Exercices Fourier

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Chapitre 4: Régimes variables périodiques
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Exercices :
Régimes variables périodiques
Exercice 1
Soit v(t) un signal carré d’amplitude E et de période T
1. Faire une représentation graphique de v.
2. Calculer la valeur efficace de v(t).
3. Calculer la décomposition en série de Fourier de v(t).
4. Quelle est l’expression du fondamental de v(t).
5. Quelle est sa valeur efficace.
Exercice 2
Un onduleur à commande décalée donne la tension périodique suivante :
5
066
25
( ) 0 6 3 3 6
2
33
TT
E t et t T
T T T T
u t t et t
TT
Et
1. Représenter u(t)
2. Calculer la valeur moyenne de u(t).
3. Calculer la valeur efficace de u(t).
4. Calculer le fondamentale et le représenter.
Exercice 3
Une tension périodique de période
2
T
a pour développement en série de Fourrier :
( ) 200 50sin 5sin2 ( )u t t t enV
(les autres harmoniques sont négligeables)
1. Quels sont : sa valeur moyenne et son fondamental (donner ses valeurs maximum et efficace, ainsi que sont
déphasage par rapport à l’origine).
2. Calculer : la valeur efficace de u(t) ; son facteur de forme
UU
FUu
; sont taux de distorsion
22
1
1
UU
dU
avec U1 : valeur efficace du fondamentale ; son taux d’ondulation
a
U
U
Ua étant la
valeur efficace de la composante alternative.

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Exercice 4
Un circuit RL série (
5 , 0,02R L H  
) est alimenté par une tension issue d’un convertisseur et dont la représentation
en séries de Fourier donne :
( ) 100 50sin( ) 25sin(3 )v t t t
Avec
1
500 .rad s
Le courant correspondant i(t) a pour expression :
max max
0 1 1 3 3
( ) sin( ) sin(3 )i t I I t I t
Avec
1
500 .rad s
.
1. Calculer
max max
0 1 3 3
, , ,I I I
. En déduire i(t) . Commenter se résultat.
2. Calculer la valeur efficace I de ce courant.
3. Calculer la puissance active P consommée :
a) En faisant la somme des puissances apportées par chaque terme de Fourier.
b) Directement à partir de la valeur de I.
4. Calculer :
a) la puissance apparente S
b) la puissance réactive Q
c) la puissance déformante D
Exercice 5
On se propose d’étudier différents
éléments constitutifs d’un four à
induction fonctionnant à la résonance
et alimenté par un onduleur à
modulation de largeur d’impulsions
(MLI).
Le four est assimilable à un circuit RL série avec
2,8R
et
300L mH
. Il est alimenté par une tension
alternative u(t) obtenue par MLI. La fréquence du fondamental est
0200f Hz
. Le fondamental a pour valeur efficace
141 V. L’harmonique 2 n’est pas présent et l’harmonique 3 a pour valeur efficace 5,4V.
1. Synthèse d'un signal MLI
On considère les signaux u1 ;u2 et u3 représentés sur le
document réponse, pour lesquels E = 200 V. Ces signaux
sont assimilés au signal de la figure suivante, x prenant les
valeurs de 1 pour u1 ,
3
4
pour u2 et
1
2
pour u3.
On admettra que chacun de ces signaux peut se décomposer en un signal sinusoïdal fondamental
1() f
ut
, de fréquence
0
f
et d'amplitude
14sin( )
2
E
bx
, et un signal sinusoïdal de fréquence
0
3f
et d'amplitude
343
sin( )
32
E
bx
L'harmonique 2 a dans chaque cas une amplitude b2 nulle.

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a) Justifier le fait que les coefficients b2 et tous les harmoniques de rang pairs soient nuls.
b) Déterminer pour chacun des signaux les valeurs numériques de bl, b2 et b3 et remplir le tableau du document
réponse.
c) La synthèse du signal MLI est réalisée en utilisant la relation:
1 2 3
u u u u  
Construire la forme de u sur le document réponse.
d) En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau du document réponse avec les amplitudes des
harmoniques 1, 2 et 3 du signal MLI. En déduire les valeurs efficaces correspondantes. Comparer les résultats obtenus avec
les valeurs proposées (141 pour le fondamental, 5,4 pour l'harmonique 3).
2. Fonctionnement à la résonance
a) Calculer la capacité du condensateur à mettre en série avec le four de façon à ce que le circuit RLC ainsi réalisé soit à
la résonance pour le fondamental de la tension d'alimentation.
b) Calculer alors l'intensité I1(valeur efficace) du fondamental du courant.
c) Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans le four pour le fondamental du courant.
3. Etude de l'harmonique 3 du courant
a) Calculer l'impédance de l'ensemble four-condensateur à la fréquence de l'harmonique 3 de la tension d'alimentation.
b) Calculer alors l'intensité I3 de l'harmonique 3 du courant. Peut-on négliger la puissance dissipée par ce courant dans
le four?
²
x
bl
b2
b3
u1
1
u2
0,75
u3
0,5
u

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Exercice 6
On considère un onduleur triphasé à commande MLI. Les trois sorties 1, 2, 3 alimentent un moteur asynchrone. La tension
d'entrée de l'onduleur U0 est maintenue égale à 480 V, la commande à modulation de largeur d'impulsions des interrupteurs
est périodique de période T0.
On donne le graphe (cf. figure.1) de la tension entre phases u12(t), les deux autres tensions, u23(t)et u31(t)sont de forme
identique, déphasées chacune de T0/3.
La pulsation du fondamental de u12(t) étant notée , on donne:
10,245 ( 14 )t rad
;
20,428 ( 24,5 )t rad
;
3 0,529 ( 30,3 )t rad
.
Dans ces conditions, la décomposition en série de
12 ()u avec t
, qui ne comporte pas d'harmoniques pairs
(
12 ()u
est une fonction alternative), est, pour n impair:
0
12 11
4
( ) sin (cos cos cos ) sin
n
nn
U
u B n n n n n
n
1. On obtient les expressions de
12 ()u
et
31()u
à partir de
12 ()u
en y remplaçant respectivement
par
22
( ) ( )
33
et
. En déduire que les harmoniques de rang 3 de
23()u
et de
31()u
sont en phase
avec l'harmonique 3 de
12 ()u
. Cette propriété, qui est vérifiée par tous les harmoniques dont les rangs sont des
multiples de 3, permet d'éliminer l'influence de ces harmoniques sur le moteur asynchrone.
2. Les valeurs de
,et
données plus hauts permettent d'éliminer trois harmoniques qui sont a priori les plus
gênants. Quels sont ces harmoniques? Vérifier que l'harmonique 5 fait bien partie des harmoniques éliminés par le
choix de ces angles.
Déterminer la valeur efficace UI2 de
12 ()u
pour ces mêmes valeus de
,et
(on pourra utiliser un calcul d'aires).

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Exercice 7 : Etude d'un filtre anti-harmoniques. Relèvement du facteur de puissance
Afin de relever le facteur de puissance d'une installation triphasée comportant une charge déformante (redresseur triphasé
en pont sur machine à courant continu, on insère trois cellules LC entre phases et neutre (couplage étoile). Chaque cellule
ayant le même rôle, on s'intéressera dans un premier temps à celle de la phase 1.
Pour supprimer un harmonique, la cellule LC doit faire court circuit à la fréquence de cet harmonique.
Sans le filtre, le courant ip1 est tel que :
1
5
066
25
( ) 0 6 3 3 6
2
33
p
TT
I t et t T
T T T T
i t t et t
TT
It
Les courants ip2 et ip3 sont les mêmes, décalés de T/3. L'ensemble sans filtre consomme une puissance active P = 38,2
kW et réactive Q = 38,2 kVAR. La tension entre phases fournie par le réseau est U = 400 V, f = 50 Hz, la valeur
maximale du courant de ligne est I = 100 A.
1. Sans la cellule LC:
a) Représenter ip1(t).
b) Calculer la valeur moyenne de ip1(t).
c) Calculer la valeur efficace de ip1(t).
d) Calculer le fondamentale et le représenter.
e) En déduire la puissance apparente S absorbée par la charge triphasée et le facteur de puissance.
f) Sur quels paramètres doit on agir pour relever le facteur de puissance?
2. Pourquoi le courant ip1 ne comporte-t-il pas d'harmoniques pairs? Justifiez alors le fait que l'harmonique 3 soit le plus
gênant.
3. On veut supprimer l'harmonique de rang 3 de chacun des trois courant ip1 , ip2 et ip3, en déduire une relation entre L,
C et ω la pulsation du signal.
4. Montrer alors que vis à vis du fondamental, la cellule LC se comporte comme un condensateur de capacité Ceq.
Donner alors l’expression de Ceq (capacité du condensateur équivalent à la cellule LC). (Rappel: les 3 cellules LC sont
identiques.)
5. Calculer la valeur de Ceq pour que les cellules LC compensent la puissance réactive Q pour la fréquence du
fondamental.
6. En déduire la valeur de C puis celle de L.