titre

Sciences de
l’Ingénieur
CONCOURS BLANC Mars 2007
Document Sujet
Durée : 4 H
Aucune question ne sera retenue pendant l’épreuve. Une copie illisible ne sera
pas lue. Le dossier Documents réponses est à rendre dans votre copie.
Les calculatrices sont autorisées.
Ce sujet se décompose en sept parties indépendantes.
LA LOCOMOTIVE BB 15000
Le support du sujet qui vous est proposé est la locomotive BB 15000 en service sur
le réseau Est de la SNCF. Il s’agit d’une locomotive mono tension qui fonctionne uniquement
sous caténaire monophasée 25kV 50Hz. Les locomotives BB 15000 ont été fabriquées à 65
exemplaires et mises en service de 1971 à 1978. Elles remorquent indifféremment et sans
aucune préparation intermédiaire, soit des trains de voyageurs rapides jusqu’à des vitesses de
200km.h-1 ; soit des trains de marchandises ordinaires ou accélérés (vitesse maximale 80, 100
ou 120km.h-1).
La locomotive étudiée est de type BB,
elle possède deux bogies à 2 essieux
(voir figure 1). Chaque bogie est équipé
d’un moteur a courant continu à
excitation série entraînant les 2 essieux
de la bogie par l’intermédiaire d’un
réducteur.
Figure 1 – Photo d’un bogie avec 2 essieux
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Les deux moteurs de traction du type TAB 674, sont alimentés indépendamment l’un de
l’autre. En fonctionnement normal, hors patinage, ils fournissent la même puissance et tourne
à la même vitesse de rotation. Pour alimenter les moteurs, la tension de 25kV est abaissée par
l’intermédiaire d’un transformateur, puis redressée et modulée par des convertisseurs
statiques alternatif-continu qui assurent le réglage de la tension aux bornes des moteurs (voir
figure 2). La valeur moyenne de la tension aux bornes des moteurs permet de faire varier la
vitesse de rotation du rotor.
Figure 2 – Structure d’alimentation des moteurs électriques
Les structures de base des convertisseurs CS1 et CS2, connectées en série lors du
fonctionnement en mode traction, sont données ci-dessous.
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Les secondaires du transformateur sont considérés comme des sources de tension parfaites
tels que Ve1
 Ve 2  V . 2. sin  .
Le courant de sortie I des convertisseurs est supposé parfaitement continu et constant.
Le freinage électrique de cette locomotive est assuré soit avec récupération (renvoi de
l’énergie électrique sur la caténaire monophasée), soit par dissipation dans des rhéostats
(résistances électriques) embarqués à bord de la locomotive. À basse vitesse ou en cas de
freinage d’urgence, le freinage électrique est conjugué avec un frein pneumatique agissant sur
les roues.
Nous allons étudier plus particulièrement plusieurs fonctions réalisées par ce système :
 La fonction « Permettre l’accès à l’utilisateur».
 La fonction « Alimenter le moteur »
En particulier les sous fonctions réalisées par:
o les convertisseurs statiques,
o les interrupteurs statiques,
 La fonction « Transmettre une puissance mécanique ».
Plusieurs critères du cahier des charges devront ainsi être validés :
o les actions mécaniques exercées sur les bogies.
o l’usure des butées à billes situées sur les axes des essieux.
 La fonction « Transmettre l’information pour la signalisation ».
Partie 1 : Analyse fonctionnelle
Q1.1) Etablir sur le document réponse DR1, le diagramme SADT A-0 de la locomotive.
Q1.2) Compléter sur le document réponse DR1, le diagramme FAST partiel associé à la
fonction « Alimenter les moteurs ».
Q1.3) Etablir le diagramme FAST de la fonction « Freiner la locomotive » sur le
document réponse DR1.
Partie 2 : Étude du mécanisme d’ouverture de porte
La figure ci-dessous représente le schéma du mécanisme actionneur d'une porte (3) de
la locomotive. Au dessus de la porte, un vérin pneumatique (air comprimé) à double effet (4,
5) entraîne une bielle (2) en liaison pivot avec la carrosserie (1). Le bras (AB), solidaire de la
bielle (2), entraîne le battant de porte (3) qui est guidé par un maneton (C) circulant dans une
rainure. L'amplitude de rotation de la bielle (2) de 90° environ permet d'obtenir les positions
extrêmes (ouvert / fermé) du battant (3).
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La vitesse de déploiement du vérin VF,4/5 lors de l'ouverture de la porte est de 50 mm/s.
Indications :
 échelle : 10 mm/s <==> 5 mm.
 vous expliquerez succinctement sur votre copie, les tracés réalisés.
 vous donnerez les valeurs numériques des vitesses demandées.
Sur le document réponse DR2 :

Q2.1) Déterminer graphiquement la vitesse VF, 4/1 .

Q2.2) Déterminer graphiquement la vitesse VB, 3/1 .

Q2.3) Donner la direction de la vitesse VC, 3/1 . En déduire la position du centre
instantanée de rotation de la porte (3) par rapport à bâti (1), noté I31.


Q2.4) Déterminer graphiquement les vitesses VE, 3/1 et VD, 3/1 après avoir recherché
leurs directions.
Q2.5) Déterminer le C.I.R. du mouvement de (4) par rapport à (1).
Q2.6) Énoncer la propriété des trois C.I.R. qu'il est possible de former à partir de trois
pièces (a), (b) et (c) en mouvement plan.
Q2.7) Déterminer les C.I.R. de (2) par rapport à (4) et de (2) par rapport à (3).
Q2.8) Déterminer le C.I.R. de (4) par rapport à (3).
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Partie 3 : Étude des convertisseurs statiques
On rappelle que tout signal F(θ) périodique de période T est décomposable en série
de Fourier tel que :

F ( )  a 0   a n . cos( n )  bn . sin( n )
n 1
Avec :
T
1
a0   F ( ).d
T 0
T
2
a n   F ( ). cos( n ).d
T 0
T
2
bn   F ( ). sin( n ).d
T 0
III – 1 Étude du convertisseur statique CS1 :
Le convertisseur statique CS1 est composé de 4 interrupteurs commandables. Les séquences
de conduction (périodique de période T=2π rad) de ce convertisseur sont fournies ci-dessous :
0    1
:
K13 et K14 conduisent ;
1      1
:
K11 et K12 conduisent ;
  1    2
:
K13 et K14 conduisent.
Q3-1.1) Tracer en VERT sur le document réponse DR3 l’allure du signal u1 ( ) en fonction
des séquences de conduction des interrupteurs définies ci-dessus. À partir de ce tracé, établir
l’expression de U1moy  u1 ( ) en fonction de V et de 1 .
Q3-1.2) Le courant en sortie du convertisseur statique CS1 est un courant continu (constant)
de valeur I. Tracer sur le document réponse DR3 en ROUGE l’allure du courant ie1 ( ) en
fonction des séquences de conduction précédemment définies. Tracer sur le document
réponse DR3 en NOIR l’allure du fondamental du courant ie1 ( ) .
L’angle 1 est défini par les séquences de conduction des interrupteurs et peut varier de 0 à π
radians.
Q3-1.3) En utilisant la décomposition en série de Fourier, montrer que le fondamental du
courant d’entrée du convertisseur CS1 peut s’exprimer par :
4
ie1 fond ( )  I . sin( t  1 )

Q3-1.4) Déterminer l’expression de la puissance active P1 transmise de la source vers la
charge en fonction de V, I et 1 .
Q3-1.5) Montrer que la puissance réactive Q1 peut s’exprimer par :
2 2
Q1 
.V .I . sin( 1 )

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Q3-1.6) Tracer sur le document réponse DR3, l’allure de la courbe Q1  f ( P1 ) pour 1
variant de 0 à π radians. Montrer que cette courbe est un demi cercle dont vous préciserez le
rayon et le centre.
III – 2 Étude du convertisseur statique CS2 :
Le convertisseur statique CS2 est composé aussi de 4 interrupteurs commandables. Les
séquences de conduction (périodique de période T=2π rad) de ce convertisseur sont fournies
ci-dessous :
0    2
:
K 22 et K 23 conduisent ;
2    
:
K 21 et K 22 conduisent ;
      2
   2    2
:
K 21 et K 24 conduisent ;
:
K 23 et K 24 conduisent.
Q3-2.1) Tracer en VERT sur le document réponse DR4 l’allure du signal u 2 ( ) en fonction
des séquences de conduction des interrupteurs définies ci-dessus. À partir de ce tracé, établir
l’expression de U 2moy  u 2 ( ) en fonction de V et de 2 .
Q3-2.2) Le courant en sortie du convertisseur statique CS2 est un courant continu (constant)
de valeur I. Tracer sur le document réponse DR4 en ROUGE l’allure du courant ie 2 ( ) en
fonction des séquences de conduction précédemment définies. Tracer sur le document
réponse DR4 en NOIR l’allure du fondamental du courant ie 2 ( ) .
L’angle 2 est défini par les séquences de conduction des interrupteurs et peut varier de 0 à π
radians.
Q3-2.3) En utilisant la décomposition en série de Fourier, montrer que le fondamental du
courant d’entrée du convertisseur CS2 peut s’exprimer par :

4
 
ie 2 fond ( )  I . cos 2  sin( t  2 )

2
 2 
Q3-2.4) Déterminer l’expression de la puissance active P2 transmise de la source vers la
charge en fonction de V, I et 2 .
Q3-2.5) Montrer que la puissance réactive Q2 peut s’exprimer par :

2
Q2 
.V .I . sin( 2 )

2
Q3-2.6) Exprimer la puissance apparente S2 en fonction de V et I.
Q3-2.7) En déduire le facteur de puissance K p 2 .
Q3-2.8) Tracer sur le document réponse DR4, l’allure de la courbe Q2  f ( P2 ) pour 2
variant de 0 à π radians. Montrer que cette courbe est un demi cercle dont vous préciserez le
rayon et le centre.
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Partie 4 : Étude des bogies
Nous allons étudier les actions mécaniques extérieures exercées sur les bogies. Selon
le cahier des charges, il faut que ces actions mécaniques soient inférieures à 51 kN.
Nous allons commencer par déterminer la position du centre d’inertie GT de cette pièce. On
supposera que le matériau constituant la pièce est homogène. On utilisera pour commencer le
modèle géométrique suivant, où les bogies sont considérées comme des pièces de section
constante sur une épaisseur de 1m suivant la direction Z .
Y
B
A
X
O
On décompose cette géométrie d’un bogie en deux parties symétriques.
Q4.1) Que pouvons nous dire de la position du centre d’inertie de ce bogie ?
A
Y
O
300
X
200
300
150
On décompose cette demi partie en 4 sous ensembles géométriquement élémentaires pour le
calcul de la position du centre d’inertie: 2 rectangles, un triangle et un demi disque.
Q4.2) Trouver analytiquement la position de G1: centre d’inertie du triangle. ( OG1 )
Q4.3) Trouver la position de G2: centre d’inertie du rectangle de droite.
Q4.4) Trouver la position de G3: centre d’inertie du rectangle de gauche.
Q4.5) Trouver analytiquement la position de G4, centre d’inertie du demi disque de centre A.
Q4.6) En déduire la position de GDemi, centre d’inertie de l’ensemble de ces 4 éléments.
Q4.7) En déduire la position de GT, centre d’inertie du bogie.
La masse volumique du bogie est de 7000 kg /m3, son épaisseur est de 1000 mm.
Q4.8) Évaluer le poids de celui-ci.
L’action de la locomotive sur le bogie est modélisée par un glisseur en O de norme 100 kN
porté par Y .
Q4.9) Évaluer les normes des actions mécaniques en A et en B. Justifier votre démarche.
Q4.10) Le cahier des charges est-il respecté ? Commenter votre réponse.
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Partie 5 : Détermination du rendement des
convertisseurs statiques
On se propose de déterminer le rendement des convertisseurs statiques en vue de
dimensionner les dissipateurs thermiques placés sur les interrupteurs statiques. On ne
s’intéressera uniquement qu’au convertisseur CS2. Les interrupteurs statiques K21 et K23
sont des transistors IGBT et les interrupteurs K22 et K24 des diodes de redressement.
Le courant circulant dans la charge est supposé constant et vaut I=1350A.
Par conséquent, on ne suppose plus que les interrupteurs statiques parfaits, mais ont pour
caractéristiques :
 1) Les transistors à l’état passant se comportent comme une source de
tension notée VCEsat = 1.9V ;
 2) Les diodes à l’état passant se comportent comme une source de
tension notée VD = 1.1V (tension de seuil) en série avec une résistance
électrique rD = 2.3mΩ ;
 3) Le passage de l’état bloqué à l’état passant et de l’état passant à l’état
bloqué des diodes est supposé instantané ;
 4) Le passage de l’état bloqué à l’état passant des transistors IGBT se
produit dans un temps noté tU = 900ns et le passage de l’état passant à
l’état bloqué dans un temps noté tD=100μs. On supposera pendant ces
durées, une évolution linéaire du courant et une tension constante
égale à la tension d’alimentation aux instants de commutation.
V – 1 Pertes en conduction dans le convertisseur statique CS2 :
On supposera pour cette partie, des variations instantanées du courant dans les interrupteurs.
Par conséquent, seuls les points 1) et 2) sont à prendre en compte.
Q5-1.1) En utilisant les périodes de conduction des interrupteurs statiques définies lors de la
partie III-2, tracer sur le document réponse DR5 l’allure des courants dans les interrupteurs
K21, K22, K23 et K24 notés respectivement iK21, iK22, iK23 et iK24.
Q5-1.2) Calculer analytiquement l’énergie WK21cond dissipée par l’interrupteur K21 à l’état
passant en fonction de VCEsat et I.
Q5-1.3) Calculer analytiquement l’énergie WK24cond dissipée par l’interrupteur K24 à l’état
passant en fonction de VD, rD et I.
Q5-1.4) Calculer analytiquement l’énergie Wtotcond totale sur une période T=2π dissipée par
l’ensemble des interrupteurs statiques du convertisseur CS2 en conduction.
Q5-1.5) En déduire la puissance totale Ptotcond dissipée par les interrupteurs du convertisseur
statique CS2 en conduction.
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V – 2 Pertes en commutation dans le convertisseur statique CS2 :
Dans cette partie, les variations du courant dans les diodes et les transistors IGBT respectent
les points 3) et 4) définis dans la présentation de la partie 5. On rappelle que les tensions
d’entrées
des
convertisseurs
statiques
s’expriment
par
Ve1  Ve 2  V . 2. sin 
avec V = 833V et de fréquence f  50 Hz .
Q5-2.1) Déterminer analytiquement la valeur de la tension aux bornes de l’interrupteur K21
au moment du passage de l’état bloqué à l’état passant, en fonction de V et 2 .
Q5-2.2) Tracer l’allure du courant dans l’interrupteur K21 (en fonction du temps) pendant la
commutation de l’état bloqué à l’état passant.
Q5-2.3) Déterminer analytiquement l’énergie WK21commutUP dissipée par l’interrupteur K21
pendant la commutation de l’état bloqué à l’état passant en fonction V, I et 2 .
Q5-2.4) Déterminer analytiquement la valeur de la tension aux bornes de l’interrupteur K21
au moment du passage de l’état passant à l’état bloqué, en fonction de V et 2 .
Q5-2.5) Tracer l’allure du courant dans l’interrupteur K21 (en fonction du temps) pendant la
commutation de l’état passant à l’état bloqué.
Q5-2.6) Déterminer analytiquement l’énergie WK21commutDOWN dissipée par l’interrupteur K21
pendant la commutation de l’état passant à l’état bloqué en fonction V, I et 2 .
Q5-2.7) En déduire l’énergie totale Wtotcommut dissipée par les interrupteurs statiques du
convertisseur CS2 en commutation.
Q5-2.8) En déduire la puissance totale Ptotcommut dissipée par les interrupteurs du
convertisseur statique CS2 en commutation.
Q5-2.9) On pourrait montrer que l’expression de la puissance active P2 fournie par le
V .I . 2
. 1  cos  2  .
transformateur au convertisseur statique CS2 s’exprime par P2 

Calculer la valeur du rendement du convertisseur statique CS 2 (On tiendra compte des pertes

en conduction et en commutation). Faire l’application numérique pour  2  .
2
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Partie 6 : Étude de l’usure des butées à billes
Afin de garantir les guidages en rotation, on trouve au sein de ce système des butées à
billes. Une butée à bille est constituée de deux bagues cylindriques (de révolution), d'éléments
roulants (ici des billes) et d'une cage qui permet de garder un espace constant entre les
différents éléments roulants. Une représentation d'une butée à bille est donnée sur la figure ciaprès.
Dans cette partie, nous ne nous intéresserons qu’à une seule bille. La bille (B) de rayon r est
en contact ponctuel avec la bague supérieure (S1) en (D) et en (E) et en contact ponctuel avec
la bague inférieure (S0) en (A) et en (F).

La bague inférieure (S0) est immobile, la bague (S1) a un mouvement de rotation d'axe (O, z ),


on notera s1 s0  1 0 . z .
Le vecteur taux de rotation de la bille par rapport à la bague fixe (S 0) s'écrit :

B S0  L . u  M . v  N . z , le vecteur u a comme direction le vecteur OC ((C) est le centre
  
de la bille), ( u, v, z ) forment une base orthonormée directe.
On estime que l’usure du mécanisme sera minimale s’il n’y a pas de glissement en (F) entre la
bille et la bague (S0).
Perspective de la butée à billes
Demi-coupe de la butée à billes
Q6.1) Exprimer le roulement sans glissement en (A) entre la bille et (S0).
Q6.2) Exprimer le roulement sans glissement en F entre la bille et (S0).
Q6.3) Exprimer le roulement sans glissement en (E) entre la bille et (S1).
Q6.4) Exprimer le roulement sans glissement en (D) entre la bille (S1).
Q6.5) Déterminer alors L, M, N en fonction de R, r, 1/0.
Q6.6) Donner le vecteur pivotement de la bille (B) dans son mouvement par rapport à la
bague (S0) au point (A).
Q6.7) Donner le vecteur roulement de la bille (B) dans son mouvement par rapport à la bague
(S0) au point (A).
Q6.8) Déterminer la relation qui doit lier , R et r pour qu'il n'y ait pas d’usure prématurée
du mécanisme.
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Partie 7 : Étude de la transmission radio pour la
signalisation
La signalisation des Lignes Grande Vitesse (LGV) est un système de signalisation
embarquée en service sur les lignes à grande vitesse du réseau français. Elle est sensiblement
différente de la signalisation des lignes classiques. En effet, compte tenu de la vitesse élevée
de circulation des trains, l'observation d'une signalisation latérale traditionnelle (feux rouge,
vert, orange, triangle indiquant la présence d’une rame sur le canton suivant, …) par les
conducteurs n'est plus possible et ne leur laisserait pas de temps de réaction suffisant. De ce
fait, un système de signalisation automatique, la TVM, ou Transmission Voie-Machine a dû
être installé.
L'information est transmise aux trains par l'intermédiaire de signaux électriques transmis par
les rails. Les rails se comportent donc comme des antennes émettrices. Une antenne réceptrice
placée sous le train capte le signal qui est décodé par un ordinateur de bord et fournit au
conducteur l'indication de la vitesse actuelle et de la vitesse limite par l'intermédiaire
d'instruments placés sur la planche de bord.
Les signaux présents dans le rail sont détectés par des antennes montées sous le carénage
frontal des rames, à environ un mètre en avant du premier essieu. Il y a quatre antennes
redondantes par rame, deux à chaque extrémité. Seules les deux antennes de l'avant du train
(dans le sens de la marche) sont en fonction. Le signal récupéré par les antennes réceptrices
est filtré, conditionné et décodé à bord du train par deux microprocesseurs DSP (digital signal
processors) redondants.
Le signal décodé prend la forme d'un mot numérique de 27 bits. Ce mot comprend plusieurs
champs, dans l'ordre suivant :
 Code de vitesse (codé sur 7 bits), contenant trois informations : la vitesse limite
autorisée dans le canton en cours, la vitesse limite à la fin du canton et la vitesse limite
à la fin du canton suivant. Chacune de ces informations peut prendre six valeurs
différentes ; dans le cas d'une ligne à grande vitesse, celles-ci sont (en km/h) 300, 270,
220, 160, 80 et 0, correspondant grosso modo à une séquence typique de décélération ;
 Déclivité (codé sur 6 bits), donnée moyenne sur la longueur du canton. Elle permet
au système informatique de bord de la prendre en compte dans les calculs de vitesse ;
 Longueur du canton (codé sur 4 bits), qui peut varier sensiblement et qui est
également importante pour le calcul de la vitesse. Par exemple, dans une section plane
de ligne à grande vitesse, un canton a normalement 1500 m de long ;
 Code de réseau (codé sur 4 bits), c'est un nombre qui conditionne l'interprétation des
codes de vitesse pris en compte par les ordinateurs de bord ;
 Code d'erreur, permettant de contrôler l'intégrité du mot entier de 27 bits. Dans le cas
d'une erreur de lecture, l'erreur peut être détectée d'après le code d'erreur, elle n'est pas
corrigée par sécurité. Ce code prend la forme d'un Contrôle de Redondance Cyclique
(CRC) à 6 bits. Le polynôme générateur utilisé est G( X )  X 6  X 3  X  1 .
On désire étudier la méthode de calcul du CRC réalisée par les DSP. Cette méthode consiste à
utiliser la méthode des restes R(X) de la division polynômiale de X k .P(X) par le polynôme
générateur G(X) où k représente le degré du polynôme générateur G(X), ici 6.
Supposons un mot à émettre de 10 bits noté P où chacun des bits composant ce mot sont notés
a i pour i  0;9 avec a 0 le bit de poids faible et a9 le bit de poids fort. Le polynôme P(X)
s’écrit alors P ( X ) 
i 9
 a .X
i 0
i
i
.
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Le reste R(X) de la division polynômiale sera donc un polynôme tel que R( X ) 
j  k 1
 r .X
j 0
j
j
.
Q7.1) Déterminer l’ensemble des coefficients r j en fonction des a i .
Q7.2) Proposer un algorithme permettant de calculer le CRC ayant pour variables d’entrée
les bits a 0 à a9 et pour variables de sortie les bits r j pour j  0;5 .
Les signaux véhiculant les informations sont des signaux sinusoïdaux de fréquence 1700Hz
(pour transmettre un 0 logique) ou 2300Hz (pour transmettre un 1 logique) circulant dans les
rails. Le retour du courant absorbé par le transformateur (fil de Neutre) embarqué dans la
locomotive se fait par les rails. On supposera que le courant circulant dans les rails dû au
courant absorbé par le transformateur est un courant sinusoïdal de valeur efficace 400A de
fréquence 50Hz.
Q7.3) Le signal récupéré par une antenne réceptrice a donc une composante d’amplitude
200A à une fréquence de 50Hz, et une composante d’amplitude 1A aux fréquences 1700Hz
ou 2300Hz en fonction du bit logique transmis. Tracer l’allure du spectre de ce signal.
On rappelle que le spectre d’un signal représente l’amplitude des termes sinusoïdaux (sur
l’axe des ordonnées) en fonction de leurs fréquences (sur l’axe des abscisses).
Q7.4) Ce signal est filtré par un filtre de fréquence laissant passer les signaux de fréquences
comprises entre 1500Hz et 2500Hz. Justifier le rôle de ce filtre.
Q7.5) Proposer une méthode permettant de distinguer les signaux de fréquence 1700Hz de
ceux de fréquence 2300Hz.
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