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BOÎTE A OUTILS I- ANGLES 1. Si 2 angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure. 2. Dans un système de 2 droites parallèles coupées par une sécante, si 2 angles sont alternes-internes, alors ils ont la même mesure. 3. Dans un système de 2 droites parallèles coupées par une sécante, si 2 angles sont correspondants, alors ils ont la même mesure. 4. Dans un système de 2 droites parallèles coupées par une sécante, si 2 angles sont alternes-externes, alors ils ont la même mesure. 5. Dans un système de 2 droites coupées par une sécante, si 2 angles en position alternes-externes ont la même mesure, alors les 2 premières droites sont parallèles. 6. Dans un système de 2 droites coupées par une sécante, si 2 angles en position alternes-internes ont la même mesure, alors les 2 premières droites sont parallèles. 7. Dans un système de 2 droites coupées par une sécante, si 2 angles en position correspondants ont la même mesure, alors les 2 premières droites sont parallèles. II- BISSECTRICE 1. Si une droite est l’axe de symétrie d’un angle, alors elle est bissectrice de cet angle. 2. Si une demi-droite est la bissectrice d’un angle, alors elle partage celui-ci en 2 angles de même mesure. 3. Si une droite partage un angle en 2 angles adjacents de même mesure, alors elle est bissectrice de cet angle. III- CARRÉ 1. Si un quadrilatère est un carré, alors : ses 4 côtés ont la même longueur. ses 4 angles sont droits. ses côtés opposés sont parallèles ses diagonales sont égales, perpendiculaires et se coupent en leur milieu. il a 4 axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés. 2. Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un carré. 3. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré. 4. Si un losange a un angle droit, alors c’est un carré. 5. Si un losange a ses diagonales égales, alors c’est un carré. IV- CERCLE - DISQUE 1. Si un segment est un diamètre d’un cercle, alors il a pour milieu le centre de ce cercle. 2. Tous les points d’un cercle sont à égale distance de son centre. 3. Si plusieurs points sont à égale distance d’un même point, alors ils sont situés sur le cercle ayant pour centre ce point et pour rayon cette distance. 4. Si une corde d’un cercle a pour milieu son centre, alors c’est un diamètre. V- LOSANGE 1. Si un quadrilatère est un losange alors : ses 4 côtés ont la même longueur. ses angles opposés ont même mesure. ses angles consécutifs sont supplémentaires. ses côtés opposés sont parallèles et ont même longueur ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. il a 2 axes de symétrie : ses diagonales. 2. Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu, alors c’est un losange. 3. Si un quadrilatère a 4 côtés de même longueur, alors c’est un losange. 4. Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange. 5. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange. VI- MÉDIATRICE 1. Si une droite coupe perpendiculairement un segment en son milieu, alors elle est la médiatrice de ce segment. 2. Si une droite est la médiatrice d’un segment, alors elle le coupe perpendiculairement en son milieu. 3. Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors ce point est à égale distance de ses extrémités. 4. Si un point se situe à égale distance des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. 5. Si deux points sont à égale distance des extrémités d’un segment, alors ils définissent la médiatrice de celui-ci. VII- MILIEU 1. Si un point est le milieu d’un segment, alors il appartient à celui-ci et il est à égale distance de ses extrémités. 2. Si un point appartient à un segment et s’il est à égale distance de ses extrémités, alors il est le milieu de ce segment. VIII- PARALLÉLOGRAMME 1. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors : ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. ses angles opposés ont la même mesure. 2 angles consécutifs sont supplémentaires. ses diagonales se coupent en leur milieu. 2. Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. 3. Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme. 4. Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme. 5. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. IX- PERPENDICULAIRES - PARALLÈLES 1. Par un point non situé sur une droite, on ne peut tracer qu’une seule droite parallèle à celle-ci. 2. Par un point, on ne peut tracer qu’une seule perpendiculaire à une droite. 3. Si 2 droites sont parallèles à une autre troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. 4. Si 2 droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. 5. Si 2 droites sont perpendiculaires à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. X- RECTANGLE 1. Si un quadrilatère est un rectangle, alors : il a 4 angles droits. ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. ses diagonales sont égales et se coupent en leur milieu. il a 2 axes de symétrie : les médiatrices des côtés. 2. Si un quadrilatère a ses diagonales égales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un rectangle. 3. Si un quadrilatère a 3 angles droits, alors c’est un rectangle. 4. Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle. 5. Si un parallélogramme a ses diagonales égales, alors c’est un rectangle. XI- SYMÉTRIE CENTRALE 1. Si 2 points sont symétriques par rapport à un point, alors celui-ci est le milieu du segment défini par les 2 premiers. 2. La symétrie centrale conserve : l’alignement les aires les longueurs les milieux les angles le parallélisme et l’orthogonalité 3. Si une droite est symétrique d’une autre par rapport à un point, alors elles sont parallèles. XII- SYMÉTRIE ORTHOGONALE 1. Si 2 points sont symétriques par rapport à une droite, alors celle-ci est la médiatrice du segment défini par ces deux points. 2. Si 2 droites non parallèles sont symétriques par rapport à une autre, alors ces 3 droites sont concourantes. 3. La symétrie orthogonale conserve : l’alignement les aires les longueurs les milieux les angles le parallélisme et l’orthogonalité XIII- TRIANGLE 1. La somme des angles d’un triangle fait 180°. 2. Si un triangle est isocèle, alors : ses angles à la base ont la même mesure les 2 côtés (non base) ont la même longueur 3. Si un triangle a 2 angles de même mesure, alors il est isocèle et a pour base le segment dont les extrémités sont les sommets des 2 angles de même mesure. 4. Si un triangle a 2 côtés de même longueur, alors il est isocèle et a pour sommet principal le point commun des 2 côtés de même longueur. 6. Si un triangle est équilatéral, alors il a : 3 côtés de même longueur 3 angles de même mesure (60°) 7. Si un triangle a 3 côtés de même longueur, alors il est équilatéral. 8. Si un triangle a 3 angles de même mesure, alors il est équilatéral. 9. Si un triangle isocèle possède un angle de 60°, alors il est équilatéral. 10. Si un triangle est rectangle, alors : il a un angle droit ses 2 autres angles sont complémentaires. 11. Si un triangle a un angle droit, alors il est rectangle. 12. Si un triangle a 2 angles complémentaires, alors il est rectangle. 13. Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des 2 autres côtés. 14. Si une droite passe par un sommet d’un triangle et coupe perpendiculairement son côté opposé, alors c’est une hauteur. 15. Dans un triangle, si une droite est une hauteur, alors elle coupe perpendiculairement le côté opposé au sommet dont elle est issue. XIV- TRAPÈZE 1. Si un quadrilatère est un trapèze, alors il a ses deux bases parallèles. 2. Si un quadrilatère convexe a 2 côtés opposés parallèles, alors c’est un trapèze. XV- DROITES 1. Par 2 points distincts, il ne passe qu’une seule droite. 2. Si une droite est tangente à un cercle, alors elle est perpendiculaire au rayon dont une des extrémités est le point de tangence. 3. Si une droite est perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon de cercle autre que son centre, alors elle est tangente à ce cercle. 4. La plus courte distance d’un point à une droite est donnée par la longueur du segment limité d’une part par le point et d’autre part par le pied de la perpendiculaire issue du point sur la droite. XVI- PAVÉ DROIT – CUBE – PRISME DROIT – CYLINDRE DE RÉVOLUTION 1. Si un solide est un pavé droit, alors toutes ses faces sont des rectangles. 2. Si un solide est un cube, alors : toutes ses faces sont des carrés toutes ses arêtes sont égales. 3. Si un solide est un prisme droit, alors : toutes ses faces latérales sont des rectangles. ses deux bases sont superposables toutes les arêtes latérales sont orthogonales aux deux bases. 4. Si un solide est un cylindre de révolution, alors la droite qui passe par les centres des disques de base est perpendiculaire à tous leurs rayons. XVII- TRIANGLE RECTANGLE - PYTHAGORE - COSINUS 1. Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale à la moitié de l’hypoténuse. 2. Dans un triangle, si une médiane est égale à la moitié du côté opposé au sommet dont elle est issue, alors le triangle est rectangle. 3. Dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit. 4. Si un côté d’un triangle est diamètre du cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle. 5. Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de son côté adjacent par l’hypoténuse. 6. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 7. Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors, le triangle est rectangle. L’angle droit est situé à l’opposé du côté le plus grand. XVIII- DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE 1. Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est à égale distance des deux côtés de celui-ci. 2. Si un point est à égale distance des deux côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de celui-ci. 3. Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit du triangle. 4. Si une droite passe par un sommet d’un triangle et le centre de son cercle inscrit, alors c’est une bissectrice. 5. Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle. 6. Si une droite passe par le centre du cercle circonscrit à un triangle et par le milieu d’un de ces côtés alors elle est la médiatrice de ce côté. 7. Dans un triangle, si un segment est une médiane, alors il a pour extrémités un sommet et le milieu de son côté opposé. 8. Dans un triangle, si un segment relie un sommet au milieu de son côté opposé, alors c’est une médiane. 9. Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point qui est le centre de gravité du triangle. Celuici se situe au deux tiers de la longueur de chaque médiane à partir du sommet. 10. Si une droite passe par un sommet d’un triangle et son centre de gravité, alors c’est une médiane. 11. Si un point d’une médiane est aux deux tiers de sa longueur à partir du sommet, alors c’est le centre de gravité du triangle. 12. Dans un triangle, les hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre. 13. Si une droite passe par un sommet d’un triangle et son orthocentre, alors elle est perpendiculaire à son côté opposé. 14. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est en même temps bissectrice, médiatrice et hauteur. 15. Dans un triangle, si une bissectrice (ou une médiatrice ou une hauteur ou une médiane) est également une médiatrice (ou une bissectrice ou une hauteur ou une médiane), alors le triangle est isocèle. 16. Dans un triangle équilatéral, les médianes sont également les médiatrices, les bissectrices et les hauteurs. XIX- PYRAMIDES ET CÔNES 1. Si une pyramide possède comme base un polygone régulier et si la hauteur issue de son sommet passe par le centre du cercle circonscrit de sa base, alors la pyramide est régulière. 2. Si une pyramide est régulière, alors : sa base est un polygone régulier la hauteur issue du sommet passe par le centre du cercle circonscrit de la base. 3. Dans un patron de cône, la longueur de l’arc de cercle de la surface latérale est égale au périmètre du disque de base. XX- DROITES DES MILIEUX – THALES (restreint) 1. Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un deuxième côté, coupe le troisième en son milieu. 2. Dans un triangle, le segment qui joint le milieu de 2 côtés a pour longueur la moitié du troisième. 3. Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu de 2 côtés est parallèle au troisième. 4. Si une droite coupe un triangle parallèlement à un de ses côtés, alors elle définit deux triangles dont les côtés de même support ou de supports parallèles, sont proportionnels. XXI – TRANSLATION 1. Une translation conserve : l’alignement les longueurs les angles les aires les milieux le parallélisme et l’orthogonalité 2. Par une translation, l’image d’une droite est un droite parallèle. 3. Deux points et leurs images par la même translation définissent les 4 sommets d’un parallélogramme. 4. Si un quadrilatère ABCD est un parallélogramme, alors C est l’image du point D par la translation qui transforme A en B .
