iv _ fonctions logiques et algrebre de boole

IV _ FONCTIONS LOGIQUES ET ALGREBRE DE BOOLE
1 _ Introduction
On étudiera ici les portes logiques qui constituent les blocs élémentaires des circuits logiques et nous
verrons comment il est possible de décrire leur fonctionnement ) à partir de l’algèbre de Boole, nous
verrons également que grâce à cette algèbre et diagramme de Karnaugh il est possible de réaliser des
circuits logiques.
2 _ Variables logiques
Les variables logiques ne représentent pas les nombres réels mais l’état d’un dispositif à deux états de
sortie appelé aussi niveau logique.
ex :
Niveau logique 0 Niveau logique 1
Dispositif
FAUX
VRAI
Proposition logique
ARRET
MARCHE
Bouton On/Off
BAS
HAUT
Bouton pressoir
OUVERT
FERME
Intérrupteur électrique
Il existe 3 opérations :
- l’addition logique : opération OU avec le symbole (+)
- la multiplication logique : opération ET avec le symbole (.)
-
la complémentation ou inversion logique : opération NON avec le symbole ( ? )
On définit à partir de ce noyau de base d’opération élémentaires d’autres fonctions dites composées
comme les fonctions NON/OU, NON/ET et OU EXCLUSIF.
3 _ Fonction somme logique OU (OR)
Soit A et B deux variables logiques, on définit la somme logique de A et B par S=A+B
A
0
0
1
1
B S=A+B
0
0
1
1
0
1
1
1
Symbole européen (AFNOR) :
Symbole anglo-saxon :
4 _ Fonction produit logique
On définit le produit logique entre A et B (deux variables logiques) par S=A.B
A
0
0
1
1
B S=A.B
0
0
1
0
0
0
1
1
Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
5 _ Fonction complémentations NON
Si on a A complément logique, on définit le complément de A, S= A
A S= A
0
1
1
0
Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
ou
6 _ Fonction composé NON OU (NOR)
A B
0
0
1
1
0
1
0
1
S
A
B
1
0
0
0
Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
7 _ Fonction composée NON ET (NAND)
A
0
0
1
1
B S AB
0
1
1
1
0
1
1
0
Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
8 _ Fonction composée OU exclusif (XOR)
S=AB= AB
AB
A B S=AB
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
0
(La dernière ligne est la seule différence avec A+B)
Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
9 _ Fonction composé NON OU exclusif (XNOR)
S=
= AB
AB
A B S=
0 0
1
0 1
0
1 0
0
1 1
1
Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
10 _ Théorème fondamentaux de l’Algèbre de Boole
a _ Théorème à une variable
Soit X une variable logique,
Produit logique Somme logique
X.0=0
X+0=X
X.1=X
X+1=1
X.X=X
X+X=X
X. X =0
X+ X =1
Commutativité :
b _ Théorèmes à plusieurs variables
X+Y=Y+X
X.Y=Y.X
Associativité :
X+(Y+Z)=(X+Y)+Z=X+Y+Z
X(YZ)=(XY)Z=XYZ
Théorème d’absorption : X+ X Y=X+Y
X +XY= X +Y
X+XY=X
X(X+Y)=X
Preuve : X+XY=X(1+Y)=X.1=X
X(X+Y)=XX+XY=X+XY=X
Distributivité :
X(Y+Z)=XY+XZ
(W+X)(Y+Z)=WY+WZ+XY+YZ
(X+Y)(X+Z)=X+XZ+XY+YZ=Y+YZ
Théorème de Morgan :
XY
X
Ex :
S
X
Y
XY
A B CD A B
AB C A D
A B C
A CD
A B C
BCD
A CD
A
S
AB
AD
D
BCD
BCD
CD
A CB A C B
C
BCD
CD B A
A CD A
Ex :
Y
AC B A C B
ACB
11 _ Les diagrammes de Karnaugh
Les simplifications des applications logique à l’aide des théorèmes de l’algèbre de Boole montre leur
limite lorsque l’expression comporte un grand nombre de variables, on utilise alors la méthode du
diagramme de Karnaugh.
a _ Définition
Le diagramme de Karnaugh est une forme particulière de la table de vérité qui permet une
simplification rapide d’une fonction booléenne.
b _ Propriétés
La fonction logique comporte n variables, la table de Karnaugh associée comportera

n
Z cases.


Chaque case se rapporte à une combinaison unique des n variables.
Lorsqu’on passe horizontalement ou verticalement à une case adjacente, une seule
variable change. On organise pour cela les cases selon le code GRAY.
( 00 01 11 10)

Pour obtenir l’expression de la fonction logique, il faut additionner logiquement les
combinaisons associées aux cases contenant la valeur 1.
Ex:
c _ Réunion
Il est possible de simplifier l’expression logique en procédant à des réunions de cases contenants 1 i :
- La réunion d’un doublet de l’adjacent domine la variable qui change.
- Un quadruplé d’un adjacent domine les 2 variables qui changent.
- La réunion d’un octet d’un adjacent domine les trois variables qui changent.
AB\C
00
01
11
10
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
12 _ Versabilité des portes NAND et NOR
Portes logiques
Portes NAND
Portes NOR
Inverseur
Produit logique
Somme logique
Ex :
S=AB+CD
2 portes ET : CI 7408 (x4 – il y a 4 portes ET sur ce circuit intégré)
2 portes OU : CI 7432 (x4)
(Toute porte utilisable)
CI 7400
(NAND seulement)