Mécanique des fluides Sujet à traiter sur une feuille séparée 1re partie : statique des fluides Une paroi plane trapézoïdale sépare deux réservoirs d’eau de niveaux différents. La paroi est présentée sur la figure 1. Les niveaux d’eau dans les deux réservoirs sur la figure 2. 12 m 4m 4m Figure 1 : paroi de séparation des deux réservoirs Paroi de séparation 4m 2m Figure 2 : niveaux d'eau dans les deux réservoirs Travail demandé : Calculer l’intensité de la résultante des forces de pression 2ème partie : Cinématique des fluides On se propose d’étudier un écoulement laminaire unidirectionnel en régime permanent établi entre deux plaques parallèles semi infinies. Les deux plaques sont immobiles, l’écoulement est constitué de deux fluides de masses volumiques et de viscosités différentes, l’écoulement est schématisé sur la figure 3. Paroi immobile z h2 Fluide 2 : 2, 2 Interface entre les deux fluides U2 U0 h1 Fluide 1 : 1, 1 x Sens de l’écoulement U1 Paroi immobile Figure 3 : Schéma de l'écoulement unidirectionnel Les deux fluides notés respectivement « fluide 1 » et « fluide 2 » sur la figure 3 sont non miscibles, ils s’écoulent dans la même direction « x ». L’épaisseur de la couche de fluide 1 est notée « h1 », l’épaisseur de la couche de fluide 2 est noté « h2 ». Les deux fluides sont en contact au niveau de l’interface située en z=0 (cf. figure 3). Au niveau de l’interface entre les deux fluides, la condition de contact impose que la vitesse soit la même dans les deux fluides de part et d’autre de l’interface, cette vitesse à l’interface est notée « U0 ». De plus la contrainte de cisaillement xy devant se transmettre du fluide 1 vers le fluide 2 on doit également vérifier la condition d’équilibre suivante au niveau de l’interface : xy 1 dU1 dU 2 2 dz dz Dans ce problème on négligera l’influence de la gravité : ( g 0 ). Travail demandé : 1 – Posez les équations de Navier Stockes et simplifiez les en prenant en compte le caractère unidirectionnel et permanent de l’écoulement, montrez que l’on obtient alors deux équations différentielles scalaires (une dans chacun des deux fluides). 2 – Ecrire les conditions aux limites à utiliser pour chacun des deux fluides (condition sur les parois et conditions à l’interface décrites précédemment). 3 – Calculer les champs de vitesse U1(z) et U2(z) en partant des équations différentielles et conditions aux limites obtenues aux questions 1 et 2. 4 – On suppose maintenant que le fluide 1 est de l’eau et le fluide 2 de l’air. On suppose également que la perte de charge dans l’écoulement du fluide 1 est de 1 mm/m. Calculer U0 et les débits Q1 et Q2 pour les données suivantes : h1=1m, h2=2m 1=1.10-3Poiseuille, 2=17.10-6 Poiseuille, 1=1000kg/m3, 2=1,2kg/m3. 5 – Tracez le profil des vitesses avec les données de la question 4. ***