Equations, inéquations La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en : al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui. Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9) Les termes semblables sont réduits. A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations. 1) Equation A) Produit nul Propriété : Dire qu’un produit est nul revient à dire qu’un de ses facteurs est nul, autrement dit : Si ab = 0,alors a = 0 ou b = 0 et si a= 0 ou b = 0, alors ab = 0 Exemple : Résoudre l’équation (2x – 3) (x + 2) = 0 Donc 2x – 3 = 0 ou x+2=0 Les solutions sont donc 3/2 et –2 Remarque : On utilise cette propriété pour résoudre une équation produit. B) Type x2 = a Propriété : Une équation est du second degré si l’inconnue est au carré (éventuellement après développement). Exemple : X2 – 6x = - 9 et (x + 3) (2x – 1) = 0 sont des équations du second degré. Par contre (x + 3) + (2x – 1 ) = 0 est une équation du premier degré. 2) Inéquation Définition : Résoudre une inéquation, revient à chercher toutes les valeurs d’une inconnue qui vérifient l’inégalité proposée. Ces valeurs sont appelées solutions de l’inéquation. Exemples : Considérons l’inéquation : 3x – 4 < 5x + 1 Pour x = -5 3 * (-5) – 4 = -15 – 4 = -19 5 * (-5) + 1= -25 + 1 = -24 Or –19 n’est pas inférieur à –24 donc –5 n’est pas une solution de l’inéquation. Pour x = 1 3 * 1 – 4 = 3 – 4 = -1 5*1+1=5+1=6 Or –1 est bien inférieur à 6 donc 1 est une solution de l’inéquation. Propriété : Soit a, b et c des nombres relatifs : a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b. Exemples : 5 < 10 alors 5 + 4 < 10 + 4 : 9 < 14 -2 < 3 alors –2 – 5 < 3 – 5 : -7 < 2 Propriétés : Soit a, b et c des nombres relatifs : si c>0, alors ac et bc sont rangés dans le même ordre que a et b si c<0, alors ac et bc sont rangés dans l’ordre contraire à celui de a et b. Exemples : 5 < 10 alors comme 3 > 0 on a 5 * 3 < 10 * 3 soit 15 < 30 -2 < 3 alors comme 5 > 0 on –2 * 5 < 3 * 5 soit –10 < 15 5 < 10 alors comme –4 < 0 on a 5 * (-4) > 10 * (-4) soit –20 > -40 -2 < 3 alors comme –4 < 0 on a –2 * (-4) > 3 * (-4) soit 8 > -12 Remarque : La plupart des inéquations possèdent une infinité de solutions. On peut présenter l’ensemble des solutions par une phrase ou par une représentation graphique. Exemples : x - 7 < 4 alors x - 7 + 7 < 4 + 7 soit x < 11 La demi-droite coloriée représente les solutions. (x = 11 n'est pas une solution, le crochet est tourné vers la partie hachurée) -5x + 7 > 2x + 21 -5x + 7 - 7 > 2x + 21 – 7 -5x > 2x + 14 -7x > 28 -7x ÷(-7) < 28÷(-7) x < -4 5x -2x > 2x - 2x + 14 Représentons graphiquement ces solutions : 3) Résolution d’un problème du 1er degré La résolution d’un problème du premier degré se fait en cinq étapes : Choix de l’inconnue Mise en équation ou inéquation du problème Résolution de l’équation ou de l’inéquation Vérification du résultat Interprétation du résultat et conclusion Exemple : Une mère de quarante cinq a une fille de 13ans. Dans combien d’année l’âge de la fille sera la moitié de l’âge de sa mère ? Solution dans 19ans.