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CRMEF-FES-2012/2013
FILIERE : PHYSIQUE-CHIMIE Mécanique/TICE
CYCLE: SECONDAIRE QUALIFIANT
Réalisé par :
KHALFAOUI Hamid & ZIGDI Rachid
Encadré par : Pr. L. KADIRA
Mouvement de chute verticale dans l’air
Utilisation de la méthode d’Euler et Range-kutta
Chute verticale d’une balle de polystyrène
Rayon de la balle : 3,5 cm, indication de la balance m’ = 2,29 g
Utilisation des logiciels : Aviméca, Regressi et MATLAB
Objectifs
 étudier la chute verticale d’une bille d’acier dans l’air ;
 Faire l’étude dynamique du mouvement ;

Etudier la chute verticale à partir d’une vidéo ;
 Modéliser le mouvement par deux méthodes numériques (méthode d’Euler,
Range-Kutta d’ordre 2).
I. Etude des courbes expérimentales.
1. Exploitation d’une vidéo de chute.
A l’aide du logiciel aviméca
, ouvrir le clip intitulé « Bille_1_air.avi » situé dans le
dossier CDMovie/TP-chutes-TS présent sur le registre C:/ de votre ordinateur.
Il s’agit de la chute d’une bille d’acier dans l’air sans frottement.
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2. Etalonnage
Sur la partie droite de l’écran, cliquer sur l’onglet « étalonnage ».
Se laisser guider par les instructions du logiciel pour :
- choisir un repère (placer l’origine du repère sur l’origine du
mouvement, l’axe vertical dirigé vers le bas) ;
- étalonner les mesures (la règle représente une longueur de 0,507 mètre)
;
- réaliser le pointage à l’aide de la souris, à chaque clic, le logiciel
enregistre la position de la bille et le film avance automatiquement ;
- copier dans le presse-papier (fichier ® Mesures ® copier dans
le presse-papier ® le tableau).
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II. Utilisation de la méthode d’Euler et Range-Kutta
1. Objectifs.
Utiliser une méthode numérique itérative pour résoudre l’équation différentielle
caractéristique de l’évolution d’un système mécanique.
2. Première approche.
L’étude de l’évolution temporelle d’un système matériel mécanique conduit à
mesurer le taux de variation de certaines grandeurs physiques.
Le taux de variation d'un déplacement est une vitesse.
Le taux de variation d'une vitesse est une accélération.
Ce taux de variation instantané est représenté par une dérivée.
L'objet mathématique qui décrit l'évolution temporelle du système est une équation
différentielle.
Résoudre une équation différentielle, c’est rechercher une fonction, afin de prévoir
l’évolution de ce système. Cela passe par la connaissance :
 des conditions initiales qui définissent l'état du système à une date antérieure,
 des lois d’évolution qui mettent en jeu les actions (forces) qui s’exercent sur le
système.
3. La situation-problème.
1) A la date t = 0, un solide de masse m et de volume V est abandonné dans l'air à
l'altitude z.
2) Quelles sont les caractères du mouvement de chute verticale de ce solide dans le
champ de pesanteur uniforme ?
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 Range-Kutta
𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 +
(𝐾𝑖 + 𝐾2 )⁄
2
𝐾1 = ℎ𝑓(𝑡𝑖 , 𝑣𝑖 ) et 𝐾2 = ℎ𝑓(𝑡𝑖 + ℎ, 𝑣𝑖 + 𝐾1 )
III. Etude théorique.
Faire un schéma de la bille en chute dans l’air. Représenter les forces appliquées.
Les questions
1. Poussée d’Archimède :
a)
Définir la poussée d’Archimède.
b)
Calculer cette poussée PA dans l’air pour une sphère de rayon r = 3,5 cm.
c)
On peut écrire PA = mA. g. Que représente mA ? Calculer mA.
Données : g = 9,8 N. kg-1 ; masse volumique de l’air µair = 1,3 g. L-1 ; volume
d’une sphère
𝑉sphère = 4⁄3 × 𝜋 × 𝑟 3
2. Pesée d’un objet léger.
On dépose une sphère légère de masse m sur le plateau d’une balance.
a)
Faire l’inventaire des forces exercées sur la sphère puis les représenter. On appelle PA la
poussée d’Archimède et Fp l’action du plateau sur la sphère.
b)
Déduire la relation entre P (poids de la sphère), Fp et PA.
c)
Sur la balance, on lit une masse 𝑚′ =
𝐹𝑝
𝑔
. Sachant que PA = mA. g, exprimer m en
fonction de m’ et mA. m’ = 2,29 g et mA = 0,23 g. Calculer m.
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d)
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Comparer P (poids de la sphère) et PA. Peut-on négliger la poussée d’Archimède devant
le poids ?
3. Etude d’un mouvement de chute verticale dans l’air.
L’enregistrement vidéo (10 images par seconde) du mouvement de chute d’une sphère
de polystyrène a était réalisé dans la chapelle du lycée. Ce lieu est propice à cette étude car il
est d’une hauteur de plafond importante et il n’y a pas de courant d’air notable.
On reprend le film dans un logiciel qui permet de numériser les positions successives de la
balle puis on traite les données dans un tableur. On peut faire tracer le graphe de la vitesse de
la balle en fonction du temps vexp(t). Voir courbe ci-dessous.
On fait l’hypothèse d’une force de frottement fluide de la forme Ff = k .v ou 𝐹⃗𝑓 =
−𝐾. 𝑣⃗
a)
Faire un inventaire des forces exercées sur la sphère et les représenter.
b)
Etablir l’équation différentielle du mouvement à laquelle satisfait la vitesse v.
On choisira un axe vertical de projection orienté vers le bas.
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𝑑𝑣
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c)
Que vaut
d)
Déduire l’expression littérale de la vitesse limite en fonction de m, mA, g et k.
e)
Déterminer cette vitesse limite à partir du graphe.
f)
Calculer k à l’aide de l’expression du d).
g)
Montrer que 𝑑𝑡 = 0,89 − 1,98. 𝑣
h)
On désire tracer v(t) par la méthode d’Euler.
𝑑𝑡
quand la balle atteint sa vitesse limite vl?
𝑑𝑣
Rappel :
𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 + (
𝑑𝑣𝑖
) ∆𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 ∆𝑡 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑 ∆𝑡 = (1⁄10). 𝑠
𝑑𝑡
A l’aide d’un tableur, faire calculer v(t) pour t variant de 0 à 2,1 s et comparer avec les valeurs
expérimentales. Conclure sur la validité du modèle.
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Correction
1.
a) définition de la poussée d’Archimède
b)
c) mA est la masse d’air déplacée.
2.
a) poussée d’Archimède PA, poids P, et force exercée par le ressort FP.
b)
c)
donc
d)
PA n’est pas négligeable.
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3.
a) PA, P, Ff
b)
Le système étudié est la balle. Dans le référentiel terrestre supposé Galiléen, on peut
appliquer la 2nde loi de Newton à la balle.
On projette cette relation sur un axe vertical orienté vers le bas, on obtient :
(1)
c)
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=0
quand
ou
la
vitesse
d)
e)
vl = 4,65 m. s-1
f)
g) d’après la relation
(1)
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limite
est
atteinte.
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h)
t (s)
x (m)
y (m)
y1 (m)
V (m/s)
VEuler
0
-0.02
0.02
-0.02
1.45
1.45
0.1
0.02
-0.14
0.14
1.92
2.05
0.2
0.04
-0.37
0.37
2.39
2.54
0.3
0.04
-0.62
0.62
2.89
2.92
0.4
0.04
-0.93
0.93
3.28
3.24
0.5
0.08
-1.30
1.30
3.65
3.48
0.6
0.08
-1.67
1.67
3.89
3.68
0.7
0.06
-2.08
2.08
4.08
3.85
0.8
0.08
-2.49
2.49
4.27
3.97
0.9
0.08
-2.93
2.93
4.39
4.08
1
0.06
-3.38
3.38
4.51
4.16
1.1
0.06
-3.83
3.83
4.53
4.23
1.2
0.04
-4.29
4.29
4.53
4.28
1.3
0.02
-4.74
4.74
4.55
4.32
1.4
-0.02
-5.19
5.19
4.45
4.36
1.5
-0.08
-5.65
5.65
4.49
4.38
1.6
-0.14
-6.06
6.06
4.55
4.41
1.7
-0.19
-6.55
6.55
4.60
4.42
1.8
-0.25
-7.01
7.01
4.78
4.44
1.9
-0.31
-7.48
7.48
4.74
4.45
2
-0.37
-7.98
7.98
4.74
4.46
2.1
-0.41
-8.43
8.43
4.74
4.47
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