Sujet FENETRE Barème 5+6+4+5 Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 4 ; 9 ; 7 ; 11 ; 3 ; 2 ; 8 ; 9 ; 4 ; 7 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 9. Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1. Déterminez w pour que l'écart-type soit de 10. Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 5, une moyenne de 20, et un écart-type de 4. Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 14x3 - 5x² - 12x + 9 Sujet COULOIR Barème 5+6+4+5 Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 5 ; 8 ; 12 ; 4 ; 8 ; 8 ; 10 ; 8 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 8. Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1. Déterminez w pour que l'écart-type soit de 9. Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 3, une moyenne de 10, et un écart-type de 2. Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 7x3 - 2x² - x + 5 Sujet FENETRE Barème 5+6+4+5 Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 4 ; 9 ; 7 ; 11 ; 3 ; 2 ; 8 ; 9 ; 4 ; 7 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 9. Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1. Déterminez w pour que l'écart-type soit de 10. Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 5, une moyenne de 20, et un écart-type de 4. Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 14x3 - 5x² - 12x + 9 Sujet COULOIR Barème 5+6+4+5 Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 5 ; 8 ; 12 ; 4 ; 8 ; 8 ; 10 ; 8 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 8. Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1. Déterminez w pour que l'écart-type soit de 9. Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 3, une moyenne de 10, et un écart-type de 2. Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 7x3 - 2x² - x + 5 Sujet FENETRE Barème 5+6+4+5 Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 4 ; 9 ; 7 ; 11 ; 3 ; 2 ; 8 ; 9 ; 4 ; 7 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 9. Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1. Déterminez w pour que l'écart-type soit de 10. Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 5, une moyenne de 20, et un écart-type de 4. Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 14x3 - 5x² - 12x + 9 Sujet COULOIR Barème 5+6+4+5 Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 5 ; 8 ; 12 ; 4 ; 8 ; 8 ; 10 ; 8 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa médiane. Déterminez sa moyenne et son écart-type. Déterminez la fréquence de la valeur 8. Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1. Déterminez w pour que l'écart-type soit de 9. Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 3, une moyenne de 10, et un écart-type de 2. Ex 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 7x3 - 2x² - x + 5 Sujet FENETRE Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 4 ; 9 ; 7 ; 11 ; 3 ; 2 ; 8 ; 9 ; 4 ; 7 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa médiane. On ordonne dans l’ordre croissant la série : 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 11. xmini = 2 xmaxi = 11 Effectif : N = 11 N/4 = 11/4 = 2,75 donc 1er quartile Q1 = x3 = 4 N = 11 = 5 + 1 + 5 donc Médiane Me = x6 = 7 3N/4 = 3(11)/4 = 8,25 donc 3ème quartile Q3 = x9 = 9 Déterminez sa moyenne et son écart-type. ∑ ni xi Moyenne m= 73 2 + 3 + 4 + … + 9 + 11 = = N 11 11 Pour information facultative puisqu’imprécise ( mais permet de vérifier sa réponse à la calculatrice ) : m ≈ 6,636…. ∑ ni xi ² σ= Ecart-type 2² + 3² + 4² + … + 9² + 11² – m² = - N 571 = 73² - 11 11 571×11 = 11² 72² - 11² 73 11² 952 952 = 11 = 11² 11 Pour information facultative puisqu’imprécise ( mais permet de vérifier sa réponse à la calculatrice ) : σ ≈ 2, 8049…. ² Déterminez la fréquence de la valeur 9. fi = ni / N = 3 / 11 Pour information facultative puisqu’imprécise : fi ≈ 0,2727…. Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1. 1°) Déterminez w pour que l’écart-type de la série soit de 10. Remarque : cette nouvelle série est constituée de w et de la sous-série étudiée à l’exercice précédent, qui nous avait donné un effectif de 11, une moyenne de 73/11, et un écart-type avec une somme des carrés de 571, donc la nouvelle série aura un effectif de 11+ 1 = 12, une moyenne de (73+w)/(11+1), et un écart-type avec une somme des carrés de 571+w² ! Σ ni xi Moyenne m= 4 + 6 + 8 + … + 10 + 12 + w = = N 10 Σ ni xi ² Ecart-type σ= 10 2² + 3² + 4² + … + 9² + 11² + w² – m² = 571 + w² 12 73² + 2×73×w + w² – 73 + w ² - N = 72 + w 12 12( 571 + w² ) - 73² - 2×73×w - w² = 12 12² 12² 11w² - 146w + 1523 = 12 11w² - 146w + 1523 σ = 10 donc 10 = 120 = 11w² - 146w + 1523 12 120² = 11w² - 146w + 1523 11w² - 146w + 1523 – 120² = 0 11w² - 146w – 12877 = 0 C’est un polynôme de degré 2 donc je peux employer la méthode du discriminant : ∆ = (- 146)² - 4 (11) (- 12877) = 587904 ∆ > 0 donc deux racines : - (- 146) + √587904 w1 = - (- 146) - √587904 ≈ 41,488… et w2 = ≈ - 28,21… 2 (11) 2 (11) w2 qui est négatif ne peut convenir pour w. 146 + 587904 pour que l’écart-type soit de 10. Réponse : w1 = 22 Remarque : on peut vérifier son résultat en rentrant la série dans sa calculatrice pour obtenir σ = 10. Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 5, une moyenne de 20, et un écart-type de 4. Comme on n’a que deux données ( moyenne et écart-type une fois que l’on utilise l’effectif ), on peut fixer numériquement 3 valeurs et en déduire les deux autres. Mais la solution la plus simple est de constituer la série en 3 sous-séries symétriques : une sous-série de 2 valeurs inférieures à m, une sous-série de 2 valeurs supérieures à m, et une 5ème valeur égale à m. E1 Σ ni xi Moyenne m= E2 2 x1 + x2 + 2 x3 = N 2 ( m - E1 ) + m + 2 ( m + E2 ) = 5 5 5m = 2( m - E1 ) + m + 2( m + E2 ) 5m = 5m – 2 ( E1 - E2 ) E1 = E2 E1 = E2 que je nomme ( et jeune fille ) E. Σ ni ( xi – m )² Ecart-type σ= 2( - E1 ) ² + 0² + 2( + E2 )² = N 2E² + 0 + 2E² = 5 5 4 E² σ² = 5 σ² = 4 E² E = √20 = 2√5 1,25 × 4² = E² 5 x1 = x2 = m – E1 = 20 – 2√5 x3 = m = 20 20 – 2 √5 Réponse : 20 – 2 √5 x4 = x5 = m + E = 20 + 2√5 20 + 2 √5 20 20 + 2 √5 Comme vérification facultative on peut utiliser le mode STAT de sa calculatrice avec les réponses rentrées en valeurs exactes, pour retomber sur l’effectif, la moyenne et l’écart-type imposés, en valeurs arrondies ( ou parfois exactes sans pouvoir prouver leurs exactitudes ). Exercice 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 14x3 - 5x² - 12x + 9 f ‘(x) = 14 ( 3x² ) – 5 ( 2x ) – 12 ( 1 ) + ( 0 ) = 42x² - 10x – 12 C’est un polynôme de degré 2 donc je peux employer la méthode du discriminant : ∆ = (- 10)² - 4 (42) (- 12) = 100 + 2016 = 2116 = 46² ∆ > 0 donc deux racines : - (- 10) + 46 w1 = 56 = 2 (42) 2 = 84 - (- 10) - 46 et w2 = 3 - 36 = 2 (42) 3 = - 84 7 le polynôme est du signe de a = 42 > 0 à l’extérieur des racines, donc en déduit que f ‘(x) > pour x dans J = [ - 10 ; - 6/7 [ union ] 2/3 ; 20 ] donc grâce au théorème de la monotonie que f est strictement croissante sur J. Réponse : x f ‘(x) f (x) - 10 + - 3/7 0 - 2/3 0 20 + Sujet COULOIR Ex 1 : Soit la série statistique constituée des nombres 6 ; 8 ; 12 ; 4 ; 8 ; 8 ; 10 ; 8 ; 9. Déterminez ses quartiles et sa médiane. On ordonne dans l’ordre croissant la série : 4 ; 6 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12. xmini = 4 xmaxi = 12 Effectif : N = 9 N/4 = 9/4 = 2,25 donc 1er quartile Q1 = x3 = 8 N=9=4+1+4 donc Médiane Me = x5 = 8 3N/4 = 3(9)/4 = 6,75 donc 3ème quartile Q3 = x7 = 9 Déterminez sa moyenne et son écart-type. ∑ ni xi Moyenne m= 4 + 6 + 8 + … + 10 + 12 = 72 = N = 9 8 9 La réponse exacte sous forme de fraction 72/9 est obligatoire pour prouver que vous n’avez pas utilisé votre calculatrice en oubliant de vérifier si elle a affiché une valeur exacte ou approchée. ∑ ni xi ² σ= Ecart-type 4² + 6² + 8² + … + 10² + 12² – m² = N 622 = 72² - 9 9 622×9 = 9² 73 - 72² - 9² 414 = 9² 9 9² 46 414 = = 9 3 Pour information facultative puisqu’imprécise ( mais permet de vérifier sa réponse à la calculatrice ) : σ ≈ 2,26077…. ² Déterminez la fréquence de la valeur 8. fi = ni / N = 4/9 Pour information facultative puisqu’imprécise : fi ≈ 0,444…. ou 44,4% Ex 2 : Soit la série statistique constituée d'un nombre positif w et des nombres de la série de l'exo 1. Déterminez w pour que l’écart-type de la série soit de 9. Remarque : cette nouvelle série est constituée de w et de la sous-série étudiée à l’exercice précédent, qui nous avait donné un effectif de 9, une moyenne de 72/9, et un écart-type avec une somme des carrés de 622, donc la nouvelle série aura un effectif de 9+ 1 = 10, une moyenne de (72+w)/(9+1), et un écart-type avec une somme des carrés de 622+w² ! Σ ni xi Moyenne m= 4 + 6 + 8 + … + 10 + 12 + w = = N 10 Σ ni xi ² Ecart-type σ= 10 4² + 6² + 8² +… + 10² + 121² + w² – m² = 622 + w² 10 72² + 2×72×w + w² – 72 + w ² - N = 72 + w 10 10( 622 + w² ) - 72² - 2×72×w - w² = 10 10² 10² 9w² - 144w + 1036 = 10 9w² - 144w + 1036 σ = 9 donc 9 = 90 = 9w² - 144w + 1036 10 90² = 9w² - 144w + 1036 9w² - 144w + 1036 – 90² = 0 9w² - 144w – 7064 = 0 C’est un polynôme de degré 2 donc je peux employer la méthode du discriminant : ∆ = (- 144)² - 4 (9) (- 7064) = 275040 ∆ > 0 donc deux racines : - (- 144) + √275040 - (- 144) - √275040 ≈ 37,135… et w2 = w1 = ≈ - 21,135… 2 (9) 2 (9) w2 qui est négatif ne peut convenir pour w. 144 + 275040 pour que l’écart-type soit de 9. Réponse : w1 = 18 Remarque : on peut vérifier son résultat en rentrant la série dans sa calculatrice pour obtenir σ = 9. Ex 3 : Déterminez une ( et une seule ) série statistique ayant un effectif de 3, une moyenne de 10, et un écart-type de 2. Comme on n’a que deux données ( moyenne et écart-type une fois que l’on utilise l’effectif ), on peut fixer numériquement 1 valeur et en déduire les deux autres. Mais la solution la plus simple est de constituer la série en 3 sous-séries symétriques : E1 Σ ni xi Moyenne m= E2 x1 + x2 + x3 = N ( m - E1 ) + m + ( m + E2 ) = 3 3 3m = ( m - E1 ) + m + ( m + E2 ) 3m = 3m - E1 + E2 E1 = E2 E1 = E2 que je nomme ( et jeune fille ) E. Σ ni ( xi – m )² Ecart-type σ= ( - E1 ) ² + 0² + ( + E2 )² = N E² + 0 + E² = 3 3 2 E² σ² = 3 σ² = 2 E² E = √6 1,5 × 2² = E² 3 x1 = m – E1 = 10 – √6 10 – √6 Réponse : x3 = m + E2 = 10 + √6 x2 = m = 10 10 + √6 10 Comme vérification facultative on peut utiliser le mode STAT de sa calculatrice avec les réponses rentrées en valeurs exactes, pour retomber sur l’effectif, la moyenne et l’écart-type imposés, en valeurs arrondies ( ou parfois exactes sans pouvoir prouver leurs exactitudes ). Exercice 4 : Déterminez les sens de variation de la fonction f définie sur [ - 10 ; 20 ] par f(x) = 7x3 - 2x² - x + 5 f ‘(x) = 7( 3x² ) – 2 ( 2x ) – ( 1 ) + ( 0 ) = 21x² - 4x – 1 C’est un polynôme de degré 2 donc je peux employer la méthode du discriminant : ∆ = (- 4)² - 4 (21) (- 1) = 16 + 84 = 100 = 10² ∆ > 0 donc deux racines : - (- 4) + 10 w1 = 14 = 2 (21) 1 = 42 - (- 4) - 10 et w2 = 3 -6 = 2 (21) 1 = - 42 7 le polynôme est du signe de a = 21 > 0 à l’extérieur des racines, donc en déduit que f ‘(x) > pour x dans J = [ - 10 ; - 1/7 [ union ] 1/3 ; 20 ] donc grâce au théorème de la monotonie que f est strictement croissante sur J. Réponse : x f ‘(x) f (x) - 10 + - 1/7 0 - 1/3 0 20 +