Rond de fourmis - Les

Rappel du problème :
Des fourmis tournent sur l’équateur toutes à la même vitesse mais pas toutes dans le même sens .
En cas de rencontre entre deux fourmis chacune effectue un quart de tour vers la droite et continue
son parcours à la même vitesse sur sa nouvelle trajectoire . On s’interroge sur la périodicité du
phénomène . C'est-à-dire : retrouvera-t-on à un moment donné toutes les fourmis à la même place
et avec le même sens de déplacement ?
On remplacera le problème par son équivalent :
Les fourmis ne changent pas de direction mais échangent leurs passeports . Après chaque rencontre
les fourmis ayant pratiqué l’échange de passeports deviennent invisibles pendant un demi-tour
complet .Existe-t-il un moment où les fourmis se retrouveront toutes visibles , à leur place initiale
avec leur propre passeport ? Si oui quand ?
D = { 1 ; 2 ; … ; p } les fourmis qui tournent dans le sens direct .
R = { 1 ; 2 ; … ; q } les fourmis qui tournent dans le sens rétrograde .
On supposera sans nuire à la généralité que q  p .
Le temps mis par une fourmi pour effectuer une demi circonférence sera pris comme unité .
On choisira un instant de départ t0 où toutes les fourmis sont sur l’équateur sans contact .
On notera :
t (m;n) l’instant de la première rencontre entre m  D et n  R en supposant que les fourmis
restent constamment visibles .
 m  D ,  n  R , 0 < t(m;n) < 1
Les rencontres suivantes auront lieu aux instants t (m;n) + k avec k entier .
On supposera pour éviter les chocs multiples que les t(m;n) appartiennent à des classes différentes
de R/Z .
T1 = { t( m;n) + k / m  D , n  R et k  N } .
T1 représente l’ensemble des instants où une rencontre peut avoir lieu .
Pour tout entier k , T1 contient exactement p.q éléments dans ] k ;k+1 [ et pour chaque m  D (
resp. n  R ) , T1  ] k ;k+1 [ contient exactement q ( resp. p) éléments t(m;n) .
Soit t1 = t(m1;n1) = Min T1 .
A l’instant t1 , m1 et n1 échangent leurs passeports et deviennent invisibles pendant une unité de
temps . On retire alors de T1 tous les éléments t(m1;n) et t(m;n1) , m et n décrivant D et R ainsi que
t( m1;n1) + 1 qui ne sont plus des instants de rencontre possible . On obtient alors T2 .

Soit t2 = t(m2;n2) = Min T2
A l’instant t2 , m2 et n2 échangent leurs passeports et deviennent invisibles pendant une unité de
temps . On retire alors de T2 tous les éléments t(m2;n) et t(m;n2) , m et n décrivant D et R ainsi que
t( m2;n2) + 1 qui ne sont plus des instants de rencontre possible . On obtient alors T3 , et ainsi de
suite jusqu’à Tq .
Remarques :
Les fourmis m1 ; m2 ;… ;mq ; n1 ; n2 ;… ; nq sont toutes distinctes .
Dans le cas particulier ou p = q = 1 le phénomène est 4-périodique c'est-à-dire qu’après deux tours
les fourmis retrouvent leur place et leur passeport . On supposera pour la suite que p > 1 .
Dans Tq+1 , il reste pour chaque n  R , p-1 > 0 valeurs de m  D telles que t(m ;n)  ] 1 ; 2 [ . On
peut donc poursuivre la définition de tk et Tk de façon identique jusqu’à T2q . Alors chaque fourmi
de R aura échangé son passeport avec une nouvelle fourmi de D.
Aux instants t2q+1 ; t2q+2 ; … ; t3q , les échanges de passeports auront lieu entre les mêmes fourmis
qu’aux instants t1 ; t2 ; … ; tq . On dira que ces échanges sont impairs
Aux instants t3q+1 ; t3q+2 ; … ; t4q , les échanges de passeport auront lieu entre les mêmes fourmis
qu’aux instants tq+1 ; tq+2 ; … ; t2q . On dira que ces échanges sont pairs .
Etc.
En rebaptisant au besoin les éléments de D et R , on peut supposer que les échanges impairs
s’effectue entre les fourmis 1 et 1 de R et D puis 2 et 2 de R et D… jusqu’à q et q de R et D .
On note alors f l’injection de R dans D qui associe à chaque fourmi de R la fourmi de D avec
laquelle elle échange son passeport lors des échanges pairs , f est sans point fixe .
Reste à trouver la période du phénomène ( si elle existe ) en fonction de f compatible avec le
problème .
Je n’ai pas encore essayé qui prendra le relai ?