Activités sur modèle : un exemple en électrocinétique

A
Ac ct ti iv vi it té és s s su ur r m mo od dè èl le e : : u un n e ex xe em mp pl le e e en n é él le ec ct tr ro oc ci in né ét ti iq qu ue e
En référence au texte « De la simulation dans/pour l'enseignement de la physique », ce document
propose des exemples d'activités sur modèle :
– modélisation de la charge d’un condensateur (élaboration conceptuelle et mise en équation dans un
tableur pour simulation) ;
– manipulation du modèle de la charge et de la décharge (étude de l'influence des valeurs des
paramètres dans le tableur) ;
– enfin investigation sur modèle dans le cas de circuit RLC (découverte des divers régimes : oscillant,
critique et apériodique).
De plus, ce thème est l'occasion d'apporter quelques éclaircissements sur différentes questions
d'électrocinétique (relation entre charge, débit de charge et intensité) et d’utiliser, sur cet exemple, la
méthode d'Euler.
Remarques préliminaires sur les contenus notionnels
À propos de la loi d'Ohm
L'étude des circuits RC, RL et, RLC requiert l'application de la loi d'Ohm. Or celle-ci a été introduite
en classe de troisième et n'a été revue qu'à l'occasion des études de conductimétrie en classe de
première S. Cette dernière approche étant spécifique à la chimie (conductance plutôt que résistance,
migration d'ions et non circulation d'électrons), il conviendra de faire le rappel nécessaire.
Intensité comme débit de charge
La définition de l'intensité du courant comme une quantité de charge par unité de temps n'a pas été
introduite en tant que telle. Là encore, si l'on peut s'appuyer sur ce qui a été vu en chimie en classe de
première S, il conviendra de bien faire le lien et d’assurer la transition. Ainsi, l'intensité est la mesure
du débit de charge, c'est-à-dire la quantité de charge
1
(exprimée en coulombs) qui traverse une
section de conducteur par unité de temps (exprimée en secondes). Cette formulation, en langue
française uniquement, vise à attirer l'attention sur l'étape de conceptualisation du débit, étape qui n’est
pas nécessairement évidente pour les élèves.
Charge, débit de charge et intensité
Cette définition de l'intensité étant donnée, il convient d'assurer le lien entre le débit et le stockage,
cette relation étant généralement source de difficultés conceptuelles. Le « schéma conceptuel » peut
être celui d'un débit et d'un réservoir : la charge accumulée q résulte du débit de charge.
On peut alors amener les élèves à réfléchir, sur les seules bases ci-dessus, sur le cas d'un débit
constant. La compréhension du concept de débit doit conduire à remarquer que l'augmentation de la
quantité stockée dans le réservoir est nécessairement proportionnelle au temps.
En changeant de type de représentation, l’évolution de la charge au cours du temps est de la forme :
1
. La formulation « quantité de charge » (sans marque du pluriel) a été choisie par analogie avec l'expression
« quantité de matière ».
Charge : q
Réservoir
Intensité
Débit de charge

Si on désigne par I l'intensité définie
ci-dessus, l'écriture correspondante de
cette représentation est alors :
0
qt.Iq(t) 
.
I apparaît donc comme le coefficient
directeur de la droite.
Remarques :
 Il s'agit bien là d'une question « théorique » : la courbe n'est que la représentation de la relation
liant, par définition, l'intensité à la charge. Elle ne préjuge pas de la possibilité de réaliser
expérimentalement cette situation (cf. ci-dessous).
 Le travail d'élaboration conceptuelle ci-dessus est une activité qualitative. On pourra compléter
l'analyse par une résolution par calcul numérique, puisque le raisonnement peut être concrétisé en
écrivant l’évolution de la charge au cours du temps :
qq(t)t)q(t 
s’écrivant alors
tIq(t)t)q(t 
, soit encore
2
)tI(t)q(t)q(t 1212 
ou
tIqq n1n 
.
L'analyse précédente conduit alors à considérer l'intensité comme la dérivée de la quantité de charge.
La généralisation aux cas où l'intensité n'est pas constante peut être faite. On notera alors que
l'expression
dq/dti 
peut être considérée aussi bien du point de vue de la charge accumulée que du
point de vue de la quantité de charge qui traverse la section S au cours du temps ! Ce qui n'est
nullement intuitif pour un élève
3
.
À propos du condensateur
On sait qu'il existe un certain nombre de difficultés conceptuelles sur et autour de l'objet
condensateur
4
. Dans le cadre du cours de la classe de terminale, il convient de remarquer que, lors de
l'étude de circuits tels que l'association « RC-série », on s'intéresse au passage d'un courant dans un
circuit ouvert ! Il sera sans doute nécessaire d'attirer l'attention sur ce point, et d'être clair sur le fait
qu'il s'agit bien du régime transitoire ayant sa caractéristique temporelle (constante de temps) et qu'en
régime continu permanent, le courant est en effet nul.
Enfin, le lien avec les forces électrostatiques pourra être
fait en attirant l'attention sur le fait que « naturellement »
des charges opposées apparaissent sur la plaque
opposée. Ceci étant mis en relation avec le fait que la
charge globale du condensateur reste nulle, et qu'un
courant, identique à celui qui arrive d’un côté, ressort de
l'autre…
2
. On peut faire une animation montrant la charge progressive par noircissement progressif du « réservoir ».
3
. On notera également que l'expression « quantité de charge qui traverse la section » peut aussi être lue comme
la fonction Q(t) comptabilisant la quantité d'électricité passée depuis
0t
. On a bien alors
(t)Q'i
.
4
. Voir par exemple : Lascours J., Lefèvre R., Calmettes B. « Difficultés d'étudiants à propos des circuits RC en
courant alternatif », in Actes du Sixième séminaire national de recherche en didactique de la physique de la
chimie et de la technologie, Lyon, 21 octobre 1997, LIRDHST, p. 222-228.
t
q
q0
q
–q
i
i
uc

E
R
C
Exemple de progression dans l'étude de la charge/décharge du condensateur
Quelle relation entre la charge d'un condensateur et la tension à ses bornes ?
On peut ici s'appuyer sur une expérience de charge d'un condensateur à courant constant (condensateur
déchargé au départ). Les considérations théoriques précédentes conduisent à une analyse du
phénomène en terme de charge, tandis que l'expérience permet de suivre la tension :
La théorie « dit » :
L'expérience conduit à une courbe du type :
La mise en relation du modèle et des résultats expérimentaux amène à poser l’hypothèse générale que
la charge (q) d'un condensateur est proportionnelle à la tension (uc) à ses bornes.
Notation :
C
u.Cq 
, la constante C étant appelée « capacité » du condensateur.
Comportement d'un condensateur dans un circuit dont l'intensité est limitée par une résistance
Première étape : prévision qualitative
On peut proposer une activité de prévision qualitative sur, par exemple, la charge d'un condensateur à
travers une résistance. L'objectif est la construction d'une représentation mentale du phénomène
permettant d’en comprendre l'évolution temporelle.
On propose donc aux élèves la situation théorique suivante :
Une source de tension constante est branchée sur une
association résistance et condensateur en série.
Le condensateur est supposé initialement non chargé. La
première question est alors : « Que va-t-il se produire à la
fermeture du circuit ? »
L'idée d'un courant qui charge le condensateur sera alors
probablement commune aux élèves. La seconde question est
alors : « Comment varie la charge du condensateur (donc la
tension à ses bornes) au cours du temps ? »
La première question permettra à l'enseignant de
schématiser le circuit à étudier en précisant le sens
du courant et celui de la tension aux bornes du
condensateur (schéma ci-dessus).
La seconde question pourra donner lieu à
discussion, voire débat, dans la classe.
t
q
t
uC
E
R
C
uC
R
i
uR

tn=tn-1+dt (soit B5+$G$2)
qn=qn-1+dqn-1 (soit C5+G5)
uCn=qn/C (soit C6/$C$2)
uRn=E-uCn (soit $D$2-D6)
in=uRn/R (soit E6/$B$2)
dqn=in dt (soit F6*$G$2)
La réflexion doit alors converger sur un raisonnement du type : E étant fixé, le condensateur va se
charger ; mais la tension aux bornes du condensateur augmentant, la tension « résiduelle » aux bornes
de la résistance diminue, donc l'intensité du courant fixé par la résistance diminue également ; la
charge est donc de moins en moins « rapide ».
Symboliquement, on pourra faire une représentation « conceptuelle » du type
5
:
Ce raisonnement doit alors conduire à l'élaboration d'une représentation graphique sous forme de
courbe (qualitative) de variation d'une grandeur au cours du temps
6
. Les élèves doivent pouvoir
s'accorder sur l'une des (ou les deux) courbes suivantes :
Seconde étape : analyse algébrique et simulation du modèle
L'analyse peut être reprise d'un point de vue plus formel, c'est-à-dire en écrivant puis appliquant les
lois des circuits. La question est ici « que dit le modèle ? » et la réponse est d'abord recherchée grâce à
la simulation.
Le passage du modèle schématisé à la simulation nécessite l'écriture des relations algébriques entre les
différents paramètres : E, uR, uC, i, q. Le cas de la charge du condensateur ne soulève pas de difficulté
d'orientation pour le sens du courant (le condensateur fonctionne bien en récepteur dans ce cas).
L'intérêt ici est de pouvoir ensuite en faire une étude par application d'une boucle de calcul à l'image
5
Cette forme de boucle privilégie une lecture séquentielle qui ne traduit pas la caractéristique systémique du
phénomène et dont on sait qu'elle peut être source d'importantes difficultés dans les raisonnements des élèves
(Voir par exemple : Viennot L., Raisonner en physique, De Boeck, 1996). Son intérêt ici réside évidemment dans
la référence à la méthode d'Euler appliquée à l'équation différentielle.
6
Étape qui n'est pas évidente pour tous les élèves.
t
uc
t
i
uc
dq
q
i
uR = E – uc

du schéma ci-dessus.
On peut alors porter l'attention sur la bonne compréhension des différentes représentations graphiques
que l'on peut obtenir (et en particulier celle, usuelle du graphe (t, uc)) et proposer une activité
progressive. Les feuilles de calcul fournies avec ce document (RC.xls) proposent un exemple d’une
telle progression : partant d'une première feuille où le calcul permet « d'animer numériquement » le
schéma en boucle ci-dessus, la feuille suivante offre une représentation « en barre graphique » de la
charge, de la tension et de l'intensité du courant, une troisième feuille permettant de faire le lien avec
la représentation conventionnelle de la variation de uc en fonction du temps.
Décharge d'un condensateur dans une résistance
La même démarche peut être suivie pour traiter la question théorique de la décharge d'un condensateur
dans un circuit purement résistif.
Dans le circuit schématisé ci-contre, le condensateur
est supposé chargé. La première question est alors :
« Que va-t-il se produire lorsqu'on fermera
l'interrupteur ? »
L'idée d'un courant qui circule jusqu'à la décharge
complète du condensateur sera alors probablement
commune aux élèves. La seconde question est alors :
« L’intensité du courant varie-t-elle pendant la
décharge ? Si oui, comment ? »
Cette situation, bien que plus simple du fait de la réduction à deux éléments, est en réalité plus délicate
à traiter. En effet, si intuitivement on peut comprendre que l'intensité du courant généré par la
décharge du condensateur va diminuer au cours du temps du fait même de la décharge du
condensateur, le passage à l'analyse algébrique soulève une difficulté puisque le condensateur
fonctionne ici en générateur. L'application des conventions récepteur conduit à trouver un courant
d'intensité algébrique négative. C'est pourquoi nous proposons l'étude de la décharge en deuxième
étape. Dès lors cette étude s’appuiera sur l'analyse algébrique a priori du système. L'obtention, lors de
la simulation, d'une intensité négative pourra être source de surprise, de questions, et donc de
discussion sur le sens physique de ce résultat. Sur le circuit fermé, l'analyse sera donc du type suivant :
Compte tenu des définitions des tensions respectant
les conventions récepteurs (pour le condensateur,
puis pour la résistance), on a :
0uu RC 
ou
RC uu 
,
avec
q/CuC
et
i.RuR
.
Alors l’analyse théorique qualitative précédente prend la forme :
q 
q/CuC
/Rui C
dt.idq 
.
Comme précédemment, l'analyse peut être effectuée sur un tableur
7
. L'obtention du graphe i(t) où les
points apparaissent dans le cadran des valeurs négatives sera source de questions : pourquoi des
valeurs négatives ? Peut-on dire que l'intensité diminue alors que la fonction est croissante ? Où est
l'erreur ? etc. Autant de points d'appui pour l'analyse du phénomène.
7
. Suivant le temps disponible et les compétences des élèves, on pourra leur laisser le travail de définition des
cellules (ce travail n'étant pas nécessairement à faire faire en séance).
q
–q
i
uC
i
uR