1 File : Equa-Irration-Fct-Transfert-Filter-BP-Pont-Wien-Ordre-2 (2004-2005) 1°) Résoudre l’équation irrationnelle : f (x) (1/3) . { ( 2 . . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } = 1/2 où « = 3/2 » ; 2°) Résoudre l’équation irrationnelle : A . 20 . log (1/2) = 20 . log { (1/3) . { ( 2 . . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } } où « = 3/2 » avec « A = 4 » ; Solution Etant donné : que « (1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 > 0 » ; et « x » change de signe ; => il faut que « x > 0 » ; 1°) Donc : (1/3) . { ( 2 . . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } = 1/2 <=> (2/9) . (2 . )2 . x2 = ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 <=> ( 1 - x2)2 + [1 - (2/9) ] . (2 . )2 . x2 = 0 <=> ( 1 - x2)2 + (7/9) . (2 . )2 . x2 = 0 <=> x4 – 2 . x2 + 1 + (7/9) . (2 . )2 . x2 = 0 <=> x4 + [ (7/9) . (2 . (3/2))2 - 2 ] . x2 +1 = 0 <=> x4 + [ (7/9) . 9 - 2 ] . x2 +1 = 0 <=> x4 + 5 . x2 +1 = 0 ; Donc, = B2 – 4 . A . C = 25 – 4 = 21 => : x2 = (1/2) . [- 5 + (21)1/2 ] < 0 => x ℝ ; x2 = (1/2) . [- 5 - (21)1/2 ] < 0 => x ℝ ; Donc, l’équation : « (1/3) . { ( 2 . . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } = 1/2 » où « = 3/2 », n’a pas de solution sur ℝ => il n’existe pas de « x » réel tel que cette équation soit satisfaite sur ℝ => Ceci est logique car : | Vo (j . ) | / Vi = 1/ {9 + [ x - (1/x) ]2 }1/2 et f (x = 1) = 1/3 ; Or, « 1/3 < 1/2 » => 20 . log (1/3) < 20 . log (1/2) = - 3 dB ; **************************************************************** 2°) Lorsque « = 3/2 » et « A = 4 » : A . 20 . log (1/2) = 20 . log { (1/3) . { ( 2 . . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } } <=> 1/2A/2 = (1/3) . { ( 2 . . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } <=> 1/2 = (1/9) . { [ (2 . ) . x ] / { ( 1 - x ) + (2 . ) . x } } <=> A 2 2 2 2 2 2 2 1/2A = { x2 / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 } } <=> 2A . x2 = ( 1 - x2)2 + 9 . x2 <=> ( 1 - x2)2 - (2A - 9) . x2 = 0 <=> [ ( 1 - x2) - (2A - 9)1/2 . x ] . [ ( 1 - x2) + (2A - 9)1/2 . x ] = 0 ( 1 - x2) - (2A - 9)1/2 . x = 0 ; ( 1 - x2) + (2A - 9)1/2 . x = 0 ; Donc : x2 + (2A - 9)1/2 . x – 1 = 0 ; ou bien : x2 - (2A - 9)1/2 . x – 1 = 0 ; Donc : x = (1/2) . [ - (2A - 9)1/2 ((2A - 9) + 4 )1/2 ] ; ou bien : x = (1/2) . [ (2A - 9)1/2 ((2A - 9) + 4 )1/2 ] Donc : x = (1/2) . [ - (2A - 9)1/2 (2A - 5 )1/2 ] ; ou bien : x = (1/2) . [ (2A - 9)1/2 (2A - 5)1/2 ] Donc, on obtient « 4 » solutions pour l’équation « A . 20 . log (1/2) = = 20 . log { (1/3) . { ( 2 . . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } } » : d’une part : x = (1/2) . [ (2A - 5)1/2 - (2A - 9 )1/2 ] ; x = (1/2) . [ (2A - 5)1/2 + (2A - 9 )1/2 ] ; d’autre part : x = (1/2) . [ - (2A - 5)1/2 - (2A - 9 )1/2 ] ; x = (1/2) . [ - (2A - 5)1/2 + (2A - 9 )1/2 ] ; Application Résoudre l’équation irrationnelle « A . 20 . log (1/2) = = 20 . log { (1/3) . { [ 2 . . (/0) ] / { [ 1 - (/0)2 ]2 + (2 . )2 . (/0)2 }1/2 } } » où : « » doit être un réel et « 0 » ; et « 0 » est un réel « > 0 » ; Puisque « » doit être un réel et « 0 » et que « 0 » est un réel « > 0 » => les « 2 » seules solutions acceptables pour cette équation « A . 20 . log (1/2) = = 20 . log { (1/3) . { [ 2 . . (/0) ] / { [ 1 - (/0)2 ]2 + (2 . )2 . (/0)2 }1/2 } } » en l’inconnue « /0 », sont : /0 = + (1/2) . [ (2A - 5)1/2 - (2A - 9 )1/2 ] ; /0 = + (1/2) . [ (2A - 5)1/2 + (2A - 9 )1/2 ] ; 3 Donc : = 0 . (1/2) . [ (2A - 5)1/2 - (2A - 9 )1/2 ] ; A 1/2 = 0 . (1/2) . [ (2 - 5) + (2A - 9 )1/2 ] ; avec « A = 4 » ;