L`intégrateur

MONTAGES INTEGRATEURS
I) Charge d'un condensateur à courant constant (rappel)
C
uc
I
I = C
dt
duc
=> I = C
t
uc
=
0t (0)u(t)u
Ccc
Ce qui s'interprète en disant que la variation de tension Δuc par rapport au temps est proportionnelle à I.
On en déduit que :
uc(t) =
C
I
t + uc(0) équation d'une droite
uc(t)
t
uc(...)
Pente : ........
........
....
.... 
Conclusion :
Lorsqu'on charge un condensateur C avec un courant constant I, la tension à ses
bornes suit une droite de pente
C
I
et de point de départ uc(0).
II) Intégrateur actif
C
R
ve
vs
uc
i
e
s
c
v ........
v ........
du
i C dt
ve = ………….= - R C
dt
dvs
donc : ve = - R C
dt
dvs
dt
dv
v
RC
1s
e
=>
se vdtv
RC
1

L'opérateur primitive est l'opérateur inverse de l'opérateur dérivée
Conclusion :
vs est une primitive de ve à un coefficient
RC
1
prés. On peut écrire :
vs(t) =
(0) v dxv
RC
1s
t
0e
D'un point de vue mathématique, l'intégrale d'une fonction correspond à un calcul d'aire.
Exemple :
ve
t1
t2
t3
t
A1
t
t
0edxv
t1
t2
t3
A1
2A1
3A1
t
t
0edxv
RC
1
t1
t2
t3
-A1/RC
-2A1/RC
-3A1/RC
t
t1
t2
t3
vs
vs(0)
Donc l'intégration d'une fonction constante de tension ve est une droite de pente
RC
ve
et d'équation :
vs(t) =
RC
ve
t + vs(0)
On peut retrouver ce résultat en considérant la charge du condensateur C :
Si ve est une tension constante, alors i =
R
ve
est un courant……………., donc le condensateur se charge à
courant ………….., donc uc est une tension linéaire par rapport au temps (droite). Or vs = -uc donc vs est
aussi une fonction linéaire par rapport au temps.
L'intégration d'une fonction carrée sera donc une fonction ……………………
Exercice d'application :
Rem1 : au bout de quelques périodes le signal de sortie a tendance à se "centrer" autour de 0 (valeur
moyenne nulle).
vs
T
t
5 V
-5 V
Rem2 :

R
C
ve
vs
vs
T/2
t
5 V
-5 V
τ
Si on a T << τ on retrouve le comportement d'un intégrateur car le début de la courbe est quasiment
rectiligne.
Rem3 : vs(t) =
(0) v dxv
RC
1s
t
0e
pour ve(t) rectangulaire on en déduit
vs(t) =
RC
ve
t + vs(0) pour chaque durée pendant laquelle ve est constante.

Exercice d'application :
ve est une tension rectangulaire symétrique de valeur maximale 5V et de fréquence 1 kHz.
L'intégrateur est constitué d'une résistance R = 1 kΩ et d'une capacité C = 250 nF
t
5V
ve
1 ms
1) Calculer la valeur de I, courant à travers C, pendant la première demi-période. Comment C se
charge-t-il ?
2) On suppose le condensateur déchargé en t = 0. Pour la première demi-période donner l'expression
de uc(t) en fonction de I puis en fonction de
e
V
ˆ
.
3) Déduire l'expression de vs(t) pour la première demi-période en fonction de
e
V
ˆ
, R, C et t. Tracer
vs(t).
4) Refaire le même travail pour la deuxième demi-période.
5) Tracer ve(t) et vs(t) sur deux périodes.
Exercice d'application :
ve est une tension rectangulaire symétrique de valeur maximale 5V et de fréquence 1 kHz.
L'intégrateur est constitué d'une résistance R = 1 kΩ et d'une capacité C = 250 nF
t
5V
ve
1 ms
1) Calculer la valeur de I, courant à travers C, pendant la première demi-période. Comment C se
charge-t-il ?
2) On suppose le condensateur déchargé en t = 0. Pour la première demi-période donner l'expression
de uc(t) en fonction de I puis en fonction de
e
V
ˆ
.
3) Déduire l'expression de vs(t) pour la première demi-période en fonction de
e
V
ˆ
, R, C et t. Tracer
vs(t).
4) Refaire le même travail pour la deuxième demi-période.
5) Tracer ve(t) et vs(t) sur deux périodes.