les méthodes d`analyse des circuits :

les méthodes d'analyse des circuits :
réseaux de Kirchhoff
(exercices)
Avant Propos Objectifs Résumé
1.
2.
3.
4.
5.
RAPPEL
SIMPLIFICATION DES CIRCUITS
ANALYSE NODALE DES CIRCUITS
Bibliographie.
DEFINITIONS
Circuit, Eléments passifs, Eléments actifs
Branche, Noeud, Maille
LOI DE KIRCHHOFF
Loi des Noeuds
Loi des Mailles
Rappel
les méthodes d'analyse des circuits :
réseaux de Kirchhoff
(exercices)
DEFINITIONS
Circuit
Il est constitué par un nombre fini d'éléments connectés entre eux.
Eléments passifs
C'est le constituant de base du circuit. Dans le cas présent ce sera soit une résistance,
soit une self, soit un condensateur. Il a 2 extrémités (bornes) A et B (d'où le nom de
dipôle) qui ont chacune un potentiel V et il est parcouru par un courant d'intensité I. Il
existe une relation entre l'élément, la différence de potentiel VA - VB (tension) entre les
2 extrémités et le courant qui circule dans l'élément. Selon l'élément considéré les
relations sont les suivantes :
résistance R :
VA - VB = R I
self L :
VA - VB = L dI./dt
condensateur C :
I = C d(VA-VB)/dt
Par convention la relation tension-courant aux bornes d'un élément passif sera positive
lorsque le courant I circule dans l'élément du point de potentiel le plus élevé (A) vers
le point de potentiel le moins élevé (B). Ceci par analogie avec l'eau d'une rivière qui
s'écoule d'amont (niveau le plus élevé) en aval (niveau le plus bas). Les éléments
précédents sont incapables de fournir de l'énergie, mais la self et le condensateur
peuvent restituer l’énergie qu’ils ont emmagasinée. Ainsi les appelle-t-on éléments
passifs.
Eléments actifs
Un circuit électrique a besoin d'énergie pour fonctionner. C'est le rôle des sources
indépendantes de tension et de courant dites éléments actifs. On parlera de sources
d’excitation du circuit.
Par convention, une source fournit de l'énergie à un circuit si le courant circule dans
l'élément du point de potentiel le moins élevé vers le point de potentiel le plus élevé.
Remarque.
Dans le cadre des exercices, la mesure des intensités de courant et des différences de
potentiel se fait respectivement avec des ampèremètres et des voltmètres idéaux. Ceci
amène à considérer dans le schéma du circuit étudié un ampèremètre comme un courtcircuit (tension à ses bornes nulle) et un voltmètre comme un circuit ouvert (courant
circulant nul).
Branche
Dans la définition la plus simple, un élément constitue une branche
Le courant circulant dans cette branche sera appelé courant de branche.
Noeud
De la même façon, on dit qu'une branche est terminée en chacune de ses extrémités
par un noeud.
A chaque noeud correspond un potentiel appelé potentiel de noeud.
En se tenant à ces définitions, on obtient dans un circuit un nombre de branches et de
noeuds qui peut être très important. On prendra souvent des définitions moins
restrictives : une branche peut comporter plusieurs éléments; un noeud correspond à la
connexion d'au moins 3 éléments entre eux.
Maille
Dans un circuit, une maille est constituée d'éléments connectés entre eux formant une
boucle fermée(ABCDEF),(ABEF)...
Une boucle ne passe pas deux fois par le même noeud sauf le noeud de début et de fin
de boucle.
Un élément n'apparait qu'un fois dans une maille.
Loi des noeuds
La somme des courants entrant au noeud d’un réseau est égale à la somme des
courants sortant de ce noeud.
Loi des mailles
La somme algébrique des tensions aux bornes des différentes branches d'une maille est
égale à zéro.
Méthodes de simplification de circuits
les méthodes d'analyse des circuits :
réseaux de Kirchhoff
(exercices)
Préliminaire
Différents aspects de la loi des noeuds
Présentation du problème
loi des noeuds et courants de branche
loi des noeuds et tensions de branche
loi des noeuds et potentiels de noeuds
Différents aspects de la loi des mailles
Présentation du problème
loi des mailles et tensions de branche
loi des mailles et courants de branche
loi des mailles et courants de maille
Association d'éléments passifs en serie et parallèle
Association série
Association parallèle
Diviseur de tension
Notion de diviseur de tension
Applications du diviseur de tension
premier exemple
deuxième exemple
troisième exemple
Diviseur de courant
Notion de diviseur de courant
Applications du diviseur de courant
premier exemple
deuxième exemple
troisième exemple
Source de tension équivalente - Théorème de Thevenin
Notion de Source de tension équivalente
Calcul du dipôle équivalent série entre 2 noeuds d'un circuit
Détermination des éléments de la source de Thévenin équivalente
Applications du Théorème de Thévenin
premier exemple
deuxième exemple
troisième exemple
Source de courant équivalente - Théorème de Norton
Notion de Source de courant équivalente
Calcul du dipôle équivalent parallèle entre 2 noeuds d'un circuit
Détermination des éléments de la source de Norton équivalente
Applications du Théorème de Norton
premier exemple
deuxième exemple
troisième exemple
Applications des théorèmes de Thévenin et de Norton
Théorème de Millman
A partir du théorème de superposition
A partit du théorème de Thévenin
A partir du théorème de Norton
Dipôles équivalents en présence de source contrôlées
Sources contrôlées
Applications au calcul des dipôles équivalents de circuits avec sources contrôlées
Calcul du dipôle équivalent série
Calcul du dipôle équivalent parallèle
Méthode de simplification des circuits
Préliminaire
Afin de développer des méthodes de simplification de circuits ou de parties de
circuits sans avoir des formules et des équations trop complexes, on n’utilisera que la
résistance comme élément passif. La forme du signal ne sera jamais précisée.
L’absence d’éléments réactifs entraîne l’inexistence de régime transitoire.
Différents aspects de la loi des noeuds
Présentation du problème
Application
On étudie une partie d'un circuit constitué de résistances, de sources indépendantes de
courant et de tension.
Les sens de courant choisis sont indiqués sur le schéma
Les branches connectées au noeud A sont : la branche R1 entre les noeuds A et B
parcourue par le courant de branche I1; la branche R2 entre les noeuds A et C
parcourue par le courant de branche I2; etc...
Les potentiels de noeud sont VA, VB, VC, VD, VF, VG.
Ecrire la loi des noeuds en A en prenant comme inconnues:
1 - les courants de branche
Réponse :
I1 + I2 + I - I3 + I4 = 0
2 - les tensions de branche.
Réponse :
I - G4E4 = (VA -VB)G1 + (VA -VC)G2 + (VA -VF)G4 + (VA -VD)G3
3- les potentiels de noeud.
Réponse :
I - G4E4 = VA (G1 + G2 + G3 + G4) - VB G1 - VC G2 - VD G3 - VF G4
Remarque.
La première étape de l'étude d'un circuit commence toujours par le dénombrement des
noeuds et des branches.
La partie de circuit représentée comprend 6 noeuds et 5 branches.
L’ensemble E4, R4 peut être considéré comme formant 2 branches distinctes si l’on
reprend la définition d’un noeud. Cependant, dans les calculs manuels, il sera toujours
préférable de minimiser le nombre de noeuds. C’est généralement ce qui sera fait. La
branche E4, R4 (lire résistance R4 en série avec la source de tension E4) constitue une
source de tension indépendante réelle car une résistance (appelée résistance interne)
est associée à la fem de la source de tension. Une source de tension avec une
résistance interne nulle sera appelée source de tension indépendante idéale. La source
de tension indépendante réelle correspond mieux à la réalité physique.
Différents aspects de la loi des noeuds
Figure
Loi des noeuds et courants de branche
1 - La loi des noeuds s'écrit au noeud A:
=
:Cliquez ICI
où
est la somme des courants se dirigeant vers le noeud A et
courants s'éloignant du noeud A
Première présentation : I1 + I2 + I + I4 = I3
est la somme des
Deuxième présentation :en mettant tous les courants à gauche du signe =
I1 + I2 + I - I3 + I4 = 0 =
Sous cette forme la convention de signe pour les courants est la suivante : les courants
entrant sont positifs; les courants sortant sont négatifs.
Troisième présentation :en mettant tous les courants à droite du signe =
0 = I3 - I1 - I2 - I - I4 =
La convention de signe devient : les courants sortant sont positifs; les courants entrant
sont négatifs.Il est clair que les 3 présentations de la loi des noeuds donnent le même
résultat.
Dans la suite des exercices, on utilisera :
=0
et la convention :
- courant entrant positif
- courant sortant négatif.
Figure
loi des noeuds et tensions de branche
L'introduction des potentiels de noeud conduit naturellement à employer les
relations tension-courant, v(i) ou i(v), existant aux bornes de chaque branche à 2
exceptions près :


- si la branche contient une source indépendante de tension idéale.
- si la branche contient une source indépendante de courant idéale.
Dans ces 2 cas, il n'existe pas de relation entre la tension et le courant de branche.
En utilisant les résultats connus, les différences de potentiel pour chaque branche
s'écrivent :

VB - VA = R1 I1 ; VC - VA = R2 I2 ; VA - VD = R3 I3 ; VF - VA = E4 + R4 I4 ; VG VA = ?
Toutes ces relations ont comme dimension le volt.
Remarque.
Pour la relation VF - VA = E4 + R4 I4, il est clair que, selon le schéma, VF - VA et E4
ont le même signe. Un raisonnement rapide fait dire que VF - VA > E4. L'interprétation
doit être faite avec prudence, car 2 cas sont possibles :
1. - Les résultats de l’application numérique donnent VF - VA < E4. Cela signifie
simplement que le sens du courant I4 n'est pas le sens réel du courant. Si l'on
inverse le sens du courant, la réalité physique apparaît.
2. - Les résultats du calcul donnent VF - VA > E4. Cela signifie que E4 ne
fonctionne pas en générateur mais en récepteur. Les données du problème sont
insuffisantes pour trancher entre les 2 cas.
Les courants dans les différentes branches s'écrivent donc :
I1 = (VB - VA) /R1
ou encore
I1 = (VB - VA) G1 (G1 étant l'inverse de la résistance appelé conductance.)
Dans toute la suite des exercices, l'inverse de la résistance (R) sera remplacé par la
conductance équivalente (G) sans justification.
I2 = (VC - VA) G2 ; I3 = (VA - VD) G3 ; I4 = (VF - VA) G4 - G4 E4 ; I
Toutes ces relations ont comme dimension l'ampère.
Remarque.
Lorsqu'on écrit I4 = (VF - VA) G4 - G4 E4, cela revient à transformer la branche de 2
éléments série (E4, R4) en une branche ayant 2 éléments en parallèle. En effet le
courant I4 est la somme algébrique de 2 courants : le courant dans G4, (VF - VA) G4 et
le courant G4 E4 fonction de la source indépendante E4. C'est donc une source de
courant indépendante parfaitement connue.
La loi des noeuds devient alors :
I1 + I2 + I + I4 - I3 = (VB - VA) G1 + (VC - VA) G2 + I - G4 E4 + (VF - VA) G4 - (VA VD) G3 = 0
Comme cela a été dit précédemment, un circuit ne peut fonctionner que s'il est
alimenté.
Ici il existe 2 sources indépendantes de courant : I et G4 E4, ce sont les grandeurs
connues.
Dans la suite des exercices, elles seront toujours placées à gauche du signe =, les
autres termes de l’équation étant placées à droite.
Ils dépendent des grandeurs inconnues VA, VB,... C'est une convention qui servira dans
l'établissement de règles pour la mise en équations des circuits.
I - G4 E4 = (VA - VB) G1 + (VA - VC) G2 + (VA - VF) G4 + (VA - VD) G3
Sous cette forme, la loi des noeuds est exprimée en fonction des tensions de branche.
Figure
En regroupant les termes correspondant aux différents potentiels de noeud, on
obtient :
I - G4 E4 = (G1 + G2 + G3 + G4) VA - G1VB - G2VC - G3VD - G4VF
Sous cette forme, la loi des noeuds s'exprime en fonction des potentiels de noeud.
Remarque.
En comparant le schéma initial et l'équation précédente, il est aisé de constater que :
- le courant se dirige vers le noeud étudié et la source de courant I est précédée du
signe +;
- la borne - de la source de tension est du côté du noeud étudié et la source équivalente
de courant G4 E4 est précédée du signe -.
- le potentiel du noeud étudié est multiplié par la somme des conductances dont une
extrémité est connectée au noeud étudié;
- pour les autres noeuds (B, C, D, F), extrémité d'une branche connectée au noeud
étudié, chaque potentiel de noeud est précédé du signe - et multiplié par la somme des
conductances dont une extrémité est connectée au noeud. Cela s'applique à tous les
noeuds extrémité des branches connectées au noeud étudié.
A partir de ce constat, il est possible d'énoncer une règle pour écrire l'équation aux
noeuds en fonction des potentiels de noeud. Ceci sera fait ultérieurement.
Figure
Application
Le schéma suivant représente une partie de circuit constituée de résistances et de
sources indépendantes de tension et de courant. Elle comprend une maille m1
(ABCDFA). Les branches R1 et R4 appartiennent à 2 mailles différentes : maille m1 et
respectivement à la maille m2 et à la maille m3 qui ne sont pas représentées sur le
schéma.
Ecrire la loi des mailles en prenant comme inconnues
1 - les différences de potentiel aux bornes de chaque branche
Réponse : (VA - VB) + (VB - VC) + (VC - VD) + (VD - VF) + (VF - VA) = 0
ou
(VA - VF) + (VF - VD) + (VD - VC) + (VC - VB) + (VB - VA) = 0
2 - les courants de branche.
Réponse : E5 + R3 J3 - E2 = R1 I1 - R2 I2 + R3 I3 + R4 I4 + R5 I5
3- les courants de maille.
Réponse : E2 - E5 - R3 J3 = (R1 + R2 + R3 + R4 + R5) Im1 - R1 Im2 + R4 Im3
La partie de circuit représentée comprend 5 noeuds : A, B, C, D, F et 5 branches
comprises entre 2 noeuds consécutif : R1; E2, R2; R3//J3; R4; E5, R5.
Il y a 2 sources de tension indépendantes réelles E2, R2 (lire E2 en série avec R2) et E5,
R5 et une source de courant indépendante idéale J3.
Remarque.
La partie de circuit représentée comprend 5 noeuds : A, B, C, D, F et 5 branches
comprises entre 2 noeuds consécutif : R1; E2, R2; R3//J3; R4; E5, R5.
Il y a 2 sources de tension indépendantes réelles E2, R2 (lire E2 en série avec R2) et E5,
R5 et une source de courant indépendante idéale J3
L'ensemble J3//R3 (lire source de courant indépendante idéale J3 en parallèle avec la
résistance R3) pourrait être considéré comme 2 branches distinctes.
Cependant il est toujours préférable de minimiser le nombre de branches afin de
réduire le nombre de mailles.
La branche R3//J3 constitue une source de courant indépendante réelle où R3 est la
résistance interne.
Une source de courant avec une résistance interne infinie (conductance nulle) sera
appelée source de courant indépendante idéale.
La source de courant indépendante réelle correspond mieux à la réalité physique.
Différents aspects de la loi des mailles
Figure
:Cliquez ICI
Loi des mailles et tensions de branche
L'application de la loi des mailles est moins directe que l'application de la loi des
noeuds. En effet si l'on observe les différences de potentiel aux bornes des branches,
on constate, par exemple, que:
le potentiel du noeud B est le point de potentiel le moins élevé pour la branche R1 et
pour la branche E2, R2.
Ceci est dû au choix des courants de branche. Pour rendre cohérente l'utilisation de la
loi des mailles, il faut fixer un sens de parcours de la maille. Il n'y a que 2 possibilités :
soit parcourir la maille dans le sens ABCDFA
soit parcourir la maille dans le sens AFDCBA.
Ce choix est arbitraire. Une fois ce sens fixé, par convention, la tension aux bornes
d'une branche sera positive si le noeud de potentiel le plus élevé est le premier
rencontré. Ceci va donner en parcourant la maille dans le sens AFDCBA en tenant
compte de la convention de signe :
Soit
- (VF - VA) - (VD - VF) - (VC - VD) + (VC - VB) - (VA - VB) = 0
(VA - VF) + (VF - VD) + (VD - VC) + (VC - VB) + (VB - VA) = 0
La dernière relation montre qu'il existe une règle pour écrire la loi des mailles avec
les tensions de branche. Il suffit de parcourir la maille dans le sens fixé (ici AFDCBA)
et d'ajouter les tensions de chaque branche; chaque tension de branche étant définie
comme la différence du potentiel du premier noeud rencontré moins le potentiel du
deuxième noeud. Ainsi pour la branche E5, R5 le premier noeud rencontré est le noeud
A, le deuxième le noeud F : VA - VF; pour la branche R1, le premier noeud est B, le
deuxième A; etc...
loi des mailles et courants de branche
Pour passer des tensions de branche aux courants de branche, les relations tensioncourant sont nécessaires. Elles s'écrivent ici, en respectant les conventions précédentes
:
VA - VB = R1 I1
VC - VB = - E2 + R2 I2
VD - VF = R4 I4
VF - VA = - E5 + R5 I5
Pour la branche J3//R3, l'application de la loi des noeuds donne:
I3 = J3 + G3 (VC - VD)
soit
VC - VD = - R3 J3 + R3 I3
Toutes les relations de tension ont comme dimension le Volt.
Remarque.
Lorsqu'on écrit VC - VD = - R3 J3 + R3 I3, cela revient à transformer la branche de 2
éléments parallèle (J3//R3) en une branche ayant 2 éléments en série. En effet la
tension VC - VD est la somme algébrique de 2 tensions : la tension aux bornes de R3 et
la tension R3J3 fonction de la source indépendante J3. C'est donc une source de tension
indépendante parfaitement connue.
I3=J3+G3(VC-VD)
VC-VD=R3 I3-R3 J3
La loi des mailles devient alors
E5 - R5 I5 - R4 I4 + R3 J3 - R3 I3 - E2 + R2 I2 - R1 I1 = 0
E5 + R3 J3 - E2 = R1 I1 - R2 I2 + R3 I3 + R4 I4 + R5 I5
Comme pour l'écriture de la loi des noeuds, les sources ont été mises à gauche du signe =, les
autres termes à droite.
loi des mailles et courants de maille
Au lieu d'utiliser les courants de branche, on peut introduire un courant qui
parcourt la maille étudiée. On l'appelle le courant de maille. Son sens est choisi, de
préférence, identique au sens de parcours de la maille.
La maille m1 aura le courant de maille Im1, la maille m2, le courant de maille Im2 et la
maille m3, le courant de maille Im3. Ces courants sont représentés sur le schéma . Il est
facile de voir sur le schéma les relations entre les courants de branche et les courants
de maille.
I1 = -Im1 + Im2
I2 = Im1
I3 = -Im1
I4 = -Im1 + Im3
I5 = -Im1.
Le remplacement des courants de branche dans la loi des mailles donne :
E2 + R3 J3 - E5 = - (R1 + R2 + R3 + R4 + R5) Im1 + R1 Im2 - R4 Im3
En mettant le signe +, par convention, pour le terme dépendant du courant de la maille
étudiée :
E2 - R3 J3 - E5 = (R1 + R2 + R3 + R4 + R5) Im1 - R1 Im2 + R4 Im3
Remarque I.
En observant le schéma de la figure, il est aisé de constater que :
1.
le courant de la maille étudiée Im1 sort de la borne + de la source E2 et la
source E2 est précédée du signe + dans l'équation;
2.
le courant de la maille étudiée Im1 sort de la borne - de la source E5 et la
source E5 est précédée du signe - dans l'équation;
3.
le courant de la maille étudiée Im1 a le sens opposé au courant J3 de la
source de courant et la source équivalente de tension R3J3 est précédée du signe
- dans l'équation;
4.
le courant de la maille étudiée Im1 est multiplié par la somme des résistances
appartenant à la maille précédé du signe +;
5.
le courant de la maille m2, Im2, est multiplié par la résistance commune aux
mailles m1 et m2 précédé du signe -, car, dans l'élément commun, les courants
de maille Im1 et Im2 sont de sens contraire.
6.
le courant de la maille Im3 est multiplié par la résistance commune aux
mailles m1 et m3 précédé du signe +, car, dans l'élément commun, les courants
de maille Im1 et Im3 ont le même sens;
A partir de ce constat, il est possible d'énoncer une règle pour écrire l'équation aux
mailles en fonction des courants de maille. Ceci sera fait ultérieurement.
Remarque II.
Le courant de maille est toujours le courant de branche d'une branche appartenant à
une seule maille.
Ici c'est le courant I2 = -I3 = - I5.
Pour retrouver les courants de branche lorsque l'on connaît les courants de maille, il
suffit de faire la somme algébrique des courants de maille dans la branche désirée.
Association série
Problème
Le circuit étudié comporte 2 branches en série : R3 et R4. Calculer la résistance
équivalente de ce circuit.
Réponse: R34 = R3 + R4
L'observation du schéma montre que la branche équivalente est constitué de 2
résistances en série.
De la loi des courants dérivés appliquée au noeud B, on déduit que le courant
circule dans R3 et dans R4.
Soit VA - VM = VA - VB + VB - VM = (R3 + R4) I = R34 I.
La résistance R34 est la résistance équivalente et a pour valeur la somme des 2
résistances. Cette relation se généralise facilement.
Remarque
L'association série d'inductances doit satisfaire la loi des noeuds. En conséquence les
diverses inductances doivent avoir le même courant initial.
Association d'éléments passifs en serie et parallèle
Association parallèle
Problème
Le circuit étudié comporte 2 branches en parallèle R3 et R4. Calculer la résistance
équivalente de ce circuit.
Réponse: Req =
Geq = G3 + G4
Entre A et M, la tension s'écrit : VA - VM = R3 I3 = R4 I4
La loi des noeuds en A s'écrit : I = I3 + I4
I=
+
= (G3 + G4) (VA - VM) = Geq (VA - VM) =
(VA - VM)
La résistance Req = 1/Geq est la résistance équivalente des branches parallèles R3 et R4.
Cette relation se généralise facilement.
Remarque
L'association paralléle de condensateurs doit satisfaire la loi des mailles. En
conséquence les divers condensateurs doivent avoir la même tension initiale.
Diviseur de tension
Notion de diviseur de tension
Problème
Soit le circuit constitué d'une source de tension réelle indépendante E, Ri et d'une
résistance R. Calculer la tension VA - VM aux bornes de la résistance R en fonction de
E, Ri et R.
Réponse: VA - VM =
Il est trivial de rappeler que la tension inconnue VA - VM sera exprimée en fonction
des grandeurs connues : E, Ri et R et non en fonction du courant inconnu I.
La tension VA - VM aux bornes de la branche R s'écrit :
VA - VM = R I
L’équation de la maille que constitue le circuit s'écrit en appliquant la loi des mailles
: E = (Ri + R) I
En éliminant I de ces 2 équations : VA - VM =
C'est la formule du diviseur de tension qui permet de calculer directement la tension
aux bornes d'un élément en fonction de cet élément et des autres éléments du circuit
sans passer par le calcul du courant.De cette façon, on obtient la répartition de la
tension de la source aux bornes d'un (des) élément(s) du circuit.
3 formes sont possibles : VA - VM =
=
=
où la lettre G représente, comme cela a déjà été dit, l'inverse de la résistance
(conductance).
En multipliant la première relation par G au numérateur et au dénominateur, on obtient
la deuxième relation.
En multipliant la première relation par GGi au numérateur et au dénominateur, on
obtient la troisième relation.
Remarque
L'examen du calcul de VA - VM montre que pour appliquer, sans passer par des calculs
intermédiaires, la formule du diviseur de tension aux bornes d’un élément, il faut que
le courant I fourni par la source circule dans la résistance aux bornes de laquelle on
calcule la tension. Ce critère est à vérifier systématiquement. D’autre part, comme les
exemples suivants vont le montrer, la présence de plusieurs sources rend l’emploi du
diviseur de tension plus délicat.
Diviseur de tension
Applications du diviseur de tension
1ier exemple
Problème
Le circuit étudié comporte 3 branches en parallèle (E1, R1)//R2//(R3, R4) connectées
entre A et M. Calculer la tension VB - VM aux bornes de R4.
Réponse: VB - VM =
La première étape est d'examiner le schéma et de voir si le courant I1 fourni par la
source circule dans la résistance R4. Il est aisé de constater que le courant I1 se dérive
en 2 courants I2 et I3. Ce dernier circule dans R4. On ne peut donc pas utiliser
directement la formule du diviseur. Il faut passer par un (ou plusieurs) diviseur(s)
intermédiaire(s). On voit que la connaissance de la tension VA - VM aux bornes de la
branche (R3, R4) permet ensuite de calculer VB - VM.
On peut écrire que:
VA - VM = E1 - R1 I1 = R2 I2 = (R3 + R4) I3
mais ceci nécessite l’élimination des courants. Il est plus intéressant d’utiliser le
diviseur de tension. Le courant I1 de la source circule dans la résistance R1 et dans la
résistance équivalente Req entre A et M. En utilisant l’association série (R3 + R4), puis
parallèle R2 // (R3 + R4), on trouve : Req =
.
Remarque
La formule ci-dessus n’a pas une présentation "optimale". Il y a trop de "niveaux".
Pour en réduire le nombre, il est préférable d’écrire la conductance équivalente Geq =
et par conséquent d’utiliser la deuxième formule du diviseur de tension.
Le choix de l’élément équivalent (résistance ou conductance), pour obtenir la forme la
plus appropriée pour traiter le problème, fait appel au bon sens. Si les éléments
concernés du schéma étudié sont en série, l’élément équivalent sera une résistance. Si
les éléments concernés du schéma étudié sont en parallèle, l’élément équivalent sera
une conductance.
On peut donc calculer la tension VA - VM en utilisant le diviseur de tension aux bornes
de la branche équivalente
VA - VM =
=
Connaissant VA - VM, il est aisé de calculer VB - VM par un deuxième diviseur de
tension :
VB - VM =
On obtient ainsi le résultat final
VB - VM =
Applications du diviseur de tension
2ième exemple
Problème
Le circuit est constitué de 2 sources de tension réelles indépendantes (E1, R1) et (E2,
R2) et d’une résistance R3 connectées entre les points A et M. On cherche la tension
VA - VM.
Réponse:
=
Bien que le circuit étudié soit simple, la présence de 2 sources ne permet pas d’utiliser
directement le diviseur de tension. D’autres méthodes sont possibles. Elles seront vues
plus loin.
Ici, l’hypothèse des circuits linéaires va permettre d’appliquer le principe de
superposition. Il consiste à étudier séparément l’effet des 2 sources sur le circuit et
ensuite d’additionner les résultats obtenus.
On va donc éteindre la source E1 et calculer la tension VA2 - VM2 due à la source E2,
puis éteindre la source E2 et calculer la tension VA1 - VM1 due à la source E1. Ensuite
on écrira que VA - VM = VA2 - VM2 + VA1 - VM1.
Remarque
Eteindre une source de tension, c’est avoir à ses bornes une tension nulle. Ceci est
obtenu en remplaçant la tension de la source par un court-circuit.
E1 = 0 : VA2 - VM2 =
E2 = 0 : VA1 - VM1 =
Le résultat final est :
VA - VM = VA2 - VM2 + VA1 - VM1 =
+
=
Applications du diviseur de tension
3ième exemple
Problème
Le circuit est constitué de 3 éléments en parallèle : une source de tension réelle
indépendante (E1, R1), une résistance R2, une source de tension réelle indépendante
(E3, R3) en série avec une résistance R4
. On cherche la tension VB - VM aux bornes de (E3, R3).
Réponse: VB - VM =
Le problème sera traité de la même façon que le précédent.
On éteint E1 et on calcule VB3 - VM3 en fonction de E3 .
puis on éteint E3 et on calcule VB1 - VM1 en fonction de E1.
Pour le premier un seul diviseur est nécessaire, pour le second il faut calculer d’abord
VA1 - VM1 pour la raison déjà citée.
E1 = 0 : VB3 - VM3 =
E3 = 0 : Calculons d'abors: : VA1 - VM1 =
VB1 - VM1 =
(VA1 - VM1),
Soit : VA1 - VM1 =
=
VB - VM = VB1 - VM1 + VB3 - VM3
VB - VM=
+
=
Diviseur de courant
Notion de diviseur de courant
Problème
Soit le circuit constitué d'une source de courant réelle indépendante (J//Ri )et d'une
résistance R branchée en parallèle. Calculer le courant I circulant dans la résistance R
en fonction de J, Ri et R.
Réponse: I =
Il est à nouveau trivial de rappeler que l'inconnue I sera exprimée en fonction des
grandeurs connues : J, Ri et R.
Le courant I s'obtient en écrivant :
la relation courant-tension aux bornes des résistances Ri et R :
VA - VM = R I = Ri
Ii
la loi des noeuds en A:
Ii = J - I ; R I = Ri (J - I) et I =
C'est la formule du diviseur de courant qui permet de calculer directement le courant
circulant dans un élément en fonction de cet élément et des autres éléments du circuit
sans calculer de tension.
3 formes sont possibles : I =
=
=
où la lettre G représente, comme cela a déjà été dit, l'inverse de la résistance
(conductance).
En multipliant la première relation par Gi au numérateur et au dénominateur, on
obtient la deuxième relation.
En multipliant la première relation par GGi au numérateur et au dénominateur, on
obtient la troisième relation.
Remarque
L'examen du calcul de I montre que pour appliquer directement la formule du diviseur
de courant, il faut que la tension VA - VM aux bornes de la source soit aussi la tension
aux bornes de la résistance où l'on calcule le courant. Ce critère est à vérifier
systématiquement. D’autre part, comme les exemples suivants vont le montrer, la
présence de plusieurs sources rend l’emploi du diviseur de courant plus délicat.
Applications du diviseur de courant
1ier exemple
Problème
Le circuit étudié comporte un générateur de courant (J1//R1) en série avec une
résistance R2 et 2 résistances en parallèle R3 et R4. Calculer le courant I4 circulant dans
la résistance R4.
Réponse: I4 =
Avant de se lancer dans le calcul, il faut examiner le schéma et voir si la tension aux
bornes de la source de courant est aussi la tension aux bornes de R4. Il est aisé de
constater que ce n'est pas le cas. On ne peut donc pas utiliser directement la formule
du diviseur. Il faut passer par un (ou plusieurs) diviseur(s) intermédiaire(s). On voit
que la connaissance du courant I2 de la branche R2 permet ensuite de calculer I4.
On peut écrire que:
I2 = J1 - G1 (VA - VM) = G2 (VA - VB) = (G3 + G4) (VB - VM)
mais ceci nécessite l’élimination des tensions. Il est plus intéressant d’utiliser le
diviseur de courant. La tension VA - VM est aux bornes de la branche équivalente R2
en série avec R3 et R4 en parallèle, soit la résistance équivalente:
Req =
..
Il faut d’abord calculer le courant I2 circulant dans cette branche équivalente.
La formule du diviseur de courant donne :
I2 =
=
Connaissant I2, il est aisé de calculer I4 par un deuxième diviseur de courant puisque le
courant I2 se divise en 2 courants : l'un dans R3, l'autre dans R4. La troisième formule
du diviseur de courant donne :
I4 =
D'où le résultat final en remplaçant I2:
I4 =
Applications du diviseur de courant
2ième exemple
Problème
Le circuit est constitué de 2 sources de courant réelles indépendantes (J1//R1) et
(J2//R2) et d’une résistance R3 connectées en parallèle. On cherche le courant I3 dans la
résistance R3.
Réponse: I3 =
Bien que le circuit étudié soit simple, la présence de 2 sources ne permet pas d’utiliser
directement le diviseur de courant. D’autres méthodes sont possibles. Elles seront vues
plus loin.
Ici, l’hypothèse des circuits linéaires va permettre d’appliquer le principe de
superposition. Il consiste à étudier séparément l’effet des 2 sources sur le circuit et
ensuite d’additionner les résultats obtenus.
On va donc éteindre la source J1 et calculer le courant I32 dû à la source J2, puis
éteindre la source J2 calculer le courant I31 dû à la source J1. Ensuite on écrira que I3 =
I31 + I32.
Remarque
Eteindre une source de courant, c’est avoir un courant nul. Ceci est obtenu en
remplaçant le courant de la source par un circuit ouvert.
J1 = 0 : I32 =
J2 = 0 : I31 =
Le résultat final est :
I3 = I32 + I31 =
+
=
Application du diviseur de courant
3ième exemple
Problème
Le circuit est constitué d’une source de courant réelle indépendante (J1//R1) en série
avec une résistance R2 et une source de courant réelle indépendante (J3//R3). On
cherche le courant I3 dans la résistance R3.
Réponse: I3 =
Le problème sera traité de manière analogue au précédent. On éteint J1 et on calcule
I33 en fonction de J3 puis on éteint J3 et on calcule J31 en fonction de J1. Dans les 2 cas,
un seul diviseur est nécessaire.
La configuration du circuit se prête bien à l’utilisation de la première formule du
diviseur de courant à cause de la présence de 2 résistances en série.
J1 = 0 : I33 =
J3 = 0 : I31 =
I3 = I33 + I31 =
+
=
Source de tension équivalente - Théorème
de Thevenin
Notion de Source de tension équivalente
Calcul de la branche équivalente série entre 2 noeuds d'un circuit
Problème
Partant d'un circuit très simple comportant une source de tension indépendante réelle
(E1, R1) en parallèle avec une résistance R2, on cherche entre les noeuds A et M la
branche (ou dipôle) équivalent(e) série et les éléments qui la (le) composent.
La recherche de la branche équivalente série entre les noeuds A et M revient à trouver
la relation entre (VA - VM) et I.
La loi d’Ohm appliquée successivement aux branches (E1, R1) et R2 et la loi des
noeuds appliquée au noeud A donnent 3 relations :
VA - VM = E1 - R1 I1 ; VA - VM = R2 I2 ; I1 = I + I2
L’élimination de I1 et I2 conduit à la relation entre I, VA - VM et les éléments du
circuit.
VA - VM =
-
I
La branche équivalente série comprend un terme proportionnel à E1 et un terme ne
dépendant que des résistances.
On peut écrire :VA -VM = Eth - Rth I
Eth et Rth sont appelées respectivement la fem et la résistance interne de la source de
Thévenin équivalente au circuit considéré.
Ce résultat peut être généralisé : entre 2 noeuds d'un circuit on peut toujours calculer
une branche (dipôle) équivalente comprenant une source de tension idéale en série
avec une résistance, l’ensemble formant une source de tension réelle indépendante.
Remarque
L’expression VA -VM = Eth - Rth I montre qu’à la sortie d’une source réelle, la tension
disponible VA -VM est toujours inférieure à la tension Eth de la source. C’est à cause de
l’énergie dissipée dans la résistance interne Rth.
Source de tension équivalente - Théorème
de Thevenin
Notion de Source de tension équivalente
Détermination des éléments de la source de Thévenin équivalente
Détermination
Les calculs précédents ont permis d'obtenir Eth et Rth. Cependant l'observation de la
relation VA - VM = Eth - Rth I va donner une définition de ces 2 éléments. I = 0
entraîne VA - VM = Eth
La tension de Thévenin est obtenue quand I = 0 c'est-à-dire lorsque la sortie est
ouverte ou, autrement dit, lorsque l'on branche entre A et M un voltmètre idéal.
E1 = 0 entraîne VA - VM = - Rth I. Cela ne signifie pas que la résistance Rth est
négative. C'est un problème de convention. Il ne faut pas oublier que par convention le
courant dans la résistance circule du point de potentiel le plus élevé vers le point de
potentiel le moins élevé. Ce n'est pas le cas ici.
La résistance Rth est obtenue en faisant le rapport de la tension aux bornes de la
branche par le courant circulant dans la branche lorsque E1 = 0 c'est-à-dire que la
branche (E1, R1) se réduit à R1 pour le calcul de Rth. On dit que la source E1 est éteinte.
Remarque
Si la source E1 est éteinte, il n'y a pas de courant circulant dans le circuit et dans ces
conditions on ne peut mesurer une résistance puisque c’est le rapport d’une tension sur un
courant. En réalité, la mesure d’une résistance sous-entend toujours la présence d’une source
de tension (ou de courant) appliquée aux bornes de l’élément à mesurer.
Applications du Théorème de Thévenin
1ier Exemple
Problème
On étudie le circuit composé d'une source de tension indépendante réelle (E1, R1) ,
d'une résistance R2 et d'une résistance R3. On cherche la source de Thévenin
équivalente entre les noeuds B et M.
Réponse: Eth =
; Rth =
La solution va être recherchée de 2 manières différentes :
1. - en utilisant les définitions de la page détermination
2. -en utilisant la loi des mailles et en écrivant la relation entre la tension VB - VM
et le courant I3 et les éléments du circuit.
Calcul de Eth et Rth.
Par définition, Eth est la tension mesurée entre les bornes B et M lorsque le courant
I3 = 0 (branchement d’un voltmètre idéal).
La loi des mailles donne :
Eth = VB - VM = (VB - VA) + (VA - VM)
Or VB - VA = R3 I3 = 0
Comme I3 = 0, I2 = I1, le diviseur de tension (R1, R2) donne :
Eth = VA - VM =
Par définition Rth est le rapport (VB - VM)/I3 lorsque la source E1 est éteinte. Le
schéma devient alors le suivant.
Rth est la résistance équivalente entre les noeuds B et M.
Rth =
Remarque.
Le schéma obtenu est particulièrement simple. La résistance équivalente se "lit"
aisément : entre les bornes B et M, on "voit" la résistance R3 en série avec (R2//R1).
Avec le signe choisi pour I3, la tension VB - VM s'écrit :
VB - VM = Eth - Rth I3
Source de Thévenin calculée par la loi des mailles. - Mailles indépendantes.
Pour la première fois depuis le début des exercices, se pose la question de savoir
combien il y a de mailles indépendantes dans un circuit, c’est-à-dire le nombre de
mailles nécessaires et suffisantes pour résoudre le problème posé.
Dans le circuit étudié, il y a 4 noeuds et 5 branches :






- les noeuds A, B, C, M, Le noeud C peut être supprimé. Il a été retenu pour
une meilleure lecture du schéma.
- la branche E1 entre les noeuds C et M,
- la branche R1 entre les noeuds C et A,
- la branche R2 entre les noeuds A et M,
- la branche R3 entre les noeuds A et B
- la branche VB - VM entre les noeuds B et M.
Les mailles sont plus difficiles à répertorier. Ici la simplicité du circuit facilite la
recherche de toutes les mailles :



maille m1 (E1, R1, R2)
maille m2 (R2, R3, VB - VM)
maille m3 (E1, R1, R1, VB - VM)
L'écriture de la loi des mailles donne :



maille m1 : (VA - VM) + (VM - VC) + (VC - VA) = 0
maille m2 : (VA - VB) + (VB -VM) + (VM - VA) = 0
maille m3 : (VA - VB) + (VB - VM) + (VM - VC) + (VC -VA) = 0
En additionnant les équations des mailles 1 et 2, on trouve :
(VA - VM) + (VM - VC) + (VC - VA) + (VA - VB) + (VB -VM) + (VM - VA) = 0
En ordonnant les tensions :
(VA - VB) + (VB -VM) + (VM - VC) + (VC - VA) + (VA - VM) + (VM - VA) = 0
(VA - VB) + (VB -VM) + (VM - VC) + (VC - VA) = 0
Cette équation est identique à l'équation de la maille 3. Il n'y a donc ici que 2
équations de maille indépendantes.
Constat
Le nombre de mailles indépendantes est obtenu en retranchant le nombre de noeuds au
nombre de branches + 1. Soit en appelant b le nombre de branches et m le nombre de
mailles indépendantes :
m = b - n + 1 = b - (n -1)
Une fois les mailles indépendantes dénombrées, il n’est pas évident de les construire.
Une méthode mathématique existe; elle est basée sur la théorie des graphes qui n’entre
pas dans le cadre de ces exercices. Pour contourner la difficulté, on va faire
l’hypothèse que tous les circuits étudiés sont planaires (contenus dans un plan). Le
nombre de mailles indépendantes est le nombre de "fenêtres" contenues dans le circuit.
Ici, il y a 2 fenêtres qui constituent les mailles m1 et m2.
----------
Soit Im1 et Im2 les courants de maille respectifs des mailles indépendantes m1 et m2.
Ils sont égaux respectivement aux courants de branche I1 et I3. Les différentes tensions
sont :
VC - VM = E1 ; VC - VA = R1 Im1 ; VA - VM = R2 I2 = R2 (Im1 - Im2) ; VB - VA = R3
Im2
D'où les équations des mailles :


E1 = (R1 + R2) Im1 - R2 Im2
VB - VM = - R2 Im1 + (R2 + R3) Im2
Pour obtenir la source de Thévenin équivalente entre les noeuds B et M, il faut
exprimer VB -VM en fonction de E1, Im2 = I3 et des résistances du circuit.
Par conséquent, on élimine Im1 entre les 2 équations.
VB - VM =
Soit :
Eth =
Remarque.
-(
) Im2
; Rth =
La tension Eth et la résistance Rth peuvent être calculées, en appliquant les définitions,
sur les équations des mailles
Im2 = 0 donne en faisant le rapport entre les 2 équations :
Eth = VB - VM =
E1 = 0 donne, en éliminant Im1 entre les 2 équations :
Rth =
=
=
En réalité, on peut appliquer les définitions à n'importe quelle étape du calcul
précédent.
Applications du Théorème de Thévenin
2ieme Exemple
Problème
Le schéma est celui étudié précédement , calculer le dipôle équivalent série entre les
bornes B et M.
Réponse: Eth =
=
; Gth =
; VB - VM = Eth - Rth I
Bien qu’il y ait une certaine ressemblance entre ce schéma et celui du paragraphe
précédent, les résultats sont différents.
Il n’est pas nécessaire de recalculer la tension VB - VM qui est la tension de la source
de Thévenin équivalente. En effet, lors du calcul de VB - VM par la méthode du
diviseur de tension, par hypothèse, le courant I était nul (mesure des tensions avec un
voltmètre idéal).
Cela correspond à la définition de la tension de Thévenin.
Pour calculer Rth, on éteint la source E1. Le schéma équivalent est purement résistif. Il
suffit de réaliser une association de type parallèle-série pour obtenir le résultat.
L’élément d’entrée présentant une dérivation de courant, c’est la forme conductance
qui convient le mieux pour le calcul. On "lit" R4 en parallèle avec (R3 en série avec
R1//R2). On écrit alors :
Gth =
=
C’est la forme d’écriture la plus simple, ce qui ne signifie pas que c’est la meilleure
forme pour une application numérique
Applications du Théorème de Thévenin
3ieme Exemple
Problème
Le schéma est celui étudié précédement ,calculer le dipôle équivalent série entre les
bornes A et M.
Réponse: Eth =
; Gth = G1 + G2 + G3 ; VB - VM = Eth - Rth I
Comme dans l’exemple précédent et pour les mêmes raisons, la tension de Thévenin
est égale à la tension VA - VM déjà calculée par la méthode du diviseur de tension.
Quant à la résistance interne, lorsque les sources E1 et E2 sont éteintes, elle est égale à
la résistance équivalente aux 3 résistances en parallèle.
Source de courant équivalente - Théorème
de Norton
Notion de Source de courant équivalente
Calcul de la branche de courant équivalente entre 2 noeuds d'un circuit
Problème
Partant du circuit comportant une source de tension indépendante réelle (E1, R1) en
parallèle avec une résistance R2 , on cherche entre les noeuds A et M la branche (ou
dipôle) équivalent(e) parallèle et les éléments qui la (le) composent.
La recherche de la branche équivalente parallèle entre les noeuds A et M revient à
trouver la relation entre I et (VA - VM)
Désirant obtenir un dipôle parallèle équivalent, il est plus naturel d’utiliser la loi des
noeuds mais ce n’est pas indispensable.
Cette loi, appliquée à tous les noeuds du circuit, permettra de mettre en évidence le
nombre d’équations nodales indépendantes.
Le circuit comporte 2 noeuds : A et M.
Au noeud A : I = I1 - I2
I1 se déduit de la relation tension-courant aux bornes de la branche (E1, R1)
(VA - VM) = E1 - R1 I1 qui peut s’écrire I1 = G1 E1 - G1 (VA - VM)
et I2 = G2 (VA - VM)
I = I1 - I2 = G1 E1 - G1 (VA - VM) - G2 (VA - VM)
I = G1 E1 -(G1 + G2) (VA - VM)
Au noeud M: I = I1 - I2
Comme ci-dessus: (VA - VM) = E1 - R1 I1 qui peut s’écrire I1 = G1 E1 - G1 (VA - VM)
et I2 = G2 (VA - VM)
I = I1 - I2 = G1 E1 - G1 (VA - VM) - G2 (VA - VM)
I = G1 E1 -(G1 + G2) (VA - VM)
Remarque
Lorsqu’on écrit les relations de courant aux 2 noeuds de ce circuit, on constate qu’elles
sont identiques. Il y a donc 2 noeuds et une seule équation indépendante. La
généralisation de ce résultat à un circuit comportant n noeuds signifie qu’il y a n - 1
équations nodales indépendantes. Le noeud qui n’est pas pris en considération sera
appelé le noeud de référence. On prend son potentiel égal à zéro.
Le noeud de référence est parfois imposé. Si ce n’est pas le cas, on choisit comme
noeud de référence le noeud où arrive le plus de branches. Ceci permet d’éliminer
l’équation comportant le plus de termes.
Il est très facile de trouver les noeuds indépendants mais il faut éviter d’en prendre un
trop grand nombre.
La branche équivalente parallèle comprend un terme proportionnel à E1 et un terme ne
dépendant que des résistances. On peut la présenter de la manière suivante :I = JN - GN
(VA - VM) = JN -
(VA - VM)
JN et RN sont appelées respectivement le courant et la conductance interne de la source
de Norton équivalente au circuit considéré.
Ce résultat peut être généralisé : entre 2 noeuds d'un circuit on peut toujours calculer
une branche (dipôle) équivalente comprenant une source de courant idéale en parallèle
avec une résistance, l’ensemble formant une source de courant réelle indépendante.
L’expression I = JN - GN (VA - VM) montre que le courant disponible à la sortie d’une
source de courant est toujours inférieur au courant JN de la source. C’est à cause de
l’énergie dissipée dans la résistance interne RN.
Remarque.
On peut aborder le problème des noeuds et des mailles indépendants d’une autre manière. En
effet, chaque branche comporte 2 inconnues : la tension v et le courant i. Si un circuit
comprend b branches, il y a 2b inconnues et il faut 2b équations pour résoudre le problème.
Sachant qu’il y a b relations tension-courant, il faut encore b équations. Les équations aux
noeuds en donnent n-1. Le reste correspond à b - (n -1). C’est le nombre d’équations de maille
indépendantes.
Notion de Source de courant équivalente
Détermination des éléments de la source de Norton équivalente
Détermination
Les calculs précédents ont permis d'obtenir JN et RN. Cependant l'observation de la
relation I = JN - GN (VA - VM) = G1 E1 -(G1 + G2) (VA - VM) permet de déduire une
définition de ces 2 éléments. VA - VM = 0 entraîne I = JN
Le courant de Norton est obtenu quand VA - VM = 0 c'est-à-dire lorsque la sortie est
court-circuitée ou, autrement dit, lorsque l'on branche entre A et M un ampèremètre
idéal.
E1 = 0 entraîne I = - GN (VA - VM). . Cela ne signifie pas que la résistance Rth est
négative. C'est un problème de convention. Il ne faut pas oublier que par convention le
courant dans la résistance circule du point de potentiel le plus élevé vers le point de
potentiel le moins élevé. Ce n'est pas le cas ici, Ceci explique la présence du signe -.
La résistance RN est obtenue de la même manière pour la source de Thévenin et la
source de Norton : il faut toujours éteindre les sources du circuit étudié.
Comparaison des 2 sources
La comparaison entre la source de Thévenin et la source de Norton montre que ce sont
2 aspects d’un même problème. Il existe une relation d’équivalence. Les 2 circuits sont
identiques. On peut transformer l’expression de la source de Thévenin en exprimant I
en fonction de VA - VM et des éléments du circuit. :VA -VM = Eth - Rth I donne:

I = Gth Eth - Gth (VA - VM)
Soit JN = Gth Eth et GN = Gth
On peut aussi dire que JN est le courant de court-circuit, c’est-à-dire le courant quand
VA - VM = 0 et que la résistance interne est la résistance quand la source (Eth = 0) est
éteinte. RN = Rth.
De même l’expression de la source de Norton se transforme :I = JN - GN (VA - VM)

VA - VM = RN JN - RN I
Soit Eth = RN JN et Rth = RN
On peut aussi dire que Eth est la tension en circuit ouvert, c’est-à-dire la tension quand
I = 0 et que la résistance interne est la résistance quand la source (JN = 0) est éteinte.
Rth = RN.
Une branche (ou un élément équivalent) d’un circuit a 2 représentations : série ou
parallèle. C’est une source de tension (courant) en série (en parallèle) avec une
résistance. La source peut avoir une valeur nulle. Dans ce cas la branche (l’élément)
est purement résistif.
Quand on utilise la loi des mailles, on a presque toujours intérêt à prendre
l’équivalence série; quand on utilise la loi des noeuds, on a presque toujours intérêt à
prendre l’équivalence parallèle.
Un élément passif seul peut toujours être considéré:
soit comme une source de tension indépendante réelle de tension nulle (E=0)
soit comme une source de courant indépendante réelle de courant nulle (J=0)
En résumé:
les 2 types de représentation ont la même résistance interne. Le courant de Norton est
obtenu en divisant la tension de Thévenin par la résistance interne; la tension de
Thévenin est obtenue en multipliant le courant de Norton par la résistance interne.
Le passage d’un élément série à un élément parallèle (et inversement) est donc
extrêmement simple. Il sera employé dans la suite des exercices.
Applications du Théorème de Norton
1ier Exemple
Problème
Le circuit étudié comprend un générateur de courant indépendant réel (J1//R1) et une
résistance R2 branchée en série. Calculer la source de Norton équivalente entre les
noeuds A et M.
Réponse: JN =
=
; RN = R1 + R2
La solution va être recherchée de 2 manières différentes :
1. - en utilisant les définitions de la page détermination
2. -en utilisant la loi des noeuds et en écrivant la relation entre le courant I la
tension VB - VM et les éléments du circuit.
Calcul de JN et RN..
Par définition, JN est le courant mesuré quand la sortie est court-circuitée
(branchement d’un ampèremètre idéal).
Le diviseur de courant donne : JN =
Par définition RN est le rapport
lorsque la source J1 est éteinte.
RN = R1 + R2
Remarque.
Si la source J1 est éteinte, cela signifie qu'il n'y a pas de courant circulant dans le
circuit et que dans ces conditions on ne peut mesurer une résistance puisque c’est le
rapport d’une tension sur un courant. En réalité, la mesure d’une résistance sousentend toujours la présence d’une source de tension (ou de courant) appliquée aux
bornes de l’élément à mesurer.
Source de Norton calculée par la loi des noeuds..
Le circuit considéré comporte 2 noeuds, soit 1 noeud indépendant : B. Il y a une petite
difficulté pour appliquer la loi des noeuds : il y a une source de tension réelle
indépendante (VA - VM), R2. On ne peut transformer cette source de tension en source
de courant car on fait disparaître le noeud A qui est une des bornes du dipôle
recherché. Heureusement la difficulté est facile à contourner. On va simplement écrire
la loi des noeuds en B et éliminer IR1 en fonction de R1, R2, I, VA - VM.
I = J1 + IR1 et VA - VM = - R1 IR1 - R2 I
IR1 = Soit I =
2ieme Exemple
Problème
On étudie le circuit composé d'une source de tension indépendante réelle (E1//R1) ,
d'une résistance R2 et d'une résistance R3. On cherche la source de Norton équivalente
entre les noeuds B et M..
Réponse: JN =
; RN =
Plusieurs méthodes sont possibles pour le calcul du courant de Norton. .
Pour s’habituer à transformer les sources de Thévenin en sources de Norton (ou
réciproquement), on va changer le générateur de tension indépendant réel (E1, R1) en
générateur de courant indépendant réel ( E1/R1=JN //R1). .
Le schéma devient le suivant et le courant de court-circuit est tout simplement I3
obtenu par le diviseur de courant. Il est inutile de reprendre le calcul de la résistance
interne puisqu’elle a déjà était calculée précédemment.
On a donc :
JN =
Remarque.
La transformation de la source de tension en source de courant a pour conséquence de
modifier la structure du circuit : le noeud C a disparu et le courant I1 se retrouve à la
sortie du générateur de courant. La tension aux bornes de R1 n’est plus VA - VC mais
VA - VM. Il faut donc être très prudent dans les transformations de circuit afin de ne
perdre aucune information utile.
3ieme Exemple
Problème
Le circuit est constitué d’un générateur de courant J1//R1 en parallèle avec 2
résistances R2 et R3 en série. On cherche le dipôle parallèle équivalent entre B et M.
Réponse: JN =
; GN =
Le courant de Norton est le courant de court-circuit. Il est égal à I4 et à I2. La
résistance R3 n’a aucune influence puisqu’elle est en parallèle sur le court-circuit. Le
diviseur de courant donne : I4 = I2 = JN =
La résistance interne est obtenue lorsqu’on éteint la source de courant J1. Elle est égale
à R3 en parallèle avec R1 + R2. la forme conductance est donc la plus appropriée.
GN =
Application des théorèmes de Thévenin et
de Norton
Théorème de Millman
Calcul de la tension (VA-VM) à partir du théorème de superposition
Problème
On considère le circuit formé par 3 générateurs de tension en parallèle.La tension VA VM est mesurée à l’aide d’un voltmètre idéal. Calculer VA - VM.
Réponse : VA - VM =
La mesure de la tension avec un voltmètre idéal entraîne la valeur I = 0. Plusieurs
méthodes sont possibles :
- principe de superposition et diviseur de tension;
- transformation des sources de Thévenin en sources de Norton et loi des noeuds;
- calcul de VA - VM et loi des noeuds;
- utilisation de la loi des noeuds avec les potentiels de noeud.
La plus rapide est la dernière mais elle demande une bonne maîtrise de la loi des
noeuds. Elle sera reprise plus tard lors l’étude de la mise en équation des circuits.
On choisit la première méthode.
On va étudier la tension due à chacune des sources considérées isolément et on
additionnera. Chaque tension est calculée avec la formule la mieux adaptée du diviseur
de tension.
E2 = E3 = 0 : (VA - VM)I =
E1 = E3 = 0 : (VA - VM)II =
E2 = E1 = 0 : (VA - VM)III =
Le signe - devant les 2 dernières expressions provenant de la polarité des sources.
L’addition donne :
VA - VM = (VA - VM)I + (VA - VM)II + (VA - VM)III =
Remarque.
Cette formule correspond au théorème de Millman. Elle permet de calculer la tension aux
bornes d’un ensemble de sources de tension connectées en parallèle. L’observation du résultat
montre qu’on obtient cette tension en faisant le rapport de la somme algébrique des produits
de la tension de chaque source par la somme des conductances . Le signe à prendre en
considération est celui de la borne de la source la plus proche du noeud venant en premier
dans l’expression de la tension recherchée (ici le noeud A).
Théorème de Milmann
Calcul du dipôle équivalent série Eth, Rth (théorème de Thévenin)
Problème: Calculer le dipôle équivalent série Eth, Rth (théorème de Thévenin)
Réponse:
Eth =
Gth = G1 + G2 + G3
La définition de la tension de Thévenin étant la valeur de VA - VM à circuit ouvert (I =
0), la question précédente donne la réponse.
La résistance interne est obtenue quand on éteint toutes les sources c’est-à-dire que les
tensions de Thévenin sont remplacées par des court-circuits. On a alors les 3
résistances en parallèle comme le montre le schéma ci-dessus :Gth = G1 + G2 + G3
Théorème de Millman
Calcul de la branche de courant équivalente parallèle entre 2 noeuds d'un
circuit (théorème de Norton)
Problème: Calculer le dipôle équivalent parallèle JN//RN (théorème de Norton).
Réponse :
JN = G1 E1 - G2 E2 - G3 E3
Gth = G1 + G2 + G3
Plusieurs méthodes sont possibles :
- transformation du générateur de Thévenin en générateur de Norton. C’est la plus
simple.
- principe de superposition et calcul des courants de court-circuit dus aux différentes
sources.
- transformation de chaque source de tension en source de courant et calcul du courant
de court-circuit.
- loi des mailles .
On va utiliser la même méthode que pour l’exercice précédent : calculer les courants
de court-circuit dus à chacune des sources prises séparément.
Il est facile de voir que le court-circuit va masquer toutes les résistances autres que
celle de la source dans chacun des schémas ci-dessus. Cela va donner :
E2 = E3 = 0 : II = I1 = G1 E1
E3 = E1 = 0 : III = I2 = - G2 E2
E1 = E2 = 0 : IIII = I3 = - G3 E3
Les signes - provenant des conventions choisies pour les signes.
Le principe de superposition donne :
JN = II + III + IIII = G1 E1 - G2 E2 - G3 E3
Remarque: Calculer la tension aux bornes de la résistance R4 connectée entre les
noeuds A et M.
Réponse : VA - VM =
Un raisonnement simple va permettre d’obtenir facilement le résultat.
Rien n’empêche de dire que la branche R4 est un générateur de Thévenin dont la fem
est E4 = 0 (court-circuit). et d’appliquer le théorème de Millman.
VA - VM =
=
=
Dipôles équivalents en présence de sources contrôlées
sources contrôlées
Problème
Jusqu’à présent, il n’a été question que de sources indépendantes. En réalité, pour
obtenir une représentation schématique complète de certains circuits, il est nécessaire
d’introduire des sources dépendantes ou contrôlées ou liées. Il faut préciser la
grandeur physique qui contrôle ces sources. Ce sera soit un courant soit une tension.
Il existe 4 types de sources contrôlées :
- la source de tension contrôlée en tension E =  V;
- la source de tension contrôlée en courant E = rm I;
- la source de courant contrôlée en courant J =  I;
- la source de courant contrôlée en tension J = gm V.
Les sources sont linéaires. Les coefficients de proportionnalité sont avec ou sans
dimension selon les cas. Les tension V et courant I existent dans une autre branche du
circuit.
Les sources contrôlées peuvent être idéales ou réelles.
Sources idéales.
Sources réelles.
Dipôles équivalents en présence de source contrôlées
Problème
On considère le circuit simplifié équivalent à un transistor alimenté par un générateur
de tension E, Ri. Il comprend entr’autres un générateur de tension rm i1 contrôlé par le
courant i1 circulant dans la branche (E, Ri, R1).
Calcul du dipôle équivalent série (générateur de Thévenin) entre les
noeuds D et M.
Réponse : Eth =
; Rth =
Le résultat sera calculé à partir de 2 méthodes :
- l’utilisation de la loi des mailles pour obtenir l’équation du dipôle série équivalent;
- les définitions de Eth et Rth.
Première méthode.
Le circuit comprend n = 4 noeuds (B, C, D, M) et b = 5 branches (E, Ri, R1; R3; R2; rm
i1; VD - VM).
Le nombre de noeuds et de branches peut être réduit à 3 noeuds (B, D, M) et 4
branches (E, Ri, R1; R3; R2,rm i1; VD - VM), mais le premier choix permet une
meilleure compréhension du circuit et ne change rien au nombre de mailles
indépendantes.
Il existe donc b - n + 1 = 2 mailles indépendantes : (E, Ri, R1, R3) parcourue par le
courant de maille I1 = i1 et (R3, R2, rm i1;VD - VM) parcourue par le courant de maille I2
= i2 qui donnent les équations suivantes :
E = (Ri + R1 + R3) I1 + R3 I2
VD - VM = (R3 -- rm) I1 + (R2 + R3) I2
Remarque.
Le générateur de tension contrôlé apparaît comme le produit d’une résistance par un
courant. On constate aussi une "dissymétrie" entre les 2 équations. L’influence de la
maille 2 sur la maille 1 est R3 I2 alors que l’influence de la maille 1 sur la maille 2 est
(R3 - rm) I1. C’est cette dissymétrie qui conduit à introduire dans le schéma du circuit
une source contrôlée.
conclusion
Le schéma de la source équivalente série montre qu’il faut éliminer I1 parmi les
inconnues puisque VD - VM et I2 sont respectivement la tension et le courant de la
source équivalente. On obtient alors en tirant I1 de la première équation et en le
reportant dans la deuxième :
VD - VM =
Soit Eth =
+(
) I2
et Rth =
La présence de la source contrôlée rend l’application des définitions de Eth et Rth plus
délicate. Il faut toujours écrire des équations plus ou moins compliquées.
Deuxième méthode.
Calcul de Eth.
Par définition le courant de sortie est nul : I2 = 0.
Eth = VD - VM = (VD - VC) + (VC -VB) + (VB - VM) = - rm I1 + 0 +
Il faut éliminer I1 dans la maille (E, Ri, R1, R3) où I2 =0 : I1 =
D’où : Eth =
En éteignant la source E, le schéma devient le suivant et il faut calculer le rapport :Rth
=
.
La présence de la source contrôlée ne permet pas d’utiliser l’association série parallèle
des résistances du circuit.
Il faut exprimer i1 en fonction de i2 comme cela a été fait dans la première méthode.
On observe sur le schéma que le courant i2 se dérive en B en 2 courants dont -i1. Le
diviseur de courant donne :
i1 =
Soit VD - VM = (R3 - rm) i1 + (R2 + R3) i2 = (R2 + R3
) i2 =
Remarque.
En présence d’une source contrôlée, il est indispensable de considérer que le circuit de
calcul de la résistance interne est alimenté par une source de tension VD - VM (ou de
courant) délivrant un courant i2.
Celui-ci se dérive en 2 courants dont -i1 et la source contrôlée rm i1 n’a pas une valeur
nulle.
La définition de la tension de Thévenin reste donc la même qu’il y ait une source
contrôlée ou pas : on n’éteint que les sources indépendantes. Par extension, il en est de
même pour la définition du courant de Norton.
Dipôles équivalents en présence de source contrôlées
Calcul du dipôle équivalent parallèle (générateur de Norton) entre les
noeuds D et M.
Problème
Réponse : JN =
; RN =
La comparaison des sens des courants JN et i2 montre que les 2 courants sont de sens
opposé. Le courant de court circuit icc = i2 entraîne JN = -icc.
En reprenant les mêmes mailles et en écrivant VD - VM = 0 à cause du court-circuit
E = (Ri + R1 + R3) i1 + R3 icc
0 = (R3 -- rm) i1 + (R2 + R3) icc
L’élimination de i1 donne :icc = Soit JN =
La résistance interne est calculée de la même manière que précédemment.
Analyse Nodale des circuits
les méthodes d'analyse des circuits :
réseaux de Kirchhoff
(exercices)
Préliminaire
Relations tension - courant pour les éléments actifs en notation opérationnelle
Applications: charge et décharge dans un élément réactif
Régles de mise en équation
Analyse Nodale des circuits
les méthodes d'analyse des circuits :
Analyse Nodale des circuits
Préliminaire
En présence d’un circuit à étudier, quelle méthode faut-il choisir?
Le critère de choix, facile à mettre en oeuvre, consiste à dénombrer les noeuds
et les mailles indépendants et à appliquer la méthode donnant le nombre le plus faible
d’inconnues, donc d’équations.
D’autres critères peuvent intervenir : les types de sources présents dans le circuit, les
préférences personnelles....
Cependant l’analyse nodale a un énorme avantage sur l’analyse par mailles : les
noeuds sont toujours plus faciles à repérer que les mailles et les termes contenus dans
les équations ainsi que leur signe suivent des règles extrêmement simples.
Pour ne pas compliquer inutilement les calculs de la première partie, les
éléments réactifs n’apparaissaient pas, mais pour traiter dans leur intégralité les
méthodes d’analyse, il est nécessaire d’en tenir compte.
A cause des formes intégrales ou différentielles des relations v(i) ou i(v), les équations
régissant les circuits sont des équations intégro-différentielles.
Pour les éviter, on utilisera la notation opérationnelle obtenue à partir de la
transformée de Laplace.
Chaque fois que ce sera possible, on se limitera aux éléments passifs pour
permettre à un maximum d’étudiants d’exploiter ces exercices.
L’emploi de la notation opérationnelle suppose que la transformée de Laplace
fait partie du bagage mathématique du lecteur et que les hypothèses mathématiques
sont toujours vérifiées.
La variable réelle temps (t) du domaine temporel fera place à la variable
complexe p =  + j .
Dans quelques calculs apparaissent 2 "fonctions" très utilisées dans le calcul
opérationnelle :
La "fonction" échelon unité (t) = 1 dont la transformée de Laplace est 1/p
La "fonction" de Dirac (t) dont la transformée de Laplace est 1.
L’échelon unité représente physiquement un signal continu appliqué à
l’instant t = 0 ou, pour un signal quelconque, l’instant où celui-ci est appliqué. Ainsi
sin t (t) signifie que le signal sinusoïdal est appliqué au circuit à l’instant t = 0.
L’interprétation de la "fonction" de Dirac est moins évidente : le produit d’un
signal par la "fonction" de Dirac donne la valeur du signal à l’instant t = 0. Le produit
a une valeur nulle partout ailleurs. Ainsi cos t (t) = 1.
Remarque
Tous les résultats obtenus dans la première partie s’appliquent aussi aux circuits dont
les équations utilisent la notation opérationnelle, moyennant certaines précautions.
Relations tension - courant
pour les éléments actifs en notation
opérationnelle
Le condensateur
Relation tension-courant
Aux bornes d’un condensateur la tension est reliée au courant par l’équation :
v(t) =
=
+
= v(0) (t) +
où
est le terme représentatif de l’énergie emmagasinée par le condensateur
avant l’étude du circuit qui commence à l’instant t = 0 représenté dans la formule par
(t).
La borne supérieure de l’intégrale est telle que t > 0.
Le condensateur au repos (sans énergie emmagasinée "pas de condition initiale")
L’énergie emmagasinée dans un condensateur est :
W=
L’absence de condition initiale se traduit par une charge emmagasinée nulle et par
conséquent une tension nulle aux bornes du condensateur à l’instant initial t = 0 mais
on ne peut rien dire sur la valeur du courant:
v(t) =
= v(0) (t) +
=0+
A partir des propriétés de la transformée de Laplace, la notation opérationnelle donne :
v(p) =
, où 1/pC est, par définition, l’impédance opérationnelle du
condensateur.
C’est le rapport v(p)/i(p).
La relation entre le courant et la tension s’écrit :
i(p) = pC v(p), où pC est, par définition, l’admittance opérationnelle du
condensateur.
C’est le rapport i(p)/v(p).
Le condensateur chargé (avec énergie emmagasinée "condition initiale").
La charge initiale se traduit par la présence d’une tension v(0). Elle correspond à
l’énergie emmagasinée avant le commencement de l’étude de ce condensateur.
= v(0) (t) +
v(t) =
A partir des propriétés de la transformée de Laplace, la notation opérationnelle donne :
v(p) =
+
La relation entre le courant et la tension s’écrit :
i(p) = pC v(p) - C v(0)
En prenant la transformée inverse de Laplace on trouve la relation temporelle :
i(t) = C
- C v(0) (t)
Remarque
L’équation aux dimensions des relations en notation opérationnelle montre que v(p)
est homogène à une tension multipliée par un temps. De même i(p) est un courant
multipliée par un temps.
Le condensateur
Schémas électriques équivalents
schéma série
La relation temporelle peut être représentée par un dipôle comprenant le condensateur
C, sans énergie, en série avec la source de tension v(0) (t) (nulle en l’absence de
condition initiale).
De même, la relation opérationnelle peut être représentée par un dipôle comprenant le
condensateur C en série avec la source de tension v(0)/p (nulle en l’absence de
condition initiale).
Sur le schéma sont représentés :
- le condensateur avec les conventions habituelles de signe;
- le condensateur et la source de tension représentant la condition initiale
(représentation "temporelle");
- le condensateur et la source de tension représentant la condition initiale
(représentation "opérationnelle").
schéma parallèle
La relation temporelle peut être représentée par un dipôle comprenant le condensateur
en parallèle avec la source de courant C v(0) (t) (nulle en l’absence de condition
initiale).
De même, la relation opérationnelle peut être représentée par un dipôle comprenant le
condensateur en parallèle avec la source de courant C v(0) (nulle en l’absence de
condition initiale).
Sur le schéma sont représentés :
- le condensateur avec les conventions habituelles de signe;
- le condensateur et la source de courant représentant la condition initiale
(représentation "temporelle");
- le condensateur et la source de courant représentant la condition initiale
(représentation "opérationnelle").
Remarque
Il est facile de constater que les dipôles obtenus peuvent être considérés comme des
sources de Thévenin et de Norton où la résistance interne est devenue une impédance
interne.
L'inductance
Relation tension-courant
Dans une inductance le courant est relié à la tension à ses bornes par l’équation :
i(t) =
=
+
= i(0) (t) +
où
est le terme représentatif de l’énergie emmagasinée par l’inductance avant
l’étude du circuit qui commence à l’instant t = 0 représenté dans la formule par (t).
La borne supérieure de l’intégrale est telle que t > 0.
L'inductance au repos (sans énergie emmagasinée "pas de condition initiale")
L’énergie emmagasinée dans un inductance est :
W=
L’absence de condition initiale se traduit par un courant nul dans l’inductance à
l’instant initial t = 0 mais on ne peut rien dire sur sur la tension
= i(0) (t) +
i(t) =
=0+
A partir des propriétés de la transformée de Laplace, la notation opérationnelle donne :
i(p) =
, où 1/pL est, par définition, l’admittance opérationnelle de
l’inductance.
C’est le rapport i(p)/v(p).
La relation entre le courant et la tension s’écrit :
v(p) = pL i(p), où pC est, par définition, l’impédance opérationnelle de
l’inductance.
C’est le rapport v(p)/i(p).
L'inductance chargé (avec énergie emmagasinée "condition initiale").
Le courant i(0) correspond à l’énergie emmagasinée avant le commencement de
l’étude. Ce commencement est choisi arbitrairement à l’instant t = 0.
= i(0) (t) +
i(t) =
A partir des propriétés de la transformée de Laplace, la notation opérationnelle donne :
i(p) =
+
La relation entre le courant et la tension s’écrit :
v(p) = pL v(p) - L i(0)
En prenant la transformée inverse de Laplace on trouve la relation temporelle :
v(t) = L
- L i(0) (t)
Remarque
L’équation aux dimensions des relations en notation opérationnelle montre que v(p)
est homogène à une tension multipliée par un temps. De même i(p) est un courant
multipliée par un temps.
La self
Schémas électriques équivalents
schéma série
La relation temporelle peut être représentée par un dipôle comprenant le l’inductance
L, , en série avec la source de tension Li(0) (t) (nulle en l’absence de condition
initiale).
De même, la relation opérationnelle peut être représentée par un dipôle comprenant
l’inductance L en série avec la source de tension Li(0)(nulle en l’absence de condition
initiale).
Sur le schéma sont représentés :
- l’inductance avec les conventions habituelles de signe;
- l’inductance et la source de tension représentant la condition initiale (représentation
"temporelle");
- l’inductance et la source de tension représentant la condition initiale (représentation
"opérationnelle").
schéma parallèle
La relation temporelle peut être représentée par un dipôle comprenant l’inductance L
en parallèle avec la source de courant i(0) (t) (nulle en l’absence de condition
initiale).
De même, la relation opérationnelle peut être représentée par un dipôle comprenant
l’inductance L en parallèle avec la source de courant i(0)/p(nulle en l’absence de
condition initiale).
Sur le schéma sont représentés :
- l’inductance avec les conventions habituelles de signe;
- l’inductance et la source de courant représentant la condition initiale (représentation
"temporelle");
- l’inductance et la source de courant représentant la condition initiale (représentation
"opérationnelle").
Remarque
Il est facile de constater que les dipôles obtenus peuvent être considérés comme des
sources de Thévenin et de Norton où la résistance interne est devenue une impédance
interne.
Applications:
charge et décharge dans un élément réactif
Etude du condensateur.
Charge du condensateur
On considère le circuit constitué d’un condensateur C en série avec une résistance R et
un interrupteur K alimenté par une source de tension continue E.
Le circuit est initialement au repos (pas d’énergie emmagasinée dans le condensateur).
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.
Calculer l’évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur.
v(t) = E (1 ) t e 0 ou v(t) = E (1 )(t)
Pour obtenir le résultat, l’étude sera faite dans les domaines temporel et opérationnel.
Etude dans le domaine temporel
La loi des mailles appliquée au circuit donne la relation temporelle :
E = R i(t) +
Cette relation permet à priori de calculer i(t) mais on ne connaît pas la valeur initiale
i(0). Il faut donc passer par la tension v(t) dont on connaît la valeur v(0) à l’instant
initial.
La tension aux bornes du condensateur est :
v(t) =
En exprimant le courant i en fonction de la tension v, i(t) =
différentielle :
E = RC
, on trouve l’équation
+ v(t)
Après intégration de l’équation différentielle (voir cours de mathématiques) on obtient
:
v(t) = E (1 -
)te0
Cette réponse est bien connue : à t = 0, le condensateur n’étant pas chargé, v(0) = 0.
A t >> RC, le terme exponentiel tend vers 0 et toute la tension de la source se retrouve
aux bornes du condensateur v(t) = E.
Les valeurs du courant de charge i(t) se déduisent des résultats précédents sans calcul.
En effet, à t = 0 toute la tension de la source est aux bornes de la résistance puisque
v(0) = 0 : i(0) = .
A t >> RC, toute la tension est aux bornes du condensateur et la tension aux bornes de
la résistance, et par conséquent le courant, est nulle.
Le courant est positif et décroissant.
Remarque
L’interprétation physique des résultats est simple.
La continuité de l’énergie d’un système est une donnée essentielle en physique.
La continuité de l’énergie signifie donc la continuité de la tension.
Puisque le condensateur n’est pas chargé, à t = 0, v(0) = 0 juste avant et juste après la
fermeture de l’interrupteur.
A t >> RC, le régime transitoire est terminé.
La tension est donc une tension continue.
Le condensateur ne laissant pas passer le courant continu, i(t) = 0.
La chute de tension aux bornes de la résistance est nulle et toute la tension de la
source se retrouve aux bornes du condensateur.
Applications:
charge et décharge dans un élément réactif
Etude du condensateur.
Charge du condensateur
On considère le circuit constitué d’un condensateur C en série avec une résistance R et
un interrupteur K alimenté par une source de tension continue E.
Le circuit est initialement au repos (pas d’énergie emmagasinée dans le condensateur).
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.
Calculer l’évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur.
v(t) = E (1 ) t e 0 ou v(t) = E (1 )(t)
Pour obtenir le résultat, l’étude sera faite dans les domaines temporel et opérationnel.
Etude dans le domaine opérationnel
La loi des mailles appliquée au circuit donne la relation opérationnelle :
E(p) =
= R i(p) +
i(p) = (R +
) i(p)
La tension aux bornes du condensateur est :
v(p) =
i(p)
En éliminant le courant entre les 2 expressions, on trouve :
v(p) =
On reconnaît la formule du diviseur de tension qui est donc directement applicable
dans le cas d’un condensateur sans condition initiale.
La transformée inverse de Laplace donne la réponse temporelle :
v(t) = E (1 -
)(t)
L’introduction de (t) est équivalente à la condition t e 0..
Applications:
charge et décharge dans un élément réactif
Etude du condensateur.
Décharge du condensateur
Le condensateur précédemment chargé possède une charge Q = C E. On supprime la
source de tension (remplacée par un court-circuit) et on ferme l’interrupteur K à
l’instant t’ = 0.
Calculer l’évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur.
Pour obtenir le résultat, l’étude sera faite dans les domaines temporel et opérationnel.
Etude dans le domaine temporel
La loi des mailles appliquée au circuit donne la relation temporelle :
0 = R i(t’) +
La présence d’une condition initiale fait que l’intégrale de -l'infini à 0 n’est pas nulle
mais est égale à Q = CE.
La tension aux bornes du condensateur est :
v(t’) =
En exprimant le courant i en fonction de la tension v, i(t’) =
l’équation différentielle :
0 = RC
, on trouve
+ v(t’)
près intégration de l’équation différentielle, on obtient en tenant compte de la
condition initiale :
v(t’) = E
t’ e 0
Cette réponse est bien connue : à t' = 0, le condensateur étant chargé, v(0) = E.
A t' >> RC, le terme exponentiel tend vers 0 et et la tension aux bornes du
condensateur tend vers 0.
Cela correspond à la réalité physique : un circuit fermé sans source d’énergie perd
l’énergie emmagasinée dans l’élément réactif dans les résistances du circuit.
Les valeurs du courant de décharge i(t’) se déduisent des résultats précédents sans
calcul.
En effet, à t’ = 0 toute la tension de la source est aux bornes de la résistance : i(0) = .
A t’ >> RC, la tension et par conséquent le courant, tend vers 0.
Remarque
Les tensions de charge et de décharge du condensateur ont le même signe;
les courants de charge et de décharge circulent en sens opposé.
Applications:
charge et décharge dans un élément réactif
Etude du condensateur.
Décharge du condensateur
Etude dans le domaine opérationnel
La loi des mailles appliquée au circuit donne la relation opérationnelle :
0 = R i(p) +
i(p) +
= (R +
) i(p) +
En éliminant le courant entre les 2 expressions, on trouve :
v(p) =
remarque:
Attention, la tension aux bornes du condensateur chargé est v(p) =
i(p) +
et non
i(p). Il ne faut jamais l’oublier lorsqu’on calcule la tension aux bornes d’un
élément réactif ayant emmagasiné de l’énergie. C’est la traduction de la condition
initiale du domaine temporel dans le domaine opérationnel.
La transformée inverse de Laplace donne la réponse temporelle :
v(t’) = E
(t’)
L’introduction de (t’) est équivalente à la condition t’ e 0.
Applications:
charge et décharge dans un élément réactif
Etude de l'inductance
Stockage de l’énergie dans l’inductance
On considère le circuit constitué d’une inductance L en série avec une résistance R et
un interrupteur K alimenté par une source de tension continue E.
Le circuit est initialement au repos (pas d’énergie emmagasinée dans l' inductance).
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.
Calculer l’évolution temporelle de la tension aux bornes de l'inductance L.
Pour obtenir le résultat, l’étude sera faite dans les domaines temporel et opérationnel.
Etude dans le domaine temporel
La loi des mailles appliquée au circuit donne la relation temporelle :
E = R i(t) +
Après intégration de l’équation différentielle on obtient :
i(t) =
(1 -
)te0
Cette réponse est bien connue : à t = 0, l’inductance étant sans énergie, i(0) = 0.
A t >> L/R, le terme exponentiel tend vers 0 et i(t) =E/R.
La tension aux bornes de l’inductance est :
v(t) =
Les valeurs de la tension v(t) se déduisent des résultats précédents sans calcul.
En effet, à t = 0 le courant étant nul, la chute de tension aux bornes de la résistance
VR(0) = 0 .
Toute la tension est aux bornes de la self V(0) = E
A t >> , la tension aux bornes de la résistance est
R=E;
la tension aux bornes de l’inductance est alors nulle. La tension est positive et
décroissante.
Remarque
L’interprétation physique des résultats est simple.
La continuité de l’énergie d’un système est une donnée essentielle en physique.
La continuité de l’énergie signifie donc la continuité du courant.
Puisque l'inducatance n’a aucune énergie, à t = 0, i(0) = 0 juste avant et juste après la
fermeture de l’interrupteur.
A t >> L/R, le régime transitoire est terminé.
La tension est donc une tension continue et l’inductance est équivalente à un courtcircuit, v(t) = 0.
La chute de tension aux bornes l’inductance est nulle et toute la tension de la
source se retrouve aux bornes de la résistance.
Applications:
charge et décharge dans un élément réactif
Etude de l'inducatance
Stockage de l’énergie dans l’inductance
On considère le circuit constitué d’une inductance L en série avec une résistance R et
un interrupteur K alimenté par une source de tension continue E.
Le circuit est initialement au repos (pas d’énergie emmagasinée dans l'inductance L).
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.
Etude dans le domaine opérationnel
La loi des mailles appliquée au circuit donne la relation opérationnelle :
E(p) =
= R i(p) + p L i(p) = (R + p L) i(p)
soit :i(p) =
La transformée inverse de Laplace donne la réponse temporelle :
i(t) =
(1 -
)(t)
L’introduction de (t) est équivalente à la condition t e 0..
La tension aux bornes de l’inductance est :
v(p) = p L i(p)
Applications:
charge et décharge dans un élément réactif
Etude de l’inductance.
Déstockage de l’énergie dans l’inductance
L’inductance a emmagasinée une énergie proportionnelle au carré du courant
On supprime la source de tension (remplacée par un court-circuit) et on ferme
l’interrupteur K à l’instant t’ = 0.
Calculer l’évolution temporelle du courant i(t’) circulant dans l’inductance.
.
Etude dans le domaine temporel
La loi des mailles appliquée au circuit donne la relation temporelle :
0 = R i(t’) +
Après intégration de l’équation différentielle, on obtient en tenant compte de la
condition initiale :
i(t’) =
t’ >ou égal à 0
Cette réponse est bien connue : à t' = 0, l’inductance a une énergie correspondant à un
courant i(0) = E/R.
A t' >> L/R, le terme exponentiel tend vers 0 et aussi le courant i(t’).
La tension aux bornes de l’inductance est :
v(t’) =
Les valeurs de la tension aux bornes de l’inductance v(t’) se déduisent des résultats
précédents sans calcul.
En effet, à t’ = 0 toute la tension de la source est aux bornes de l’inductance
v(0) = - E
A t’ >> L/R, le courant et par conséquent la tension, tend vers 0.
Remarque
Les courants de stockage et de déstockage ont le même signe;
les tensions de stockage et de déstockage sont de signe opposé.
Applications:
charge et décharge dans un élément réactif
Etude du condensateur.
Décharge du condensateur
Etude dans le domaine opérationnel
La loi des mailles appliquée au circuit donne la relation opérationnelle :
0 = R i(p) + p L( i(p) -
) = (R + p L) i(p) - L i(0) = (R + p L) i(p) - L
La transformée inverse de Laplace donne la réponse temporelle :
i(t’) = E
(t’)
L’introduction de (t’) est équivalente à la condition t’ >ou égal à 0
La tension aux bornes de l’inductance est :
v(p) = p L( i(p) -
)
remarque:
Attention, le courant qui circule dans l’inductance est i(p) - . Il ne faut jamais
l’oublier lorsqu’on calcule le courant dans un élément réactif ayant emmagasiné de
l’énergie. C’est la traduction de la condition initiale du domaine temporel dans le
domaine opérationnel.
Conclusion
Les exemples élémentaires présentés ci-dessus permettent de familiariser le lecteur
avec les conditions initiales très souvent présentes dans l’étude des circuits.
Aucun développement mathématique des solutions n’a été donné et l’interprétation
physique des résultats a été privilégiée.
Les exercices qui suivent s’arrêteront fréquemment après l’établissement des
équations.
Les solutions ne seront éventuellement recherchées que dans les cas simples.
Régles de mise en équation.
Préliminaire
Les équations seront directement écrites en notation opérationnelle lorqu’il y aura des
éléments réactifs. Les éléments réactifs ayant emmagasinés de l’énergie seront
considérés comme des générateurs de Thévenin ou de Norton réels indépendants,
suivant le problème à traiter.
Circuit sans sources controlées
1ier Exemple
Le circuit étudié comporte:
un générateur de courant réel indépendant (J1, R1)
en série avec une résistance R2 et une résistance R3
en parallèle avec un générateur de tension réel indépendant (E4, R4).
Ecrire les équations nodales du circuit en fonction des potentiels de noeud.
Réponse :
J1 = (G1 + G2) VA - G2 VB- G4 E4 = - G2 VA + (G2 + G3 + G4) VB
Résolution du problème
La première étape de l’analyse nodale est le repérage des noeuds.
Ici n = 3 (A, B, M).
Par définition il y a n - 1 noeuds indépendants.
Puisque le noeud de référence n’est pas fixé, le choix du noeud M est le meilleur car
c’est le noeud où arrive le plus de branches.
Le potentiel VM sera pris égal à zéro : VM = 0.
Les noeuds indépendants seront les noeuds A et B.
Pour la loi des noeuds, le générateur de tension n’est pas adapté.
On le transforme en générateur de courant : (E4, R4)  (G4 E4//R4)
La loi des noeuds en A s’écrit d’après les conventions de départ :
J1 - I1 - I2 = 0
La loi des noeuds en B s’écrit d’après les conventions de départ :
I2 - I3 - I4 = 0
La transformée inverse de Laplace donne la réponse temporelle :
i(t) =
(1 -
)(t)
Les relations de branche donnent :
I1 = G1 VA
I2 = G2 (VA - VB)
I3 = G3 VB
I4 = G4 VB + G4 E4
En remplaçant les courants par leur relation avec les potentiels de noeud :
J1 - G1 VA - G2 (VA - VB) = 0
- G4 E4 + G2 (VA - VB) - G3 VB - G4 VB = 0
La tension aux bornes de l’inductance est :
J1 = (G1 + G2) VA - G2 VB- G4 E4 = - G2 VA + (G2 + G3 + G4) VB
Régles de mise en équation.
Procédure
Ces 2 équations peuvent être écrites directement en lisant le schéma. Il suffit de définir
des conventions qu’il faudra systématiquement respecter pour chacun des noeuds
indépendants. On procède de la manière suivante :
1 Dénombrer les noeuds indépendants : n1, n2,....., ni,...., nn-1.
Transformer les sources de tension réelles en sources de courant.
2 Retracer le schéma avec les sources transformées.
3
Choisir un noeud indépendant ni,
Repérer les éléments connectés à ce noeud et les noeuds nj (j`i et j`n)
indépendants extrémité de ces éléments.
Ceci élimine le noeud de référence (Vnn = 0).
Seuls les éléments repérés sont à prendre en compte ensuite.
4
Placer les courants des sources indépendantes de Norton à gauche du
signe = précédés du signe + si le courant se dirige vers le noeud considéré
et du signe - dans le cas contraire.
5
Mettre à droite du signe = le produit du potentiel du noeud ni par la
somme des admittances des éléments passifs connectés à ce noeud
précédé du signe +.
6
Prendre un noeud indépendant nj, extrémité d’élément(s) passif(s)
connecté(s) au noeud ni.
Faire le produit du potentiel du noeud nj par la somme des admittances des
éléments passifs connectés entre les noeuds ni et nj.
Mettre ce produit à droite du signe = précédé du signe -.
Répéter l’opération 6 pour tous les noeuds indépendants extrémité
d’éléments passifs connectés au noeud ni.
Reprendre les opérations 3, 4, 5, 6 jusqu’à épuisement des noeuds indépendants.
Ceci donne pour le circuit :
1
2
2 noeuds indépendants A et B.
une transformation de source de tension en source de courant : (E4, R4)  (G4
E4//R4)Noeud A
Noeud A
3
au noeud A sont connectées la source de courant de Norton (J1// R1) et la
résistance R2.
Seule R2 est connectée à un autre noeud indépendant : B.
4
le courant J1 se dirige vers le noeud A :
+ J1 =
5
les éléments passifs connectés en A sont G1 et G2
= + (G1 + G2) VA
6
un seul élément passif est connecté entre A et B, G2 :
- G2 VB= + (G1 + G2) VA - G2 VB
Finalement : J1 = (G1 + G2) VA - G2 VB
Noeud B
3
au noeud B sont connectées la source de courant de Norton (G4 E4//R4), la
résistance R2 et la résistance R3.
Seule R2 est connectée à un autre noeud indépendant : A.
4
5
6
le courant G4 E4 quitte le noeud B : - G4 E4 =
les éléments passifs connectés en B sont G2, G3 et G4
= + (G2 + G3 + G4) VB.
un seul élément passif est connecté entre B et A, G2 :
- G2 VA= + (G2 + G3 + G4) VB - G2 VA
Finalement : - G4 E4 = - G2 VA + (G2 + G3 + G4) VB
Remarque
Bien que, pour faciliter la compréhension, les courants de branche aient été portés sur
le schéma électrique, il est facile de se rendre compte qu’ils n’interviennent nullement
dans la mise en équation nodale.
Seules les sources d’énergie doivent avoir leur polarité spécifiée.
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
2ieme Exemple - diviseur de tension
Le circuit étudié comporte:
un source de tension réelle indépendante (E, Ri)
en série avec une résistance R
Calculer la tension VA - VM aux bornes de la résistance R en fonction de E, Ri et R.
Réponse :
VA - VM =
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
1 noeud indépendant : A
une transformation de source de tension en source de courant : (E, Ri)
 (Gi E//Ri)
Noeud A
3
au noeud A sont connectées la source de courant de Norton (Gi E//Ri) et
la résistance R.
Ces éléments ne sont pas connectés à un autre noeud indépendant.
4
5
6
le courant Gi E se dirige vers le noeud A : + Gi E =
les éléments passifs connectés en A sont Gi et G= + (Gi + G) VA.
aucun élément passif n’est connecté entre A et un autre noeud
indépendant.= + (Gi + G) VA - 0.
finalement Gi E = (G + Gi) VA
VA - VM =
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
2ieme Exemple - Théorème de millman
Le circuit étudié comporte:
3 générateurs de tension réels indépendants en parallèle
La tension VA - VM est mesurée à l’aide d’un voltmètre idéal.
Calculer VA - VM.
Réponse :
VA - VM =
La mesure de la tension avec un voltmètre idéal entraîne la valeur I = 0, car un
voltmètre idéal est équivalent à un circuit ouvert.
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
1 noeud indépendant : A
2
3 transformations de sources de tension en sources de courant : (E1, R1)
 (G1 E1//R1), (E2, R2)  (G2 E2//R2), (E3, R3)  (G3 E3//R3)
Noeud A
au noeud A sont connectées les sources de courant de Norton (G1 E1//R1),
(G2 E2//R2), (G3 E3//R3).
Ces éléments ne sont pas connectés à un autre noeud indépendant.
3
4
le courant G1 E1 se dirige vers le noeud A : + G1 E1 =
le courant G2 E2 quitte le noeud A : + G1 E1 - G2 E2 =
e courant G3 E3 quitte le noeud A : + G1 E1 - G2 E2 - G3 E3 =
5
les éléments passifs connectés en A sont G1, G2 et G3
+ (G1 + G2 + G3) VA
aucun élément passif n’est connecté entre A et un autre noeud
indépendant.
= (G1 + G2 + G3) VA - 0.
6
finalement G1 E1 - G2 E2 - G3 E3 = (G1 + G2 + G3) VA
VA - VM =
Remarque
Ces 2 exemples repris de la première partie montre bien la simplicité d’utilisation de
l’analyse nodale.
On constate aussi que cette méthode permet avant tout de déterminer des tensions.
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
3ieme Exemple
Le circuit étudié comporte 4 éléments en parallèle:
une source de courant indépendante idéale J1
une source de tension réelle indépendante (E1, R1)
une résistance R2 et une résistance R3
Calculer:
La tension VA - VM
les courants i1, i’1, i2, i3
la tension VR1 aux bornes de R1.
(Application numérique: E1 = 2V; J1 = 1A; R1 = 1; R2 =2; R3 = 4.)
Réponse :
VA - VM =
= - 0,57V
i3 = G3 (VA - VM) = -0,143A
i2 = G2 (VA - VM) = -0,286A
i’1 = G1 E1 + G1 (VA - VM) = 1,429A
i1 = i’1 - J1 = 0,429A
VR1 = R1 i’1 = 1,43V
Le but de cet exercice est de montrer que, selon la disposition des éléments dans le
schéma et la transformation de la source de tension, on peut se retrouver avec des
résultats différents mais exacts qui ne répondent pas, à la lettre, aux données du
problème.
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
Première transformation du schéma.
Calcul de VA - VM.
1
2
1 noeud indépendant : A
1 transformation de source de tension en source de courant : (E1, R1) 
(G1 E1//R1)
Noeud A
3
au noeud A sont connectées les sources de courant de Norton J1, (G1
E1//R1) et les résistances R2, R3. Ces éléments ne sont pas connectés à un
autre noeud indépendant.
4
le courant J1 se dirige vers le noeud A : + J1 =
le courant G1 E1 quitte le noeud A : + J1 - G1 E1 =
5
les éléments passifs connectés en A sont G1, G2 et G3
= (G1 + G2 + G3) VA
aucun élément passif n’est connecté entre A et un autre noeud
indépendant.
= (G1 + G2 + G3) VA - 0.
6
finalement J1 - G1 E1 = (G1 + G2 + G3) VA
VA - VM =
= - 0,57V
Remarque
Il est parfaitement possible d’utiliser le théorème de Millman pour trouver ce
résultat. La démonstration est laissée au lecteur.
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
Première transformation du schéma.
Calcul de i1,i'1,i2,i3
Les relations courant-tension de branche se calculent, de manière identique, sur les 2
schémas :
i’1 = G1 E1 + G1 (VA - VM) = 1,429A
i1 = i’1 - J1 = 0,429A
i2 = G2 (VA - VM) = -0,286A
i3 = G3 (VA - VM) = -0,143A
Calcul de VR1
C’est le schéma qui accompagne l’énoncé du problème qui doit être utilisé de
préférence si on veut éviter des erreurs.
Le schéma transformé ne convient pas.
En effet, dans le premier schéma la tension aux bornes de la résistance R1 est :
VR1 = VA - VM + E1 = R1 i’1.
Cela donne :
VR1 = VA - VM + E1 = 0,57 - 2 = 1,43V
VR1 = R1 i’1 = 1*1,43 = 1,43V
alors que dans le second :
V’R1 = VA - VM = R1 (i’1 - G1 E1) :
V’R1 = VA - VM = -0,57V
V’R1 = R1 (i’1 - G1 E1) = 1*(1,429 - 1*2) = - 0,57V
On peut cependant retrouver R1 i’1 car :
soit:
V’R1 = R1 i’1 - E1
R1 i’1 = V’R1 + E1 = -0,57 + 2 = 1,43V = VR1
Conclusion
Il faut donc appliquer la définition de la tension aux bornes de R1 donnée par le
premier schéma.
Les courants i1, i’1, i2, i3 ne sont pas modifiés mais le courant dans R1 n’est plus i’1
mais i’1 - G1 E1.
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
Autres transformations du schéma.
Dans l’énoncé, J1 est présenté comme un générateur de courant idéal. Rien n’interdit
de considérer un générateur de courant réel indépendant (J1//R2) ou (J1//R3) ou
(J1//R2//R3).
Dans le cas représenté, i1 = i’1; le reste est sans changement.
D’autres lectures du schéma sont possibles.
Remarque
Dans l’étude des circuits, rien n’interdit de travailler sur plusieurs schémas.
Pour calculer VA - VM, on utilise le deuxième schéma puis on revient au premier pour
calculer VR1.
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
4ieme Exemple
Le circuit étudié comporte 3 éléments en parallèle:
une source de tension réelle indépendante (E1(p), R1)
une inductance L2 avec une condition initiale représentée par la source de courant J2(p)
un condensateur C3 avec une condition initiale représentée par la source de tension
VC3(p)
Calculer:
La tension opérationnelle (VA(p) - VM (p))
Réponse :
VA(p) - VM(p) =
Remarque
La notation opérationnelle est indispensable si on ne veut pas écrire les équations
intégro-différentielles.
Elle est simplifiée puisqu’on écrit, par exemple, VC3(p) au lieu de VC3/p.
Ce sera ainsi pour tous les systèmes d’équations non résolus (pas de calcul de la
réponse temporelle).
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
Résolution
Calcul de VA(p) - VM(p).
1
1 noeud indépendant : A
2
2 transformations de sources de tension en sources de courant : (E1(p),
R1)  (G1 E1(p)//R1), (VC3(p), C3)  (pC3 VC3(p)//C3)
Noeud A
3
au noeud A sont connectées les sources de courant de Norton (G1
E1(p)//R1), (J2(p)//L2), (pC3 VC3(p)//C3).
Ces éléments ne sont pas connectés à un autre noeud indépendant.
4
e courant G1 E1(p) quitte le noeud A : - G1 E1(p) =
le courant J2(p) se dirige vers le noeud A : - G1 E1(p) + J2(p) =
le courant pC3 VC3(p) se dirige vers le noeud A : - G1 E1(p) + J2(p) + pC3
VC3(p) =
les éléments passifs connectés en A sont G1, 1/pL2 et pC3
5
= (G1 +
+ pC3) VA(p)
aucun élément passif n’est connecté entre A et un autre noeud
indépendant.
6
= (G1 +
+ pC3) VA(p) - 0.
finalement :- G1 E1(p) + J2(p) + pC3 VC3(p) = (G1 +
+ pC3) VA(p)
VA - VM =
Remarque
Il est parfaitement possible d’utiliser le théorème de Millman pour trouver ce
résultat. La démonstration est laissée au lecteur.
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
5ieme Exemple (source de tension idéal entre 2 noeuds.)
Le circuit étudié comporte :
2 sources de tension réelles indépendantes (E1, R1) et (E5, R5) .
une source de tension indépendante idéale (E3).
une source de courant idéale indépendante J2.
Ecrire les équations nodales du circuit.
Calculer:
La tension (VA - VB), (VA - VM), (VB - VM)
le courants I3
la tension VR1 aux bornes de R1.
(Application numérique: E1 = 2V; J2 = 1A; E3 = 1V; E5 = 2V; R1 =1; R2 = 2; R4 =
4; R5 = 5)
Réponse :
- G1 E1 + J2 + G5 (E3 - E5) + G4 E3 = (G1 +G2 + G4 +G5) VA
VA - VB = E3 = 1V
VA - VM =
= -0,487V
VB - VM =
- E3 = -1,487V
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
Equations nodales.
1
2
2 noeuds indépendants : A et B
2 transformations de source de tension en source de courant : (E1, R1)  (G1
E1//R1), (E5, R5)  (G5 E5//R5)
Il n’est pas possible de transformer une source idéale. On va donc prendre en
compte le courant I3 qui circule de B vers A.
Noeud A
3
4
5
6
au noeud A sont connectées les sources de courant de Norton (G1 E1//R1), J2, le
courant I3, la résistance R2.
Aucun élément passif n’est connecté à un autre noeud indépendant .
le courant G1 E1 quitte le noeud A : - G1 E1 =
le courant J2 se dirige vers le noeud A : - G1 E1 + J2 =
le courant I3 se dirige vers le noeud A : - G1 E1 + J2 + I3 =
les éléments passifs connectés en A sont G1 et G2
= (G1 + G2) VA
aucun élément passif n’est connecté entre A et un autre noeud indépendant.
= (G1 + G2) VA - 0.
Noeud A
3
au noeud B sont connectées la source de courant de Norton (G5 E5(p)//R5), le
courant I3, la résistance R4.
Aucun élément passif n’est connecté à un autre noeud indépendant .
4
le courant G5 E5 quitte le noeud B : - G5 E5 =
le courant I3 quitte le noeud B : - G5 E5 - I3 =
5
les éléments passifs connectés en B sont G4 et G5
= (G4 + G5) VB
6
aucun élément passif n’est connecté entre B et un autre noeud indépendant.
= (G4 + G5) VB - 0.
finalement:
au noeud A : - G1 E1 + J2 + I3 = (G1 + G2) VA
au noeud B : - G5 E5 - I3 = (G4 + G5) VB
Il y a 2 équations mais 3 inconnues : VA, VB et I3.
L’équation supplémentaire nécessaire pour trouver les solutions est donnée par :
- VB = E3.
VA
On peut extraire de la relation précédente:
soit VA = VB + E3
soit VB = VA - E3
et éliminer ainsi:
soit le potentiel du noeud A
soit le potentiel du noeud B
Au noeud B :
- G5 E5 - I3 = (G4 + G5) (VA - E3)
- G5 E5 + (G4 + G5) E3 - I3 = (G1 + G5) VA
En éliminant I3 entre les 2 équations, on trouve :
- G1 E1 + J2 + G5 (E3 - E5) + G4 E3 = (G1 +G2 + G4 + G5) VA
Il ne reste plus qu’une seule équation à une inconnue.
Cette équation correspond au schéma ci-dessous.
On a déplacé la source idéale E3 dans les branches R4 et (E5, R5) et les noeuds A et B
sont confondus.
On peut facilement retrouver mathématiquement ce résultat.
VA - VM = (VA - VB) + (VB - VM)
VA - VM = E3 + R4 I4 = E3 - E5 +R5I5.
Les 2 branches E3 et R4 et les 2 branches E3 et (E5, R5) peuvent respectivement
fusionner en une seule.
Les noeuds A et B sont confondus mais sur le schéma, ils sont séparés pour laisser
apparaître le courant I3.
Régles de mise en équation.
Circuit sans sources controlées
Calcul de (VA - VB), (VA - VM), (VB - VM)
La lecture du schéma initial donne:
iVA - VB = E3 = 1V
L’équation nodale donne immédiatement
VA - VM =
= -0,487V
La tension VB - VM se déduit de VA - VB et VA - VM
VB - VM =
- E3 = -1,487V
Calcul du courant I3
Le calcul de I3 n’est pas direct puisqu’il n’existe pas de relation entre une source
idéale et le courant qui la traverse.
I3 peut se déduire des 2 équations nodales écrites précédemment :
au noeud A : I3 = (G1 + G2) VA + G1 E1 - J2 = 0,27A
au noeud B : I3 = - G5 E5 - (G4 + G5) VB = 0,27A
Sur le deuxième schéma, on trouve en prenant en compte les 2 branches de gauche :
au noeud A (B) : I3 = (G1 + G2) VA + G1 E1 - J2 = 0,27A
en prenant en compte les 2 branches de droite :
I3 = (G4 + G5) VA - G5 (E3 - E5) - G4 E3 = 0,27A
Les 2 schémas donnent les mêmes résultats.
Remarque
Le système d’équations comprend 2 relations en courant et une relation en tension.
Ce n’est plus une analyse purement nodale.
On parlera d’analyse hybride.
Ce genre d’analyse ne sera pas développé ici.
Régles de mise en équation.
Circuit avec sources controlées
Source de courant contrôlée en courant.
Le circuit étudié comporte:
2 sources de tension réelles indépendantes en parallèle avec:
2 résistances R2, R3.
un générateur de courant contrôlé par le courant I3 circulant dans la branche R3.
Calculer VA - VM.
(Application numérique: E1 = 1V; E4 = 2V;  = 0,1; R1 = 1; R2 = 2; R3 = 4; R4 =
5)
Réponse :
VA - VM =
= -0,73V
La présence d’une source de courant contrôlée en courant introduit dans les
équations l’inconnue I3. Or, dans une analyse nodale, les seules inconnues sont les
potentiels de noeud. Il faut donc exprimer le courant de branche I3 en fonction des
potentiels de noeud indépendant et éventuellement en fonction des sources
indépendantes présentes dans cette branche.
Les règles 1 et 2 ne sont pas modifiées; la règle 3 doit prendre en compte tous
les sources indépendantes ou contrôlées connectées au noeud analysé. On ajoute une
septième règle qui consiste à remplacer le courant de contrôle en fonction de
potentiel(s) de noeud puis à transférer à droite du signe = le(s) terme(s) dépendant du
(des) potentiel(s) de noeud en changeant le signe.
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
1 noeud indépendant : A
2 transformations de sources de tension en sources de courant : (E1, R1)
 (G1 E1//R1), (E4, R4)  (G4 E4//R4)
2
Noeud A
3
au noeud A sont connectées les sources de courant, indépendantes ou
contrôlées, de Norton (G1 E1//R1), (G4 E4//R4),  I3, les résistances R2 et R3.
Ces éléments ne sont pas connectés à un autre noeud indépendant.
4
le courant G1 E1 quitte le noeud A : - G1 E1 =
lle courant G4 E4 quitte le noeud A : - G1 E1 - G4 E4 =
le courant I3 se dirige vers le noeud A :- G1 E1 - G4 E4 +  I3 =
5
les éléments passifs connectés en A sont G1, G2, G3 et G4
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA
6
aucun élément passif n’est connecté entre A et un autre noeud
indépendant.
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA - 0.
finalement :
on remplace I3 en fonction du potentiel de noeud indépendant : I3 = G3 VA.
- G1 E1 - G4 E4 +  G3 VA = (G1 + G2 + G3 + G4) VA
en transférant à droite le terme dépendant de VA et en changeant son signe.
- G1 E1 - G4 E4 = (G1 + G2 + G3 + G4) VA -  G3 VA
VA - VM =
= -0,73V
Remarque
De manière générale, la présence de sources contrôlées peut introduire dans le second
membre de l’équation des termes négatifs. On ne peut pas lire facilement l’équation
nodale sur le schéma. Il est cependant possible de le faire en recréant le schéma avec
les modifications apportées par la source contrôlée par le potentiel de noeud et en
modifiant légèrement les règles 3 à 6 :
3
au noeud A sont connectées les sources de courant indépendantes de Norton (G1
E1//R1), (G4 E4//R4), les résistances R2 et R3 et la source de courant contrôlée  I3 =
 G3 VA. Ces éléments ne sont pas connectés à un autre noeud indépendant.
4
5
le courant G1 E1 quitte le noeud A : - G1 E1 =
le courant G4 E4 quitte le noeud A : - G1 E1 - G4 E4 =
lles éléments passifs ou contrôlés connectés en A sont G1, G2, G3 et G4 ainsi que
la source de courant contrôlée  G3 VA.
Si le courant se dirige vers le noeud A
on écrira -  G3 VA
si le courant quitte le noeud A
on écrira +  G3 VA
La convention est opposée à celle des sources indépendantes car les termes sources
contrôlés sont mis à droite du signe =.
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA -  G3 VA
aucun élément passif ou contrôlé n’est connecté entre A et un autre noeud
6 indépendant.
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA -  G3 VA - 0.
Cette variante ne sera pas utilisée .
Régles de mise en équation.
Circuit avec sources controlées
Source de courant contrôlée en tension.
Le circuit étudié comporte:
2 sources de tension réelles indépendantes en parallèle avec:
2 résistances R2, R3.
un générateur de courant contrôlé par la tension VR4 aux bornes de la résistance R4.
Calculer VA - VM.
(Application numérique: E1 = 1V; E4 = 2V; gm = 0,1S; R1 = 1; R2 = 2; R3 = 4; R4
= 5)
Réponse :
VA - VM =
= -0,65V
La présence d’une source de courant contrôlée en tension introduit dans les
équations la tension aux bornes de R4 qu’il faut exprimer en fonction des potentiels de
noeud indépendant, inconnues du problème, et éventuellement des sources
indépendantes.
La tension VR4 n’est pas une différence de potentiel de noeuds indépendants
puisque la branche (R4, E4) est entre A et M. Il s’ensuit que la tension E4 va intervenir
dans l’expression de VR4 en fonction des potentiels de noeud.
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
1 noeud indépendant : A
2 transformations de sources de tension en sources de courant : (E1, R1)
 (G1 E1//R1), (E4, R4)  (G4 E4//R4)
Noeud A
3
au noeud A sont connectés les sources de courant, indépendantes ou
contrôlées, de Norton (G1 E1//R1), (G4 E4//R4), gm VR4, les résistances R2 et
R3. Ces éléments ne sont pas connectés à un autre noeud indépendant.
4
le courant G1 E1 quitte le noeud A : - G1 E1 =
le courant G4 E4 quitte le noeud A : - G1 E1 - G4 E4 =
le courant gm VR4 se dirige vers le noeud A :- G1 E1 - G4 E4 + gm VR4 =
5
les éléments passifs connectés en A sont G1, G2, G3 et G4
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA
6
aucun élément passif n’est connecté entre A et un autre noeud
indépendant.
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA - 0.
finalement :
on remplace VR4 en fonction des potentiels de noeud indépendant : VR4 = E4
+ VA.
soit:
- G1 E1 - G4 E4 + gm E4 + gm VA = (G1 + G2 + G3 + G4) VA
en transférant à droite le seul terme fonction du potentiel de noeud
indépendant et en modifiant son signe
- G1 E1 - G4 E4 = (G1 + G2 + G3 + G4) VA - gm VA
VA - VM =
= -0,65V
Régles de mise en équation.
Circuit avec sources controlées
Source de tension contrôlée en tension.
Le circuit étudié comporte:
1 source de tension réelles indépendantes en parallèle avec:
2 résistances R2, R3.
un générateur de tension contrôlé la tension VR1 aux bornes de la résistance R1.
Calculer VA - VM.
(Application numérique: E1 = 1V;  = 0,1; R1 = 1; R2 = 2; R3 = 4; R4 = 5)
Réponse :
VA - VM =
= 0,518V
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
1 noeud indépendant : A
2 transformations de sources de tension en sources de courant : (E1, R1)
 (G1 E1//R1), (VR1, R4)  (G4 VR1//R4)
Noeud A
3
au noeud A sont connectées les sources de courant, indépendantes ou
contrôlées, de Norton (G1 E1//R1), ( G4 VR1//R4), les résistances R2 et R3.
Ces éléments ne sont pas connectés à un autre noeud indépendant.
4
le courant G1 E1 se dirige vers le noeud A : + G1 E1 =
le courant G4 VR1 quitte le noeud A :+ G1 E1 -  G4 VR1 =
5
les éléments passifs connectés en A sont G1, G2, G3 et G4
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA
6
aucun élément passif n’est connecté entre A et un autre noeud
indépendant.
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA - 0.
finalement :
on remplace VR1 en fonction des potentiels de noeud indépendant : VR1 = E1 + VA.
soit:
+ G1 E1 +  G4 E1 -  G4 VA = (G1 + G2 + G3 + G4) VA
en transférant à droite le seul terme fonction du potentiel de noeud et en
modifiant son signe.
+ G1 E1 +  G4 E1 = (G1 + G2 + G3 + G4) VA +  G4 VA
VA - VM =
= 0,518V
Régles de mise en équation.
Circuit avec sources controlées
Source de tension contrôlée en courant
Le circuit étudié comporte:
1 source de tension réelles indépendantes (E1, R1) en parallèle avec:
2 résistances R2, R3.
un générateur de tension rmI1 contrôlé par le courant de la branche (E1, R1).
Calculer VA - VM.
(Application numérique: E1 = 1V; rm = 0,1; R1 = 1; R2 = 2; R3 = 4; R4 = 5)
Réponse :
VA - VM =
= 0,508V
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
1 noeud indépendant : A
2 transformations de sources de tension en sources de courant : (E1, R1) 
(G1 E1//R1), (rm I1, R4)  (G4 rm I1//R4)
Noeud A
3
au noeud A sont connectées les sources de courant, indépendantes ou
contrôlées, de Norton (G1 E1//R1), (G4 rm I1//R4), les résistances R2 et R3. Ces
éléments ne sont pas connectés à un autre noeud indépendant.
4
le courant G1 E1 se dirige vers le noeud A : + G1 E1 =
le courant G4 rm I1 se dirige vers le noeud A :+ G1 E1 + G4 rm I1 =
5
les éléments passifs connectés en A sont G1, G2, G3 et G4
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA
6
aucun élément passif n’est connecté entre A et un autre noeud indépendant.
= (G1 + G2 + G3 + G4) VA - 0.
finalement :
on remplace I1 en fonction des potentiels de noeud indépendant : I1 = - G1 E1 +
G1 VA.
soit:
+ G1 E1 - G1 G4 rm E1 + G1 G4 rm VA = (G1 + G2 + G3 + G4) VA
en transférant à droite le seul terme fonction du potentiel de noeud et en
modifiant son signe
+ G1 E1 - G1 G4 rm E1 = (G1 + G2 + G3 + G4) VA - G1 G4 rm VA
VA - VM =
= 0,508V
Remarque
Comme dans le cas de la source de courant contrôlée en courant, il faut remplacer le
courant de branche en fonction des potentiels aux bornes de cette branche.
Comme R1 est en série avec E1, cette tension va apparaître dans l’équation du courant
I1.
Régles de mise en équation.
Système d'équations nodales d'un circuit comportant 5 noeuds.
Description
Le circuit étudié comporte:
2 générateurs de courant réels indépendants (J1(p)//R1) et (J6(p)//L6)
1 générateur de courant idéal J5(p) en série avec la résistance R5
1 générateur de tension réel indépendant (E2(p),R2)
1 condensateur avec une condition initiale (C7,VC7(p))
1 générateur de tension contrôlée en courant (rm3 I1(p),R3)
un générateur de courant contrôlé en tension (gm8 VR2(p)//R8)
Les polarités des sources ainsi que les tension et courant de contrôle sont indiquées
sur le schéma.
Ecrire les équations nodales du circuit.
Réponse :
Noeud
J1(p) + G2 E2(p) = (G1 + G2 + G3 + G1 G3 rm3) VA(p) - (G2 + G3) VB(p) A
(G1 - G1 G3 rm3) VD(p)
Noeud
- E2(p) (G2 + gm8) = - (G2 + G3 + G3 rm3 G1 + gm8)VA(p) + (G2 + G3 + G4 +
B
G8 + gm8 + pC7) VB(p) - G4 VC(p) + G3 rm3 G1 VD(p)
Noeud
C
J5(p) - J6(p) = (G4 + 1/pL7) VC(p) - G4 VB(p).
Noeud
D
- J1(p) - J5(p) = - G1 VA(p) + G1 VD(p)
Avant de commencer les calculs, l’examen du circuit montre que la branche
entre les noeuds D et C comporte un générateur de courant idéal J5(p) en série avec
une résistance R5.
Le courant de la branche sera imposé par J5(p) et il n’est pas possible de
calculer la tension (VD(p) - VC(p)) car on ne connait pas la tension aux bornes de J5(p).
La résistance R5 n’interviendra pas dans les équations nodales du circuit
puisqu’elles concernent les courants et que, dans la branche (R5, J5), le courant est
connu.
Noeud A Noeud B Noeud C Noeud D
Régles de mise en équation.
Système d'équations nodales d'un circuit comportant 5 noeuds.
Noeud A
Réponse :
Noeud
A
J1(p) + G2 E2(p) = (G1 + G2 + G3 + G1 G3 rm3) VA(p) - (G2 + G3) VB(p) (G1 - G1 G3 rm3) VD(p)
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
4 noeuds indépendants : A, B, C, D
3 transformations de sources de tension en sources de courant :
(E2(p), R2)  (G2 E2(p)//R2)
(rm3 I1(p), R3)  (G3 rm3 I1(p)//R3)
(VC7(p), C7)  (pC7 VC7(p)//C7).
Noeud A
3
au noeud A sont connectées les sources de courant, indépendantes ou
contrôlées, de Norton (J1(p)//R1), (G2 E2(p)//R2), (G3 rm3 I1(p)//R3).
La résistance R1 est connectée au noeud indépendant D.
Les résistances R2 et R3 sont connectées au noeud indépendant B.
le courant J1(p) se dirige vers le noeud A : + J1(p) =
le courant G2 E2(p) se dirige vers le noeud A :+ J1(p) + G2 E2(p) =
le courant G3 rm3 I1(p) quitte le noeud A : + J1(p) + G2 E2(p) - G3 rm3 I1(p)
4
=
5
6
les éléments passifs connectés en A sont G1, G2 et G3
= (G1 + G2 + G3) VA(p)
Entre A et D est connectée G1; entre A et B sont connectées G2 et G3.
= (G1 + G2 + G3) VA(p) - G1 VD(p) - (G2 + G3) VB(p).
L’équation nodale au noeud A est :
J1(p) + G2 E2(p) - G3 rm3 I1(p) = (G1 + G2 + G3) VA(p)- (G2 + G3)
VB(p) - G1 VD(p)
on remplace I1(p) en fonction des potentiels de noeud indépendant : I1(p) =
G1 (VA(p) - VD(p)).
soit:
J1(p) + G2 E2(p) - G3 rm3 G1 (VA(p) - VD(p)) = (G1 + G2 + G3) VA(p) - (G2
+ G3) VB(p) - G1 VD(p)
en transférant à droite les 2 termes fonction des potentiels de noeud et en
changeant leur signe
J1(p) + G2 E2(p) = (G1 + G2 + G3 + G1 G3 rm3) VA(p) - (G2 + G3) VB(p) (G1 - G1 G3 rm3) VD(p)
J1(p) + G2 E2(p) = (G1 + G2 + G3 + G1 G3 rm3) VA(p) - (G2 + G3) VB(p) (G1 - G1 G3 rm3) VD(p)
Noeud B Noeud C Noeud D
Remarque
Le contrôle des signes dans les équations nodales est très simple.
En effet, on peut constater que, systématiquement, un terme présent dans 2 équations
change de signe parce qu’obligatoirement, dans une branche, le courant entre par un
noeud et sort par l’autre.
Si on écrivait les équations nodales pour tous les noeuds, y compris le noeud de
référence, tous les termes apparaîtraient 2 fois : une fois avec le signe + et l’autre avec
le signe-.
Régles de mise en équation.
Système d'équations nodales d'un circuit comportant 5 noeuds.
Noeud B
Réponse :
Noeud
- E2(p) (G2 + gm8) = - (G2 + G3 + G3 rm3 G1 + gm8)VA(p) + (G2 + G3 + G4 +
B
G8 + gm8 + pC7) VB(p) - G4 VC(p) + G3 rm3 G1 VD(p)
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
4 noeuds indépendants : A, B, C, D
3 transformations de sources de tension en sources de courant :
(E2(p), R2)  (G2 E2(p)//R2)
(rm3 I1(p), R3)  (G3 rm3 I1(p)//R3)
(VC7(p), C7)  (pC7 VC7(p)//C7).
Noeud B
3
au noeud B sont connectées les sources de courant, indépendantes ou
contrôlées, de Norton (G2 E2(p)//R2), (G3 rm3 I1(p)//R3), (pC7 VC7(p)//C7), gm8
VR2(p)
la résistance R8
La résistance R4 est connectée au noeud indépendant C
Les résistances R2, et R3 sont connectées au noeud indépendant A.
4
le courant G2 E2(p) quitte le noeud B :- G2 E2(p) =
le courant G3 rm3 I1(p) se dirige vers le noeud B : - G2 E2(p) + G3 rm3 I1(p)
=
le courant gm8 VR2(p) se dirige vers le noeud B : - G2 E2(p) + G3 rm3 I1(p)
+ gm8 VR2(p) =
le courant pC7 VC7(p) quitte le noeud B : - G2 E2(p) + G3 rm3 I1(p) + gm8
VR2(p) - pC7 VC7(p) =
5
6
les éléments passifs connectés en B sont G2, G3, G4, G8 et pC7
= (G2 + G3 + G4 + G8 + pC7) VB(p)
Entre B et C est connectée G4; entre B et A sont connectées G2 et G3.
= (G2 + G3 + G4 + G8 + pC7) VB(p) - G4 VC(p) - (G2 + G3) VA(p).
L’équation nodale au noeud B est :
- G2 E2(p) + G3 rm3 I1(p) + gm8 VR2(p) - pC7 VC7(p) = (G2 + G3 + G4
+ G8 + pC7) VB(p) - G4 VC(p) - (G2 + G3) VA(p).
on remplace I1(p) en fonction des potentiels de noeud indépendant : I1(p) =
G1 (VA(p) - VD(p))
soit:
G3 rm3 I1(p) = G3 rm3 G1 (VA(p) - VD(p))
on remplace VR2(p) en fonction des potentiels de noeud indépendant : VR2 = E2(p) + (VA(p) - VB(p))
soit:
gm8 VR2(p) = gm8 (VA(p) - VB(p) - E2(p))
- G2 E2(p) + G3 rm3 G1 (VA(p) - VD(p)) + gm8 (VA(p) - VB(p) - E2(p)) - pC7
VC7(p) = (G2 + G3 + G4 + G8 + pC7) VB(p) - G4 VC(p) - (G2 + G3) VA(p).
en transférant à droite les 2 termes fonction des potentiels de noeud et en
changeant leur signe
- E2(p) (G2 + gm8) = - (G2 + G3 + G3 rm3 G1 + gm8)VA(p) + (G2 + G3 + G4
+ G8 + gm8 + pC7) VB(p) - G4 VC(p) + G3 rm3 G1 VD(p)
- E2(p) (G2 + gm8) = - (G2 + G3 + G3 rm3 G1 + gm8)VA(p) + (G2 + G3 + G4 +
G8 + gm8 + pC7) VB(p) - G4 VC(p) + G3 rm3 G1 VD(p)
Noeud A Noeud C Noeud D
Remarque
Le contrôle des signes dans les équations nodales est très simple.
En effet, on peut constater que, systématiquement, un terme présent dans 2 équations
change de signe parce qu’obligatoirement, dans une branche, le courant entre par un
noeud et sort par l’autre.
Si on écrivait les équations nodales pour tous les noeuds, y compris le noeud de
référence, tous les termes apparaîtraient 2 fois : une fois avec le signe + et l’autre avec
le signe-.
Régles de mise en équation.
Système d'équations nodales d'un circuit comportant 5 noeuds.
Noeud C
Réponse :
Noeud C
J5(p) - J6(p) = (G4 + 1/pL7) VC(p) - G4 VB(p).
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
4 noeuds indépendants : A, B, C, D
3 transformations de sources de tension en sources de courant :
(E2(p), R2)  (G2 E2(p)//R2)
(rm3 I1(p), R3)  (G3 rm3 I1(p)//R3)
(VC7(p), C7)  (pC7 VC7(p)//C7).
Noeud C
au noeud C sont connectées les sources de courant, indépendantes ou
contrôlées, de Norton J5(p), (J6(p)//L6),
la résistance R4.
La résistance R4 est connectée au noeud indépendant B.
La résistance R5 n’intervient pas puisque la branche est représentée par son
courant J5.
3
4
le courant J5(p) se dirige vers le noeud C : J5(p) =
le courant J6(p) quitte le noeud C : J5(p) - J6(p) =
5
les éléments passifs connectés en C sont G4, et 1/pL7
= (G4 + 1/pL7) VC(p)
Entre C et B est connectée G4.
= (G4 + 1/pL7) VC(p) - G4 VB(p).
L’équation nodale au noeud C est :
6
-J5(p) - J6(p) = (G4 + 1/pL7) VC(p) - G4 VB(p).
-J5(p) - J6(p) = (G4 + 1/pL7) VC(p) - G4 VB(p).
Noeud A Noeud B Noeud D
Remarque
Le contrôle des signes dans les équations nodales est très simple.
En effet, on peut constater que, systématiquement, un terme présent dans 2 équations
change de signe parce qu’obligatoirement, dans une branche, le courant entre par un
noeud et sort par l’autre.
Si on écrivait les équations nodales pour tous les noeuds, y compris le noeud de
référence, tous les termes apparaîtraient 2 fois : une fois avec le signe + et l’autre avec
le signe-.
Régles de mise en équation.
Système d'équations nodales d'un circuit comportant 5 noeuds.
Noeud D
Réponse :
Noeud D
- J1(p) - J5(p) = - G1 VA(p) + G1 VD(p)
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
4 noeuds indépendants : A, B, C, D
3 transformations de sources de tension en sources de courant :
(E2(p), R2)  (G2 E2(p)//R2)
(rm3 I1(p), R3)  (G3 rm3 I1(p)//R3)
(VC7(p), C7)  (pC7 VC7(p)//C7).
Noeud D
3
au noeud D sont connectées les sources de courant, indépendantes ou
contrôlées, de Norton (J1(p)//R1), J5(p).
La résistance R1 est connectée au noeud indépendant A.
La résistance R5 n’intervient pas puisque la branche est représentée par son
courant J5.
4
le courant J1(p) quitte le noeud D : - J1(p) =
le courant J5(p) quitte le noeud D : - J1(p) - J5(p) =
5
l’éléments passif connecté en D est G1
= G1 VD(p)
6
Entre D et A est connectée G1.
= G1 VD(p) - G1 VA(p).
L’équation nodale au noeud D est :
- J1(p) - J5(p) = G1 VD(p) - G1 VA(p).
- J1(p) - J5(p) = - G1 VA(p) + G1 VD(p)
Noeud A Noeud B Noeud C
Remarque
Le contrôle des signes dans les équations nodales est très simple.
En effet, on peut constater que, systématiquement, un terme présent dans 2 équations
change de signe parce qu’obligatoirement, dans une branche, le courant entre par un
noeud et sort par l’autre.
Si on écrivait les équations nodales pour tous les noeuds, y compris le noeud de
référence, tous les termes apparaîtraient 2 fois : une fois avec le signe + et l’autre avec
le signe-.
Régles de mise en équation.
Equation nodales d'un transistor
Description
On considère le schéma équivalent d’un transistor représenté ci-dessous.
1-Etablir les équations nodales aux 3 noeuds indépendants du circuit.
2 -En déduire les équations nodales pour les 3 types de montage : émetteur
commun, collecteur commun et base commune.
Pour simplifier l’écriture des équations, on définit les admittances opérationnelles
suivantes :
YBE(p) = GBE + pCBE
YBC(p) = GBC + pCBC
Comme il n’y a aucune confusion possible, (p) ne sera pas introduit dans l’écriture des
courants et des tensions.
Réponse :
Equations nodales aux 3 noeuds indépendants.
IB = (YBE + YBC) VB - YBC VC - YBE VE
IC = - (YBC - gm) VB + (YBC + GCE) VC - (gm + GCE) VE
IE = - (YBE + gm) VB - GCE VC +(YBE + GCE + gm)VE
Emetteur commun : VE = 0.
IB = (YBE + YBC) VB - YBC VC
IC = - (YBC - gm)VB + (YBC + GCE) VC
Collecteur commun VC = 0
IB = (YBE + YBC) VB - YBE VE
IE = - (YBE + gm) VB +(YBE + GCE + gm)VE
Base commune VB = 0
IE =(YBE + GCE + gm)VE - GCE VC
IC = - (gm + GCE) VE + (YBC + GCE) VC
Régles de mise en équation.
Equations nodales d’un transistor .
Etablir les équations nodales aux 3 noeuds indépendants du circuit.
Etant donné la question posée, il a été représenté sur le schéma 3 sources de courant
idéales IB, IC, IE.
Le choix de 3 sources de courant est évident.
En effet on recherche les équations nodales qui sont homogènes à un courant.
Si l’étude avait porté sur les équations aux mailles, le choix aurait été de prendre des
sources de tension idéales.
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
3 noeuds indépendants : B, C, E
Pas de transformation de source.
Noeud B
3
4
5
6
au noeud B sont connectées la source de courant IB et les admittances YBE
et YBC.
L’admittance YBC est connectée au noeud indépendant C et l’admittance
YBE au noeud indépendant E.
le courant IB se dirige vers le noeud indépendant B : + IB =
les éléments passifs connectés en B sont YBE et YBC.
= (YBE + YBC) VB
Entre B et C est connectée YBC; entre B et E est connectée Y= (YBE +
YBC) VB - YBC VC - YBE VE.= (G1 + G2 + G3) VA(p) - G1 VD(p) - (G2 + G3)
VB(p).
L’équation nodale au noeud B est :
IB = (YBE + YBC) VB - YBC VC - YBE VE.
IB = (YBE + YBC) VB - YBC VC - YBE VE.
Noeud C
3
au noeud indépendant C sont connectées les sources de courant de Norton
IC et gm VBE = gm (VB -VE)
l’admittance YBC et la conductance GCE.
L’admittance YBC est connectée au noeud indépendant B et la conductance
GCE au noeud indépendant E.
4
le courant IC se dirige vers le noeud C : + IC =
le courant gm (VB -VE) quitte le noeud C : + IC - gm VBE =
5
les éléments passifs connectés en C sont YBC et GCE
= (YBC + GCE) VC
6
Entre C et B est connectée YBC; entre C et E est connectée GCE.
= (YBC + GCE) VC - YBC VB.- GCE VE
L’équation nodale au noeud C est :
IC - gm (VB -VE) = (YBC + GCE) VC - YBC VB - GCE VE
La tension de contrôle étant une différence de potentiels de noeud, il n’y a
pas de modification à faire.
D’où :
IC = - (YBC - gm) VB + (YBC + GCE) VC - (gm + GCE) VE
Noeud E
3
4
5
6
au noeud indépendant E sont connectées les sources de courant de Norton
IE et gm VBE = gm (VB -VE)
l’admittance YBE et la conductance GCE.
L’admittance YBE est connectée au noeud indépendant B
la conductance GCE au noeud indépendant C.
le courant IE se dirige vers le noeud E : + IE =
le courant gm (VB -VE) se dirige vers le noeud E : + IE + gm (VB -VE) =
les éléments passifs connectés en E sont YBE et GCE
= (YBE + GCE) VE
Entre E et B est connectée YBE; entre E et C est connectée GCE.
= (YBE + GCE) VE - YBE VB.- GCE VC
L’équation nodale au noeud E est :
IE + gm (VB -VE) = (YBE + GCE) VE - YBE VB - GCE VC
La tension de contrôle étant une différence de potentiels de noeud, il n’y a
pas de modification à faire.
D’où :
IE = - (YBE + gm) VB - GCE VC +(YBE + GCE + gm)VE
L’addition des 3 équations donne un résultat bien connu : la
somme des courants dans un transistor est nulle.
IB + IC + IE = 0
Régles de mise en équation.
Equation nodales d'un transistor suivant le type de montage
Emetteur commun.
Le noeud E sert de référence : VE = 0.
Il y a 2 noeuds indépendants B et C dont les équations nodales sont :
I
IB = (YBE + YBC) VB - YBC VC
IC = - (YBC - gm)VB + (YBC + GCE) VC
Collecteur commun.
Le noeud C sert de référence : VC = 0
Il y a 2 noeuds indépendants B et E dont les équations nodales sont :
I
IB = (YBE + YBC) VB - YBE VE
IE = - (YBE + gm) VB +(YBE + GCE + gm)VE
Base commune.
Le noeud B sert de référence : VB = 0.
Il y a 2 noeuds indépendants E et C dont les équations nodales sont :
I
IE =(YBE + GCE + gm)VE - GCE VC
IC = - (gm + GCE) VE + (YBC + GCE) VC
Régles de mise en équation.
Equation nodales d'un amplificateur
Description
Le schéma dynamique d’un amplificateur à transistor est représenté ci-dessous.
Le signal d’entrée est fourni par un générateur de tension Eg de résistance interne Rg.
La sortie est fermée sur une résistance de charge Ru.
Ecrire les équations nodales du transistor en l’absence du générateur et de la charge.
Calculer :
l’impédance d’entrée Ze
l’impédance de sortie Zs
le gain en tension av
le gain en courant ai de ce montage.
Réponse :
Equations nodales aux 3 noeuds indépendants.
IB = YBE VB - YBE VE.
IC = + gm VB + GCE VC - (gm + GCE) VE
0 = - (YBE + gm) VB - GCE VC +(YBE + GCE + GE + gm)VE
IB =
VB -
VC = Y11 VB + Y12 VC.
IC =
VB +
VC = Y21 VB + Y22 VC.
Impédance d’entrée, impédance de sortie, gain.
Ze =
Zs =
a’v = -
ai =
Pour simplifier l’écriture des équations, on définit l’admittance opérationnelle
suivante :
YBE(p) = GBE + pCBE
Comme il n’y a aucune confusion possible, (p) ne sera pas introduit dans l’écriture des
courants et des tensions.
Régles de mise en équation.
Equations nodales d’un amplificateur.
Ecrire les équations nodales du transistor pris isolément.
Les seuls noeuds accessibles dans le montage amplificateur sont les noeuds B, C et M.
Par conséquent l’équation liée au noeud E sera éliminée pour ne garder que les
équations nodales aux noeuds B et C.
Les différences avec l’exercice précédent sont l’absence de l’admittance YBC et l’ajout
d’une résistance RE entre l’émetteur et le noeud de référence.
En reprenant les conventions précédentes, on obtient :
1
2
3 noeuds indépendants : B, C, E
Pas de transformation de source.
Noeud B
3
au noeud B sont connectés le courant IB et l’admittance YBE.
L’admittance YBE est connectée au noeud E.
4
5
le courant IB se dirige vers le noeud B : + IB =
6
l’élément passif connecté en B est YBE.
= YBE VB
Entre B et E est connectée YBE.
= (YBE + YBC) VB- YBE VE.
L’équation nodale au noeud B est :
IB = YBE VB - YBE VE.
IB = IB = YBE VB - YBE VE.
Noeud C
3
au noeud C sont connectés le courant de source contrôlée de Norton gm
VBE = gm (VB -VE)
le courant IC
L’admittance YBC est connectée au noeud a conductance GCE.
La conductance GCE est connectée au noeud E.
4
le courant IC se dirige vers le noeud C : + IC =
le courant gm (VB -VE) quitte le noeud C : + IC - gm (VB -VE) =
5
l’élément passif connecté en C est GCE
= + GCE VC
6
Entre C et E est connectée GCE.
= + GCE VC - GCE VE
L’équation nodale au noeud C est :
IC - gm (VB -VE) = + GCE VC - GCE VE
La tension de contrôle étant une différence de potentiels de noeud, il n’y a
pas de modification à faire.
D’où :
IC = + gm VB + GCE VC - (gm + GCE) VE
Noeud E
3
au noeud E sont connectés le courant de source contrôlée de Norton gm
VBE = gm (VB -VE)
l’admittance YBE
les conductances GCE et GE
L’admittance YBE est connectée au noeud B et la conductance GCE au noeud
C.
4
Le courant gm (VB -VE) se dirige vers le noeud E : + gm (VB -VE) =
5
les éléments passifs connectés en E sont YBE, GE et GCE
= (YBE + GCE + GE) VE
6
Entre E et B est connectée YBE; entre E et C est connectée GCE.
= (YBE + GCE + GE) VE - YBE VB.- GCE VC
L’équation nodale au noeud E est :
gm (VB -VE) = (YBE + GCE + GE) VE - YBE VB - GCE VC
La tension de contrôle étant une différence de potentiels de noeud, il n’y a
pas de modification à faire.
D’où :
0 = - (YBE + gm) VB - GCE VC +(YBE + GCE + GE + gm)VE
Les équations nodales IB et IC dépendent du potentiel du noeud E qui n’est
pas accessible.
Ce potentiel est extrait de l’équation:
0 = - (YBE + gm) VB - GCE VC +(YBE + GCE + GE + gm)VE
soit:
VE =
En reportant dans les équations de IB et IC, on trouve :
IB = YBE VB - YBE
IB =
VB -
VC.
IC = gm VB + GCE VC - (gm + GCE)
IC =
VB +
VC
Si on fait RE = 0 et qu’on tient compte que YBC = 0, on retrouve les équations
nodales émetteur commun.
Régles de mise en équation.
Equation nodales d'un amplificateur
Calcul des impédances et gains.
Calculer :
l’impédance d’entrée Ze
l’impédance de sortie Zs
le gain en tension av
le gain en courant ai de ce montage.
Afin d’alléger les formules, on va poser dans les équations précédentes:
Y11 =
Y12 = Y21 =
Y22 =
IB = Y11 VB + Y12 VC
IC = Y21 VB + Y22 VC
Régles de mise en équation.
Equation nodales d'un amplificateur
Calcul de l'impédances d'entrée.
Par définition, l’impédance d’entrée du montage est le rapport Ze =
Pour calculer ce rapport, il faut une équation supplémentaire : IC = - Gu VC.
soit:
IC = - Gu VC = Y21 VB + Y22 VC
VC = -
VB
IB = (Y11 - Y12
Ze =
) VB
=
Cette impédance dépend de la valeur de la résistance de charge.
Régles de mise en équation.
Equation nodales d'un amplificateur
Calcul de l'impédances de sortie
Par définition, l’impédance de sortie du montage est le rapport
quand le
générateur est éteint .
c’est-à-dire quand Eg est remplacé par un court-circuit.
C’est la même définition que la résistance interne d’une source de Thévenin ou de
Norton.
Pour calculer ce rapport, il faut une équation supplémentaire : IB = - Gg VB.
soit:
IB = - Gg VB = Y11 VB + Y12 VC
VB = -
VC
IC = (- Y21
Zs =
+ Y22 ) VC
=
Cette impédance dépend de la valeur de la résistance du générateur.
Régles de mise en équation.
Equation nodales d'un amplificateur
calcul du gain en tension.
Par définition, le gain en tension du transistor est le rapport
Il est inutile de refaire un calcul. En effet dans le calcul de l’impédance d’entrée
apparait la relation entre VC et VB
av =
=-
Le gain ainsi défini ne prend pas en compte le générateur. Un autre définition consiste
à prendre le rapport
.
soit:
=
Le premier terme a déja été calculé;
le second se déduit du schéma équivalent à l’entrée du montage.
En effet rien ne s’oppose au remplacement de la partie du circuit à gauche des noeuds
B et M par le dipôle équivalent qui est l’impédance d’entrée.
Le diviseur de tension donne :
=
a’v =
Eg
=-
a’v =
Régles de mise en équation.
Equation nodales d'un amplificateur
calcul du gain en courant.
Par définition, le gain en courant du transistor est le rapport ai =
En mettant en facteur VB dans les 2 équations nodales et en faisant le rapport
trouve:
=
Or
est le gain en tension du transistor.
soit:
ai =
=
=
on