Equa-Irration-Fct-transfert-Frequence-Filter-BP - HEH

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File : Equa-Irration-Fct-Transfert-Filter-BP-Pont-Wien-Ordre-2 (2004-2005)
1°) Résoudre l’équation irrationnelle :
f (x)  (1/3) . { ( 2 .  . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } = 1/2 où «  = 3/2 » ;
2°) Résoudre l’équation irrationnelle :
A . 20 . log (1/2) = 20 . log { (1/3) . { ( 2 .  . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } }
où «  = 3/2 » avec « A = 4 » ;
Solution
Etant donné :
 que « (1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 > 0 » ;
 et « x » change de signe ;
=> il faut que « x > 0 » ;
1°) Donc :
(1/3) . { ( 2 .  . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } = 1/2 <=>
(2/9) . (2 . )2 . x2 = ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 <=>
( 1 - x2)2 + [1 - (2/9) ] . (2 . )2 . x2 = 0 <=>
( 1 - x2)2 + (7/9) . (2 . )2 . x2 = 0 <=>
x4 – 2 . x2 + 1 + (7/9) . (2 . )2 . x2 = 0 <=>
x4 + [ (7/9) . (2 . (3/2))2 - 2 ] . x2 +1 = 0 <=>
x4 + [ (7/9) . 9 - 2 ] . x2 +1 = 0 <=> x4 + 5 . x2 +1 = 0 ;
Donc,  = B2 – 4 . A . C = 25 – 4 = 21 => :
 x2 = (1/2) . [- 5 + (21)1/2 ] < 0 => x  ℝ ;
 x2 = (1/2) . [- 5 - (21)1/2 ] < 0 => x  ℝ ;
Donc, l’équation :
« (1/3) . { ( 2 .  . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } = 1/2 » où «  = 3/2 », n’a pas de
solution sur ℝ => il n’existe pas de « x » réel tel que cette équation soit satisfaite sur ℝ =>
Ceci est logique car : | Vo (j . ) | / Vi = 1/ {9 + [ x - (1/x) ]2 }1/2 et f (x = 1) = 1/3 ;
Or, « 1/3 < 1/2 » => 20 . log (1/3) < 20 . log (1/2) = - 3 dB ;
****************************************************************
2°) Lorsque «  = 3/2 » et « A = 4 » :
A . 20 . log (1/2) = 20 . log { (1/3) . { ( 2 .  . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } }
<=> 1/2A/2 = (1/3) . { ( 2 .  . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } <=>

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1/2A = (1/9) . { [ (2 . )2 . x2 ] / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 } } <=>
1/2A = { x2 / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 } } <=> 2A . x2 = ( 1 - x2)2 + 9 . x2 <=>
( 1 - x2)2 - (2A - 9) . x2 = 0 <=>
[ ( 1 - x2) - (2A - 9)1/2 . x ] . [ ( 1 - x2) + (2A - 9)1/2 . x ] = 0 
 ( 1 - x2) - (2A - 9)1/2 . x = 0 ;
 ( 1 - x2) + (2A - 9)1/2 . x = 0 ;
Donc :
 x2 + (2A - 9)1/2 . x – 1 = 0 ;
 ou bien : x2 - (2A - 9)1/2 . x – 1 = 0 ;
Donc :
 x = (1/2) . [ - (2A - 9)1/2  ((2A - 9) + 4 )1/2 ] ;
 ou bien : x = (1/2) . [ (2A - 9)1/2  ((2A - 9) + 4 )1/2 ]
Donc :
 x = (1/2) . [ - (2A - 9)1/2  (2A - 5 )1/2 ] ;
 ou bien : x = (1/2) . [ (2A - 9)1/2  (2A - 5)1/2 ]
Donc, on obtient « 4 » solutions pour l’équation
« A . 20 . log (1/2) =
= 20 . log { (1/3) . { ( 2 .  . x ) / { ( 1 - x2)2 + (2 . )2 . x2 }1/2 } } » :
 d’une part :
 x = (1/2) . [ (2A - 5)1/2 - (2A - 9 )1/2 ] ;
 x = (1/2) . [ (2A - 5)1/2 + (2A - 9 )1/2 ] ;
 d’autre part :
 x = (1/2) . [ - (2A - 5)1/2 - (2A - 9 )1/2 ] ;
 x = (1/2) . [ - (2A - 5)1/2 + (2A - 9 )1/2 ] ;
Application
Résoudre l’équation irrationnelle « A . 20 . log (1/2) =
= 20 . log { (1/3) . { [ 2 .  . (/0) ] / { [ 1 - (/0)2 ]2 + (2 . )2 . (/0)2 }1/2 } } » où :
 «  » doit être un réel et «  0 » ;
 et « 0 » est un réel « > 0 » ;
Puisque «  » doit être un réel et «  0 » et que « 0 » est un réel « > 0 » => les « 2 » seules
solutions acceptables pour cette équation « A . 20 . log (1/2) =
= 20 . log { (1/3) . { [ 2 .  . (/0) ] / { [ 1 - (/0)2 ]2 + (2 . )2 . (/0)2 }1/2 } } » en
l’inconnue « /0 », sont :
 /0 = + (1/2) . [ (2A - 5)1/2 - (2A - 9 )1/2 ] ;
 /0 = + (1/2) . [ (2A - 5)1/2 + (2A - 9 )1/2 ] ;

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Donc :
  = 0 . (1/2) . [ (2A - 5)1/2 - (2A - 9 )1/2 ] ;
  = 0 . (1/2) . [ (2A - 5)1/2 + (2A - 9 )1/2 ] ;
avec « A = 4 » ;