Cours_STS1_02_Electromagnetisme

A.1. ELECTRICITE GENERALE ELECTROMAGNETISME
Sommaire
A.1. ELECTRICITE GENERALE ELECTROMAGNETISME ................................................................................................................................ 1
I) Grandeurs magnétiques :..................................................................................................................................................................................... 3
I.1) Le vecteur champ d’induction magnétique : B .................................................................................................................................... 3
I.1.1) Définition .................................................................................................................................................................................................. 3
I.1.2) Ordres de grandeur .............................................................................................................................................................................. 3
I.1.3) Lignes de champ ..................................................................................................................................................................................... 3
I.2) Le vecteur champ d’excitation magnétique : H ................................................................................................................................. 5
I.2.1) Définition ................................................................................................................................................................................................. 5
I.2.2) Théorème d’Ampère ............................................................................................................................................................................. 5
II) Lois fondamentales du magnétisme : ............................................................................................................................................................ 6
II.1) Flux d’induction magnétique et fém liée à sa variation : Loi de Faraday ................................................................................... 6
II.1.1) Vecteur normal n - vecteur surface S ...................................................................................................................................... 6
II.1.2) Flux d’induction magnétique:............................................................................................................................................................ 6
II.1.3) Tube d’induction: ................................................................................................................................................................................. 6
II.1.4) Loi de Faraday: .................................................................................................................................................................................... 6
II.1.5) Loi de Lenz ............................................................................................................................................................................................ 7
II.2) Force appliquée sur une particule ou un conducteur : ..................................................................................................................... 7
III) Applications :...................................................................................................................................................................................................... 8
III.1) Déviation des faisceaux d'électrons dans un tube TV: ................................................................................................................. 8
III.2) Effet Hall: .................................................................................................................................................................................................. 8
III.3) Le haut-parleur: ........................................................................................................................................................................................ 8
III.4) Moteur à courant continu: ..................................................................................................................................................................... 8
III.5) Les appareils de mesure magnétoélectriques : ............................................................................................................................... 9
III.6) Les câblages ............................................................................................................................................................................................... 9
IV) Les circuits magnétiques linéaires : .............................................................................................................................................................. 9
IV.1) Linéarisation :............................................................................................................................................................................................... 9
IV.2) Circuit magnétique parfait: ................................................................................................................................................................... 10
IV.3) Conséquences : relations d’Hopkinson: ............................................................................................................................................... 10
IV.4) Analogie électrique: ................................................................................................................................................................................. 10
V) Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer: ............................................................................................ 11
V.1) Rappels sur la bobine sans noyau de fer en régime linéaire: .......................................................................................................... 11
V.2) Caractérisation de la bobine à noyau de fer en régime linéaire: .................................................................................................. 11
V.2.1) Modélisation de la bobine à noyau de fer en régime linéaire: ................................................................................................ 11
f
di (t )
et r i (t )
dt
à N
d (t )
dt
V.2.2) Comportement simplifié dans l’hypothèse de Kapp:
............................................. 12
V.2.3) Dimensionnement physique d’une bobine ..................................................................................................................................... 13
V.3) Caractérisation de la bobine à noyau de fer en régime non linéaire: saturation du matériau ............................................ 13
V.3.1) Influence du cycle d’hystérésis sur la forme du courant. ..................................................................................................... 13
V.3.2) Expressions des pertes dans les bobines. .................................................................................................................................. 13
V.3.3) Modélisation de la bobine saturée. ............................................................................................................................................... 14
VI) Les milieux magnétiques, aimants permanents: ....................................................................................................................................... 15
VI.1) Domaine de Weiss , paroi de Bloch...................................................................................................................................................... 15
VI.2) Classification: ............................................................................................................................................................................................ 15
VI.3) Courbe de première aimantation d’un matériau ferromagnétique: ........................................................................................... 16
VI.4) Cycle d’hystérésis de divers matériaux ............................................................................................................................................ 17
VI.5) Droite de charge : Calcul de longueur d’aimant .............................................................................................................................. 18
VI.6) Désaimantation : droite de recul ......................................................................................................................................................... 19
VI.7) Les électroaimants: ................................................................................................................................................................................. 21
VI.7.1) Principe ................................................................................................................................................................................................ 21
VI.7.2) Energie magnétique ......................................................................................................................................................................... 21
VI.7.3) Force générée: .................................................................................................................................................................................. 21
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VI.7.4) Remarques technologiques: ...........................................................................................................................................................22
VI.7.5) Domaines d’application ....................................................................................................................................................................22
VII) Couplage des circuits : ..................................................................................................................................................................................23
VII.1) Rappels sur les inductances:................................................................................................................................................................23
VII.2) Inductances mutuelles: ........................................................................................................................................................................23
VII.2.1) Sans fuites de flux: .......................................................................................................................................................................23
VII.2.2) Avec fuites de flux: coefficients de couplage .....................................................................................................................23
VII.2.3) Remarque pratique.........................................................................................................................................................................24
VII.3) Equations fondamentales .....................................................................................................................................................................24
Sommaire
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I) Grandeurs magnétiques :
I.1) Le vecteur champ d’induction magnétique : B
I.1.1) Définition
Le champ d’induction magnétique
v
B
traduit l’effet du mouvement des charges électriques :
vitesse de la charge
q
 qv ^ uPM 
B 0
r distance de la charge au point d'expression de B
4
r2
  Perméabilité magnétique du vide = 4 .10
 0
-7
C’est une grandeur vectorielle dépendant de l’espace (position) et du temps. L’induction s’exprime en tesla (T).
Si les charges parcourent un conducteur électrique, on écrit localement la loi de Biot et Savart
dB 
0 I d P ^ uPM
2
4
rPM

d


r
P longueur de circuit portant la charge
q
distance de d P au point d'expression de dB support du vecteur unitaire u PM
La sommation de cette loi permet d’obtenir l’effet de toutes les charges en un point de l’espace.
Si le vecteur champ d’induction est identique en tout point de l’espace, le champ est dit uniforme.
Dans les problèmes technologiques que nous rencontrerons, l’induction magnétique sera une grandeur connue. Elle ne sera pas
à déterminer par les relations précédentes.
I.1.2) Ordres de grandeur
o 20 µT :
o quelques 10 mT :
o quelques 100 mT :
o 1T:
Limites
o 40 T :
o 700 T :
champ magnétique terrestre
aimants ordinaires
aimants de machines tournantes
champ produit par les enroulements de machines tournantes, transformateurs.
champ stationnaire produit par plasma, électro aimants supra conducteurs
Champs impulsionnels de laboratoire
I.1.3) Lignes de champ
N
I
S
B
Fil parcouru par un courant :
Aimant droit (du N vers S)
B 
0 I
2 r
(règle de la main droite ou du tire bouchon)
I
I
S
N
B
B
Pôle NORD
Pôle SUD
Bobine parcourue par un courant :
Aimant en U (du N vers S)
B 
0 NI
(règle de la main droite ou du tire bouchon)
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I.2) Le vecteur champ d’excitation magnétique : H
I.2.1) Définition
Le vecteur H (exprimé en ampères par mètre (A/m)).caractérise le circuit électrique, source de champ magnétique. Il est
indépendant du milieu où est placé le circuit électrique.
Le vecteur B caractérise le champ magnétique. Il dépend de la source de champ magnétique mais aussi du milieu
Les deux vecteurs sont reliés par la relation :
B est en Tesla
H en A/m
B  µH avec µ  µo µr
µ0 = 4.10-7 V.s.A-1.m-1
µ est relatif au matériau qui canalise B, il peut varier avec H ce qui rend souvent cette relation non-linéaire.
I.2.2) Théorème d’Ampère
La circulation du vecteur champ d’excitation magnétique H le long d’un contour fermé (C) orienté par sa normale (règle du
tire-bouchon) est la somme algébrique des courants traversant la surface s’appuyant sur le contour (C).
Le théorème d’ampère décrit la force magnéto motrice f.m.m.
 j  1 si i j dans le sens de n
E  H .d    j i j 
j
 j  1 si i j dans le sens inverse
(C )
E
d’un contour fermé
en A. tr (Ampères Tours)
H en A/m
E
de
n
d en m
I en A
Dans de nombreux cas le choix du contour simplifie le problème. En effet si le contour suit les lignes de champ alors
d
sont colinéaires donc
 H .d
(C )
devient
H
et
 H .d
(C )
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II) Lois fondamentales du magnétisme :
II.1) Flux d’induction magnétique et fém liée à sa variation : Loi de Faraday
n
II.1.1) Vecteur normal
- vecteur surface
S
Ils sont définis pour une spire:
n
n
n
est un vecteur qui oriente la normale à la spire:
n  1 . (sans unité).
n
est orienté par la règle de la main droite en utilisant un sens de rotation positif arbitraire.
(pour simplifier on prend souvent le même sens que le courant i)
S  S.n
+
+
S  S .n  S . n  S
S est colinéaire à n

Scos
(même direction et
même sens).

S
II.1.2) Flux d’induction magnétique:
Le flux magnétique

du champ magnétique
égal au produit scalaire des vecteurs
calculé pour une surface quelconque
B
et S :

S
à travers une spire orientée de surface S est
B

S

S
B
  B  S  B  S  cos( B, S )
   B  n dS
(S )

en Weber (Wb);
B
en T et
en m2.
S
Si on considère un circuit comprenant N spires: t
 N 
II.1.3) Tube d’induction:
Un tube d’induction est l’ensemble des lignes d’induction s’appuyant sur deux contours fermés (C1) et (C2)
Le flux sortant d’un tube de champ est nul.
Ceci traduit une propriété essentielle du flux, à savoir qu’il est conservatif
II.1.4) Loi de Faraday:
Le phénomène liant la tension aux bornes d’une spire au flux la baignant est traduit :

sur le plan qualitatif (expression de l’opposition) par la loi de Lenz : Le courant induit, par ses effets, s’oppose à la
cause qui lui a donné naissance.

sur le plan quantitatif par la loi de Faraday.
 (t ) variable voit apparaître à ses bornes une force électromotrice (fem) s’exprimant
d (t )
e(t )  
dt
Une spire ouverte baignée par le flux
en convention générateur par :
Le sens de la fém induite ne dépend pas des conventions d’orientations choisies.
Rappels sur les conventions utilisées : le courant et la tension sont orientés de façon à ce que la boucle soit un générateur et

S
est orienté comme le champ propre.
On approche le pôle nord d’un aimant:
 > 0 et

croissant donc
d
0
dt
soit u21 < 0
On approche le pôle nord d’un aimant:
 < 0 et

croissant donc
d
0
dt
soit u12 >0 .
S
+
S
+
1 U21
2
1 U12
N
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2
N
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II.1.5) Loi de Lenz
Le courant induit par ses effets s’oppose à la cause qui lui a donné naissance
II.2) Force appliquée sur une particule ou un conducteur :
Un champ magnétique exerce sur les charges électriques en mouvement des forces qui sont responsables des mouvements

observés.
qv

 Dans le cas des particules chargées : Loi de Lorentz
B
La force de Lorentz, appliquée à la particule est le produit vectoriel
 Dans le cas d’un conducteur parcouru par un courant I: loi de Laplace
Les charges se déplacent dans le conducteur tel que
q = i . t et

 
v
t
donc



 
   
F  qv ^ B  q ^ B  i ^ B
t

 
F  qv ^ B

F
On définit le vecteur  : vecteur orienté dans le sens de I et de norme égale à la longueur de fil plongé dans le champ
La force exercée par le champ magnétique sur le conducteur est appelée force de Laplace:

B
  
F  i ^ B
Le travail des forces de Laplace :
dW  dF  dx  id ^ B   dx  i dx ^ d   B  iB  ndS  i.d 
La variation d’énergie occasionnée par le déplacement d’un élément de circuit est égale au produit du courant par le flux
coupé.
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III) Applications :
III.1) Déviation des faisceaux d'électrons dans un tube TV:
Un champ magnétique permet d'obtenir une déviation très importante des faisceaux d'électrons. On peut utiliser des tubes
de faible profondeur par rapport à la taille de l'écran.
III.2) Effet Hall:
On considère un solide semi-conducteur dans lequel on impose un courant d'intensité i. On le soumet à un champ magnétique
perpendiculaire au courant i.
Il apparaît sur l'axe xx' du solide une tension appelée tension de hall proportionnelle à l'intensité du champ magnétique.
On réalise ainsi un capteur permettant de mesurer l'intensité d'une composante (suivant l'axe zz') d'un champ magnétique
et de déterminer son orientation.
z
y
ev
x'
F
-e v
x
B
y'
z'
u=kB
III.3) Le haut-parleur:
Un HP est constitué d’un aimant permanent de forme particulière et d’une bobine parcourue par un courant et pouvant
coulisser sur l’un des pôles de l’aimant. La bobine est solidaire d’une membrane M . La circulation d’un courant dans la bobine
engendre des forces de Laplace sur les spires de la bobine. Un courant variable fait vibrer la bobine donc la membrane au
rythme du courant. Cette vibration se répercute sur l’air d’où la production de son
S

B

F
N

F

B
S
III.4) Moteur à courant continu:
Un moteur à courant continu est constitué par un enroulement (donc équivalent à plusieurs cadres) parcouru par un courant
continu et soumis à un champ magnétique pratiquement uniforme.
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I
S
N
I
III.5) Les appareils de mesure magnétoélectriques :
Un galvanomètre magnétoélectrique est constitué d’un cadre vertical et rectangulaire mobile monté sur un noyau
ferromagnétique et placé dans l’entrefer d’un aimant.
Le champ magnétique est radial dans l’entrefer, c’est à dire perpendiculaire à l’axe de rotation du cadre.
Lorsqu’on fait circuler un courant I dans le cadre, les conducteurs parallèles à l’axe sont soumis à des forces de Laplace qui
s’opposent au ressort et qui tendent à faire prendre une position d’équilibre au cadre directement proportionnelle au
courant I.
III.6) Les câblages
Une boucle quelconque dans un circuit électrique constitue une spire qui devient le siège d’une fem induite : les circuits sont
perturbés (boucles importantes, signaux rapides, courants si boucles fermées). Ces phénomènes s’atténuent) en diminuant la
surface des boucles par un câblage adapté ou en compensant les fem par inversion régulière du sens de bouclage (tressage
des conducteurs)
IV) Les circuits magnétiques linéaires :
IV.1) Linéarisation :
La courbe d’aimantation traduit le comportement non
linéaire des matériaux pour lesquels on observe le
cycle d’hystérésis.
On peut effectuer des simplifications plus ou moins
partielles qui conduisent chacune à leur modèle. Les
simplifications sont classées en considérant les
grandeurs conservées parmi Br, Hc et Bsat. Dans la
dernière modélisation, le matériau est B est
totalement linéaire. On a alors :B = µ0µrH , où la
perméabilité relative μr est constante. Si ce
coefficient est très grand au point d’être considéré infini, on dit alors que le matériau est idéal.
Cette hypothèse considérant le matériau linéaire est la plus avancée.
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IV.2) Circuit magnétique parfait:
Pas de lignes de fuites : Si tout le champ créé est uniquement destiné au circuit
magnétique, on dit qu’il n’y a pas de fuites.
L’induction magnétique est uniforme, constante et orthogonale à chaque section


droite du circuit magnétique donc
  BS
Au niveau de l’entrefer, les lignes de champ se déforment. On suppose donc que le
champ reste dans prolongement de l’entrefer, c’est à dire que la
section de l’entrefer et du circuit magnétique sont les mêmes. C’est une
autre manière de considérer que les fuites sont nulles au niveau de
l’entrefer.
Circuit linéarisé : B = µ0µrH. avec µ constant


IV.3) Conséquences : relations d’Hopkinson:
Dans le circuit magnétique B est uniforme, constante sur une section droite du circuit
magnétique et le long de la ligne de champ moyenne (l).
Comme
  BS .
H   NI  E On a alors :
B
B
1 
1 
H 

 d’où la relation E= H  

µ µ0 µr µ0 µr S
µ0 µr S
Théorème d’Ampère (sur la ligne moyenne) :
Il apparaît donc une relation linéaire entre la force magnétomotrice
E (fmm) et le flux 
, Ceux-ci étant liés par les paramètres physique du matériaux :µ ,
et S. On regroupe
donc les paramètres physiques sous un seul terme de reluctance

µS
Comme le circuit ne présente pas de fuites de flux , on considère donc que le flux est
conservatif.
Si plusieurs bobinages coexistent, il faut sommer les influences des fmm :
E=  k N k ik
k
Le coefficient
k
traduit le sens de la fmm. Il est obtenu en appliquant la règle des points
homologues : Des courants entrants par les points homologues de différents bobinages
placés sur un circuit magnétique créent des forces magnétomotrices qui s’ajoutent
On écrit donc la relation d’Hopkinson :

k
k


N k ik    i   
 i

IV.4) Analogie électrique:
Grandeurs magnétiques
Force magnétomotrice : E= Ni en A ou A.tr
flux d’induction :  en Webers (Wb)
Réluctance :

Grandeurs électriques
Force électromotrice : E en Volts (V)
Courant électrique : i en Ampères (A)
Résistance :
µS
U= 
maille magnétique  Um = 0
ddp magnétique :
R
ddp électrique : U = R I
Maille électrique :
maille
nœud magnétique

m
=0
S
U
m
=0
maille
nœud électrique :
noeud
I
n
=0
noeud
Association série
Association série
éq  1  2
Réq  R1  R2
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R1
R2
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Association parallèle :
Association parallèle :
1
1
1


éq 1 2
R1
1
1 1
 
Réq R1 R2
R2
V) Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer:
Les circuits magnétiques ont été jusqu’à maintenant étudiés dans le cadre de l’approximation linéaire d’Hopkinson : les
circuits magnétiques sont parfaits, c’est à dire linéaires (μr constant) et exempts de fuites magnétiques (tout le flux créé
par les enroulements apparaît dans le circuit magnétique).
Dans les applications industrielles, l’approximation linéaire n’est plus de mise car l’exploitation des matériaux ne se
cantonne pas aux inductions faibles, là où la linéarité est garantie. L’exploration des zones saturées permet de décrire plus
justement les phénomènes observés.
On schématisera la bobine avec noyaux de fer ainsi :
V.1) Rappels sur la bobine sans noyau de fer en régime linéaire:
Relations:
Dans une bobine sans noyau de fer la tension à ses bornes est la somme des tensions induites sur chacune des spires :
u (t )  N
d
dt
.
L’écriture de la loi d’Hopkinson dans une bobine sans noyau donne
u (t ) 
N 2 di
 dt
soit
u (t ) 
N 2 µ0 S di
dt
L
  Ni
avec

µ0 S
où l’on retrouve le coefficient de proportionnalité
donc
L
N 2 µ0 S
inductance de la
L
bobine en Henry (H) Ce coefficient reste constant car la perméabilité µ0 ne change pas.
De même cette proportionnalité est retrouvée entre le flux dans une spire et le courant qui la traverse :
On retrouve
  N  Li
où

est le flux vu par l’ensemble des spires et L l’inductance vue précédemment.
Exemple : Calculer l’inductance d’une bobine torique de 200spires de périmètre 60 cm et dont les spires font en moyenne 10
cm de rayon.
Modèle équivalent:
Afin de tenir compte de la résistance des fils on ajoute une résistance r
i(t)
r
i(t)
u(t)
L
u(t)
V.2) Caractérisation de la bobine à noyau de fer en régime linéaire:
V.2.1) Modélisation de la bobine à noyau de fer en régime linéaire:
Toutes les lignes de champ créées par l’enroulement n’apparaissent pas dans le circuit
magnétique. Pour des raisons essentiellement de fabrication, certaines d’entre-elles
se rebouclent dans l’air proche des spires. On distingue le flux dans le matériau  (t )
 f (t )
du flux de fuite s’en échappant
e (t )   (t )   f (t )
s’écrit :
ainsi le flux embrassé par l’enroulement
et par la loi de Faraday la tension est
d f (t )
de (t )
d (t )
N
N
et comme la loi d’Hopkinson nous donne
dt
dt
dt
di(t )
di (t )
N2
 f
Ni     si on pose L 
alors : u (t )  L
dt
dt

u (t )  N
(avec .
f

Et comme
N 2 mais pour laquelle  n’est pas physiquement définit car il ne correspond pas à un parcours précis)
air
air

Ni L
 i
 N
alors
  N  Li
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On peut rajouter le caractère résistif du fil ainsi les 3 paramètres suivants caractérisent la bobine :
Résistance :
o
r
s
o
Coefficient d’auto induction :
o
Inductances de fuites :
N2
L

u (t )  L
ainsi
di (t )

dt
f
di (t )
 r  i (t )
dt
f
i(t)
f
r
u(t)
L
La tension et le courant ne sont pas reliés directement. Pour pouvoir exprimer directement le flux, on réalise l’hypothèse de
Kapp.
Remarque : pour réduire les fuites les enroulements sont placés au plus près du circuit magnétique. Les dispositions
pratiques consistent à utiliser des circuits magnétiques cuirassés ou toriques :
Rappel : l’énergie stockée dans cette bobine est
W
V.2.2) Comportement simplifié dans l’hypothèse de Kapp:
La tension alimentant la bobine est
B(t ) 
U
 (t )
S

f
di (t )
et r i (t )
dt
u (t )  U 2 cos t  N
U 2
sin t  Bmax sin t
SN 
2
Bmax NSf  4, 44  Bmax NSf
2
La loi d’Hopkinson nous rappelle que
1 2 1
Li     2
2
2
d (t )
dt
donc
à N
 (t ) 
d (t )
dt
U 2
sin t
N
donc
ainsi en identifiant les amplitudes on obtient la relation de Boucherot :
où le flux et la tension sont sinusoïdaux. On travaille à flux forcé.
Ni    
donc
i
   U 2
U 2
 2
sin t 
sin t
N
N 
L
et l’on retrouve la
définition de l’inductance en régime sinusoïdal : Z= L
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V.2.3) Dimensionnement physique d’une bobine
V.3) Caractérisation de la bobine à noyau de fer en régime non linéaire: saturation du matériau
Dans les applications industrielles, les grandeurs sinusoïdales tensions et courants ont des amplitudes élevées. Par
conséquent, la saturation est vite atteinte. On ne peut plus tenir compte de la linéarité du matériau (μr n’est pas constant).
La réluctance et l’inductance ne peuvent plus êtres définies. De plus, le parcours répétitif du cycle d’hystérésis nécessite de
tenir compte des influences énergétiques. Cette nouvelle donne incite à reconsidérer l’étude des circuits magnétiques en
régime saturé.
V.3.1) Influence du cycle d’hystérésis sur la forme du courant.
Les étapes sont
u (t )  U 2 cos t
puis
 (t )  M sin t
puis
B(t )  BM sin t
puis
H (t )
puis
i (t )
Le courant dans la bobine est périodique mais non
sinusoïdal. Il est d’autant plus « déformé » que le circuit
magnétique est saturé.
La distorsion du signal est marquée par le taux
d’harmoniques. Si la déformation est faible, une
approximation au premier harmonique est envisageable.
On ne travaille alors qu’avec le courant fondamental.
Dans le cas général, il faut envisager l’influence
de toutes les harmoniques. Dans ces conditions, on
recherche une représentation sinusoïdale du courant qui
transporte la même puissance que le courant réel.
Cette équivalence est obtenue en travaillant avec
la puissance.
V.3.2) Expressions des pertes dans les bobines.
Dénomination
Expression
Parade
Utiliser un matériau plus résistif : fer avec addition de
Pertes par courant de
BM2 f 2
silicium, ferrite.
PF  k
Foucault
Augmenter la résistance au passage des courants: circuit

(liés aux courants
2
te
2
magnétique composé de tôles (feuilletage) isolées entre
et BM  C  U
induits)
Pertes fer
elles par oxydation surfacique.
Pertes par Hystérésis
Puisque les pertes sont directement conditionnées par l’aire
2
P

k

f

B
(lié à l’irréversibilité
du cycle d’hystérésis, il faut les réduire en utilisant, par
H
H
M
donc à l’aire du cycle)
exemple, des matériaux ferromagnétiques doux.
Les pertes fer sont aussi chiffrées empiriquement par la formule de Steinmetz :
13/27
Sommaire
Pfer   fVBˆ 1,6
avec sachant que la masse volumique des alliages à base de fer est de 7800 kg/m 3
Pour B=1 T f = 50 Hz
Tôle au silicium 3 à 4 %
Fer pur (électrolytique)
Fer doux
Acier à 1% de carbone
Acier à 1% de carbone, trempé

27,5
80
250 à 500
3750
8500
Pfer en W/kg
0,18
0,51
1,6 à 3,2
24
54
V.3.3) Modélisation de la bobine saturée.
Comme nous venons de le voir la puissance transmise à la bobine est en partie perdue en pertes fer. La mesure de la
puissance active avec un wattmètre fournit la somme des pertes fer : Pfer .On
peut modéliser ces pertes par une résistance Rf soumise à la tension u(t).
o Dans le cadre de l’approximation de Kapp : des pertes fer et du
déphasage on déduit
Rf 
U 2 Pfer U
 2 
Pfer
IA
IA
U 2 Q fer U
X

L


 2 
et
Q fer
IR
IR
i(t)
iA(t)
Schéma équivalent dans
l’approximation de Kapp
.
u(t)
Rf
iR(t)
L
On notera tout de même que ces paramètres ne traduisent qu’une
approximation car Rf et L ne sont pas constant et dépendent de la
saturation du matériau et de la fréquence d’utilisation
Pour tenir compte des paramètres f et r il suffit de les rajouter.
Une mesure de U et I en continu permet de déterminer r
La représentation de Fresnel des divers courants et tensions est la
suivante
o
U
IA
IR
U’

i(t)
r
f
Schéma équivalent complet
iA(t)
u(t)
u’(t)
Rf
iR(t)
L
fI
rI
I
V.3.4) Mesures pour la détermination du modèle équivalent.
A
V
UDC
A
U
W
V
Sommaire
14/27
VI) Les milieux magnétiques, aimants permanents:
VI.1) Domaine de Weiss , paroi de Bloch
VI.2) Classification:
Dans le vide les vecteurs champ d’induction magnétique
liés par la relation
B  µ0 H
B
et champ d’excitation magnétique
H
sont colinéaires puisque
où μ0 est la perméabilité magnétique du vide (T.m/A).
Dans un milieu magnétique quelconque mais isotrope, ces vecteurs restent colinéaires. Cependant, le coefficient de
proportionnalité dépend du matériau. On définit le vecteur aimantation J qui indique l’influence du milieu.
Champ d’excitation et aimantation se superposent pour exprimer le champ d’induction :
B  µ0 H  µ0  H  µ0 1    H  µ0 µr H  µH
J
µr
Où :





J le vecteur aimantation (dépend de
µr la perméabilité relative.
µ la perméabilité absolue.
est la susceptibilité magnétique (dépend de
H)
H).

représente la pente de chaque courbe
J
Ferromagnétisme :
  de 1000 à 5000 au max de pente
(Fe Co Ni et leurs alliages)
Paramagnétisme :   10-6 à 10-3
(Na Al Mn Ta W Pt U CoO Fe3C)
H
Diamagnétisme :   - 10-6
(Si Cu Zn Ge Se Ag Pb Al2O3)
Sommaire
15/27
VI.3) Courbe de première aimantation d’un matériau ferromagnétique:
B
Zone de saturation : B  µ0H
Coude de saturation
Zone linéaire : B = µH
H = NI/
Le tracé de cette courbe s’est effectué avec un courant croissant et sans jamais revenir en arrière
Sommaire
16/27
VI.4) Cycle d’hystérésis de divers matériaux
Pour certains matériaux le fait de revenir en arrière fait apparaître un dédoublement de la courbe qui dépend du passé
magnétique du matériau qui présente ainsi un effet de mémoire
B
Zone utile des aimants
Cette zone est parfois
considérée comme linéaire :
BR
Montage pour visualiser le cycle d’hystérésis
B= BR + kH
R= 1 k
R’= 100 k
C= 0,1 µF
Courbe de première
aimantation
-HC
H
HC
C
R’
R
GBF
r
Voie 2
- BR
Voie 1
B
Matériau dur
Matériau doux
H
o Un dédoublement prononcé est caractéristique des
matériaux dits durs ( Br plutôt élevée, Hc plutôt élevé
sup à 100 A/m, surface du cycle élevée) Aimants. On ne
peut raisonnablement pas vraiment parler de µr
o Si le dédoublement est très faible le matériaux est dit
doux ( Br plutôt faible, Hc plutôt faible : inf à 100 A/m
, surface du cycle faible) donc pas de pertes donc
transfo, carcasse de machine. Ces matériaux utilisés
pour guider les lignes de champ présentent un µr
relativement important…
Sommaire
17/27
VI.5) Droite de charge : Calcul de longueur d’aimant
Un aimant est utilisé en principe comme source de champ magnétique dans un moteur par exemple.
Il faut donc déterminer les caractéristiques de cet aimant.
On ne s’intéressera qu’à la zone utile de la courbe d’hystérésis de l’aimant
Matériaux ferromagnétiques
doux (facilement usinable)
Perméabilité :µ
Entrefer : µ0
e
L2/2
Se
Section de l’entrefer
Longueurs de chacun des
matériaux
L1/2
Sf
Section dans le fer
La
Matériau ferromagnétique
dur (aimant)
Le théorème d’Ampère appliqué à la ligne de champ moyenne :
 H .d
0
car aucun courant n’est enlacé par le contour
(C )
 H .d
 H a La  H1L1  H1L1  he  0
(C )
aimant
¨ matériau doux
entrefer
On considère le flux conservatif donc égal dans l’air de l’entrefer et dans l’aimant :
  Sa Ba  Sebe
H a La  Ba
S B
L1
L
e
 Ba 2  be
 0 et be  a a
µ
µ
µ0
Se
H a La  Ba
L1
L S B e
 Ba 2  a a   0
µ
µ
Se µ0
négligeable
L1
L
 Ba 2 est négligeable car µ est très grand comparé à µ0
µ
µ
S B e
H a La  a a   0
Se µ0
Ba
Ba   µ0
Se  L
 Ha
Sa  e
a
Cette équation fait ainsi apparaître une droite appelée droite de charge
Ba  a  H a avec a  µ0
Se  La
Sa  e
Son intersection avec la courbe d’hystérésis de l’aimant donne le point de fonctionnement.
Sommaire
18/27
Zone utile de la courbe d’hystérésis de l’aimant
BR
Droite de charge
Ba
²
Tangente à l’origine

Ba=-aHa
A

C
O
Ha
Comme on souhaite avoir le maximum d’énergie magnétique pour un minimum de volume
d’aimant

be2 Se
1 

 Volume aimant 

µ0 B  H 

: il faut que le produit de B par H (aire du rectangle)
au point de fonctionnement soit maximum.
Ce point d’énergie magnétique maximum est déterminé par le critère d’Evershed que l’on
peut trouver lorsque la tangente à la courbe (droite en pointillés) et la droite reliant ce
point à l’origine (droite de charge) forment un triangle isocèle (OAC)
Ce point d’énergie magnétique maximum nous impose donc le champ B
Ainsi la longueur d’aimant à usiner est donnée par
S B
L  a a e
µ0 HSe


VI.6) Désaimantation : droite de recul
Les étapes de l’insertion d’un aimant dans un circuit magnétique fait apparaître certains
inconvénients qu’il est bon de garder en tête.
Nous avons vu précédemment que le point de fonctionnement dépend de l’entrefer mais
nous allons voir un phénomène appelé droite de recul qui peut s’avérer très gênant :
Lors de la création d’un circuit magnétique : on se dote du matériau ferromagnétique qui
servira d’aimant  puis en fermant le circuit par un matériau doux et en excitant
l’ensemble par une bobine parcourue par un courant alternatif  on obtient alors l’aimant

qui sans excitation présente dans ce circuit fermé le champ magnétique rémanent Br .
Lors de l’ouverture du circuit le point de fonctionnement va se placer en un point
correspondant à l’entrefer ainsi créé  puis lorsque l’on place le rotor d’un moteur dans
cet entrefer ainsi créé le point de fonctionnement au lieu de remonter sur la courbe de l’aimant prend le chemin d’une
droite appelée droite de recul (qui est parallèle à la tangente à l’origine) .
Ceci met en évidence les soins à avoir lors de la création d’un moteur et surtout l’attention à al*voir lors d’une
éventuelle réparation du rotor qui lors de son retrait de l’entrefer aura pour conséquence de désaimanter le circuit de
façon permanente (cas de nombreux moteurs Axem) sauf si le circuit est prévu pour être aimanté une fois le rotor mis
en place
Sommaire
19/27
B
BR

Tangente à l’origine



Sommaire
’

’’
H
20/27
VI.7) Les électroaimants:
VI.7.1) Principe
Un électroaimant génère une force .Le circuit magnétique se déforme de façon à rendre le flux le plus grand possible
(donc en diminuant la reluctance du circuit, c'est-à-dire en diminuant l’entrefer)
Pour l’étude on considèrera le circuit magnétique parfait donc on définira la reluctance du circuit en fonction de
l’entrefer x. La résistance du circuit est nulle donc R=0. Les parties mécaniques glissent sans frottement.
VI.7.2) Energie magnétique
L’expression de la densité volumique d’énergie magnétique est :
Wvol 
 BdH
vol
Pour un circuit magnétique parfait
B  µ0 µr H
alors
Wvol 
1
 BdH   µ µ HdH  2 µ µ H
0
vol
Si l’on considère le champ B et la section
circuit magnétique composé :

Du fer :
W f  Wvolf V f 
S
r
0
r
vol
2

1
B2
2µ0 µr
constants, alors on peut écrire simplement l’énergie contenue dans le
1
1 1
1
B2 V f 
B2S 2   f  2
2µ0 µr
2 µ0 µr S  2
2
S
f

De l’entrefer :
We  Wvole Ve 
1 2
1 1 x 2 2 1
B Ve 
B S  e 2 ¨
2µ0
2 µ0 S  2
2
xS
e
Donc en sommant les énergies contenues :
WCM 
 2
1
1 1
1 x  2 1 1 
 f  e   2  


   
  x   
2
2  µ0 µr S µ0 S 
2  µ0 S  µr

donc WCM


si
µr
x
1 x 2

2 µ0 S
x
1 x 2

2 µ0 S
VI.7.3) Force générée:
L’énergie apparaît sous forme électrique, magnétique ou mécanique.
Le système étant étudié en translation, l’expression de chacune d’entre-elles est effectuée pour une variation
élémentaire du temps dt , du flux
d
ou du déplacement
dx .
Le bilan énergétique permettra de déterminer l’expression de l’énergie magnétique
WCM .
Toute l’énergie électrique est convertie en énergie magnétique ou mécanique donc : dWe  dWCM  dWmec
Or la variation d’énergie électrique dWe  u(t )  i(t )dt et u (t )dt  Nd donc dWe  Nid
Et la variation d’énergie mécanique : dWmec   Fdx
Donc dWCM  Nid  Fdx
Sommaire
21/27
La différentielle du flux fait apparaître
dWCM 
WCM
W
d  CM dx

x
WCM
WCM
 F soit F 
x
x
Si le courant est continu la loi d’Hopkinson devient : NI   x donc
Par identification on ressort :
WCM
 Ni

et
1 x 2

 
2 µ0 S 
1



2
x
2µ0 S
2


 NI   NIµ S  2


NI
0
2  
  x  

  x 
 x  
µS
 0 
2
2
Ainsi
1
1  NIµ0 S  µ0 N 2 I 2
F
2 
S

 
2µ0 S
2µ0 S  x 
2 x2
réduit au minimum à une distance e alors
F
et comme l’entrefer se
µ0 N 2 I 2
S
2  e  x 2
VI.7.4) Remarques technologiques:


Dans un électro-aimant de contacteur (par exemple), l’entrefer est d’abord important car le circuit magnétique est
ouvert. Pour assurer la force de décollement, il faut augmenter le courant I. Or, les bobines sont alimentées en
tension, si bien que le courant est élevé au début de la fermeture, puis diminue à mesure que l’entrefer se ferme.
C’est ce qui justifie le courant d’appel à la fermeture des contacts.
Si le courant est sinusoïdal la force F s’annule deux fois par période de la tension u(t) et ses fluctuations sont la
source de vibrations dans le domaine audible (100 Hz). La solution consiste à
superposer un flux déphasé au flux principal. Pour cela, on ajoute un circuit
magnétique dans lequel prend naissance un courant créant un flux déphasé : c’est
la spire de Frager
VI.7.5) Domaines d’application
Les applications des électro-aimants sont très nombreuses. Citons les plus
importantes :

relais et contacteurs ;

embrayages et freins ;

électro-aimants de levage ;

électrovannes et servo-valves.
Sommaire
22/27
VII) Couplage des circuits :
VII.1) Rappels sur les inductances:
Le flux embrassé par une spire est noté s’écrit :
l’enroulement
u (t )  L
u (t )  N
d (t )
dt
traversent des bobines
Inductance de fuite :
1f
N11 p


i1
N11 f
i1
alors
avec
Ni    
si on pose
L
N2

alors :
N  Li
N11
: L1 
i1
Inductance propre ou self inductance
Inductance principale : L1 p
et par la loi de Faraday la tension sur les spires constituants
et comme la loi d’Hopkinson nous donne
di (t )
Ni L
 i
. Et comme  
dt
 N
traversent la bobine a

avec
1
1 p  1  1 f
i2
N1
1f
N2
: tous les flux utiles qui
1f
i1
avec
1 f
12
: tous les flux qui
: tous les flux qui ne traversent
i3
N3
13
2
aucune partie utile
1
VII.2) Inductances mutuelles:
Si la bobine 1 est parcourue par
i1  Iˆ1 sin t
un flux
12
de même forme est produit par les spires de ce bobinage,
flux dont une fraction coupe les spires du bobinage secondaire.
Si M12 est le coefficient d'induction mutuelle entre les deux bobinages, il apparait aux bornes du secondaire une fém
e2   N 2
induite
d12
di


  M 12 1   M 12 Iˆ1 sin  t  
dt
dt
2

soit, en utilisant la notation complexe,
E2   jM12 I1
Inductance mutuelle :
M 12 
N 212
i1
et
M 21 
N121
i2
Rq : Si le secondaire est un circuit fermé, la fém e2 va engendrer un courant i2 lequel produit à son tour un flux dont une
fraction induit dans l'enroulement primaire une fém e2 telle que
E1   jM  I2 .
VII.2.1) Sans fuites de flux:
Entre deux bobines parfaitement couplées :
12  21  1  2
12
i1
Alors
M12  M 21  M
M  N2
i2
1 
N
N

i1  M  2 L1  1 L2
N
N
1
2
N11  L1i1 
N2 
L1
N1 
N 2 N1
et
M
2

N
L1  1 

 
M
N 2 N1



et
 M  L2 L1
2
N1
L1 
 N1  L1 


M
et
Donc
N11  N112  N11 f
Alors
N11  N112  N11 f
L1i1
Mi2
1 f i1
et comme
et comme
1  12  1 f
12  21
i2 
2
1
VII.2.2) Avec fuites de flux: coefficients de couplage
Les fuites entre les deux bobines font apparaître
L2  N 2 


L1  N1 
12
i1
1f
N1
i1
N2
i2
1f
Sommaire
23/27
La méthode de Boucherot : décompose les inductances
Alors
f1
 L1  M
N1
N2
et de même
f2
 L2  M
donc
1 p
i1

N1
1  1 f 
i1
 L   L
1
f1
2

où apparaissent les inductances primaires : comme
L2 p
L1 p
L1 p 
N2
N1
f2
L1 p  L1 
alors
M
2
f1
M
N1
N2
et de même
L2 p  L2 
et en se servant des inductances primaires M 
Et si l'on ramène toutes les fuites au primaire en supposant
f2
f2
M
N2
N1
L2 p L1 p
 0 , on obtient  L1 
f1
L
2
 M 2.
On chiffre le couplage plus ou moins serré des bobinages par deux coefficients :
12  1
et
k12 
12 21
M12

1
1 2
L1L2

Coefficient de couplage :

Il dépend surtout de la position géométrique des circuits, d’autant plus proche de 1 que les circuits sont
couplés
Coefficient de dispersion de Blondel : On caractérise parfois le couplage par le coefficient de dispersion
de Blondel qui permet de chiffrer les fuites :
L1L2  M 2
M122
2
 12 
 1  k12  1 
L1L2
L1L2
L1L2  M 2  12  0

Sans fuite :

Avec fuites :
L1 L2  M 2
Coefficient d’Hopkinson : rapport du flux total sur le flux utile

Comme on a toujours
L2 
permet de voir le niveau de couplage.
N 22
L1
N12
alors l‘inductance mutuelle devient

f1
1
 1
1
12
12
M  kL2
N1
N
 kL1 2  k L1 L2
N2
N1
VII.2.3) Remarque pratique
Suivant le cas on mesure
L1  L2  2M
v1
i1
*
i1
*
v1
*
*
VII.3) Equations fondamentales
V1  jL1 I1  jM  I2

V2  jL2 I2  jM  I1
On souhaite se ramener à un modèle au primaire :
 donne
I2 
V2 
v1
V2  f V1 , I1 
*
*
i2
v2
V1  jL1 I1
jM 
dans  donne :
Soit
i1
V2 

 MM
L2
L 
V1  jL1 I1   jM  I1  2 V1  jL1 I1 1 
M
M
 L2 L1
N2
V1  jL1 I1 1  k 2 
N1k

 


On tire de cette équation les valeurs des trois schémas les plus courants.
Sommaire
24/27
Modèle aux fuites localisées au primaire
f
i1
v1
i2
m
*
Modèle aux fuites localisées au secondaire
i1
*
L
’f
m’
*
v2
v1
Lv  L1  Lp1 
LV  L '  L1
LV=L1=L+f  L=L1-f 
Lors d’un essai en court circuit on mesure
Lcc 
f
 L1 1  k 2 
V2  m V1  j f  I1 
V '1
Que l’on identifie avec  .
m
n2
n1k
et
f
f
 L1 1  k 2 

 'f k2
Que l’on identifie avec  .
 1 k 2 
f
 L1 1  k  donc ' f  L1  2   2
L1  ' f
 k  k
' f  n2

kn2
 m ' 1 
alors m ' 

n1
L1  n1k

2
donc
*
L
v2
Lors d’un essai en court circuit on mesure
Lcc 
f
 'f k2
Equation de la maille


V 
V2  m '  V1  j ' f   I1  1  
jL '  


 
'f 

V2  m '  V1 1 
  j ' f  I1 
L' 
 


' 
L' 'f

V2  m ' 1  f   V1  j
 I1 

L '  
L ' ' f


L1 ' f
i2
LV  L '' '' f  L1
Equation de la maille
Equation de la maille

Lcc 
v1
m’’
Lors d’un essai à vide on mesure
Lors d’un essai en court circuit on mesure
L  k 2 L1  k 2 LV
’’f
*
*
v2
Lors d’un essai à vide on mesure
’’f
i1
i2
L’
Lors d’un essai à vide on mesure
f1
Modèle aux inductances de fuite réparties
k  1
Sommaire
LCC
LV

V  j '' f  I1  

V2  m ''  V1  j '' f  I1  j '' f   I1  1

jL ''



 

'' 
'2  
V2  m ''  V1 1  f   j I1  2 '' f  f  

 
L '' 
L ''  






2
 L '' 
'' f  
'f 

V2  m " 1 
 2 '' f 

 V1  j  I1 
L ''  
'' f  L ''  
L ''  




n2
L1 I1 (1 k 2 )


nk
1
'' f  1  k  L1 
m" 
LCC
1 k
n2
n1
L "  kL1  kLV
25/27
Appelons E la fém du primaire, Zp et Zs les impédances du primaire et du secondaire (non couplées). On peut alors écrire
(loi de Kirchhoff)
 E p  Z p I p  jM  I s

 jM  Is  Z s Is
On en déduit immédiatement Is = f(Ip) et en reportant dans l'expression de E on obtient

M 2 2 
Ep  I p Z p 

Zs 

La présence du secondaire couplé au circuit primaire se traduit donc par une modification de l'impédance de celui-ci et le
schéma équivalent du primaire devient :
tandis que la relation IS=f(Ip) conduit pour le
secondaire au schéma ci-contre
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