environ Fi = 20 kHz pour un convertisseur
classique (cf figure 3. 35.a.). alors qu’elle est de Fi = 4 kHz pour ce multicellulaire (cf figure
3. 35..b.) Qui plus est, la fréquence de commutation FD de chaque cellule est celle Fi du
courant divisé par le nombre de cellules : dans le cas de notre multicellulaire FD = 800 Hz,
alors que pour le convertisseur classique FD = 20 kHz.
C ou rant dans la M CC
Co ura nt da ns la M C C
1
1
0 .9
0.9
0 .8
0.8
0 .7
0.7
0 .6
0.6
0 .5
0.5
0 .4
0.4
0 .3
0.3
0 .2
0.2
0 .1
0.1
0
1.9 99 1.9 99 1 1.99 92 1.9 99 3 1. 9994 1.9 99 5 1 .99 96 1 .9997 1.9 998 1.999 9
2
0
1 .99 9 1 .99 91 1.9 992 1 .99 93 1.9 994 1. 9995 1.9 99 6 1 .999 7 1.99 98 1 .9999
2
figure 3. 35 : détail de l’évolution du courant à t ≈ 2s
(a) : convertisseur classique (∆Smax = 1)
(b) : convertisseur multicellulaire (∆Smax = 1)
A l’inverse cela signifie qu’en assurant la même fréquence de découpage sur les cellules du
multicellulaire comme sur celles du convertisseur classique, on obtient une meilleure
approximation du régime glissant. L’amplitude de sa réticence ∆smax est alors divisée par (n)2,
soit 25 dans notre cas (cf figure 3. 36).
C ou rant dans la M CC
Co ura nt da ns la M C C
1
1
0 .9
0.9
0 .8
0.8
0 .7
0.7
0 .6
0.6
0 .5
0.5
0 .4
0.4
0 .3
0.3
0 .2
0.2
0 .1
0.1
0
1.9 99 1.9 99 1 1.99 92 1.9 99 3 1. 9994 1.9 99 5 1 .99 96 1 .9997 1.9 998 1.999 9
2
0
1 .99 9 1 .99 91 1.9 992 1 .99 93 1.9 994 1. 9995 1.9 99 6 1 .999 7 1.99 98 1 .9999
2
figure 3. 36 : détail de l’évolution du courant à t ≈ 2s
(a) : convertisseur classique (∆Smax = 1)
(b) : convertisseur multicellulaire (∆Smax = 1/5)
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3.4.3. Modes glissants d’ordre 2
Comme nous l’avons décrit au paragraphe 3.2., Emel’yanov et al. [Emel’yanov] ont généralisé
la technique des modes glissants aux modes glissants d’ordre supérieur (M.G.O.S.). Ces
derniers sont caractérisés par une loi de commande discontinue agissant sur les dérivées
d’ordre supérieur (et non plus la première) de la variable de glissement. Préservant les
principaux avantages de la démarche originale (propriétés de robustesse, simplicité de
réalisation), ils évitent l’apparition du phénomène de réticence et garantissent même une
meilleure précision de convergence (voir paragraphe 3.2 et [Barbot 1] chapitre 3 pour un état
de l’art). Sous certaines hypothèses de régularité des différentes variables impliquées (la
continuité doit notamment n’intervenir que sur s(2)), on dira que le système se comporte
suivant un mode glissant d’ordre deux si, après un temps fini, les trajectoires évoluent dans
l’ensemble de glissement d’ordre deux défini par :
S2 = x∈X : s = ds = 0
dt
Reprenons l’exemple du moteur à courant continu. L’implantation d’un mode glissant d’ordre
deux peut s’envisager de deux manières. D’une part, comme nous l’avons déjà explicité dans
le cas de la lévitation magnétique, on peut conserver la même fonction contrainte
d( Ω - Ω réf )
s( t ) = (Ω - Ωréf ) + τ
dt
et procéder à une extension dynamique.
Cela conduit alors (cf figure 3. 37) à développer une commande en tension v continûment
variable alors que l’algorithme de commande (« twisting algorithme » par exemple) est lui
basé sur des actions discontinue (sur la dérivée de v). Pour réaliser au mieux l’interface de
puissance, il faudrait un amplificateur parfaitement linéaire : le convertisseur multicellulaire,
avec ces niveaux de discontinuité réduits et sa fréquence de tension de sortie élevée, s’en
approche d’autant mieux que le nombre de cellules est élevé. L’ayant déjà abordé, nous ne
développerons pas cet aspect.
{
Ωréf
filtre
Algorithme
du 2nd ordre
Ω
du
dt
}
∫
Amplificateur
de puissance
de gain VE
u
Ω
CMCC
v
M.C.C.
figure 3. 37 : commande de la MCC avec extension dynamique
On peut, en revanche, changer de fonction contrainte s afin d’assigner en temps fini la vitesse
angulaire Ω à la valeur désirée Ωréf, grâce à la loi de commande d’ordre deux. Pour cela, en
remarquant que le système est de degré deux par rapport à Ω, on définit la variable de
glissement par :
s = Ω - Ωréf
La dérivée seconde de s par rapport au temps
2
2
d2 s
d  ki + Cch  - d Ωréf = k ( v - Ri - kΩ ) + 1 dCch - d Ω réf
=
dt 2
dt 
J
dt 2
JL
J dt
dt 2

peut donc s’exprimer ainsi :
2
d2 s
k v − k ( Ri + kΩ ) +  1 dCch - d Ω réf 
=
 J dt
dt 2
JL
JL
dt 2 

(
) (
)
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
87 / 130
Pratiquement tous les algorithmes modes glissants d’ordre 2 commutent entre quatre valeurs
différentes dépendant du signe de s(t) et du signe de sa dérivée temporelle ds . A l’instar du
dt
développement mené au paragraphe 3.2., on peut en donner un exemple par l’algorithme
connu sous le nom de « twisting algorithme réel ». Dans notre exemple, cette loi de
commande discontinue est donnée par :
si |i| > Imax
⇒
v = - α sign(i)
si |i| ≤ Imax
et si s∆s ≤ 0
⇒
v = - λmin sign(s)
et si s∆s > 0
⇒
v = - λmax sign(s)
En supposant que le terme non contrôlé est borné :
2
k ( Ri + k Ω) + 1 dCch - d Ω réf
JL
J dt
dt 2
<Γ
max
et en définissant les paramètres de commande α, λmin et λmax par :
α - Ri + kΩ max ≥ η > 0
λmax = r > 1
λ min
λ min > JL Γ
k
λ max > λmin + 2 JL Γ
k
On peut montrer que les trajectoires du système évoluent, après un transitoire en temps fini, au
voisinage de la surface de glissement défini par :
2
x ∈ X : s = O Téch , ds = O( Téch )
dt
Alors que la loi de commande d’ordre 1 nécessitait la connaissance de l’accélération, cet
algorithme du second ordre (échantillonné) est simplement basé sur les mesures de vitesse Ω
et de courant moteur i. Ajoutons que le contrôle de la tension v en sortie de hacheur inclut une
protection en courant contre les sur-intensités. En effet, si |i| > Imax, on a alors :
L di = - α sign( i ) - Ri - kΩ
dt
Ainsi, le coefficient α ayant été choisi suffisamment grand, on a :
Si i > + Imax
⇒
L di ≤ - η < 0
dt
Si i < - Imax
⇒
L di ≥ + η > 0
dt
Ainsi, |i| diminue comme souhaité.
Par ailleurs, on peut remarquer que dans le cas d’un courant acceptable (|i| < Imax), la loi de
commande commute entre quatre valeurs (+ λmin), (- λmin), (+ λmax) et (- λmax). Un tel
comportement ne peut en aucun cas être obtenu directement grâce à un convertisseur
classique. En revanche, un convertisseur multicellulaire à r cellules ou plus, alimenté par la
tension continue VE = λmax, permet la commutation exacte entre les quatre niveaux nécessaires
à la commande :
± λ max et ± λ max . Ainsi, avec un nombre suffisant de cellules, ce type
r
d’interface de puissance est réellement adapté à la réalisation d’un mode glissant d’ordre
deux. Notons que, concrètement le rapport r est classiquement choisi supérieur à quatre.
Des simulations concernant l’asservissement en vitesse du moteur à courant continu contrôlé
par cette loi de commande ont été réalisées avec pour amplificateur de puissance un
{
( )
}
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
88 / 130
convertisseur à cinq cellules. Ainsi, la condition pratique sur le rapport r = (λmax/λmin) peut être
largement remplie et l’algorithme d’ordre deux peut être réalisé sans artifice.
Concrètement, nous adopterons α = λmax = VE.
Les figures 3.38.a et 3.38.c montrent que la consigne (échelon filtré) est atteinte très
rapidement. On observe néanmoins un décrochement (s ≠ 0) entre 200 ms et 450 ms. Celui-ci
s’explique par la figure suivante. En effet, sur la figure 3.38.b, on peut voir que, compte-tenu
de la rapidité du transitoire exigé, la protection en courant (i < |Imax|) opère efficacement entre
250 ms et 400 ms. Pendant cet intervalle de temps, la trajectoire du système s’écarte
(légèrement) de la surface de glissement (figure 3.38.c) et la tension v appliquée au moteur ne
prend plus, sur les quatre valeurs, que trois valeurs (- VE lorsque la protection en courant
V
fonctionne car i > 0 et + VE ou + E sinon pour tenter de retrouver la surface car s < 0 ↔
4
Ω < Ωréf).
Puis, la valeur du courant i diminuant (t > 400 ms), l’algorithme « twisting » proprement dit
reprend afin de contraindre le système sur la surface de glissement (s = 0) ; celle-ci est atteinte
approximativement à t = 450 ms (figure 3.38.c). Une fois le système à nouveau sur cette
surface, la tension appliquée au moteur commute entre +100 V, + 400 V, - 100 V et – 400 V.
c’est un comportement caractéristique (cf preuve paragraphe 3.2.6.2.) de ce type de loi de
commande à l’instar de la plupart des lois de commande par modes glissants d’ordre 2.
Insistons sur le fait que la réalisation de l’ordre 2 avec un convertisseur classique nécessiterait
l’utilisation d’une modulation de largeur d’impulsions afin, par découpage, de réaliser une
approximation pour le système (filtre passe-bas) des quatre niveaux nécessaires. En opérant de
la sorte, la fréquence de commutation du convertisseur devrait être très élevée vis à vis des
dynamiques du système et du comportement de la commande « twisting ». Dans ces
conditions, et à cause de ce second aspect, une telle mise en œuvre s’avère irréaliste.
V ites s e et c ons ig ne (en tr/m n
Courant dans la M CC
1600
15
1400
10
1200
5
1000
800
0
600
-5
400
-10
200
-15
0
0
0.5
1
1.5
2
2. 5
3
0
0.5
1
(a)
1.5
2
2.5
3
2.5
3
(b)
fonc tion c ont rainte s (t)
Tens ion en ent rée de M CC
0.02
400
0
-0.02
300
-0.04
200
-0.06
100
-0.08
0
-0.1
-100
-0.12
-0.14
-200
-0.16
-300
-0.18
-400
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2. 5
3
0
0.5
1
1.5
2
(c)
(d)
figure 3. 38 : trois premières secondes du transitoire du système contrôlé par un ordre 2
(b) : évolution du courant i
(a) : évolution de la vitesse Ω
(c) : évolution de la fonction contrainte s
(d) : évolution de la commande u
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Mise en œuvre directe de contrôles par modes glissants 01 et 02
3.5.
89 / 130
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons rappelé les origines des modes glissants et expliqué
pourquoi cette théorie trouve aujourd’hui de nouveaux développements et applications. Le
comportement en mode glissant idéal peut être très intéressant en particulier pour des
systèmes non linéaires, instables, ou encore d’ordre élevé. Dans ce cas les correcteurs
analogiques (P.I.D.) peuvent devenir difficiles voire impossible à régler. En outre la
commande peut se révéler efficace même pour des systèmes mal connus (identification
difficile ou paramètres évoluant dans le temps). Nous en avons apporté une illustration
originale au travers du contrôle d’une lévitation magnétique. Nous avons sur ce premier
exemple insisté sur les atouts déjà décrits en montrant comment réduire les inconvénients
(essentiellement le phénomène de réticence) dans un premier temps en prenant en compte le
vecteur équivalent et dans un second temps en assurant une évolution continue de la
commande par extension dynamique du système contrôlé.
Dans la seconde partie, nous avons voulu montré l’association très heureuse qui peut
souvent être obtenue entre l’algorithme de contrôle par modes glissants et le convertisseur
multicellulaire, interface de puissance avec le système commandé. Avec un convertisseur
statique classique, on est souvent amené à transmettre l’ordre de commande au travers d’un
modulateur de largeur d’impulsions. Ceci est loin d’être satisfaisant dans la mesure où la force
(et la faiblesse) des modes glissants réside dans un contrôle discontinu. Une modulation ne
peut fournir qu’une réalisation approximative de cette commande. Le convertisseur
multicellulaire propose un nombre important de niveaux de sortie ; aussi, deux nouvelles
voies de réalisation directe s’offrent au concepteur. On peut chercher à réduire les
discontinuités de commande en prenant en considération le vecteur équivalent. Dans ces
conditions le convertisseur répondra directement à la sollicitation de la commande en
fournissant les deux niveaux aux instants désirés. Dans ce contexte et lorsque le point de
fonctionnement évolue, on utilise a priori tous les niveaux. Dans le cadre des algorithmes
« twisting » dédié aux ordres deux, la commande doit en général prendre quatre valeurs. Le
choix de ces dernières est contraint mais si le convertisseur a un nombre suffisant de cellules
(n ≥ 4), on peut réaliser directement la commande exigée sans la moindre modulation. De ce
point de vue, on comprend mieux l’importance accordée à la réalisation de chaque niveau λ et
cela quel que soit le nombre n de cellules du convertisseur. Nous avions montré qu’une
commande directe était possible tout en assurant la maîtrise de l’équilibre interne (cf chapitre
2).
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
90 / 130
Partie 4
Observation des tensions aux bornes des
condensateurs internes
« Entre le faible et le fort, c’est la liberté qui
opprime et c’est la loi qui affranchit. »
Henri Lacordaire
4.1.
Présentation des enjeux industriels
L’organisation industrielle est de plus en plus basée sur les « flux tendus ». Aussi, la
continuité de la fabrication est-elle un critère essentiel. Dans ce cadre, les différents organes
qui la composent doivent pouvoir offrir la meilleure disponibilité opérationnelle pendant leur
durée de vie. Or, nous avons vu que le bon fonctionnement des convertisseurs multicellulaires
était assuré par une commande maintenant, entre autre, l’équilibre optimal des tensions des
condensateurs flottants. (Si l’équilibrage naturel est assuré en M.L.I., il est préférable de le
rendre indépendant de la charge, ainsi que d’amortir et d’accélérer sa dynamique propre.)
Cette commande est basée sur la connaissance parfaite de l’état interne [vC] du
convertisseur ainsi que de son paramètre – la capacité C des condensateurs Ck – qui est
généralement bien connu (à ± 10 %) car choisi.
Cela nécessite donc un nombre (n-1) de capteurs augmentant proportionnellement au
nombre de cellules imbriquées (n). Les possibilités de défaillance au sein du convertisseur
augmentent donc de la même manière. Concernant celles liées aux capteurs, les conséquences
sont très lourdes car une mauvaise connaissance de l’état interne [vC] entraîne une mauvaise
commande [u] et engendre donc un risque de destruction d’une cellule.
Nous devons également ajouter que ces (n-1) mesures s’opèrent dans un
environnement de découpage donc en milieu fortement bruité et qu’elles nécessitent une
isolation en amont du contrôle – commande (les condensateurs internes C1 … Cn-1 sont à
potentiels flottants). Concrètement, on peut donc craindre un coût et un encombrement élevés.
Toutes ces raisons incitent à rechercher l’élaboration d’un “capteur logiciel” de l’état
interne. Il s’agit, à partir des seules mesures préexistantes pour contrôler la charge et son
alimentation électrique – c’est-à-dire à partir de iS(t) et de VE(t) – de reconstruire les valeurs
des (n-1) tensions vCk(t). La dynamique de ce capteur devra bien-entendu être compatible avec
la dynamique spécifiée par la commande. En outre, dans le but d’autoriser un diagnostic
rapide des défaillances potentielles, il serait bon que la dynamique offerte soit la plus élevée
possible. En dernier lieu, le rôle de la régulation interne étant d’assurer un fonctionnement
sain du convertisseur quelle que soit la charge, il serait important que la reconstruction de
[vC] = [vC1 … vCn-1]T soit robuste aux variations de charge. (Rappelons que c’était le défaut
principal du filtre de Kalman [Bensaid 3].)
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
91 / 130
Alimentation C. C.
VE
iS
CE
iSréf
(vCk)réf
n-1
vCk
VE
i E(t)
Multicellulaire
uk
Commande
i alim(t)
(n) cellules
(n-1) condensateurs
n
n-1
vS
n-1
Capteur logiciel
vCk
Charge iS
RL
VE
iS
figure 4. 1 : capteur logiciel destiné aux convertisseurs multicellulaires
4.2.
Observabilité
4.2.1 Contexte général
Pour des raisons de réalisation (immunité au bruit), nous allons regarder si la double
connaissance de la commande [u] ainsi que des mesures (iS et VE) autorise la reconstruction de
l’état x = [vC1 ; vC2 … ; vC(n-1) ; iS]T du système (convertisseur + charge).
Le système à observer est décrit par les (n-1) équations internes :
dvCk
u −u
= k+1 k iS
dt
C
et l’équation externe :
n −1
Ri S + L di S = u nVE + ∑[ uk −u k +1] vCk
dt
k =1
Force est de constater que les caractéristiques des filtres (capacité des condensateurs internes
et inductance de la bobine de lissage en série avec la charge) sont connues car choisies alors
que la valeur de la résistance de charge est par définition inconnue et variable dans le temps.
Cette double considération nous conduit à envisager un reconstructeur d’état étendu ; la valeur
R de la résistance de charge est prise comme une (n+1)ième composante de l’état. En supposant
que cette valeur varie lentement, nous adoptons l’équation de description :
dR = 0
dt
Le nouveau système (“étendu”) à observer est alors décrit par l’équation d’état :
dxe k = u k+1−u k x e
, k = 1 à (n-1)
n
dt
C
n −1
dxe n = − u k +1 −uk x e − x en +1 x e + u n V
k
n
∑
dt
L
L
L E
k =1
dxe n +1 = 0
dt
où, l’état xe est :
xe = [vC1 vC2 … vC(n-1) iS R]T
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
92 / 130
et les deux mesures sont :
y = xn
et
z = VE
La variable VE correspond à un filtrage d’alimentation. Le condensateur CE a en effet une
triple fonction : il filtre les harmoniques du courant iE(t) fourni au convertisseur (harmoniques
multiples de la fréquence de découpage), il filtre également les harmoniques du courant fourni
par la source (généralement basses fréquences par rapport à FD) et, en dernier lieu, il joue le
rôle de réservoir d’énergie en cas de micro-coupure du réseau d’alimentation. On conçoit donc
que par construction, la variable VE évolue très lentement vis-à-vis du découpage du
convertisseur.
Dans un premier temps, nous cherchons à savoir jusqu’à quel ordre la dérivation de la mesure
nous sera utile. Dans un second temps, nous analyserons si l’utilisation de dérivées d’ordre
élevé n’entraîne pas une difficulté de réalisation liée à une grande sensibilité aux bruits de
mesure. Ici, la commande u = [u1 … un]T du système à observer est continue par morceaux ;
aussi, sur un intervalle, avons nous :
y = xn
n −1
dy
u −u
= −∑ k +1 k x ek − x e n +1 y + u n z
dt
L
L
L
k =1
n −1 [ u k +1 −u k ]
d2 y
dy
= −∑
y − x e n +1
2
dt
LC
L dt
k =1
et par conséquent, les dérivées suivantes :
2
p −1
n −1 [ u k + 1 − u k ]
dp y
d p− 2y
x e n +1 d y
=
−
−
∑
LC
L dt p −1
dt p
k =1
dt p- 2
2
,p≥3
On voit donc que seule la connaissance de z et celle de y associée à ses deux premières
dy d2 y
,
dérivées (
) est réellement pertinente. Il en découle le double constat suivant.
dt dt 2
d2y
dy
et
ainsi que par la combinaison u
dt 2
dt
appliquée par le contrôle – commande, on va pouvoir remonter à la valeur de la charge (
dy
x e n +1 = R ). En effet, dt = 0 ne persiste, théoriquement, que pour (n+1) points singuliers pour
lesquels les commandes successives engendrent toutes le même niveau λ VE ; il est de plus
n
possible de modifier transitoirement la séquence de commande pour créer une ondulation de
courant suffisante.
La seconde équation est le seul moyen pour remonter aux (n-1) variables ( x e k = vCk ). A
l’exception notable du convertisseur à 2 cellules (et donc un seul condensateur), il est donc
illusoire de remonter instantanément à la connaissance des tensions internes. Pour obtenir
celle-ci, il faut attendre le déroulement d’un cycle de plus de (n-1) combinaisons successives
offrant (n-1) commandes [u]1 … [u]p … [u](n-1) qui permettent l’inversion du système linéaire
de (n-1) équations à (n-1) inconnues (xe k) :
n −1
[ u k+1( p) −u k( p ) ] x e k = ( u n( p)z( p ) ) −  L dy
(
p )  − x en +1( p )y( p ) 1 ≤ p ≤ (n-1)
∑
k =1
 dt 
En conclusion, il apparaît en premier lieu que l’observation de l’état du convertisseur est
intimement liée à sa commande (c’est-à-dire à la succession de combinaisons adoptée par
l’algorithme de contrôle). On peut même envisager une inter-action entre observation et
commande afin de conserver un contrôle avec les deux seuls capteurs.
Par la troisième équation, la connaissance de y,
(
)
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
93 / 130
En second lieu, la dynamique d’observation τobs ne pourra pas être inférieure à une durée de
l’ordre de la période de découpage afin d’obtenir la richesse d’observation nécessaire.
En dernier lieu, la réalisation d’un observateur basée sur le modèle instantané, va se heurter au
fait que des combinaisons peuvent être appliquées pendant des temps très courts.
4.2.2. Cas particulier du convertisseur à 2 cellules imbriquées (n = 2)
Dans le cas particulier de deux cellules, le convertisseur possède un unique condensateur ; ce
qui signifie qu’on souhaite retrouver deux variables (x1 = vC et x3 = R). Les deux équations
précédentes s’écrivent alors :
dy
soit
( u 2 −u1 )x e1 = −L dy
- x e3 y + u 2z
= − u 2 −u1 x e1 − xe 3 y + u 2 z
dt
dt
L
L
L
2
d2 y
( u 2 −u1 ) 2 y - x e3 dy
d 2 y ( u 2 − u1 )
dy
=
−
soit
x
=
L
y
e
dt 2
LC
L dt
dt 3
dt 2
C
2
dy d y
,
) permet de remonter à la
dt 2
dt
connaissance de la charge (xe3 = R). L’obtention de la tension interne (xe1 = vC) n’est possible dy
à partir de (y,
, xe3) – que dans la mesure où la commande u = [u1 ; u2]T le permet. La
dt
première équation n’est en effet inversible que dans la mesure où u1 – u2 ≠ 0 (c’est-à-dire est
égal à ± 1). Ceci n’est pas un problème car la tension xe1 = vC n’évolue que lorsqu’elle peut
être observée (figure 4.2.).
Comme précédemment, la connaissance de (y,
KA2
z = VE
K A1
δiS ≠ f(v C)
vC
KB2
KA2
y = iS
K B1
z = VE
[u1 ; u2] = [0 ; 0]
K A1
δiS ≠ f(v C)
vC
KB2
K B1
y = iS
[u1 ; u2] = [1 ; 1]
Figure 4.2 (a)
KA2
z = VE
K A1
δi S = f(vC)
vC
KB2
KA2
y = iS
K B1
z = VE
[u1 ; u2] = [1 ; 0]
K A1
δi S = f(vC)
vC
KB2
K B1
y = iS
[u1 ; u2] = [0 ; 1]
Figure 4.2 (b)
figure 4. 2 :
(a)
(b)
2
les 4 (2 ) configurations du convertisseur à 2 cellules
u2 – u1 = 0
u2 – u1 = ± 1
vC = Cte
vC évolue
et vC n’est pas observable
et vC est observable
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
94 / 130
Remarque :
A l’instar de tous les convertisseurs alimentant une charge inductive du premier ordre, nous
pouvons remarquer que nous obtenons par morceaux, des systèmes du premier ordre (
u 2 − u1 = 0 ) ou des systèmes du second ordre ( u 2 − u1 ≠ 0 ). On redécouvre ainsi que seuls y
(t) et sa première dérivée ( u 2 − u1 = 0 ) ou bien y(t) et ses deux premières dérivées ( u 2 − u1 ≠ 0
) sont utiles.
4.3.
Algorithme d’observation basé sur le modèle instantané
Comme nous l’avons déjà mentionné, l’information est non seulement portée par la mesure du
courant de charge iS mais aussi par sa dérivée diS . Aussi, adoptons nous la structure d’un
dt
observateur de dimension (n+2) et à gains non linéaires décrit par le système d’équations
suivant :
~
dξe 1
u −u
= 2 1 ξen
+ K1 sign2 ( ξn +1 - ξn)
dt
C
~
dξen −1 = u n −u n −1 ξ
+ Kn-1 sign2 ( ξn +1 - ξn)
en
dt
C
n
−
1
dξen = − u k +1 −u k ξ − ξen +1 ξ + u n V
∑
en
+ Kn sign (y - ξen)
ek
dt
L
L
L E
k =1
2
dξ'en = −  n −1 ( uk +1−u k )  ξ − ξ'en ξ
dy
∑
en
+ K’n sign (
- ξ'en)
dt
L en +1
 k =1 LC

dt


~
dξen +1 = 0
+ Kn+1 sign1( ξen +1 - ξ'en+1)
dt
où, l’état ξe est l’état de l’observateur ;
y est la mesure de xen = iS et z est la mesure de VE ;
la fonction sign1 est nulle tant que ξ'en n’a pas convergé et est égale à la fonction signe
di
pour (ξ'en = S ) ;
dt
~
dy
dy
ξen +1 = ξen+1 – K’nL
sign1,moy(
- ξ'en+1) ;
dt
dt
Cette structure est formée de deux observateurs de type modes glissants [barbot 2 & 3],
dy
alimentés l’un par l’information
et l’autre par l’information y(t).
dt
Pour le premier observateur – variable ξ’n - , il s’agit d’observer la variable xn+1 = R grâce à
l’information contenue dans la mesure y(t) et sa dérivée.
dy
En effet la dynamique de l’erreur d’observation ( e'n =
− ξ'n ) est régie par l’équation :
dt
dy
- K’n sign (e'n)
de'n = 0 − dt e
dt
L n +1
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
95 / 130
 dy 
La tension d’alimentation VE et le courant de charge iS étant bornés, les évolutions de  dt  le
 
sont aussi et, par conséquent, en supposant une charge minimale RMAX, on règle K’n de telle
dy
manière à assurer une convergence en temps fini de ξ’n vers
.
dt


I MAX R
K'n =  VE + R MAX
Avec
MAX 
2
 + ε'n (où ε’n > 0)
L


on assure :
e'n de'n ≤ − e'n ε'n
dt
e'n ( 0)
.
ε'2
Une fois la variable ξ’n maintenue sur la surface de glissement ε’n = 0, on a également :
de'n = 0 De cette expression, on tire pour t > t
.
conv n’ :
dt
Ce qui garantit une convergence de ξ’n en temps fini : t conv n' ≤
dy
e = K'n L sign moy(e'n )
dt n +1
~
dy
dy
ξn +1 = ξn+1 + K’nL
sign3,moy(
- ξ'n+1) = ξn+1 +
dt
dt
2
 dy 
 dt  en+1
 
Et, par conséquent, la dynamique de l’erreur sur la dernière composante ξn+1 = R̂ est décrite
par :
2
 dy 
den+1 = 0
- Kn+1 sign3(   en+1)
dt
 dt 
Si le courant y(t) ne demeure pas constant, le temps de convergence est ajusté par le choix du
paramètre Kn+1.
Quant au second observateur– variables ξ1 … ξn-1 et ξn - , il s’agit d’observer plus de (n-1) fois
la variable
=
∑( u
n −1
k =1
k +1
−u k ) v Ck
grâce aux informations contenues dans la mesure y(t) et dans le premier observateur (ξ’n).
En effet la dynamique de l’erreur d’observation ( en = y − ξn ) est régie par l’équation :
n −1
den = − u k +1 −uk e − en +1 y + 0
- Kn sign (y - ξn)
k
∑
dt
L
L
k =1
En adoptant
Kn = n
VE
R I
+ MAX MAX + εn
L
L
on a :
en den ≤ − en εn
dt
soit convergence de ξn = îS vers iS en temps fini ; le temps de convergence est arbitrairement
choisi en fonction de εn.
Une fois sur cette surface de glissement (en = 0), on a :
n −1
den = − u k +1 −uk e − en +1 y − Kn sign moy( e n ) = 0
k
∑
dt
L
L
k =1
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
96 / 130
Sous réserve que le premier observateur ait convergé (en+1 = 0), on peut écrire pour les
commandes successives [u] :
n −1
δ = δ( [ u ] ) = ∑ u k +1 −uk ek = − Kn sign moy( e n )
L
k =1
Avec une commande suffisamment riche, on peut résoudre un système de (n-1) équations à
(n-1) inconnues et ainsi réactualiser les (n-1) composantes ξ1 … ξn-1.
4.4.
Illustration sur un convertisseur possédant 2 cellules
4.4.1. Structure et principe de convergence de l’observateur
Dans ce cas de figure remarquable, nous pouvons profiter pleinement du fait que, soit la
tension interne vC n’évolue pas, soit elle évolue et est alors parfaitement observable. On se
place ici bien-entendu dans le cas où le convertisseur ne présente pas de défaillance comme un
court-circuit de cellule. Nous verrons au chapitre suivant (chapitre 5) comment s’adapter pour
rester pertinent dans ce cas de figure.
Ajoutons que, sur un cycle (cf chapitre 2), le contrôle choisit soit la succession
{[1 0] ↔ [0 0] ↔ [0 1]} soit la succession {[1 0] ↔ [1 1] ↔ [1 0]} ce qui engendre des
phases pour lesquelles la tension vC n’est pas directement observable mais demeure constante
([0 0] ou bien [1 1]) et des phases pour lesquelles vC évolue tout en étant observable ([1 0] ou
bien [1 0]). Nous allons donc profiter du fait qu’en permanence, la commande ouvre des
« fenêtres d’observation » alternativement sur x1 = vC et sur x3 = R.
Néanmoins, comme nous l’avons déjà mentionné, les fenêtres d’observation peuvent être très
étroites. Aussi, adoptons nous la structure d’un observateur à gains non linéaires décrit par le
système d’équations suivant :
~
dξe1 = u 2 −u1 ξ
+ K1 sign2( ξ e1 - ξe1)
e2
dt
C
dξe 2 = − u 2 −u1 ξ − ξe 3 ξ + u2 z
e1
e
dt
L
L 2
L
+ K2 sign (y - ξe2)
~
dξe 3 = 0
+ K3 sign2( ξ e3 - ξe3)
dt
où, l’état ξe est l’estimée de l’état “étendu” réel xe = [vC iS R]T ;
y est la mesure de xe2 = iS et z est la mesure de VE ;
la fonction sign2 est nulle tant que ξe2 n’a pas convergé et est égale à la fonction signe
pour (ξe2 = xe2) ;
K 2L
~
sign 2 , moy( y−ξ2 ) ;
ξ e1 = ξe1 u 2 −u1
~
ξ e3 = ξ e3 – K2Ly[1-|u2-u1|] sign2,moy(y- ξe2) ;
On reconnaît la structure classique d’un observateur composée de deux parties. La première
est la prédiction par l’estimation - à partir d’un modèle supposé parfait - de l’évolution de
l’état. La seconde est la correction de cette prédiction - forcément fausse en raison des
incertitudes paramétriques et de l’approximation de modélisation - par la prise en compte de
l’information apportée par les mesures (ici y et z) : on recale la prédiction par la comparaison
de la mesure (y) et de son estimée (ξe2). Contrairement aux algorithmes de Luenberger (gain
constant) ou de Kalman (gain calculé à chaque échantillon), cette correction ne dépend pas
linéairement de l’erreur (e2). Ce choix – fonction non linéaire - va permettre de garantir une
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Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
97 / 130
convergence en temps fini de l’estimée ξe ; le temps de convergence est réglé par le vecteur
K = [K1 K2 K3].
Le principe de la structure proposée consiste à observer la variable σ = [u2-u1]xe1 + xe3y grâce
à un observateur en temps fini. Pour en déduire la connaissance précise de la tension xe1 et de
la charge xe3, nous profitons des fenêtres d’observabilité régulièrement fournies par la
commande [u]. Lorsque [u2 – u1 = 0], la connaissance de σ fournit exclusivement celle de x3
(et en fonctionnement sain x1 n’évolue pas). Lorsque [u2 – u1 ≠ 0], la connaissance de σ
fournit celle de xe3 dans l’hypothèse ou x3 varie lentement vis-à-vis de la période de
découpage.
En effet, la commande u, le courant y ainsi que la tension d’entrée z étant à tout instant
connus, la dynamique de l’erreur d’observation ee = xe – ξe est donnée par :
~
dee1 = 0
- K1 sign2( ξ 1 - ξ1)
dt
dee2 = − u 2 −u1 ee − y ee + 0
- K2 sign (y - ξ2)
1
dt
L
L 3
~
dee3 = 0
- K3 sign2( ξ 3 - ξ3)
dt
Pour démontrer la convergence de notre observateur, nous procédons de manière itérative.
Lors de la première étape, nous allons prouver la convergence en temps fini tconv2 de la
composante ξ2 vers la mesure y.
Rappelons que, par construction, 0 ≤ vC ≤ VE et - IMAX ≤ iS ≤ + IMAX et supposons que la charge
ait une consommation minimale : 0 ≤ R ≤ + RM. Dans ces conditions, nous choisissons un
gain K2 suffisamment grand, c’est-à-dire :
V
R I
K 2 = E + MAX MAX + ε2 (ε2 > 0)
L
L
Par la deuxième équation, on constate que de2 est de signe opposé à e2 avec :
dt
de 2
≥ e2
dt
e 2 de2 ≤ − e2 ε2
dt
Ceci prouve que e2 tend vers zéro en temps fini tconv2 avec :
e ( 0)
t conv2 ≤ 2
ε2
(Rappelons que le premier temps de convergence est donc réglé par K2. Et notons qu’au cours
de cette première étape (t ≤ tconv2), les équations 1 et 3 de l’observateur fonctionnent en
“estimateur” c’est-à-dire sans recalage car, pour l’heure, aucune information pertinente ne
peut être fournie par sign(e2).
Soit, encore :
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+ e2 MAX
e2(0)
98 / 130
e2(t)
- ε2
Convergence
garantie
t
tconv2
+ ε2
- e2 MAX
figure 4. 3 :
e2MAX
ε2
Réticence
⇒ signmoy(e2)
(“Chattering”)
t
Convergence en temps fini de la seconde composante du filtre
Ceci prouve également, que la fonction de contrainte ee2 = y – ξe2 = 0 est attractive. Par
conséquent, une fois la convergence obtenue (ee2 = 0), la fonction signe(ee2) va commuter à
une fréquence théoriquement infinie entre +1 et –1 ; c’est le phénomène de “réticence”
(“chattering” en anglais) (cf figure 4. 3). Le comportement équivalent de cette fonction signe
est une fonction (“signmoy(ee2)”) liée aux imperfections de l’estimateur. En effet, étant donné
que les autres composantes du filtre n’ont pas encore convergées (ξe1 ≠ xe1 et ξe3 ≠ xe3) et que
la dynamique de la deuxième (ξe2(t)) en dépend par :
dξe 2
u −u
ξe
u
+ K2 sign (y - ξe2) ,
= − 2 1 ξe1 − 3 ξe 2 + 2 z
dt
L
L
L
la fonction sign(e2) contient donc une information directement corrélée à e1 et e3 .
Sur la surface de glissement (e2 = 0), on a en particulier :
dee2 = 0
dt
ce qui conduit à :
( u −u ) e + ( y ) ee3
sign moy( ee2 ) = 2 1 e1
K2 L
Ce terme paraît, a priori, peu exploitable.
Pour en tirer pleinement parti, nous profitons de sa dépendance à la commande [u].
~
Si la configuration de la commande u est telle que (u2 – u1 = 0) persiste, alors ξ 3 = ξ 3 - y2e3 .
En effet, on a alors sur la surface de glissement (e2 = 0),
y
sign moy( ee2 ) =
e
K2 L e3
Ce qui signifie que la dynamique de la troisième composante de l’erreur d’observation (e3)
est :
dee3
= 0 - K3 sign( y2 ee3 )
dt
A partir du moment où un courant traverse la charge (y ≠0), le temps de convergence est réglé
par le choix de K3. En effet, de manière analogue à la première convergence, on a :
e ( 0)
e
t conv3 = e3
≤ e3 MAX
K3
K3
De même, si la configuration de la commande [u] est telle que (u2 – u1 ≠ 0) persiste, alors la
relation obtenue sur la surface de glissement devient :
( u −u ) e + ( y ) ee3
sign moy( ee2 ) = 2 1 e1
K2 L
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Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
99 / 130
~
Sous réserve que la composante ξe3 ait déjà convergée vers x3 (ee3 = 0), alors o obtient ξ e1
= xe1 par la relation
sign moy( ee2 ) = u 2 − u1 ee1
K2 L
La dynamique de la première composante de l’erreur d’observation est alors :
dee1 = - K sign( e )
1
e1
dt
Le temps de convergence est réglé par le choix de K1 :
e ( 0)
e
t conv1 = e1
≤ e1MAX
K1
K1
4.4.2. Test de l’observateur
Dans un premier temps (figure 4. 4), nous testons les qualités de convergence de notre
observateur à modes glissants sans utiliser les données qu’il fournit pour assurer le
contrôle – commande. Celui-ci est basé sur une commande en M.L.I. à laquelle on impose
tout à la fois le rapport cyclique (α1 = ¾) de la première cellule ainsi que l’équilibre de la
tension du condensateur flottant (vCréf = VE / 2).
Le point de fonctionnement initial est :
v̂ C0 = 0 V
 vC0 = 750 V
ξe 0 =  îS0 = 0 A 
xe 0 =  iS0 = 37,5 A 
 R̂ = 0 Ω 
 R 0 = 30 Ω 


 0

VE
iS
vC
v S r é f = C te
VE
FD
C om m ande
(v C ) ré f
vC
M u ltic e llu laire
uk
(2 ) c e llu le s
(1 ) c o n d e n sa te u r
2
vS
C h arg e
RL
iS
ξe1 = v C
( ξ e 2 = iS )
ξe3 = R
C a p te u r lo g icie l
VE
iS
figure 4. 4 : test de l’observateur à modes glissants destiné au convertisseur à 2 cellules
Pour la première simulation (figure 4. 5.a), la charge, d’abord constante (R = 30 Ω)
t < t1 = 150 µs, évolue ensuite sinusoïdalement avec une amplitude ∆R = 3 Ω et une fréquence
FR ≈ 2,9 kHz sur l’intervalle de temps compris entre t1 = 150 µs à t2 = 500 µs. L’estimation ξe
(traits fins) des trois composantes de l’état étendu xe (traits gras) est parfaitement assurée.
Il est important de noter que les conditions initiales (ξe)0 sont nulles. Sur le premier intervalle
(t < t1 ), on peut relever que la convergence de l’observateur se produit d’abord sur ξe2 , la
composante mesurée (y) puis intervient alternativement sur ξe1 et ξe3 . Ce mode de
convergence est bien conforme à l’analyse que nous venons d’en faire (cf § 4.4.1.) ; il illustre
bien le fait que nous tirons parti des fenêtres d’observation ouvertes par la commande.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
60 0
H a c h eu r 2 c e llules avec [vs = (3/4)V E , F D = 2 0 k H z ] e t R c h : 30 < -> 60
1 500
vc (V olt)
vc (V olt)
H ac he ur 2 c ellule s a ve c [vs = (3/4)V E , F D = 2 0 k H z ] et R c h é vo lu e len tem e nt
80 0
40 0
20 0
1 000
5 00
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x 10
0
-4
20
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
40
is (A )
is (A )
40
0
5
x 10
-4
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x 10
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
-4
20
10
0
5
x 10
60
R (O hm )
30
R (O hm )
100 / 130
-4
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
tem p s (s ec on de)
(a)
3.5
4
4.5
5
x 10
-4
0
0 .5
1
1. 5
2
2.5
3
3.5
4
4 .5
tem p s (s e c o nde)
5
x 10
-4
(b)
figure 4. 5 : observation de l’état étendu avec variation de charge
(a) : la charge varie lentement
(b) : la charge varie brutalement
Pour la seconde simulation (figure 4. 5.b), la charge est modifiée brutalement à t1 = 150 ms
(augmentée de R1 = 30 Ω à R3 = 60 Ω) puis à t2 = 310 µs (diminuée de R3 = 60 Ω à
R1 = 30 Ω), ce qui enfreint l’hypothèse initiale d’évolution lente de la charge.
Lors du premier transitoire (0 µs ≤ t ≤ 150 µs), dès que l’estimée ξe2 de xe2 a convergé vers la
mesure y = iS, on constate une convergence alternativement de l’estimée ξe1 de xe1 = vC et de
l’estimée ξe3 de xe3 = R selon la configuration de la commande.
Lors du deuxième transitoire (150 µs ≤ t ≤ 310 µs), le changement instantané de xe3 perturbe
la variable estimée ξe1. En effet, à l’instant de la variation de xe3, l’information contenue dans
la deuxième entrée de l’observateur – plus précisément dans signéq(ee2) – est attribuée de façon
erronée à ξe1 car la commande u est telle que (u2 – u1 ≠ 0).
Lors du troisième transitoire, la variable ξe1 n’est cette fois-ci pas perturbée car l’évolution de
xe3 est correctement perçue par l’observateur : elle survient lors d’une commande u telle que
(u2 – u1 = 0), ce qui autorise une bonne réactualisation de la variable ξ e3 vers xe3. Plus tard,
lorsqu’une commande u est telle que (u2 – u1 ≠ 0) apparaît, ee3 étant nul et sign(e2) dépendant
exclusivement de e1, l’algorithme est efficace pour l’évolution de ξe1 vers xe1.
Comme nous allons le voir, le phénomène illustré (à t = 150 µs) peut se révéler
particulièrement gênant pour le cas où l’observateur est associé à une commande à grande
bande passante. De la même manière, associé à un détecteur de cellule défaillante, on
produirait de fausses déclarations de défaillance. Dans ce qui suit, nous allons voir une
nouvelle fois qu’observation et commande sont – dans le cas du convertisseur multicellulaire
– intimement liées.
4.4.3. Association commande directe / observateur à modes glissants
Dans un second temps (figure 4. 6), nous testons les qualités de convergence de notre
observateur à modes glissants en association avec la commande directe déjà décrite au
chapitre 2. Nous rappelons que cette commande vise à maintenir vC à la tension optimale VE ,
2
tout en assurant le suivi de vSréf et en obtenant des cycles de durées connues (TD) en régime
quasi-permanent.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
101 / 130
VE
vSréf
VE
Commande
(2) cellules
(1) condensateur
2
(vC) réf
ξ1 = vC
ξ3 = R
vC
Multicellulaire
uk
vS
vS
Charge
RL
iS
VE
Capteur logiciel
iS
figure 4. 6 : test de l’association observateur à modes glissants / commande directe
L’association de la commande directe et de l’observateur à modes glissants révèle bien force
et faiblesse de notre stratégie. En effet, d’une manière générale, cet observateur offre des
temps de convergence faibles, mais, en régime permanent, on constate des oscillations autour
de la valeur à suivre. Or, la commande ayant elle aussi des temps de réaction rapides, elle se
révèle particulièrement sensible aux bruits jusqu’à des fréquences élevées. C’est bien ce qu’on
constate lors d’une première association, sans précaution de mise en œuvre. La simulation
avec pour conditions initiales :
 vC0 = 750 V
ξe 0 = x e0 =  iS0 = 37,5 A 
 R 0 = 30 Ω 


en donne un exemple à la figure 4. 7. On constate que, contrairement à ce qui se passait avec
des capteurs pour vC et vS, aucun régime permanent régulier ne s’installe. Cela est dû au bruit
(« hautes fréquences ») induit par l’observateur et plus précisément par les fonctions signe
employées par celui-ci.
Ha c h eur 2 c ellules en bf
ave c L = 5 m H et R c h = 30
80 0
5
78 0
v
e s
vc
76 0
74 0
0
72 0
70 0
-5
0
2
4
6
0
x 10
2
4
-4
6
x 10
-4
150 0
4
vs
n° de c de
100 0
50 0
3
2
1
0
0
2
4
6
0
x 10
-4
2
4
6
x 10
-4
figure 4. 7 : association commande directe / observateur à modes glissants (vSréf = 900 V)
Pour conserver la rapidité de convergence, tout en supprimant le phénomène de “chattering”
de l’observateur, nous substituons à la fonction signe, la fonction arctangente. Dans un
premier temps, nous dissocions à nouveau commande et observation en réintégrant les deux
capteurs de tension (pour vC et vS). En adoptant une condition initiale nulle pour ξe0, nous
constatons bien que nous conservons la rapidité de convergence recherchée, mais, en régime
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
102 / 130
permanent, le bruit a totalement disparu de l’observateur utilisant les fonction sigmoïdes. La
figure 4. 8 et le figure 4. 9 illustrent ce résultat.
Hacheur 2 cellules en bf
avec L = 5 mH et Rch = 30
Hacheur 2 cellules en bf avec L = 5 mH et Rch = 30
800
800
30
780
vc estimé
600
vc
20
is
400
10
200
0
0
2
4
0
6
760
740
720
0
2
4
700
5.5
6
-4
5.6
5.7
5.8
5.9
6
6.1
6.2
6.3
6.4
-4
x 10
6.5
-4
x 10
x 10
31
4
30
Rch
10
3
R estimé
n° de cde
30.5
20
2
30
29.5
1
0
0
2
4
6
0
2
4
29
5.5
6
-4
5.6
5.7
5.8
5.9
-4
x 10
x 10
(a)
6
temps
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
-4
x 10
(b)
figure 4. 8 : commande directe et observateur à modes glissants indépendants : fction signe
(a) : transitoire et régime permanent
(b) : régime permanent
H a c h eu r 2 c e llules en b f
a ve c L = 5 m H e t Rc h = 3 0
8 00
7 80
is e s tim é
40 0
20
20 0
10
0
0
0
2
4
6
x 10
vc es tim é
30
60 0
vc es tim é
H ac heu r 2 c ellu les en bf avec L = 5 m H et R c h = 30
40
80 0
7 60
7 40
7 20
0
2
4
-4
7 00
5.5
6
x 10
5 .6
5 .7
5. 8
5.9
6
6.1
6.2
6 .3
6 .4
-4
6. 5
x 10
40
-4
31
4
30.5
20
10
3
R es tim é
n° de c de
R es tim é
30
2
30
29.5
1
0
0
2
4
6
x 10
0
-4
2
4
x 10
(a)
29
5.5
6
-4
5 .6
5 .7
5. 8
5.9
6
t em ps
6.1
6.2
6 .3
6 .4
6. 5
x 10
-4
(b)
figure 4. 9 : commande directe et observateur à modes glissants indépendants : fction arctang.
(dans l’observateur précédent 10*arctangente se substitue en lieu et place de signe)
(a) : transitoire et régime permanent
(b) : régime permanent
L’utilisation de la fonction arctangente, au lieu d’une discontinuité trop brutale, permet de
réduire très fortement le phénomène de réticence. C’est ce qu’on constate en associant
l’observateur ainsi modifié à la commande directe développé au chapitre 2. Dans ce cas, nous
retrouvons les mêmes résultats de simulation que lorsque les informations fournies à la
commande provenaient directement des mesures vC, iS et R. Sur la figure 4.10, on constate que
même avec des conditions initiales très éloignées de la réalité, l’observateur converge vite par
étapes et qu’une fois verrouillé sur l’état réel du système la commande peut converger vers sa
consigne (vCréf = 750 V et vSréf = 900V ). La figure 4.11 illustre le bon comportement de
l’association commande / observation : le suivi des créneaux δvCréf et δvSréf est similaire à ce
qui avait été réalisé avec des capteurs de tension. Notons toutefois que nous sommes dans la
configuration « R lentement variable » et que donc rien ne s’oppose à la bonne marche de
l’observateur.
Il en va tout autrement avec R variant en échelon comme représenté figure 4. 12. Lors du
premier transitoire (échelon sur δvCréf), le suivi est parfait car R est fixe et que pour faire varier
vC(t), l’algorithme choisit des commandes rendant vC observable : en l’occurrence, la
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
103 / 130
commande alterne entre U3, pour augmenter vC, et U1 pour éviter que evs ne diverge trop
(c’est-à-dire maintenir vS globalement proche de vSréf).
En revanche, lors du second transitoire (R subit un échelon de 10 Ω), l’observateur ne peut
pas instantanément adapter sa troisième composante. Il en résulte que lorsque l’algorithme de
commande choisit une combinaison qui devrait autoriser la bonne observation de vc, l’erreur
(sur iS) qui devrait être imputé à R est faussement imputé à vC. Plus précisément, cela
engendre une brusque variation de l’estimée de la tension vC. Fort heureusement, l’algorithme
devant également maintenir evS proche de sa consigne (zéro) est amené à choisir les
commandes U1 ou U4 qui permettent à l’estimée de R de se rapprocher de la charge réelle.
Hac heur 2 c ellules en bf
avec L = 5 m H et Rc h = 30
1000
30
800
20
is
vc
600
400
10
200
0
0
0
2
4
6
0
x 10
4
6
x 10
-4
4
n° de c de
30
Rc h
2
-4
20
10
3
2
1
0
0
2
4
6
0
x 10
figure 4. 10 :
2
4
6
-4
x 10
-4
commande directe associée à l’observateur à modes glissants (fction arctang.)
transitoire et régime permanent en régulation (vCréf = 750 V et vSréf = 900V)
Hac heur 2 c ellules en bf
avec L = 5 m H et Rc h = 30
850
5
750
v
e s
vc
800
0
700
650
-5
0
2
4
6
8
x 10
0
4
6
8
x 10
1500
-4
4
vs
n° de c de
1000
500
3
2
1
0
0
2
4
6
8
x 10
figure 4. 11 :
2
-4
0
-4
2
4
6
8
x 10
-4
commande directe associée à l’observateur à modes glissants (fction arctang.)
asservissement avec vSréf puis vCréf variables en échelon mais R étant constant
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Observation des tensions aux bornes des condensateurs internes
Hac heur 2 c ellules en bf
104 / 130
avec L = 5 m H et Rc h = 30
25
20
is es tim é
vc es tim é
800
750
15
10
5
700
0
0
2
4
6
x 10
0
2
4
-4
6
x 10
-4
45
4
n° de c de
R es tim é
40
35
30
3
2
1
25
0
2
4
6
x 10
figure 4. 12 :
4.5.
0
-4
2
4
6
x 10
-4
commande directe associée à l’observateur à modes glissants (fction arctang.) :
régime transitoire avec vCréf variant brutalement puis R variant brutalement
Conclusion
Dans le présent chapitre, nous avons voulu explorer les possibilités offertes par le
modèle instantané. Il se trouve, qu’à moins d’utiliser les commandes précédentes pour trouver
également les tensions condensateur qui n’évoluent pas, ce modèle ne permet pas d’identifier
directement et à chaque instant les variables d’une association convertisseur + charge de plus
de trois cellules.
Néanmoins, un observateur dédié à un convertisseur à deux cellules alimentant une
charge R + L a été réalisé en utilisant ce modèle et grâce à des techniques de modes glissants.
Son comportement autonome a été validé par une analyse rigoureuse étayée par des
simulations. Cet observateur permet un excellent fonctionnement même lorsque la charge
varie. Ce dernier point est important à souligner car tel n’était pas le cas de l’observateur par
filtre de Kalman [Bensaïd 3]. On a donc ici créer une identification du paramètre variable de
la charge ce qui est à la fois utile au bon fonctionnement de l’observateur quelles que soient
les circonstances mais également fondamental pour la pertinence du contrôle qui utilise cette
information.
Dans un second temps, l’association de cet observateur avec la commande directe a
donné d’excellents résultats. Ceci tient au fait que la vitesse de convergence de l’observateur
est rapide (de l’ordre de la période de découpage désirée) : elle est donc adaptée à la
commande directe qui autorise les meilleurs dynamiques (cf son principe de fonctionnement
décrit à la partie 2). Insistons une nouvelle fois sur le fait que notre observateur identifie la
charge en ligne ce qui est nécessaire au bon fonctionnement de la commande directe : c’est la
seconde raison du succès de cette association. Dans le chapitre suivant, nous allons voir
comment parfaire le rapport commande – observation…
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
105 / 130
Partie 5
Détection / Isolation d’une cellule défaillante
« De deux choses lune
l’autre c’est le soleil
les pauvres les travailleurs ne voient pas ces choses
leur soleil
c’est la soif la poussière la sueur le goudron »
le Paysage changeur
Jacques Prévert dans « Paroles »
5.1.
Présentation des enjeux
5.1.1. Enjeu général
L’organisation humaine étant chaque jour plus spécialisée et inter-dépendante, l’arrêt d’un
outil (de production, de transport, de communication, …) s’avère de plus en plus pénalisant
pour l’ensemble de la société. Il est donc essentiel, d’une part de prévoir à temps le
remplacement des pièces usées (maintenance préventive), d’autre part et en cas de défaillance
non prévue de la localiser au plus vite pour permettre le fonctionnement en mode dégradé de
l’outil afin de laisser le temps à la logistique de prévoir l’action de maintenance et de
réorganiser ses appareils en vue d’assurer la meilleure continuité de service. Au delà du coût
de la pièce à changer, l’enjeu général est plus sûrement dans la rapidité du diagnostic et dans
la continuité du fonctionnement.
5.1.2. Enjeu de la sûreté de fonctionnement des convertisseurs multicellulaires
Nous avons vu que les convertisseurs de puissance étaient constitués d’éléments actifs à semiconducteurs (diodes, MOSFET, IGBT, GTO) et d’éléments de stockage d’énergie
(inductances et condensateurs). Bien que les études soient rares, il apparaît clairement que les
premiers (et particulièrement les interrupteurs commandés) sont les plus sujets à défaillance.
Cela peut venir de leur commande comme d’un défaut physique toujours lié à un problème
thermique. Ce dernier cas est provoqué par une surcharge (éventuellement liée à un
empiètement de commande) ou une surtension (provoquant une avalanche). Ces deux
phénomènes induisent une brusque élévation de la température interne de l’interrupteur de
puissance ; dès lors que celle-ci atteint la température de fusion du silicium (environ 300 °C),
l’interrupteur est en défaut physique de circuit fermé. Pour un IGBT, cela se produit lorsque
l’énergie dissipée par l’IGBT lors du défaut dépasse environ 4 Joule par cm2. La destruction
totale du composant (circuit ouvert) n’intervient que bien plus tard : elle nécessite de l’ordre
de 30 Joule par cm2 (pour un IGBT). Si le diagnostic en ligne est bien conduit, le défaut
physique en circuit ouvert est donc très rare (1).
1
si la maintenance prédictive est mal conduite, on ne peut pas forcément négliger la fin de vie des interrupteurs
qui conduit à une déconnexion progressive et inéluctable du semi-conducteur en silicium aux parties extérieures
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
106 / 130
Explorons maintenant le second cas, celui d’un défaut de commande qui conduit alors au
maintien d’un composant soit à l’état fermé soit à l’état ouvert. Le premier cas rejoint le
défaut physique déjà évoqué. Le second cas va induire un comportement défaillant du
convertisseur lié à un défaut de commande. Selon le signe du courant iS de la charge, le défaut
sera apparent ou non.
i Si S> > 0 0 ⇔⇔
d dé éf af au ut ta ap p pa ar er en nt tà à c ca au us es e
d de e DDB Bk 0k 0
DDé éf af au ut t v v K A k 0= = v v C k 0- -v v C k 0 - 1
K A k0
C k0
C k0 -1
a ap pp pa ar er en nt t
HHA Aka 0ka 0
d dé éf af au ut tt rtra an ns ps pa ar er en nt tà à c ca au us es e
d de e DDA Ak 0k 0
DDé éf af au ut t
tr
t r a an ns ps pa ar er en nt t
v vK KA Ak 0k 0= = 0 0 ( c( co ommmme ep pr ér vé vu u) )
HHA Aka 0ka 0
CCe el lllk 0k 0 i Si S> > 0 0
b b
DDA Ak 0k 0
v vC Ck 0k 0
i Si S< < 0 0 ⇔⇔
v vC kC 0k -01-1
D DB Bk 0k 0
b b
DDA Ak 0k 0
v vC Ck 0k 0
te
= = C Ct e
DDB Bk 0k 0
a ab
b
(a)
(a)
v vC Ck 0k -0 1- 1
te
= = C Ct e
HHB Bk 0k 0
H HB Bk 0k 0
a ab
b
figure 5. 1 :
iS > 0 ⇒
C Ce el lllk 0k 0 i Si S< < 0 0
(b)
défaut de commande pour lequel l’interrupteur HAk0 reste ouvert
défaut apparent
(b)
iS < 0 ⇒
défaut transparent
S’il est apparent, le courant moyen IS de la charge (et non ses harmoniques) sera responsable
de l’augmentation inexorable de la tension de la cellule incriminée (figure 5. 1). L’interrupteur
n’étant pas en défaut physique, il est donc tout à fait contrôlable par une commande
rapprochée autonome. Cela va permettre la fusion de son silicium par la dissipation rapide
d’énergie engendrée par l’activation automatique du dispositif écrêteur limitant la tension
Vcell k0 à une tension comprise entre ( VE ) et ( 2 VE ) (figure 5. 2). Ainsi, on passe rapidement
n
n
au défaut physique cette fois-ci de court-circuit. Celui-ci engendre une nouvelle dissipation de
puissance au sein du composant qui sera d’autant plus importante (et donc dangereuse pour
l’intégrité du composant) que le seuil d’écrêtage sera choisi élevé.
iC
vCde
figure 5. 2 :
écrêteur “actif” avec transil : la limitation de la tension est réalisée par dissipation au
sein du composant commandé (ici IGBT)
du boîtier. Ce phénomène de fatigue thermique dû à des dilatations non homogènes des différents constituants
d’un même composant de puissance conduisent à terme au défaut en circuit ouvert du composant. Le changement
de composant doit intervenir avant cet instant fatidique fortement corrélé aux cycles subis par le convertisseur
pendant plusieurs années.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
5.2.
107 / 130
Détection de défauts et génération de résidus à l’aide d’observateurs
5.2.1. Cadre de l’étude
Comme nous l’avons vu il est de la première importance sur un système industriel de pouvoir
détecter puis isoler une défaillance. Ce problème a donc déjà été étudié comme l’indique une
bibliographie non exhaustive [Brunet] [Frank 1] [Frank 2] [Starowiecki]. Nous nous
pencherons plus particulièrement sur les techniques fondées sur des observateurs générant des
résidus ensuite traités par une logique de décision. Le problème de la génération de résidus a
d’abord été traité dans son cas linéaire et a permis de générer un signal de défaillance
pertinent c’est-à-dire immunisé contre d’éventuelles perturbations [Massoumnia]. En
revanche, la généralisation de ces observateurs à des systèmes non linéaires n’est pas sans
risque de fausses alarmes car la linéarisation autour d’un point de fonctionnement peut
s’avérer inexacte dans le cas où précisément, la perturbation déplace fortement le régime
supposé.
Défaut : m
Perturbations : w
Processus
Mesures : y
Commande : u
Observateur
réalisé sur la
base d’un
système sans
défaut
figure 5. 3 :
Résidu : r
Estimées : yest
Indicateur
problématique du déclenchement sur une alerte pertinente
Pour des systèmes non linéaires (ou linéaires), on peut chercher à représenter le système dans
un repère permettant de subdiviser le système en deux sous-systèmes dont l’un est insensible
aux perturbations. Un système d’observateurs sera alors construit sur la base de ce sousensemble supposé sans défaillance : il permettra ainsi la génération d’un résidu entre une
combinaison des mesures et son estimée (figure 5. 3).
Nous nous placerons dans le cadre d’un processus non linéaire mais observable et affine en les
entrées inconnues (perturbation ωi et défaut m) :
s
dx = f ( x,u ) +
pi ( x ) ωi + l( x ) m
∑
dt
i =1
y = h(x)
Où :
x(t) ∈ Rn est l’état,
u(t) ∈ R est la commande,
y(t) ∈ Rp sont les mesures,
m est la défaillance (entrée inconnue),
ω i sont les s perturbations (entrées inconnues).
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
108 / 130
5.2.2. Découplage
Dans ce paragraphe nous cherchons à scinder le système global en deux sous-systèmes dont
l’un ne dépend plus des perturbations mais uniquement de la défaillance. On cherche donc un
difféomorphisme φ
(x1 , x2) = φ(x)
permettant la réécriture du système sous la forme découplée suivante :
dx1 = f ( x ,x ,u ) + s p ( x ,x ) ω + l ( x ,x ) m
1
1
2
1i
1
2
i
1
1
2
∑
dt
i =1
dx2 = f ( x ,u ) + 0 + l ( x ) m
2
2
2
2
dt
y1 = h1(x1 , x2)
y2 = h2(x2)
Les conditions d’existence d’un tel difféomorphisme sont les suivantes :
d = dim {∆ = span(p1, p2, …, pn, f)} < n
En effet, d étant la dimension de l’espace ∆ engendré par (pi) et (f), il existe alors d variables
x1 = [x1(1) … x1(d)]T et (n-d) variables x2 = [x2(d+1) … x2(n)]T ainsi que les 4 équations précédentes.
Par ailleurs, pour i ∈ {d+1 , n}, on a dx2(i) ∈ ∆⊥ . [Krener]
Dans le cadre de notre utilisation, on peut faire deux remarques. En premier lieu, il faut que
l ∉ ∆ pour que la défaillance (m) puisse agir sur x2. En second lieu et afin que la nouvelle
variable y2 soit uniquement fonction des mesures y, il faut qu’il existe une fonction α(y) = y2
telle que dα ∈ ∆⊥ .
Ce critère (d < n), assez restrictif, peut être grandement assoupli par l’utilisation des mesures
(y). Pour cela réécrivons l’équation
dx = f'( x,u ) + ρ( y ) + ∑s p ( x ) ω + l( x ) m
i
i
dt
i =1
et notons :
∆' = span(p1, p2, …, pn, f’)}
d’ = dim (∆')
L’idée consiste à synthétiser la fonction ρ(y) afin que : d’ < d.
d’ = dim {∆' = span(p1, p2, …, pn, f ’)} < n
et ainsi il existe un difféomorphisme permettant de mettre le système sous la forme :
dx1 = f ( x ,x ,u ) + ρ ( y ) + s p ( x ,x ) ω + l ( x ,x ) m
1
1
2
1
1i
1
2
i
1
1
2
∑
dt
i =1
dx2 = f ( x ,u ) + ρ ( y ) + 0 + l ( x ) m
2
2
2
2
2
dt
y1 = h1(x1 , x2)
y2 = α(y) = h2(x2)
L’intérêt de l’injection de sortie est donc assez déterminant. Cela peut être illustré par le petit
exemple linéaire suivant.
dx = Ax + Pω + Lm
dt
0 0 0 
1
0
A =  1 0 0 
P = 1
L =  1 
0 1 0 
1
0
y = Cx
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
(
109 / 130
)
C = 10 10 00
Sur cet exemple, on peut donc voir que ∆ est de dimension 3, n’autorisant pas un découplage
direct. En effet :
1 0 0 
∆ = { P , AP , A 2P} = 1 1 0 
1 1 1 
En revanche, si on utilise les mesures (en l’occurrence la première mesure ya = xa), le système
devient :
dx = A'x + Qy + Pω + Lm
dt
avec A’ = A - QC
 −1 0 
1 0 0 
A' =  1 0 0 
et Q déterminé par : Q =  0 0 
⇒
 0 0
0 1 0 
Avec ce choix de ρ(y) = Qy = QCx, on a d’ = dim(∆’)= 1. En effet :
1 1 1 
∆' = { P , A'P , A'2 P} = 1 1 1 
1 1 1 
Notons que ce choix est tout à fait judicieux car, d’une part L n’appartient pas à ∆’ ( L ∉ ∆' ),
et, d’autre part, pour la combinaison des mesures y2 = (ya - yb) = α(y) = h2(x) = xa - xb , on
⊥
vérifie bien la condition dh 2 ∈ ∆⊥ car [1 -1 0] [1 1 1] = 0 .
5.2.3. Génération de résidu
Nous reprenons le système
s
dx = f ( x,u ) +
pi ( x ) ωi + l( x ) m
∑
dt
i =1
y = h(x)
dans le cas où l’utilisation des mesures (injection de sortie) permet de le découpler selon les 2
sous-ensembles décrits au paragraphe précédent :
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
dx1
= f1 ( x1 ,x 2 ,u ) + ρ1( y ) +
dt
110 / 130
∑p ( x ,x ) ω
s
i =1
1i
1
2
i
+ l1( x1 ,x 2 ) m
dx2
= f 2 ( x 2,u ) + ρ2( y ) + 0 + l 2( x 2 ) m
dt
y1 = h1(x1 , x2)
y2 = α(y) = h2(x2)
et dans le cas particulier où le second sous-système est sous forme triangulaire. C’est-à-dire
que ce sous-système de dimension (n2) s’écrit :
dx21
= x 2 2 + g 21 x 21,u + ρ2( y ) + 0 + l 21( x 2 ) m
dt
dx22
= x 2 3 + g 22 x21 , x 21 ,u + ρ2 ( y ) + 0 + l2 2( x 2 ) m
dt
……………………………………………………………………
dx2n 2−1
= x 2n2 + g 2n 2 −1 x 2 -1,x 2 2,...,x 2n2 -1,u + ρ2 ( y ) + 0 + l 2 n2−1( x2 ) m
dt
( )
(
)
(
(
)
)
dx2n 2
= λ( x2 ) + g 2 n2 x 2-1, x22 ,...,x 2n2,u + ρ2 ( y) + 0 + l 2n 2( x 2 ) m
dt
y2 = α(y) = x2 1
Nous construisons alors, et seulement pour le second sous-ensemble, deux observateurs, l’un
à convergence en temps fini étape par étape et l’autre, de type Luenberger, alimenté par le
premier. Nous comparons la sortie y2 , constituée par une association des mesures y2 = α
(y) = h2(x2), à la fonction (y2)Luenberger issue de ce dernier observateur. Ce résidu va nous donner
un indicateur pertinent de défaut. (figure 5. 4).
Sous-système insensible à la perturbation w
mais influencé pa r la défaillance m
Mesures : y
Défaut : m
Perturbations : w
dx 2
= f 2 ( x 2 , u ) + 0 + l 2( x 2 )m
dt
mélange
y2 = α(y)
Commande : u
Observateur à modes glissants
Résidu : r
Etat estimé par obs. n°1 : (z 2 )
Observateur de Luenberger
figure 5. 4 :
Mélange estimé par obs. n°2 :
(y2Luenb )
mise en oeuvre du déclenchement sur une alerte pertinente par 2 observateurs
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
111 / 130
L’observateur étape par étape, de type modes glissants, est construit comme suit :
dz21
= z 22 + g21 ( y 2,u ) + ρ2( y ) + 0 + l 21 ( z 2 ) m + λ1sign 1 y 2−z 21
dt
 ~

~

dz2 2
= x 23 + g 22 y2,z 22 ,u  + ρ2 ( y ) + 0 + l2 2( z 2 ) m + λ2sign 2  z 2 2 −z 2 2 




dt




……………………………………………………………………

~

~

dx2n 2 −1
= x 2n2 + g 2 n2 −1 y 2,z 22,...,z 2n2 -1,u  + ρ2( y ) + 0 + l 2n2 −1( z 2 ) m + λn2 -1sign n2 -1 z 2n2 −1−z 2n 2−1 




dt





~


~

~
~

dx2n 2
= λ y 2,z 2 2,...,z 2 n2  + g2n2  y2 ,z2 2,...,z2 n2,u  + ρ2 ( y ) + 0 + l2 n2( z 2 ) mz + λn2sign n2 z 2n2−z 2 n 2 






dt






(
avec :
)
~
δi = zi −1 − zi −1
et :
sign i (δi) = 0 tant que δj {j<i} n’ont pas convergé vers zéro, ce qui constitue
un dispositif garantissant que l’état observé ne diverge pas en temps fini
(« anti-peaking »). En effet, nous voulons être sûr que nous respectons bien
l’information pertinente.
~
~

z i = z i + λ i-1sign moyen i  zi−1−z i −1 
ainsi que :



En l’absence de défaut, toutes les composantes de l’état estimé (z2) convergent en
temps fini vers les composantes de l’état réel (x2) grâce au mélange des mesures y2 = α(y) et
grâce à la fonction signe associée à son filtrage passe-bas. En effet, si m = 0, alors :
Pour la première étape, on a :
dε 21
= ε 2 2 + 0 + 0 + 0 + 0 − λ1sign1 ε21
dt
et une évolution des (n2 - 1) composantes z22 à z2n2 en estimateur restant bornées car d’une
part le système est BIBS (« Bounded Input Bounded Output »), et d’autre part les (n2 – 1)
fonctions signes sont inactives (nulles).
Les composantes x22 et z22 étant bornées, il suffit de choisir λ1 > |ε2|max pour obtenir une
convergence en temps fini (t1) de ε1 vers zéro. Pour 0 < t < t1, on a en effet deux cas :
dε 21
Si ε21 (t = 0) < 0
⇒
= ε 2 2 + λ1 ≥ υ1 > 0
dt
dε 21
Si ε21 (t = 0) > 0
⇒
= ε 2 2 − λ1 ≤ υ1 < 0
dt
ε ( t =0)
Et donc :
t1 ≤ 21
υ1
Par ailleurs, pour t > t1, la fonction sign1(.) commute infiniment rapidement afin d’assurer à
tout instant :
ε21 (t) = 0
et, en particulier, on a :
( )
( )
( )
~
dε 21
= 0 = ε 22 − λ1 sign moyen1 ε 21 = x 22 - z2 2 − λ1 sign moyen1 ε21 = x 2 2 - z 2 2
dt
soit :
~
z22 = x 22
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
112 / 130
Ce qui signifie que le vecteur équivalent (concrètement obtenu par filtrage passe – bas de signi
(ε21)) porte l’information utile pour connaître la deuxième composante x22. On obtient même
précisément cette valeur avec : z 2 = z 2 + λ1sign moyen ( y2 −z 2 ) . Ce qui permet de passer à
1
l’étape suivante et d’obtenir de la même manière qu’à l’étape n°1 une convergence en temps
~
fini de z2 vers x2, puis, pour t > t2, d’obtenir la troisième composante : z~ 23 = x . En réitérant
23
le procédé, on obtient la convergence en temps fini de tout l’état estimé (z2).
Dans ces conditions, (m = 0), le second observateur va également converger. En effet, même
s’il utilise l’erreur d’estimation avec un retour proportionnel, l’observateur précédent permet
non seulement de déterminer correctement les termes non linéaires mais encore de connaître
tout l’état x2, même si on n’a pas toutes les mesures. En effet, il est construit classiquement
comme suit (modèle nominal) :
dς 21
= ς 2 2 + g21 ( y 2,u ) + ρ2( y ) + 0 + 0 + k1 z 21 −ς21
dt
dς 22
= ς23 + g2 2 y 2,z 22,u + ρ2 ( y) + 0 + 0 + k2 z2 2 −ς2 2
dt
……………………………………………………………………
dς 2n2 −1
= ς2 n2 + g 2n 2−1 y 2,z 2 2,...,z2 n2-1,u + ρ2( y ) + 0 + 0 + k n2 -1 z2 n2−1−ς 2 n2 −1
dt
dς 2 n2
= λ( z 2 ) + g 2n 2 ( z2 ,u ) + ρ2 ( y) + 0 + 0 + k n2 z2 n 2 −ς2 n2
dt
D’où, dans le cas où m = 0 ( ⇒ z2 = x2), une dynamique d’erreur d’observation (z2 – ζ2) :
d z 21 -ς 21
= z 22 - ς 2 2 + 0 + 0 + 0 + 0 − k1 z21 −ς 21
dt
d z 2 2 −ς2 2
= z 23 − ς2 3 + 0 + 0 + 0 + 0 − k 2 z 22 −ς2 2
dt
……………………………………………………………………
d z 2n2 −ς 2n2
= λ( z 2 ) - λ( ς 2 ) + 0 + 0 + 0 + 0 − k n2 z 2 n 2 −ς 2 n2
dt
C’est-à-dire que l’on doit choisir, par placement de pôles, la matrice de gains K = [k1 … kn2]
du retour d’observation comme dans le cas de l’observation d’un système linéaire :
d( z 2 -ς 2 )
= A ( z2 - ς 2 ) − K( z2 −ς2 )
dt
0 1 0 00 0 
0 0 1 00 0 


A = 

0 1 

λ λλ
λn 2 
 1 2 3
K = ( k1 k 2 k 3 ... k n2 )
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
(
(
) (
) (
(
)
)
(
)
)
)
(
)
(
)

En présence de défaut (m ≠ 0), le premier observateur converge bien en temps fini
mais au moins une des composantes de l’état estimé (z2) présente un biais lié à m ≠ 0. En
effet, si m ≠ 0, et si dès la première équation l21 ≠ 0, alors :
Pour la première étape, on a :
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
113 / 130
( )
dε 21
= ε 22 + 0 + 0 + 0 + ( l21( x2 ) − l 21( z2 ) )m − λ1sign1 ε21
dt
et une évolution des (n2 - 1) composantes z22 à z2n2 en estimateur restant bornées car d’une
part le système est BIBS (« Bounded Input Bounded Output »), et d’autre part les (n2 – 1)
fonctions signes sont inactives (nulles).
Les composantes x22 et z22 étant bornées, il suffit de choisir λ1 > |ε2 + (l21(x2)-l21(z2))m|max pour
obtenir une convergence en temps fini (t1) de ε1 vers zéro. Par ailleurs, pour t > t1, la fonction
sign1(.) commute infiniment rapidement afin d’assurer à tout instant :
ε21 (t) = 0
et, en particulier, on a :
( )
~
dε 21
= 0 = ε 22 + ( l21( x 2 ) − l21( z 2 ) )m − λ1sign moyen1 ε 21 = x2 2 - z 22 + ( l 21( x 2 ) − l 21( z2 ) )m
dt
z 22 = x 22 + ( l21( x 2 ) − l21( z 2 ) )m
~
soit :
( )
Ce qui signifie que le vecteur équivalent λ1sign moyen1 ε21 porte, pour la deuxième composante
x22, une information biaisée par le défaut. Et ainsi, la récurrence n’assure plus la convergence
de (z2) vers (x2). Notons toutefois que seule est garantie ε21 = 0 (en temps fini).
Dans ces conditions, (m ≠ 0), le second observateur, construit sur le modèle nominal et
alimenté par des termes biaisés, ne va également pas converger vers l’état (x2).
dς 21
= ς 22 + g2 1( y 2,u ) + ρ2( y ) + k1 z 21 −ς21
dt
dς 2 2
= ς2 3 + g2 2 y 2,z 2 2,u + ρ2 ( y) + k 2 z 2 2 −ς 22
dt
……………………………………………………………………
dς 2n2 −1
= ς2 n2 + g2n 2 −1 y2,z2 2,...,z2 n2-1,u + ρ2 ( y) + k n2-1 z 2 n2 −1 −ς 2n2 −1
dt
dς 2n2
= λ( z 2 ) + g 2n2 ( z2,u ) + ρ2 ( y) + k n2 z2 n 2 −ς2n 2
dt
D’où, dans le cas où m ≠ 0 ( ⇒ z2 ≠ x2), une dynamique d’erreur d’observation (z2 – ζ2)
influencée directement par m. Ceci est particulièrement vrai pour la première composante
pour laquelle on a par ailleurs z21 = y2 :
d z 21 -ς 21
= z 2 2 - ς 2 2 + 0 + 0 + 0 + l 21( z2 )m − k1 z 21 −ς 21
dt
d z 22 −ς22
= z 23 −ς23 + g 22( y2,z22,u ) - g22( y 2,ς22 ,u ) + 0 + 0 + l 22( z 2 ) − k 2 z 22 −ς 2 2
dt
……………………………………………………………………
d z 2n 2 −ς 2n2
= λ( z 2 ) - λ( ς 2 ) + g 2n2( z 2,u ) - g2n2 (ς 2,u ) + 0 + 0 + l 2n 2 ( z2 )m − k n2 z2 n2 −ς2n 2
dt
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
(
) (
) (
(
)
)
)
(
)
)
(
)
(
)

forme triangulaire :
Notons que le concept de forme triangulaire [Zeitz] [Boukhobza] utilisé pour assurer la
convergence étape par étape du premier observateur n’est que peu limitatif. De fait, on peut
dans de nombreux cas se ramener à cette forme. En particulier, la proposition suivante donne
accès à un difféomorphisme répondant à cet impératif.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
114 / 130
Le système
dx2
= ϕ2 ( x 2 ) + φ2 ( x2 , u )
dt
y2 = h2(x2)
peut être transformé en forme triangulaire observable (au voisinage de x2) par un
difféomorphisme si et seulement si les deux conditions géométriques qui suivent sont
vérifiées au voisinage de x2.
Condition n°1 :
 dh 2 


 dLϕ 2 h 2 


rang 
 = n2


 n2 -1 
 dLϕ 2 h2 
∂ h2 ϕ
avec : dLϕ 2 h 2 =
la dérivée de Lie classique.
2
∂ x2
Condition n°2 :
g2 vérifie pour toutes les commandes u autorisées :
∀ i ∈ {0 , … , n2-1} dLφ2Lϕ2i h2 ∈ Ωi
i
où
Ω = span{dh2 , dLϕ2 h2 , …. , dLϕ2i h2}

Exemple illustratif linéaire :
Reprenons l’exemple linéaire précédemment étudié. A la vue tout à la fois de ∆’ = [1 1 1]T et
des deux mesures ya = xa et yb = xb, on choisit donc le changement de variables
(difféomorphisme) :
x1 = xa + xb + xc
x2a = xa - xb
x2b = xa - xc
Dans ce nouveau système de coordonnées, le système se décompose en deux blocs :
dx1
= ya + yb + 3ω + m
dt
dx2a
= - ya - m
dt
dx2 b
= - yb
dt
avec y2 = x2a = ya - yb
Etant donnée l’absence de termes non linéaires et de termes de couplage sur la seconde
équation (première composante du second système), nous pouvons nous contenter d’un
unique observateur de Luenberger du type :
dς 2a
= - ya + k a y 2 −ς 2 a
dt
Ce qui donne une dynamique de l’erreur d’observation ε2a = x2a – ζ2a influencée par le défaut :
dε 2a
= - m - k a ε2a
dt
On a donc un comportement du premier ordre τ = k-1 avec ε2a ne convergeant vers 0 qu’en
l’absence de défaillance. En effet, on a :
(
)
( )
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
(ε )
2a ∞
115 / 130
= -m
k
Pour notre simulation (figure 5. 5), nous adoptons k = 10, ce qui représente une dynamique
d’observation τ = 100 ms. Pendant toute la simulation, il existe une perturbation ω :
ω = 1 + 10 sin( 2πt )
La défaillance (m = 1) n’a lieu qu’en milieu de simulation (t = 5 s) et les trois conditions
initiales du système sont prises égales à 1 : [xa xb xc] = [1 1 1]T. Avant la défaillance, le
résidu r = e2 est nul. Ensuite, il converge bien, avec une constante de temps de 100 ms, vers
(- 1/10) sans être influencé par la perturbation ω. On peut ainsi avoir un niveau d’alerte sur un
seuil.
On remarquera que les mesures (ya = xa et yb = xb) divergent ; cela est dû à une matrice A
possédant une triple valeur propre nulle.
D em i obs ervateur s ur s ous -partie de dim ens ion 2
15
ya
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yb
100
50
0
0.05
rés idu
0
-0.05
-0.1
tem ps (s ec onde)
figure 5. 5 :

système linéaire : les 2 sorties ya et yb ainsi que le résidu r = ε2a
Exemple illustratif non linéaire :
Considérons l’exemple d’un système de dimension 3 ayant deux entrées inconnues (la
perturbation ω et la défaillance m) et deux mesures y = [ya , yb]T :
dx a = x - x a 3 - m
b
dt
dxb = x - x 3 + ω
c
b
dt
dx c = x - x c3 + m
b
dt
ya = (xa)
yb = (xc)
Ici, on a donc : L = [-1 0 1]T et P = [0 1 0]T.
Dans le but de détecter la défaillance (m) à l’aide d’un observateur, nous commençons par
créer deux sous-systèmes dont l’un est insensible à la perturbation (ω) et ne dépend plus de la
défaillance (m). Cela ne peut pas être réalisé sans injection de sortie car la dimension (d) de
∆ = span(P , f ) est 3. Nous cherchons donc (injection de sortie) une fonction ρ(y) permettant
de générer un espace ∆' = span(P , f ’) de dimension (d’) inférieure à la dimension de l’espace
∆ engendré par P et f:
d’ = dim {∆' = span(P , f ’)} < d = dim {∆ = span(P , f ))}
En adoptant
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
 ρa( y) = - ya 3

ρ( y) =  ρb( y ) = 0
 ρc( y ) = -y b 3

116 / 130





Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
117 / 130
On a alors :
dx a = x + ρa - m
b
dt
3
dxb
= xc - xb + ω
dt
dx c = x + ρc + m
b
dt
Et ainsi, la nouvelle fonction f ’ = [xb , xc – xb3 , xb]T génère une distribution ∆' = span(P , f ’)
de dimension : d’ = 2. En effet :
0 1


∆' = span( P , f') =  1 -1 
0 1


Par ailleurs, étant donné que l’on a :
 +1 
=  0 
 -1 
on choisit y2 = ya – yb = xa – xc comme mélange approprié des sorties. Et, du changement
de variable x1a = xa , x1b = xb et x2 = xa – xc on déduit la nouvelle représentation :
3
dx1 a
= x1 b - y a - m
dt
3
dx1 b
= - x1 b + y b + ω
dt
3
3
dx2
= y b - ya − 2 m
dt
y1 = ya = (x1a)
y2 = ya - yb = (x2)
Mesurant indirectement l’état (x2) du second système, nous n’avons donc besoin de construire
qu’un observateur de Luenberger sur cette seconde partie. Nous le synthétisons à partir du
modèle nominal, c’est-à-dire sans défaillance ; il prendra donc la forme :
3
3
dς 2
= yb - y a + k ( x 2 - ς 2 )
dt
Rappelons que l’état x2 est accessible par le mélange des mesures :
x2 = ya – yb.
La dynamique de l’erreur d’observation ε2 = ( x 2 - ς2 ) est donc donnée par :
dε 2 = ( - 2 m ) + ( − k ε )
2
dt
On a donc un comportement du premier ordre τ = k-1 avec ε2 ne convergeant vers 0 qu’en
l’absence de défaillance. En effet, on a :
ε 2∞ = - 2 m
k
Pour notre simulation (figure 5. 6), nous adoptons k = 10, ce qui représente une dynamique
d’observation τ = 100 ms. Pendant toute la simulation, il existe une perturbation ω :
ω = 1 + 10 sin( 2πt )
La défaillance (m = 1) n’a lieu qu’en milieu de simulation (t = 5 s) et les trois conditions
initiales du système sont prises égales à 1 : [xa xb xc] = [1 1 1]T.
Avant la défaillance, le résidu r = e2 est nul. Ensuite, il converge, avec une constante de temps
de 100 ms, vers (- 2/10) sans être influencé par la perturbation ω. On peut ainsi avoir un
niveau d’alerte sur un seuil.
( ∆') ⊥
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
118 / 130
O bs e rva teu r s ur s ou s -part ie de dim ens ion 1
ya
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yb
1
0
-1
0 .1
ré s idu
0
-0 .1
-0 .2
tem p s (s e c o nde)
figure 5. 6 :
5.3.
système non linéaire : les 2 sorties ya et yb ainsi que le résidu r = ε2
Intégration de la fonction détection / isolation à l’association
Commande / Observateur précédente
5.3.1. Contexte de la détection / isolation
Il a été montré [Beaudesson] que le défaut physique initial survenant sur un transistor IGBT
est son passage en défaut de circuit fermé. Si, par une commande rapprochée appropriée, le
second interrupteur de la cellule limite le courant du court-circuit interne de cellule, alors les
deux composants de puissance ne seront pas détruits en circuit ouvert. Ce point est très
important puisqu’il laisse entrevoir la possibilité de fonctionner en mode dégradé sur (n-1)
cellules. Pour cela, il faut que l’algorithme de commande en soit informé afin de pouvoir
modifier les consignes des tensions internes et gérer les (n-1) cellules restantes.
iprotection ≈ 10 Inom >> iS
iS
iS
Interrupteur en défaut
vCk
vCk+1
Défaut révélé
iS
vCk+1
iS
= vCk
Equilibre statique :
t > tCC
figure 5. 7 : sauvegarde du potentiel de fonctionnement du convertisseur lors du défaut en circuit fermé
Cela va demander une détection pertinente d’un défaut de court-circuit interne. A cette fin, on
peut indiquer que le bon fonctionnement se caractérise par des tensions aux bornes des
condensateurs vCk(t) lentement variables. En effet, la consigne vCk réf = k VE est lentement
n
variable car la tension d’entrée VE est fortement filtrée (réservoir d’énergie pour lisser les
micro-coupures du réseau). De plus, les tensions internes vCk(t) n’évoluent que par intégration
du courant de sortie iS(t). Si la capacité des condensateurs est suffisamment faible afin de
limiter l’énergie dissipée dans une cellule en défaut de court-circuit [beaudesson], elle est
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
119 / 130
néanmoins suffisante pour limiter les ondulations de la tension de cellule en régime
permanent. En fonctionnement normal, la dérivée de la tension vCk(t) est donc bornée.
A contrario, on peut se poser la question de savoir si l’évolution rapide de l’estimée de la
tension interne vCk(t) indique forcément une défaillance de la cellule adjacente. Cela n’est pas
le cas si on utilise les données brutes issues de l’observateur à modes glissants. Une évolution
brutale d’une tension vCk peut très bien être imputable non pas à un défaut de court-circuit,
mais à une modification rapide de la charge. En effet, notre observateur en temps fini est basé
non seulement sur les fenêtres d’observation ouvertes par la commande mais aussi sur le fait
que la charge varie lentement vis-à-vis de la période de découpage. Les commandes extrêmes
U(1) = [0 … 0]T et U(2n) = [1 … 1]T ouvrent une fenêtre d’observation exclusive sur la charge
alors que les autres commandes ouvrent une fenêtre d’observation sur une combinaison
linéaire des tensions internes et de la charge. Aussi, si la charge varie significativement
pendant une fenêtre d’observation sur des tensions condensateurs, la correction de prédiction
sera entièrement attribuée aux tensions vCk et non à la charge.
Comme nous venons de le rappeler, commande et observation inter-agissent fortement dans le
cas particulier du convertisseur multicellulaire. Pour lever toute ambiguïté, il nous faut donc
modifier la commande dans un premier temps pour s’assurer de la véritable valeur de la
charge puis exciter les commandes [1 0 0 … 0]T, [1 1 0 … 0]T, [1 1 1 … 0]T…jusqu’à
[0 0 0 … 1]T afin de voir converger sûrement chaque tension interne vCk.
Il est important de noter que lors de la première étape (convergence de l’estimée de R), le
convertisseur peut fonctionner longtemps sans voir diverger l’erreur evs par rapport à sa
consigne externe vSréf. En effet, le convertisseur fonctionne alors comme un étage de puissance
possédant une cellule. On peut ainsi maintenir les objectifs de consigne externe sur vS et de
période de découpage TD. On maintient ce mode de commande jusqu’à ce que l’estimée de la
charge ait convergé ce qui se réalise en temps fini. Puis, on applique les commandes suivantes
qui permettent d’obtenir de façon sûre l’estimée de chacune des tensions aux bornes des
condensateurs. Lors de cette application, l’objectif de sortie ne peut être atteint. On applique
donc chaque commande pendant un temps court : si dans cet intervalle, la tension vCk(t)
continue à s’éloigner de sa consigne on considère le défaut comme avéré (et localisé). Si à la
fin de cet intervalle, la défaillance n’est pas reconnue, on commute sur la commande suivante
ouvrant une fenêtre d’observation exclusive sur vCk+1. Et ainsi de suite. Si à la fin de l’alerte
aucune défaillance n’a été signalée, on retourne au mode de contrôle / observation normal.
Il est important de préciser que lors de l’application de cette suite de commande, la variable evs
peut diverger : c’est la raison pour laquelle, on ne peut se permettre d’appliquer chaque
commande trop longtemps. Ceci n’est pas un problème car la convergence de chaque variable
s’opère théoriquement en temps fini. Et d’autre part, pour le condensateur Ck, on a le choix
entre la commande [1 .. 1 0 … 0]T et son complémentaire [0 .. 0 1 … 1]T. Parmi ces deux
commandes, on peut choisir celle qui permet à evs de se rapprocher le plus possible de zéro au
terme du temps d’application.
5.3.2. Illustration sur un convertisseur de 2 cellules
Pour illustrer l’inadéquation de notre système commande / observation vis-à-vis de la
variation brutale de charge, nous reprenons l’exemple d’une variation instantanée (R passe de
30 Ω à 60 Ω à t = 100 µs) lors de la commande U2 = [1 0]T qui n’ouvre une fenêtre pertinente
sur vC(t) que si R évolue peu pendant l’application de cette commande (cf figure 5. 8). Ici,
l’observateur est pris en défaut car l’erreur sur l’estimée de is (eis = iS – îS) est utilisée pour
corriger v̂C l’estimée de vC et non pas R̂ l’estimée de R. Soulignons que la modification de la
charge entraîne un biais important sur îS et que par conséquent l’estimée de vC évolue vite à la
suite du changement de R comme elle pourrait le faire dans le cas d’un court-circuit de cellule
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
120 / 130
réel. Cette erreur sur l’estimation de vC va, en corollaire, entraîner une erreur sur l’estimée de
vS donc également de eVs = ∫( vSréf - v̂S )dt qui va évoluer rapidement : cette évolution rapide va
entraîner un changement de commande. L’algorithme adopte ainsi une commande permettant
de faire converger R̂ vers le nouveau R. Si cette commande ne persiste pas suffisamment
longtemps (et c’est ce qui ce produit car, du point de vue de la commande, il faut également
ramener v̂C vers sa référence), l’erreur entre la charge R et son estimée R̂ est conséquente et
la même cause produit les mêmes effets. On assiste donc à un nombre important de
commutations qui n’entraînent pas une perte du contrôle du processus mais sont inacceptables
tant du point de vue de l’échauffement du convertisseur (élévation de la température du
silicium) que du diagnostic de la défaillance (les brusques variations de vC pourraient laisser
penser à une défaillance par court-circuit de cellule).
H ac h eu r 2 c e llules en bf
ave c L = 5 m H et R c h = 30
78 0
76 0
10
v
e s
vc es tim é
20
0
74 0
-1 0
72 0
0
1
2
3
0
2
4
50
3
40
3
x 10
60
30
-4
2
1
0
1
2
3
x 10
figure 5. 8 :
1
-4
n° de c de
R e s tim é
x 10
0
-4
1
2
3
x 10
-4
commande directe associée à l’observateur à modes glissants : variation rapide de la
charge pour (VE = 1500 V, vCréf = 750 V , vSréf = 900V et TD = 20 kHz)
Cet exemple explicite bien que pour détecter une cellule en défaut de court-circuit, il faut
s’assurer en modifiant la commande que la charge R est bien connue, puis modifier une
nouvelle fois la commande pour faire apparaître une fenêtre d’observation du condensateur C.
C’est cette modification apportée à la commande que nous illustrons par la simulation
suivante (figure 5. 9). L’alerte débute à t = 100 µs, lorsque la commande constate une
évolution anormalement rapide de la tension v̂C . Le niveau d’anomalie (– 0,5) correspond à la
première étape qui consiste en l’ouverture d’une fenêtre d’observation sur R : cette phase dure
jusqu’à ce R̂ ait convergé vers R (t ≈ 125 µs). Cette convergence est détectée par un critère
sur |iS - îS|. Tant qu’elle n’a pas lieu l’algorithme de commande cherche à maintenir evs autour
de zéro tout en respectant la période de découpage TD. On a en effet aucun critère sur vC
puisque le convertisseur ne travaille que sur les niveaux extrêmes comme s’il utilisait une
cellule unique. Une fois cette convergence opérée, l’algorithme applique pendant 10 µs la
commande U2 = [1 0]T, afin de connaître l’évolution réelle de vC (niveau d’anomalie égal à
+ 0,5). A la fin de cette étape, l’estimée v̂C n’étant pas sortie d’une zone de ± 50 V autour de
vCréf, on quitte l’état d’alerte pour revenir au fonctionnement normal (anomalie = 0). Très
rapidement (t ≈ 150 µs) la première composante de l’observateur converge car désormais R
est bien estimée et ensuite le régime permanent de l’asservissement se rétablit (t > 200 µs)
avec un cycle (4 3 4 2) typique d’une MLI nécessitant une tension de référence vSréf supérieure
à (VE/2). On peut remarquer que ce transitoire exigé par l’adaptation de la commande à
l’observation ne nécessite pas un plus grand nombre de commutations qu’en fonctionnement
normal et par ailleurs que evs ne s’éloigne pas trop de son régime nominal autour de zéro. Le
convertisseur ne subit pas d’échauffements anormaux qui pourraient induire une panne et la
charge est convenablement alimentée. Ce phénomène est normal puisque imposé par la
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
121 / 130
procédure de gestion d’anomalie. En effet dans la première phase de traitement d’anomalie, la
fréquence de commutation est imposée et le convertisseur garde la main sur la consigne de
sortie. Dans la seconde phase, on reste à la fois suffisamment longtemps ( ∆t anomalie = − 0, 5 = TD )
5
pour que l’information issue de l’observateur soit pertinente mais pas trop afin d’éviter une
trop grande divergence de evs.
H a c h eu r 2 c e llules en b f
a ve c L = 5 m H e t Rc h = 3 0
H ac heur 2 c ellu le s e n bf
78 0
avec L = 5 m H e t Rc h = 30
8 00
2
20
74 0
1
10
0
v
e s
7 60
vc
a nom a lie
vc es t im é
7 80
76 0
7 40
0
7 20
-1
-10
72 0
7 00
0
1
2
3
x 10
0
1
2
-4
3
x 10
0
1
2
-4
3
x 10
0
1
2
-4
3
x 10
-4
4
50
3
3
40
30
2
1
0
1
2
3
x 10
10 00
vs
4
n° de c de
60
n° de c de
R es tim é
15 00
2
5 00
1
0
1
2
-4
3
x 10
0
0
1
2
-4
3
x 10
0
(a)
figure 5. 9 :
1
2
-4
3
x 10
-4
(b)
commande directe modifiée associée à l’observateur à modes glissants : variation rapide
de la charge pour (VE = 1500 V, vCréf = 750 V , vSréf = 900V et TD = 20 kHz)
Voyons maintenant comment la commande réagit face à un défaut réel sur une cellule (figure
5. 10). A t = 100 µs (R évolue brutalement), la commande détecte une anomalie et cherche à
l’identifier comme nous venons de l’expliquer. A t = 200 µs (vC tend brutalement vers zéro),
la commande détecte la seconde anomalie. La recherche de R (anomalie = - 0,5) est bien plus
rapide puisque la charge n’a pas évolué. La seconde étape est également courte puisque v̂C
s’éloigne rapidement de sa référence : l’algorithme considère alors avoir affaire à un courtcircuit de la première cellule (anomalie = 1) car v̂C tend vers zéro. Il adopte donc une
commande de type mono-cellule en utilisant exclusivement les deux interrupteurs de la
seconde cellule. Le critère de commande devient vSréf (900 V) et la période de découpage TD
(50 µs). La variable evs a donc un ondulation parasite bien plus importante qu’avant le défaut.
Par ailleurs, il est important de noter que le défaut a pu être détecté et isolé en un temps très
court, inférieur à la période de découpage de référence.
H a c h eu r 2 c e llules en b f
a ve c L = 5 m H e t Rc h = 3 0
Ha c he ur 2 c ellule s e n bf
80 0
avec L = 5 m H e t Rc h = 30
800
2
20
780
20 0
1
10
760
0
v
e s
40 0
vc
anom alie
vc e s tim é
60 0
740
0
720
-1
-1 0
0
700
0
1
2
3
x 10
0
1
2
-4
3
x 10
0
1
2
-4
3
x 10
0
1
2
-4
3
x 10
-4
4
50
3
3
40
30
2
1
100 0
vs
4
n° de c d e
60
n° de c d e
R es tim é
150 0
2
5 00
1
0
0
1
2
3
x 10
0
-4
2
3
x 10
(a)
figure 5. 10 :
1
0
-4
1
2
3
x 10
0
-4
1
2
3
x 10
-4
(b)
commande directe modifiée associée à l’observateur à modes glissants : variation rapide
de la charge puis court-circuit de la première cellule
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Détection et isolation d’une cellule défaillante
5.4.
122 / 130
Conclusion
Dans un premier temps, nous avons eu une approche théorique concernant la détection
de défaillance par construction d’observateurs générant des résidus de défaut. Cette démarche
a déjà été entreprise en linéaire ainsi qu’en non linéaire. Nous avons essayé de la compléter en
proposant une approche par injection de sortie permettant de découper un système linéaire en
deux sous-ensembles pertinents ; grâce à l’utilisation des mesures, l’un d’entre eux est
insensible aux perturbations tout en réagissant au défaut. A partir de ce travail sur la structure
du modèle, nous proposons la génération de résidu basée sur un observateur linéaire (sensible
au défaut) utilisant les sorties d’un observateur à modes glissants.
Dans un second temps, nous avons abordé le convertisseur multicellulaire selon son
modèle instantané. De manière similaire à notre approche générale, nous nous sommes posés
la question de la structure du modèle. Comme nous l’avions indiqué dans la partie 4,
commande et observation sont intimement liées. Aussi, lorsque suite à un disfonctionnement
réel ou bien suite à une simple utilisation du convertisseur au delà de la zone attendue, le seuil
d’alerte est dépassé, faut-il lancer une procédure particulière d’identification des paramètres et
des variables en appliquant les commandes idoines. Nous avons suggéré une procédure en ce
sens qui permet de plus la sauvegarde globale du comportement externe du convertisseur tout
au long de la vérification. Cela a été, entre autre, possible par la richesse des commandes
autorisées par le multicellulaire ainsi que par la rapidité de réaction des algorithmes
d’observation à modes glissants ce qui permet de confiner la procédure à une durée de l’ordre
de la période de découpage. Rappelons [Beaudesson] que la commande rapprochée permet
d’attendre, sans amplifier les problèmes, plusieurs périodes de découpage avant que
l’algorithme de commande ne se reconfigure correctement. Une simulation de fausses alertes
comme de vraies défaillances a été conduite avec succès sur un convertisseur à deux cellules
imbriquées alimentant une charge L + R variable.
Commande et Détection de Défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Conclusion générale
122 / 130
Conclusion générale
«
Au sommet
du pommier malade qui boude et n’a pas une seule pomme
il y a une grive qui chante à voix fine
une sorte de sonate éclatée en automne mineur
par petites strophes roulées dans le style presque-merle. »
Déjà octobre
Claude Roy dans « Le Noir de l’Aube »
Ce mémoire traite des convertisseurs multicellulaires série à condensateurs flottants. Il
vise à proposer de nouvelles stratégies permettant un fonctionnement sûr et continu de la
conversion d’énergie entre la source et la charge et cela avec un nombre réduit de capteurs.
Le convertisseur à cellules imbriquées a déjà une longue histoire derrière lui. Suite au
dépôt de brevet d’invention (1992), des recherches actives ont été menées dans différentes
directions. En premier lieu a été entrepris une modélisation de son comportement (modèle
instantané, modèle moyen et modèle harmonique). Ceci a conduit vers différentes
propositions de lois de commande (boucle ouverte avec modification de la dynamique par
circuits RLC ainsi que différentes contre-réactions [commande en durée par découplage,
commande par déphasage basée sur la logique floue, commande en amplitude par modes
glissants…]). Ces contrôles en boucle fermée ont fait émerger le besoin de minimiser le
nombre de capteurs (observation des tensions internes). En parallèle eurent lieu les premières
réalisations industrielles. Cette mise en œuvre de convertisseurs moyenne tension
(quelques kV) a mis à jour la problématique de la continuité du fonctionnement de telles
installations par la protection des composants, la localisation de la défaillance et enfin la
reconfiguration de la commande.
Notre travail s’inscrit dans la continuité de ces recherches. Le constat de départ est que
tous les thèmes évoqués plus haut sont fortement couplés. Aussi avons nous pour ambition
d’apporter des éclairages nouveaux sur l’intérêt que constitue le convertisseur multicellulaire
ainsi que sur le contrôle que l’on peut faire d’une telle topologie dans le double but d’obtenir
un maximum de performances (statiques et dynamiques) et une utilisation sûre et à nombre
minimal de capteurs.
Dans un premier temps, il nous est apparu que le convertisseur multicellulaire était
l’interface de puissance idéale pour les algorithmes de commande à modes glissants d’ordre
un ou supérieur et pilotant des systèmes électriques. En effet, les différents niveaux offerts
peuvent être exploités soit par une commande d’ordre un intégrant la notion de commande
équivalente soit par des algorithmes d’ordre supérieur. Ce lien séduisant entre l’actionneur et
la commande a été illustré par l’exemple du contrôle d’une machine à courant continu.
Ce premier aspect nous a amené à nous pencher sur la réalisation pendant une longue
durée d’un niveau λ donné. La commande MLI avait révélé sur ce point quelques défaillances
(pertes de commandabilité pour certains λ) pour les convertisseurs à nombre non premier de
cellules. Ceci nous a conduit à une exploration exhaustive des possibilités offertes par un
convertisseurs pour un niveau de sortie λ déterminé. Les contraintes physiques ont été
exprimées ce qui a permis de dégager pour chaque niveau λ un cycle de commandes
permettant la réalisation continue de ( λ VE ) tout en contrôlant la valeur des (n-1) tensions
n
internes. Si ces cycles demandent quelques commutations supplémentaires (16 à la place de
12 [MLI] pour le niveau λ = 2 d’un convertisseur à n = 6 cellules) et engendre une ondulation
de tension un peu plus forte sur certains condensateurs (le double), la commande que nous
Commande et Détection de défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Conclusion générale
123 / 130
avons associée aux cycles assure le temps de cycle désiré et donc aucun échauffement anormal
n’est à craindre au sein des semi-conducteurs. Forts de ce premier succès, nous avons
entrepris le même genre de démarche mais cette fois-ci dans le but de suivre une consigne vSréf
(t) continue et non plus discrète ( λ VE ). Cette démarche a débouché sur une commande
n
directe (donc autorisant les transitoires les plus rapides) permettant de respecter en régime de
petites variations les cycles optimaux (du point de vue des harmoniques). Cette nouvelle
commande concilie ainsi les stratégies instantanées et celles basées sur la valeur moyenne.
Dans le cadre de la réduction des coûts et de la réduction du nombre de défaillance,
nous avons été amenés à supprimer le plus grand nombre de capteurs et en particulier les
capteurs des tensions internes dont le nombre croît avec celui des cellules et triple en
triphasé). Cela nous a amené à développer un observateur à modes glissants particulièrement
adapté à notre commande directe en ce sens d’une part qu’il identifie la charge et en informe
la commande et d’autre part que ses temps de réaction sont adaptés à ceux de la commande. A
ce stade, on doit néanmoins déplorer des sur-commutations lors de variations rapides de la
charge.
Philippe Beaudesson a montré que la continuité de fonctionnement pouvait être
assurée dans le cas fréquent de la défaillance physique d’un composant en circuit fermé. Aussi
avons nous entrepris de mettre en place un système qui permette de détecter et de localiser ce
type de défaillance quoique fasse le contrôle et cela avec la seule mesure du courant de charge
iS (nécessaire pour la protection en courant) et de la tension de bus continue VE (nécessaire
pour définir les consignes des tensions internes). Cela nous a amené à modifier globalement
l’association commande / observateur. De fait commande et observation inter-agissent
puisqu’une commande particulière ne permet d’observer qu’un seul condensateur équivalent.
En cas d’évolution extrêmement rapide d’une tension condensateur, une alerte est déclenchée
ce qui amène la commande à se modifier rapidement afin que l’observateur associé se recale
correctement, ce qui permet soit de sortir de la procédure d’alerte pour revenir en
fonctionnement normal, soit au contraire de localiser l’anomalie.
Les perspectives à donner à ce travail sont multiples. D’une part, il est intéressant de
confronter à la réalité les techniques de commandes directes développées et en particulier
d’expérimenter la réalisation d’un niveau discret dans le cas d’un nombre non premier de
cellules. D’autre part, la mise en œuvre directe des modes glissants devrait elle aussi être riche
en enseignement, sa validation éventuelle ouvrant d’importantes perspectives du point vue des
mises en œuvre concrètes.
Si cette confrontation s’avère positive, alors s’ouvrent d’autres perspectives dans la
constitution des cycles limites. On peut envisager de les construire dans le but de faciliter
l’observation des tensions internes comme cela a été esquissé dans la partie 5 : on construirait
ainsi une commande orientée observation (ce qui est cohérent par rapport à la problématique
de l’observation de systèmes non-linéaires). Par ailleurs, l’analyse peut être affinée en prenant
en compte l’influence des harmoniques de la tension de sortie. Dans cette direction, deux axes
se dégagent. Le premier consiste à optimiser le cycle afin de réduire le contenu harmonique de
la tension de sortie en considérant l’influence des inévitables fluctuations des (n-1) tensions
des condensateurs. Le second est d’analyser l’importance des harmoniques du courant de la
charge sur la stabilité des cycles limites afin éventuellement de la modifier.
Ajoutons que l’interaction en triphasé des bras entre eux n’a pas été abordée et semble
un champ prometteur d’investigations peut-être et surtout dans le cas du diagnostic des
anomalies.
Commande et Détection de défaillance d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Bibliographie
124 / 130
Bibliographie
« Jamais je n’ai gardé de troupeaux,
mais c’est tout comme si j’en gardais.
Mon âme est semblable à un pasteur,
elle connaît le vent et le soleil
et elle va la main dans la main avec les Saisons,
suivant sa route et l’œil ouvert. »
Fernando Pessoa dans « Le Gardeur de
troupeaux »
 Partie 1 : Rappels et état de l’art
[Alnahar]
[Aloisi]
[Baker]
[Beaudesson]
[Bensaid 1]
[Carrère]
[Corzine]
[Davencens 1]
[Davencens 2]
[Delmas]
[Donzel 1]
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[Foch]
[Gateau 1]
[Gateau 3]
[Guidini]
[Kalman]
[Lefebvre]
[Luenberger]
[Meynard 1]
[Meynard 2]
[Meynard 3]
[Meynard 4]
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Bibliographie
 Partie 2 :
[Béthoux 1]
[Béthoux 2]
[Donzel 2]
[Gateau 2]
[Pinon 1]
[Pinon 2]
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Bibliographie
 Partie 3 :
[Barbot 1]
[Bartolini]
[Béthoux 3]
[Béthoux 4]
[Béthoux 5]
[Charara]
[Cho]
[Djemaï]
[Drazenovic]
[Dussaut]
[Edwards]
[Emel’yanov]
[Floquet]
[Gentili]
[Glumineau 1]
[Glumineau 2]
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[Barbot 2]
[Bensaid 2]
[Bensaid 3]
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[Bornard]
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Commande et Détection de Défaillance
d’un Convertisseur Multicellulaire Série
Résumé
Ce mémoire traite des convertisseurs multicellulaires série à condensateurs flottants. Il vise à
proposer de nouvelles stratégies permettant un fonctionnement sûr et continu de la conversion
d’énergie entre la source et la charge et cela avec un nombre réduit de capteurs.
Il est montré comment élaborer un contrôle permettant d’assurer les meilleurs dynamiques
tout en préservant des régimes permanents optimaux. En particulier, le contrôle rapproché de
convertisseurs à nombre non premier de cellules est établi avec succès.
Cette boucle de premier niveau est utilisée directement par des algorithmes contrôlant des
processus par modes glissants (M.G.) montrant ainsi que le convertisseur multicellulaire est
une interface de puissance idéale pour la mise en œuvre des M.G..
Par ailleurs la suppression des capteurs de tension est envisagée et la bonne marche du
convertisseur peut être assurée quelle que soit la charge. En dernier lieu, la défaillance d’une
cellule est envisagée ; la reconfiguration à bon escient de l’algorithme de contrôle est réalisée.
Mots clefs:
Convertisseurs multi-cellulaires, modes glissants, système hybride, approche
géométrique, contrôle- commande, observateur, sûreté de fonctionnement.
Control and Fault Détection
for a Serie Multicell Converter
Abstract
The present study deals with the control - command for floating voltage series multicell
converters. This thesis aims to suggest new control strategies allowing a safe and continuous
energy conversion between source and load and with minimum number of sensors.
The author shows how to find a control allowing, in one hand the fastest transients and in the
other hand optimal steady states. As a matter of fact, prime number cells converters are
monitored with full success.
This first level loop is thereafter directly driven by sliding mode control algorithms : that way,
we show that multicell converter is the ideal power interface to implement sliding modes (first
or higher order) without any modulation.
After this study, the author intends to remove inner voltage sensors. Therefore, he develops a
sliding mode observer which garantees converter safe working whatever the load is. A one
cell failure is thereafter taken into account. The previous observer is then modified to detect
the failure in real time in order to reconfigure the converter properly.
Keywords:
Multicell converters, sliding modes, hybrid system, geometrical approach,
control command, state observer, reliability.