iv _ fonctions logiques et algrebre de boole

IV _ FONCTIONS LOGIQUES ET ALGREBRE DE BOOLE
1 _ Introduction
On étudiera ici les portes logiques qui constituent les blocs élémentaires des circuits logiques et nous
verrons comment il est possible de décrire leur fonctionnement ) à partir de l’algèbre de Boole, nous
verrons également que grâce à cette algèbre et diagramme de Karnaugh il est possible de réaliser des
circuits logiques.
2 _ Variables logiques
Les variables logiques ne représentent pas les nombres réels mais l’état d’un dispositif à deux états de
sortie appelé aussi niveau logique.
ex :
Il existe 3 opérations :
- l’addition logique : opération OU avec le symbole (+)
- la multiplication logique : opération ET avec le symbole (.)
- la complémentation ou inversion logique : opération NON avec le symbole (
?
)
On définit à partir de ce noyau de base d’opération élémentaires d’autres fonctions dites composées
comme les fonctions NON/OU, NON/ET et OU EXCLUSIF.
3 _ Fonction somme logique OU (OR)
Soit A et B deux variables logiques, on définit la somme logique de A et B par S=A+B
A
B
S=A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Symbole européen (AFNOR) :
Symbole anglo-saxon :
4 _ Fonction produit logique
On définit le produit logique entre A et B (deux variables logiques) par S=A.B
A
B
S=A.B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Niveau logique 0
Niveau logique 1
Dispositif
FAUX
VRAI
Proposition logique
ARRET
MARCHE
Bouton On/Off
BAS
HAUT
Bouton pressoir
OUVERT
FERME
Intérrupteur électrique

Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
5 _ Fonction complémentations NON
Si on a A complément logique, on définit le complément de A, S=
A
A
S=
A
0
1
1
0
Symbole européen :
ou
Symbole anglo-saxon :
6 _ Fonction composé NON OU (NOR)
A
B
S A B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
7 _ Fonction composée NON ET (NAND)
A
B
SAB
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0

Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
8 _ Fonction composée OU exclusif (XOR)
S = A  B =
A B A B
A
B
S=AB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
(La dernière ligne est la seule différence avec A+B)
Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :
9 _ Fonction composé NON OU exclusif (XNOR)
S = =
AB AB
A
B
S =
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Symbole européen :
Symbole anglo-saxon :

10 _ Théorème fondamentaux de l’Algèbre de Boole
a _ Théorème à une variable
Soit X une variable logique,
Produit logique
Somme logique
X.0=0
X+0=X
X.1=X
X+1=1
X.X=X
X+X=X
X.
X
=0
X+
X
=1
b _ Théorèmes à plusieurs variables
Commutativité : X+Y=Y+X
X.Y=Y.X
Associativité : X+(Y+Z)=(X+Y)+Z=X+Y+Z
X(YZ)=(XY)Z=XYZ
Théorème d’absorption : X+
X
Y=X+Y
X
+XY=
X
+Y
X+XY=X
X(X+Y)=X
Preuve : X+XY=X(1+Y)=X.1=X
X(X+Y)=XX+XY=X+XY=X
Distributivité : X(Y+Z)=XY+XZ
(W+X)(Y+Z)=WY+WZ+XY+YZ
(X+Y)(X+Z)=X+XZ+XY+YZ=Y+YZ
Théorème de Morgan :
Ex :
Ex :
XY X Y
X Y XY
S A B CD A B AB C A D BCD
CD B A A B C A D
ACD BCD A B C D
ACD ABCD
ACD BCD
ACD
S A CB A C B AC B A C B ACB
C A B

11 _ Les diagrammes de Karnaugh
Les simplifications des applications logique à l’aide des théorèmes de l’algèbre de Boole montre leur
limite lorsque l’expression comporte un grand nombre de variables, on utilise alors la méthode du
diagramme de Karnaugh.
a _ Définition
Le diagramme de Karnaugh est une forme particulière de la table de vérité qui permet une
simplification rapide d’une fonction booléenne.
b _ Propriétés
 La fonction logique comporte n variables, la table de Karnaugh associée comportera
Zn
cases.
 Chaque case se rapporte à une combinaison unique des n variables.
 Lorsqu’on passe horizontalement ou verticalement à une case adjacente, une seule
variable change. On organise pour cela les cases selon le code GRAY.
( 00 01 11 10)
 Pour obtenir l’expression de la fonction logique, il faut additionner logiquement les
combinaisons associées aux cases contenant la valeur 1.
Ex:
c _ Réunion
Il est possible de simplifier l’expression logique en procédant à des réunions de cases contenants 1 i :
- La réunion d’un doublet de l’adjacent domine la variable qui change.
- Un quadruplé d’un adjacent domine les 2 variables qui changent.
- La réunion d’un octet d’un adjacent domine les trois variables qui changent.
AB\C
0
1
00
0
0
01
1
0
11
1
0
10
0
0