Triangles

Triangles
Triangle quelconque :
Propriétés :
1) la somme des angles est égale à 180° :
 180
ˆ
ˆ
ˆCBA
2) S = base fois hauteur sur 2 :
2/hBCS
Les 3 bissectrices se coupent en un même point.
Ce point est le centre du cercle inscrit.
(Les points de contact du cercle avec les côtés du triangle ne sont pas
sur les bissectrices)
3)
Les 3 médiatrices se coupent en un même point.
Ce point est le centre du cercle circonscrit.
(Les distances de ce centre aux 3 sommets sont égales au rayon du cercle)
4)
A
B
C
O
A
B
C
O
B
C
h
A

Les 3 hauteurs se coupent en un même point appelé l'orthocentre.
5)
Les 3 médianes se coupent en un même point.
Ce point est le centre de gravité du triangle (ou son barycentre).
Il se situe aux deux tiers des médianes à partir des sommets.
Le triangle tient en équilibre sur ce point.
Triangle rectangle :
Définition : triangle possédant un angle droit. Le côté opposé à l’angle
droit s’appelle l’hypoténuse.
Propriétés :
0) L’hypoténuse est le plus grand des 3 côtés.
1) Théorème de Phytagore :
Le carré de l’hypothénuse est égal à la somme des carrés des côtés de
l’angle droit.
A
B
O
C
B
C
A
A
B
C

Triangle ABC, rectangle en A :
222 ACABBC 
2) Théorème de Phytagore inverse :
Si les côtés d’un triangle ABC vérifient la relation :
222 ACABBC 
alors ce triangle est rectangle en A.
3) Cercle circonscrit :
Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre son
hypoténuse.
4) Inversement :
Un triangle dont un des côté est le diamètre d’un cercle et dont le
troisième point est sur le cercle est rectangle en ce point. Le diamètre
étant l’hypoténuse du triangle rectangle.
Triangle isocèle :
Définitions :
1) un triangle qui a 2 côtés égaux.
2) un triangle qui a 2 angles égaux.
Propriétés :
1) Les 4 droites caractéristiques de l’angle A sont identiques :
La médiane, la bissectrice, la hauteur et la médiatrice sont confondues.
Triangle équilatéral :
Définitions :
1) un triangle qui a ses 3 côtés égaux.
2) Un triangle qui a ses 3 angles égaux.
Propriétés :
1) les angles valent 180°/3 = 60°
2) la hauteur vaut
2/3)60sin( aah 
A
B
C
h
A
B
C
h
a